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Para TEMA 5

Movimientos uniformes y variados.Superposición de movimientos.

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Contenidos paraFísica y Química

José Manuel Pereira Cordido. Departamento de Física y Química. IES San Clemente. Santiago

José Manuel Pereira Cordido

Doctor en Ciencias

Catedrático de Bachillerato del I.E.S. San Clemente.

Santiago de Compostela

Edición 2013 © Gráficos y dibujos: José M. Pereira Cordido © Fotografías: José M. Pereira Cordido © Vídeo: José M. Pereira Cordido

© Realización, edición y diseño: José M. Pereira Cordido

Registro General de la Propiedad Intelectual. Santiago: 03/2013/695

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TEMA 5.TEMA 5.TEMA 5.TEMA 5.Movimiento rectilíneoMovimiento rectilíneoMovimiento rectilíneoMovimiento rectilíneo y y y y variado. variado. variado. variado. SuperposiciónSuperposiciónSuperposiciónSuperposición de de de de movimientosmovimientosmovimientosmovimientos....

Introducción:

Ante nuestros ojos tienen lugar una serie de movimientos, todos

ellos complejos y que, no podríamos llegar a estudiar si no los

descomponemos en casos más sencillos.

El estudio de situaciones simples, en movimientos para los que

se puede deducir una norma en su comportamiento, que permitiese

luego deducir una Ley válida para ese tipo de movimiento; será el

procedimiento ideal para resolver los movimientos complejos. Dicho

de otro modo, los movimientos reales podrán estudiarse si los

concebimos como superposición de movimientos sencillos cuyas

leyes intentaremos deducir.

En consecuencia, estudiaremos en primer lugar algunos

movimientos para los que es posible deducir leyes o relaciones

matemáticas que vinculan determinados parámetros del movimiento.

Nos referimos a relaciones matemáticas entre espacios recorridos,

velocidad, aceleración..etc. Así pues, estudiaremos movimientos

“ejemplares”, en ocasiones nada frecuentes por su sencillez, sometidos

a leyes relativamente sencillas, pero que servirán para el estudio de

una parte de un movimiento complejo.

Si este movimiento se realiza con velocidad constante se trata

de un movimiento rectilíneo uniforme. Si su velocidad varía con una

aceleración constante, es un movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado.

En cualquiera de los dos casos, la longitud del desplazamiento y

la de la trayectoria coinciden con el espacio recorrido por lo que no es

necesario recurrir al cálculo vectorial y será indiferente hablar de

desplazamiento o de trayectoria, siempre y cuando tengamos en

cuenta el sentido del movimiento.

tes sidentifican a forma en que se escriben coa que realmente adopta as moléculas. Predomina na memoria visual a fórmula do composto e non a forma da molécula.A modo ejemplo debúxase á esquerda a forma dun hidrocarburo moi coñecido que logo se estudará, o octano normal. A súa for

1

Niveles subniveles nº subniveles e- por subnivel e- por nivel n=1 s 1 2 2 s 1 2 n=2 p 3 6 8 s 1 2 n=3 p 3 6 d 5 10 18 s 1 2 p 3 6 n=4 d 5 10 f 7 14 32

imposible que a molécula sexa plana.Un caso moi coñecido é o dun composto cíclico que contien dobres enlaces coñecido co nome de benceno.Este hidrocarburo cunha cadea cíclica de seis átomos, é evidente que non pode ser plano. En efecto, se os ángulos que forman enlácelos do carbono son duns 109 ( tal como sinálase na figura da esquerda, non é posible que a molécula sexa plana xa que o ángulo que forman os lados dun exágono regular (recordemos, a molécula ten 6 carbonos) é de 120 (. Xa que logo, e como non se pode concibir que exista tal tensión entre as valencias do carbono nun composto moi estable é preciso admitir que a forma non é plana. E así é, está demostrado que no ciclohexano e para satisfacer os ángulos de enlace do carbono, a molécula adopta dúas posibles formas non planas como as que se debuxan. Unha que se denomina de configuración en bañeira e outra chamada cadeira que sitúan aos átomos do carbono en planos diferentes. Todo o anterior é evidente e non precisa máis explicación, pero como sempre que se debuxa ao benceno debúxase nun plano, permanece a idea plana sobre a forma real da molécula que, non nos cansaremos de afirmar, non cinciden.Pero debemos de recoñecer que o noso pecado en diante será o mesmo que o doutros, xa que escribiremos aos compostos sobre un papel, plano, e só sacaremos a relucir a forma no espazo á hora de destacar que a representación plana non é No entanto, como nunca se escriben os compostos na forma que realmente teñen, os principiantes sidentifican a forma en que se escriben coa que realmente adopta as moléculas. Predomina na memoria visual a fórmula do composto e non a forma da molécula.A modo ejemplo debúxase á esquerda a forma dun hidrocarburo moi coñecido que logo se estudará, o octano normal. A súa forma é a dunha liña crebada (con tres dimensións) non plana; pero que se escribe habitualmente cunha estrutura lineal, tan perfectamente xeométrica que tras repetir e repetir a fórmula termina por idenfificarse a fórmula coa forma.E ambas as cousas, como pode verse na figura da esquerda, non coinciden.A todo o longo da química dos compostos orgánicos mantense a tendencia de ecipsar, sen querer este importante aspecto. Así, cando se escriben, e ata se debuxan, algúns compostos cíclicos contribúese a memorizar a súa forma plana cando é imposible que a molécula sexa plana.Un caso moi coñecido é o dun composto cíclico que contien dobres enlaces coñecido co nome de benceno.Este hidrocarburo cunha cadea cíclica de seis átomos, é evidente que non pode ser plano. En efecto, se os ángulos que forman enlácelos do carbono son duns 109 ( tal como sinálase na figura da esquerda, non é posible que a molécula sexa plana xa que o ángulo que forman os lados dun exágono regular (recordemos, a molécula ten 6 carbonos) é de 120 (. Xa que logo, e como non se pode concibir queso moi coñecido é o dun composto cíclico que contien dobres enlaces coñecido co nome de benceno.Este hidrocarburo cunha cadea cíclica de seis átomos, é evidente que non pode ser está

JMPereiraCordido. Catedrático de Física y Química. IES San Clemente 1

o

o

s ssv

t t t

−∆= =∆ −

Movimiento rectilíneo uniformeMovimiento rectilíneo uniformeMovimiento rectilíneo uniformeMovimiento rectilíneo uniforme

Es obvio que, por las rigurosas condiciones que le imponemos a

este tipo de movimiento, no será fácil que, confecuencia tenga lugar

este tipo de movimiento. Sabemos que en este movimiento coinciden

el desplazamiento y la trayectoria. Por ello, el valor de la velocidad

media vendrá dado por el cociente entre el espacio recorrido y el

tiempo empleado:

Dado que la velocidad no varía, no es posible concebir

aceleración en este movimiento, y también es evidente que la

velocidad media y la instantánea son iguales.

Para obtener la longitud de la trayectoria o el espacio recurrido

despejamos s en la ecuación anterior y obtenemos:

s = s 0+ v(t - t 0)

Si suponemos que comenzamos a contar el tiempo cuando se

inicia el movimiento tendremos que t0= 0 por lo que

s = s 0+ vt,

donde s0 es el espacio inicial o la distancia desde el origen hasta

el punto donde se encontraba el móvil al comenzar el movimiento.

Si representamos en una gráfica la velocidad en función del

tiempo, obtenemos una recta paralela al eje de tiempos ya que la

velocidad es constante. Podemos observar que el espacio recorrido

coincide con el valor de la superficie del rectángulo formado por la

gráfica y el eje de abcisas en el intervalo de tiempo considerado

v(ms -1 ) v co nstante s = v(t - t0) t0 t t (s)


1




También podemos representar el espacio en función del tiempo

y obtenemos una recta cuya ordenada en el origen es el valor del

espacio inicial s0, y su pendiente coincide con el valor de la velocidad.

s(m s) s= s 0+vt s0 t(s )

Movimiento rectilíneo Movimiento rectilíneo Movimiento rectilíneo Movimiento rectilíneo uniformeuniformeuniformeuniformemente variado. mente variado. mente variado. mente variado.

El estudio de los movimientos rectilíneos resulta muy sencillo,

ya que como se ha dicho la imposición de una trayectoria recta hace

que al mantener constante la dirección del movimiento. sólo nos

tengamos que ocupar del módulo.

En este caso concreto, la velocidad y la aceleración tendrán

siempre la dirección del movimiento.

En consecuencia, su estudio se reduce al estudio de los

módulos, en definitiva parece como si desapareciese el carácter de

vector de la velocidad y aceleración.

Si lo calificamos de uniformemente variado, quiere decirse que

la forma de variar la velocidad sigue una norma uniforme o fija.

En definitiva, se está afirmando que la velocidad varía

constantemente, durante cada segundo en una cuantía que llamamos


1




a. Por tanto, el módulo de la velocidad después de haber variado

durante un cierto tiempo valdrá....

Vf = Vo ± a t

Si nos fijamos, la relación que acabamos de escribir es la

expresión de una norma de variación lineal. Expresa el hecho de que la

velocidad varía linealmente, es precisamente la que el alumno debe

conocer como la ecuación de una recta.

y = b ± a ···· x

Vf = Vo ± a t

Expresa la relación lineal entre x e y. Es, la conocida ecuación de

una recta de pendiente ± a y con ordenada en el origen b.

Nos

encontramos, pues,

ante un movimiento

en el que la

velocidad es función

lineal del tiempo

Cuando una

magnitud varía

linealmente, en

ocasiones, sin

saberlo,usamos un

subterfugio.

Así, cuando

calculamos el área de

un trapecio mediante

el producto de la

base por la altura

media, estamos

calculando la

superficie como si

se tratase de un

rectángulo.


1




20 00

1

2 2 2

v v v v ats t t v t at

+ + += ⋅ = ⋅ = +

0 0 0

2 2f

media

v v v v ats v t t t

+ + += × = ⋅ = ⋅

0 0 0

2 2f

media

v v v v atv

+ + += =

Tal como se indica en la figura, nos “servimos” de una altura

media de las dos alturas. Pero, nótese que dichas alturas varían

linealmente ......

Cuando una magnitud varía linealmente, a efectos de cálculo, se

puede suponer que es “constante”, pero con un valor medio entre los

valores extremos. Así realizamos los cálculos como si permaneciese

constante.

En un movimiento en el que sólo el módulo de la velocidad

varía, tal como es el rectilíneo uniformemente variado, podemos

utilizar el mismo subterfugio para calcular la longitud de la

trayectoria recorrida por el móvil.

En efecto, supondremos que el móvil realiza el movimiento con

una hipotética velocidad media (media de los valores extremos) que

permanece constante a lo largo de todo el recorrido.

La velocidad media sería el valor medio entre

a inicial: Vo

y final :Vo+at

Por lo tanto:

Si la longitud del camino recorrido por un móvil que realiza un

movimiento uniforme puede calcularse como:

s =V × t en nuestro caso se convierte en

s = Vm × t si proponemos que el móvil se traslade con una

velocidad constante, media entre las velocidades inicial y final. La

ecuación anterior toma la forma:

sería la expresión que nos permite calcular el camino recorrido

por el móvil en un movimiento uniformente acelerado.


1




o

o

v vva

t t t

−∆= =∆ −

Representación gráfica de las variables del movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado.

Hemos visto que el valor de la aceleración es:

Si en esta expresión despejamos la velocidad obtenemos:

v = v0+ a(t - t 0) que es el valor de la velocidad

en cada instante.

Si comenzamos a contar el tiempo cuando t0= 0, tendremos:

v = v0+ at

v(ms -1) v = v0+ at V v0 t0 t t(s) Gráfica v- t del movimiento uniformemente acelerado


1




20 00

1

2 2 2

v v v v ats t t v t at

+ + += ⋅ = ⋅ = +

20

1

2s v t at= +

En cualquier tipo de movimiento, se cumple que el espacio

recorrido en un intervalo de tiempo es igual al valor de la superficie

limitada por su gráfica v-t y el eje de abcisas en ese intervalo de

tiempo. Tal como hemos indicado anteriormente, y se manifiesta en la

figura de la página anterior, es un trapecio (sombreado en gris)

En este caso, el valor del espacio recorrido vendrá dado por el

área del trapecio:

También podemos representar el espacio en función del tiempo

y obtenemos una rama de parábola.

s(m) s t t(s) Gráfica s-t en un movimiento uniformemente acelerado


1




20

1

2h v t gt= +

0v v gt= +

Un caso especial del movimiento Un caso especial del movimiento Un caso especial del movimiento Un caso especial del movimiento rectilíneo y uniformemente rectilíneo y uniformemente rectilíneo y uniformemente rectilíneo y uniformemente acelerado. Cacelerado. Cacelerado. Cacelerado. Caída libreaída libreaída libreaída libre

Un ejemplo típico de este tipo de movimiento es aquel en el que

un cuerpo cae libremente por la acción de la gravedad. La aceleración

a la que está sometido el cuerpo es la de la gravedad, cuyo valor

aproximado en la superficie de la Tierra es g =9,8 m/s2.

En este caso las ecuaciones de la velocidad y del espacio (altura)

serán respectivamente:

Para facilitar la resolución es muy útil adoptar un criterio de

signos:

� La altura será positiva si el móvil se encuentra más arriba del origen que habíamos tomado, normalmente el punto de partida.

� La velocidad será positiva si el móvil se mueve hacia arriba y negativa se se mueve hacia abajo.

� La aceleración es negativa cuando el móvil sube y positiva cuando baja.

EjemploEjemploEjemploEjemplo

Se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad

inicial de 30ms-1.

Calcular:

a) El tiempo que tarda en alcanzar el punto más alto de su

trayectoria.

b) La altura máxima que alcanza.

c) La velocidad a los cuatro segundos de ser lanzado.

d) Altura a la que se encuentra a los cuatro segundos.


1




2 20

1 130 3,06 9.8 3.06 45,92 .

2 2h v t at m= + = ⋅ − ⋅ =

2 20

1 130 4 9,8 4 41,6

2 2h v t gt m= + = ⋅ − ⋅ =

Solución:Solución:Solución:Solución:

la) El móvil alcanzará el punto más alto cuando su velocidad sea

igual a cero. Por lo tanto:

0 = v0+ gt;

sustituyendo: 0 =30 - 9,8t y despejando t , obtenemos t= 30/

9.8 = 3.06 s

b) La altura máxima será la que tenga a los 3,06 s calculados en

el apartado

anterior.

c) Sustituimos en v = v0+ gt = 30 - 9,8 ·4 = - 9,2 ms-1

Observamos que la velocidad es negativa, como era de esperar,

ya que a los 3,06 segundos el objeto alcanzó su punto más alto, por lo

que a los cuatro segundos está descendiendo.

d) Sustituimos en


1




SuperposiciónSuperposiciónSuperposiciónSuperposición de movimientos de movimientos de movimientos de movimientos. . . .

Recordemos

Al comienzo, insistíamos en que el estudio de algunos

movimientos ejemplares tenía interés no tanto por el hecho de que

fuesen frecuentes; como por el hecho de que los casos complejos

pueden ser resueltos como la suma de casos sencillos.

Llegado este momento, diremos que bastantes casos de la vida

diaria pueden resolverse si tales movimientos se descomponen en un

movimiento uniforme y otro uniformemente variado realizados

sucesivamente, o bien dos movimientos uniformes realizados

simultáneamente o uno uniforme y otro uniformemente acelerado

también simultáneos

Podemos enunciar el principio de superposición que dice "si una

partícula es sometida a varios desplazamientos independientes, el

desplazamiento resultante es la suma vectorial de los desplazamientos

parciales, fuere cual fuere el momento en que se realicen".

Asimismo, la velocidad con la que se desplaza en un instante

determinado será la suma vectorial de las velocidades de los dos

movimientos e igualmente acontece que aceleración.

Analizaremos algunos ejemplos sencillos.

El primero de los ejemplos sería el de un tren que en un tramo

recto del recorrido...arranca (mov.uniformente acelerado) luego

mantiene constante su velocidad durante un trayecto (mov.uniforme),

después se detiene en una estación( mov.uniformenete retardado)

luego....El estudio de los sucesivos movimientos permite conocer el

movimiento total

El segundo de los ejemplos sería el de un avión que con

velocidad constante vuela en una determinada dirección. Un viento

perpendicular a la dirección en que vuela lo desvía de su ruta. En tales

condiciones el avión realiza de forma simultánea dos movimientos

uniformes.

A modo de ejemplos resueltos, abordamos de forma sintética la

resolución de este tipo de situaciones de la vida real.


1




� Orientaciones para la resolución del primer ejemplo

Tal como se ha dicho, el móvil realiza sucesivamente los

siguientes tipos de movimientos:

Acelerado cuando el tren inicia el movimiento en A, y uniforme

en el resto del trayecto entre A y B.

Decelerado cuando se aproxima a B.

Acelerado cuando arranca de B. Uniforme entre B y C y

decelerado cuando termina por detenerse en C

Supongamos que, concretamente, el móvil arranca de A

acelerando a razón de 10 km/h durante 10 segundos. Luego, continua

a velocidad constante hacia B . Cuando está a 5 Km de B, decelera

hasta detenerse. Permanece en B detenido 5 minutos. Arranca

nuevamente, y acelera igual que en el caso precedente pero durante 8

segundos. Continúa hacia C distante de B 20 Km. Cuando está a 5 km

de C, decelera hasta detenerse

a) Representar en una gráfica la evolución de las diferentes

velocidades del tren a lo largo del tiempo

b) Calcular el tiempo que se invierte en el viaje

Es evidente que para hacer dicha representación gráfica

debemos de conocer las velocidades en todos los puntos del recorrido.

Para calcularlas, en algunos casos disponemos del tiempo como dato

(cuando arranca de A y acelera durante 10 segundos), mientras que en

otros caos el espacio es el dato...cuando está a 5 Km de B...y decelera.

Hay que poner especial cuidado en los posibles errores

numéricos. Si nos equivocamos en el primer cálculo (velocidad después

de haber acelerado durante 10 segundos) todo el resto del problema

arrastra ese error y todos los resultados estarían mal.


1




� Orientaciones para la resolución del segundo ejemplo.

Un avión vuela a 360 km/h en dirección Norte. Sopla un viento

del Este a razón de 120 km/h.

Después de una hora de vuelo:

a) ¿Cuál es su posición?

b) ¿Cuál es el módulo y

dirección de la velocidad?

c)¿ Qué longitud de

trayectoria recorrió y con qué

velocidad lo hizo?

La idea clave en la

resolución es la de ser consciente

de que el avión realiza

simultáneamente dos

movimientos uniformes.

Lo hace, con una velocidad

suma dos vectores. Uno de módulo

360 y dirección Norte y otro de

módulo 120 y dirección Oeste.

El problema se reduce a una suma de dos vectores que

forman 90º

Superposición de movimientos uniformes y variados. Ejemplo.

Hasta ahora, en el caso de la superposición de movimientos

consideramos (caso del avión) que ambos se realizaban

simultáneamente, pero eran los dos uniformes.

Un ejemplo típico de movimiento compuesto por dos

movimientos (uno uniforme y otro variado) tiene lugar cuando se lanza

un objeto horizontalmente.

En efecto, a medida que el objeto se aleja del punto de

lanzamiento, además de avanzar horizontalemte con velocidad

constante, va cayendo hacia el suelo debido a la atracción que la Tierra

ejerce sobre él .


1




Así pues el cuerpo está sometido a dos movimientos:

Uno horizontal,

rectilíneo y uniforme

debido al impulso que se

le ha suministrado en el

momento del

lanzamiento.

Otro vertical,

rectilíneo y

uniformemente

acelerado, en sentido

descendente debido a la

aceleración de la

gravedad.

Son dos

movimientos ya

estudiados por lo que no

tendremos dificultad para

hallar las ecuaciones que

rigen el lanzamiento

horizontal.

Si representamos

el movimiento en un

sistema de ejes

cartesianos vemos que el

movimiento debido al

impulso inicial se realiza

en el eje X y el debido a la aceleración de la gravedad en el eje Y. Así

pues las ecuaciones que rigen este movimiento serán:

Eje X: Velocidad: v x = v0

Posición: x = vt

Eje Y: Velocidad: v y = - gt

Posición: y = -1/2 gt 2


1




21

2y gt=

21

2h g t− = −

2ht

g=

00

xx v t obtenemos t

v= =

22

2 20 0

1; :

2 2

gxy g simplificando y x

v v= = −

0

2hx v

g=

Características interesantes de este movimento:

o Tiempo que tarda en llegar al sueloTiempo que tarda en llegar al sueloTiempo que tarda en llegar al sueloTiempo que tarda en llegar al suelo

Supongamos que el cuerpo se lanza horizontalmente desde una altura h con una velocidad v0 y que el suelo es horizontal. El cuerpo llegará al suelo justamente cuando descienda una altura h, es decir, cuando la componente vertical Y, tenga por valor despejando t, obtenemos: Podemos observar que el tiempo que tarda es el mismo que invertiría en una caída libre desde una altura h, por lo que no depende de la velocidad horizontal ( vx ) que tenía.

o Alcance horizontalAlcance horizontalAlcance horizontalAlcance horizontal

Ya sabemos el tiempo que tarda en llegar al suelo, por lo que sólo tendremos que sustituir este valor en la ecuación de la componente horizontal:

o Ecuación de la trayectoriaEcuación de la trayectoriaEcuación de la trayectoriaEcuación de la trayectoria

Para hallar esta ecuación basta con eliminar t entre las ecuaciones de las posiciones horizontal y vertical. Despejamos el tiempo en la ecuación:. sustituyendo en la ecuación:

obtenemos: Esta expresión corresponde a la ecuación de una parábola, motivo por el cual se denomina movimiento parabólico.


1




Otro ejemplo análogo al precedente

Un nuevo ejemplo de un objeto lanzado horizontalmente, que

realiza un movimiento uniforme en el eje x y a la vez realiza una caída

según la dirección y .

Como ya hemos visto, el móvil, realiza simultáneamente dos

movimientos que siguen leyes diferentes.

En el eje X el movimiento es uniforme. Siempre con la misma

velocidad

En el eje Y el movimiento es uniformemente acelerado. La

velocidad inicial en dicho eje es nula y la aceleración en la dirección y

conocidad(su valor 9.8 ms-2).

El enunciado del nuevo problema bien podría ser:

Si un avión vuela a 500 metros de altura con velocidad 360

Km/h y suelta un objeto:

a) ¿Cuánto tiempo tarda en caer el objeto?

b) ¿Dónde cae el objeto?

c) Calcule: módulo, dirección y sentido de la velocidad con que

llega al suelo.

Insistir en que la velocidad, por tratarse de una magnitud

vectorial, su completo conocimiento exige información sobre el

módulo, dirección y sentido. A la vez pertenece a un tipo peculiar de

vectores en los que su punto de aplicación puede trasladarse a lo largo

de la línea de acción, por ello se dice que son vectores deslizantes.

En la práctica, la operación de sumar o restar resulta mucho

más fácil si en lugar de hacerlo mediante un procedimiento gráfico lo

hacemos mediante un proceso de cálculo.

En efecto, supongamos que quisiéramos sumar los vectores

anteriores (o cualquier otros) actuaremos así:

Calcularemos las componentes de cada vector en la dirección de

dos ejes ortogonales.


1




Supongamos el caso general de dos vectores a y b , que en el

ejemplo del avión serán las dos velocidades

Las componentes del vector a serían :

ax = a cos α

y la otra componente ay = a sen α

Por otra parte, las del vector b, serían:

bx = a cos β

y la otra componente by = a senβ

Dado que (lo que llamaremos componentes) los vectores ax y b x

están situados en la misma dirección y sentido, el vector resultante

tiene de módulo la suma de los módulos y dirección y sentido de

ambos. Su suma es inmediata.

Otro tanto cabe decir de las componentes ay y b y.

En definitiva, conocemos así las componentes del vector suma

de los anteriores. De ser necesario calcular el módulo de dicho vector

su módulo sería:

El ángulo que forma dicho vector con uno de los ejes puede

conocerse con facilidad ya que es el arco cuya tangente es y/x

Con mucha frecuencia es más interesante conocer las

componentes del vector resultante, que el propio vector resultante.


1




Lanzamiento oblicuoLanzamiento oblicuoLanzamiento oblicuoLanzamiento oblicuo. Otro . Otro . Otro . Otro ejemplo de superposicion.ejemplo de superposicion.ejemplo de superposicion.ejemplo de superposicion.

Este movimiento se da cuándo se lanza un objeto con un ángulo

de inclinación Al igual que en el

caso anterior, el movimiento es el

resultado de la superposición de

dos movimientos: uno horizontal y

otro vertical

Si fijamos el origen de

coordenadas en el punto de

lanzamiento podemos ver que la

velocidad inicial tiene dos

componentes, una horizontal que

representamos en el eje X y otra

vertical que representamos en el

eje Y.

El movimiento horizontal

es uniforme ya que no existe

aceleración en esta dirección, por

lo tanto:.

Velocidad: vx = v

0· cos α

Eje X

Posición: x = (v0· cos α t)

El movimiento vertical es uniformemente acelerado ya que está

sometido a la aceleración de la gravedad:

Velocidad: vy= v

0· sen α - g t

Eje Y

Posición: y =·(·(·(·(v0senα ) t − 1/2 g t) 2


1




( ) ( )2 2

0 20, 5,10

2 2 9,8máxima máxima

v sen seny sustituyendo y m

g

α 30= = =

⋅

2 202 cos 2 20 cos 30

35,359,8máxima

v sen senx m

g

α α ⋅ 30 α= = =

( ) 20

10

2v sen t gt= α −

02 2 20 30º; : 2,04

9,8

v sen sent sustituyendo s

g

α ⋅= =

Utilizando adecuadamente estas ecuaciones podemos conocer muchos aspectos sobre este movimiento. Analicemos un ejemplo práctico:

o Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:

Un portero da una patada al balón que sale disparad o con una inclinación de 30º sobre la horizontal y una veloci dad inicial de 20 ms -1. Despreciamos el rozamiento del aire. Calculemos :

Altura máxima que alcanza Durante el ascenso, la velocidad va disminuyendo por acción a gravedad incluso el instante en que se hace nula y comienza a descender. Por lo tanto la altura máxima se alcanza cuando el valor de la velocidad en el eje Y sea cero ( vy= 0 ). Sustituyendo en la ecuación correspondiente, tenemos: 0 =····v0sen α − g t Si en esta ecuación despejamos t y sustituimos en la ecuación de la posición vertical, obtendremos la altura máxima alcanzada polo balón o el punto más alto de la trayectoria:

Tiempo que tarda en llegar al suelo Esta situación se da cuándo y = 0; sustituyendo en la ecuación correspondiente, tenemos: Dado que es una ecuación de segundo grado tendrá dos soluciones, una de ellas es t =0, solución evidente, ya que en ese instante el balón se encuentra en el suelo porque aún no se realizó lo saque. La solución que buscamos es:

Alcance máximo horizontal El alcance máximo se da cuando el balón llega al suelo, suponiendo que este es horizontal, en nuestro caso, lo debe ser. Esta situación se da para el valor de t que acabamos de calcular. Sustituimos en la ecuación de la posición horizontal y obtendremos el alcance máximo.


1




x

y

vtg

vα =

10 cos cos30 17,32xv v ms−= α = 20 =

10 30 9,8 1 0,2yv v sen gt sen ms−= α − = 20 − ⋅ =

0,20,012

17,32x

y

vtg

vα = = =

( ) [ ]2 22 2 2 2

0

9,830

2 cos 2 20 cos 30

gy x tg x x tg x

v

= + α = ⋅ + ⋅ α ⋅

Ángulo de la trayectoria en un instante determinado En la figura anterior del movimiento parabólico, podemos ver que para cualquier instante se cumple que: En nuestro caso podemos calcular el ángulo de la trayectoria para un tiempo concreto; por ejemplo, un segundo después de la salida: Calculamos V x eVy:

Vemos que Vy es muy pequeña, debido la que en este tiempo el balón está llegando al punto más alto de su trayectoria. Sustituimos en la ecuación: de donde arctg 0,012 = 0,69º También observamos que el ángulo es muy pequeño, esto los indican que el balón está casi en su punto más alto, en el cual la trayectoria es horizontal.

Ecuación de la trayectoria

Si en la ecuación de la posición horizontal despejamos t y sustituimos en la que proporciona la posición vertical obtenemos la ecuación de la trayectoria: realizando operaciones, obtenemos: y = - 0.016 x 2 + 0,58 x Como podemos comprobar corresponde a la ecuación de una parábola, por esto se denomina movimiento parabólico. .


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