Contenidos de matemáticas

MDULO: Introduccin a la Matemtica

RESUMEN CONTENDOS UNIDAD 1

Para comenzar, te invitamos a revisar el siguiente esquema de los nmeros reales y algunas

definiciones conceptuales, que te permitirn comprender todos los contenidos de la unidad.

Cuando hablamos de nmeros naturales, nos referimos al conjunto numrico que permiti

contar objetos a los seres humanos. El primer elemento de este conjunto es el nmero uno. Todo

nmero que pertenece a este conjunto tiene un sucesor que se obtiene sumando uno al nmero

es por esta razn que tiene un nmero infinito de trminos, pero no todos los elementos tienen un

antecesor puesto que el nmero uno su antecesor es el cero y este nmero no pertenece al

conjunto de los Nmeros naturales. Este conjunto se designa por la letra N y est formado por:

Reales (R)

Racioanales(Q)

Enteros(Z)

positivos o (Naturales N )

Cero Negativos

Fraccionarios

Decimales Finitos

Decimales Infinitos

Peridicos Mixtos o

Semiperidicos

Irracionales(I)


Los Nmeros Enteros, son el conjunto formado por: los nmeros naturales, sus opuestos o

enteros negativos y el nmero cero. Este conjunto permite representar cantidades negativas muy

tiles como: temperaturas bajo cero, profundidades, prdidas, etc.

Este conjunto se designa con la letra Z y est formado por:

Nmeros Racionales

Los nmeros racionales son todos aquellos nmeros de la forma

con a y b nmeros enteros y b

distinto de cero. El conjunto de los nmeros racionales se representa mediante la letra Q.

Representacin decimal de nmeros Racionales:

Al realizar la divisin entre el numerador y el denominador de una fraccin, se obtiene un

desarrollo decimal, el cual puede ser Finito, Infinito peridico o Infinito semiperidico.

a) Decimal Finito: Es aquel que tiene en la parte decimal un nmero finito de trminos.

Ejemplo:

b) Decimal infinito peridico: Es aquel que tiene en la parte decimal un nmero infinito de

trminos. A la parte decimal que se repite se le denomina periodo.

Ejemplo:

c) Decimal Infinito semiperidico o peridico mixto: Es aquel que tiene en su parte decimal

uno o ms nmeros antes del periodo que son finitos y despus uno o ms nmeros que

se repiten de forma infinita llamado periodo.

Ejemplo:

Ejemplo:


Por su parte, los nmeros Irracionales son nmeros decimales infinitos pero no peridicos que no

se pueden representar de forma fraccionaria. Uno de los ms conocidos y ms utilizados es el

nmero = 3,141592653589.., que utilizamos para calcular reas y permetros de figuras

geomtricas. Otro nmero importantsimo en la economa y en la vida en general es el nmero

e = 2,718281828459., conocido como el nmero de Euler, el que se utiliza para representar

situaciones de crecimiento y decrecimiento al igual que depreciaciones, adems de todas las races

no exactas.

Los Nmeros Primos, son todos aquellos nmeros que son divisibles slo por s mismos y por

la unidad. Ejemplos:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,83,127,149,

Los Nmeros compuestos, son aquellos nmeros que estn formados por factores primos. Descomposicin en factores primos: Es usual en aritmtica, descomponer un nmero en sus factores primos. Descomponer en factores primos los nmeros: 20, 64,90 La forma ms sencilla de descomponer un nmero es dividirlo hasta que quede slo como una multiplicacin de nmeros primos.

Por ejemplo, si dividimos el nmero 20 por 2 nos da 10 y el nmero 20 lo podemos escribir como 102, luego tenemos que solo descomponer el numero 10, dado que el nmero 2 es un numero primo. El 10 lo volvemos a dividir por 2 y lo escribimos como 25, as tendremos solo nmeros primos y el nmero 20 lo escribimos como: 20 = 225 Tiene dos factores Primos el 2 y 5 64 = 88 = 4242 = 222222 cuando se repite el mismo nmero se deja un solo 2 y se eleva al nmero de veces que se repite que en este caso es 6, quedando 26 tiene un solo factor primo que es el 2. 90= 185 = 925 = 3325 = 3225 tiene tres factores primos el 2,3 y 5


Operaciones Bsicas Solucin de problemas Evaluacion de expresiones

Te invitamos a revisar el contenido que tiene relacin con las operaciones Bsicas en los nmeros

Enteros:

Las diversas combinaciones que se hacen con los nmeros cuando

se quiere buscar un resultado se llaman operaciones. Operacin

matemtica diremos que es cualquier combinacin numrica

racional y sistemtica que se realiza con el fin de encontrar

resultado a un problema.

Operaciones Bsicas son aquellas que sirven de base a todas las

operaciones aritmticas, ellas son:

Adicin o Suma Sustraccin o Resta Multiplicacin Divisin

Adicin de nmeros enteros Al resultado de la adicin de nmeros se le conoce con el nombre de Suma. Para la suma de nmeros se tienen dos casos: Con signos iguales: Sumar los valores absolutos de los nmeros y mantener el signo comn. Ejemplo:

1) Sume: +8 y +4; +8+(4) = +12 ; 2) Sume: (-3) y (-15) ; (-3) + (-15) = -18 Con signos diferentes: Restar los valores absolutos de los nmeros (el valor mayor con el valor menor) y mantener el signo del nmero con mayor valor absoluto

1) Sume +7 y (-14); +7+(-14) =-7; 2) sume: (-2) y +18; (-2) +18 = +16


Sustraccin de nmeros enteros Cuando un nmero se resta de otro, el resultado se denomina diferencia. Una de las formas ms simple de realizar esta operacin es convertir la resta en una suma equivalente. Esto sugiere que, para restar dos nmeros cambiamos el signo del nmero que restamos y sumamos.

1) Reste : 21 y 4 ; 21 4 suma equivalente 21 + (-4) = 17 2) Reste : -35 y 5 ; -35 5 suma equivalente -35 + (-5) =

- 40 3) Reste: -28 y -11 ; -28 (-11) suma equivalente --------

28+11= -17

Multiplicacin de Nmeros enteros Cuando se multiplican dos nmeros, el resultado se llama producto. Para multiplicar dos nmeros enteros:

Cuando los nmeros tienen el mismo signo se multiplican los nmeros sin importar el signo que tengan, ya que el resultado siempre ser positivo.

Cuando los nmeros tienen distinto signo se multiplican los nmeros sin importar el signo que tengan, ya que el resultado siempre ser negativo.

Multiplicacin por 0: Si X es cualquier nmero real, entonces X por 0= 0 Ejemplos:

1) 2) 3) 4) 5)


Divisin de Nmeros enteros Cuando se dividen dos nmeros, el resultado lo denominamos cuociente.

En la divisin

con b distinto ( ) de 0, el cuociente q

es el nmero tal que Cuando los nmeros tienen el mismo signo se dividen

los nmeros sin importar el signo que tengan, ya que el resultado siempre ser positivo.

Cuando los nmeros tienen distinto signo se dividen los nmeros sin importar el signo que tengan, ya que el resultado siempre ser negativo.

Divisin por 0: Si X es cualquier nmero real, entonces X dividido por cero no est definido para ningn valor de X.

Ejemplos:

1)

ya que

2)

-600 ya que 5 x (-600) = -3000

3)

250

4)

no est definido


A continuacin revisemos lo relacionado con las Propiedades de las Fracciones

Propiedades de las Fracciones

1) Simplificar una fraccin

consiste en dividir por el mismo

nmero el numerador y el

denominador

Ejemplo:

Se tiene la siguiente fraccin

que podemos simplificar por 2

quedando de esta forma

, el

resultado final es

2) Amplificar una fraccin

consiste en multiplicar por el mismo nmero el numerador y el

denominador

Ejemplo:

Se tiene la siguiente fraccin

que amplificaremos por 6 quedando de esta forma

,

el resultado final es

Nota: Para obtener fracciones equivalentes (son fracciones que tienen el mismo valor decimal), se amplifica o simplifica la fraccin, por cualquier nmero distinto de cero.

Mximo comn divisor El mximo comn divisor (M.C.D) de dos o ms nmeros es el mayor nmero que los divide todos exactamente. Para hallar el M.C.D de dos o ms nmeros, basta descomponer los nmeros dados en sus factores primos y tomar el producto de los factores primos comunes con el menor exponente. Ejemplo: Hallar el M.C.D (1800, 420, 1260,108) Descomponemos cada uno de los nmeros en sus factores primos: 1800 = 6003 = 20033= 201033 = 455233 = 2255233 = 235232

420 = 4210 = 7610 = 73252 = 22357 1260 = 4315 = 4635 = 22975 = 223375 = 223257 108 = 363 = 943 = 3343 = 33223 = 2233

Los factores primos comunes son 2 y 3, se eleva cada uno al menor exponente quedando 22 y 3, estos nmeros se multiplican quedando

223 = 12 que es el M.C.D


Mnimo comn mltiplo El mnimo comn mltiplo (m.c.m), es el menor mltiplo comn a los nmeros dados. Para hallar el m.c.m de dos o ms nmeros, basta descomponer los nmeros dados en sus factores primos y tomar el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplo: Hallar el m.c.m (72, 252, 560) Descomponemos cada uno de los nmeros en sus factores primos: 72 = 98 = 338 = 32222 = 2332 252 = 634 = 974 = 33722 = 22327 560 = 1404 = 2074 = 4574 = 225722 = 2457

Los factores primos comunes y no comunes son 2, 3,5 y 7 se eleva cada uno al mayor exponente quedando 24,32, 5 y 7 estos nmeros se multiplican quedando 243257 = 5040 que es el m.c.m

3) Fraccin Propia: Es la fraccin menor que 1

Ejemplo:

4) Fraccin impropia: Es la fraccin igual o mayor que 1

Ejemplo:

Estas fracciones se pueden transformar en nmeros mixtos y viceversa.

5) Nmeros mixtos: Son nmeros que tienen una parte entera y la otra fraccionaria.

Ejemplos:

Para seguir profundizando en el tema anterior, descarga el texto de apoyo indispensable n3


1. EJEMPLIFICACIN DE CONTENIDOS

A continuacin te invitamos a revisar los siguientes problemas de aplicacin que te permitirn

clarificar los contenidos anteriormente revisados.

1) Se necesita construir 3 tramos de lnea con trozos iguales de tubo de polivinilo. Los

tramos tienen longitudes de 140, 560 y 800 metros. Cul ser la longitud mxima de

cada tubo con el cual se puede conformar exactamente cada uno de estos tramos sin

que se desperdicie tubera?

Respuesta

Este es un problema de Mximo comn divisor ya que preguntan cul ser la longitud

mxima de cada tuvo. Para responder descompondremos cada una de las longitudes

de estos tramos en sus factores primos:

140 = 1410 = 7252 = 2257 560 = 5610 = 7810 = 722225 = 2457 800 = 8010 = 81010 = 2222525 = 2552 M.C.D = 225 = 20, La longitud mxima es 20 metros

2) Tres aviones salen del aeropuerto el Dorado, el

primero cada 8 das, el segundo cada 10 das y el tercero cada 20

das. Si salen juntos el 2 de Enero del presente ao, cul ser la

fecha ms prxima en que vuelvan a salir juntos?

Respuesta

Este es un problema de m.c.m, ya que la fecha ms prxima que vuelvan a salir todos

juntos es el mnimo comn mltiplo entre estas tres salidas, para obtener este m.c.m

descompondremos los das en sus factores primos.

8 = 222 = 23; 10= 25 y 20= 45 = 225 = 225, el m.c.m = 235 = 40

Se volvern a encontrar de nuevo despus de 40 das el 11 de Febrero del presente

ao.


3) Durante una semana, contando el nmero de

asistentes a la funcin de un cine, se obtuvieron los

siguientes datos: el lunes 338 personas, el martes

352 personas, el mircoles 300 personas, el jueves

ocuparon

del total de las sillas, el viernes

, el

Sbado y el domingo asistieron

260 personas que equivalen a

del total.

a) Calcule el nmero de espectadores del jueves y

viernes

b) Fraccin

del total de sillas que se ocupo el lunes, el martes y el mircoles.

Respuesta

Como se sabe que los

del total son 260 personas al dividir esa cantidad por 13

tendremos

que equivale a 20 si quiero saber el total lo multiplico por 18

dndome el nmero total de espectadores que son 360 personas. Como el da

jueves se ocuparon

del total y el viernes

del total, se tiene:

Jueves:

de 360, el de significa multiplicacin dando

360 = 160 sillas y el da

viernes

de 360, el de significa multiplicacin dando

360 = 150 sillas

El total de espectadores son 310

Para sacar la fraccin tenemos que sumar el total del da lunes, martes y mircoles

dando un total de 990 sillas ahora calculamos la fraccin

de 990 dando

990 =

550 sillas.

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