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Modulo matematicas 7

1 HENRYPIERCE CUERO ……..http//henrypierce.iespana.es

GUIA DE CONTENIDOS BASICOS

MATEMATICAS 7

VERSION REDUCIDA DE LA ORIGINAL

DOCENTE HENRY PIERCE CUERO



NÚMEROS ENTEROS

Hay ciertas situaciones que no se pueden expresar matemáticamente utilizando los

números naturales. A partir de ahora utilizaremos un nuevo conjunto números para

resolver este problema: los números enteros.

Observación: Los números enteros no tienen parte decimal.

Los números enteros están formados por los enteros positivos, los enteros negativos y el

cero. El 0 no se considera ni positivo ni negativo.

Lectura y escritura de números enteros

Para diferenciar los enteros positivos de los enteros negativos utilizamos los siguientes

símbolos: + (para los positivos) y − (para los negativos).



Para escribir un número entero positivo se coloca + delante de la cantidad expresada.

+ 200 Se lee: "más doscientos".

Para escribir un número entero negativo se coloca − delante de la cantidad expresada.

−100 Se lee: "menos cien".

Escritura sencilla:

Los números positivos se escriben sin signo.

Los números negativos se escriben siempre con signo y entre paréntesis cuando sea

necesario.

Por ejemplo:

3 + 5 + (−2) + (−4) + 1 = ... (Se entiende que 3, 5 y 1 son positivos).

Actividad 1 En la siguiente tabla se muestran algunas situaciones descritas con

números enteros. Asigna el número entero correspondiente a aquellas situaciones que no

lo tengan.

Situación Nº Entero

La temperatura ambiente es de 2º bajo cero 2−

La temperatura ambiente es de 2º sobre cero 2+

La ciudad se encuentra a 800 m sobre el nivel del mar m800+

El buzo está nadando a 20 m de profundidad m20−

Estamos justo al nivel del mar 0 m

Julián tiene un deuda de $5.000 $5.000−

El avión está volando a 9.500 metros de altura

El saldo deudor de la libreta de ahorro es de $12.356

Los termómetros marcaron una temperatura de 3º bajo cero

Latitud de la línea del ecuador

La altura del monte Aconcagua es de 7.010 metros

La profundidad de la fosa marina es de 10.882 metros

Maritza debe $11.650



Andrés tiene $3.580

El submarino está a 35 metros bajo el nivel del mar.

1 INTRODUCCIÓN

Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z: Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}



Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).

Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:

• si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5; • si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.

El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS



SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo: Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos: • 7 + 11 = 18 • -7 - 11 = -18 Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor: • 7 + (-5) = 7 - 5 = 2 • -7 + 5 = - (7 - 5) = -2 • 14 + (-14) = 0

La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes: Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Conmutativa: a + b = b + a Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma, a + 0 = a Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a, a + (-a) = 0

OPERACIONES CON NÚMEROS NEGATIVOS. a) Suma I. Reglas de signos. 1. Cuando 2 números tengan el mismo signo se suman y se conserva el signo. 2. Cuando 2 números tengan signos diferentes se restan y se conserva el signo del

mayor. 1er. Regla (+5)+(2) = +17 Suman a la derecha positivos | Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι | 0 1 2 3 4 5 6 +7 8 9 10 11 (-6)+(-3) = -9 Negativos se suman a la izquierda -3 -6 | | | | | | | | | | -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0



2da regla.(+7 )+ (-4) = +3 -4 +7 | | | | | | | | | | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (-5 )+ (+2 ) = -3 | | | | | | | | | | -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 Ejercicio : resuelve las siguientes sumas y representa a la recta numérica. A ) (-10 ) + (-3 ) =-13 | | | | | | | | | | | | | | | | -15 -14 -13 -12 - 11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 b) (+8) + (-5) =+3 | | | | | | | | | | | | | | | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

C a n t i d a d e s p o s i t i v a s y n e g a t i v a s 1. Pedro debía 60 bolívares y recibió 320. Expresar su estado económico. S o l u c i ó n :

Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto signo, hallamos la diferencia entre las cantidades y el resultado lo expresamos con el signo de la cantidad de mayor valor absoluto.

Respuesta: el estado económico de Pedro es de + 260 bolívares.

2. Un hombre que tenía 1 170 sucres hizo una compra por valor de 1 515. Expresar su estado económico. S o l u c i ó n :

Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto signo, hallamos la diferencia entre las cantidades y el resultado lo expresamos con el signo de la cantidad de mayor valor absoluto.

Respuesta: el estado económico del hombre es de - 345 sucres.

3. Tenía $200. Cobre $56 y pagué deudas por $189. ¿Cuánto tengo? S o l u c i ó n :



Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto.

Respuesta: Ud. tiene + $67.

4. Compro ropas por valor de 665 soles y alimentos por 1 178. Si después recibo 2 280. ¿Cuál es mi estado económico?

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo: a - b = a + (-b)

Por ejemplo: 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 -2 - 5 = (-2) + (-5) = -7

La laveanderia A.C.J. Ltda. tiene dos sucursales dentro de la ciudad

Uno de los empleados de la lavandería tiene que desplazarse en sentido



oeste-este o este-oeste, desde la sucursal 2 hasta la sucursal l. La distancia de la oficina principal a la sucursal 2 es de 24 kilómetros y la distancia de la oficina principal a la sucursal 1 es 9 kilómetros. ¿Cuál es la distancia que separa la sucursal 2 de la sucursal 1? En otras palabras, lo que se está buscando es la distancia que le hace falta a la sucursal 1 para estar ubicada en la sucursal 2, luego aquí se encuentra la diferencia de las distancias entre la sucursal 2 y la sucursal 1, la cual se escribe 24-9=15; es decir, que 15 kilómetros separan a la sucursal 2 de la sucursal l. La sustracción entre dos números enteros, se puede ver como una adición del primer número entero con el opuesto del segundo número entero. Para obtener la diferencia entre dos números enteros debemos encontrar un número entero que sumado con el sustraendo nos dé el minuendo. Además, toda sustracción puede expresarse como una adición: f - g = f + (-g); f y g son números enteros. Sustraer un número es lo mismo que adicionar su opuesto.

C a n t i d a d e s p o s i t i v a s y n e g a t i v a s 1. A las 9 a.m. el termómetro marca + 12° y de est a hora a las 8 p.m. ha bajado 15°. Expresar la temperatura a las 8 p.m. S o l u c i ó n : Como la temperatura ha bajado 15°, se debe restar 1 5° de +12° : +12 - 15 = - 3. Respuesta: A las 8 p.m., la temperatura es de -3°.

2. A las 6 a.m. el termómetro marca -3°. A las 10 a.m. la temperatura es 8° más alta y desde esta hora hasta las 9 p.m. ha bajado 6°. Exp resar la temperatura a las 9 p.m.

OPERACIONES COMBINADAS CON PARÉNTESIS En las expresión con paréntesis, primero se realizan las operaciones que hay dentro del paréntesis.

Ejemplo



MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguiente modo: + · + = + + · - = - - · + = - - · - = +

La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes: Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c) Conmutativa: a · b = b · a Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación, a · 1 = a Distributiva de la multiplicación respecto de la suma: a · (b + c) = a · b + a · c

-5 ·-3 = -15

-5· 3 = -15

5*3 = 15

5*-3 = -15

DIVISION DE NÚMEROS ENTEROS

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. REGLA DE LOS SIGNOS Para hallar el cociente exacto de dos números enteros se dividen sus valores absolutos; si el dividendo y el divisor tienen igual signo, el cociente es positivo,

y si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, el cociente es negativo.

Para dividir números enteros se procede de forma normal como una división de números naturales y aplicando la ley de los signos. La misma que se aplica en la multiplicación:



Hay que tener en cuenta que la división no es conmutativa ni asociativa Y no siempre da un resultado entero

Ejemplos

Ejemplos: (+12) : (+3) = +4 (+12) : ( -3) = - 4 (-12) : (-3) = +4

(-12) : (+3) = -4

15÷5 = 3

-15÷5 = -3

15÷-5 = -3

-15÷5 = -3 PROPIEDADES DE PRODUCTO Y COCIENTE DE NEMEROS ENTEROS



OPERACIONES COMBINADAS CON CORCHETES En las expresión con corchetes [ ] , primero se resalizan las operaciones que hay dentro del paréntesis; después se realizan las operaciones que hay dentro del

corchete.

• [(425 + 680 - 142 ) x 12 ] : 107 • [(286 + 729 - 215 ) x 45 ] : 120

• [(549 + 286) x 15] - [ (925 + 275) : 150]

Si delante de un paréntesis , corchete o llave no hay nada entonces hay un signo positivo que no se escribe.

EJEMPLO:

HAY UN SIGNO POSITIVO

a) un SIGNO NEGATIVO, se saca el paréntesis, corchete o llave y se CAMBIAN todos los signos de los números que están adentro.

EJEMPLO: - ( 4 - 3 ) = - 4 + 3 SE CAMBIAN LOS SIGNOS

b) un SIGNO POSITIVO, se saca el paréntesis, corchete o llave y se NO SE CAMBIAN los signos de los números que están adentro.

EJEMPLO: ( 4 - 3 ) = 4 - 3 NO SE CAMBIAN LOS SIGNOS

RESUMIENDO:

1) Si tengo varios números a sumar algunos positivos, otros negativos:

-7 + 4 - 2 + 8 - 3 - 5 + 1

1er PASO: Sumo los positivos

( 4 + 8 + 1 ) = 13

2 do PASO: Sumo los negativos anteponiendo el signo menos al paréntesis



- ( 7 + 2 + 3 + 5 ) = - 17

3 er PASO: Me queda

( 4 + 8 + 1 ) - ( 7 + 2 + 3 + 5 )

13 - 17

Busco la diferencia entre los dos y pongo el signo del mayor

13 - 17 = - 4

La diferencia entre 17 y 13 es de 4 y como el mayor, que es el 17, tiene signo negativo, el resultado me da negativo.

EJERCICIO TIPO

a) Eliminando paréntesis:

b) Resolviendo lo que hay dentro de los paréntesis corchetes y llaves:



PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: Cuando una serie de números se están sumando y están todos siendo multiplicados por otro número puedo proceder de dos maneras diferentes:

a) Por propiedad distributiva: b) Resolviendo primero la suma:

1°) Multiplico signos .

2°) Multiplico números.

EJEMPLO: EJEMPLO:



SEPARACION DE TERMINOS:

Para resolver ejercicios combinados con suma o resta y multiplicación o división, debo primero separar en términos.

Los signos que separan términos son los de suma o resta y se resuelve primero lo que está en cada término. Por ejemplo:

Si el ejercicio combinado tiene paréntesis, corchetes y/o llaves, se procede así:



POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS:

Cuando un número (base) está elevado a otro número (exponente) significa que hay que multiplicar la base tantas veces como indique el exponente.

1) Propiedad de potencias de igual base:

a) Cuando se MULTIPLICAN potencias de igual base se SUMAN los exponentes.

EJEMPLO:

b) Cuando se DIVIDEN potencias de igual base se RESTAN los exponentes.

EJEMPLO:

2) Si una potencia está elevada a otro número , se MULTIPLICAN los exponentes.

EJEMPLO:

3) Las potencias con exponente par dan siempre como resultado números positivos:

EJEMPLO:



4) Las potencias con exponente impar tienen como resultado un número cuyo signo es igual al de la base.

EJEMPLO:

a) La potencia es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACION y a la DIVISION.

EJEMPLO:

b) La potencia NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.

EJEMPLO:

RADICACION DE NUMEROS ENTEROS:

Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al índice me de por resultado el radicando.

PROPIEDADES DE LA RADICACION:

1)

a) Es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACION y a la DIVISION.



EJEMPLOS:

En la multiplicación En la división

b) NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.

EJEMPLOS:

En la suma En la resta

2) a) Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado positivo.

EJEMPLO:

b) Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando.

EJEMPLO:



3) Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices.

EJEMPLO:

POTENCIA Y RAIZ

POTENCIA DE EXPONENTE NATURAL Definición: Sean a ∈ R y n ∈ N , entonces:

1 ) aa 1

= 2 ) aaa n1n

×=+

Ejemplo: 77 1

=

3437497777

49777777

12123

11112

=×=×==

=×=×==

+

+

Propiedades: Sean a y b números reales, m y n números naturales, entonces: 1 ) mnmn aaa +

=× Ejemplo: 729333 642

==×

2 ) ( ) nmnm aa =



Ejemplo: ( ) 625.1555 623==

3 ) ( )nnn baba =×

Ejemplo: ( ) 728.1126262 3333 ==×=× 4 ) 11n

= Ejemplo: 11500

= 5 ) 00 n

= Ejemplo: 00 999

= POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO Definición: Sean a un número real no nulo y n un número natural, entonces: 1 ) 1a 0

=

Ejemplo: ( ) 1756.4– 0=

2 ) ( ) n1–n– aa =

Ejemplo: ( )251

51

552

21–2– =

==

Propiedades: Sean a y b números reales no nulos, m y n números enteros, entonces se cumplen todas las propiedades de las potencias de exponente natural, excepto la última y además:

1 ) ( )n

nn1–n–

a

1a1

aa =

==

Ejemplo: ( ) ( )[ ]641

–41

–4–4–3

31–3– =

==



2 ) m–nm

nmn a

a

aaa ==÷

Ejemplo: 64888 235 ==÷

3 ) ( )n

n

nnnn

ba

b

ababa

==÷=÷

Ejemplo: 62553

15

3

15 44

4

4

==

=

Signo de una potencia: Sean a un número real no nulo y n un número entero, entonces: 1 ) a > 0 ∨ n par ⇒ na > 0 Ejemplos: 2166 3

=

( ) 819– 2=

2 ) a < 0 ∧ n impar ⇒ na < 0

Ejemplo: ( ) 32–2– 5=

RAIZ ENESIMA Definición: Sean a número real, n número natural mayor que 1 y b un número no necesariamente real, entonces:

ab n= ⇔ b es raíz enésima de a

Observación: Cada número real no nulo tiene n raíces enésimas. El 0 tiene solamente una.

Ejemplo: ( ) 642– 6= ∴ – 2 es una de las seis raíces sextas de 64.

RAIZ ENESIMA PRINCIPAL ( O ARITMETICA ) Definición:



i ) Si a ≥ 0 y n es par, entonces b es su raíz enésima principal si y sólo si:

ab n= y b ≥ 0

Ejemplo: 813 4

= ∴ 3 es la raíz cuarta principal de 81. ii ) Si a es un número real y n es impar, entonces b es su raíz enésima principal si y sólo si:

ab n= y b es un número real

Ejemplo: ( ) 125–5– 3= ∴ – 5 es la raíz cúbica principal de – 125.

Simbología: Si b es raíz enésima principal de a, esto se simboliza de la siguiente forma:

n ab =

Ejemplos: 4 813 = 3 125–5– = Observación: Si a < 0 y n es par, entonces a no tiene raíz enésima principal real. Propiedades: Sean a y b números reales positivos, m y n números naturales mayores que 1 y p número entero, entonces:

1 ) ( ) aann=

Ejemplo: ( ) 171744=

2 ) n a > 0 Ejemplo: 021287 >= 3 ) n impar ⇒ n a– < 0 Ejemplo: 09–729–3 <=

4 ) aan n=

Ejemplo: 885 5=



5 ) n impar ⇒ ( ) a–a–n n=

Ejemplo: ( ) 4–4–7 7=

6 ) n par ⇒ ( ) aa–n n=

Ejemplo: ( ) 555– 4 44 4==

Observación: a ∈ R ⇒ 2a = | a |

7 ) nnn baba =× Ejemplos: 464322 333

==× 2724924998 =×=×=

8 ) nn

n

ba

b

a=

Ejemplos: 1010002

2000

2

2000 333

3

===

1415

196

1519615

==

9 ) nmm nn m aaa ==

Ejemplo: 288 33==

10 ) ( ) pnn p aa =

Ejemplo: ( ) 821616 3344 3===

11 ) nm pmn p aa =

Ejemplo: 46488 33 26 4===



NUMEROS RACIONALES

Llamamos números racionales al conjunto formado por todos los números enteros y todos los fraccionarios se lo designa por Q y se lo denomina conjunto de los números racionales Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1.

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.

Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.

Q= { m/n , m Z, n Z, n =0 }

Los números racionales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse y el resultado es un número racional.

Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.

Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica; por ejemplo:



Toda fracción está formada por dos números naturales separados por una raya horizontal, llamada línea de fracción.

• El número colocado bajo la línea de fracción indica en cuántas partes ha sido dividida la unidad. Éste recibe el nombre de DENOMINADOR.

• El número que se encuentra sobre la línea de fracción indica las partes que se están seleccionando de las que ya se dividieron. A este número se le da el nombre de NUMERADOR.

En la siguiente fracción el: *Numerador es 1 y el *Denominador es el 8

Una fracción representa siempre una división; por tanto,

1 8 = 1/8

FRACCIONES EQUIVALENTES

Definición

Un número fraccionario es equivalente a otro cuando el producto del numerador del primero por el denominador del segundo es igual al producto del denominador del primero por el numerador del segundo.

En cambio, si no se cumple esta condición, las fracciones son desiguales.

Si se multiplican o dividen el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número, se obtiene una fracción equivalente:

� Dividir ambos por un mismo número permite simplificar la fracción.



� Multiplicar ambos por un mismo número permite reducir las fracciones a un mínimo común denominador.

Dos fracciones a/b y c/d son equivalentes, y se escribe a/b =c/d , si al multiplicar sus términos en cruz se obtiene el mismo resultado a · d = b · c. Ejemplos: 1/6 es equivalente a 2/12 porque 1 · 12 = 2 · 6. 3/6 no es equivalente a 5/18 porque 3 · 18 = 6 · 5. FRACCIÓN IRREDUCIBLE • Una fracción es irreducible si el único divisor común del numerador y del denominador es 1. • Para obtener la fracción irreducible de una fracción, se dividen el numerador y el denominador de la fracción dada por el máximo común divisor de ambos términos. La fracción resultante es la fracción irreducible de la fracción dada. Ejemplo: 75/30 75 = 3 x 52 30 = 2 x 3 x 5 m.c.d. (75, 30) = 3 x 5 = 15 Fracion fracción ireductible

REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR POR EL MÉTODO DE LOS PRODUCTOS CRUZADOS Para reducir fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados, se multiplican el numerador y el denominador de cada fracción por el producto de los denominadores de las demás. Ejemplo

Vamos a reducir a común denominador las fracciones:



Las fracciones buscadas son:

REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMlNADOR POR EL MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Para reducir fracciones a común denominador por el método del mínimo común múltiplo se procede así: 1.° Se calcula el mínimo común múltiplo de los deno minadores, y ese valor es el denominador común de todas las fracciones. 2.° Se divide el mínimo común múltiplo por el denom inador de cada fracción y el cociente obtenido se multiplica por el numerador.

Ejemplo: Vamos a reducir a común denominador las fracciones :

m.c.m. (4, 5, 8) = 40

Las fracciones buscadas son:

COMPARACIÓN Toda fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa. Si las fracciones tienen igual denominador será mayor aquella cuyo numerador sea mayor. Si tienen distinto denominador se comparan las fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador.



Recta Numérica

Para realizar una serie de números en la recta numérica, es necesario que todos tengan un denominador común; de no ser así, se aplicará el procedimiento de fracciones equivalentes: 2/5 ½ 20/20 6/4 40/20

|

0 5/20 10/20 15/20 1 25/20 30/20 35/20 2 Orden: Creciente 2/5, 1/2, 6/4 Decreciente 6/4, 1/2, 2/5

a b d

0 10/40 20/40 30/40 1 50/40 60/40 70/40 2 Orden: Creciente bc,a,d Decreciente d.a.bc

40

40

50

20

25)

40

24

5

3)

40

24

10

6)

40

25

8

5)

=

=

=

=

=

MCM

d

c

b

a

2020

30

4

620

8

5

220

10

2

1

=

=

⋅=

=

MCM



OPERACIONES ENTRE FRACCIONARIOS

La definición de fraccionario y toda la parte teórica te la dejamos a ti. Mira cómo se opera entre ellos SUMA Y RESTA Este tema lo podemos clasificar en dos: Suma y resta de homogéneos o de igual denominador

Son las fracciones con igual denominador, son lás más fáciles de sumar, simplemente se suman los reales de los numeradores y se deja el mismo denominador:

Suma y resta de heterogéneos:

Lo importante para la suma y resta de fracciones heterogéneas es encontrar el común denominador, el cual es el mínimo común múltiplo de todos los denominadores presentes. Mira estos ejemplos:

En el ejemplo anterior se obtuvo el común denominador multiplicando los denominadores. Como común denominador también hubiese servido 30, 45, 60, etc. Pero la idea es escoger el múltiplo mínimo, en este caso 15. Además nota que la operación es muy sencilla: � Se encuentra el mínimo común múltiplo y se coloca como denominador común � se divide el común denominador entre el primer denominador y el resultado se multiplica por el numerador 15�3= 5 luego 5 * -2 =-10 � Se repite la operación para cada uno de las fracciones � Se suman los resultados obtenidos y listo

Veamos otro ejemplo:

Esta vez no se multiplicaron entre sí los denominadores porque no es necesario, 8 es múltiplo común tanto de 2 como de 4 y del mismo 8. Eso no quiere decir que si tú escogieras por ejemplo 16, 24, 32 o cualquier otro múltiplo más grande estaría mal. ¡No! Sólo sería un múltiplo innecesariamente grande y por lo tanto las multiplicaciones por los numeradores se crecerían igualmente. ¡Haz la prueba!. Algunas veces obtener el común denominador mentalmente no es fácil, entonces debes recurrir a la reglita para hallar el mínimo común múltiplo. Ej:



Sumar:

¿Cuál debe ser el común denominador?. Si lo logras obtener mentalmente...¡bravo!, si no, entonces mira este procedimiento: Descompones los denominadores es sus factores primos 12=2*2*3 16=2*2*2*2 18=2*3*3 Luego halas el mínimo común múltiplo. ¿Cómo? Entonces: escoges todos los números que haya y los multiplicas con su mayor exponente En el ejemplo:

24*32=2*2*2*2*3*3=144 por lo tanto el común denominador será 144 Nótese que se escogió los mayores exponentes de la descomposición en factores primos, ¡no se sumaron!.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS Para este tema debes conocer las tablas de multiplicar, las leyes de la multiplicación de signos y en lo posible saber simplificar fraccionarios. La multiplicación se realiza numerador con numerador y denominador con denominador Así:

Ejemplo:

¿Qué sucedió? Sucedió que los 3 de los numeradores se pueden simplificar con el 9 del denominador y que el 25 del numerador se puede simplificar con los 5 del denominador. Además la expresión quedó negativa por la multiplicación de signos.

Otra forma de hacer el ejercicio es multiplicar todos los numeradores entre sí, al igual que los denominadores y luego simplificar, pero eso sería tonto porque de todos modos toca simplificar y terminaría dando 1

Ejemplo:



Para llegar al último resultado se simplificó, indaga cómo.

DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS

se puede realizar de dos formas:

- En cruz:

Extremos / Medios:

Es obvio que en ambos casos se obtiene lo mismo, pero las dos formas son útiles en uno u otro momento. Igualmente que en multiplicación de fracciones, cuando la división ya está expresada como una multiplicación puedes emplear la simplificación para facilitar tu labor. Ej. :

Potenciación de fracciones La potencia de una fracción es el cociente de la potencia de cada uno de sus términos. Es decir,

Por ej.emplo,



Si a, b, e, d, m, n E N, entonces, la potenciación de fracciones cumple con las siguientes propiedades:

Radicación de fracciones La raíz n-ésima de una fracción es el cociente de las raíces n-ésimas de cada uno de sus términos. Es decir,

Por ej.emplo,



Expresión decimal de los números racionales

Decimales exactos y periódicos

Como recordarás la expresión decimal de una fracción se obtiene dividiendo el numerador

entre el denominador. Consideremos la fracción 34/8:

Es decir,

4'25 es la expresión decimal de 34/8 y de cualquier fracción equivalente a ella. A su vez, 34/8 o cualquier fracción equivalente se llama fracción generatriz de 4'25.

Diremos que 4'25 es un número decimal exacto porque tiene un número finito de cifras decimales.

No ocurre siempre así. Si calculamos el desarrollo decimal de la fracción 40/33, obtenemos:

Los restos se repiten y en consecuencia nunca termina la división; 40/33=1'21212121.......

Al grupo de decimales que se repiten lo llamaremos periodo y lo indicaremos mediante un

arco que los abarca:

Diremos que es un decimal periódico puro porque el periodo comienza inmediatamente después de la coma decimal.

Del mismo modo, si calculamos el desarrollo decimal de 23/12 obtenemos:



En este caso el periodo no comienza después de la coma, diremos que 23/12 es periódico

mixto y se escribirá como

En resumen, los decimales periódicos pueden ser: - Decimales periódicos puros, si el período comienza inmediatamente después de la coma. - Decimales periódicos mixtos, si el período no comienza inmediatamente después de la coma.

Actividades

1. Indica la naturaleza decimal de las fracciones 2/15, 6/25 y 163/3.

2. Busca la expresión decimal de 10/9, 11/9, 12/9 ,... 18/9. ¿Observas algo especial?

Al dividir dos números los restos obtenidos siempre son menores que el divisor. Observa esta dos divisiones:

Hasta ahora has obtenido los restos: 1, 3, 2, 6, 4 y 5. En el siguiente paso el resto será 0 o alguno de ellos se repetirá forzosamente y en consecuencia volverán a aparecer las mismas cifras en el divisor.



No es necesario que aparezcan todos los restos posibles. En el momento que uno de ellos se repita, vuelven a aparecer las mismas cifras en el cociente y de nuevo los mismos restos.

De lo que hemos comentado se deduce que todo número racional tiene una expresión decimal exacta o periódica.

Cálculo de fracciones generatrices

a) Decimales exactos

La fracción generatriz de un decimal exacto es una fracción que tiene por numerador al número, escrito sin coma decimal, y por denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tiene.

b) Decimales periódicos puros

Consideremos el decimal , al que llamaremos x.

x = 4'313131....

Si multiplicamos los dos miembros por 100 ( un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el período) obtenemos:

100x = 431'3131....

Restando miembro a miembro las dos igualdades:

Actividades

3. Utilizando el método anterior comprueba que:

, es decir



La fracción generatriz de un decimal periódico puro es una fracción que tiene por numerador al propio número, escrito sin los signos coma y periodo, menos el número formado por las cifras anteriores a la coma. Por denominador tiene tantos nueves como cifras decimales hay en el periodo.

c) Decimales periódicos mixtos

Consideremos el decimal al que llamaremos x:

x = 1'063636363.....

Si multiplicamos los dos miembros por 10 (un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales haya antes del periodo) obtenemos el decimal periódico puro:

10x = 10'63636363.....

Multiplicamos los dos miembros de la igualdad obtenida por 100 ( un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el periodo) y obtenemos:

1000x = 1063'636363.....

Restando las dos últimas igualdades:

Por lo tanto x = , es decir,

Actividades

4. Utilizando el método anterior comprueba que:

a.

b.

La fracción generatriz de un decimal periódico mixto es una fracción que tiene por numerador al propio número, escrito sin los signos coma y periodo, menos el número formado por las cifras anteriores al periodo quitándole la coma. Por denominador tiene tantos nueves como cifras hay en el periodo seguidos de tantos ceros como cifras hay entre la coma y el periodo.



Hemos comprobado también que todo decimal exacto o periódico se puede escribir como una fracción, en consecuencia:

El conjunto de los números racionales es igual que el conjunto de los números decimales exactos o periódicos.

Actividades

5. Calcula las fracciones generatrices de :

, 2'25, ,

6. De la división entre a y b sólo sabemos que:

Razona si a/b es puro o mixto, y contesta cuántas cifras tiene su período.

7. Responde lo mismo para el siguiente caso:

Halla a y b.

¿Existen decimales no exactos, ni periódicos?

Si un número decimal no es exacto, necesariamente ha de tener infinitas cifras decimales. Si además es no periódico, éstas no pueden guardar ninguna secuencia repetitiva. Por ejemplo:



5'1234567891011121314...............

2'01001000100001....................

Representación de números decimales

Actividades

� Si dividimos una unidad arbitraria en diez partes iguales, obtenemos la escala decimal. En ella se podrán representar de forma precisa decimales exactos con una única cifra decimal.

La flecha A señala el número 3'3. ¿Qué números indican las otras flechas?

� A su vez, cada décima puede ser dividida en diez partes iguales En esta actividad la escala superior divide la unidad en décimas y la inferior en centésimas: podremos representar decimales exactos con dos cifras decimales.

La flecha A indica 0'26. ¿Qué marcan B , C, D y E?

Observa que 0'20 es igual que 0'2 y 0'30 que 0'3. Observa también que 0'26 está entre 0'2 y 0'3, pero más próximo a 0'3.

Completa: 0'17 está entre ... y .... , pero más próximo a ......



Sin mirar la escala escribe el número que está en la mitad entre 0'2 y 0'3. Haz lo mismo con los números 0'8 y 0'9; 0 y 0'1 y entre 0'9 y 1.

Ordena de menor a mayor los números: 0'8, 0'15, 0'3, 0'08, 0'71 y 0'9.

También podemos dividir la unidad en mitades , tercios, cuartos, quintos, etc ..... Indica los números que se corresponden con A, B, C y D:

� Supongamos que a es menor que b. El intervalo abierto (a,b) representa al conjunto de números que están entre a y b (a y b excluidos).

Escribe, para cada intervalo abierto, dos números que le pertenezcan:

(0`1,0'2), (4'35,4'36), (7'3015,7'3016), (-128'548,-128'547), (-2'4891,-2'4890)

� Busca un número comprendido entre y 1. ¿Es posible?. ¿Y entre y 0'3?.

Halla la fracción generatriz de y y simplifica, ¿qué observas?. Expresa 3'45 como un decimal periódico. � Ordena de menor a mayor

a. -3'07, 7'03, -3'069, 7'2, 7'02, 7'006 y 7'029

� Completa cada fila con los números de la naturaleza indicada, de menor a mayor:

Actividades de operaciones con números decimales



a. Decimales exactos

Suma y resta de números decimales

3'45 + 0'126=

9'5-2'36=

Multiplicación

4'3 . 0'25=

0'032 . 7'05=

Se multiplican como si fueran enteros y se toman tantos decimales como sumen en total.

Multiplicación por 10, 100, 1000, etc.

0'35 . 10 = 3'5

0'35 . 100 = 35

0'35 . 1000 = 350

Se desplaza la coma hacia la derecha tantas veces como ceros tenga.

División entre decimales

34'25 : 6'352 = .........

Si multiplicamos el dividendo y el divisor por la misma cantidad, el resultado de la división no varía. Basándonos en esta propiedad podremos dividir decimales exactos:

34'25:6'352 = 34'25.1000:6'352.1000 = 34250:6352 = .....

2'25:11'34 = 2'25.100:11'34.100 = 225:1134 = ............

Para quitar la coma decimal multiplicamos dividendo y divisor por un uno seguido de tantos ceros como el mayor número de decimales de ambos.

b. Decimales periódicos

Anteriormente hemos operado con decimales exactos. Si consideramos decimales

periódicos se nos presentan problemas: ¿Cómo multiplicar por ?

La única solución será expresarlos como fracción y operar con ellas:

· = 11/3.14/11 = 14/3 = .



Tanto por ciento. Concepto.- es el numero de partes que se tomaron de un entero que se dividió en 100 partes. % símbolo 30% representan = 30/100 = 0.30 Forma fraccionaria Forma decimal. 3.2% 3.2/1000 = 0.032 0.42% .42/100 = 42/10000 = 0.0042 Convierte o expresa en forma decimal y fraccionaria. Fracción Decimal a) 5.2% 52/1000 0.052 b) 62.8% 628/1000 0.628 c) 52.4% 524/1000 0.524 d) 0.4% 4/1000 0.004 Conversión de decimal a tanto por ciento. 0.75 75/100 = 75% 0.32 32/1000 = 3.2/100 = 3.2% Conversión de fracción a tanto por ciento. En este caso se obtiene una fracción equivalente 3/5 = x/100 x=(100)(3)/5 x= 60 ∴ 3/5 = 60/100 = 60% Ejercicio: convierte a% a) 0.82 = 82/100 =82% b) 0.042 = 42/1000 = 4.2/100 = 4.2% c) 0.0345 = 345/10000 = 3.45/100 = 3.45% d) 1.25 = 125/100 =125% e) 2.034 = 2034/1000 = 203.4/100 = 203.4% Convierte de fracción a % a)5/6= x/100 = (100)(5)/6= 500/6=83.3/100 = 83.3% a) 9/10= x/100 =(100)(9)/10 =900/10 =90/100 = 90% b) 56/58 = x/100 =(100)(56)/58 = 560/58 =96.5/100 =96.5% c) 4/5 =x/100= (100)(4)/5 =400/5=80/100 =80% d) 1/3 =x/100=(100)(1)/3 =100/3 = 33.3/100 = 33.3% Tanto por ciento de una cantidad. Para obtener el % de una cantidad esta se multiplicara por la forma decimal del tanto por ciento para obtener el porcentaje. 60% de 900 900(.60) = 546 porcentaje ¿Qué tanto por ciento es un porcentaje de una cantidad? Se establece una razón (fracción) y se obtiene el por ciento (%). ¿20es 25?



%80100

80

25

20==

¿Cuál es la cantidad original sabiendo el porcentaje y que tanto por ciento? Se realiza a través de una regla de tres directa. 36 es el 35% de …

36 35% x= 10235

)36)(100(=

x 100% Ejercicio. Obtén el por ciento de las siguientes cantidades. a)20% de 45 =9 b)4% de 125= 5 c)82% de 25000=20500 d) 15% de 3000000= 450000 e)30% de 50000 = 15000 Calcula el porcentaje es uno de otro. a) 387 de 1548=25%

1548 100 1548

)387)(100(=25

387 x b)142 de 1420 =10%

1420 100 101420

)142)(100(=

142 x c) 60000 de 1000000 =6%

1000000 100 61000000

)60000)(100(=

60000 x d)1850 de 3700 =50%

3700 100 50)3700(

)1850)(100(=

1850 x e)32000 de 80000 =40%

80000 100 40)80000(

)32000)(100(=

32000 x Calcula el numero original sabiendo el porcentaje. a) 796 es 50% de …1592

796 es el 50% 159250

)796)(100(=

x 100% b)40 es 25% de…160



40 es el 25% 16025

)40)(100(=

x 100% c)25000 es el 40% de…62500

25 es el 40% 6250040

)25000)(100(=

x 100% d) 945 es el 30% de…3150

945 es el 30% 315030

)945)(100(=

x 100% e) 8200 es 20% de …41000

8200 es el 20% 4100020

)8200)(100(=

x 100%



Razones y Proporciones

Razón o Relación :

Se llaman así al resultado de comparar dos cantidades, la primera de ellas llamada antecedente y la segunda llamada consecuente. Estas cantidades las presentaremos en forma fraccionaria (aunque no es exactanete una fracción), de la siguiente manera: antecedente consecuente

Por ejemplo si tenemos la razón de 7 a 4, el antecedente será 7 y el consecuente será 4. Nuestra razón quedara: 7 4

b) Proporciones: Las llamamos así cuando tenemos una pareja de razones que son iguales. Por ejemplo, tenemos: las razones 2 es a 3 y 6 es a 9. Se escribirán: 2 y 6 3 9

Entonces las comparo (como si se tratara de fracciones comunes): 2 6 Recordemos que en comparación de fracciones multiplico cruzado 3 9 Tenemos entonces que 2 x 9 =18 y 6 x 3 = 18

Como los resultados son iguales (en ambos casos es 18) podemos afirmar que son fracciones equivalentes, pero además están formando una proporción. La proporción se lee 2 es a 3 como 6 es a 9.

En las proporciones encontramos los extremos y los medios. Extremos para nuestro caso son 2 y 9 (en rojo), mientras que los medios son 6 y 3 (en azul).



Magnitudes Proporcionales

Las magnitudes proporcionales pueden ser de dos clases:

Magnitudes Directamente Proporcionales :

Son dos magnitudes tales que, multiplicando una de ellas por un número, la otra también debe ser multiplicada por el mismo número; o dividiendo a una de ellas por un número, la otra también debe ser dividida por el mismo número.

Por ejemplo si tenemos: 7 4

Se quiere formar una proporción, entonces tendremos que multiplicar o dividir por el mismo número tanto a 7 como a 4: 7 ~> x4 ~> 28 4 ~> x4 ~> 16

Hemos formado: 7 = 28 Nótese que en este caso ambas cantidades aumentan 4 16 Son magnitudes directamente proporcionales: - El tiempo y las unidades de trabajo realizadas (a mayor tiempo, mayor trabajo realizado) - La cantidad y el precio (a mayor cantidad, mayor precio) - El peso y el precio (a mayor peso, mayor precio) - El tiempo de trabajo y el sueldo de un trabajador (a mayor tiempo, mayor sueldo) - El espacio con la velocidad (recorremos mayor distancia si vamos a mayor velocidad) - El espacio con el tiempo (recorremos mayor distancia en mayor tiempo)

Magnitudes Inversamente Proporcionales : Son dos magnitudes tales que, multiplicando una de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo número; o dividiendo a una de ellas por un número, la otra debe ser multiplicada por el mismo número.

Por ejemplo si tenemos: 4 7

Queremos formar una proporción (empleando el criterio de magnitudes inversamente proporcionales: 4 ~> ÷4 ~> 1 Nótese que mientras una cantidad aumenta la otra disminuye 7 ~> x4 ~> 28

Son magnitudes inversamente proporcionales: - El número de obreros y el tiempo para realizar una obra (mas obreros, menos tiempo) - Las horas de trabajo y los días que se trabaja (mas horas, menos días) - La velocidad y el tiempo (a mayor velocidad, menor tiempo en recorrer una distancia)



Proporcionalidad directa y Proporcionalidad inversa Resumen: Dos variables y y x son proporcionales si se cumplen una y sólo una de las siguientes relaciones: • Su razón y/x es constante. En este caso se dice que las variables x e y son

directamente proporcionales. • Su producto y·x es constante. En este caso se dice que las variables x e y son

inversamente proporcionales. Ejemplos: Una lata de bebida cuesta 350 pesos. Tienes que comprar 10; por lo tanto, necesitas 3500 pesos. Con estos datos tenemos siguiente tabla:

Cantidad de

latas (X)

Costo en

dinero (Y)

1 350 2 700 3 1050 4 1400 5 1750 6 2100 7 2450 8 2800 9 3150

10 3500 Como se aprecia, tenemos dos variables la cantidad de latas y el costo en dinero, en ambas los valores aumentan y a cada valor le corresponde un valor y sólo uno en la otra. El gráfico que describe el comportamiento de las variables es el siguiente:



Con la tabla anterior divide cada par de valores (x e y)

Cantidad de

latas (x)

Costo en

dinero (y)

Cuociente y/x= c

Constante de proporcionalida

d c

1 350 350/1 = 350 2 700 700/2 = 350 3 1050 1050/3 = 350 4 1400 1400/4 = 350 5 1750 1750/5 = 350 6 2100 2100/6 = 350 7 2450 2450/7 = 350 8 2800 2800/8 = 350 9 3150 3150/9 = 350

10 3500 3500/10 = 350 Notamos que cuando se divide el costo y por la cantidad de latas x se obtiene un valor constante c en cada cuociente. En resumen observamos que: • Tenemos dos variables una de las cuales (y), cambia en términos de los valores que

toma la otra (x), además • A partir de la tabla de valores podemos verificar que la constante de proporcionalidad

es c = 350 para cada par de valores (x, y) y • El gráfico que muestra la variación de x e y es una recta. Como c > 0, la recta es

ascendente. Revisemos otro caso Consideremos un auto que parte con una velocidad inicial de Vo de 25 m/s y desacelera de manera que baja su velocidad en 3 m/s en cada segundo, entonces si graficamos la velocidad del auto por segundo transcurrido obtenemos:



Tiempo Velocidad V- Vo (V-Vo)/T

Transcurrido del auto 1 22 3 3 2 19 6 3 3 16 9 3 4 13 12 3 5 10 15 5

Entonces observamos que la disminución de velocidad (V-Vo) es proporcional al tiempo transcurrido T y en este caso la constante de proporcionalidad tiene un valor negativo – 3. En resumen tenemos: • Dos variables una disminuye mientras la otra aumenta, además • A partir de la tabla verificamos que la constante de proporcionalidad es negativa y • El gráfico de la velocidad del auto versus el tiempo transcurrido es una recta

descendente Revisemos otro caso: Estás invitado a un cumpleaños y como es habitual, hay una torta para compartir con el festejado. A la fiesta asisten 10 amigos. A la hora de repartir la torta (si se hace en partes iguales) le corresponde una (1) parte de diez a cada uno, es decir, una décima parte de la torta o también el 10 % del total. Veámoslo ilustrado:

Ahora, en caso de 10 invitados sabemos cuanta torta te correspondería. Si antes de partir la torta se retiraron 2 invitados, ¿el trozo que te tocaría sería más grande o más pequeño?

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6

Series1



Si llegan 5 invitados más antes de repartir la torta el pedazo que te correspondería ¿es más grande o más pequeño? Las ilustraciones correspondientes son:

15 invitados 8 invitados

La tabla siguiente describe la distribución de torta por cantidad de invitados, los trozos de torta lo expresaremos en porcentajes, los invitados en número de personas.

Invitados (persona

s)

Trozos de

torta (%)

1 100,00 2 50,00 3 33,33 4 25,00 5 20,00 6 16,66 7 14,28 8 12,50 9 11,11

10 10,00 11 9,09 12 8,33

Veamos el gráfico que describe la tabla anterior:

Igual que en el caso anterior, calcula la constante de proporcionalidad



Invitados (x)

Porción de torta (y)

Producto

x x y =c

1 100,00 100 2 50,00 100 3 33,33 100 4 25,00 100 5 20,00 100 6 16,66 100 7 14,28 100 8 12,50 100 9 11,11 100

10 10,00 100 11 9,09 100 12 8,33 100

El producto de la cantidad de invitados x por la porción de torta y es constante e igual a 100. En resumen: • Hay dos variables que se relacionan. La relación se establece en condiciones que al

aumentar los valores de una variable disminuye los valores de la otra, y además • El gráfico de y versus x es una curva, llamada rama de hipérbola y. • El producto entre cada uno de los pares de valores (x , y) es constante. Por lo tanto la porción de torta es inversamente proporcional al número de invitados.

Otros ejemplos • Si me sirvo un café muy caliente, él estará a unos 90ºC y supongamos, haciendo una

simplificación de la realidad, que perderá (digamos) 12ºC por minuto en las condiciones ambientales. El enfriamiento observado (temperatura final - temperatura inicial) será directamente proporcional al tiempo transcurrido.

• En los bancos, supermercados, etc. se junta gran cantidad de monedas. Como las cajeras pierden mucho tiempo contándolas, en general, se pesan bolsas de monedas. Supongamos que se tienen los siguientes datos.

Bolsas Peso de la bolsa (gr)

Valor monetario ($)

1 550 11.000 2 850 17.000 3 1250 25.000 4 1300 26.000 5 1850 37.000 6 2000 40.000 7 2250 45.000



¿Existe proporcionalidad entre el peso de las bolsas y valor monetario de ellas? Notas metodológicas: i) Podríamos reformular la definición diciendo “y es proporcional a x si y es

directamente proporcional a x o a su recíproco 1/x ”. ii) Si hay proporcionalidad directa entre x e y, entonces a cada par de valores 1x y 2x

le corresponderán dos valores 1y e 2y tales que, x1/y1 = x2/y2 expresión que usualmente se denomina "proporción" leyéndose " 1x es a 1y como 2x es a 2y " (regla de tres directa)

iii) En general, si la variable y es proporcional a x y se tiene un conjunto de pares de valores )}),...(,{( 11 nn yxyx se cumple

cxx

y

x

y

x n

===== ..y

.y

n

3

3

2

2

1

1

iv) Cuando hablamos de proporcionalidad estamos refiriéndonos a dos variables, no a

dos valores de una variable (dos números). v) Que y aumente al aumentar x, NO implica que tengamos proporcionalidad directa. Por ejemplo:

vi) Que y disminuya al aumentar x NO implica que tengamos proporcionalidad inversa. Por ejemplo:

Posibilidades didácticas: • Visualizaciones • Se relaciona con ...

Razón Vemos que si las variables y y x son directamente proporcionales entonces

cx

y

x

y

x

y

n

n === ...2

2

2

1 , luego la razón entre los valores que puede tomar y y los que toma x en

la misma situación se mantiene constante y es igual a la constante de proporcionalidad.



Regla de Tres Simple

La regla de tres simple se apoya en los criterios de las magnitudes proporcionales, entonces tendremos dos clases:

a) Regla de Tres Simple Directa: Esta se utiliza para magnitudes directamente proporcionales.

Por ejemplo, si tenemos que 5 libros me cuestan 26 soles, queremos saber cuanto costaran 15 libros

Supuesto 5 libros ~> S/. 26 Pregunta 15 libros ~> x

Para hallar el valor de x, empezamos a multiplicar cruzado los datos que si tenemos: Supuesto 5 libros ~> S/. 26 Pregunta 15 libros ~> x 15 x 26 = 390

Y ahora dividimos la cantidad obtenida entre el número que aún no habíamos empleado: Supuesto 5 libros ~> S/. 26 Pregunta 15 libros ~> x 390 ÷ 5 = 78

Finalmente decimos que 15 libros nos costaran 78 soles.

Regla de Tres Simple Inversa :

Esta se utiliza para magnitudes inversamente proporcionales.

Por ejemplo, si 4 obreros hacen una pequeña construcción en 12 días, ¿cuántos días demoraran 6 obreros?

Supuesto 4 obreros ~> 12 días Pregunta 6 obreros ~> x

Para hallar el valor de x, empezamos a multiplicar directamente los datos que si tenemos: Supuesto 4 obreros ~> 12 días Pregunta 6 obreros ~> x 4 x 12 = 48

Y ahora dividimos la cantidad obtenida entre el número que aún no habíamos empleado: Supuesto 4 obreros ~> 12 días Pregunta 6 obreros ~> x 48 ÷ 6 = 8

Finalmente decimos que 6 obreros completaran su trabajo en 8 días.



Regla de Tres Compuesta

Es una aplicación sucesiva de la regla de tres simple. Debemos tener mucho cuidado al ver si estamos trabajando con regla de tres simple o regla de tres compuesta, por ello es recomendable hacerlo por partes.

Veamos un ejemplo: Si 3 hombres avanzan 80 metros de una obra en 15 días, ¿cuantos días necesitaran 5 hombres para avanzar 60 metros de la misma obra?

Distinguimos en nuestro ejemplo: Supuesto 3 hombres ~> 80 metros ~> 15 días Pregunta 5 hombres ~> 60 metros ~> x

Podemos decir que la relación entre cantidad de hombres y días trabajados esta formando una regla de tres simple inversa (a mayor cantidad de hombres menos días), entonces podríamos decir: 3 x 15 5

Además sabemos que la cantidad de hombres y la cantidad de trabajo avanzada forman una regla de tres simple directa (a mayor cantidad de hombres, mas trabajo se puede realizar, entonces: 3 x 15 x 60 = 2700 = 6,75 5 x 80 400

Interés Simple

1. Problemas de Interés Simple Formulas de Interés Simple I = C * t * i VF =C (1 + i * t) C =VF (1 + i * t)-1 VF = C + I I = interés; VF = valor futuro; C = Capital; i = tasa. Calcular el interés simple comercial de: a. $2.500 durante 8 meses al 8%. C = $2.500 t = 8 meses i= 0,08 I = 2.500 * 8 * 0.08 =$133,33 Respuesta 12 b. $60.000 durante 63 días al 9%. I =$60.000 t =63 días i =0,09



I =60.000 * 63 * 0.09=$ 945 Respuesta 360 c. $12.000 durante 3 meses al 8½ %. C =12.000 t =3 meses i =0,085 I =12.000 * 3 * 0.085= $ 255 Respuesta 12 d. $15.000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre. Del mismo año. C =$15.000 i =0,10 t =167 días I =15.000 * 0.10 * 167=$ 695,83 Respuesta 360 Calcular el interés simple comercial de: a. $5.000 durante 3 años 2 meses 20 días al 0,75% mensual. C = 5.000 i = 0,0075 t =116 meses 3 3años *12 meses =36 meses + 2 meses = 38 meses + (20dias * 1 mes)= 116 meses 1 año 30 días I =5.000 * 38,67 * 0,0075 =1.450 Respuesta Nota: Fíjese que en este ejercicio la tasa esta expresa de en meses por lo que debe transformarse el tiempo también a meses b. $8.000 durante 7 meses 15 días al 1,5% mensual. C = $8000 t =7,5 i = 0,015 7 meses + 15 días * 1 mes =7,5 meses 30 días I = 8.000 * 7.5 * 0,015=$900. Respuesta 1.2 Un señor pago $2.500,20 por un pagaré de $2.400, firmado el 10 de abril de 1996 a un con 41/2 %de interés. ¿En qué fecha lo pagó? VF = 2.500,20 C =2.400 i = 0.045 t =? VF = C (1 + i * t) 2.500,20 = 2400 (1 + 0,045 * t) 0,04175=0,045 t t = 0,9277 años Respuesta 10 de marzo de 1997 Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15 de julio con vencimiento a 150 días. El 200de octubre del mismo maño lo ofrece a otro inversionista que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista? VF =120.000(1 + 0,08 * 150) =124.000 360 124.000(1 + 0,1 * 53)-1= 122.000,93 Respuesta 360 Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagará tiene como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que exceda al plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70 días después del vencimiento?



VF = 14.000(1 + 0,08 * 3) = 14.280 Valor de vencimiento 12 VF = 14.280(1+0,1 * 70) =14.557,67 respuesta - valor de mora. 360 Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $ 20.000 con vencimiento para el 13 de agosto y recibe & 19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o matemático se le descontó el pagaré? VF =VP (1+ i * t) 20.000=19.559,90 (1 + i * 90) 360 i =0, 09 �9% Respuesta



GEOMETRIA PLANA Unidades de longitud EQUIVALENCIA ENTRE LAS DISTINTAS UNIDADES DE LONGITUD La principal unidad de longitud es el metro. Cada unidad de longitud es 10 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 10 veces menor que la unidad inmediata superior.

PASO DE COMPLEJO A INCOMPLEJO • Una cantidad está escrita en forma incompleja cuando se expresa en una sola unidad y está escrita en forma compleja cuando se expresa en distintas unidades. Ejemplo: Forma incompleja 125 m Forma compleja 1 hm 2 dam 5 m Ejemplo: 0,4 km = 0,4 x 1.000 = 400 m 2 hm = 2 x 100 = 200 m 6 dam = 6 x 10 = 60 m 660 m Forma compleja 0,4 km 2 hm 6 dam 660 m Forma incompleja PASO DE INCOMPLEJO A COMPLEJO Para pasar de incomplejo a complejo, basta colocar la cantidad dada en forma incompleja en el cuadro de unidades. Ejemplo 1: 234 m



Forma incompleja 234 m 2 hm 3 dam 4 m Forma compleja Ejemplo 2: 12,42 dam

Forma incompleja 12,42 dam 1 hm 2 dam 4 m 2 dm Forma compleja

ÁREA Y PERÍMETRO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS BÁSICAS

La siguiente tabla resume los perímetros y las áreas de cuatro figuras geométricas básicas:

FIGURA PERÍMETRO ÁREA

cuadrado de lado x 4x x2

rectángulo con

base b y altura h

2b + 2h bh

triángulo con

base b y altura h

sumar las longitudes de los tres lados

(1/2)bh

círculo de radio r 2� r (el perímetro de un círculo se llama circunferencia)

� r2



1 - Comencemos por los rectángulos: Toma el papel cuadriculado y dibuja rectángulos de distinta forma y dimensiones. Considera uno de ellos, llámalo ABCD, llama u al lado del cuadrito, u2 es nuestro cuadrado unidad.

¿Cuál es el área de ABCD? ¿Cuál es el perímetro de ABCD?

b) Perímetro ABCD = 2 (6 + 4) (u) = 2 x 10 (u)

= 20 (u)

EJEMPLO:

Encontrar el área total (unidades cuadradas) y el perímetro exterior (unidades lineales) de la siguiente figura. La parte superior es un semicírculo.



Figuras planas. Perímetros y Ángulos

Si construimos un polígono con la herramienta Polígono podemos mediate las propiedades conocer/visualizar su área. Sin embargo no conocemos las medidas de los lados. Por ello, para construir un polígono, lo mejor es hacerlo meidante Segmento y posteriormente, si necesitamos su área o necesitamos colorearlo, usamos Polígono sobre los mismos vértices.

En el ejemplo anterior, además de las herramientas que aparecen más arriba, también se ha usado la herramienta Ocultar objeto para esconer los vértices. Observa cómo en los ángulos rectos no se usa la medida 90, sino un cuadradito.

Perímetro (primeras fórmulas)

Usaremos las herramientas:

Fórmula para obtener el Perímetro (suma de los lados). De paso obtenemos también la suma de los ángulos:

Hemos usado la herramienta fórmula completando los campos Explicación y Expresión Aritmética



Unidades de superficie

EQUIVALENCIA ENTRE LAS DISTINTAS UNIDADES DE SUPERF ICIE La principal unidad de superficie es el metro cuadrado. Cada unidad de superficie es 100 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 100 veces menor que la unidad inmediata superior.

UNIDADES AGRARIAS Para medir las extensiones de los campos se utilizan otras unidades de superficie, llamadas unidades agrarias. Las unidades agrarias son: el área (a), la hectárea (ha) y la centiárea (ca). Sus equivalencias son:



Áreas

¿Qué es el área de un polígono?

Por tanto, Laura lleva más pared cubierta.

Para calcular el área de una superficie debemos compararla con otra que elegimos como

unidad de superficie, y averiguar el número de unidades que contiene.

Área del rectángulo

Teniendo en cuenta la definición que hemos visto para el área de una figura, podemos

aplicarla a figuras sencillas y obtener expresiones generales para cada una de ellas.

Observa cómo se deduce cuál es el área de un rectángulo:

⇒

El número de unidades es = 5 2 10⋅ = ⇓ es decir Área del Rectángulo = 5 2 10⋅ = u.a. En general: h b

Laura y Javier están poniendo los azulejos de su

cocina. ¿Quién ha cubierto más pared?

Las dos superficies cubiertas tienen formas

diferentes. Para saber cuál de las dos es mayor

utilizamos un cuadrado como unidad de medida ;

por ejemplo, un azulejo.



Área del Rectángulo = b h⋅ Área del Cuadrado

⇒

El número de unidades es = 5 5 25⋅ = ⇓ es decir Área del Cuadrado = 5 5 25⋅ = u.a. En general: a

Área del Cuadrado = 2a a a⋅ = a



Formulas de Áreas de figuras planas ÁREA DEL TRIÁNGULO

El área del triángulo es igual al semiproducto de la base por su altura.

Ejemplo:



TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

De esta fórmula se obtienen las siguientes:



ESTADISTICA BASICA

¿CÓMO PRODUCIR DATOS? Para empezar es necesario la conveniencia de que apoyes tus decisiones en información cuantitativa, es decir, en datos. La información completa es en general imposible o toma un tiempo y costos excesivos. Por otro lado, todos los instrumentos de medición tienen una precisión limitada. El muestreo permite obtener conclusiones basadas en una información limitada. Población. Se denomina población al conjunto total de objetos o individuos de interés en estudio. A cada elemento de la población se le llama individuo o unidad. El tamaño de la población es el número de unidades que la conforman. El número de objetos o individuos que componen la población se denota por N. En general si el tamaño N de la población es muy grande, el tiempo y el costo de observar cada uno de los elementos es muy alto. Estas razones, entre otras, nos obligan a restringirnos a observar un subconjunto (una parte) de la población. Se denomina muestra a un subconjunto de unidades seleccionadas de la población de interés. El número de objetos o individuos que componen la muestra es denominado tamaño muestra y usualmente se denota por n.

Cambia todo cambia: ¿Por qué eres tan variable? Si observas a tus compañeros notarás que ellos tienen distintos color de pelo, distinto tipo de cabello, distinto peso, altura y obtienen distintos promedios en matemática. A algunos la actividad que más les gusta es hacer deportes, a otros ir al cine, bailar, estudiar, etc. En fin, las características o rasgos de tus compañeros varían. Las opiniones de la personas sobre una teleserie o alguna reforma del gobierno varían. Las personas opinan y votan de manera diferente. Estas características que varían de individuo a individuo se denominan variables.

Unidad



• Se llama variable estadística o simplemente variable a cualquier característica asociada a una colección de objetos o individuos bajo estudio susceptible de medición u observación.

• Un dato es un valor de la variable asociada a un elemento de una población o muestra.

Los datos u observaciones es el conjunto de valores que toma esta variable en cada individuo u objeto observado (encuestado).

ENCUESTA El siguiente cuestionario busca recabar información general sobre los alumnos de esta clase. Nombre:___________________ Edad (en años cumplidos):_________________ Sexo: (M) (F):_______ Estatura (en centímetros.):_______ Peso (en Kilogramos):_________ ¿Pololeas? SI:_____ NO:_______ Otro:________________ Número de hermanos:________ Lugar de nacimiento (Región y ciudad):______________ Número de horas promedio que dedica al estudio:_______ Asignatura que más le agrada:_______________________ Pulso antes del ejercicio físico:____________ Pulso después del ejercicio físico:___________ Básicamente hay dos clase de variables: variables que obtiene información cualitativa y variables que obtienen información cuantitativa. Dentro de las variables cualitativas distinguimos dos tipos.

• Variables cualitativas nominales: son aquellas cuyos posibles valores son clases o categorías, que clasifican los elementos observados, pero no lo ordenan. Ejemplo: sexo, estados civil, nombre, equipo favorito,...

Ejercicio: Identifica dos variables cualitativas nominales que proporcionen información

sobre la personalidad de tus compañeros.

• Variables cualitativas ordinales: son aquellas cuyos valores son categorías o

clases que clasifican y ordenan los elementos observados. Ejemplo: estrato social, grados militares, nivel educacional (educación básica, media, superior), etc.

Ejercicio: Identifica dos variables cualitativas ordinales que proporcionen información sobre los clientes de un banco. De manera similar, las variables cuantitativas pueden clasificarse en:



• Variables cuantitativas discretas: son aquellas cuyos valores forman un

conjunto numerable de números, que surgen frecuentemente de un conteo, como por ejemplo número de hermanos.

• Variables cuantitativas continuas: son aquellas cuyos posibles valores forman un intervalo de números reales y que resultan normalmente de una medición, como por ejemplo estatura o peso de un individuo. No obstante muchas variables continuas son discretizadas en su uso diario. Por ejemplo, habitualmente medimos edad en años, peso en kilos, etc.

Ejercicio: Menciona dos variables que proporcionen información sobre los clientes de una tienda de ropa. Ejercicio: Determina si las siguientes variables son cualitativas o cuantitativas.

a. El peso de las cartas en el correo. b. Medio de transporte utilizado para ir al trabajo c. El número de canciones de un disco compacto d. El número de días que llueve en un mes del año. e. La temperatura al amanecer en Punta Arenas f. El color de un edificio g. La cantidad de lluvia caída en una estación del año en la Región h. Puntaje obtenido en la PSU i. La religión de cada persona j. El largo de una falda k. La edad mínima para poder votar l. El tiempo de música en un disca compacto

Piensa en lo siguiente: � Los encargados de pesar las encomiendas que salen del terminal

de buses de Concepción en cierto día registraron los siguientes valores: 9kg., 5kg., 4kg., 3kg., 12kg., etc.

Todos los valores son números enteros, ¿implica esto que la variable es discreta?

� La variable peso es continua. Se ha medido el peso, se redondea el valor obtenido. Una encomienda donde se registro un valor de 9kg., podría realmente pesar 9.3kg. o 8,995, o cualquier valor en el intervalo que va desde 8.5 a 9.5.

� Punto clave: La apariencia de los datos después que ellos han sido registrados, puede llevar a confusión respecto al tipo de variable que ha sido observada.

� Considera nuevamente la variable peso. Supón que las encomiendas que pesan 5 kilos o menos son clasificadas como livianas, las que pesan 20 kilos o más como pesadas y las más de 5 y menos de 20 kilos como moderadas. Ahora los encargados registran los valores: liviano, moderado y pesado, implica esto que la variable es cualitativa?

� Punto clave: El tipo de variable depende principalmente del proceso de medición, no de la propiedad que es observada.



Es importante hacer muchas preguntas sobre el origen de los datos y como fueron obtenidos. ¿Qué se está midiendo?¿Cómo se esta midiendo?¿Quién efectúa las mediciones?¿Cuándo fueron realizadas las observaciones?

No importa cual sea la variable respuesta; si la herramienta de medición es suficientemente exacta habrá variabilidad en lo datos. Uno de los objetivos primordiales del análisis estadístico es la medición de la variabilidad. Por ejemplo, en el estudio de control de calidad, la medición de la variabilidad es absolutamente indispensable. Controlar (o reducir), la variabilidad en un proceso de manufactura es todo un campo por sí mismo.

ESTADISTICA

La estadística se ocupa de recopilar datos, organizarlos en tablas y gráficos y analizarlos con un determinado objetivo. La estadística puede ser descriptiva o inferencial. La estadística descriptiva tabula, representa y describe una serie de datos que pueden ser cuantitativos o cualitativos, sin sacar conclusiones. La estadística inferencial infiere propiedades de gran número de datos recogidos de una muestra tomada de la población. Nosotros sólo estudiaremos la estadística descriptiva. En ella debemos tener en cuenta las siguientes etapas:

a) Recolección de datos b) Organización de datos

(1) Tabulación (2) Graficación

c) Análisis y medición de datos a) Recolección de datos Para esta etapa tomaremos los siguientes conceptos básicos: � Población: conjunto de observaciones efectuadas � Individuo: cada elemento de la población. � Atributo: característica investigada en la observación. Estos pueden ser cualitativos

(sexo, religión, nacionalidad) o cuantitativos (estatura, peso, área –estos son continuos, se miden en números reales-; número de hijos, número de goles –discretos, se miden en números enteros-)

Por ejemplo: si se desea realizar un estudio estadístico de las estaturas de los alumnos de tercer año,

� Población: conjunto de estaturas � Individuo: cada estatura � Atributo: la estatura

� Teniendo presente la clasificación, clasifica los siguientes atributos 1. Afiliación política de los habitantes de la Capital de Chile. 2. Cantidad de ganado vacuno en las provincias de la Río Bueno y La Unión.



3. Religión de los padres de familia de la comunidad educativa Santa Cruz. 4. Ingresos de los obreros. 5. Cantidad de alumnos de las diferentes carreras de la Facultad de Ciencias Exacta

en la U.L.A. 6. Sexo de los alumnos de una escuela. 7. Estado civil de los habitantes de la ciudad de Río Bueno. 8. Cantidad de películas nacionales estrenadas durante un año. 9. Color de cabellos de los alumnos de un curso. 10. Puntaje obtenido por los alumnos que ingresan a la carrera de Medicina.

b) Organización de los datos (1) Tabulación: puede ser a través de una serie simple, con la presentación de los datos recogidos en forma de tabla ordenada, o a través de la agrupación de datos, este método se utiliza cuando el número de observaciones es muy grande. Ejemplo: En un curso de 40 alumnos, se desea estudiar el comportamiento de la variable estatura, registrándose los siguientes valores: 1,52 1,64 1,54 1,64 1,73 1,55 1,56 1,57 1,58 1,58 1,59 1,53 1,60 1,60 1,61 1,61 1,65 1,63 1,79 1,63 1,62 1,60 1,64 1,54 1,65 1,62 1,66 1,76 1,70 1,69 1,71 1,72 1,72 1,55 1,73 1,73 1,75 1,67 1,78 1,63 i. Serie simple: � Completa los cuadros siguientes, ordenando los datos obtenidos. Alumno Talla Alumno Talla Alumno Talla Alumno Talla

1 1,52 11 21 31 2 1,53 12 22 32 3 1,54 13 23 33 4 1,54 14 24 34 5 1,55 15 25 35 6 1,55 16 26 36 7 1,56 17 27 37 8 1,57 18 28 38 9 1,58 19 29 39

10 1,58 20 30 40 ii. Agrupación de datos por serie o distribución de frecuencias: se registra la frecuencia de

cada valor de la variable. La frecuencia puede ser absoluta (f), número que indica la cantidad de veces que la variable toma un cierto valor, relativa (fr), cociente entre la frecuencia absoluta de cada valor de la variable y el número total de observaciones; relativa porcentual que es el porcentaje de la fr; frecuencia Acumulada la suma de la fi y la acumulada porcentual, que el la suma de fr% .

� Volviendo al ejemplo anterior, completa la tabla de serie de frecuencias.

x (tallas) Absoluta fi

Relativa fr = f/n

R. Porcentual (100.fr) %

Acumulada Fa

Ac. Porcentual

Fa % 1,52 1 1/40 = 0,025 2,5 % 1 2,5% 1,53 1 1/40 = 0,025 2,5% 2 5% 1,54 2 2/40 = 0,05 5% 4 10%



1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79

� ¿A cuánto es igual el total de la columna de frecuencias absolutas? ¿Por qué? ................................................................................................................................... � ¿A cuánto es igual el total de la columna de frecuencias relativas? ¿Por qué? ................................................................................................................................... � ¿Y el total de la columna de porcentajes? ...................................................................................................................................

Agrupación de datos por intervalos de clase: intervalos iguales en los que se divide el número total de observaciones. Es conveniente utilizar los intervalos de clase cuando se tiene un gran número de datos de una variable continua. ¿Cómo saber cuántos intervalos considerar? ¿Cómo determinar su amplitud?

Primero debemos determinar el rango de los datos, que es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores obtenidos.

Rango = xmáx – xmín � Calcula el rango de los datos de nuestro ejemplo.

....................................................................................................................................

Luego debemos establecer el número de intervalos (N) y determinar la amplitud (A) de los mismos.

A = rango / N (N tu lo eliges, pero es conveniente que no sea muy pequeño) � Si queremos trabajar con 10 intervalos, ¿cuál es, para nuestro caso, la amplitud de

cada uno de ellos? De ser necesario, podemos aproximar el valor hallado



...................................................................................................................................... Siendo el primer intervalo [1,52 ; 1.55) completa la tabla con todos los restantes. Observa que el extremo izquierdo del intervalo se usa un corchete “ [ “, lo que indica que tomamos este valor, en cambio en el derecho usamos “ ) “ que nos indica que el intervalo es abierto, o sea, no se toma este valor. La Marca de clase es el promedio aritmético de los extremos del intervalo.

Tallas Marca de clase (MC)

fi fr fr% Fa Fa%

[1,52 ; 1.55) 1,535 [1,55 ; 1,58) 1,565 [1,58 ; 1,61) 1,595

Totales � Investiga sobre el número de hermanos de cada alumno de tu curso y dispone los

datos obtenidos en una serie o distribución de frecuencias. (3) Gráficos: la recopilación de datos y la tabulación pueden traducirse gráficamente mediante representaciones convenientemente elegidas: barras, sectores circulares, mapas curvas, etc. Los gráficos permiten visualizar e interpretar el fenómeno que se estudia, en forma más clara. Las barras se utilizan generalmente para representar atributos cualitativos o cuantitativos discreto. La longitud es igual a la frecuencia de cada observación. Pueden ser barras simples o múltiples, según se trate de representar uno o más atributos. Las barras pueden ser horizontales o verticales.

0 20 40 60

Gráf. de barras: Evaluación del gobierno X

neutra

negativa

posi tiva



Gráfico de barras compuesto: Remuneraciones medias (año Z)

Los gráficos circulares o gráficos de torta son útiles para comparar datos pues, en general, trabajan con porcentuales. El área de cada sector representa el porcentaje que corresponde a la frecuencia de un cierto valor de la variable. Esta representación es conveniente cuando el número de sectores es pequeño y sus áreas están bien

diferenciadas. Evaluación del gobierno X El histograma se utiliza para representar una tabla de frecuencias de intervalos de clase. Sobre el eje horizontal se representan los intervalos de clase y sobre el eje vertical, las frecuencias de los intervalos. El gráfico consiste en un conjunto de rectángulos adyacentes cuya base representa un intervalo de clase y cuya altura representa la frecuencia del intervalo. El polígono de frecuencias se construye uniendo los puntos medios de los lados opuestos de las bases de cada rectángulo. Si se quiere cerrar el rectángulo, se agregan dos intervalos: uno anterior y otro posterior al último y se prolonga el polígono hasta los puntos medios de estos intervalos. Las curvas se utilizan generalmente para representar la variación de una variable a través del tiempo (años, meses, horas, etc.). Sobre el eje horizontal figuran los períodos de tiempo.

0

100

200

300

400

500

600

Enero Fe brero Ma rzo

Industr ial

Bancario

Adm. Pública

Educativo

Comercio

p o s i t iv a

n e g a t i v a

n e u t r a

p o s i t i v a

n e g a t i v a

n e u t r a



Variación del valor de las importaciones y exportaciones de la Argentina en millones de dólares

Estas son sólo algunas de las formas posibles de graficación y las que encontrarás con más frecuencia. � Construye el histograma y el polígono de frecuencias para la tabla del ejercicio de

intervalos de clase, de la página 3, de las tallas... c) Análisis y medición de datos Para describir un conjunto de datos, se calculan algunas medidas que resumen la información y que permiten realizar comparaciones. Medidas de posición: se utilizan para encontrar un valor que represente a todos los datos. Las más importantes son: la media aritmética, la moda y la mediana. � La media aritmética o promedio ( x ) de varios números se calcula como el cociente

entre la suma de todos esos números y la cantidad de números que sumamos. � La moda (Mo) es el valor que más se repite. Puede suceder que haya más de una

moda o ninguna (si todos los valores tienen igual frecuencia). � La mediana (Me) es el valor que ocupa el lugar central al ordenar los datos de menor a

mayor. Si la cantidad de datos es par, la mediana es el promedio entre los dos valores centrales.

� Los sueldos de cinco empleados de una empresa son: $ 400000, $500000, $450000,

$600000 y $3500000. Calcula el sueldo medio, la moda, si es que existe, y la mediana e indica cuál representa mejor a los datos.

� El entrenador de un equipo de natación debe elegir a uno de sus integrantes para la

próxima competencia de estilo libre. Según los tiempos en segundos que obtuvieron los postulantes de las cinco últimas carreras de 100 m de estilo libre, ¿qué nadador le conviene elegir?

Diego 61,7 61,7 62,3 62,9 63,1 Tomás 61,5 62,9 62,9 63,7 63,7

0200400600800

10001200140016001800

importación de la Argentina

exportación de la Argentina



Sergio 60,7 62,4 62,7 62,7 63,2 Para poder decidir, calcula las medidas de posición de cada uno.

promedio moda mediana Diego 62,34 61,7 62,3 Tomás Sergio

En promedio, los nadadores más rápidos son ................................ y ................................., pero esto no significa que hayan tenido el mismo rendimiento; por eso necesitamos las otras medidas de posición: de ellos dos, tanto la moda como la mediana indican que ................................ fue más veloz. Sin embargo, para elegir el nadador adecuado, no basta con considerar las medidas de posición, ya que también es necesario que su rendimiento sea parejo, es decir, que los tiempos de sus 100 m libres no tengan mucha dispersión. Medidas de dispersión: nos informan cómo están distribuidos los datos. La más importante es el desviación estándar (σ), que mide la dispersión de los datos con respecto al promedio. Cuanto menor es el desvío estándar, menos dispersos están los datos con respecto al promedio. Para calcular el desvío estándar, seguimos los siguientes pasos: � Calculamos la diferencia entre cada uno y el promedio. � Elevamos al cuadrado cada una de las diferencias anteriores. � Sumamos todos los valores hallados en el paso anterior y dividimos el resultado por la

cantidad de datos. Así obtenemos la varianza. � Calculamos el desviación estándar (σ) como la raíz cuadrada de la varianza.

( )n

xxn

ii∑

=

−

=1

2

σ n: número de datos

� Diego y Sergio, dos de los nadadores del ejercicio anterior, obtuvieron el mismo

promedio y sin embargo sus tiempos están distribuidos de manera diferente. Calcula los desvíos estándares de los tiempos de los nadadores: Tiempos de Diego

xi

(xi – x)

(xi – x)2 61,7 -0,64 61,7 -0,64 62,3 -0,04 62,9 0,56 63,1 0,76 total

Tiempos de Sergio

xi

(xi – x)

(xi – x)2

total



CALCULOS DE ESTADIGRAFOS EN DATOS TABULADOS

Si los datos están agrupados ya sea en tablas de frecuencias simples o en intervalos de clase, debemos utilizar un criterio diferente para calcular los distintos estadígrafos. Analicemos el siguiente ejemplo: Consideremos la siguiente distribución de frecuencias que corresponden a los puntajes de 50 alumnos en una prueba. Intervalos M.C.

(x) fi f·x Fa

[60 – 65) 62,5 5 312.5 5 [65 – 70) 67,5 5 337.5 10 [70 – 75) 72,5 8 580 18 [75 – 80) 77,5 12 930 30 � Intervalo mediano [80 – 85) 82,5 16 1320 46 � Intervalo modal [85 – 90) 87,5 4 350 50 TOTALES

50 3830

La Media Aritmética: ∑∑=

f

xfx

· � 6.76

50

3830==x ptos. ≈ 77 ptos.

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