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ALGEBRA

Es la rama de la Matemtica que estudia la cantidad considerada del modo ms general posible.

Los nmeros enteros y racionales

1.1 Construccin de los nmeros enteros

Seguramente el lector conocer de sobra los nmeros enteros. Estos son:. . . 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

En definitiva los nmeros enteros no son sino los nmeros naturales por duplicado, de modo que mientras la operacin 47 no puede efectuarse con nmeros naturales, tienen en cambio la solucin entera 3.

En primer lugar vamos a indicar como construir los nmeros enteros en teora de conjuntos. Aunque la formalizacin conjuntista no va a ser nuestra preocupacin principal, consideramos ilustrativo detenernos en ello porque se trata de un buen ejemplo del uso de las relaciones de equivalencia, y el lector debera reflexionar sobre esta construccin no solo hasta entenderla, sino hasta verla natural.

En principio podramos definir los nmeros enteros como los nmeros naturales precedidos de un signo +/, con el convenio de que +0 = 0. Esto sera lgicamente aceptable y probablemente es la definicin que ms se ajusta a la idea que el lector tiene de estos nmeros, pero no es la definicin ms prctica ni mucho menos en la que podramos pensar. Por ejemplo, si a partir de dicha definicin queremos definir la suma de dos nmeros enteros deberamos escribir algo as como:

La suma de dos nmeros enteros del mismo signo se calcula sumando sus valores absolutos con el mismo signo. La suma de dos nmeros enteros de signos opuestos se calcula restando sus valores absolutos con el signo del sumando de mayor valor absoluto.

El lector lo habr entendido perfectamente, pero desde un punto de vista lgico es una ley enrevesada y si quisiramos usarla para probar algo tan simple como que (n+m)+r = n+(m+r) nos obligara a distinguir casos y ms casos.La idea para obtener una definicin practica parte del hecho de que un nmero entero puede ser determinado algebraicamente como la resta de dos nmeros naturales. Por ejemplo, el par (8, 3) determina el nmero 8 3 = +5, mientras que el par (3, 8) determina al nmero 3 8 = 5.

No podemos establecer que el nmero entero +5 sera para nosotros el par de nmeros naturales (8, 3), porque, por ejemplo, el par (7, 2) es otro objeto distinto que tendra el mismo derecho a ser identificado con el entero +5.

Entonces nos preguntamos cuando dos pares de nmeros (a, b) y (c, d) dan lugar al mismo nmero entero al restar sus componentes. Obviamente se cumple a b = c d si y solo si a + d = b + c. Ahora observamos que los pares de nmeros naturales y la relacin a+d = b+c no involucran en absoluto nmeros enteros, luego podemos usarlos para definir los nmeros enteros sin que nuestra definicin resulte circular.

Definicin 1.1 Suponemos conocido el conjunto de los nmeros naturales, al que aqu llamaremos N. Definimos en N x N la relacin R dada por (a, b) R (c, d) si y solo si a + d = b + c.

Es fcil probar que se trata de una relacin de equivalencia. Llamaremos [a, b] a la clase de equivalencia del par (a, b), es decir, [a, b] es el conjunto formado por todos los pares relacionados con (a, b).

En los trminos anteriores los elementos de [a, b] son todos los pares que dan lugar al mismo nmero entero que (a, b) al restar sus componentes, con lo que existe exactamente una clase de equivalencia por cada nmero entero.

Por ejemplo, el nmero +5 se corresponde con la clase cuyos elementos son(5, 0), (6, 1), (7, 2),. . . La diferencia lgica es que los nmeros enteros no los tenemos definidos y las clases de equivalencia respecto a la relacin R s.Llamaremos conjunto de los nmeros enteros al cociente Z = (NN)/R. La letra Z es por el alemn Zahl (nmero). Si n es un nmero natural llamaremos +n = [n, 0] y n = [0, n].

Ahora es fcil probar que todo nmero entero [a, b] es de la forma [ab, 0] o bien [0, b a], segn si a es mayor o menor que b, es decir, todo nmero entero es de la forma +n o bien n para un nmero natural n. Adems todos estos son distintos salvo en el caso +0 = 0 = [0, 0].

Llamaremos nmeros positivos a los del conjunto Z+ = {+n | n 2 N, n 6= 0}.Los nmeros negativos sern los del conjunto Z = {n | n 2 N, n 6= 0}. De este modo el conjunto Z se expresa como unin disjunta Z = Z+ [ Z [ {0}.

Para ordenar los nmeros enteros observamos que ha de ser ab