Contenido Circuitos Lineales I

7/12/2019 Contenido Circuitos Lineales I

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F UNDAMENTOS TEÓR ICOS PARA EL

ANÁLISIS D E CIRCUITOS LINEALES

BAJ O CONDICIONES DE OPERACIÓN

EN CORRIENTE D IRECTA

Teoría del Curso IE-209

Preparado por:

Guillermo A. Loría Martínez

Profesor Escuela de Ingeniería EléctricaUniversidad de Costa Rica

2008


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Prefacio

El presente material es el resultado de una iniciativa destinada a establecer un nuevoparadigma en la enseñanza de los primeros cursos propios, de la carrera de Ingeniería Eléctrica dela Universidad de Costa Rica. La experiencia ha demostrado que estos cursos han estado

normalmente sujetos a ser dictados por una población de profesores que tiende a ser variante,

pues se asignan, con cierta regularidad, a profesores de tiempo parcial, provocando que la materiaa cubrir, así como su intensidad, sufran importantes variaciones de un ciclo lectivo a otro.

Para garantizar, en alguna medida, a los estudiantes y a la administración de la unidadacadémica, la estandarización de la materia a ser transmitida, así como la profundidad con que

ella se cubra, se propone una metodología integrada por cuatro componentes: primero, uso

intensivo del Aula Virtual a través de la red Internet como medio facilitador en el proceso de

enseñanza-aprendizaje. Segundo, nuevas tecnologías educativas a través del uso de herramientasaudiovisuales en el proceso formativo. Tercero, disponibilidad, tanto a los profesores como

estudiantes, del material impreso conteniendo la totalidad de la teoría que debe ser cubierta.Cuarto, implementación de procesos de mejoramiento continuo de la calidad, los cuales

permitirán a los profesores de turno proponer, en primera instancia al coordinador del curso,

posibles mejoras en alguno de los tres primeros componentes mencionados; estas propuestas no

serán incorporadas hasta tanto no se cuente con la aprobación del director de departamento, de

este modo lo medular del curso no estará sujeto a alteraciones no oficiales.

La siguiente tabla indica el avance de teoría a cubrir por lección de 100 min. La

distribución de estas lecciones, en la totalidad del ciclo lectivo, abre los espacios para insertar

lecciones para prácticas, evaluaciones o cualquier otra actividad complementaria.

Lección Materia Lección Materia Lección Materia Lección Materia

1 1.1 7 2.11 13 3.7.2 19 5.3

2 1.2 8 2.12 14 4.1 20 6.1

3 1.3 9 3.1-3.2 15 4.2-4.3 21 6.2

4 1.4-1.5 10 3.3 16 4.4 22 6.3

5 2.1-2.3 11 3.4-3.6 17 5.1 23 6.4

6 2.4-2.10 12 3.7.1 18 5.2

Versión 2008-2

Fecha de aprobación Departamento de Automática: 2008-06-26.



Contenido

1. Introducción 11.1 Sistema de unidades 11.2 Definiciones en teoría de circuitos 8

1.2.1 Algo de historia 81.2.2 Carga , corriente eléctrica y voltaje 10’1.2.3 Elemento eléctrico, circuito eléctrico y teoría de circuitos. 14

1.3 Potencia y energía 151.3.1 Potencia 151.3.2 Energía 161.3.3 Convención pasiva de signos 16

1.4 Elementos de circuitos 171.4.1 Elementos activos y pasivos 171.4.2 Fuentes independientes 181.4.3 Fuentes dependientes 20

1.5 Topología de redes. 21

2 Circuitos resistivos 252.1 Ley de Ohm y la resistencia eléctrica 25

2.1.1 La resistencia eléctrica 252.1.2 La resistencia real 272.1.3 Tipos de resistencias 30

2.2 Conductancia 322.3 Circuito abierto y cortocircuito 332.4 Leyes de Kirchhoff 342.5 Elementos en serie 362.6 Elementos en paralelo 362.7 Análisis del circuito de un solo lazo 372.8 Análisis de circuitos con un solo par de nodos 392.9 Divisores de voltaje 402.10 Divisores de corriente 412.11 Análisis de Nodos 432.12 Análisis de Mallas 44

3 Teoremas y Herramientas 473.1 Concepto de Linealidad 473.2 Teorema de Superposición 483.3 Teoremas de Thévenin y Norton 493.4 Teorema de máxima transferencia de potencia 543.5 Transformación de fuentes de tensión y de corriente eléctrica 553.6 Transformación Delta – Estrella 593.7 Herramientas digitales 61

3.7.1 Simulación de circuitos eléctricos 613.7.2 Cálculo numérico y tratamiento de datos 64



4 Elementos Almacenadores de Energía 734.1 Funciones escalón unitario y exponencial 734.2 Elementos almacenadores de energía 774.3 El capacitor ideal y real 78

4.3.1 Capacitores en serie 834.3.2 Capacitores en paralelo 84

4.4 El inductor ideal y real. 854.4.1 Inductores en serie 884.4.2 Inductores en paralelo 89

5 El Circuito de Primer Orden 91

5.1 Circuito RL sin fuentes 915.2 Circuito RC sin fuentes 94

5.3 Respuesta completa del circuito de primer orden 97

6 El Circuito de Segundo Orden 1056.1 El circuito RLC en paralelo sin fuentes 105

6.1.1 Respuesta sobreamortiguada 1096.1.2 Respuesta críticamente amortiguada 1106.1.3 Respuesta subamortiguada 110

6.2 El circuito RLC serie sin fuentes 1126.3 Respuesta completa del circuito RLC 1166.4 Circuitos generales de segundo orden 120

7 Referencias 123



Introducción

1

Capítulo1

IntroducciónEn esta unidad se establecerá la importancia de utilizar adecuadamente el

sistema de unidades oficial. Además se incursionará parcialmente en el uso de este sistemaasí como algunas observaciones sobre su nomenclatura.

1.1. Sistema de Unidades1.1.1. Ley 5292

En primera instancia debe plantearse con suma claridad lo que establecen losartículos primero y segundo de la Ley 5292, aprobada por la Asamblea Legislativa de laRepública de Costa Rica en 1973 y aún vigente:

Artículo 1°.- Se adopta para uso obligatorio en la República, con exclusión

de cualquier otro sistema, el Sistema Internacional de Unidades, denominado

internacionalmente bajo las siglas "SI", basado en el Sistema Métrico Decimal, en

sus unidades básicas, derivadas y suplementarias de medición.

Artículo 2°.- Para todo acto legal en que se haga, referencia a mediciones

de cualquier tipo, será obligatorio y exclusivo el uso de las unidades de dicho

sistema. Los tribunales de justicia o cualquier otra dependencia estatal, no

aceptarán los documentos que se les presenten si no se ajustan de cualquier modo a

esta disposición.

Considerando el alcance de la ley, se concluye la importancia de respetar en todos susextremos lo concerniente a lo que ella establece, específicamente lo relacionado con el usodel Sistema Internacional de Unidades (SI), el cual considera que es un sistema de unidadescoherente y universal. Además, establece que las unidades legales deben tomar como baseel SI, sancionado por la Conferencia General de Pesos y Medidas (CGPM).

El Sistema Nacional de Calidad fue creado en el año 2002 a través de la Ley 8279,derogó únicamente los artículos 7, 8, 9 y 10 de la Ley 5292, dejan intactos los artículo 1 y 2ya citados.

1.1.2. Decreto 29 660 y Alcance a la Gaceta Universitaria 8-85

En el año 2001 se publicó el Decreto 29 660 del Ministerio de Economía, Industria yComercio (MEIC), por medio del cual se aprobó el Reglamento RTCR 26:2000Metrología. Unidades Legales de Medida. Esto con el fin de armonizar las políticas y elcapítulo de reglamentos técnicos, para poder participar más activamente en los acuerdos bilaterales y multilaterales, produciendo beneficios como la homologación, unificación y



Introducción

2

universalización de criterios. Los principios generales para la escritura de los símbolos delas unidades y sus nombres fueron propuestos por la 9ª CGPM (1948, Resolución 7) y posteriormente fueron adoptadas y elaboradas por el comité técnico ISO/TC 12 (ISO 31Cantidades y unidades).

También, en el Alcance a la Gaceta Universitaria 8-85 del 28 de mayo de 1985, laVicerrectoría de Docencia solicita a todas la unidades que “…considera conveniente y

obligado, velar porque los procesos de enseñanza–aprendizaje, investigación, acción

social y otras actividades, se esté cumpliendo con lo estipulado respecto a las unidades

básicas, derivadas y suplementarias del Sistema Internacional de Unidades, SI…”. Yagrega “… girar las instrucciones para que los profesores de su unidad académica

dispongan de esta información y la utilicen correctamente en la docencia.”

A continuación se presentan los aspectos esenciales relacionados con el DecretoEjecutivo 29 660 en total concordancia con lo expuesto por Oficina de Pesos y Medidas através de la CGPM.

Las unidades SI están divididas en: unidades básicas y las unidades derivadas

1.1.3. Unidades básicas

Magnitud Nombre Símbolo

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad de corriente eléctrica ampere A

Temperatura termodinámica kelvin K

Cantidad de sustancia mole mol

Intensidad luminosa candela cd



Introducción

3

1.1.4. Unidades SI derivadas con nombres y símbolos especiales.

Magnitud Nombre Símbolo Expresión enotras unidades SI

Expresión enunidades SI básicas

Frecuencia hertz Hz s-1

Fuerza newton N m·kg·s-2

Presión pascal Pa N·m-2 m-1·kg·s-2

Energía, trabajo, cantidad de calor joule J N·m m2·kg·s-2

Potencia watt W J·s-1 m2·kg·s-3

Cantidad de electricidad cargaeléctrica

coulomb C s·A

Potencial eléctricofuerza electromotriz

volt V W·A-1 m2·kg·s-3·A-1

Resistencia eléctrica ohm Ω V·A-1 m2·kg·s-3·A-2

Capacidad eléctrica farad F C·V-1 m-2·kg-1·s4·A2

Flujo magnético weber Wb V·s m2·kg·s-2·A-1

Inducción magnéticaDensidad de flujo magnético

tesla T Wb·m-2 kg·s-2·A-1

Inductancia henry H Wb·A-1 m2·kg s-2·A-2

Conductancia eléctrica siemens S A/V m−2 kg−1 s3 A2

Temperatura Celsius grado Celsius oC K

1.1.5. Múltiplos y submúltiplos decimales

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo

1024 yotta Y 10-1 deci d

1021 zeta Z 10-2 centi c

1018 exa E 10-3 mili m

1015 peta P 10-6 micro µ

1012 tera T 10-9 nano n

109 giga G 10-12 pico p

106 mega M 10-15 femto f

103 kilo k 10-18 atto a

102 hecto h 10-21 zepto z

101 deca da 10-24 yocto y



Introducción

4

1.1.6. Reglas para el uso de los nombres y símbolos de las unidades SI

Símbolos de las unidades SI

Los símbolos del SI (y también algunos símbolos de unidades fuera del SI) se deben

escribir de la siguiente manera.

• Los símbolos de las unidades deben ser impresos en caracteres romanos (recto).En general, los símbolos de las unidades se escriben en minúscula, pero, si elnombre de la unidad es derivado de un nombre propio, la primera letra delsímbolo es mayúscula (por ejemplo, tesla, T; newton, N; watt, W; weber, Wb).

• Los nombres de las unidades no se traducen y deben escribirse en minúscula,excepto cuando sean inicio de oración. La única excepción es la unidad gradoCelsius, en la cual Celsius se escribe con C mayúscula. Ejemplo. La unidad SI para la fuerza es el newton. El tesla es la densidad de flujo magnético. El paciente tenía una temperatura de 40 grados Celsius. El voltaje es de 120 volts

(no voltios)• Los símbolos de las unidades son entidades matemáticas universales y no unaabreviatura, por lo tanto no van seguidas de punto y no se pluralizan (por ejemplo, el símbolo del segundo es s, y no sec. ni s.; se escribe 3 kg y no 3 kg.ni 3 kgs).

• Los símbolos de las unidades no deben ser seguidos de un punto, a no ser que seencuentren al final de una oración.

Para asegurar la uniformidad en el uso de los símbolos de las unidades del SI sedeben seguir las siguientes instrucciones:

• Cuando una unidad derivada es formada por la multiplicación de dos o más

unidades, se expresa con la ayuda de los símbolos de las unidades separados por un punto de media altura o por un espacio. Si no existe riesgo de confusión(como es lo más común) se puede omitir el espacio, por ejemplo N · m, N m ó Nm. La cruz (x) no debe ser usada como símbolo de multiplicación entre lossímbolos de las unidades.

• Cuando una unidad derivada es formada por la división de una o más unidades,se expresa con la ayuda de la barra oblicua (/), una línea horizontal o por

exponentes negativos, por ejemplo -1mm/s m s

s⋅ .

• La barra oblicua (/) no debe estar seguida, en la misma línea, por otra barraoblicua, de un signo de multiplicación o de división, a menos que se usen

paréntesis para evitar la ambigüedad. En casos complicados, los exponentesnegativos y paréntesis deben ser usados para evitar la ambigüedad. Por ejemplo, m/s2 o m · s-2, pero no m/s/s. También m · kg/ (s³ · A) óm · kg · s-3 · A–1 pero no m · kg/s³/A ni m · kg/s³ · A.



Introducción

5

1.1.7. Reglas para el uso de los prefijos del SI

Los prefijos deben ser impresos en caracteres romanos (recto), sin dejar espacio entreel símbolo del prefijo y el símbolo de la unidad.

La unión del prefijo adicionado al símbolo constituyen un nuevo símbolo inseparable

(de un múltiplo o submúltiplo de la unidad) que puede ser elevado a potencias negativas o positivas y combinado con otros símbolos para formar símbolos de unidades compuestas.

Ejemplos

1 cm³ = (10-2 m)³ = 10-6 m³1 µs

-1= (10

-6s)

-1= 10

6s

-1

1 V/cm = (1 V)/(10-2 m) = 10² V/m1 cm-1 = (10-2 m)-1 = 10² m-1

• No se deben utilizar prefijos compuestos, es decir por yuxtaposición de

múltiples prefijos.Por ejemplo, se puede escribir: 1 nm, pero no: 1 mµm.

• Los prefijos nunca deben usarse solos.Por ejemplo 106 /m³, pero no M/m³.

Los símbolos SI

Los símbolos de las unidades son entidades matemáticas universales y no unaabreviatura, por lo tanto, la siguiente expresión es válida

38º C 38ºC

T T = ⇒ =

Lo cual es muy útil para escribir tablas o denominar los ejes de un gráfico.

Uso de la coma

Para separar la parte entera de la decimal debe usarse siempre la coma (,) y no el punto (.).

Ejemplo, se escribe 245,76 m, pero 245.76 m no es aceptado.

Uso del espacio

Para la escritura de cantidades con unidades del SI, se debe dejar un espacio entre lacantidad y el símbolo (como se puede notar a lo largo de este documento).

Ejemplos: 1 m 25 cm³ 123,56 m/s² • Las únicas excepciones a esta regla son las unidades grado, minuto y segundo

para ángulo plano, en cuyo caso no debe existir el espacio entre el valor numérico y la unidad. Por ejemplo, 30°



Introducción

6

• Debe tenerse cuidado que las expresiones escritas reflejen exactamente, y sinambigüedades, lo que ella expresa. Ejemplo, si se quiere expresar que el valor de una magnitud puede diferir en 2 metros, en más o en menos, se debe escribir para expresar el ámbito: 25 m ± 2 m ó (25±2) m pero no 25 ± 2 m ni 25m ± 2.

o bien puede escribirse "de 23 m a 27 m" pero no "de 23 a 27 m". • Para la notación de cantidades de muchas cifras, se utilizará un espacio cada tresnúmeros a partir de la coma decimal y antes o después de la coma decimal. Paracifras de cuatro números, el uso del espacio es optativo. Ejemplos:

123 456 7891 234 567,8912 345,6789 o bien 12 345,678 91234,567 89 o bien 1 234,456 789

Otras unidades

Tiempo

El minuto (símbolo: min) 1 min = 60 sLa hora (símbolo: h) 1 h = 60 min = 3 600 sEl día (símbolo: d) 1 d = 24 h = 86 400 s

Volumen

El litro (símbolo: l o L) 1L = 1 dm³ (Se usa la mayúscula “L” en caso deconfusión con el número “uno”)

Se permite el uso de múltiplos y submúltiplos, por ejemplo: 2 ML.

Masa

La tonelada (símbolo: t) 1 t = 1000 kgSe pueden aplicar también los múltiplos y submúltiplos, por ejemplo: 1 kt.

1.1.8. Otros estándares útiles

Monedas, ISO 4217

Los prefijos estudiados pueden ser usados en otras unidades diferentes a las unidadesfísicas de medida. El estándar internacional ISO 4217 (aún no es de uso obligatorio en el

país) fue creado por la ISO con el objetivo de definir códigos de tres letras para todas lasmonedas del mundo.

Algunos ejemplos son: BRL, Real brasileño; BYR, Rublo bielorruso; BZD, Dólar deBelice; CAD, Dólar canadiense; CDF, Franco congoleño; CHF, Franco suizo; CLP, Pesochileno; COP, Peso colombiano; CRC, Colón costarricense; CUP, Peso cubano; DOP, Pesodominicano; NIO, Córdoba nicaragüense; USD, Dólar estadounidense, etc.



Introducción

7

De esta forma, puede utilizarse 30 kCRC = 30 000 CRC (treinta mil colones deCosta Rica); 30 MCOP (treinta millones de pesos colombianos). 25 cUSD (veinticincocentavos de dólar). Se deben evitar las notaciones nacionales como $, £, ¢, sobre todo en elcontexto internacional, pues existen varias monedas con el mismo símbolo.

Prefijos para cantidades binarias

En 1998 la Comisión Electrotécnica Internacional (IEC) aprobó nombres y símbolos para los prefijos de los múltiplos binarios que deben utilizarse en la transmisión y el proceso de datos. Algunos de los prefijos aprobados son los siguientes:

Factor Nombre Símbolo Origen Derivación210 kibi Ki kilobinario: (210)1 kilo: (103)1

220 mebi Mi megabinario: (210)2 mega: (103)2

230

gibi Gi gigabinario: (210

)3

giga: (103

)3

240 tebi Ti terabinario: (210)4 tera: (103)4

Es importante mencionar que estos nuevos prefijos no son parte del SistemaInternacional de Unidades (SI); sin embargo, para facilitar su asimilación, ellos se handerivado de los prefijos SI correspondientes a las potencias de 10.

Ejemplos y comparación con los prefijos SI Un kibibit 1 Kibit = 210 bit = 1024 bit Un kilobit 1 kbit = 103 bit = 1000 bit Un mebibyte 1 MiB = 2

20B = 1 048 576 B

Un megabyte 1 MB = 106 B = 1 000 000 B

Un gibibyte 1 GiB = 230 B = 1 073 741 824 B

Un gigabyte 1 GB = 109

B = 1 000 000 000 B

Fecha y hora, ISO 8601

El estándar internacional ISO 8601, que tampoco aún es de uso obligatorio en el país,fue creado por la ISO con el objetivo de estandarizar la escritura de la fecha y la hora. Parael caso de la fecha, la forma general es: AAAA-MM-DD, por ejemplo el 5 de marzo del

año 2007, se expresa como 2007-03-05.

También puede utilizarse para expresar una semana determinada, a saber AAAA-WSS1, por ejemplo la semana 32 del año 2010 se denota como 2010-W32. Inclusive se puede especificar el día de la semana, por ejemplo el martes de la semana 32 del año2010 se expresará como 2010-W32-02.

1 La primera semana es la semana con la mayoría de días en el nuevo año.



Introducción

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Para expresar la hora, se utiliza el formato: hh:mm:ss, así, las 2 de la tarde con 30minutos y 2 segundos se escribirá como 14:30:02. Para combinar fecha y hora, se escribela letra “T” para separar una de la otra, a saber: AAAA-MM-DDThh:mm:ss. Ejemplo, las2 de la tarde con 30 minutos y 2 segundos del 3 de enero del año 2005 , se escribirá

como: 2005-01-03T14:30:02.

1.2. Definiciones en teoría de circuitosLa teoría de circuitos y el electromagnetismo son teorías sobre las que se

fundamentan todas las ramas de la ingeniería eléctrica. Los conceptos estudiados y lasherramientas propuestas permitirán entender el comportamiento, de los dispositivos, enfunción de sus interrelaciones y de su entorno. Para iniciar, se hace estrictamente necesarioel conocer algunos conceptos que resultan fundamentales para construir el conocimiento enesta temática.

Desde un comienzo, la humanidad ha procurado dominar el medio ambiente para

aprovecharlo y facilitar su vida. Los circuitos eléctricos son, en este marco, herramientasque han permitido comprender más fácilmente ese ambiente, facilitando las laborescotidianas y, como resultado inmediato, ofreciéndole, al ser humano, un mayor confort.

Los siguientes párrafos describen una breve reseña histórica de las principales personas que han estado asociados al desarrollo de los conceptos fundamentales de laelectricidad y el magnetismo.

1.2.1. Algo de historia

Con bastante certeza se afirma que el filósofo Tales de Mileto (640 - 546 A.C.), fue el primero en observar con atención las propiedades del ámbar, que al ser frotado atraíaobjetos livianos, también trabajó con la magnetita para atraer objetos de hierro.

En el año 1600 D. C. se publicó en Inglaterra el libro "De Magnete", del médico británico William Gilbert, quién aplicó, por primera vez, el término "eléctrico" (del griego"ámbar"), para describir el fenómeno de atraer objetos después de ser frotadas ciertassustancias y publicó una lista de cada una ellas.

El primer instrumento construido para generar carga eléctrica fue descrito en 1672 en

el Experimento Nova de Otto von Guericke. Este dispositivo estaba compuesto por unaesfera que se podía girar sobre unas balineras, de esta forma inducía una carga que, cuandose apoyaba la mano sobre ella, se notaban pequeñas chispas que hacían que la esfera sedescargara.

El científico francés Charles François de Cisternay Du Fay, fue el primero endistinguir claramente los dos tipos de carga eléctrica: positiva y negativa.



Introducción

9

En 1746 Pieter van Musschenbrock presentó una botella, llamada “botella deLeyden” (por el sitio donde fue construida), recubierta de estaño y de la cual salía unavarilla a través de un tapón. Esta botella se utilizaba para almacenar carga eléctrica.

En junio de 1752 el inventor Benjamín Franklin realizó su experimento de la cometa,con el cual demostró que la electricidad atmosférica es la que provocaba los fenómenos derelámpago y trueno, siendo estos de la misma naturaleza que la carga electrostáticaalmacenada en una botella de Leyden.

El químico británico Joseph Priestley, alrededor del año 1766, demostróexperimentalmente la ley que demuestra que la fuerza existente entre dos cargas esinversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas, así como que la carga sedistribuye uniformemente sobre la superficie de una esfera hueca y que en su interior noexiste carga ni campo eléctrico.

Charles Coulomb, inventó la balanza de torsión para determinar el valor exacto deesta fuerza y en su experimento encontró que esa fuerza es directamente proporcional al producto de las dos cargas involucradas.

El médico italiano Luigi Galvani, por accidente, mientras disecaba una pata de rana,su bisturí tocó accidentalmente un gancho de bronce del que colgaba la pata. Se produjouna pequeña descarga y la pata se contrajo espontáneamente. Esto lo llevó a concluir, através de muchas experiencias, que aplicando una pequeña corriente eléctrica a la médulaespinal de una rana, se producían grandes contracciones musculares en los miembros de lamisma. Estas descargas podían lograr que las patas saltaran igual que cuando el animalestaba vivo.

Otro italiano, Alessandro Volta, construyó una pila electroquímica que estabaconformada por pares de discos de zinc y plata separados por tela o papel empapados ensalmuera, si se colocaba la mano en cualquiera de sus extremos se tenía la sensación de unflujo de corriente recorriendo el cuerpo. En 1800 Volta demostró que existe una corrienteestable en un camino cerrado y 54 años después de su muerte se le recuerda dándoleoficialmente el nombre de “volt” a la unidad de fuerza electromotriz.

Faraday realizó numerosas contribuciones, entre ellas la jaula que lleva su nombre, por medio de la cual se demostró en la práctica la teoría de la esfera de Joseph Priestley ,también desarrolló teorías sobre las líneas de fuerza eléctrica.

André-Marie Ampère denominó todos estos estudios con el nombre de Electrostática y durante 1820 definió la “corriente eléctrica” y concibió medios para medirla. En 1881 fuehonrado dando su nombre a la unidad de corriente eléctrica.

Alrededor de 1840, James Prescott Joule y el científico alemán Hermann vonHelmholtz demostraron que los circuitos eléctricos cumplen la ley de conservación de laenergía y que, por lo tanto, la electricidad es una forma de energía.



Introducción

10

El físico matemático británico James Clerk Maxwell, realizó una contribuciónimportante al estudio de la electricidad. Maxwell investigó las propiedades de las ondaselectromagnéticas y las de la luz, concluyendo que ambas tienen la misma naturaleza. Sutrabajo abrió el camino al físico alemán Heinrich Hertz, quien en 1886, transmitió y detectó

ondas eléctricas en la atmósfera. Posteriormente, en 1896, el ingeniero italiano GuglielmoMarconi empleó esas ondas para producir el primer sistema práctico de señales de radio.

La teoría de los electrones, que forma la base de la teoría eléctrica moderna, fue presentada por el físico holandés Hendrik Antoon Lorentz en 1892. El primero en medir con precisión la carga del electrón fue el físico estadounidense Robert Andrews Millikan,en 1909. El uso generalizado de la electricidad como fuente de energía se debe, en granmedida, a ingenieros e inventores pioneros como Thomas Alva Edison, Nikola Tesla oCharles Proteus Steinmetz.

1.2.2. Carga eléctrica, corriente eléctrica y voltaje

Carga eléctrica

La carga es la unidad fundamental de la energía eléctrica y, por definición, seestablece que es indivisible. La carga eléctrica es una propiedad intrínseca de algunas partículas subatómicas y se manifiesta mediante movimientos de atracción o repulsión.Existen dos tipos de carga, una negativa, la cual se denomina electrón, y una carga positivaque se denomina protón, tal y como se muestra esquemáticamente en la figura 1. Tambiénexiste un elemento neutro el cual se llama neutrón. En la naturaleza se pueden encontrar electrones libres como cargas negativas, pero no se pueden encontrar protones libres comocargas positivas, la carga positiva, en forma natural, se denomina ion positivo o catión y esun átomo al cual le falta uno o varios electrones.

En condiciones normales la materia es eléctricamente neutra, esto cambia cuando las partículas empiezan a ceder o ganar electrones, cargándose positivamente en el primer casoy negativamente en el segundo.

Figura 1. Representación de las cargas eléctricas.



Introducción

11

El símbolo de la carga será Q o q, la letra mayúscula se utiliza para denotar cargas

constantes y la minúscula para cargas que varían en el tiempo. Este tipo de notación seutilizará a través del curso. La unidad de carga es el “coulomb” denotado por la letra C, el

electrón es la unidad de carga elemental y tiene un valor de e

-

= 1,602 x 10

-19

C.

Corriente Eléctrica

Cuando cargas (electrones libres) se mueven a través de los átomos de un conductor de un punto a otro, se dice que a través de este conductor esta pasando una corriente

eléctrica. Por lo tanto, se puede definir una corriente eléctrica como el flujo o movimientode partículas cargadas en una dirección determinada, si la carga es transferida a razón de 1coulomb por segundo, se dice que la intensidad de la corriente es de 1 ampere (1A 1C/s= ).

En forma general la intensidad instantánea de corriente se define en la ecuación (1.1).

( )dq

i t dt

= (1.1)

Integrado la ecuación (1.1) se obtiene:

0 0

0

( )

0( )

0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t q t

t q t

t

t

i d dq q t q t

q t i d q t

τ τ

τ τ

= = −

= +

∫ ∫

∫(1.2)

En la definición de corriente eléctrica dada en la ecuación (1.1) se puede observar,que ella se define como una función en el tiempo, por lo tanto existen muchos tipos decorriente eléctrica, los que comúnmente se utilizan son los siguientes:

Corriente Directa, CD (DC, por si siglas en inglés). Esta es la corriente eléctricautilizada en la mayoría de los circuitos electrónicos y su característica es que la direccióndel flujo de corriente se mantiene en un solo sentido.

Corriente alterna (AC), es la corriente utilizada en la mayoría de las aplicacionesindustriales, comerciales y domésticas. La dirección del flujo de la corriente varía desentido en forma periódica, generalmente de manera sinusoidal.

Corrientes exponenciales y subamortiguadas las cuales son producidas principalmente cuando se opera un interruptor asociado a un circuito que se encuentraenergizado.



Introducción

12

Voltaje o tensión eléctrica

Para poder mover las cargas en un conductor de una forma ordenada, como unacorriente eléctrica, es necesario aplicar una fuerza externa llamada fuerza electromotriz (FEM), la cual ejerce un trabajo sobre las cargas. El voltaje en un campo eléctrico (también

denominado diferencia de potencial o tensión eléctrica) es, por definición: El trabajo oenergía necesaria para mover una carga eléctrica de un punto a otro, ya sea en contra o a

favor de las fuerzas del campo donde la carga se encuentra”, esta relación se expresa en laecuación (1.3). Un volt corresponde al trabajo de un joule al desplazar un coulomb de cargade un punto a otro

( )dw

v t dq

= (1.3)

Para representar el voltaje se tomará la letra V o v de la misma manera que se tomó para las cargas, es decir V para voltajes constantes y v para voltajes que varíen en el tiempo.También será utilizada una convención de polaridad + − como se muestra en la figura 2.

En relación con la figura 2, se puede decir lo siguiente:

• la terminal positiva está a v volts por encima de la terminal negativa.• en términos de trabajo, para mover una unidad de carga (1 C) desde la

terminal negativa hacia la positiva se necesitan v joules de trabajo.

• también se puede decir que ocurre una caída de voltaje cuando la cargase mueve del terminal positivo al negativo y una elevación cuando lacarga tiene el movimiento contrario.

Se puede concluir que el voltaje siempre se mide entre dos puntos y, además, estotalmente factible que exista una tensión eléctrica sin que exista una corriente eléctricaasociada.

Dirección de la corriente

Por convención se ha tomado como sentido positivo de la corriente, el inverso delsentido de las cargas negativas, tal y como se muestra en la figura 3. Esto se debe a que al principio de las investigaciones sobre electricidad se pensaba que la corriente viajaba de lo positivo hacia lo negativo, ahora se sabe que en los conductores metálicos la corriente es elmovimiento de los electrones que son atraídos fuera de sus órbitas, contrario a lo que sehabía establecido. Se sigue utilizando esta dirección por razones históricas y además porque es, en general, la aceptada.

Figura 2. Representación de la convención de la polaridad del voltaje en un elemento eléctrico.



Introducción

13

Para entender mejor estos conceptos obsérvese la figura 4, en donde se muestran doscorrientes equivalentes. En (a) se tiene una corriente que tiene sentido contrario al de laconvención ya que las cargas tienen un movimiento que parten de un terminal negativo auno positivo, esta es la forma en que se mueven los electrones, por lo tanto esta corriente

tiene un valor negativo, por otro lado en la parte (b) se tiene una corriente que va de unterminal positivo a uno negativo por lo tanto esta corriente cumple con la convención y, por lo tanto, tiene un valor positivo.

Cuando una corriente eléctrica pasa por un elemento eléctrico, la corriente serepresenta por una letra i o I dependiendo de sí es una corriente variable o constante en eltiempo, además, es necesario trazar una flecha que identifique el sentido de la misma, tal ycomo se muestra en figura 5.

Figura 3. Sentido de la corriente eléctrica tomado por convencióncomo dirección opuesta a la dirección del movimiento de lascargas eléctricas.

Figura 4. Corrientes equivalentes en donde la dirección y el signo son partede la definición de la corriente.

Figura 5. Representación de una corriente eléctrica a través de un elementoeléctrico.



Introducción

14

1.2.3. Elemento eléctrico, circuito eléctrico y teoría de circuitos

Elemento eléctrico

Para definir correctamente elemento eléctrico, desde el punto de vista funcional, sedebe considerar tanto el voltaje, como la corriente. Un elemento eléctrico es un dispositivode dos o más terminales que pueden estar conectadas con otros elementos entre sí y quetiene, como función, procesar energía eléctrica.

Circuito eléctrico

El circuito eléctrico es la ruta por donde circula una corriente eléctrica. El término seutiliza principalmente para definir un trayecto continuo compuesto por conductores yelementos eléctricos. Un circuito de este tipo se denomina circuito cerrado, sin el trayectono es continuo se denominan circuito abierto. El propósito fundamental de un circuitoeléctrico es mover o transferir cargas a lo largo de trayectorias específicas.

Un circuito eléctrico es un conjunto de elementos eléctricos conectados de unamanera específica que interactúan entre sí para procesar información o energía. Un circuitoeléctrico puede describirse matemáticamente por medio de ecuaciones diferencialesordinarias, que pueden ser lineales o no lineales, variantes o invariantes en el tiempo.

Para facilitar el estudio de los circuitos eléctricos, los elementos se conectan a travésde sus terminales directamente o por medio de conductores ideales, en la figura 6 semuestra, como ejemplo, dos dibujos del mismo circuito.

La diferencia entre los dos dibujos mostrados en la figura 6 radica en el hecho de ser,el circuito de la izquierda, más claro y por lo tanto resulta más fácil introducir representaciones de corrientes y voltajes. En cuanto al comportamiento eléctrico de amboscircuitos no varía en nada entre un dibujo y otro, ya que no ha sido variada ni la estructuradel circuito ni los componentes involucrados.

Figura 6. Dos diagramas que representan el mismo circuito eléctrico.



Introducción

15

Teoría de circuitos

La Teoría de Circuitos es una herramienta matemática que permite calcular la tensióny la corriente eléctrica en los elementos de un circuito. Esta teoría no se involucra con losfenómenos que acontecen al interior de los dispositivos, sino que utiliza modelos y leyes

físicas para conocer el valor de las variables del circuito. La Teoría de Circuitos se puedeutilizar tanto para análisis como para síntesis de circuitos, en el entendido de que:

• Análisis de circuitos corresponde a conocer el comportamiento de un circuito dadauna estructura (topología).

• Síntesis de circuitos, es determinar la estructura de un circuito dado uncomportamiento. La técnica de síntesis cobra especial relevancia en el campo deldiseño.

1.3. Potencia y energíaEn esta sección se van a introducir dos conceptos de gran importancia en la ingeniería

eléctrica: energía y potencia. Estos conceptos están unidos estrechamente en temas dediseño, análisis de costos, auditorías energéticas, análisis de eficiencia de procesos y otrosmás.

1.3.1. Potencia

La potencia es una medida de la cantidad de trabajo realizada en un período detiempo determinado, es, por lo tanto, una medida de la “velocidad” con la que se realiza untrabajo. El trabajo puede ser el necesario para convertir energía de una naturaleza física aotra, por ejemplo: de mecánica a eléctrica, de eléctrica a mecánica, de eléctrica a calórica,

de térmica a eléctrica, etc.

Como la potencia es “trabajo por unidad de tiempo” (ecuación (1.4)), entonces launidad de la potencia en el SI es joules/segundo que se define como watt, por lo tanto,1W=1J/s

dw p =

dt (1.4)

donde, , (W).

, , (J)., , (s).

p es la potenciaen watts

w eslaenergía en joulest esel tiempoensegundos



Introducción

16

Además, como el voltaje se había definido en (1.3) como,

dwv

dq= (1.5)

donde, , (V).

, , (C).

v es elvoltajeenvolts

q eslacargaencoulombs

Sustituyendo (1.5) en (1.4) se tiene que la potencia que proporciona o que se leentrega a un circuito eléctrico está en términos de la corriente y el voltaje, según se presentaen la ecuación (1.6)

dw dw dq p v i

dt dq dt = = = ⋅ (1.6)

donde, , (A).i esla corrienteenamperes

1.3.2. Energía

Se dijo que la potencia es la velocidad con la que se hace el trabajo de convertir energía de una forma a otra, por lo tanto, es necesario hablar de un “período” de tiempodurante el cual se hace esa conversión, entre más tiempo, mayor será la energíasuministrada o disipada. Por lo tanto, la energía que pierde o gana cualquier sistema vienedada por la ecuación (1.7), cuyas unidades están en “watt segundo”. Sin embargo, paramuchas aplicaciones de la ingeniería eléctrica, especialmente en mediana y alta tensión, launidad “watt segundo” (Ws) es pequeña por lo que también se utiliza, como unidad deenergía el “kilowatt hora” (kWh).

0

0( ) ( ) ( )t

t

w t p d w t τ τ = +∫ (1.7)

Para tener una idea del orden de magnitud del kWh, se puede indicar que 1 kWh es laenergía que consume un bombillo de 100 W en un período de 10 h. Como dato adicional,es importante mencionar que los medidores eléctricos ubicados en las acometidasresidenciales, comerciales o industriales, miden el consumo de energía en kWh.

1.3.3. Convención pasiva de signos

Si el valor de potencia asociado a algún elemento tiene signo negativo, indica queeste elemento esta entregando energía al circuito al cual se encuentra conectado, comoejemplo se puede observar un automóvil durante el arranque, la batería se encuentraentregando energía al circuito eléctrico de arranque por lo que el valor de potencia asociadoa esta batería lleva, en este caso, un signo negativo, mientras que el valor de potenciaasociado al motor eléctrico de arranque tiene signo positivo. Este concepto se puedeentender más fácilmente con la figura 7.



Introducción

17

En la figura 7 se puede observar cuatro tipos diferentes de relaciones corriente -voltaje, en la parte (a) el elemento esta absorbiendo energía, una corriente esta entrando por la terminal positiva, o lo que es lo mismo, una corriente esta saliendo por una terminalnegativa; en la parte (b) una corriente esta entrando por una terminal negativa o saliendo por una terminal positiva, este elemento está entregando energía en ambos casos.

Se puede decir que un elemento típico como el mostrado en la figura 8, estáabsorbiendo potencia; pero si cambia ya sea la polaridad del voltaje o la dirección de lacorriente, el elemento estaría entregando potencia.

1.4. Elementos de circuitos1.4.1. Activos y Pasivos

Elementos activos

Se dice que un elemento es activo, si es capaz de entregar o generar energía, tal ycomo se muestra en la figura 9. Estos elementos generalmente se les conocen como fuentesde energía y las más conocidas son las baterías y los generadores.

Figura 7. Diferentes configuraciones que indican si un

elemento absorbe o entrega potencia.

Figura 8. Un elemento puede absorber o entregar potencia dependiendo

de la polaridad del voltaje y de la corriente.



Introducción

18

Elementos pasivos

Se dice que un elemento es pasivo, si solo es capaz de recibir o absorber potencia.Siguiendo la convención de signos, un elemento pasivo se puede representar como en lafigura 10.

1.4.2. Fuentes Independientes

Entre los elementos más importantes de un circuito se encuentran las fuentesindependientes de tensión (voltaje), e intensidad (corriente). Su importancia radica en quegeneralmente son las que entregan a todo el circuito la energía suficiente para que realicenlas funciones para las que fue construido, por lo que todo circuito posee, en general, almenos una fuente independiente.

Una fuente es un elemento activo que, en general, suministra energía, por lo tanto una fuente ideal es aquella que es independiente de cualquier otra variable. Una fuenteverdaderamente independiente no es físicamente realizable, pero su modelo será de granutilidad. Fuente independiente de voltaje

En este elemento el voltaje es, en el caso ideal, independiente de la corriente que pasa por sus terminales, por lo tanto, en teoría, este elemento podría entregar una potenciainfinita. La figura 11 muestra el comportamiento de una fuente independiente de voltajecon un comportamiento más real. Una fuente de voltaje independiente puede ser positiva onegativa, también puede ser constante o variable con el tiempo. La figura 12 muestra lossímbolos normalmente utilizados para representar este tipo de fuentes.

Figura 9. Elemento Activo, en el cual la corriente entra por la

Terminal negativa y sale por la positiva.

Figura 10. Elemento Pasivo, en el cual la corriente entra por laterminal positiva negativa y sale por la negativa.



Introducción

19

Fuente independiente de corriente

Una fuente independiente de corriente ideal es un elemento que proporciona unacorriente específica completamente independiente de la tensión entre sus terminales. Estetipo de fuente, en teoría, también podría también entregar una potencia infinita. En la figura13 se aprecia el comportamiento de una fuente más real. En la figura 14 se presenta elsímbolo normalmente utilizado para representar este tipo de fuentes ideales, donde la flechaindica la dirección de la corriente.

Figura 11. Fuente que suministra una tensión constantede magnitud Vo volts, para una corriente de hasta im

amperes. Para 0m

i i< < , esta fuente se comporta

como una fuente independiente de voltaje.

Figura 12. Símbolos para una fuente devoltaje independiente ideal.

Figura 13. Fuente independiente de corriente que suministra unacorriente constante para cualquier voltaje mayor que V m.



Introducción

20

1.4.3. Fuentes dependientes

La fuente dependiente también recibe el nombre de fuente controlada, pues su valor está determinado por un voltaje o corriente presente en algún otro lugar del circuitoeléctrico. Este elemento se encuentra en muchos circuitos electrónicos especialmente encircuitos equivalentes de dispositivos más complejos. Son también elementos activos yaque entregan potencia.

Fuente dependiente de voltaje

Una fuente dependiente de voltaje es una fuente en la que el voltaje entre susterminales está determinado por un voltaje o una corriente que existe en otro lugar delcircuito. En la figura 15 se muestra una fuente dependiente de voltaje, en donde el valor delvoltaje de suministro depende de la variable controladora x, que puede ser: una corriente enalgún punto del circuito, en cuyo caso se dice que la fuente es del tipo FVCC y que, por lo

tanto, m tiene unidades de volts/ampere, o un voltaje en cualquier punto del circuito, encuyo caso se dice que la fuente es una FVCV, en este caso m tiene unidades de volts/volts.

Fuente dependiente de corriente

Una fuente dependiente de corriente es una fuente en la que la corriente de suministroestá determinada por un voltaje o una corriente que existe en otro lugar del circuito. En lafigura 16 se muestra una fuente dependiente de corriente, en donde el valor de la corrientedepende de la variable controladora x, que puede ser: una corriente en algún punto delcircuito, en cuyo caso se dice que la fuente es del tipo FCCC y que, por lo tanto, n tieneunidades de ampere/ampere, o un voltaje en cualquier punto del circuito, en cuyo caso sedice que la fuente es una FCCV, en este caso n tiene unidades de ampere/volts.

Figura 14. Símbolo de la fuente independiente de corriente ideal.La flecha indica el sentido de la corriente.

Figura 15. Fuente dependiente de voltaje



Introducción

21

En el cuadro de la figura 17 se presenta un resumen de las fuentes vistas.

1.5. Topología de Redes

La topología de redes representa una herramienta de análisis de circuitos, principalmente útil cuando el número de elementos que integran el sistema eléctrico es alto.Los principios de topología de redes permiten describir el comportamiento de un circuitoeléctrico, compuesto por n elementos, a través de un sistema de n ecuaciones linealmenteindependientes.

Fundamentos

Topología es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades de las figurasgeométricas. En el análisis de circuitos, la topología de redes permite estudiar “la forma” enque los elementos del circuito se relacionan. Así por ejemplo, en el circuito de la figura 18,

lo que se hace es prescindir del tipo de elemento eléctrico y se sustituye por una línea en lagráfica topológica.

Figura 16. Fuente dependiente de corriente.

Figura 17. Resumen de fuentes.



Introducción

22

Antes de explicar la metodología para construir una gráfica a partir de un circuitodado, es necesario exponer algunas definiciones preliminares.

Definiciones preliminares

• Gráfica: es el dibujo de un circuito mostrando los elementos como líneas.

• Nodo: punto en el cual dos o más elementos tienen una conexión común.

• Rama: trayectoria simple, que contiene o representa un solo elemento del circuito yque conecta un nodo con cualquier otro nodo.

En la gráfica de la figura 18, los nodos han sido resaltados utilizando un punto gruesoy son un total de 7 nodos. En la misma gráfica, se muestran un total de 12 ramas, estas sonlas líneas que unen a los nodos y es claro que existe una rama por cada elemento delcircuito.

La técnica para construir una gráfica puede resumirse así:

• Identificar y enumerar la cantidad de nodos del circuito, para ello puede utilizarse latécnica de los contornos como apoyo.

• Iniciar la confección de la gráfica ubicando los nodos como puntos en el espacio, esrecomendable ubicar cada nodo en la zona donde se encontraba el contornocorrespondiente.

• Unir ahora los nodos con líneas en lugar de elementos eléctricos, cada línea en lagráfica debe corresponder a un solo elemento del circuito. Recuerde que debe existir una rama por cada elemento del circuito eléctrico inicial.

Es importante aclarar, que no existe una forma específica para la gráfica de uncircuito; por ejemplo, para la red de la figura 18 se muestra una posible gráfica en la figura19. Lo que hace equivalente a las gráficas mostradas, es que existen el mismo número denodos, de ramas y que las conexiones entre ellos son las mismas.

Figura 18. Ejemplo de Gráfica a partir de un circuito eléctrico



Introducción

23

Definiciones Complementarias

Las siguientes definiciones tienen asociados algunos ejemplos que hacen referencia ala figura 20.

• Trayectoria: conjunto de ramas que pueden ser atravesados en orden sin pasar a

través de un mismo nodo dos veces. Son ejemplos de trayectorias 1-2 y 1-2-3-5-4, mas no lo es 1-2-4-2-3.

• Lazo o trayectoria cerrada. Conjunto de ramas que pueden ser atravesadas enorden sin pasar a través de un mismo nodo dos veces exceptuando el primer yúltimo nodo, el cual debe ser el mismo. Son ejemplos de trayectorias cerradas 1-2-3-1 y 1-2-4-5-3-1.

• Malla: lazo que no contiene ningún otro lazo dentro de él. Es un ejemplo de malla1-2-3-1, pero 1-2-4-5-3-1 no lo es.

• Circuito plano: circuito que se puede dibujar sobre una superficie plana, de talforma que ninguna rama pase por encima o por debajo de ninguna otra. La figura 19

muestra un circuito plano.• Circuito no plano: cualquier circuito que no es plano. La figura 18 muestra un

circuito no plano.

• Árbol: cualquier conjunto de ramas que no contiene ningún lazo, pero que conectatodos los nodos directa o indirectamente. La palabra “cualquier ” fue resaltada parasugerir que se pueden dibujar varios árboles diferentes a partir de una mismagráfica. En la figura 21 a) y b) se muestran algunas posibilidades de árboles (ramas

Figura 19. Ejemplo de Gráfica equivalente para el circuito en la figura 10.

Figura 20. Circuito eléctrico y su gráfica lineal



Introducción

24

en línea gruesa) para la gráfica de la figura 19. Las ramas resaltadas en grueso en c)y d) no satisfacen la definición de árbol. El número de ramas de un árbol cumplen laecuación (1.8).

1ar n= − (1.8)

donden es el número de nodos del circuito y

ar el número total de ramas del árbol.

• Co-árbol: es la parte del gráfico que no pertenece al árbol. Es importante anotar que existe un co-árbol específico según el árbol que se dibuje para una determinadagráfica. En la figura 21 a) y b), el co-árbol respectivo para cada árbol se muestra encolor gris.

• Eslabón: es cualquier rama que pertenezca al co-árbol. El número de eslabonescumple la relación enunciada en la ecuación (1.9).

( 1)a

e r r r n= − = − − (1.9)

dondee es el número de eslabones,r es el número total de ramas en la gráfica inicial,n es el número de nodos total y

ar es el número de ramas de un árbol.

Figura 21. a) árbol posible b) árbol posible c) no satisface la definición

de árbol d) no satisface la definición de árbol.



Circuitos Resistivos

25

Capítulo 2

Circuitos resistivos

Los elementos que componen un circuito eléctrico tienen características muy propiasde cada uno que los hace individuales aunque, aparentemente, sean idénticos. Sin embargo,

en la labor de la ingeniería, ya sea para análisis, investigación, mejoras, fabricación,

simulación, y otras aplicaciones, es necesario contar con modelos matemáticos que

representen las características esenciales de dichos elementos. Estos modelos puedenobtenerse con base en las leyes físicas y químicas que gobiernan su comportamiento, o bien

en base a pruebas experimentales. La ley de Ohm es un ejemplo típico de esta segunda

forma de modelar el comportamiento de un elemento.

2.1. La ley de Ohm y la resistencia eléctricaEn 1827 el físico alemán Georg Simon Ohm (1787-1854), basado en sus

experimentos enunció, en un artículo titulado "El circuito galvánico investigado

matemáticamente", que el voltaje en las terminales de un conductor es directamente

proporcional a la corriente que fluye a través del mismo. Este enunciado, reconocido

muchos años después como la ley de Ohm, es una propiedad específica de ciertosmateriales y no una ley general del electromagnetismo y ella se expresa por (2.1)

v i R= ⋅ (2.1)

Donde R es la constante de proporcionalidad, denominada resistencia eléctrica, cuya

unidad es el “ohm”, representada por la letra griega omega mayúscula, (Ω). De acuerdo conla ecuación (2.1) se define la relación entre unidades dada por (2.2).

V

AΩ = (2.2)

2.1.1. La Resistencia Eléctrica

La resistencia eléctrica, R, de una sustancia, define la propiedad de esa sustancia a la

oposición que encuentra la corriente eléctrica para recorrerla.La materia presenta cuatro estados en relación al flujo de electrones y todos ellos se

definen por el grado de oposición a la corriente eléctrica. Estos son:• Conductores,

• Semiconductores,

• Resistores y

• Dieléctricos.




26

Existen además ciertos materiales en los que, en determinadas condiciones detemperatura, aparece un fenómeno denominado superconductividad , en el que el valor de la

resistencia es prácticamente nulo.

La definición dada anteriormente es válida tanto para corriente directa, como paracorriente alterna, siempre y cuando se trate de elementos resistivos puros, esto es, sin

componente inductiva ni capacitiva. De existir estos componentes, la oposición presentada

a la circulación de corriente recibe el nombre de impedancia, en vez de resistencia, peroesto es tema de cursos posteriores.

SímboloEl símbolo de la resistencia se presenta en la figura 1(a) y en la figura 1(b) se muestra

la característica de voltaje – corriente. De la figura 1b, se observa que, al ser R constante, se

obtiene como gráfica una línea recta, por esto a la resistencia se le denomina tambiénresistencia lineal.

Potencia en una resistenciaTeniendo en cuenta la convención pasiva de signos, la corriente entra por la terminal

de mayor potencial y sale por la de menor potencial, esto indica que este elemento consume

energía y la energía perdida la refleja en forma de calor, la razón de cambio de disipación

de energía, representada por la potencia instantánea, viene dada por (2.3).

22 v

p v i i R R

= ⋅ = = (2.3)

donde p, es la potencia en watts.v, es el voltaje en volts.i, es la corriente eléctrica en amperes.

Es importante mencionar que, en todo caso, la corriente máxima que puede circular

por una resistencia viene condicionada por la máxima potencia que puede disipar su cuerpo.

Figura 1. (a) Símbolo de una resistencia de valor R.

(b) Característica I-V.




27

2.1.2. La Resistencia Real

La literatura define como resistor al componente electrónico diseñado para introducir una resistencia eléctrica determinada, entre dos puntos de un circuito. Sin embargo, es muy

común que este dispositivo también sea llamado con el nombre de resistencia.

En el caso de planchas eléctricas, cocinas eléctricas, hornos eléctricos

convencionales, calentadores, etc., se utiliza la propiedad resistiva de los materiales con elúnico propósito de generar calor, como consecuencia del efecto Joule1.

Como la resistencia eléctrica es producto de las colisiones de los electrones con otroselectrones y con los átomos del material respectivo, se va a decir que la magnitud de la

resistencia eléctrica de un cuerpo, por el que circula una corriente eléctrica, está

determinada por los siguientes cuatro factores:• La temperatura del cuerpo.

• El tipo de material.

• La longitud del cuerpo que atraviesa la corriente eléctrica.

• El área transversal por donde circula el flujo de electrones.

El valor de la resistencia eléctrica a 20 ºC viene determinada por la ecuación (2.4),

l R

A ρ = (2.4)

donde,ρ es la resistividad eléctrica, ( mΩ ⋅ ) y la cual será tratada más adelante,

l es la longitud del conductor, (m).

A es el área transversal al flujo de electrones, (m2).

Efecto de la temperaturaEn algunos materiales, especialmente metales, si la temperatura se incrementa la

resistencia también se incrementa, pues debido al mayor movimiento de las partículas

dentro de la estructura molecular, hace más difícil el paso de los electrones libre. Sinembargo, algunos materiales tienen un comportamiento inverso, como el caso del carbón,

material del cual están construidos la mayoría de los resistores para aplicaciones

electrónicas.

1 Si en un conductor circula electricidad, parte de la energía cinética de los electrones se transforma en calor debido alchoque que sufren los electrones con las moléculas del conductor por el que circulan, elevando así la temperatura delmismo; este efecto es conocido como efecto Joule en honor a su descubridor el físico británico James Prescott Joule.




28

El fenómeno de la superconductividad es un ejemplo de la forma en que afecta latemperatura en la resistencia eléctrica; por ejemplo el mercurio a una temperatura de 4 K

produce este fenómeno eléctrico.

La ecuación (2.5) representa la relación que existe entre la resistencia de un material

a 20 grados Celsius, R20 y el valor de esa resistencia a una temperatura RT . El valor T ∆ esel incremento o decremento de la temperatura en relación con 20 ºC y al parámetro α se le

denomina coeficiente olveriano. Algunos valores de este coeficiente se muestran en (2.6).

20 (1 )T R R T α = + ⋅ ∆ (2.5)

1

1

1

1

0,0034 ºC

0,003 8 ºC

0,00391 º C

0,003 93 ºC

Oro

Plata

Aluminio

Cobre

−

−

−

−

=

=

=

=

(2.6)

Resistividad eléctricaLa resistencia eléctrica depende del material pues ella es una propiedad asociada a la

estructura molecular. A esta propiedad se le conoce como resistividad eléctrica, denotadacon la letra griega rho minúscula (ρ). Para el SI, las unidades de ρ vienen dadas en “ m ⋅ Ω ”,

sin embargo, dependiendo de las tablas utilizadas, estas unidades pueden variar pues

utilizan otros sistemas de unidades, según de donde provenga la información. Además,considerando las dimensiones de los conductores, utilizar el m

2como unidad de área

transversal resulta un poco inconveniente. En la expresión (2.7), se presentan valores de

resistividad eléctrica para algunos materiales utilizados como conductores. La selección de

ellos depende del costo, de su maleabilidad, ductibilidad y comportamiento respecto a latemperatura.

6

6

6

6

1,645 10 cm

1,723 10 cm

2,443 10 cm

2,825 10 cm

Plata

Cobre

Oro

Aluminio

−

−

−

−

= × Ω ⋅

= × Ω ⋅

= × Ω ⋅

= × Ω ⋅

(2.7)

Alambres circularesPara el área de sistemas de potencia, máquinas eléctricas, diseño y construcción de

sistemas eléctricos, entre otros, es conveniente conocer la forma que la industria trata el

tema de la resistencia eléctrica en los alambres de área transversal circular. Para este caso,

si el diámetro del círculo d está dado en milésimas de pulgada (mil), entonces, de acuerdo ala ecuación (2.8), el área del círculo tendrá unidades de milésimas de pulgada cuadradas

(mil2).

2

4

d A

π = (2.8)




29

Si se define como CM, mil circular, el área de un conductor que tenga de diámetro

una milésima de pulgada (1 mil), esto se representa mediante la ecuación (2.9).

( )2 21 CM= 1 0,78 mil4

π = (2.9)

De (2.9) se desprende que

2 41 mil CM = 1,273 CM

π = (2.10)

Sustituyendo (2.10) en (2.8)

2 22 24

mil CM CM4 4

d d A A d

π π

π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⇒ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.11)

De donde se concluye que, el área en CM de un cable se obtiene de (2.12), donde d

está dado en milésimas de pulgada.

2 CM A d = (2.12)

Para el cálculo de la resistencia eléctrica en conductores de área transversal circular,

la industria utiliza unidades diferentes. La fórmula sigue siendo (2.4) y que, por comodidad,

se vuelve a escribir en (2.13), pero las unidades de las variables involucradas cambian de lasiguiente forma:

A, es el área transversal al flujo de electrones, en CM,ρ es la resistividad eléctrica, en 1CM ft−Ω ⋅ ⋅ y

l es la longitud del conductor, en pies (ft).

l R

A ρ = (2.13)

Por ejemplo, los valores de resistividad eléctrica para el cobre a 20 ºC es de

CM Ω10,37

ft

ρ ⋅

= (2.14)




30

2.1.3. Tipos de Resistencia

Además del fenómeno eléctrico de la resistencia, que es inherente a los materiales, es

necesario mencionar que, para la ingeniería eléctrica, es fundamental el utilizar resistoresconstruidos específicamente para introducir una resistencia eléctrica en determinados

puntos de un circuito. Estos elementos eléctricos, llamados resistores, o simplementeresistencias, pueden ser fijos o variables. Los tamaños relativos de los cuerpos de estoselementos eléctricos aumentan si la potencia a disipar por ellos, también aumenta.

Resistencias FijasAdemás de las resistencias utilizadas para calentadores, que básicamente funcionan

bajo el efecto de Joule, el tipo más utilizado es el construido de carbón y que en la figura 2

se presenta un ejemplo. También pueden ser resistencias fijas de alta potencia como la

mostrada en la figura 3.

Resistencias VariablesEstas resistencias pueden variar su valor óhmico dentro de unos límites. Para ello se

les ha añadido un tercer terminal unido a un contacto móvil que puede desplazarse sobre el

elemento resistivo proporcionando variaciones en el valor de la resistencia. Este tercer terminal puede tener un desplazamiento angular (giratorio) o longitudinal (deslizante). En

la figuras 4, 5 y 6 se muestras ejemplos de estos elementos.

Figura 2. Ejemplo de resistencia de

carbón.

Figura 3. Ejemplo de resistencia de

gran potencia.




31

Figura 4. Ejemplo de potenciómetro de ajuste fino tipo “trimmer”.

Según su función en el circuito, estas resistencias se denominan:

PotenciómetrosSe aplican en circuitos donde la variación de resistencia la efectúa el usuario desde el

exterior para controlar voltaje (controles de audio, vídeo, etc.), su símbolo se muestra en la

figura 7.

TrimmersResistencias ajustables: se diferencian de las anteriores en que su ajuste es definitivo

en el circuito donde van aplicadas. Su acceso está limitado al personal técnico (controles de

ganancia, polarización, etc.). Su símbolo es igual al del potenciómetro.

Figura 5. Ejemplo de potenciómetro.

Figura 6. Ejemplo de reóstato.

Figura 7. Símbolo del potenciómetro.




32

ReóstatosSe usa como resistencia variable en las que uno de sus terminales extremos está

eléctricamente anulado y su símbolo se muestra en la figura 8. Tanto en un potenciómetro

como un trimmer , al dejar unos de sus terminales extremos al aire, su comportamiento será

el de un reóstato, aunque el reóstato, en general está diseñado para corrientes eléctricas ensistemas de mediana tensión.

Otros elementos que utilizan la propiedad de la resistencia eléctrica de formasespeciales son, por ejemplo, el termistor, el varistor y la pila fotoconductiva, cuyascaracterísticas y usos serán tema de estudio en cursos posteriores.

2.2. Conductancia

Un concepto importante y útil es la conductancia, la cual se define como el inverso

multiplicativo de la resistencia, esto se expresa como (2.15). Su relación tensión-corriente

viene dada, por lo tanto, como (2.16).

1

G R= (2.15)

i v G= ⋅ (2.16)

La ecuación (2.17) expresa la potencia consumida por una conductancia G.

22 i

p i v v GG

= ⋅ = = (2.17)

La unidad definida por el SI para determinar la conductancia es el siemens,

representado por S, sin embargo, en algunas ocasiones se utiliza otra unidad conocida comomho, que hace referencia al inverso de la unidad de la resistencia.

Figura 8. Símbolo del reóstato.




33

2.3. Circuito Abierto y Cortocircuito

Tomando como base la resistencia eléctrica, se pueden definir otros dos conceptosimportantes para el análisis de circuitos eléctricos. Considerando que el valor de R puede

variar entre cero e infinito, se llamará cortocircuito cuando R=0 y circuito abierto cuando R → ∞ .

Circuito abierto Se define como una resistencia infinita, es una interrupción del circuito por la cual no

puede ir o viajar una corriente, independientemente del voltaje que se aplique entre las

terminales que lo forman, tal y como se aprecia en la figura 9.

Corto CircuitoSe define como una resistencia de cero ohm, es la conexión ideal entre dos terminales

de un circuito y por alta que sea la corriente que atraviese esta conexión, el voltaje sobre

sus terminales es cero, esta situación se muestra en la figura 10.

Figura 9. Diagrama eléctrico que muestra un circuito abierto.

Figura 10. Diagrama eléctrico que muestra un corto circuito.




34

2.4. Leyes de Kirchhoff

Con la ley de Ohm se pueden encontrar los valores de voltaje y corriente para un

elemento de un circuito, pero en general los circuitos están conformados no por uno sino

por varios de ellos, interconectados en una red, los cuales están unidos por conexiones

ideales. Estas conexiones ideales permiten el flujo de la corriente de un elemento a otro pero no acumulan energía. Este tipo de redes reciben el nombre de circuito de elementos

de parámetros concentrados.

Es importante identificar los nodos, así como también los lazos (trayectorias cerradas)que se formen a los cuales también se les conoce como caminos cerrados.

Con estos conceptos se puede entrar a estudiar las técnicas básicas para resolver circuitos que contengan varios elementos y caminos, como el mostrado en la figura 11.

Para resolver circuitos que contengan más de una resistencia y una fuente, en 1847 el

físico alemán Gustav Kirchhoff (1824-1887), postuló dos leyes que llevan su nombre y que

se explican a continuación.

Leyes de Corrientes de Kirchhoff La primera ley de Kirchhoff se conoce como la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK)

y su enunciado es el siguiente:

• "La suma algebraica de las corrientes que entran o salen de un nodo es igual acero en todo instante".

Para entender mejor esta ley se puede asimilar un nodo como la interconexión de unared de acueducto. En teoría de circuitos, la corriente viene siendo representada por el flujode agua y, los conductores, por la tubería; dentro de los tubos, no se puede acumular el

agua, por lo tanto toda la cantidad de líquido que entra en este sistema debe ser la misma

que sale, de la misma forma, la corriente que entra al nodo debe ser la misma que sale. Esteconcepto se puede ver gráficamente en la figura 12 y la ecuación (2.18) lo expresa

matemáticamente.

Figura 11. Camino cerrado en un circuito.




35

1

0k

n

n

i=

=∑ (2.18)

Leyes de Voltajes de Kirchhoff La segunda ley de Kirchhoff se conoce como la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) y

su enunciado es el siguiente:

• "La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier lazo (caminocerrado) en un circuito, es igual a cero en todo instante".

Para entender mejor esta ley se puede utilizar el marco físico conservativo como es el

gravitacional, donde el desplazamiento de una masa, alrededor de una trayectoria cerrada provoca un trabajo resultante cero sobre esa trayectoria. La figura 13 ayuda a visualizar este

concepto eléctrico y la ecuación (2.19) lo expresa matemáticamente.

1

0k

n

n

V =

=∑ (2.19)

Figura 12. Circuito que ilustra la LCK.

Figura 13. Circuito que ilustra la LVK.




36

2.5. Elementos en serie

Se dice que dos elementos están en serie si se cumple que:

• Sólo tienen una terminal en común.

• Ningún otro elemento está conectado a dicha terminal.

Se deduce entonces que la corriente que pasa por cada uno de los elementos en laconexión serie es la misma. Por lo tanto, si se aplica la LVK para una larga cadena deresistencias conectadas en serie se tiene que:

1 2 3s nv v v v v= + + + +… (2.20)

Y de acuerdo con la ley de Ohm, para cada elemento:

1 1 2 2; ; ; n nv i R v i R v i R= ⋅ = ⋅ = ⋅… (2.21)

Sustituyendo (2.21) en (2.20) y sacando a factor común la corriente i, se obtiene laexpresión (2.22).

1 2 3( )s n

v i R R R R= + + + + (2.22)

De donde1 2 3

( )n R R R R+ + + + se puede remplazar por eq R , con lo cual se puede

reducir el circuito a una fuente independiente y una resistencia equivalente, algo que es

muy útil para simplificar los cálculos en la solución de problemas.

• La Resistencia Equivalente,eq

R , es el modelo matemático de un conjunto de

resistencias conectadas bajo ciertas condiciones, o simplemente es la resistenciaque se observa entre dos puntos específicos de un circuito

2.6. Elementos en paralelo

La otra conexión fundamental es la conexión en paralelo que se define como la

conexión en donde los elementos que la conforman están conectados al mismo par de nodosy tienen, entre sus terminales, el mismo voltaje.

De igual forma que en la conexión en serie, también se puede encontrar la resistencia

equivalente para varias resistencias conectadas en paralelo.

En este caso lo que se tiene en común es el voltaje en sus terminales, entonces para

encontrar la resistencia equivalente se utiliza LCK, tal y como se observa en la figura 14.




37

Aplicando la LCK para un grupo de resistencias conectadas en paralelo se tiene que:

1 2 3s ni i i i i= + + + +…

(2.23)

Y de acuerdo con la ley de Ohm, para cada elemento:

1 2

1 2

; ; ; n

n

v v vi i i

R R R= = =… (2.24)

Sustituyendo (2.24) en (2.23) y sacando a factor común el voltaje V, se obtiene la

expresión (2.25).

1 2 3

1 1 1 1

( )s

n eq

v

i v R R R R R= + + + + = (2.25)

De donde se obtiene la expresión (2.26) para la resistencia equivalente. De esta

forma, se puede reducir el circuito a solo una fuente independiente y una resistencia

equivalente.

1 2 3

1 1 1 1 1( )

n eq R R R R R

+ + + + = (2.26)

2.7. Análisis de Circuitos de un solo lazoDespués de establecer las leyes básicas de análisis de circuitos se comienza ahora con

la aplicación más elemental de dichas leyes: “el análisis del circuito de un solo lazo”.

En la figura 15 se observa la conexión en serie de dos baterías y dos resistencias;

suponiendo que son conocidos los valores de las resistencias y las fuentes de voltaje, se

tratará de calcular la corriente y la potencia de cada elemento.

Figura 14. Circuito con elementos en paralelo.




38

Por definición, tal y como se mencionó anteriormente, se dice que todos los

elementos a través de los cuales circula la misma corriente, están conectados en serie.Entonces, el circuito de la figura 15 puede ser representado según se muestra en la figura

16.

Método de análisis

A continuación se propone un método que puede facilitar el análisis de circuitos deun solo lazo. Considere el circuito de la figura 17, el método propone los siguientes pasos.

Figura 15. Circuito de un solo lazo.

Figura 16. Diagrama eléctrico correspondiente.

Figura 17. Diagrama de referencia para explicar el método de

análisis eléctrico correspondiente.




39

1. Asignar una dirección de referencia para la corriente2. Elegir los voltajes de referencia en cada resistencia.

3. Aplicar la LVK

1 1 2 2 0 R Rv v v v− + + + = (2.27)

4. Aplicar la ley de Ohm

1 1 2 2 R Rv R i y v R i= ⋅ = ⋅ (2.28)

5. Despejar la corriente a partir de la ecuación obtenida

1 1 2 2 0v iR v iR− + + + = (2.29)

1 2

1 2

v vi

R R

−=

+(2.30)

2.8. Análisis de Circuitos de un solo par de nodos

En forma paralela al circuito analizado en la sección anterior, se analizará el circuito

con un solo par de nodos, en el cual un número cualquiera de elementos simples seconectan al mismo par de nodos, tal y como se muestra en la figura 18. Cada resistencia

tiene el mismo voltaje y el quitar o poner resistencias no afecta el voltaje aplicado a las

demás. Se dice que los elementos que tienen un voltaje común, están conectados en paralelo.

Método de análisis

Considere el caso particular del circuito de la figura 19, el método propone los

siguientes pasos.1. Suponer un voltaje entre los terminales. 2. Elegir, según la convención pasiva de signos, una corriente en cada resistencia.

3. Aplicar la LCK a cualquiera de los nodos del circuito.

1 1 2 2 0 R R

i i i i− + + + = (2.31)

Figura 18. Ejemplo de circuito con un solo par

de nodos.




40

4, Calcular la corriente de cada resistencia por medio de la ley de Ohm

1 2

1 2

R R

v vi e i

R R= = (2.32)

5. Sustituyendo (2.32) en (2.31) y despejando v, se obtiene (2.34).

1 2

1 2

0v v

i i R R

− + + + = (2.33)

1 2 1 2

1 2

( )( ) R R i iv

R R

⋅ −=

+(2.34)

2.9. Divisores de voltaje

Una vez comprendidas las conexiones en serie y paralelo, se pueden deducir dos

expresiones para facilitar el análisis de circuitos y ayudar a calcular la respuesta siguiendoun método más corto.

La primera de estas expresiones sirve para encontrar la caída de tensión en una

resistencia que está en serie con otras resistencias. Para entenderla mejor, se puede empezar por deducir esta expresión para solo dos resistencias, tal y como se presenta en la figura 20;

aplicando LVK, da como resultado la relación (2.35).

1 2v v v= + (2.35)

Figura 19. Diagrama de referencia para explicar el método de

análisis eléctrico para circuitos un solo par de nodos.

Figura 20. Circuito que ilustra el

concepto de divisor de voltaje.




41

Aplicando la ley de Ohm, se obtiene:

1 1

2 2

v R i

v R i

=

=(2.36)

Sustituyendo (2.36) en (2.35), se obtiene (2.37).

1 2v R i R i= + (2.37)

Despejando la corriente, da como resultado (2.38), la cual, sustituyendo por suresistencia equivalente se obtiene (2.39).

1 2

vi

R R=

+(2.38)

eq

vi

R= (2.39)

El resultado (2.39), con la resistencia equivalente, hace que los dos circuitos sean

equivalentes ya que se presenta, entre sus terminales, la misma relación de voltaje y

corriente. Sustituyendo (2.38) en (2.36), se obtienen las relaciones para cada voltajeexpresadas en (2.40) y (2.41).

11

1 2

Rv v

R R

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟

+⎝ ⎠(2.40)

22

1 2

Rv v

R R

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟

+⎝ ⎠

(2.41)

Para generalizar este resultado con N resistencias en serie y una fuente de voltaje, eldivisor de voltaje para una i-ésima resistencia, se puede expresar como (2.42), donde se

confirma que el potencial de la fuente se divide entre las resistencias en forma directamente

proporcional a la magnitud de ellas.

ii

eq

Rv v

R

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠(2.42)

2.10. Divisores de corriente

La segunda de estas expresiones sirve para encontrar la corriente a través de una

resistencia que se encuentra conectada en paralelo con otras resistencias, para entenderla

mejor se puede empezar por deducir esta expresión para un solo par de resistencias.Considerando el circuito de la figura 21 se observa como si se aplica la LCK, da como

resultado la expresión (2.43).




42

1 2i i i= + (2.43)

Aplicando la ley de Ohm en función de las conductancias:

1 1

2 2

i v G

i v G

= ⋅

= ⋅(2.44)

Sustituyendo (2.44) en la ecuación (2.43), se obtiene (2.45).

1 2i vG vG= + (2.45)

Despejando el voltaje V

1 2

iv

G G=

+(2.46)

Sustituyendo (2.46) en (2.44) se genera la expresión (2.47) para las corrientes en cada

conductancia.

1 1 2 2

1 2 1 2

i ii G i G

G G G G

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠(2.47)

Esto indica que la corriente es proporcional a la magnitud de la conductancia en uncircuito en paralelo. La relación (2.48) expresa la misma relación en función de lasresistencias.

Figura 21. Circuito que ilustra el concepto de

divisor de voltaje.




43

1 2

1 2

2 1

1 2

ii R

R R

ii R

R R

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

+⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

+⎝ ⎠

(2.48)

Generalizando este resultado para N resistencias en paralelo y una fuente decorriente, aplicando el divisor de corriente para una i-ésima resistencia, da como resultado

(2.49), donde se confirma que la corriente se divide entre las resistencias en formainversamente proporcional a ellas.

eq

i S

i

Ri i

R

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠(2.49)

2.11. Análisis de Nodos

En este análisis se emplea la LCK aplicada a los nodos de la red eléctrica bajo

estudio. Se debe recordar que nodo es la unión de dos o más ramas. Además, seránecesario definir un nodo de referencia, el cual permite que el voltaje de los demás nodos

esté referenciado a este nodo. Es usual elegir el nodo de referencia como el nodo que se

encuentra conectado a tierra o el que mayor número de elementos tiene conectados.

Entonces, una red con n nodos tendrá (n-1) nodos con voltaje fijo en relación al nodo dereferencia.

Técnica General

Procedimiento1. Determinar el número de nodos de la red.

2. Elegir un nodo de referencia y realizar una asignación de los voltajes en cada nodo.

3. Aplicar LCK a los nodos excepto al de referencia, se obtienen (n-1) ecuaciones. Se

deberá suponer que todas las corrientes desconocidas “salen” del nodo bajo

estudio, sin importar la designación hecha en otro nodo.

4. Si el circuito tiene fuentes de voltaje, existen dos opciones:

• Si la fuente de voltaje está unida al nodo de referencia, entonces el valor delvoltaje de ese nodo se obtiene directamente del valor que tenga la fuente.

• Si la fuente de voltaje está unida a dos nodos, se debe formar un supernodo con

los dos nodos que están conectados a la fuente de voltaje. Los voltajes de nodoasignados no deben cambiarse. El supernodo proporciona dos ecuaciones para el

análisis del circuito:




44

o una ecuación relacionando los voltajes de los dos nodos conectados a lafuente de voltaje

o la otra es una ecuación que resulta de aplicar la LCK al supernodo.

5. Resolver las ecuaciones simultáneas y así determinar los voltajes en los nodos.

Técnica del FormatoA continuación se presenta el procedimiento para sistematizar el análisis de nodos, el

cual es aplicable si se tienen únicamente fuentes de corriente.

Procedimiento1. Seleccionar un nodo como referencia y denotar los (n-1) nodos restantes con

voltajes iv , con 1 ( 1)i n= −… .

2. La columna 1 de cada ecuación es igual a la suma de las conductancias relacionadas

con el nodo bajo estudio multiplicada por el voltaje iv asignado a ese nodo.

3. Los términos mutuos se restan del primer elemento y se calcula de la siguiente

forma: es el valor de la conductancia mutua multiplicada por el voltaje asignado alotro nodo.

4. La columna de la derecha de la igualdad es la suma algebraica de las fuentes de

corriente relacionadas con el nodo bajo estudio. El signo será positivo si la fuente

proporciona corriente al nodo.

5. Se resuelven las ecuaciones simultáneas determinando así los voltajes en los nodos.

2.12. Análisis de Mallas

En esta sección se analizará el método llamado Análisis de Mallas, que sefundamenta en la aplicación de la ley de Kirchhoff para voltajes (LVK) alrededor de una

trayectoria cerrada2.

El Análisis de Mallas3

se puede aplicar solo a redes planas4. La figura 22 muestra

como ejemplo una red no plana, sin embargo, existen redes que parecieran no planas pero,

luego de alguna modificación en el gráfico, se reduce a una plana. Para aplicar este método

se siguen los siguientes procedimientos sistemáticos.

2 Una trayectoria cerrada se obtiene empezando en un nodo y regresando al mismo sin pasar por un nodo intermedio másde una vez.3 Una malla es una propiedad de un circuito plano y no existe en un circuito no plano, se define como un lazo

que no contiene ningún otro lazo dentro de él.4 Un circuito plano se distingue porque es posible dibujar el diagrama del circuito en una superficie plana de tal forma queninguna rama quede por debajo o por encima de ninguna otra rama.




45

Técnica General

Procedimiento1) Dibujar claramente el circuito y asegurarse que es plano.

2) Asignar una corriente distinta en dirección dextrógira a cada malla independiente de lared. La cantidad de corrientes de malla es igual al número de ventanas de una red plana.

3) Determinar la polaridad de las resistencias en cada trayectoria, aún cuando por una

resistencia pueda pasar más de una corriente de malla. Las fuentes de voltaje tienen

asignado el signo en forma explícita.

4) Aplicar la LKV en dirección dextrógira y obtener una ecuación para cada malla. Deaquí resultan tantas ecuaciones de malla como mallas tenga el circuito. En aquellos

elementos que forman parte de dos mallas, la corriente que circula por ellos es igual a ladiferencia de las corrientes asignadas.

5) Si el circuito tiene fuentes de corriente, existen dos opciones:

a) Si la fuente de corriente forma parte de una sola malla, entonces el valor dela corriente de malla asignada a dicha malla se obtiene directamente del

valor que tenga la fuente de corriente.

b) Si la fuente de corriente forma parte de dos mallas, formar una supermalla,que consiste de las dos mallas de las que la fuente de corriente forma parte y

de dicha supermalla obtener dos ecuaciones: Una ecuación relaciona

directamente las dos corrientes de malla con la fuente de corriente y la otra

ecuación se obtiene de aplicar la LVK a la supermalla.

c) Aplicar (a) o (b) tantas veces como fuentes de corriente formen parte delcircuito.

6) De las mallas que no contienen fuente de corriente se obtiene una ecuación aplicando la

LVK.

Figura 22. Red eléctrica no plana.




46

7) Resolver las ecuaciones de malla, la cuales son independientes, ya que ninguna se puede obtener en función de la otra, de modo que si el circuito tiene n mallas, se tiene

un sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

8) Una vez que se tienen las corrientes de malla, para cada elemento del circuito se puede

obtener la corriente que pasa por ellos, se pueden calcular la diferencia de potencial ensus extremos, y también se puede calcular la potencia que consume o absorbe. Es decir,

se puede calcular cualquier variable o parámetro eléctrico.

Técnica del FormatoA continuación se presenta el procedimiento para sistematizar el Análisis de Mallas y

se aplica si el circuito contiene únicamente fuentes de voltaje.

Procedimiento1. Asignar las corrientes de malla en dirección dextrógira.

2. El número de ecuaciones es igual al número de mallas independientes. El primer

elemento de cada ecuación es igual a la suma de las resistencias por las que pasa

esa corriente y se multiplica por la corriente de esa malla.

3. Los términos mutuos (resistencias por las que pasa una corriente de malla adicional)se restan del primer elemento y se calcula de la siguiente forma: es el valor de la

resistencia mutua multiplicada por la otra corriente de malla que pasa por ella.

4. La columna de la derecha de la igualdad es la suma algebraica de las fuentes de

voltaje por las que pasa la corriente de malla respectiva. El signo será positivo si lacorriente de malla sale por el terminal positivo de la fuente.

5. Se despejan las corrientes.

Comentarios Finales

Para alcanzar los objetivos propuestas en el curso, se necesita conocer ambos

métodos de análisis.

Para un análisis más eficiente de un circuito, se debe considerar lo siguiente:

• Si la red no es plana, no se puede utilizar Análisis de Mallas.

• Si el circuito contiene muchos elementos conectados en serie y con

predominancia de fuentes de voltaje, entonces se recomienda el Análisis deMallas. Si el circuito contiene muchos elementos en paralelo y predominancia

de fuentes de corriente, entonces la recomendación es el Análisis de Nodos. Laidea es reducir el número de ecuaciones.

• Si se necesita conocer los voltajes de los nodos, la recomendación es Análisis de Nodos. Si lo que se requiere es conocer corrientes en las ramas o los nodos, elAnálisis de Mallas resulta ser una buena opción.



El Circuito de Segundo Orden

47

Capítulo 3

Teoremas y Herramientas

3.1. Concepto de Linealidad

En esta unidad se estudiarán diferentes herramientas y teoremas que, apoyados en laspropiedades de los sistemas y modelos lineales, facilitará sustancialmente el análisis de los

circuitos lineales. Es un hecho que, para aquellos circuitos no lineales que no tienen

ninguna posibilidad de ser linealizados, la problemática asociada a su análisis se incrementa

sustancialmente.

Linealidad Linealidad de una función

Una función ( ) f x es lineal si satisface las propiedades de Aditividad y

Homogeneidad .

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Aditividad f x y f x f y

Homogeneidad f x f xα α α

+ = +

= ∀ ∈(3.1)

Linealidad de un sistema

El concepto anterior de función lineal puede ser extendido a un Sistema Lineal , elcual es un sistema que presenta, en su comportamiento, las propiedades de aditividad y de

homogeneidad , la cuales pueden interpretarse, en este caso, de la siguiente forma:

• Propiedad de Aditividad: Las salidas del sistema obtenidas para cada entradaactuando por separado, pueden sumarse para obtener el efecto de todas las

entradas actuando en conjunto.

• Propiedad de Homogeneidad: Las salidas del sistema obtenidas a partir de lasentradas escaladas en un factor determinado, es correspondiente a escalar, en ese

mismo factor, las salidas del sistema obtenidas a partir de las entradas sin

escalar.

Elemento lineal

Un elemento pasivo cuya relación voltaje-corriente satisface las propiedades de

aditividad y homogeneidad se le conoce como elemento lineal . Por ejemplo, en un resistor

ideal la propiedad de homogeneidad permite asegurar que, si se multiplica la corriente que




48

fluye a través del elemento por una constante α, entonces el voltaje entre las terminales deese elemento queda a su vez multiplicado por la misma constante α.

Fuente dependiente lineal

Es una fuente dependiente cuya salida es proporcional, únicamente, a la primerapotencia de la variable que la controla (o variables que la controlan). Por ejemplo,

Fuentes de voltaje dependientes lineales:

( )2 34 16

18

f

f x

v i v

i i

= −

=

Fuentes de voltaje dependientes no lineales:

22

2 3

5

0,6

f

f

v i

v i v

=

=

Circuito lineal

Se define un circuito lineal como un circuito que está compuesto únicamente de:

• fuentes independientes,

• fuentes dependiente lineales y

• elementos lineales.

En un circuito lineal, la multiplicación de todas las fuentes independientes decorriente y de voltaje por una constante α aumenta todas las respuestas de corriente y devoltaje en el mismo factor α (esto incluye la salida de las fuentes dependientes de voltaje o

de corriente).

3.2. Teorema de Superposición

Una propiedad de la linealidad de los sistemas es la Superposición y resulta de

considerar las propiedades de aditividad y homogeneidad juntas. El Teorema de

Superposición se enuncia como:

En cualquier circuito resistivo lineal que contenga dos o más fuentesindependientes, cualquier voltaje o corriente del circuito puede calcularse

como la suma algebraica de todos los voltajes o corrientes individualesoriginados por cada fuente independiente actuando por sí sola, es decir, con

todas las demás fuentes independientes apagadas.




49

El término apagar las fuentes es lo mismo que decir llevarlas a cero, de tal forma queal eliminar una fuente de voltaje se está diciendo que la diferencia de potencial entre las dos

terminales del elemento, es igual a cero, esto es un cortocircuito. Así mismo, el término

apagar una fuente independiente de corriente es lo mismo a decir, que entre los terminales

pasa una corriente eléctrica igual a cero, en otras palabras se tendría un circuito abierto.Ambos conceptos se muestras gráficamente en figura 1.

Si en un circuito existe n fuentes independientes, el Teorema de Superposición

permite estudiar su comportamiento en n casos separados, donde, en cada caso, solo estáactiva una fuente independiente. Observe que las fuentes dependientes se mantienen activas

en todos los n casos.

Tampoco hay razón para que una fuente sólo pueda, en los diversos casos, tomar

únicamente su valor dado, o un valor de cero. Es como considerarla una fuente parcialmente activa; lo único que se necesita es que la suma de todos los valores que tomesea igual a su valor total.

Como todos los circuitos que se han estudiado hasta el momento son lineales,

entonces el Teorema de Superposición puede ser aplicado a cualquiera de los circuitosanteriormente explicados.

3.3. Teoremas de Thévenin y Norton

El concepto de redes de dos terminales equivalentes indica que cuando se aplica una

tensión idéntica sobre los terminales, se obtiene una corriente idéntica a través de ellos. Lasimplificación de circuitos en paralelo y serie, con resistencias equivalentes son ejemplossencillos de este concepto.

Los teoremas de Thévenin y Norton pueden ser considerados generalizaciones de

estos conceptos. El primero, ingeniero francés, y el segundo, científico estadounidense,demostraron que cualquier circuito lineal tiene un circuito equivalente, compuesto de una

resistencia equivalente y una fuente independiente; como se muestra en la figura 2.

Figura 1. Significado del término apagar fuentes

independientes




50

El bloque mostrado en la figura 2 y denominado circuito lineal , puede tener

cualquier número de resistencias y fuentes, no importa si son dependientes o

independientes, lo importante es que si a cualquiera de los tres circuitos se le conecta lamisma carga (que puede ser una resistencia de carga u otro circuito), tanto el voltaje v

entre sus terminales como la corriente i que circule por estos deben ser idénticos. Por lo

tanto, el problema radica en encontrar los valores apropiados deth

v yth

R , o bien N i y

N R .

Del circuito de la figura 3a se obtiene (3.2), dondeoc

V se denomina voltaje de

circuito abierto.

th th ocv R i v= ⋅ + (3.2)

Figura 3. Circuitos equivalentes, en circuito abierto entre las

terminales de interés.

Figura 2. Diagrama eléctrico para representar el concepto de circuito

equivalente.




51

Pero, al estar en circuito abierto, la corriente 0i = , de donde se obtiene (3.3), que

indica que la fuente de tensión independiente en el circuito equivalente Thévenin tiene el

valor del voltaje de circuito abierto ocv .

th ocv v= (3.3)

Por otra parte, de la figura 3.b, se obtiene

oc N N v R i= (3.4)

Sustituyendo (3.4) en (3.3), se obtiene una expresión para el voltaje de Thévenin en

función de los parámetros del circuito equivalente de Norton.

th N N v R i= (3.5)

Si los terminales a y b de los circuitos equivalentes de la figura 2 se dejan en corto

circuito ( 0 R = Ω ), entonces ellos toman la forma mostrada en la figura 4.

Aplicando la ley de Ohm al circuito de la figura 4a, se obtiene (3.6), donde sci se

denomina corriente de corto circuito.

th

scth

vi

R= (3.6)

De la figura 4b, es posible deducir que toda la corriente de suministro, N i , se drenará

por el corto circuito, i.e.,

N sci i= (3.7)

Figura 4. Circuitos equivalentes, en corto circuito entre las

terminales de interés.




52

Entonces, sustituyendo (3.7) en (3.6), se obtiene la siguiente expresión, querepresenta la relación entre la corriente de Norton en términos de los parámetros del

circuito equivalente de Thévenin.

th N

th

vi R

= (3.8)

Despejandothv de (3.8) y sustituyéndolo en (3.5) se encuentra que

th N N th N v R i R i= ⋅ = ⋅ (3.9)

Por lo tanto, se demuestra que la resistencia en serie del circuito equivalente

Thévenin es idéntica a la resistencia en paralelo del circuito equivalente de Norton, esto es,

N th R R= (3.10)

Sustituyendo (3.3) y (3.7) en (3.8), se obtiene que

octh N

sc

v R R

i= = (3.11)

Procedimiento General

1) Identificar las dos terminales de la red a la cual se le determinará el circuito equivalente.

2) Dependiendo de la presencia de fuentes independientes y dependientes, determinar la

Resistencia Equivalente según los tres casos expuestos a continuación.

a) Caso 1: En presencia únicamente de Fuentes Independientes.

i) Método 1: Si la red no es muy compleja.

(1) Igualar a cero todas las fuentes independientes de la red.

(2) Utilizando métodos de reducción de circuitos sencillos, se calcula la

resistencia equivalente,th

R o N

R , vista desde las terminales identificadas en

el punto 1. Si se tienen fuentes de tensión y corriente reales, las resistencias

internas de las fuentes se deben mantener.ii) Método 2: Si la red es de topología compleja.

(1) Mantener encendidas las fuentes independientes y calcular lath N R R=

utilizando la expresión (3.11)




53

b) Caso 2: En presencia de Fuentes Independientes y Dependientes.

i) Método 1:

(1) Mantener encendidas las fuentes independientes y calcular lath N

R R=

utilizando la expresión (3.11).ii) Método 2:

(1) Apagar las fuentes independientes.

(2) Se conecta, entre los terminales definidos en el punto 1, una fuente

independiente de corriente 1 Ao

I = y se determina el valor de voltajeo

V

entre esas terminales, luego se halla la resistencia equivalente a partir de la

siguiente ecuación1,

0 00

0 1th

V V R V

I = = = (3.12)

c) Caso 3: En presencia únicamente de Fuentes Dependientes.

i) No apagar las fuentes dependientes.ii) Se conecta, entre los terminales definidos en el punto 1, una fuente

independiente de corriente 1 Ao

I = y se determina el valor de voltajeo

V entre

esas terminales, luego se halla la resistencia equivalente a partir de la ecuación(3.12).

3) Regresar todas las fuentes a su valor original y determinar, ya sea,

a) Eloc

v entre las dos terminales identificadas en el punto 1, esta tensión esth

v , o

bien,

b) La sci entre los dos terminales identificados en el punto 1, esa corriente es

N i .

4) Dibujar el circuito buscado, ya sea

a) El Circuito Equivalente de Thévenin, que consiste en una fuente independiente de

voltajeth

v en serie conth

R , o

b) El Circuito Equivalente de Norton, el cual está formado por una fuente

independiente de corriente de magnitud N i en paralelo con la Resistencia de

Norton N

R .

1 Alternativamente se puede utilizar una fuente independiente de voltaje 1 VoV = y determinar el valor de la resistencia

equivalente como el inverso del valor de la corriente obtenidao

I .




54

3.4. Máxima Transferencia de Potencia

Una de las aplicaciones de la teoría de circuitos eléctricos consiste en encontrar la

potencia máxima suministrada por un determinado circuito, esta aplicación utiliza el

concepto de máxima transferencia de potencia.

En general, en presencia de un circuito lineal, es conveniente conocer las

circunstancias en las cuales se le pueda extraer la máxima potencia posible. El objetivo es

encontrar el valor correcto de L

R con el cual se puede maximizar esa potencia. Considere el

equivalente Thévenin del circuito lineal de la figura 5,

Del equivalente de Thévenin se tiene que

Th

Th L

V i

R R=

+(3.13)

y, por lo tanto, la potencia disipada por L

R es

22

2( )

Th L L L

Th L

V R P i R

R R= =

+(3.14)

Para hallar el valor máximo de L P (suponiendo que

L R puede variarse) se tiene que

encontrar su derivada respecto a L

R e igualarla a cero, esto es:

2 2 2

4

( ) 2 ( )0

( )

Th L Th Th L Th L

L Th L

R R V V R R R P

R R R

+ − +∂= =

∂ +(3.15)

De la ecuación (3.15) se llega el resultado buscado, el cual es,

L Th R R= (3.16)

De esta igualdad se concluye que, para obtener la máxima transferencia de potencia

de un circuito o fuente, el valor de la resistencia de carga debe ser igual a la resistencia de

Thévenin.

Figura 5. Circuito lineal y su equivalente de Thévenin como paso intermedio para

determinar la máxima transferencia de potencia.




55

3.4.1. Valor de la potencia máxima transferida

Se ha dicho que si la resistencia de carga cumple con (3.16), entonces se le estaráextrayendo la máxima potencia al circuito. Para calcular el valor de esa máxima potencia,

se utiliza la ecuación (3.14) sustituyendo L

R porTh

R , esto es,

2

max 2( )

Th Th L

Th Th

V R P

R R=

+(3.17)

Por lo tanto, la potencia máxima transferida viene dada por,

2

max4

Th L

Th

V P

R= (3.18)

3.4.2. Concepto de Eficiencia

La eficiencia de un circuito, η , se entiende como la cantidad de potencia que absorbe

la carga en relación con la potencia generada por las fuentes. Se calcula como el cociente

entre la potencia absorbida L

P y la potencia suministradaS

P ; generalmente se expresa como

un porcentaje. En el caso del circuito equivalente de Thévenin, esta eficiencia se calcula

como,

( )

2 2

100 100( )

L L L

S Th Th L

P i R i R

P iV i i R Rη = = =

+(3.19)

De donde la eficiencia, en porcentaje, viene dada por la relación,

100 L

Th L

R

R Rη =

+(3.20)

3.5. Transformación de Fuentes de Tensión y de Corriente

Eléctrica

3.5.1. Fuentes reales de voltaje y corriente

Trabajar con fuentes ideales de voltaje y corriente es aceptable en aplicaciones conámbitos pequeños de variación del voltaje, corriente o potencia. La figura 6 muestra dos

arreglos de elementos ideales que buscan modelar, de mejor manera, el comportamiento

real de la fuente de voltaje y de corriente.




56

Fuente práctica de voltaje

La fuente ideal de voltaje es capaz de mantener constante el voltajeindependientemente de la corriente de suministro. En la práctica no existe un elemento con

estas características pues tendría la capacidad para entregar una potencia infinita, porejemplo la situación hipotética de una fuente ideal de voltaje en corto circuito.

Del modelo de la figura 6a, se ve que la fuente de voltaje real esta conformada por

una fuente ideal g

v en serie con una resistencia interna g

R . Aplicando LVK, el voltaje v

en la resistencia de carga es,

L

L g

Rv v

R R=

+(3.21)

Aplicando la ley de Ohm se determina que,

g

L

vi

R R=

+(3.22)

De (3.21) y (3.22), se concluye que, para los casos extremos de corto y circuito

abierto se tiene,

(circuito abierto)

(corto circuito)

g

g

g

v v

vi R

=

= (3.23)

La ecuación (3.23) permite demostrar que, como R siempre es mayor que cero,

entonces una fuente real nunca podrá entregar una corriente infinita. La expresión (3.21)

señala que conforme L R aumenta, el voltaje de la carga tiende a la tensión de la fuente, tal

Figura 6. Fuentes prácticas de voltaje y de corriente.




57

y como se muestra en la figura 7, esto es, si L g R R , la fuente real se asemeja a una fuente

ideal. Se observa que en circuito abierto v v= , una vez que se conecte una carga, esta

tensión va a disminuir, este efecto se conoce como efecto de carga.

Fuente Práctica de corriente

Por su parte, la fuente ideal de corriente es capaz de mantener constante el suministrode corriente, independientemente de la tensión entre sus terminales. De nuevo, en la

práctica no existe un elemento de esta índole pues tendría la capacidad para entregar una

potencia infinita.

El comportamiento real de una fuente de corriente presenta una reducción en el

suministro de corriente conforme la resistencia de carga crece. Aplicando un divisor de

corrientes en la figura 6b se obtiene que,

g

g L

Ri i

R R=

+(3.24)

La figura 8 presenta el comportamiento de la corriente en una fuente real, se observauna reducción de la corriente conforme se incrementa la carga entre los terminales de la

fuente, (efecto de carga). Se puede afirmar que la corriente será constante cuando L R R

Figura 7. Tensión suministrada por una fuente en términos de la carga.




58

Cálculo de la resistencia interna

Con los conocimientos adquiridos, es posible determinar la resistencia interna de unafuente real, para ello, se mide la tensión entre los bornes de la fuente sin ninguna carga, esta

tensión es, de acuerdo a (3.23)

v v= (3.25)

Posteriormente se conecta un reóstato como carga y se varía hasta obtener una tensión

entre sus terminales de 0,5 v , se desconecta la carga y se mide su valor, el cual

corresponde a

L g R R= (3.26)

Técnicas para medir la resistencia

Para medir el valor de la resistencia mencionada en (3.26), se puede utilizar un

ohmiómetro. Si la resistencia es muy alta se puede utilizar un medidor de aislamiento omegómetro (popularmente también se le denomina megger ), pero si esa resistencia es de

valor medio también se puede utilizar un puente de Wheatstone, el cual fue inventado por

Charles Wheatstone (1802-1875) como un método eficaz para medir con precisión el valorde resistencias. Su funcionamiento toma como base el circuito mostrado en la figura 9,

donde x R es la resistencia incógnita. El procedimiento consiste en variar el reóstato

2

R hasta lograr que la corriente a través del galvanómetro sea cero, en esta condición, se

puede afirmar que1 R estará en serie con

2 R y que3 R estará en serie con

x R . Además,

considerando que no circula corriente por el galvanómetro, entonces la tensión DC BC V V = ,

por lo tanto, por división de voltajes,

2

1 2 3

x

x

R R

R R R R=

+ +(3.27)

Figura 8. La corriente suministrada por la fuente en función de la carga.




59

Despejando x R , se obtiene que

2 3

1

x

R R R

R= (3.28)

3.5.2. Transformación de fuentes

Observando los dos circuitos de la figura 6 se concluye que para L R ambos son

equivalentes si le proporcionan el mismo voltaje v y la misma corriente i , lo cual se

garantiza si

g L g g

L L g L g

v R i R

v R R R R R= =

+ +(3.29)

De donde se obtiene la expresión (3.30), la cual da las condiciones que deben

cumplirse para realizar la transformación de una fuente de voltaje en una de corriente y

viceversa.

g g v i R= (3.30)

3.6. Transformación Delta -Estrella

La configuración∆

(delta) o Y (estrella) pertenece al grupo denominado redes de dos puertas. La opción de transformar entre estas dos configuraciones tiene como objetivo

resolver situaciones de reducción de circuitos, especialmente cuando los elementos pasivos

no pueden combinarse aplicando las técnicas de elementos en paralelo o en serie.Naturalmente la transformación propuesta no debe alterar las condiciones eléctricas para el

resto del circuito.

Figura 9. Puente de Wheatstone.




60

En el arreglo de resistencias que se muestra en la figura 10a no es posible identificarelementos conectados en serie o en paralelo, a este tipo de conexión de elementos se le

denomina conexión en delta ( )∆ . Así mismo, el arreglo de resistores de la figura 10b

tampoco presenta elementos conectados en serie o en paralelo, a esta conexión se le conoce

con el nombre de estrella (Y).

Ambas redes de tres terminales, en la figura 10, son equivalentes si los voltajes entre

las terminales abv , bcv y acv ; así como las corrientes , ,a b ci i i no sufren ningún cambio

entre una conexión y la otra. Para satisfacer esta condición, las resistencias asociadas deben

satisfacer las condiciones del Cuadro 1.

Y – ∆ ∆ – Y

ab R = a b a c b c

c

R R R R R R

R

+ +

a R =ab ac

ab bc ac

R R

R R R+ +

bc R = a b a c b c

a

R R R R R R

R

+ +

b R =ab bc

ab bc ac

R R

R R R+ +

ac R = a b a c b c

b

R R R R R R

R

+ +

c R =ac bc

ab bc ac

R R

R R R+ +

Cuadro 1: Ecuaciones para transformar una estrella en una delta equivalente o viceversa

Figura 10. La red ∆ de tres terminales en a) y la red Y de tres terminales en b) son equivalentes si

las seis resistencias satisfacen las condiciones de la transformación∆ – Y o Y – ∆ del Cuadro 1.




61

3.7. Herramientas digitales

Introducción

En la actualidad, la ingeniería se vale de la computación e informática para resolver

problemas de variada complejidad, que van desde la evaluación de una simple función, laresolución de un sistema de ecuaciones, hasta el diseño, simulación y análisis delcomportamiento de sistemas de alto orden, grandes circuitos o procesos complejos.

El propósito de esta sección es el de facilitarle al estudiante una rápida y fácil

introducción a dos paquetes programación: el primero es el lenguaje de simulación decircuitos eléctricos denominado Tina®. El segundo es un programa para el cálculo

numérico y tratamiento de datos llamado Matlab®.

Existen otros programas que sin duda serán de gran ayuda, como el PSpice® para el

caso de simulación de circuitos eléctricos y del cual existe una versión gratuita de

demostración. Para cálculo numérico puede ser utilizado el software de licenciamientogratuito Scilab®.

3.7.1. Simulación de circuitos eléctricos El Tina®, de la empresa Design Soft, es un producto húngaro creado por el Dr.

Mihály Koltai, ofrece un software para el diseño, simulación y análisis de circuitos

eléctricos, tanto analógicos como digitales, así como de circuitos híbridos. Los resultadosde los análisis pueden ser desplegados como diagramas o utilizando instrumentos virtuales.

Además, permite crear el arte para la construcción de circuitos impresos. Tina® ofrece un

menú de auto ayuda disponible en la página principal que suministra una buena orientación

sobre el uso de sus diferentes instrucciones y comandos.

Introducción de Datos

Tina® es un sistema interactivo, el cual permite ir construyendo el circuito tomando

las partes de un menú que se ofrece en el momento de cargar el programa tal y como se

muestra en la figura 11. Como se observa en esta figura, desde el menú Basic ya se puedeseleccionar los elementos básicos de un circuito, en este caso se muestra un circuito

resistivo elemental.




62

Generación de la respuesta

Existen varias formas para obtener las respuestas del circuito, dos de ellas son:

• Utilizando puntos de medición, como en la figura 12. En este caso se selecciona delmenú Meters el tipo de dispositivo que se desea utilizar para medir, en el ejemplo se

utilizó el Voltage pin y el Current arrow. Una vez seleccionados, colocados y

conectados, se procede a iniciar la simulación escogiendo del menú Interactive, la

opción Start. • Utilizando Análisis dc, como en la figura 13. Esta opción es interesante porque se

obtiene un resultado de todos los puntos de interés del circuito. Para ello, se

selecciona, del menú Analysis, la opción DC Analysis y luego Table of DC results. Otra forma es seleccionar, de ese mimo menú, la opción Calculate nodal voltages

que ofrece una posibilidad de medir los voltajes en los nodos utilizando una punta

de prueba, lo cual se aprecia en la figura 14.

Otros métodos para la captura de datos aparecen en el menú T&M , en donde se

pueden encontrar los osciloscopios, multímetros, analizadores de señales, registradores y

otros.

Figura 11. Pantalla principal que presenta un circuito resistivo.




63

Figura 12. Generación de salidas utilizando puntos de medición.

Figura 13. Generación de salidas utilizando la tabla de resultados DC.




64

3.7.2. Cálculo numérico y tratamiento de datos

El Matlab® se desarrolló originalmente como un “Laboratorio de matrices” y se haconvertido en un entorno de computación técnica de gran difusión. Es un sistema

interactivo que incluye cómputo numérico, cómputo simbólico, visualización científica,

facilidades de graficación y un extenso número de aplicaciones (“toolboxes”).

Es un sistema interactivo y la definición de los datos básicos, por parte del usuario,

no requiere de ninguna indicación de su dimensión, esto permite una forma muy fácil de

definición de constantes, variables, vectores y matrices. El símbolo >> es el “prompt” del

Matlab® y cada comando se termina con “enter”.

Si se introduce n=1.0, Matlab® crea una variable con el nombre n, no es necesario

especificar la dimensión, se reserva automáticamente la cantidad de memoria requerida; si

la variable ya existe, entonces Matlab® cambia el contenido de la misma. Con un punto y

coma (;) al final de cualquier comando se le indica al Matlab® que no debe dar un eco de

la línea de comando.

Ejemplo >> numero_real = 1.35

numero_real = 1.3500

>> numero_entero = 3

numero_entero = 3

Figura 14. Medición de voltajes en los nodos.




65

>> numero_pi = pi

numero_pi = 3.1416

>> complejo2 = 2+3i

complejo2 = 2.0000 + 3.0000i

>> parte_real = real(complejo2)

parte_real = 2

>> parte_imaginaria=imag(complejo3)

parte_imaginaria = -3

>>conjugado= conj(complejo2)

conjugado = 2.0000 - 3.0000i

>> x = 3e4

x = 30000

Operador dos puntos (:)

Este operador establece la opción de generar secuencia de datos.

Ejemplo

>>tiempo =0:0.5:5 % de 0 a 5 en pasos de 0.5

tiempo =

Columns 1 through 9

0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000

4.0000

Columns 10 through 11

4.5000 5.0000

Definición de vectores y matrices

Vector Fila:>> f = [1 2 3] %Define una matriz (vector) fila f con dimensiones (1x3)

f = 1 2 3

Vector Columna:>> c = [1; 2; 3] %Define un vector columna con dimensiones (3x1)

c =

1

2

3

Matriz:>>A = [ 1,2; 3 4 ]

A =

1 2

3 4

Operaciones con matrices:>> A=[2 3 -5;1 2 1;3 3 -2]

A =

2 3 -5

1 2 1

3 3 -2




66

Matriz transpuesta

>>AT = A’

AT =

2 1 3

3 2 3

-5 1 -2

Matriz inversa

>>Ainv = inv (A)

Ainv =

-0.4375 -0.5625 0.8125

0.3125 0.6875 -0.4375

-0.1875 0.1875 0.0625

Determinante

>>DetA= det ( A )

DetA = 16

Sumas y restas

>>A2=A+A

A2 =

4 6 -10

2 4 2

6 6 -4

>>B=[1 2]

B = 1 2

>>A4=A2+B

??? Error using ==> plus

Matrix dimensions must agree.

Multiplicación de matrices

>>AA = A^2 = A*A

AA =

-8 -3 37 10 -5

3 9 -8

Funciones Matemáticas

Matlab® permite la realización de múltiples funciones matemáticas tales como log,sqrt, exp, abs, sin, cos, etc. Las funciones trigonométricas suponen ángulos en radianes.

Ejemplos

>> sqrt (4)

ans = 2

>>abs(-10)

ans =10

>>abs(3-4j)

ans = 5

>>cos(pi)

ans = -1

>>cosd(90)

ans = 0

>>exp(1)

ans = 2.7183




67

Raíces de polinomios

Las raíces de una ecuación de la forma ( ) y f x= donde las raíces son los valores de

x para los que y=0. Si la función f(x) es un polinomio de grado n, entonces f(x) tiene

exactamente n raíces.

Ejemplo

>>poli=[1 4 -4 4]; %Cálculo de las raíces de3 24 4 4 0 s s s+ − + =

>>raices = roots(poli) % se obtienen 3 raices

raices =

-4.9674

0.4837 + 0.7558i

0.4837 - 0.7558i

Graficación

Matlab® tiene disponible muchas facilidades de graficación, siendo una de ellas elcomando plot. Por ejemplo, si se desea graficar la función coseno. ( ) cos( ) f t t ω = , se

puede realizar de la siguiente forma:

>>w = 1.0; %frecuencia.

>>t = 0: 0.1: 10; %intervalo del plot.

>>u = cos(w*t);

>>plot (t, u ); %dibuja u contra t.

>>grid %cuadriculado en el gráfico

>>Title (‘Gráfico de la función coseno’)

>>xlabel ( ‘ Tiempo ‘ )

>>ylabel ( ‘ Magnitud ‘ )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Gráfico de la función coseno

Tiempo

M a g n i t u d

Modo Simbólico

El modo simbólico, proporcionado por Matlab como un “toolbox”, permite utilizar lasimbología matemática en la resolución de ecuaciones, tanto algebraicas como

diferenciales, así como el cálculo integral y operaciones matriciales. Su alcance es amplio y

se le invita al estudiante a revisar los manuales disponibles en la Web.




68

Evaluación de funciones con el comando “eval”

Permite evaluar una función, declarada en modo simbólico, en puntos específicos.

Por ejemplo, para evaluar la función definida por (3.31) en 0 st = y en 3,4 st = , se puede

escribir la siguiente secuencia de instrucciones:

[ ]2,5( ) 44 7cos(2,5 ) 16,8 (2,5 ) V t 0t v t e t sen t −= + + ∀ ≥ (3.31).

syms t % Modo simbólico

v=44+exp(-2.5*t)*(7*cos(2.5*t)+16.8*sin(2.5*t))

t=0

v0=eval(v) % Se evalúa la tensión v(t) en t=0

t=3.4

v34=eval(v) % Se evalúa en t=3,4 s

Que genera los siguientes resultados

v = 44+exp(-5/2*t)*(7*cos(5/2*t)+84/5*sin(5/2*t))

t = 0v0 = 51

t = 3.4000

v34 = 44.0019

Cálculo de derivadas con el comando “diff”

Para la aplicación de las derivadas considérese la función (3.32), la cual modela el

voltaje en un determinado circuito, en función de las incógnitas1 2, B B :

[ ]2,5

1 2( ) 44 cos(2,5 ) (2,5 ) V t 0t v t e B t B sen t −= + + ∀ ≥ (3.32)

Si se desea obtener su primera y segunda derivada basta introducir la siguiente

rutina2,

syms t B1 B2 v=44+exp(-2.5*t)*(B1*cos(2.5*t)+B2*sin(2.5*t)) Dv=diff(v) D2v=diff(v,2)

De donde se obtiene:

v = 44+exp(-5/2*t)*(B1*cos(5/2*t)+B2*sin(5/2*t))

Dv =

-5/2*exp(-5/2*t)*(B1*cos(5/2*t)+B2*sin(5/2*t))+exp(-5/2*t)*(-

5/2*B1*sin(5/2*t)+5/2*B2*cos(5/2*t))

2 La derivada es respecto al símbolo más cercano a la letra “x”. Si se desea una derivada parcial respecto a

otra variable, por ejemplo B1, se utiliza “diff(v,’B1’)”




69

Esto es

[ ] [ ]2,5 2,5

1 2 1 22,5 cos(2,5 ) sen(2,5 ) 2,5 sen(2,5 ) 2,5 cos(2,5 )t t dv

e B t B t e B t B t dt

− −= − + + − + (3.33)

La segunda derivada se obtendrá fácilmente de la expresión,

D2v =

25/4*exp(-5/2*t)*(B1*cos(5/2*t)+B2*sin(5/2*t))-5*exp(-5/2*t)*(-

5/2*B1*sin(5/2*t)+5/2*B2*cos(5/2*t))+exp(-5/2*t)*(-25/4*B1*cos(5/2*t)-

25/4*B2*sin(5/2*t))

Para una mejor lectura se puede utilizar el comando “pretty”

>> pretty(D2v)

25/4 exp(- 5/2 t) (B1 cos(5/2 t) + B2 sin(5/2 t))

- 5 exp(- 5/2 t) (- 5/2 B1 sin(5/2 t) + 5/2 B2 cos(5/2 t))

+ exp(- 5/2 t) (- 25/4 B1 cos(5/2 t) - 25/4 B2 sin(5/2 t))

Solución de Ecuaciones Algebraicas

También es útil, en el diseño y análisis de sistemas, la solución de ecuacionesalgebraicas, sea por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones,

1 2

1 2

4 12

2 3 12

A A

A A

+ + =

− − = − (3.34)

El cual se puede resolver de la siguiente forma

syms A1 A2 [A1,A2]=solve('A1+A2+4=12','-2*A1-3*A2=-12')

Dando como resultado

A1 = 12

A2 = -4

Solución de Ecuaciones Diferenciales

Otra herramienta útil es la utilizada para resolver ecuaciones diferenciales, que en elanálisis de sistemas permiten determinar las respuestas de las variables bajo estudio.




70

Considérese por ejemplo la respuesta natural de un proceso de segundo orden

2

25 6 0n n

n

d v dvv

dt dt + + = (3.35)

Para determinar su solución general, se puede procesar la siguiente rutina,

syms vn vn=dsolve('D2vn+5*Dvn+6*vn=0')

Cuyo resultado, en términos de las constantes 1 2C C , es

vn = C1*exp(-3*t)+C2*exp(-2*t)

Si se conocen las condiciones iniciales

0

(0 ) 12

12t

v

dv

dt +

+

=

=

= −(3.36)

Puede resolverse de la siguiente forma,

syms vn vn=dsolve('D2vn+5*Dvn+6*vn=0','vn(0)=12','Dvn(0)=-12')

Dando el siguiente resultado

vn =-12*exp(-3*t)+24*exp(-2*t)

Gráfico de ecuaciones

Se puede utilizar Matlab para trazar el comportamiento de una función utilizando el

comando ezplot . Sea la función definida en (3.37)

[ ]2,5( ) 44 7cos(2,5 ) 16,8 (2,5 ) V t 0t v t e t sen t −= + + ∀ ≥ (3.37)

syms t % Modo simbólico

v=44+exp(-2.5*t)*(7*cos(2.5*t)+16.8*sin(2.5*t))

ezplot(v) % Gráfico deja libre los límites de los ejes Figura 1 figure ezplot(v,[0 2]) % Gráfico eligiendo los límites las abscisas Figura 2

figure

axis([0 2 0 60]) % Definición de ejes de forma personalizada Figura 3




71

0 0.5 1 1.5 2

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

tFigura 2

44+exp(-5/2 t) (7 cos(5/2 t)+84/5 sin(5/2 t))

0 0.5 1 1.5 20

10

20

30

40

50

60

tFigura 3

44+exp(-5/2 t) (7 cos(5/2 t)+84/5 sin(5/2 t))

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x 105

tFigura 1

44+exp(-5/2 t) (7 cos(5/2 t)+84/5 sin(5/2 t))



Elementos Almacenadores de Energía

73

Capítulo 4


4.1. Funciones escalón unitario y exponencial

Introducción

Hasta ahora los circuitos eléctricos analizados durante el curso, tienen en común que

los valores de voltaje y corriente, en cualquiera de sus elementos, no varían durante el

tiempo, se mantienen constantes. Estos circuitos comúnmente denominados circuitos decorriente continua o dc son relativamente fáciles de analizar.

Pero si se permite que los valores de corriente y voltaje varíen en el tiempo de unaforma dinámica, el alcance en la utilización de estos circuitos aumenta de gran manera, la

variación puede ser de forma simple como el cerrar o abrir un interruptor, en donde la señal

cambia entre dos estados: cero, cuando el interruptor se encuentra abierto y otro un valordeterminado constante, diferente de cero, cuando el interruptor se encuentra cerrado.

Existen infinitas posibilidades para las formas de una señal, que represente lavariación del voltaje y la corriente, lo importante es conocer de que forma varían estas

señales con respecto al tiempo, para esto se utilizan varios métodos, uno de ellos es

especificar la señal utilizando una fórmula matemática aproximada o también se puede

utilizar métodos estadísticos para predecir el comportamiento de la señal en un tiempodeterminado.

El objetivo es presentar las características principales de las señales que comúnmenteinfluyen en el diseño o comportamiento de circuitos y no, necesariamente, el manejo

matemático de las mismas lo cual se deja para otros cursos.

Función escalón unitario

La función escalón unitario es una función matemática que tiene como característica,

el tener un valor de 0 para todos los valores negativos de su argumento y de 1 para todos

los valores positivos de su argumento, expresado matemáticamente sería de la forma (4.1) yque en la figura 1 se muestra gráficamente. Para

0t t = se tiene que el cambio ocurre

instantáneamente.




74

0

0

0

0( )

1

t t u t t

t t

∀ <⎧− = ⎨

∀ >⎩(4.1)

Esta función normalmente se utiliza para presentar variables que se interrumpen en

algún instante de tiempo, para esto se multiplica la función escalón unitario por la función

determinada. En la figura 2 se tiene la gráfica de una función f(t) definida como

( ) 14

t f t = − (4.2)

Si se toma esta función y se multiplica por la función escalón unitario ( 1)u t − , se

obtiene la gráfica de la figura 3.

Figura 1. Gráfico de la función escalón

Figura 2. Gráfico de una función cualquiera f(t).




75

Por último, es útil expresar una función que se define sólo en un intervalo definido,

por ejemplo la función f(t) definida en el intervalo [ ]1 , 2t ∈ − . Para ello se hace uso de la

función inversa0

( )u t t − − , la cual se define como

0

0

0

0( )

1

t t u t t

t t

∀ <⎧− − = ⎨

− ∀ >⎩(4.3)

Por lo tanto, la expresión (4.4) genera el gráfico mostrado en la figura 4, el cual

representa a la función f(t) que se enciende en 1t = − y se apaga en 2t = .

[ ]( ) ( 1) ( 2) ( ) ( 1) (2 ) f t u t u t f t u t u t + − − = + − (4.4)

Aunque las dos expresiones (4.4) dan como resultado el mismo gráfico, en laprimera se utiliza la suma de funciones escalón unitario, mientras que en la segunda, se

utiliza su multiplicación. Este tipo de función comúnmente se llama función puerta de f(t).

La forma general para generar la función puerta de una función que se conecta en 1t t = y

se desconecta en2t t = es,

Figura 3. Gráfico de una función cualquiera f(t)

multiplicada por el escalón unitario.

Figura 4. Gráfico de una función en la cual, con la función escalón se produce

el efecto de “encendido- apagado”.




76

[ ]1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

f t u t t u t t t t

f t u t t u t t t t

− − − ∀ <

− − ∀ <(4.5)

Función exponencial

La señal exponencial se repite con mucha frecuencia en el área de las ciencias, esta

señal tiene la forma matemática mostrada en (4.6) y en la figura 5 se presenta sucomportamiento respecto al tiempo.

( ) e at f t A

−= (4.6)

Un valor muy utilizado, es el valor de t necesario para que el exponente sea igual 1− ,

este valor es comúnmente denominado constante de tiempo y se simboliza por la letra τ ,esto es,

1 11at t

a aτ − = − ⇒ = ⇒ = (4.7)

La importancia del valor de la constante de tiempo es que τ es igual al tiempo

necesario para que la señal decaiga a cero, si decayese con una rapidez constante igual al

decaimiento que tiene al pasar por 0t = , en otras palabras, es la intersección de la recta

tangente a la función exponencial en 0t = , con el eje del tiempo.

También expresa que la señal ha bajado hasta el 36.8% del valor que tenía en 0t = ,

esto se observa evaluando la función exponencial para 1t aτ = = , tal y como se expresa en

ecuación (4.8). Además, si ( ) f t se evalúa para 5t τ = , el valor de la señal es un valor

despreciable de la señal en 0t = pues es menor del 1% y por lo tanto, para efectos en

ingeniería, la señal ya puede considerarse cero.

1( ) e e e 0,368a

a a f A A A Aτ

τ

−− −= = = = (4.8)

Figura 5. Gráfico de la función exponencial en la que se muestra el

decaimiento al 36,8% del valor inicial cuando ha transcurrido una

constante de tiempo.




77

4.2. Elementos almacenadores de energía

Hasta ahora se han tratado circuitos, que contienen solo resistencias y fuentes, acontinuación se tratarán otros dos elementos adicionales denominados capacitor

(condensador) e inductor (bobina). Estos elementos son diferentes del resistor en su

construcción, funcionamiento y finalidad. A diferencia de las resistencias, las propiedades

de estos elementos se muestran solo cuando varía, respecto al tiempo, el voltaje o lacorriente de alimentación.

Almacenadores de energía

La principal característica del capacitor y el inductor es su capacidad de almacenar

energía en una forma que pueda ser luego regresada al circuito. Lo anterior indica que, junto con las fuentes, estos elementos suministran energía dentro de un circuito, pero

ambos se clasifican como elementos pasivos puesto que no generan energía, solo laalmacenan

Figura 7. Ejemplo de un inductor típico de uso

en electrónica.

Figura 6. Ejemplo de capacitores disponibles en el mercado.




78

Almacenar energía dentro de los circuitos es algo que se ha venido practicando desde1746, cuando Pieter van Musschenbrock, profesor de física en Leyden, Holanda, fabricó elprimer dispositivo para almacenar energía, que consistía en una botella de vidrio con agua,

ver figura 8. Se demostró que la carga almacenada era inversamente proporcional al espesor

del vidrio y directamente proporcional al área superficial de los conductores.

A partir de aquí, unos científicos, como Coulomb, se dedicaron a investigar el

concepto de almacenamiento de carga, estableciendo los conceptos de la electrostática. Otros se interesaron por la teoría de la fuerza magnética, descubriendo el efecto queproduce sobre una aguja la electricidad. Oersted concluyó que el campo magnético era

circular y alrededor del alambre. Así, se fueron desarrollando experimentos para dar, poco a

poco, explicación a los fenómenos que envolvían al capacitor y al inductor .

4.3. El Capacitor ideal y real

Posteriormente se creó un capacitor de placas paralelas, construido con láminas

metálicas y aire como material aislante, ver figura 9.

La capacitancia, definida en (4.9), es la propiedad de almacenar energía en forma de

carga o campo eléctrico y se observa que depende de las características físicas del

elemento. Donde ε es la constante dieléctrica, también conocida como permitividad del

material, A es el área transversal del material conductor y d la distancia que separa las

partes conductoras.

AC

d

ε

= (4.9)

Figura 8. Botella de Leyden, primer dispositivo para

almacenar energía.




79

La batería le entrega la energía al capacitor mediante la aplicación de un voltaje ensus terminales, esta energía se almacena en forma de carga y, por lo tanto, existirá una

carga positiva por cada carga negativa, así la carga almacenada es directamente

proporcional al voltaje aplicado, dando como resultado la relación (4.10) donde C es lacapacitancia, expresada en coulomb por volt, unidad que se conoce como farad (F).

( ) ( )q t Cv t = (4.10)

Derivando la ecuación (4.10) con respecto al tiempo se obtiene (4.11) y, como

( )( )

dq t i t

dt = , entonces se obtiene (4.12) que es la relación voltaje - corriente en el

capacitor

( ) ( )dq t dv t

C dt dt =

(4.11)

.

( )( )

dv t i t C

dt = (4.12)

El símbolo

La figura 10 muestra el símbolo de este elemento, se incluye la convención pasiva de

signos para determinar su polaridad.

Figura 9. Capacitor de placas paralelas.

Figura 10. Símbolo del capacitor




80

Comportamiento ante una señal de corriente directa

De la expresión (4.12) se deduce que la corriente en un capacitor depende de la

variación del voltaje que se aplique en sus terminales, por lo tanto con un voltaje constante,

la corriente es cero y el capacitor se comporta como un circuito abierto.

El voltaje

Considerando que la corriente en un capacitor viene dada por la relación (4.12),

entonces al despejar el diferencial de voltaje dv e integrar a ambos lados de la ecuación, se

tiene el resultado (4.13) donde 0( )v t es la carga del capacitor en el instante inicial 0t .

0

0

1( ) ( ) ( )

t

t

v t i d v t C

τ τ = +∫ (4.13)

De la relación (4.12) se observa como el capacitor no acepta cambios instantáneos en

el voltaje, pues eso implicaría valores de corriente infinita y, por lo tanto, de potenciatambién infinita, lo cual es físicamente imposible. En conclusión el voltaje en un capacitor

no varía de forma instantánea.

La energía almacenada

La potencia absorbida por un capacitor se puede encontrar partiendo de,

dv p vi Cv

dt

= = (4.14)

Por lo tanto, la energía almacenada en el capacitor vendría dada por,

0 0

( )

2 2

0

( )

1( ) ( ) ( )

2

v t t

c

t v t

W p d C vdv C v t v t τ τ ⎡ ⎤= = = −⎣ ⎦∫ ∫ (4.15)

Suponiendo que la carga inicial del capacitor sea cero, entonces la energía

almacenada vendría dada por la relación

2 21 1( ) ( )

2 2c

W Cv t q t C

= = (4.16)




81

Capacitores reales

En el caso de los capacitores reales la presencia de un material dieléctrico entre

placas, indica que su resistencia al paso de la corriente es muy alta, pero no infinita. Esta

resistencia se le denomina resistencia de dispersión y produce que, cualquier capacitor real,

no pueda mantener su carga indefinidamente. La corriente de descarga a través de laresistencia de dispersión se conoce como corriente de fuga. Lo anterior se aprecia en la

figura 11.

Voltaje de ruptura o esfuerzo dieléctrico

Todo dieléctrico tiene un voltaje que lo perfora y permite establecer un flujo de

corriente a través de él, haciéndolo que se comporte como un conductor eléctrico. Un

ejemplo típico es la descarga atmosférica o rayo. Varios factores determinan ese voltaje de

ruptura, algunos son la distancia y el tipo de dieléctrico. En el caso del aire, este voltaje es

aproximadamente -12, 95 MV m⋅ .

Tipos de capacitores

Los capacitores pueden ser fijos o variables. De los fijos ellos se clasifican deacuerdo al tipo de dieléctrico utilizado, cada uno de teniendo características propias, por

ejemplo capacitancias alcanzadas en relación con la resistencia de dispersión y esfuerzos

dieléctricos. Los variables pueden modificar su capacitancia alterando el área o la distancia

de las placas. Algunos tipos de condensadores se describen a continuación.

• Condensador de aire. Se trata de condensadores, normalmente de placasparalelas, con dieléctrico de aire y encapsulados en vidrio. Como la

permitividad eléctrica es la unidad, sólo permite valores de capacitancia muy

pequeños. Se utilizó en radio y radar, pues carecen de pérdidas y polarizaciónen el dieléctrico, funcionando bien a frecuencias elevadas.

• Condensador de mica. La mica posee varias propiedades que la hacenadecuada para dieléctrico de condensadores: bajas pérdidas, exfoliación en

láminas finas, soporta altas temperaturas y no se degrada por oxidación o con

la humedad. Sobre una cara de la lámina de mica se deposita aluminio, queforma una placa. Se apilan varias de estas láminas, soldando los extremos

alternativamente a cada uno de los terminales. Estos condensadores funcionan

bien en altas frecuencias y soportan tensiones elevadas, pero son de alto costo.

Figura 11. Modelo del capacitor real




82

• Condensadores de papel. El dieléctrico es papel parafinado, bakelizado osometido a algún otro tratamiento que reduce su higroscopía y aumenta el

aislamiento. Se apilan dos cintas de papel, una de aluminio, otras dos de papely otra de aluminio y se enrollan en espiral. las cintas de aluminio constituyen

las dos armaduras, que se conectan a sendos terminales. Se utilizan dos cintasde papel para evitar los poros que pueden presentar.

• Condensador electrolítico. El dieléctrico es una disolución electrolítica queocupa un recipiente electrolítico. Con la tensión adecuada, el electrolito

deposita una capa aislante muy fina sobre el recipiente que actúa como unaplaca y el electrolito como la otra. Consigue capacidades muy elevadas, pero

tienen una polaridad determinada, por lo que no son adecuados para funcionar

con corriente alterna. La polarización inversa destruye el óxido, produciendouna corriente en el electrolito que aumenta la temperatura, pudiendo hacer

arder o estallar el condensador.

• Condensador de poliéster . Está formado por láminas delgadas de poliéstersobre las que se deposita aluminio, que forma las placas. Se apilan estas

láminas y se conectan por los extremos. Del mismo modo, también se

encuentran condensadores de policarbonato y polipripoleno.

• Condensador styroflex. Otro tipo de condensadores de plástico, muy utilizadoen radio, por responder bien en altas frecuencias y ser uno de los primeros

tipos de condensador de plástico.

• Condensador cerámico. Utiliza cerámicas de varios tipos para formar el

dieléctrico. Existen tipos formados por una sola lámina de dieléctrico, perotambién los hay formados por láminas apiladas. Dependiendo del tipo,

funcionan a distintas frecuencias, llegando hasta las microondas.

• Condensador variable. Este tipo de condensador tiene una placa móvil quegira en torno a un eje, permitiendo que se introduzca más o menos dentro de

la otra.

• Condensador de ajuste. Son tipos especiales de condensadores variables. Lasplacas son semicirculares, pudiendo girar una de ellas en torno al centro,

variando así la capacitancia. Otro tipo se basa en acercar las placas, mediante

un tornillo que las aprieta.




83

4.3.1. Capacitores en serie

En la figura 12 se muestra una colección de capacitores conectados en serie y sucircuito equivalente.

En el primer circuito, al aplicar LVK se tiene la expresión (4.17) y si en esta ecuación

se sustituye la relación encontrada en (4.13) se llega a la secuencia mostrada en (4.18).

1 2( ) ( ) ( ) ( )

nv t v t v t v t = + + + (4.17)

0 0

0

0

1 0 0

1

0

11

01 1

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1( ) ( ) ( )

1

( ) ( ) ( )

t t

n

nt t

t n

k

k n t

t n n

k j k j t

v t i d v t i d v t C C

v t i d v t C C

v t i d v t C

τ τ τ τ

τ τ

τ τ

=

= =

= + + + +

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= +

∫ ∫

∑∫

∑ ∑∫

(4.18)

Evaluando (4.17) en0

t t = se obtiene,

0 1 0 2 0 0 0

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

n k

k

v t v t v t v t v t =

= + + + = ∑ (4.19)

Al reemplazar (4.19) en (4.18), se concluye que

0

0

1

1( ) ( ) ( )

t n

j j t

v t i d v t

C

τ τ

=

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∫ (4.20)

La relación voltaje-corriente en el circuito equivalente es

0

0

1( ) ( ) ( )

t

eq t

v t i d v t C

τ τ = +∫ (4.21)

Figura 12. Capacitores en serie y su circuito




84

Comparando estás dos últimas ecuaciones se obtiene

1 1 2

1 1 1 1 1n

jeq j nC C C C C =

= = + + +∑ (4.22)

Para el caso particular de dos capacitores en serie, se tiene el siguiente resultado:

1 2

1 2

eq

C C C

C C =

+(4.23)

4.3.2. Capacitores en paralelo

En la figura 13 se muestra una configuración general con n capacitores en paralelo.

Si al circuito se le aplica la LCK se obtiene la expresión (4.24). Considerando que la

tensión entre los terminales de cada capacitor es la misma, entonces se obtiene la secuencia(4.25).

1 2( ) ( ) ( ) ( )ni t i t i t i t = + + +(4.24)

( )

1 2

1 2

1

( )

( )

n

n

n k

k

dv dv dvi t C C C

dt dt dt

dv dvi t C C C C

dt dt =

= + + +

⎛ ⎞= + + + = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

(4.25)

Para el circuito equivalente, se tiene la siguiente expresión,

eq

dv

i C dt =

(4.26)

Por comparación entre (4.25) y (4.26) se obtiene la relación para obtener el capacitor

equivalente.

Figura 13. Capacitores en paralelo y su circuito




85

1 2

1

eq n

n

eq k

k

C C C C

C C =

= + + +

= ∑

(4.27)

4.4. El Inductor ideal y real

Introducción

Un inductor o bobina es un componente pasivo de un circuito eléctrico que, debido alfenómeno de la autoinducción, almacena energía en forma de campo magnético. A

diferencia del condensador o capacitor, la bobina por su forma (espiras de alambre

arrollados) almacena energía en forma de campo magnético. Todo cable por el que circula

una corriente tiene a su alrededor un campo magnético generado por la corriente. Al estarla bobina hecha de espiras, el campo magnético circula por el centro de la bobina y cierra

su camino por su parte exterior

Construcción

Un inductor está constituido usualmente por una bobina de material conductor,

típicamente alambre o hilo de cobre esmaltado. Existen inductores con núcleo de aire o con

núcleo de un material ferroso. En la figura 14 se muestra un lote de inductores típicos deuso en electrónica.

Los inductores pueden también estar construidos en circuitos integrados, usando el

mismo proceso utilizado para realizar microprocesadores. En estos casos se usa,

comúnmente, el aluminio como material conductor. Sin embargo, es raro que se construyaninductores dentro de los circuitos integrados; es mucho más práctico usar un circuito

llamado girador , oscilador sintético o inductor sintético que consiste en una red eléctrica

Figura 14. Grupo de inductores de uso común.




86

de dos puertos que, mediante un amplificador operacional, hace que un condensador secomporte como si fuese un inductor, no así sus propiedades electromagnéticas.

Unidad de medida

La propiedad que tienen las bobinas de almacenar energía en forma de campomagnético, como resultado de la variación de corriente que la atraviesa, se denomina

inductancia. La unidad para medir la inductancia es el henry, cuyo símbolo es H. El valor

de la inductancia depende de la forma, características constructivas y propiedades físicas de

los materiales utilizados en la construcción de la bobina; por ejemplo: número de espiras,diámetro de las espiras, longitud del cable y material del núcleo.

Aplicaciones

Una de las aplicaciones más comunes de las bobinas y que forma parte de nuestravida diaria es la bobina que se encuentra en los motores de combustión interna y que forma

parte del sistema de ignición. En los sistemas de iluminación con tubos fluorescentes existe

un elemento adicional que acompaña al tubo y que comúnmente se llama balastro. En lasfuentes de alimentación también se usan bobinas para filtrar componentes de corriente

alterna y obtener una buena señal dc.

Fuerza electromotriz autoinducida

Una variación de la intensidad de corriente dará como resultado una variación del

campo magnético y, por consiguiente, un cambio en el flujo magnético que atraviesa elcircuito. De acuerdo con la Ley de Faraday1, un cambio del flujo origina una fuerza

electromotriz autoinducida, fem. Esta fuerza electromotriz, de acuerdo con la Ley de Lenz2,

se opondrá a la causa que lo origina (la variación de la corriente eléctrica), por ello suelerecibir el nombre de fuerza contraelectromotriz.

Todo el campo magnético del inductor se concentra en su núcleo debido a su alta permeabilidad magnética3, se demuestra que ese voltaje, producto de la fem, viene dado por(4.28), donde N es el número de espiras de la bobina y Φ corresponde al flujo magnético

que cortan las espiras.

( )( )

d t v t N

dt

Φ= (4.28)

El flujo total N Φ es directamente proporcional a la corriente, tal y como se presenta

en (4.29), donde la constante de proporcionalidad se denomina la inductancia, entonces, al

derivar esta expresión y sustituirla en (4.28) se obtiene la relación voltaje-corriente (4.30)

para el inductor.1 La Ley de Faraday establece que el voltaje inducido en un circuito es directamente proporcional a la

rapidez con que cambia el flujo magnético que lo atraviesa.2

La Ley de Lenz indica que las fuerzas electromotrices o las corrientes inducidas serán de un sentido tal que

se opongan a la variación del flujo magnético que las produjeron.3 En física se denomina permeabilidad magnética a la capacidad de una sustancia o medio para atraer y

hacer pasar a través suyo los campos magnéticos.




87

( ) ( ) N t Li t Φ = (4.29)

( )( )

di t v t L

dt = (4.30)

El símbolo

El símbolo del inductor ideal se muestra en la figura 15. En la figura 16 se presenta el

símbolo para el inductor real. El modelo real considera la resistencia eléctrica propia delcable utilizado en la construcción de la bobina, así como la capacitancia parásita que surgede la cercanía entre una espira y la contigua. En general, el dieléctrico de esta capacitancia

lo forma el esmalte aislante con el que se recubre el alambre de la bobina.

Comportamiento en presencia de corriente directa

Observando la ecuación (4.30) se concluye que si no existe variación, respecto al

tiempo, de la corriente entonces no hay voltaje inducido y, por lo tanto, el inductor ideal endc se comporta como un cortocircuito. Este mismo razonamiento aplicado al modelo real,

mostrado en la figura 16, indica que el inductor, bajo condiciones de corriente directa, se

comporta como resistencia cuyo valor depende de las características constructivas deldevanado. Este análisis que se ha realizado es para el régimen permanente ya que en

régimen transitorio, esto es, al conectar o desconectar un circuito inductivo, suceden

fenómenos electromagnéticos que inciden sobre la corriente, este tema será visto en detallecuando se estudien los circuitos RL y RC.

Figura 15. Símbolo para representar un inductor ideal.

Figura 16. Modelo utilizado para representar un inductor real.




88

Comportamiento ante cambios bruscos de la corriente

Una característica interesante de los inductores es su oposición a los cambios bruscos

de la corriente que circula por ellos, lo cual resulta fácil de concluir al observar la relación

(4.30). Esto significa que a la hora de modificar la corriente que circula por una bobina

(ejemplo: conectarla y desconectarla a una fuente de poder de corriente directa), esta trataráde mantener su condición anterior. Por lo tanto, la corriente en una inductancia no puede

variar de forma instantánea.

La corriente

Si se integra ambos lados de la ecuación (4.30) se obtiene (4.31),

[ ]0 0

( )

0

( )

( ) ( ) ( )

i t t

t i t

v d Ldi L i t i t τ τ = = −∫ ∫

0

0

1( ) ( ) ( )

t

t

i t v d i t L

τ τ = +∫(4.31)

La energía almacenada

La potencia absorbida por un inductor se puede encontrar partiendo de

di p vi L i

dt

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠(4.32)

Por lo tanto, la energía almacenada en el inductor vendría dada por,

0 0

( )

2 2

0

( )

1( ) ( ) ( )

2

i t t

L

t i t

W p d L idi L i t i t τ τ ⎡ ⎤= = = −⎣ ⎦∫ ∫ (4.33)

Suponiendo que la carga inicial del inductor sea cero, entonces la energía almacenada

vendría dada por la relación

21( )

2 L

W Li t = (4.34)

4.4.1. Inductores en Serie

La figura 17 muestra una configuración de inductores en serie. Al aplicar la LVKpara el primer circuito se tiene:

1 2 nv v v v= + + +




89

Aplicando la definición de voltaje, para cada elemento, se concluye:

1 2 1 2( )n n

di di di div L L L L L L

dt dt dt dt = + + + = + + + (4.35)

Para el circuito equivalente se tiene que,

eq

div L

dt = (4.36)

Por comparación de estas dos últimas ecuaciones se obtiene la fórmula (4.37) que

permite determinar la inductancia equivalente.

1

n

eq k

k

L L=

= ∑ (4.37)

4.4.2. Inductores en paralelo

En la figura 18 se muestra un circuito eléctrico constituido por inductores en paralelo.

La corriente total es igual a la suma de las corrientes parciales, aplicando LCK y utilizando

la definición de corriente para cada elemento, se llega a la expresión.

Figura 17. Arreglo de inductores en serie.

Figura 18. Arreglo de inductores en paralelo




90

0

0

1 1 1

1( ) ( )

t n n n

k k

k k k n t

i i v d i t L

τ τ

= = =

= = +∑ ∑ ∑∫ (4.38)

Para el circuito equivalente la corriente viene dada por,

0

0

1( ) ( )

t

eq t

i v d i t L

τ τ = +∫ (4.39)

De (4.38) se tiene que

0 0

1

( ) ( )n

k

k

i t i t =

= ∑ (4.40)

Sustituyendo (4.40) en (4.38) e igualando esta expresión con (4.39) se obtiene laexpresión para la inductancia equivalente,

1

1 1n

k eq k L L=

= ∑ (4.41)

Para el caso particular de dos inductores en paralelo se tiene que

1 2

1 2

eq

L L L

L L=

+(4.42)



El Circuito de Primer Orden

91

Capítulo 5


Introducción

En este capítulo se estudiará la solución de circuitos que poseen únicamente unacombinación de inductores y resistores (circuitos RL); o bien capacitores y resistores

(circuitos RC). Como la energía es indispensable para el funcionamiento de los circuitos, se

presentarán situaciones con elementos precargados (energía inicial almacenada). También

se estudiarán estos circuitos cuando están alimentados de fuentes, tanto dependientes comoindependientes. Sin esta energía la respuesta del sistema será nula.

Aunque los circuitos que se van a analizar tienen una apariencia elemental, tienenimportancia práctica en el campo de la electrónica y son base del análisis de circuitos en

máquinas de corriente alterna.

El análisis de los circuitos RL y RC depende de la formulación y solución de las

ecuaciones integro-diferenciales que los caracterizan. Para el caso del análisis sin fuentes,

los circuitos RL o RC estarán descritos por ecuaciones diferenciales homogéneas que

representan la respuesta natural. La evolución de esta respuesta dependerá de laconfiguración y conexiones en el circuito, de la energía inicial almacenada y los elementos

que puedan disipar esa energía.

Cuando se consideren las fuentes independientes actuando sobre el circuito, el

sistema será llevado a una respuesta forzada por la fuente externa y su comportamiento

estará determinado por dos partes: una forzada y una natural. En este último caso, la sumade la respuesta natural y la respuesta forzada constituirá la respuesta completa del sistema

eléctrico.

5.1. Circuito RL sin fuentes

El circuito de la figura 1 está compuesto por una fuente independiente conectada auna resistencia en serie (podría representar una fuente real de voltaje) y una inductancia en

paralelo con otra resistencia. Después de un tiempo (al menos cinco constantes de tiempo)

se desconecta la fuente, quedando la inductancia y la resistencia de la derecha que formanun nuevo circuito, el cual se va a estudiar a continuación.




92

El accionamiento del interruptor es en un tiempo ínfimo y se descarta cualquier pérdida de energía en este dispositivo.

Se plantea la LVK alrededor de la malla, obteniendo que 0 R L

v v+ = . Si ahora se

utiliza la ley de Ohm, en conjunto con la relación diferencial entre corriente y voltaje del

inductor, se obtiene la ecuación diferencial homogénea de primer orden mostrada en (5.1).

Como el análisis planteado parte de que todas las fuentes independientes están apagadas,la respuesta de este tipo de circuitos se conoce como respuesta natural, pues depende solode sus parámetros, R y L. Si el circuito incluye fuentes dependientes, este se ve afectado por

ellas, por lo tanto se deben tener en cuenta a la hora de encontrar la respuesta natural del

circuito.

( )( ) 0

di t Ri t L

dt + = (5.1)

La solución de la ecuación diferencial (5.1) consiste en determinar ( )i t sujeta a la

condición inicial 0(0)i I = . Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de primer

orden, se pueden usar varios métodos como el de separación de variables o suponer una

solución exponencial. Muchas de las ecuaciones diferenciales que se encuentran en elanálisis de circuitos tienen soluciones de este tipo. De esta forma se determina que (5.2) es

solución de (5.1), lo cual se demuestra de forma sencilla.

0( ) R

Lt

i t I e−

= (5.2)

Potencia y energía

Ahora pueden estudiarse las relaciones de potencia y energía en el circuito. En elresistor, la potencia disipada viene dada por (5.3) y la energía total convertida en calor

puede calcularse utilizando la relación (5.4).

[ ]22 2

0( ) ( ) R

L R

t p t R i t RI e

−

= = (5.3)

2 22 2

0 00 0

0

( )2

R R

L L R R

t LW p d I R e d I R e

R

σ

σ σ σ

∞∞ ∞ − −−⎛ ⎞

= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ (5.4)

Figura 1: Circuito RL serie




93

De donde se obtiene la relación (5.5) que indica que la energía almacenada

inicialmente en el inductor es exactamente igual a la energía finalmente disipada en el

resistor.

2

0

1

2 R

W LI = (5.5)

5.1.1. Circuito RL general

En el caso general cuando el inductor se encuentre conectado a un arreglo de

resistencias, simplemente se determina la resistencia equivalente vista entre las terminales

del inductor y el circuito se reduce al caso sencillo de la figura 1, donde la solución de laecuación diferencial homogénea que describe al circuito, estará dada en forma general por

(5.6)

0( ) L

eq R t Li t I e−= (5.6)

En ocasiones, se requiere conocer alguna otra corriente o voltaje a parte de ( ) Li t , en

estos casos, siempre pueden aplicarse las leyes y herramientas aprendidas durante el curso.

5.1.2. Respuesta gráfica del circuito RL

De lo descrito en el tema de Función Exponencial, se expuso que su forma general

viene dada por (5.7) y que el parámetro τ , denominado constante de tiempo, tiene un

significado asociado con el decrecimiento de la función y que fue explicado en suoportunidad.

( ) et

f t A τ −

= (5.7)

Comparando (5.7) con (5.6) se determina que

0

eq

L A I

Rτ = = (5.8)

Como el exponente t

τ

− debe ser adimensional, entonces el parámetro τ está dado

en segundos. En la figura 2 se muestra el comportamiento de la corriente eléctrica en un

circuito RL el cual está inicialmente cargado con una energía proporcional a 0 I . Se observa

como la corriente decae progresivamente hasta un valor del 1,83%, del valor inicial, cuando

4t τ = .




94

En conclusión, la respuesta natural de un circuito RL depende de: la constante de

tiempo, la condición inicial y los parámetros.

Respuesta transitoria y en régimen permanente

Se puede afirmar que después de cinco constantes de tiempo, la corriente ya es una

fracción despreciable de su valor inicial y entonces la salida del circuito se ha estabilizado,el período antes de este punto se llama respuesta transitoria y la que se observa después se

denomina respuesta en estado estable o respuesta en régimen permanente.

Comentario final

Para el análisis de circuitos donde se involucren inductores, es importante recordar

que este tipo de elementos no acepta cambios bruscos en la corriente eléctrica, pero si

puede aceptar cambios bruscos en el voltaje.

5.2. Circuito RC sin fuentes

Una de las aplicaciones de los circuitos de primer orden (ya sea RC o RL), se

encuentran las redes de acoplamiento para amplificadores electrónicos y redes decompensación para sistemas de control. En la práctica, cuando un ingeniero tiene opción de

elegir entre una red RL y una red RC , se prefiere utilizar la segunda. Las razones de esta preferencia son las menores pérdidas presentes en el capacitor práctico, su menor costo, la

mejor aproximación que el modelo matemático hace del elemento real que pretende

representar y el menor tamaño y peso.

Figura 2. La corriente decae al 36,8 %, 13,5 % y 5 % de su valor inicial

en τ, 2τ y 3τ respectivamente




95

5.2.1. El circuito RC

Se estudiará el circuito RC que se muestra en la figura 3, es decir, un capacitor de

valor C conectado a un resistor de valor R. La tensión inicial del condensador vale V 0, estosignifica que,

00( ) (0)C C t

v t v V =

= =

Aplicando LCK, se obtiene,

( ) ( ) 0C Ri t i t + =

Sustituyendo ambas corrientes por la ley de Ohm y la relación voltaje-corriente en un

capacitor, se determina la ecuación diferencial siguiente,

0C C dv v

C dt R

+ = (5.9)

Integrando (5.9) se encuentra que el voltaje en el capacitor es

0( )C

t RC v t V e

−= (5.10)

De (5.10) se concluye que la tensión en el condensador va disminuyendo de forma

exponencial hasta llegar a cero. El voltaje inicial 0V es producto de la cantidad de energía

almacenada en 0t = .

Comparando la ecuación (5.10) con la forma general de la función exponencial, se

encuentra que la constante de tiempo, del circuito RC, queda definida como,

RC τ = (5.11)

Figura 3. Circuito RC




96

Por lo tanto, (5.10) puede escribirse como,

0 0( )C

t t RC v t V V e e τ

− −= = (5.12)

5.2.2. Respuesta gráfica del circuito RC

De acuerdo a la definición de constante de tiempo y observando la ecuación (5.12), se

aprecia que τ representa el tiempo necesario para que el voltaje en el capacitor se reduzca

a un 36,8% de su valor inicial, tal y como se muestra en la figura 4.

Valores mayores de R o C producen constantes de tiempo más grandes y una

disipación más lenta de la energía almacenada. Para un voltaje determinado, una resistenciamayor disipará una potencia menor y, por lo tanto, requerirá más tiempo para convertir la

energía almacenada en calor. Una capacitancia mayor almacena mayor cantidad de energía

requiriendo más tiempo para transferir esa energía almacenada.

5.2.3. Circuito RC general

En un circuito RC más general conformado por una red de resistencias y un capacitor,

la red resistiva que hay entre las terminales del capacitor se puede sustituir por un resistor equivalente y así analizar el problema como el caso simple de la figura 3, donde la solución

de la ecuación diferencial homogénea que describe al circuito, estará dada en forma general

por (5.13).

0( )C

eq

t R C

v t V e−

= (5.13)

Figura 4. Comportamiento del voltaje para un circuito RC.




97

5.2.4. Respuesta transitoria y en régimen permanente

Se puede afirmar que después de cinco constantes de tiempo, el voltaje ya es una

fracción despreciable de su valor inicial y se considera que la salida del circuito se haestabilizado, el período antes de este punto se llama respuesta transitoria y la que se

observa después se denomina respuesta en estado estable o respuesta en régimen permanente.

Comentario final

Para el análisis de circuitos donde se involucren capacitores, es importante recordar

que este tipo de elementos no permite cambios bruscos en su diferencia de potencialeléctrico, pero si puede aceptar cambios instantáneos en la corriente.

5.3. Respuesta Completa de los Circuitos de Primer Orden

Introducción

En esta sección se determinará la respuesta de un circuito de primer orden: RC o RL,

cuando se le aplica repentinamente una fuente, generando la respuesta forzada. La suma de

ambas respuestas: natural y forzada, define lo que se conoce como respuesta completa. La

representación de la aplicación repentina de una tensión o una corriente eléctrica, puedemodelarse por funciones como el escalón unitario.

5.3.1. Respuesta Completa del Circuito RC

Se estudiará el circuito de la figura 5a, compuesto por un condensador y una

resistencia de valor R. En el instante t=0 el interruptor conecta la fuente independiente detensión, pasando al circuito de la figura 5b.

La corriente en la resistencia viene dada por

( ) S C R

V vi t

R

−= (5.1)

Figura 5. Circuito RC dispuesto para el cálculo de la respuesta forzada.




98

Por lo tanto, como ( ) ( ) R C i t i t = , entonces,

S C C V v dvC

R dt

−= (5.2)

Separando variables e integrando, se obtiene

( )

( ) ( )

0

( )

0

0

( )

0

0

ln ( ) ln

1

( )

ln ( )

( )e e

C

v t C

S C S

C

S C

V t t

C

S C V

S C

S C

S

V

t V v t V V RC

RC dt dv

V v

dt RC dvV v t

t V v t

RC

V v t

V V

− − − −

=−

=−

= − −

−= =

−

∫ ∫

(5.3)

De donde se obtiene la relación

0( ) ( )eC S S

t

RC v t V V V

−

= + − (5.4)

Observando (5.4) se tiene que el valor final de tensión en el capacitor es el voltaje

suministrado por la fuente, tal y como se plantea en la relación (5.5).

lim ( )C S

t v t V V ∞

→∞= (5.5)

Se le ha llamado V ∞ a la tensiónSV y si se define la constante de tiempo como

RC τ = , se puede escribir la ecuación de la tensión del condensador como (5.6) que

constituye la fórmula principal para reconocer y trazar el comportamiento de los circuitosRC.

0( ) ( )eC

t

v t V V V τ

∞ ∞

−= + − (5.6)




99

Respuesta Natural y Respuesta Forzada

Para efectos de análisis se va a reescribir la ecuación (5.6) de la forma (5.7), en lacual se aprecian dos términos a la derecha de la igualdad

0( ) (1 )e e

C

t t v t V V τ τ

∞

− −= + − (5.7)

• La relación (5.8), representa el primer sumando de la derecha de (5.7), es larespuesta estudiada anteriormente para los circuitos RC sin fuentes y que por

esta razón se le denomina la respuesta natural. Es una respuesta que depende

únicamente de las condiciones iniciales y los parámetros del modelo. Si t τ =

la respuesta ha decaído un 36,8% de su valor inicial0

V .

0( ) e

C natural

t

v t V τ

−= (5.8)

• La ecuación (5.9), por su parte, representa el segundo sumando de (5.7), ellaes la respuesta debida a la aplicación persistente de las fuentes, por lo que se le

denomina respuesta forzada. Esta respuesta no depende de las condiciones

iniciales, pero sí depende de las fuentes aplicadas. Si t τ = la respuesta ha

alcanzado el 63,2% de su valor final V ∞ .

( ) (1 )eC forzada

t

v t V τ

∞

−= − (5.9)

• La respuesta completa, dada por (5.10) es la suma de las respuestas natural y

forzada, lo cual se aprecia gráficamente en la figura 6. Si t τ = la respuesta ha

alcanzado el 63,2% de ( )0V V ∞ − .

( ) ( ) ( )C C natural C forzadav t v t v t = + (5.10)




100

Respuesta Transitoria y Respuesta en Régimen Permanente

A partir de la respuesta completa de la figura 6, se define como respuesta transitoria,al segmento de la respuesta que dinámicamente une el estado inicial, dado por lascondiciones iniciales, con el estado final al que tiende el valor de la variable.

La respuesta en régimen permanente es el estado al que tienden las variables una vez

que han transcurrido al menos cinco constantes de tiempo. En el caso particular que laentrada sea constante cuando t → ∞ , esta respuesta queda definida cuando su valor no

evoluciona con el tiempo, permaneciendo constante.

Procedimiento

Para resolver un circuito con capacitores, interruptores, resistencias y fuentes se puede proceder de la siguiente forma:

a. Se calcula la tensión inicial del capacitor 0V , en general utilizando condiciones

estáticas.

b. Se determina el equivalente Thévenin entre los terminales del capacitor, esto es:

Th

Th

V V

R C τ

∞ =

=(5.11)

c. Se sustituyen los valores encontrados en (5.6).

Figura 6. Respuestas del circuito RC.




101

5.3.2. Respuesta Completa del Circuito RL

Considerando la dualidad RC-RL, se procederá a determinar la respuesta completa de

un circuito RL utilizando los resultados encontrados en la sección anterior. Inicialmente seconsiderará el circuito de la figura 7, compuesto por un inductor L y una resistencia R. En

el instante t=0 el interruptor conecta la fuente independiente de corriente.

Aplicando la LCK,

( ) ( )S R L I i t i t = + (5.12)

Como los elementos se encuentran en paralelo, entonces

L R

di L i R

dt = (5.13)

Despejando ( ) Ri t de (5.12) y sustituyéndolo en (5.13), se obtiene,

( )( ) LS L

di L I i t Rdt

= − (5.14)

Repitiendo el procedimiento de separación de variables descrito en (5.3), se obtiene

0( ) (1 )e e L S

R R

L Lt t

i t I I − −

= −+ (5.15)

Observando (5.15) se tiene que el valor final de la corriente en el inductor es,

lim ( ) L S

t i t I

→∞= (5.16)

Si se le llama I ∞ a la corriente S I y se define la constante de tiempo como L Rτ = ,

entonces (5.15) puede ser escrita como (5.17), que constituye la relación principal paradeterminar y trazar el comportamiento de los circuitos RL.

Figura 7. Circuito RL dispuesto para el cálculo de la

respuesta forzada.




102

0( ) ( )e

L

t

i t I I I τ

∞ ∞

−= + − (5.17)

Respuesta Natural y Forzada

De (5.15) se reconoce claramente la presencia de la respuesta natural, dada por el

término (5.18) y la respuesta forzada, constituida por el término (5.19).

0( ) e

L natural

R

Lt

i t I −

= (5.18)

( ) (1 )e L forzada

R

Lt

i t I ∞−

= − (5.19)

En la figura 8, se muestra la respuesta completa de un circuito RL, así como la

indicación de cada uno de los tipos de respuestas.

Si t τ = , la respuesta natural ha decaído un 36,8% de su valor inicial 0 I , la respuesta

forzada ha alcanzado el 63,2% de su valor final I ∞ y la respuesta completa ha alcanzado el

63,2% de ( )0 I I ∞ − .

Figura 8. Respuestas del circuito RL.




103

Procedimiento

Para resolver un circuito con inductores, interruptores, resistencias y fuentes se puede proceder de la siguiente forma:

• Se calcula la corriente inicial del inductor 0

I , en general utilizando condiciones en

régimen permanente.

• Se determina el equivalente Norton entre los terminales del inductor, esto es:

N

N

I I

L

Rτ

∞ =

=(5.20)

• Se sustituyen los valores encontrados en (5.17).



105

Capítulo 6


Introducción

En esta última sección del curso se determinará la respuesta completa de un circuito

que contiene dos elementos almacenadores de energía, inductores, capacitores o ambos.

Estos circuitos, con dos elementos de almacenamiento de energía, se describen con

ecuaciones diferenciales de segundo orden. De igual forma en este capítulo se podráobservar como la respuesta del circuito toma formas diferentes al variar los valores de los

elementos del circuito.

Como primer paso se debe hallar la respuesta natural, considerando los circuitos sin

fuentes, y luego se incluirán las fuentes y así determinar la respuesta completa como la

suma de la respuesta natural y la respuesta forzada.

6.1. El circuito RLC en paralelo sin fuentes

Se iniciará el cálculo de la respuesta natural de un circuito RLC en paralelo sinfuentes, resaltando que el circuito RLC en paralelo es de vital importancia en el estudio de

redes de comunicación y diseño de filtros.

El circuito de la figura 1 tiene un capacitor y un inductor y un resistor distinto decero. Para el análisis se supondrá que la energía puede almacenarse inicialmente, tanto en el

inductor como en el capacitor, por lo que la corriente del inductor y el voltaje del capacitor

podrán tener valores iniciales distintos de cero.

Figura 1. Circuito RLC paralelo.



106

Aplicando LCK en el nodo superior se obtiene

0

0

( ) ( ) ( ) 0

1

( ) ( ) 0

R L C

L

t

t

i t i t i t

v dv

v d i t C R L dt σ σ

+ + =

+ + + =∫

(6.1)

Siendo las condiciones iniciales del inductor y el capacitor:

0

0

(0 )

(0 )

Li I

v V

+

+

=

=(6.2)

Derivando a ambos lados la ecuación (6.1), con respecto al tiempo, se obtiene (6.3)

que corresponde a una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden cuya

solución, ( )v t , es la respuesta natural.2

2

1 10

d v dvC v

dt R dt L+ + = (6.3)

Solución de la ecuación diferencial

Hay varias formas de solucionar esta ecuación, una de ellas consiste en suponer una

solución de la forma (6.4).st

v Ae= (6.4)

Sustituyendo (6.4) en (6.3) se obtiene.

2 1 10st Ae Cs s

R L

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠(6.5)

Para satisfacer está ecuación, para cualquier t , al menos uno de los factores presentes

en la ecuación (6.5) debe ser cero. Hacer 0st Ae = no tiene sentido pues es la solución que

se está buscando, por lo tanto la solución se encontrará haciendo cero el término entreparéntesis, i.e.

2 1 1

0Cs s R L+ + = (6.6)

Esta expresión recibe el nombre de ecuación característica y, como se trata de una

ecuación de segundo grado, sus dos soluciones deberán satisfacer la solución propuesta(6.4). Estas dos soluciones se muestran a continuación,



107

2

1,2

1 1 1

2 2s

RC RC LC

⎛ ⎞= − ± −⎜ ⎟

⎝ ⎠(6.7)

Como ambas raíces son soluciones, entonces, sustituyendo 1s s=

y 2s s=

en (6.4), secumple que,

11 1

22 2

s t

s t

v A

v A

e

e

=

=(6.8)

Entonces, la primera solución1

s s= satisface la ecuación diferencial (6.9) y la

segunda solución satisface la ecuación (6.10).

2

1 112

1 10

d v dvC v

dt R dt L+ + = (6.9)

2

2 222

1 10

d v dvC v

dt R dt L+ + = (6.10)

Como el modelo es lineal, si 1v v= es solución y 2

v v= también es solución,

entonces (6.11) también debe ser solución de la ecuación diferencial.

( )1 2v v v= + (6.11)

Esto es, se debe cumplir que,

( ) ( )( )

2

1 2 1 2

1 22

1 10

d v v d v vC v v

dt R dt L

+ ++ + + = (6.12)

Sustituyendo (6.8) en (6.11) se llega a la forma general de la respuesta natural delcircuito RLC paralelo.

1 21 2

s t s t v A Ae e= + (6.13)

Donde

• s , 1s y 2

s , denominadas frecuencias complejas, están dados por la ecuación

(6.7),

• 1 A y 2

A son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales.



108

Definiciones

Las siguientes frecuencias están directamente relacionadas con la expresión (6.7).

• La frecuencia de resonancia se define como (6.14). Como la función st e es

adimensional, entonces el exponente st debe ser adimensional; siendo las

unidades de t en [ ]s , entonces las unidades de s son 1s−⎡ ⎤⎣ ⎦ , que corresponde a

unidades de frecuencia.

0

1

LC ω = (6.14).

• La relación (6.15) define la frecuencia neperiana, o coeficiente de

amortiguamiento exponencial. Esta expresión es una medida de la rapidez con

la que decae o se amortigua la respuesta natural.

1

2 RC α = (6.15)

Sustituyendo (6.14) y (6.15) en (6.7) se obtiene,

2 2

1,2 0s α α ω = − ± − (6.16)

Raíces de la Ecuación Característica

Observando las soluciones (6.16) se aprecia que, dependiendo de los valores relativosde α y

0ω , se pueden presentar tres condiciones, cada una de ellas llevan a un tipo de

respuesta particular.

• 2 2

0α ω > , dos raíces reales y diferentes, respuesta sobreamortiguada.

• 2 2

0α ω = , dos raíces reales iguales, se dice que la respuesta es críticamente

amortiguada.

• 2 2

0α ω < , dos raíces complejas conjugadas, en este caso la respuesta es

subamortiguada.



109

6.1.1. Respuesta Sobreamortiguada

El primer tipo de respuesta natural se obtiene cuando,

0α ω > (6.17)

Además, como ( )2 2 2

0α α ω < + se cumple (6.18), entonces1

s y2

s serán reales

negativos, así la respuesta encontrada (6.19) será la suma algebraica de dos términosexponenciales decrecientes los cuales tienden a cero conforme el tiempo aumenta.

2 2

0α α ω > − (6.18)

1 2

1 2( ) s t s t v t A Ae e= + (6.19)

Determinación de las constantes 1 A y 2 A

Las constantes1

A y2

A se determinan de las condiciones iniciales. Evaluando (6.19)

en 0t += ,

1 2 (0 ) A A v++ = (6.20)

Además, derivando (6.19) y evaluando en 0t += , se obtienen las ecuaciones (6.21) y

(6.22), respectivamente.

1 1 2 21 2

( ) s t s t dv t A s A s

dt e e= + (6.21)

1 1 2 2

0

( )

t

dv t A s A s

dt +=

= + (6.22)

Un método para calcular las condiciones iniciales

Para que el sistema de ecuaciones (6.20) y (6.22) sean útiles en la determinación de

1 A y2 A , es necesario conocer los valores de (0 )v

+ y0

( )t

dv t dt +=. Aplicando la LCK al

circuito de la figura 1 y evaluándola en cero, se obtiene

0

(0 ) (0 ) (0 ) 0

(0 ) ( )(0 ) 0

R L C

L

t

i i i

v dv t i C R dt

+ + +

+

+

+=

+ + =

⇒ + + =

Como (0 ) Li + y (0 )v + son datos conocidos entonces,

0

(0 )(0 ) (0 )( ) C L

t

iv Ridv t

dt RC C

++ +

+=

⎛ ⎞+= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠(6.23)



110

6.1.2. Respuesta Críticamente Amortiguada

Cuando los valores de los elementos están ajustados tal que 2 2

0α ω = , la respuesta del

circuito se denomina de amortiguamiento crítico, esto sucede si,

0α ω = (6.24)

En la práctica es muy difícil que se presente esta situación, el resultado real siempre

será un circuito sobre o subamortiguado. Sin embargo, de mantenerse esa condición larespuesta natural será,

( )1 2( ) t v t A A t e α −= + (6.25)

Determinación de las constantes1

A y2

A

De (6.25) se tiene que, para 0t += ,

1 (0 ) A v += (6.26)

Calculando la derivada de (6.25), se tiene

1 2 2

( ) t t t dv t A A A t

dt e e eα α α

α α − − −= − + − (6.27)

evaluando la derivada en 0t += , se obtiene

1

1 2

0

( )

t

dv t A A

dt α

+=

= − + (6.28)

6.1.3. Respuesta Subamortiguada

Esta condición se logra aumentando el valor de R , así, el coeficiente de

amortiguamiento α disminuye mientras que 0ω permanece constante. Cuando 2 2

0α ω < , la

ecuación característica del circuito RLC en paralelo tendrá dos raíces complejas, condición

que se presenta si,

0α ω < (6.29)

1Para determinar los valores de (0 )v +

y0

( )t

dv t dt +=se sugiere el método propuesto en la sección 6.1.1.



111

La solución será1 2

1 2( ) s t s t v t A Ae e= + (6.30)

donde

2 21,2 0

s jα ω α = − ± − (6.31)

Simplificando la expresión (6.31) se tiene,

1,2 d s jα ω = − ± (6.32)

donde d ω se denomina frecuencia natural de resonancia y se define como

2 2

0d ω ω α = − (6.33)

Sustituyendo (6.32) en la solución (6.13), se genera la respuesta en términos de la

frecuencia de resonancia,

( )1 2( ) d d t j t j t v t e A Ae eα ω ω − −= + (6.34)

Como

1 1

2 2d d d j t j t j t

j j

e e eω ω ω ± ± ±= + (6.35)

Entonces, sustituyendo (6.35) en (6.34), se tiene una forma equivalente pero más

extensa.

( ) ( )1 2 1 2( )2 2

d d d d

t

j t j t j t j t

v t e A A j A A j

e e e eα

ω ω ω ω

−− −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −

= + + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(6.36)

Utilizando la identidad de Euler,

cos sen j t

t j t e ω ω ω

± = ± (6.37)

sustituyendo (6.37) en (6.36) se determina la siguiente expresión para la tensión,

[ ]1 2 1 2( ) ( ) cos ( )sent

d d v t e A A t A A t α

ω ω −= + + − (6.38)

De donde se alcanza la respuesta buscada,

[ ]1 2( ) cos send d

t v t B t B t e α ω ω

−= + (6.39)



112

Esta ecuación representa la forma de la respuesta natural subamortiguada. Las

constantes 1 B y 2

B se determinan a partir de las condiciones iniciales. Observando su

forma matemática, se concluye que la respuesta subamortiguada es oscilatoria con

magnitud decreciente. La frecuencia de oscilación depende de d ω y la rapidez dedecrecimiento depende de α .

Determinación de las constantes 1 B y 2

B

Se hallará la forma general de las constantes1

B y2

B en términos de las condiciones

iniciales cuando el circuito no está forzado. De la respuesta natural (6.39) se tiene que,

para 0t = ,

1 (0 ) B v+= (6.40)

Para hallar 2 B se calcula la derivada de (6.39), esto es,

[ ]2 1 1 2

( )( )cos ( )sent

d d d d

dv t e B B t B B t

dt

α

ω α ω ω α ω −= − − + (6.41)

Evaluando (6.41) en 0t += , se obtiene2

2 1

0

( )d

t

dv t B B

dt ω α

+=

= − (6.42)

6.2. El circuito RLC Serie sin fuentes

En esta sección se analizará la respuesta natural del circuito RLC en serie, tal y como

se muestra en la figura 2.

Aplicando LVK se obtiene,

( ) ( ) ( ) 0 R C L

v t v t v t + + = (6.43)

2 Idem 1.

Figura 2. Circuito RLC en serie.



113

Considérense las condiciones iniciales

0

0

(0 )

(0 )C

i I

v V

+

+

=

=(6.44)

Además, sustituyendo las relaciones voltaje – corriente para cada elemento, se

encuentra que,

0

0

1( ) ( ) 0

t

C

t

di Ri i d v t L

C dt σ σ + + + =∫ (6.45)

Derivando respecto al tiempo la ecuación (6.45), se genera la ecuación diferencial de

segundo orden,2

2

10

d i di L R i

dt dt C + + = (6.46)

Por la dualidad presente en los circuitos, este modelo comparte similitudes con el

modelo obtenido para la tensión en el circuito RLC paralelo.

Solución de la ecuación diferencial

Siguiendo el desarrollo del RLC paralelo, se determina que la ecuación característica

de (6.46) está dada por,

2 10 Ls Rs

C + + = (6.47)

Cuyas soluciones son:2

1,2

1

2 2

R Rs

L L LC

⎛ ⎞= − ± −⎜ ⎟

⎝ ⎠(6.48)

Sea

0

1

2

R

L LC α ω = = (6.49)

Sustituyendo (6.49) en (6.48) se obtiene una expresión idéntica que la utilizada parasu dual paralelo, esto es,3

2 2

1,2 0s α α ω = − ± − (6.50)

3 Se observa que, comparando este resultado con el caso del RLC paralelo, las fórmulas son idénticas, excepto

para α



114

Dependiendo de los valores relativos de α y 0ω se genera un tipo de respuesta

diferente. Tomando como base lo desarrollado en el RLC paralelo, es posible determinar larespuesta natural para este circuito.

6.2.1. Respuesta SobreamortiguadaEl primer tipo de respuesta natural se obtiene cuando,

0α ω > (6.51)

Esta respuesta tiene la forma

1 2

1 2( ) s t s t i t A Ae e= + (6.52)

Donde, como fue demostrado en el desarrollo del RLC paralelo, 1s y 2

s son reales

negativos, así la respuesta encontrada será la suma algebraica de dos términos

exponenciales decrecientes.

Determinación de las constantes 1 A y 2 A

Los valores de1

A y2

A se determinan de las condiciones iniciales. Evaluando (6.52)

en 0t += ,

1 2(0 ) A A i

++ = (6.53)

Para hallar 2 A se calcula inicialmente la derivada de (6.52) y se evalúa en 0t += ,

esto es

1 1 2 21 2

( ) s t s t di t A s A s

dt e e= + (6.54)

1 1 2 2

0

( )

t

di t A s A s

dt +=

= + (6.55)


De (6.20) y (6.22) se determinan1

A y2

A pero, para ello, es necesario conocer los

valores de (0 )i+ y

0( )

t di t dt +=

. De la figura 2 se observa que, dado que ( )i t es la corriente

en el inductor, entonces (0 )i + es un dato conocido pues es el valor inicial de la corriente en

este elemento. Por su parte, y considerando que L

v L di dt = , entonces, encontrando el

valor inicial del voltaje en el inductor (0 ) Lv+

, se tendrá el valor buscado, i.e.

0

(0 )( ) L

t

vdi t

dt L

+

+=

= (6.56)

Este método puede también ser utilizado en los casos de las respuestas críticas ysubamortiguadas que se mostrarán a continuación.



115

6.2.2. Respuesta Críticamente Amortiguada

La respuesta críticamente amortiguada se presenta cuando

0α ω = (6.57)

En la vida cotidiana esta condición es poco probable que se presente, el resultado real

siempre será un circuito sobre o subamortiguado. En este caso la respuesta natural toma la

forma (6.58), donde las constantes 1 A y 2

A se determinan de las condiciones iniciales.

( )1 2( ) t i t A A t e α −= + (6.58)

Determinación de las constantes 1 A y 2

A

Procediendo de manera similar que en el caso de la respuesta sobreamortiguada, sedetermina el sistema de ecuaciones (6.26) que permite despejar ambas constantes.

1

2 1

(0 )

(0 )

A i

di A A

dt α

+

+

=

− =(6.59)

6.2.3. Respuesta Subamortiguada

Esta condición se logra disminuyendo el valor de R , así, el coeficiente de

amortiguamiento α disminuye mientras que 0ω permanece constante. Cuando2 2

0α ω < , laecuación característica del circuito RLC en serie tendrá dos raíces complejas, condición que

se presenta si,

0α ω < (6.60)

La solución será

[ ]1 2( ) cos send d

t i t B t B t e α ω ω

−= + (6.61)

donded

ω se denomina frecuencia natural de resonancia y se define como

2 2

0d ω ω α = − (6.62)



116

Determinación de las constantes 1 B y 2 B

Procediendo de manera similar que en el caso de la respuesta sobreamortiguada, se

determina el sistema de ecuaciones (6.40) que permite despejar el valor de 1 B y 2 B ,

1

2 1

0

(0 )

( )d

t

B i

di t B B

dt ω α

+

+=

=

− =(6.63)

6.3. Respuesta Completa del Circuito RLC

Introducción

Para continuar el análisis del circuito de segundo orden es necesario incorporar la

respuesta forzada, la cual, sumada a la respuesta natural estudiada en las dos seccionesanteriores, van a producir la denominada respuesta completa.

6.3.1. El circuito RLC Paralelo

Considere el circuito RLC de la figura 3, aplicando LCK en el nodo superior se

obtiene (6.64).

( ) ( ) ( ) ( ) R L C i t i t i t i t = + + (6.64)

0

0

1( ) ( ) ( ) L

t

t v dv

v d i t C i t R L dt

σ σ + + + =∫ (6.65)

Siendo las condiciones iniciales0 0

(0 ) (0 ) Li I v V

+ += = . Derivando (6.65) con

respecto al tiempo, se obtiene (6.66) que corresponde a una ecuación diferencial lineal

ordinaria de segundo orden cuya solución, ( )v t , es la respuesta completa.

2

2

1 1d v dv diC v

dt R dt L dt + + = (6.66)

Figura 3. Circuito RLC paralelo.



117

La solución de esta ecuación se hace en dos pasos:

1. Se determina la solución de la ecuación diferencial homogénea

2

2

1 10

d v dvC v

dt R dt L+ + = (6.67)

que es la respuesta con las fuentes apagadas y que en su oportunidad se le llamó larespuesta natural, ecuación (6.68). El tipo de respuesta (sobre, crítica o

subamortiguada) va a depender de R, L y C .

1 21 2( )n

s t s t v t A Ae e= + (6.68)

2. A la solución anterior, se le suma una solución particular que depende del término de laderecha de (6.66) (esto es, del tipo de excitación), a esta solución se le conoce como

respuesta forzada y será un término que tenderá a un valor constante considerando que

las fuentes aplicadas son dc.

( ) f f

v t V = (6.69)

3. La respuesta completa será la suma de la natural y la forzada.

1 21 2

( ) f

s t s t v t V A Ae e= + + (6.70)

De (6.70) se observa que para determinar en su totalidad la respuesta completa, y

partiendo que 1s , 2

s y f V son conocidas, queda únicamente por determinar las constantes

1 A y 2

A .

Determinación de las constantes 1 A y 2

A

Sustituyendo el valor conocido de ( )v t en 0t += , se encuentra la primera ecuación

que relaciona 1 A y 2

A , esto es

1 2(0 ) f v V A A+ = + + (6.71)

Se necesita otra relación entre 1 A y 2

A y normalmente se obtiene tomando la

derivada de la respuesta (6.72) y evaluándola en 0t += (6.73).

1 1 2 21 2

( )0

s t s t dv t A s A s

dt e e= + + (6.72)



118

1 1 2 2

0

( )

t

dv t A s A s

dt +=

= + (6.73)

Con el sistema de ecuaciones (6.71) y (6.73), solo falta determinar los valores de

(0 )v+ y

0( )

t dv t dt +=

y así despejar los valores de 1 A y 2 A .


De la figura 3 se observa que, como ( )v t es el voltaje en el capacitor, entonces

C C

dvi C

dt = (6.74)

si se establece el valor inicial para la corriente del capacitor (0 )C i+ se tendrá el valor

buscado pues

0

(0 )( ) C

t

idv t

dt C

+

+=

= (6.75)

6.3.2. El circuito RLC Serie

En esta sección se encontrará la respuesta completa del circuito RLC en serie, tal y

como se muestra en la figura 4.

Aplicando LVK se obtiene,

( ) ( ) ( ) ( ) R C Lv t v t v t v t = + + (6.76)

Considérense las condiciones iniciales

0 0(0 ) (0 )C i I v V + += = (6.77)

Figura 4. Circuito RLC en serie.



119

Además, sustituyendo las relaciones voltaje – corriente para cada elemento, seencuentra que,

0

0

1( ) ( ) ( )

t

C

t

di Ri i d v t L v t

C dt σ σ + + + =∫ (6.78)

Derivando respecto al tiempo la ecuación (6.45), se genera la ecuación diferencial de

segundo orden,2

2

1d i di dv L R i

dt dt C dt + + = (6.79)

Siguiendo el desarrollo del RLC paralelo, se concluye que la solución de esta

ecuación es la suma de la respuesta natural, ecuación (6.80), cuya forma particular

(sobreamortiguada, críticamente amortiguada o subamortiguada) dependerá de los valoresde R, L y C y de la respuesta forzada, ecuación (6.81), que será un valor que tenderá a un

valor constante considerando que las fuentes aplicadas son dc,

1 21 2( )

n

s t s t i t A Ae e= + (6.80)

( ) f

i t I = (6.81)

En resumen, la respuesta completa será la suma de (6.80) y (6.81), esto es,

1 21 2( ) f

s t s t i t I A Ae e= + + (6.82)

Como 1s , 2s y f V son conocidas falta, únicamente, por determinar las constantes 1 A y 2

A .

Cálculo de las constantes 1 A y 2 A

Siguiendo el procedimiento del RLC paralelo, se demuestra fácilmente que las dos

ecuaciones necesarias para determinar las constantes 1 A y 2

A son:

1 2(0 ) f

i I A A+ = + + (6.83)

1 1 2 2

0

( )t

di t A s A sdt +=

= + (6.84)

Con el sistema de ecuaciones (6.83) y(6.84), solo falta calcular los valores de (0 )i + y

0( )

t di t dt +=

y así despejar los valores de 1 A y 2

A .



120


De la figura 4 se observa que ( )i t es la misma corriente que circula por el inductor,

por lo tanto,

L

di

v L dt = (6.85)

Si se determina el valor inicial para la tensión en el inductor (0 ) Lv+ , se puede

despejar el valor buscado, i.e.

0

(0 )( ) L

t

vdi t

dt L

+

+=

= (6.86)

6.4. El circuito RLC general

Una enfoque sistémico

Los circuitos de segundo se caracterizan por la presencia de dos elementosalmacenadores de energía, pero no siempre es posible representarlos como un circuito RLC

serie o paralelo, por lo tanto, su solución tiende a ser específica para cada caso particular,

haciendo inútiles las herramientas aplicables a circuitos RLC serie o paralelo.

Existen gran cantidad de métodos para solucionar el problema planteado, sin

embargo, se escogerá un método que se fundamenta en la teoría de sistemas, el cual aporta

la ventaja de ser útil no solo a sistemas de segundo orden, sino que se puede extender acircuitos de orden superior a dos.

El primer paso consiste en identificar las variables de estado del circuito. Estasvariables son aquellas por medio de las cuales se almacena la energía en los dispositivos

almacenadores, a saber, las corrientes en los inductores y las tensiones en los capacitores4.

El conjunto de variables de estado se puede expresar de la siguiente forma:

1

2

( )( )

( )

x t x t

x t

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦(6.87)

donde,

1( ) x t , 2 ( ) x t corresponden a la primera y a la segunda variable de estado,respectivamente.

4Es importante aclarar que, para un sistema determinado, el conjunto de variables de estado no es única, pero

que, una buena elección es la que se describe como las variables asociadas a los elementos almacenadores

de energía.



121

Además, sea ( ) y t el conjunto de salidas del circuito, generalmente constituido por

tensiones y corrientes en distintas partes del circuito. También se define el vector ( )r t

como las entradas del circuito, sus elementos son las fuentes de tensión y corriente que

alimentan el circuito. Con esta información es posible visualizar cualquier circuito como se

muestra en la figura 5.

Procedimiento

1. Definición del vector de salidas. Establezca la estrategia para encontrar las salidas

( ) y t que se requieren para darle respuesta al problema, el cual debe expresarse

como una combinación lineal de las variables de estado y las entradas, esto es5,

( ) ( ) ( ) y t Cx t Dr t = + (6.88)

donde,

1

2

( )( )

( )

x t x t

x t

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

es el vector de variables de estado, de dimensión 2x1.

1( )

( )

( )m

r t

r t

r t

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

es el vector de entradas de dimensión mx1.

1( )

( )

( ) p

y t

y t

y t

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

es el vector de salidas de dimensión px1.

C es una matriz de constantes, de dimensión px2, con p como número de salidas.

D es una matriz de constantes, de dimensión pxm, con p como número de salidas y m el

número de entradas

5 La notación en general utilizada es: el escalar k , el vector k y la matriz K .

Figura 5. Circuito Eléctrico General.

• Variables de estado, ( ) x t

• Parámetros

Circuito Eléctrico Entradas, ( )r t Salidas ( ) y t



122

2. Condición en régimen permanente. Encuentre la condición inicial de las variables

de estado, así como de sus derivadas. Además, para determinar la respuesta forzada,

es necesario encontrar el valor de esas variables cuando t → ∞ .

3. Condición en régimen transitorio. Determine, utilizando las leyes de los elementos,

las relaciones voltaje-corriente en cada uno de los dispositivos que componen elcircuito. Aplique las leyes de conjunto, como lo son la LTK y la LCK, de tal forma

que se establezcan las leyes matemáticas que relacionan los modelos de los

elementos del circuito.

4. Definición de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Con la información

obtenida en el paso anterior, encuentre dos ecuaciones diferenciales de primer

orden, las cuales estarán en función, únicamente, de:

o los parámetros del circuito,

o

de las m entradas yo de las dos variables de estado.

1 11 1 12 2 11 1 1

2 21 1 22 2 21 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m m

m m

x t a x t a x t b r t b r t

x t a x t a x t b r t b r t

= + + + +

= + + + +

(6.89)

donde,

,ij ij

a b son constantes.

Combinando las ecuaciones (6.88) y (6.89) se pueden escribir matricialmente en lo

que se conoce como el Modelo en Variables de Estado6, a saber,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t Ax t Br t

y t Cx t Dr t

= +

= +

(6.90)

donde, A es una matriz de constantes, de dimensión 2x2. B es una matriz de constantes, de dimensión 2xm, con m siendo el número de entradas.

5. La ecuación diferencial de segundo orden. Con las dos ecuaciones encontradas en

el paso anterior, sustituya adecuadamente en procura de una ecuación diferencial desegundo orden para alguna de las dos variables asociadas a los elementos

almacenadores. Por ejemplo, para la variable1( ) x t será:

1 1 1( ) ( ) ( )ax t bx t cx t d + + = (6.91)

donde,

, , ,a b c d son constantes.

6 En los pasos siguientes se procederá a resolver este Modelo en Variables de Estado, sin embargo, en cursos

posteriores se estudiarán formas más compactas de solución, como por ejemplo utilizando la Matriz de

Transición de Estados o Matriz Exponencial.



123

6. Tipo de respuesta natural. A partir de la ecuación, de segundo orden, diferencial

homogénea, obtenida en al paso anterior, (6.92). obtenga la ecuación característica

asociada (6.93),

1 1 1( ) ( ) ( ) 0ax t bx t cx t + + =

(6.92)

2 0as bs c+ + = (6.93)

Calcule las raíces de la ecuación (6.93) y, dependiendo del tipo de respuesta

(sobreamortiguada, críticamente amortiguada o subamortiguada), defina la forma de la

respuesta natural, la cual irá acompañada de las dos constantes incógnitas.

7. Respuesta completa. La respuesta completa será la suma de la natural con la forzada, ya definida en el paso 2. Para el caso de la primer variable de estado, será

1 1 1( ) ( ) ( )n f x t x t x t = + (6.94)

8. Cálculo de las constantes. Para definir totalmente la respuesta completa, se

determinan las constantes incógnitas utilizando las condiciones iniciales definidasen el paso 2.

9. Solución de las variables de estado. Utilizando la respuesta completa de la variablede estado (6.94) y, utilizando las ecuaciones diferenciales definidas en (6.89), se

resuelve la otra variable de estado.

10. Respuesta final . Se encuentra ( ) y t utilizando la ecuación de salida (6.88) del paso1

y así se le da respuesta al problema planteado según la estrategia establecida.,



124



Referencias

Alcance a la Gaceta Universitaria 8-85

Boylestad, R., Análisis Introductorio de Circuitos. Prentice Hall, octava edición, 1998.

Bureau Internacional des Pois et Mesures, The International System of Units SI , 8th edition,

2006

Decreto Ejecutivo 29 660 de la República de Costa Rica.

Espinoza, R., Introducción al Matlab®, Material didáctico de apoyo al curso Análisis deSistemas, Escuela de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Costa Rica, 2006.

Hayt, W., Kemmerly, J., Durbin, S., Análisis de Circuitos en Ingeniería. McGraw-Hill,sexta edición, 2003.

Ley 5292 de la República de Costa Rica.

Ley 8279 de la República de Costa Rica

Nilsson, J. W., Riedel, S. A. Circuitos Eléctricos. Pearson Prentice Hall, sétima Edición,2005.

Scott, D., Introducción al Análisis de Circuitos: un enfoque Sistémico. McGraw-Hill, 1988.

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