Cons ecua
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Diana Catolico
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Diana Catolico
CALCULO DIFERENCIAL
DIANA MARCELA CATOLICO DAZA
COD. 55211014
UNIVERSIDAD DE BOYACA
TUNJA
2011
CALCULO DIFERENCIAL
DIANA MARCELA CATOLICO DAZA COD. 55211014
Profesor:AUGUSTO AGUIRRE
Asignatura:Calculo Diferencial
UNIVERSIDAD DE BOYACA TUNJA 2011
1. ECUACIONES
1.1. ECUACION DE LA RECTA
DEFINICION: La ecuación explícita de una recta tiene la forma y=mx+n donde m es la pendiente de la recta y n el término independiente.
y = mx + b.
Las componentes del vector director son: v= (-B, A) La pendiente de la recta es: m= - A BEjercicios:
1. Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector v director igual (-2, 1). X-1 = y-5 x-1 -2y+10 -2 1 x+y-11=0
2. Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.
Y-5=-2(x-1) y-5=2x+22x+y-7=0
1.2. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
DEFINICIÓN: Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
X²+ y²= r²
Ecuación reducida de la circunferencia: Si el centro de la circunferencia
coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a: x²+
y²= r² Ejemplos:
1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.
(x-3)²+ (y-4)²=4 x²-6x+9+y²-8y+16=4
x²+ y²-6x-8y+21=0
2. Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el
centro y el radio.
x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0 - 2=-2ª a=1 c(1,-2)
4=-2b b=-2
c=a²+b²-r² -4=1+4- r² r=3
1.3. ECUACION DE LA HIPERBOLE
DEFINICION: Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.
Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:
F'(−c, 0) y F(c,0)
Cualquier punto de la hipérbola cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
Ecuación de la hipérbola
Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(x0+c, y0) y F'(x0− c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:
Ecuación de la hipérbola de eje vertical
Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(x0, y0+c) y F'(x0, y0− c). Y la ecuación de la hipérbola será:
Ejemplos:
1. Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F (-2, 5), de vértice A (-2, 3) y de centro C (-2, -5).
C (-2,-5), F (-2,5), A (-2,3)
a = 3-(-5) 3+5 c= 5-(-5) 5+5
=8 =10
b= √100-64 b=√36 = 6
(y+5)² (x+2)² = 1 64 36
2. El eje focal de una hipérbola mide 12, y la curva pasa por el punto P (8, 14). Hallar su ecuación.
2a=12 a= 12/2 a=6
P (8,14) 8² _ 14² 64 _ 196 = 136 b² 36 b² b² 252
3. Calcular la ecuación reducida de la hipérbola cuya distancia focal es 34 y la distancia de un foco al vértice más próximo es 2.
2a=34 a= 34/2
a=17
a=17-2 15 b=√17²-15² √289-225 √64 = 8
X² _ y² = 1 225 64
1.4. ECUACION DE LA ELIPSE
Ecuación reducida de la elipse: Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:
F'(-c, 0) y F(c, 0)
Cualquier punto de la elipse cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
Ejemplo:
1. Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F (3, 0), y su eje mayor mide 10.
Semieje mayor 2a=10 10/2 a 5
Semidistancia focal FF’ 2C=6 C=6/2 C=3
Semieje menor b²=25-9
b=4
Ecuación reducida x² _ y² = 1
25 16Excentricidad e=3/5
Ecuación de eje vertical de la elipse: Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y + c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:
2. Determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de la siguiente elipse.
3x²+y²-24x+39=0 3(x²-8x+16)-48+ y²+39=0
3(x-4)²+ y²=9
(x-4)² + y²= 1
3 9 C (4,0)
a²= 9 a=3 A (4,3) A´ (4,-3)
b²= 3 b=√3 B (4, √3) B´ (4,-√3,0)
c²= 3 c=√9-3 c=√6 F (4, √6) F´ (4, -√6)
1.5. ECUACION DE LA PARABOLA
Definición:
(y-b)² 2p(x-a)
Ejemplo: Dada la parábola (y-2)²=8(x-3), calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
2p=8 p/2= 2
V (3,2) F (5,2) x=1
Ecuación de la parábola de eje vertical
(x-a)² 2p (y-b)
Ejercicio: Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen: De directriz x = -3, de foco (3, 0).
P=d (F, r)=6
y² 12x
1.1 Ecuación reducida de la parábola
Ejemplo: Dada la parábola y²=8x, calcular su vértice, su foco y la recta
directriz.
y²= 2px
1.2 Ecuación reducida de la parábola de eje vertical
2. DERIVADAS
2.1. INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA
DERIVADA
DEFINICION: Geométricamente la derivada se define como la pendiente de la recta
tangente a la curva en un punto previamente establecido. A partir del análisis de la
situación planteada podemos determinar que la derivada está dada por la siguiente
expresión:
d ( f ( x ))dx
lim∆ x→ 0
f (a+∆ x )−f (a)∆x
2p=8 p/2 =2V (0,0) F (-2,0) X=-2V (0,0) F (-2,0) X=2
x² 2py
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta
secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α
tiende a ser β.
Ejemplo:
1. f(x)=x² f’(x)= limh→0
f (x+h )−f (x)h
limh→0
( x+h ) ²−xh
limh→0
x ²+2 xh+h ²−x ²h lim
h→0
2 xh+h ²h lim
h→ 0(2x+h )
(2 x+0 ) = 2x
2.2. ALGEBRA DE DERIVADAS
2.2.1. DERIVADA DE LA SUMA
DEFINICION: Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo,
la derivada de la función suma en dicho punto se obtiene calculando la derivada de
cada una de ellas y sumando los resultados. La derivada de una suma es igual a la
suma de las derivadas.
h(x)=f(x)+g(x)+r(x)
Ejemplos:
1. f(x)= x8+5 x6−3 x4+8 x2+5
x8+5 x6−3 x4+8x2+5x2
x6+5 x4−3 x2+8 x+5−2
6 x5−20 x3−6 x−10 x3
2. f(x)= (x³-7)³
dfdx
= (x³) ³-3(x³)²(-7)+3(x³) (-7)²-(-7) x9−21 x6−147 x2−343
dfdx
=9 x8−126 x5−441 x2
3. f(x)=√ x = x1/2 x1/2(x²-5x+8) x2/2 +5 x3/2 +8 x1/2
f’(x)= 52 x
3/2+152 x1/2+ 4x1/2
2.2.3. DERIVADA DE UN PRODUCTO
DEFINICION: Sea v y u dos funciones la derivada del producto de (f*g) es la primer
función por la derivada del la segunda función, mas la segunda función por la derivada
de la primer función. Esto es:
h(x)=f(x).g(x)
dhdx
= f(x). dg(x )dx
+g(x) df (x )dx
Ejemplos:
1 . f (x) = (5x²-3).( x²+x+4) f(x)= 10(x²+x+4)+ (5x²-3) (2x+1)
20x³+15x²+34x-3
3.f(x)=(-x²+4x+5)(4x⁴-3) f’(x)=
−8 x5+6 x+16x 4−12−16 x5+64 x4+80x3
= −24 x8+80 x4+80 x3+6 x−12
¿−2¿¿
3. f(x) = (x²-1) ( x³+3x) f(x) = 2x(x³+3x)+( x²-1) ( 3x²+3)
2.2.4. DERIVADA DEL COCIENTE
DEFINICION: Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g
definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene que imponer la
condición de que la función g no se anule en x
h(x)= f (x )g (x)
d hdx
= g(x). df (x )dx
-f(x) dg(x )dx
[g (x)]²
Ejemplos:
1. f(x)= tanx + cotx + secx -Sec²-Csc²+Secx.tanx
2. f(x)=(x3−5 x+2 )3/2 32
(x3−5 x+2 )∧ 12(3 x2−5)
32
(3 x2−5 )(x3−5x+2)1 /2
2. Tanx+ Cotx+Secx Sec²-Csc²+Secx.Tanx
2.3. FUNCIONES TRASCENDENTALES
DEFINICION: En las funciones trascendentes la variable independiente figura como
exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de
cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
2.3.1. FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
DEFINICION: Una función exponencial especialmente importante es f(x) = ex, cuya
base es el número irracional e, y x perteneciente a los números reales. Para estudiar
f(x) = ex
Y= ex
Entonces dydx
=ex
Ejemplos:
1. y=ex ³+4 dydx
=ex ³+4 (3x²)
= 3x²ex ³+4
2. y= 8 e√ x dydx
=8e√ x ( 12√ x
¿
= 82√ x
8e√ x
3. f(x)=ex ²+x−4 dydx
=ex ²+x−4(2x )
=2 xex ²+ x−4
2.3.2. FUNCIÓN EXPONENCIAL BASE A
DEFINICION: La derivada de la función exponencial en base a es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.
Y= ax
Entonces dydx
=ax ln a
Ejemplos:
1. y=3x dydx
=3x ln 3
2. y=8 x2 dydx
=8 x2ln 8 (2x )
dydx
=2x 8 x2 ln8
2.4. FUNCIÓN LOGARÍTMICA
DEFINICION: Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas.
2.4.1. FUNCIÓN LOGARÍTMICA NATURAL
DEFINICION: La función logarítmica de base e se le llama función logarítmica natural. La
función logarítmica natural es la inversa de la función exponencial natural.
Y= ln x e y=x
Entonces dydx
=1udu /dx
Ejemplo:
1. y= ln (x²-3) dydx
= 1x ²−3
(2x ) =2 xx ²−3
.2.4.2. FUNCIÓN LOGARÍTMICA BASE A
DEFINICION: La función logarítmica de base a es la inversa de la función exponencial de
base a. Los valores de la función loga se denotan como loga (x) y puesto que loga y la
función exponencial con base a son inversas se puede afirmar que:
f(x) = loga (x) si y sólo si x = ay
El dominio de la función es el conjunto de números reales positivos y su ámbito o
recorrido es el conjunto de los números reales.
y=log a x dydx
= 1x ln a
Ejemplos:
1.
2.
3.
2.5. DERIVADAS DE LA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
2.5.1. DERIVADA DE LA FUNCIÓN SENO
DEFINICION: La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la
derivada de la función.
Si f(x)= Sen x dfdy= d (Senx )d x
= Cosx
dfdy
= d tdu
*d ud x
Ejemplos:
1. f(x)=Sen (x³-2) dfdx= [Cos (x³-2)](3x) 3x Cos x³-2
2. f(x)=Sen 4x dfdx
=¿4 Cos4x
3. f(x)=Sen x4 /3 ) dfdx= Cosx4 /3 )4/3x−1 /4
4 cos x3/4
3cos x−1/4
4. Sen x⁴ x=- f’(x)=4Sen³x (Cosx
5f(x)=Sen⁶x f’(x)=Sen⁵ (Cosx)
2.5.2. DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSENO
DEFINICION: La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función.
Si f(x)= Cosx dfdy= d (cos x )d x = -Senx
dfdy
=−Senu d ud x
Ejemplos:
1. f(x)=Cos(x+2) dfdx= [-Sen (x+2)]
d (x+2 )d x
dfdx= [-Sen (x+2)] 2= -Sen (x+2)
2. f(x)=1/2Cos²5x) dfdx=
12 (Cos5x)²
dd x = 12 2 Cos5x (-Sen5x) 5= -5
Cos5x.Sen5x
3. f(x)=Cos (7-2x) =2.Sen(7-2x)
2.5.3. DERIVADA DE LA FUNCIÓN SECANTE
DEFINICION: La derivada de la secante de una función es igual a la secante de la función por la tangente de la función, y por la derivada de la función.
y= Secx
d (Sec x )d x
= Secx tanx
d (Secu)dy
=Se cu tanu d ud x
Ejemplos:
1. f(x)=Sec (5x+2) 5 tan(5x+2). Sec (5x+2)
3. . f(x)=Sec 7x 5.Sen5 x¿ ¿cos ² 5 x
2.5.4. DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSECANTE
DEFINICION: La derivada de la cosecante de una función es igual a menos la cosecante
de la función por la cotangente de la función, y por la derivada de la función
y= Cscx
d fd x=
d scudy
=−CscxCotx d (Sec x )d x
= Cscu.Cotu d ud x
Ejemplos:
1. f(x)= csc(x/2) Csc (x/2)/2.Sen²(x/2)
2.5.5. DERIVADA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
DEFINICION: La derivada de la función tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función.
f(x)= Tancx
d td x
=d (tanx)dy
=Sec ² f ( x )=tan uu=u( x)
d fd x
= Sec ²u d ud x
Ejemplos:
1. f(x)= 3 tang 2x f’(x)=6(1+tng²2x)
2. f(x)= tang (Senx + Cosx) dfdx
=[Se c2 ( senx+cot ) ](Cosx−Senx )
=¿
2.5.6. DERIVADA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE
DEFINICION: La derivada de la función cotangente es igual a menos el cuadrado de la cosecante de la función por la derivada de la función.
f(x)= Cotx
d fd x
=d (Cotx)dy
=Csc ² x f ( x )=tan uu=u (x)
d (Cotu)d x
= −Csc ²u d ud x
Ejemplos:
1. Cot(-5x⁵) dfdx=[-Csc2 (−5x5 )(−25x4)
=25x4Csc2 (−5 x5 )
2. Cot⁵x dfdx=5C ot ⁴ x (−Csc2 x)
=-5Co t 4 xCsc2 x
2.6. DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR
DEFINICION: Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la
primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces
podriamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas
cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima
derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.
Ejemplos:
1.f’(1/x) dfdx
=f ' ( x )=1x=x−1 d ' f
dx=−1 x−2
d ² fdx
=−2 x−3
d ³ fdx
=−6x−4
d ⁴ fdx
=−24 x−5
2.7. DERIVACIÓN IMPLÍCITA
DEFINICION: Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la
forma y = f (x); esto es cuando se da y despejada en términos de x. En cambio, si en
una ecuación, como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una función tal que y = f (x), se
dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una
ecuación en x e y puede definir a más de una función implícita. Ejemplo:
F(x)= x²+y²=16 dfdx
=( x ² )=dydx
(16)
2x+2y dydx
=0
dfdx
=−x / y
3. APLICACIONES
3.1. EXTREMOS RELATIVOS
3.1.1. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
DEFINICION: Si se aplica la primera derivada a una función se conoce el
comportamiento de ésta, en los puntos donde la derivada es cero (0).Si en c hay un
numero critico E
Si en C hay un número critico Entonces
A. Si f’(x) <0 por x<c y f’(x) >0 para x>c Entonces en c hay un Máximo Relativo
B. Si f’(x) >0 por x<c y f’(x) <0 para x>c Entonces en c hay un Mínimo Relativo
Ejemplos:
1. x²+4x+3 f’(x) =2x+4
f (0)= 2c+4=0 c=4/2 2
Intervalo F’(x) Conclusion
X<2 - Decreciente
X=2 0 Minimo Relativo
X>2 + Creciente
2. f(x)=x²+5 f(0)=2x
f(c)= 0 2c=0 c=0/2 c=0
Intervalo F’(x) Conclusion
Los puntos críticos.
1. Criterio 1ra Derivada
Valores Maximos y Minimos
2 .Criterio 1ra Derivada
La gráfica de la función
3.Criterio 1ra Derivada
X<0 - Decreciente
X=0 0 Minimo Relativo
X>0 + Creciente
3. f(x) =9-x² f’(x) = -2x ² f’(c)=0 -2x=0 c=0/2 c=0
Intervalo F’(x) Conclusion
X<0 + Creciente
X=0 0 Maximo Relativo
X>0 - Decreciente
3.1.2. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
DEFINICION: La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda
derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f
´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar
la derivada se le llama segunda derivada: El criterio de la segunda derivada
proporciona la concavidad de una curva de la guiente manera.
Ejemplos:
1. f’(x)=3x²+10x+6 f”=6x+10
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
1. Puntos críticos.
2. Valores máximos y mínimos
3. Punto de inflexión.
4. La gráfica de la
función.
6x+10=0 x=-10/6 -5/3
f”(x)=0
Intervalo F’(x) Conclusion
X<-5/3 - Concava hacia ↓
X=-5/3 0 Pto. de Inflexión
X>-5/3 + Concava hacia ↑
2. f(x)=x⁴-8x³ f’(x)=4x³ -24x² f”(x)=12x² - 48x
= 12x(x-4)=0 x=0 y x=4
Intervalo F”(x) Conclusion
X<0 + Concava hacia↑X=0 0 Pto de Inflexión
0<x<4 - Concava hacia↓X=4 0 Pto de Inflexión
X>4 + Concava hacia↑
Grafica:
4. TEOREMA DEL ROLLE
DEFINICION: En la figura de la derecha se ilustra la interpretación geométrica del
Teorema de Rolle. Como se puede observar se cumplen las tres condiciones que
requiere el Teorema: f es continua en [a, b] e integrable en (a, b), y
f (a) = f (b) = 0. También se puede observar el punto (cuya abscisa es c) donde la
recta tangente a la gráfica de f es paralela al ejex, es decir donde se cumple que f '(c)
= 0.
El Teorema de Rolle es susceptible de una modificación en su enunciado que no altera
para nada la conclusión del mismo. Esta se refiere al punto (iii) f (a) = f (b): basta con
que el valor de la función sea el mismo para x = a y x = b y no necesariamente sean
iguales a cero.
Ejemplos:
1. Comprobar que la función f(x) = x 2 – 4x + 11 verifica las hipótesis del
teorema de Rolle en el intervalo [1, 3]
Veamos: f´(x) = 2x – 4 f´(c) = 0 2c – 4 = 0 2c = 4 c = 2
El punto c = 2 está en el interior del intervalo [1, 3]
2.f(x)= 16-x² [-4,4]
f(a)=f(-4)=16-(-4)=0
f(a)=f(b)
f(b)=f(4)= 16-(4)=0
f’(c)=0 f(x)-2x -2c=0 c=0/2 c=0
5. TEOREMA DEL VALOR MEDIO
DEFINICION: Si f es una función en la que se cumple que:
(i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]
(ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que f’(c)=
El teorema afirma que si la función es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), existe
un punto c en la curva, entre A y B, donde la recta tangente es paralela a la recta que
pasa por A y B. Esto es,
Ejemplo:
