3. Teoría de Conjuntos Clásicos3.1 Función de Pertenencia3.2 Operaciones entre Conjuntos 

Teoría de Conjuntos Clásicos

Un conjunto clásico es una colección de objetos de cualquier tipo. Lo que se denomina teoría de conjuntos fue propuesta por Georg Cantor (1845-1918), un matemático alemán. En la teoría de conjuntos, el conjunto y el elemento son primitivos. No están definidos en términos de otros conceptos. Sea A un conjunto, "x ∈ A" significa que x es un elemento en el conjunto A y "x ∉ A" significa que x no pertenece al conjunto A. El conjunto A está especificado totalmente por los elementos que contiene. Por ejemplo, no hay diferencia entre un conjunto que consta de los elementos 2, 3, 5 y 7 de un conjunto de todos los números primos menores de 11.

Sea X un universo de discurso del cual el conjunto A es un subconjunto, esto es

(1)En la teoría clásica de conjuntos, cualquier elemento x perteneciente a X, pertenece o no al subconjunto A de manera clara e inequívoca, sin que exista ninguna otra posibilidad al margen de estas dos.

La pertenencia o no de un elemento arbitrario x a un subconjunto A viene dada en la mayoría de los casos, por la verificación o no de un predicado que caracteriza a A y da lugar a una bipartición del universo de discursoX.

3.1 Función de Pertenencia

El concepto de pertenencia o no de un elemento a un conjunto A puede expresarse numéricamente mediante la función de pertenencia, también llamada a veces función característica. Esta función asigna a cada elemento x del universo de discurso un dígito binario (1 ó 0) según x pertenezca o no al conjunto A

(2)cualquier conjunto A ⊂ X se puede definir por los pares que forman cada elemento x del universo y su función de pertenencia, expresándose de a la siguiente forma:

3.2 Operaciones entre Conjuntos 

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B incluidos en Xes posible definir nuevos conjuntos a partir de ellos o, lo que es lo mismo, es posible operar con ellos. A continuación se describen las operaciones básicas entre conjuntos: 

Intersección: Se denota por A ∩ B y se define como el conjunto formado por aquellos elementos de X que pertenecen a A y B simultáneamente:

(4)

Unión: Es el conjunto formado por aquellos elementos que pertenecen a A, o a B, o bien a ambos simultáneamente. Se denota por A∪B

(5)

Complemento: El complemento de A se denota por Ā, y está formado por todos los elementos de Xque no pertencen a A

(6)

(7)Las tres operaciones se muestran en la tabla.

 Tabla 1: Operaciones entre conjuntos clásicos 

Un conjunto clásico es una colección de elementos. Por ejemplo, puede

ser el conjunto de elementos que verifican un predicado nítido. Dado un

subconjunto clásico A de X, se le puede asociar su función característica.

φ A: X → {0,1}, dada por   φ A(x) = { 1,     si x pertenece A0,     si x no pertenece A

es decir, φ A(x) = 1 si el grado en que x pertenece a A es 1 y φ A(x) = 0, si

el grado en que x pertenece a A es 0.

Ejemplo

Sea el conjunto de estudiantes {Lucía, Óscar, Marcos, Roberto, Marta,

Almudena, Aurora, Pedro}, el predicado P = "no ser de Madrid" y la siguiente

tabla en donde se recogen las ciudades de origen de cada uno de ellos:

Nombre Ciudad de origen

Lucía Segovia

Óscar Móstoles-Madrid

Marcos Leganés-Madrid

Roberto Córdoba

Marta Ciudad Real

Almudena Madrid

Aurora Lugo

Pedro Alcobendas-Madrid

Expresamos el subconjunto de los estudiantes que provienen de otras

ciudades   de la siguiente forma: 

 = {Lucía, Roberto, Marta, Aurora}

La función de pertenencia de P o función característica tendrá los

siguientes valores:

µP(Lucía) = 1;    µP(Óscar) = 0; 

µP(Marcos) = 0;    µP(Roberto) = 1; 

µP(Marta) = 1;    µP(Almudena) = 0; 

µP(Aurora) = 1;    µP(Pedro) = 0; 

3. Funciones de pertenencia

La función de pertenencia   de un conjunto nos indica el grado en que

cada elemento de un universo dado, pertenece a dicho conjunto. Es decir, la

función de pertenencia de un conjunto A sobre un universo X será de la

forma: µA:X → [0,1], donde µA (x) = r si r es el grado en que x pertenece a A.

Si el conjunto es nítido, su función de pertenencia (función característica)

tomará los valores en {0,1}, mientras que si es borroso, los tomará en el

intervalo [0,1]. Si µA(x) = 0 el elemento no pertenece al conjunto, si µA(x) = 1

el elemento sí pertenece totalmente al conjunto.

Las funciones de pertenencia son una forma de representar gráficamente

un conjunto borroso sobre un universo.

La función característica del conjunto de los elementos que verifican un

predicado clásico está perfectamente determinada. No ocurre lo mismo

cuando se intenta obtener la función de pertenencia de un conjunto formado

por los elementos que verifican un predicado borroso. Dicha función

dependerá del contexto (o universo) en el que se trabaje, del experto, del

usuario, de la aplicación a construir, etc.

A la hora de determinar una función de pertenencia, normalmente se

eligen funciones sencillas, para que los cálculos no sean complicados. En

particular, en aplicaciones en distintos entornos, son muy utilizadas las

triangulares y las trapezoidales:

Función Triangular

Definida mediante el límite inferior a, el superior b y el valor modal m,

tal que a<m<b. La función no tiene porqué ser simétrica.

Función Trapezoidal

Definida por sus límites inferior a, superior d, y los límites de soporte

inferior b y superior c, tal que a<b<c<d.

En este caso, si los valores de b y c son iguales, se obtiene una función

triangular.

Casos especiales de estas funciones trapezoidales son aquéllas en

las que algunos parámetros toman valores no finitos:

o Funciones Trapezoidales con parámetros a = b = - ∞

o Funciones Trapezoidales que tienen los parámetros c = d = + ∞

o Puede dibujar funciones trapezoidales con diferentes

parámetros.

Además de las funciones de tipo lineal anteriormente expuestas, también

se usan las siguientes:

Función Gamma

Definida por su límite inferior a y el valor k>0.

Esta función se caracteriza por un rápido crecimiento a partir de a;

cuanto mayor es el valor de k, el crecimiento es más rápido.

Nunca toma el valor µA (x) = 1, aunque tienen una asíntota

horizontal en dicho valor.

Ejemplo

Cuando los valores de los parámetros son a = 5 y k = 3, se obtienen

las siguientes funciones:

       

  Función Sigmoidal

Definida por sus límites inferior a, superior b y el valor m o punto de

inflexión, tales que a<m<b. 

El crecimiento es más lento cuanto mayor sea la distancia a-b. Para el

caso concreto de m=(a+b)/2, que es lo usual, se obtiene la siguiente

gráfica.

Ejemplo

Cuanto se toma el valor de a = 3, el valor de b = 10 y m = (3+10)/2

= 6.5 se obtiene la siguiente gráfica:

  Función Gaussiana

Definida por su valor medio m y el parámetro k>0. 

Esta función es la típica campana de Gauss y cuanto mayor es el valor

de k, más estrecha es dicha campana.

Ejemplo

Para los valores k = 5 y m = 3:

     

Si lo desea puede dibujar funciones gaussianas. Al modificar

los parámetros se puede observar la variación de la gráfica.

Función Pseudo-Exponencial

Definida por el valor medio m y el parámetro k>1. 

Cuanto mayor es el valor de k, el crecimiento es más rápido y la

campana es más estrecha.

Ejemplo

Para los valores de k = 4 y m = 7 se obtiene:

   

4. Operaciones con conjuntos borrosos

En este apartado se presentan algunos modelos matemáticos para realizar

las operaciones de intersección, unión y complemento de los conjuntos

borrosos. 

 

4.1 Extensión de las operaciones clásicas

De la misma manera que se realizan operaciones con los conjuntos

clásicos, se definen operaciones para los conjuntos borrosos. Para estas

definiciones, inicialmente nos basaremos en las operaciones con conjuntos

clásicos que se pueden ver en el anexo I.

Intersección de conjuntos

El primer problema que nos planteamos es la obtención de la intersección

de dos conjuntos borrosos. Para ello, vemos qué ocurre en el caso clásico.

Dados dos subconjuntos clásicos P y Q del universo X, un elemento x

pertenece a la intersección P∩Q, si y sólo si x pertenece a P y x pertenece a Q.

Tomando las respectivas funciones características como:

φ P(x) = {1, si x pertenece a P

0, si x no pertenece a P φ Q(x) = {

1, si x pertenece a Q

0, si x no pertenece a Q

La función característica de la intersección quedará:

φ P∩Q(x) = {1, si φP(x) = 1 y φQ(x) = 1

0, en otro caso

O lo que es lo mismo,

φ P∩Q(x) = Min (φP(x),φQ(x))

Sin embargo, en el caso de los conjuntos borrosos, la definición del

conjunto intersección no es tan trivial.

Dadas las funciones de pertenencia µP: X → [0,1] y µQ:X → [0,1], la

pregunta es: si un elemento pertenece a P en un cierto grado entre 0 y 1

(µP(x)), y a Q en otro grado entre 0 y 1 (µQ(x)), ¿ en qué grado pertenecerá a

P∩Q? Es decir, ¿qué valor tomará µP∩Q(x) ?

Tomando como modelo el caso clásico, una primera forma de definir la

intersección de dos conjuntos borrosos es:

µP∩Q(x) = Min(µP(x),µQ(x))

Unión de conjuntos

En el caso de los conjuntos clásicos, dados dos subconjuntos P y Q del

universo X, un elemento x pertenece a la unión de PUQ, si y sólo si x

pertenece a P ó x pertenece a Q.

Dadas las respectivas funciones características:

φ P(x) = {1, si x pertenece a P

0, si x no pertenece a P φ Q(x) = {

1, si x pertenece a Q

0, si x no pertenece a Q

La función característica de la unión será:

φ PUQ(x) = {1, si φP(x) = 1 ó φQ(x) = 1

0, en otro caso

O lo que es lo mismo,

φP U Q(x) = Max (φP(x),φQ(x))

Igual que en el caso de la intersección de conjuntos borrosos la definición

de la unión de dos conjuntos no es trivial.

Teniendo las funciones de pertenencia µP: X → [0,1] y µQ:X → [0,1], y

sabiendo que un elemento pertenece a P en un cierto grado 0 y 1 (µP (x)), y

que pertenece a Q en otro grado (µQ (x)), ¿en qué grado pertenecerá a PUQ?

¿qué valor tomará µP U Q(x) ?

Fijándonos en el modelo del conjunto clásico, definimos la unión de dos

conjuntos borrosos como:

µPUQ(x) = Max(µP(x),µQ(x))

Complemento de un conjunto

Para finalizar, veamos qué ocurre en el caso de los conjuntos clásicos

cuando tenemos que realizar la operación del complemento de un conjunto.

Dado el subconjunto clásico P del universo X, un elemento x pertenece al

complemento Pc, si y sólo si dicho elemento x no pertenece a P.

La función característica está definida mediante:

φ Pc (x) = {

0, si φP(x) = 1

1, si φP(x) = 0

El complemento de un conjunto borroso no es una operación tan

claramente definida como en el caso clásico.

Dada la función de pertenencia µP: X → [0,1], si un elemento pertenece a

P en un cierto grado entre 0 y 1 (µP (x)), ¿en qué grado pertenece a Pc? ¿cuál

es el valor de µPc (x) ?

Realizando una semejanza con los conjuntos clásicos se podría definir el

complemento de un conjunto borroso P, mediante la función de pertenencia:

µPc(x) = 1 - µP(x)

Para poner en práctica los conocimientos adquiridos con la teoría

anteriormente expuesta, se presentan a continuación algunos ejercicios donde

se realizan las operaciones definidas en los conjuntos borrosos.

Se puede empezar con un ejercicio   sencillo en el que seleccionando

algunos de los conjuntos discretos dados, se pueden realizar las diferentes

operaciones.

Ahora vamos a poder realizar operaciones con conjuntos borrosos en un

universo continuo. Para ello, recordamos que existen varios tipos

de funciones de pertenencia, pero como las más utilizadas son las

trapezoidales y las triangulares, nos limitaremos a trabajar con ellas.

En los diferentes ejercicios se podrán dibujar mediante la introducción de

parámetros diferentes formas trapezoidales y triangulares, para después

realizar las distintas operaciones.

https://www.youtube.com/watch?v=WHmcfk7tThA