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Guía MatemáticaMULTIPLOS Y DIVISORES

profesor: Nicolas Melgarejo

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1. Multiplos y divisibilidad

Se dice que un numero a es divisible por otro b si al dividir a con b, el residuo o resto es cero, dichode otra manera:

a es divisible por b sı y solo sı a = b · c donde c es cociente.

En base a esto podemos decir que a contiene a b exactamente c veces. Llamaremos multiplo de unnumero a un numero que contiene a otro una cantidad exacta de veces, por ejemplo 12 es multiplo de 2porque 12 contiene a 2 seis veces exactamente. Los multiplos de un numero pueden obtenerse facilmentemultiplicando ese numero por la serie infinita de los numeros naturales. Veamos un ejemplo con el conjuntode los multiplos de 3.

Los multiplos de 3 son:

3× 1 = 3

3× 2 = 6

3× 3 = 9

3× 4 = 12

3× 5 = 15

3× 6 = 18

...

3× n = 3n

Si lo escribimos como conjunto por extension:

M3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, . . . , 3n}

Los multiplos de un numero n se obtienen multipli-cando n por cada numero natural.

1.1. Numeros primos

Dentro de los numeros naturales mas interesantes estan los numeros primos, los que se caracterizanpor ser divisibles por 1 y por sı mismos. Algunos ejemplos de numeros primos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 37, 97

Otra caracterıstica muy potente de los numeros primos es que con ellos podemos generar cualquierotro numero natural mediante la multiplicacion de ellos. Esta caracterıstica la abordaremos mas adelante.

1.2. Numeros compuestos

Cualquier numero natural que pueda escribirse como multiplicacion de 2 o mas numeros naturalesdistintos de 1 y sı mimo, se denomina numero compuesto. Por ejemplo el numero 12 lo podemosdescomponer ası:

12 = 3 · 4= 3 · 2 · 2

Si descomponemos el numero 18 en sus factores primos obtenemos:

18 = 2 · 9= 2 · 3 · 3

Notar que los terminos que componen a un numerocompuesto coincide con sus divisores.

2

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1.3. Pares e impares

Podemos separar el conjuntos de los enteros Z en dos subconjuntos: pares e impares. Llamamos para todo numero que es multiplo de 2, es decir, si un numero lo podemos escribir como

P = 2n

donde n ∈ Z, entonces P es par independiente de que n lo sea. Entonces si dividimos un numero por2 y el residuo o resto es 0, ese numero es par.

Los impares son numeros que al dividir por 2 obtenemos 1 como residuo o resto. Dicho de otramanera, podemos construir cualquier impar como un par mas o menos uno.

I = 2n± 1

donde n ∈ Z. En estas condiciones I es impar independientemente si n lo es.

2. Criterios de divisibilidad

Podemos darnos cuenta que a todos los multiplos de un numero a los podemos identificar tambiencomo numeros divisibles por a.

Si b es multiplo de a, entonces b es divisible por a

+¡Mira!Existen ciertas caracterısticas de los numeros que nos permiten identificar por simple inspeccion si

son divisibles por otro. A continuacion mostraremos algunos de estos criterios.

2.1. Divisibilidad por 2

Un numero se dice divisible por 2 si este termina en cero o par. Algunos ejemplos de numeros divisiblespor 2 son:

10

122

1.224

40.336

324.118

1.200.770

2.2. Divisiblilidad por potencias de 10

Un numero es divisible por alguna potencia de 10 si termina en tantos ceros como el numero delexponente de la potencia de 10. Por ejemplo 1.200 termina en 2 ceros, entonces es divisible por 102 = 100.En cambio 1.230 termina en 1 cero, por lo que, es divisible por 101 = 10. Algunos ejemplos:

120 es divisible por 10

1.300 es divisible por 100

53.000 es divisible por 1.000

120.000 es divisible por 10.000

3

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2.3. Divisibilidad por 5

Un numero es divisible por 5 si termina en cinco o cero. Algunos ejemplos de numeros divisibles por5 son:

10

15

30

105

1.200

11.115

222.225

1.098.765

99.453.330

2.4. Divisibilidad por 4

Un numero es divisible por 4 cuando las ultimas dos cifras de la derecha (decena y unidad) son ceroso forman un numero que es multiplo de 4. Algunos ejemplos son:

300

1.016

20.324

325.636

4.331.500

24.500.040

2.5. Divisibilidad por 8

Un numero es divisible por 8 cuando las ultimas tres cifras (centena, decena y unidad) son ceros oforman un multiplo de 8. Algunos ejemplos de numeros divisibles por 8 son:

3.000

7.016

20.024

257.800

8.765.168

51.523.040

2.6. Divisibilidad por 3

Un numero es divisible por 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es un multiplo de3. Algunos ejemplos de numeros divisibles por 3:

102 es divisible por 3 ya que 1 + 0 + 2 = 3 y 3es multiplo de 3

7.011 es divisible por 3 ya que 7+0+1+1 = 9y 9 es multiplo de 3

21.990 es divisible por 3 ya que 1 + 2 + 9 + 9 +0 = 21 y 21 es multiplo de 3

357.000 es divisible por 3 ya que 3+5+7 = 15y 15 es multiplo de 3

8.725.161 es divisible por 3 ya que 8 + 7 + 2 +5 + 1 + 6 + 1 = 30 y 30 es multiplo de 3

31.523.040 es divisible por 3 ya que 3+1+5+2 + 3 + 0 + 4 + 0 = 18 y 18 es multiplo de 3

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2.7. Divisibilidad por 9

Un numero es divisible por 9 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es un multiplo de9. A continuacion mostramos algunos ejemplos de numeros divisibles por 9:

162 es divisible por 9 ya que 1 + 6 + 2 = 9 y 9es multiplo de 9

7.911 es divisible por 9 ya que 7+9+1+1 = 18y 18 es multiplo de 9

21.996 es divisible por 9 ya que 1 + 2 + 9 + 9 +6 = 27 y 27 es multiplo de 9

999.990 es divisible por 9 ya que 9 + 9 + 9 +9 + 9 + 0 = 45 y 45 es multiplo de 9

8.725.761 es divisible por 3 ya que 8 + 7 + 2 +5 + 7 + 6 + 1 = 36 y 36 es multiplo de 9

31.523.040 es divisible por 9 ya que 3+1+5+2 + 3 + 0 + 4 + 0 = 18 y 18 es multiplo de 3

Notar que todo numero que es divisible por 9, tam-bien lo es por 3.

2.8. Divisibilidad por 6

Un numero es divisible por 6 si cumple con los criterios de divisibilidad por 2 y 3 al mismo tiempo, esdecir, sera divisible por 6 si su ultima cifra (unidad) es 0 o par y la suma de los valores absolutos de suscifras es un multiplo de 3.. Algunos ejemplos de numeros divisibles por 6.

102 es divisible por 6 ya que es un numero pary la suma de sus cifras es 1 + 0 + 2 = 3

7.002 es divisible por 6 ya que termina en 2 yla suma de sus cifras es 7 + 0 + 0 + 2 = 9

21.990 es divisible por 6 ya que termina en 0y la suma de sus cifras es 1+2+9+9+0 = 21

357.000 es divisible por 6 es un numero par yla suma de sus cifras es 3 + 5 + 7 = 15

2.9. Divisibilidad por 11

Un numero es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras en las posiciones impares yel valor absoluto de las cifras en las pociciones pares, de derecha a izquierda, es cero o un multiplo de 11.Por ejemplo 3.289 es divisible por 11 ya que

(9 + 2)− (8 + 3) = 11− 11 = 0

Otros ejemplos de numeros divisibles por 11 son:

1.122 es divisible por 11 ya que (2 + 1)− (2 + 1) = 0

96.162 es divisible por 11 ya que (2 + 1 + 9)− (6 + 6) = 0

120.901 es divisible por 11 ya que (1 + 9 + 2)− (0 + 0 + 1) = 12− 1 = 11

Desafıo I

En el numero 104.3?2, ¿que valores puede tomar ? para que el numero sea divisible

por 6? Respuesta

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3. Propiedades de la multiplicidad y divisibilidad

3.1. Suma de multiplos o divisibles de un numero

Si a y b son divisibles por n, entonces a + b tambien es divisible por n. En un caso concreto10, 20 y 25 son divisibles por 5, ya que terminan en 0 o en 5. Notemos que

10 + 20 + 25 = 55

Como 55 termina en 5, entonces la suma de los divisibles por 5 es tambien divisible por 5.

3.2. Diferencia de multiplos o divisibles de un numero

Si a y b son divisibles por n, donde a > b, entonces a− b tambien es divisible por n. En uncaso concreto 15 y 6 son divisibles por 3. Notemos que 15− 6 = 9 y 9 es divisible por 3.

3.3. Propiedad de los multiplos

Si n divide a b entonces dividira a cualquier multiplo de b. Por ejemplo 1.122 es divisible por11, si tomamos algun multiplo de 1.122, por ejemplo 5.610 y analizamos segun el criterio de divisibilidadde 11 se obtiene:

(0 + 6)− (1 + 5) = 6− 6 = 0

Como el resultado es 0, entonces 5.610 es tambien divisible por 11.

3.4. Multiplicacion de divisores de un numero

Si a es divisible por n y m, entonces a es divisible por mn. El caso mas simple para ejemplificaresto es el criterio de divisibilidad por 6. Recordemos que un numero es divisible por 6 si es divisible por2 y 3, y efectivamente 2 · 3 = 6.

- Ejercicios 1

Resuelve los siguientes problemas

1. ¿Por que numeros son divisibles 25, 123 y 6.130?

2. ¿Cual es la menor cifra que se le debe agregar a 341 para que sea divisible por 9?

3. Por simple inspeccion determine ¿cual es el residuo de las siguientes divisiones 571÷ 2, 1.201÷ 3 y1.551÷ 11?

4. ¿ Por que numero es divisible la suma de un multiplo de 11 con otro multiplo de 11?

5. ¿La suma de un par con un impar es par o impar? ¿Por que?

6. ¿La suma de un par con otro par es par o impar? ¿Por que?

7. ¿La multiplicacion de dos impares es par o impar? ¿Por que?

8. ¿La multiplicacion de dos pares es par o impar? ¿Por que?

6

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9. ¿Si un numero no es divisible por 3, que valor puede tomar el residuo de dividir dicho numero por3?

10. ¿Si un numero no es divisible por 5, que valor puede tomar el residuo de dividir dicho numero por5?

4. Descomposicion prima

Uno de los grandes logros de la Teorıa de los Numeros es haber llegado a la conclusion de que todonumero compuesto puede escribirse como multiplicacion de numeros primos. A la accion de es-cribir un numero compuesto como multiplicacion de sus divisores primos se le denomina descomposicionprima. Por ejemplo, si queremos descomponer el numero 120, vamos escribiendolo como multiplicacion +¡Mira!de otros numeros, hasta llegar solo a numeros primos:

120 = 2 · 60

= 2 · 6 · 10

= 2 · 2 · 3 · 10

= 2 · 2 · 3 · 2 · 5= 2 · 2 · 2 · 3 · 5= 23 · 3 · 5

- Ejercicios 2

Descomponer en sus factores primos los siguientes numeros.

1. 24

2. 64

3. 121

4. 160

5. 182

6. 306

7. 625

8. 840

9. 1.218

10. 5.887

11. 9.420

12. 21.901

Es interesante notar que para cada numero compuesto existe solo un sistema de numeros primos quelo descomponen, es decir, cada numero compuesto tiene solo una factorizacion prima. Esta caracterıstica,entre otras, es la que hace tan importantes e interesantes a los numeros primos.

La descomposicion prima es unica para cada numerocompuesto.

La descomposicion prima es muy util en las matematicas, nos permite encontrar el numero de divisoresde un numero, el mınimo comun multiplo (MCM) y maximo comun divisor (MCD) entre dos numeros.

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4.1. Encontrar el numero de divisores de un numero

Ayudandonos de que la descomposicion prima es unica para cada numero, podemos encontrar to-dos los divisores de ese numero haciendo todas las combinaciones posibles entre los factores primos. Sidescomponemos el numero 825 obtenemos:

825 = 25 · 33

= 5 · 5 · 33

= 3 · 5 · 5 · 11

= 3 · 52 · 11

Recordemos que al realizar la descomposicion prima, cada uno de los numeros primos divide a 825,y como vimos anteriormente la multiplicacion de los divisores de un numero tambien es divisor de esenumero. Entonces el numero de divisores de 825 seran todas las combinaciones que podamos hacer conlos numeros 3, 5, 5 y 11 considerando tambien a las combinaciones que no incluyan a todos los elementos.

Para obtener el numero de divisores multiplicamos la potencia aumentada en una unidad de cadaprimo que compone a dicho numero, en este caso

(1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 2 · 3 · 2 = 12

En efecto, los factores son

3050110 = 1

3150110 = 3

3051110 = 5

3050111 = 11

3052110 = 5× 5 = 25

3151110 = 3× 5 = 15

3150111 = 3× 11 = 33

3051111 = 5× 11 = 55

3152110 = 3× 5× 5 = 75

3052111 = 5× 5× 11 = 275

3151111 = 3× 5× 11 = 165

3152111 = 3× 5× 5× 11 = 825

En el caso que la descomposicion prima de un numero sea n = paqbrc donde p, q y r son primos, elnumero de divisores D de n es

D = (a + 1)(b + 1)(c + 1)

- Ejercicios 3

Hallar el numero de divisores que tiene cada uno de los siguientes numeros:

1. 12

2. 34

3. 62

4. 75

5. 92

6. 106

7. 425

8. 845

9. 1.008

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4.2. Primos relativos o primos entre sı

Se llaman primos relativos o primos entre sı a dos o mas numeros que solo tienen como divisorcomun el 1. Por ejemplo 12 y 25 son primos relativos porque no tienen factores o divisores en comun.Este concepto sera util cuando queramos encontrar MCM y MCD de algunos numeros.

5. Maximo comun divisor

Puede definirse como el mayor numero entero que divide exactamente a dos o mas numeros naturales.Usualmente el maximo comun divisor entre a y b se denota como MCD(a, b). Para calcular el MCD de dosnumeros hay variados metodos o estrategias, pero si conocemos la notacion de las potencias y manejamosla descomposicion prima existe una forma muy simple para obtenerlo. +¡Mira!

El maximo comun divisor entre a y b, MCD(a, b),es igual a la multiplicacion de las bases primas encomun entre a y b, elevadas a la mınima potenciaa la que aparecen en la descomposicion prima.

. Ejemplo

1. Hallar el maximo comun divisor entre 12 y 18

Solucion: Escribimos primero la descomposicion prima de cada numero

12 = 4 · 3 = 22 · 318 = 2 · 9 = 2 · 32

Notemos que ambos tienen en comun las bases primas 2 y 3. Ahora debemos identificar cual es lamınima potencia a la que esta elevada cada base prima. En el caso de 2 su menor potencia es 1, ypara la base prima 3 la menor potencia es 1 tambien. Entonces:

MCD(12, 18) = 21 · 31 = 6

2. Calcular MCD(36, 75)

Solucion: La descomposicion prima de cada uno es:

36 = 2 · 18 = 2 · 2 · 9 = 22 · 32

75 = 5 · 15 = 5 · 3 · 5 = 3 · 52

En este caso la unica base prima que tienen en comun es 3, y la mınima potencia a la que esta elevadaes 1, por lo tanto

MCD(36, 75) = 3

3. ¿Cual es el mas grande de los divisores que tienen en comun 30 y 72?

Solucion:

30 = 2 · 3 · 572 = 23 · 32

Tienen en comun las bases 2 y 3. La menor potencia de 2 es 1 y la menor potencia de 3 es 1 tambien,entonces el mayor de los divisores entre ellos es 21 · 31 = 6

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6. Mınimo comun multiplo

Si tenemos varios numeros enteros, llamaremos mınimo comun multiplo de esos numeros al menornumero entero positivo que es multiplo de todos ellos. El mınimo comun multiplo entre a y b se denotaMCM(a, b) y para calcularlo es util usar la descomposicion prima al igual que para el MCD. +¡Mira!

El mınimo comun multiplo entre a y b,MCD(a, b), es igual a la multiplicacion de todas lasbases primas diferentes que aparecen en la descom-posicion prima de a y b, elevadas a la maxima po-tencia a la que aparecen en las descomposiciones.

. Ejemplo

1. ¿Cual es el mınimo comun multiplo entre 9 y 30?

Solucion: Descomponemos 9 y 30 en sus factores primos.

9 = 32

30 = 2 · 3 · 5El MCM(6, 30) sera igual a la multiplicacion de todas las bases primas que aparecen en las dosdescomposiciones, elevadas a la potencia maxima a la que aparecen. En este caso las bases son 2, 3y 5, y las potencias maximas a las que estan elevadas son 1, 2 y 1 respectivamente. Entonces

MCM(6, 30) = 21 · 32 · 51 = 2 · 32 · 5

2. Obtener el MCM entre 6, 12 y 15

Solucion: Escribimos el numero como descomposicion prima.

6 = 2 · 312 = 22 · 315 = 3 · 5

Entonces, el MCM(6, 12, 15) sera la multiplicacion de todas las bases primas que aparecen en las 3descomposiciones, elevadas a la maxima potencia.

MCM(6, 12, 15) = 22 · 3 · 5 = 60

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- Ejercicios 3

1. Encuentra el MCM y MCD de cada grupo de numeros.

a) 10 y 15

b) 12 y 18

c) 3 y 7

d) 7 y 11

e) 14 y 13

f ) 12, 40 y 100

g) 145 y 320

h) 100 y 150

i) 120 y 180

j ) 30 y 70

k) 120 y 400 y 1.000

2. Identifica si en los siguientes problemas esta presente el concepto de MCM y MCD.

a) Dos varas de madera de 6 y 15 centımetros se quieren cortar en una misma cantidad de pedazos.¿Cuantos pedazos se pueden cortar como maximo?

b) El campanario de una iglesia tiene 2 campanas. Una suena cada 15 minutos y la otra suenacada 32 minutos. Si la ultima vez que sonaron juntas fue a las 12:00 am, ¿a que hora sonarannuevamente juntas?

c) ¿Cual es el valor maximo de la longitud de una regla con la que se puede medir exactamenteel largo y ancho de una habitacion de 820 por 635 centımetros de largo?

d) Dos listones de madera de 36 y 48 metros respectivamente, se quieren cortar en pedazos igualesy de la mayor longitud posible. ¿Cual sera el largo de cada pedazo?

Desafıo II

Si p es multiplo de q, ¿cual es el MCM(p, q)? Respuesta

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Desafıos resueltos

3 Desafıo I: El numero es par, independiente del valor que tome ?. Nos falta hacer que el numero seadivisible por 3, para ello debe cumplirse que

1 + 0 + 4 + 3 + ? + 2 sea multiplo de 3.

Fijemonos que1 + 0 + 4 + 3 + ? + 2 = 10 + ?

Notar que si el numero incognito es 0, faltarıan 2 unidades para ser multiplo de 3 o sobra una unidadpara cumplir la misma condicion. Entonces el numero incognito ? debe ser un multiplo de 3 mas 2o un multiplo de 3 menos 1.

? = 3k − 1

? = 3k + 2

donde k ∈ N Volver

3 Desafıo II: Como p es multiplo de q, el mınimo comun multiplo entre ellos sera el mayor, en estecaso p, entonces

MCM(p, q) = p

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Bibliografıa

[1 ] Algebra, Edicion 1983, CODICE S.A. Madrid (1983)Dr. Aurelio Baldor.

[2 ] Aritmetica, Edicion 1974, CULTURAL CENTROAMERICANA Guatemala (1983)Dr. Aurelio Baldor.

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