CONJUNTOS GENERADORES E

INDEPENDENCIA LINEAL

¿QUÉ VAMOS APRENDER?

DESARROLLAR PROCEDIMIENTOS PARA REPRESENTAR CADA VECTOR EN UN ESPACIO VECTORIAL COMO UNA COMBINACION LINEAL DE UN NUMERO SELECTO DE VECTORES EN EL ESPACIO.

Combinación lineal

Conjuntos generadores

Dependencia e Independencia lineal

DEFINICIÓN DE COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Un vector v en un espacio vectorial V se denomina combinación lineal de los vectores u1,u2,……..,uk en V si v puede expresarse como v=c1u1+c2u2+….+ckuk, donde c1,c2,…..ck son escalares.

Ejemplo 1

• Para el siguiente conjunto de vectores en R3

S={(1,3,1),(0,1,2),(1,0,-5)} v1 es una combinación lineal de v2 y v3.

EJEMPLO 2

EJEMPLO 3

• Exprese el vector w=(1-2,-2) como una combinación lineal de vectores en el conjunto S dado S={(1,2,3),(0,1,2),(-1,0,1)}

CONJUNTOS GENERADORES

Si todo vector en un espacio vectorial dado puede expresarse como una combinación lineal de vectores en un conjunto S dado, entonces se dice que S es un conjunto generador del espacio vectorial

Definición de Conjunto generador

• Sea S={v1,v2,……..,vk } un subconjunto del espacio Vectorial V.El conjunto S se denomina conjunto generador de V si todo vector en V puede expresarse como una combinación lineal de vectores en S.

En estos casos se dice que S genera a V.

EJEMPLO

EJEMPLO

EJEMPLO

Definición Espacio generado por S

• El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de un conjunto S se denomina espacio generado por S y se denota por Lin (S).

Teorema Lin (s) es un subespacio de V

• Si S={v1,v2,……..,vk } es un conjunto de vectores en un espacio vectorial V, entonces lin (s) es un subespacio de V además ,lin (s) es el menor subespacio de V que contiene a S, en el sentido de que cualquier otro subespacio de V que contenga a S debe contener a Lin (s)

• Recuerde El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de un conjunto S se denomina espacio generado por S y se denota por Lin (S).

Dependencia Lineal e Independencia Lineal

Para un conjunto de vectores S={v1,v2,……..,vk } en un espacio vectorial V, la ecuación vectorial c1v1+c2v2+….+ckvk =0 siempre tiene dos opciones de solución:

La trivial c1 =0 c2 =0 ….ck=0 forma parte siempre de la solución.

Algunas veces soluciones no triviales es decir soluciones de c1 ≠0 c2 ≠0 ….ck≠0

Si la única solución es la trivial , entonces el conjunto S sería linealmente independiente.

Y si tiene soluciones , además ,diferentes a la trivial , entonces el conjunto S sería linealmente dependiente.

Definición de Dependencia Lineal e Independencia Lineal

• Un conjunto de vectores S={v1,v2,……..,vk } en un espacio vectorial V se denomina linealmente independiente si la ecuación vectorial c1v1+c2v2+….+ckvk =0 tiene solamente la solución trivial c1 =0 c2 =0 ….ck=0 .

• Si también hay soluciones no triviales c1 ≠0 c2 ≠0 ….ck≠0 entonces S se denomina linealmente dependiente.

Comprobación para la dependencia e independencia lineal