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MATEMÁTICAS 11 Conjuntos

JUAN CARLOS MURILLO RIVAS LIC. MATEMÁTICAS Y FÍSICA

TL. EN ADMÓN. DE REDES DE COMPUTADORES

CONJUNTOS Un conjunto es una colección de objetos bien determinados. Es decir, dado un objeto y n conjunto, se puede establecer si el conjunto pertenece o no a al conjunto. Cada objeto del conjunto se conoce como elemento. Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas. Para representar conjuntos se utilizan los diagramas de Venn, diagrama lineal y entre llaves.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Los conjuntos se pueden determinar de dos maneras: por extensión se nombra cada uno de los elementos que hace parte del conjunto y por comprensión se determina una característica común de todos los elementos. Ejemplo:

𝐴 = {1, 3, 5, 7, 9, … } Por extensión

𝐴 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟} Por comprensión. Ejemplos 1. Determinar por extensión el siguiente conjunto

𝑅 = {𝑥 ∈ 𝑁/3 < 𝑥 < 10} Entonces 𝑅 ={4, 5, 6, 7, 8, 9}. 2. Determinar por comprensión el siguiente conjunto.

𝑃 = {6} Entonces 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥 + 3 =6}. Relación de pertenencia: Un elemento pertenece a un conjunto si cumple con las características que determinan al conjunto. Para indicar si un elemento pertenece o no a

un conjunto se utilizan símbolos ∈ 𝑦 ∉ respectivamente. Ejemplo

𝐴 = {𝑚, 𝑖, 𝑒, 𝑙} 𝑎 ∉ 𝐴; 𝑚 ∈ 𝐴 Escribir por comprensión el conjunto formado por los elementos de la región rayada.

𝐷 = {𝑥 ∈ 𝐶/𝑥 ∉ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵} Relación de inclusión: Un conjunto A esta contenido en otro conjunto B, si todos los elementos de conjunto A pertenecen al conjunto B. se escribe 𝐴 ⊂ 𝐵. En símbolos 𝐴 ⊂ 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵).




Cuando hay por lo menos un elemento de A que no está en B, se dice que A no está

Contenido en B se escribe 𝐴 ⊄ 𝐵 Relación de igualdad: dos conjuntos A y B son iguales si tienen exactamente los mismos

elementos, es decir; 𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴. Ejemplos: 1. Dados los conjuntos A, B y C, representar gráficamente la situación dada. 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑦 𝐵 ⊂ 𝐶 La representación gráfica es:

𝐴 ⊆ 𝐵 𝑦 𝐵 ⊆ 𝐴

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS UNIÓN La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. Se representa

𝐴 ∪ 𝐵 en símbolos 𝐴 ∪ 𝐵 ={𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵}. Diagrama de Venn en la unión

La unión cumple con las siguientes propiedades.

Idempotencia: 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴

Conmutativa: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴

Asociativa: 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶

Modulativa: 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴




Ejemplo: Determinar la unión de los conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁 6 < 𝑥 ≤ 11}

𝐵 = {2, 3, 5, 8, 15}

Se tiene que 𝐴 = {7, 8, 9, 10, 11} y 𝐵 ={2, 3, 5, 8, 15}

La unión de los conjuntos 𝐴 𝑦 𝐵 queda de la siguiente manera.

𝐴 ∪ 𝐵 = {2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 15} INTERSECCIÓN La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen A y B simultáneamente. Se

representa 𝐴 ∩ 𝐵 en símbolos 𝐴 ∩ 𝐵 ={𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}. El diagrama de Venn en la intersección

La intersección entre conjunto cumple las siguientes propiedades.

Idempotencia: 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴

Conmutativa: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴

Asociativa: 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶

Anulativa: 𝐴 ∩ ∅ = ∅

Distributiva: 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) =(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)

Distributiva: 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) =(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)

Ejemplo: Determinar las intersecciones indicadas

dados 𝐴 = {1, 3, 7}, 𝐵 = {𝑥 ∈𝑁/ 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑦 𝑥 ≤ 10} y 𝐶 = {3}

a. 𝐴 ∩ 𝐵 𝐴 ∩ 𝐵 = {1, 3, 7}




b. 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)

𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = 𝐴 ∩ {3} = {3} DIFERENCIA La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. se

representa 𝐴 − 𝐵 en símbolos 𝐴 − 𝐵 ={𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}. El diagrama de Venn en la diferencia.

𝐴 − 𝐵

Ejemplo:

Se tienen los conjuntos 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} y 𝑊 = {𝑎, 𝑐, 𝑚, 𝑛} hallar 𝑋 − 𝑊 y 𝑊 − 𝑋

𝑋 − 𝑊 𝑋 − 𝑊 = {𝑏, 𝑑}

𝑊 − 𝑋

𝑊 − 𝑋 = {𝑚, 𝑛} COMPLEMENTO El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal U, que no

pertenece a A. se representa 𝐴𝑐 y se lee complemento de A. en símbolos 𝐴𝑐 ={𝑥/𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴} = 𝑈 − 𝐴.

El diagrama de Venn en el complemento.

𝐴𝑐

Ejemplo: 𝑈 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑜}

𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑈/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟}

Hallar 𝐴𝑐

𝑈 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 𝐴 = {2, 4, 6, 8}

Por tanto 𝐴𝑐 = {0, 1, 3, 5, 7, 9}

ACTIVIDADES 1. Dado el conjunto A, formado por las letras de la palabra “esternocleidomastoideo”, escribe falso o verdadero según el valor de verdad de cada expresión. a. 𝑜 ∈ 𝐴 e. 𝑢 ∈ 𝐴 i. 𝑝 ∈ 𝐴

b. ℎ ∈ 𝐴 f. 𝑒 ∈ 𝐴 j. ℎ ∈ 𝐴 c. 𝑎 ∈ 𝐴 g. 𝑖 ∈ 𝐴 k. 𝑓 ∈ 𝐴

d. 𝑝 ∈ 𝐴 h. 𝑟 ∈ 𝐴

2. Escribe por extensión los siguientes conjuntos.

a. 𝑀 = {𝑥/𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 − 7 = −9}

b. 𝑂 = {𝑥/𝑥 ∈ ℤ, 𝑥2 = 9}




c. 𝑃 = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ, 𝑥2 = −1}

d. 𝑄 = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 = √25}

e. 𝑅 = {𝑥/𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 < 12}

f. 𝑆 = {𝑥/𝑥 ∈ ℤ+, 𝑥 + 1 = 8}

g. 𝑇 = {𝑥/𝑥 ∈ ℤ−, 𝑥 < 3} 3. Dados los conjuntos 𝑈 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑏𝑒𝑐𝑒𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜 } 𝐵 = {𝑒, 𝑠, 𝑡, 𝑎, 𝑑, 𝑖, 𝑜}

𝐴 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙 }

𝐶 = { } 𝐷 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑟}

𝐸 = {𝑚, 𝑢, 𝑟, 𝑐, 𝑖, 𝑒, 𝑙, 𝑎, 𝑔, 𝑜}

a. Indica cuales de los conjuntos están determinados por extensión. b. Indica cuales de los conjuntos están determinados por comprensión. c. Determina por extensión el conjunto U d. Determina por comprensión el conjunto E e. ¿Cuáles de los conjuntos son unitarios? f. ¿Qué conjunto es vacío? g. ¿Cuál es el conjunto universal? 4. Lee la siguiente información

El cardinal de un conjunto es el numero de elementos que posee. El cardinal de un conjunto A se simboliza n(A) y se lee número de elementos de A. Determina el cardinal de cada conjunto.

a. 𝐿 = {𝑥/𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 < 10}

b. 𝐾 = {𝑥/𝑥 ∈ ℤ, −8 < 𝑥 < 2} c. 𝐽 = {𝑥/𝑥 ∈ ℤ−, 𝑥 < 2}

d. 𝐼 = {𝑥/𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 < 13}

e. 𝐻 = {𝑥/𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 > −4} f. 𝑍 = {𝑥/𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 = 1}

g. 𝑌 = {𝑥/𝑥 ∈ ℤ+, 𝑥 ≤ 10} 5. Dados los conjuntos 𝑈, 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶, determina el conjunto indicado en cada caso. Y graficar. 𝑈 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

𝐴 = {2, 4, 6, 8, 10} 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5} 𝐶 = {1, 3, 5, 7, 9}

a. 𝐴 ∪ 𝐵 d. 𝐵 − 𝑈 g. 𝐵 ∪ 𝐴 b. 𝐴 ∩ 𝐵 e. 𝑈 − 𝐵 h. 𝐵 ∩ 𝐴 c. (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 f. 𝐶𝑐

6. El siguiente diagrama representa las edades de los miembros de un grupo de danzas y un coro. Halla el conjunto indicado en cada caso.




a. (𝐷 ∩ 𝐶) ∪ 𝐶 e. 𝐶 ∩ 𝐷 b. (𝐷 ∪ 𝐶) ∩ 𝐷 f. 𝐷 − 𝐶 c. 𝐶 ∪ (𝐷 − 𝐶) g. 𝐶 − (𝐷 ∪ 𝐶)

d. 𝐷 ∪ 𝐶 7. Utiliza el diagrama de Venn para representar la operación que se indica en cada caso.

a. (𝐴 ∪ 𝐵) − 𝐶 b. (𝐴 ∩ 𝐶) − 𝐵 8. Con base en la siguiente información, realiza un diagrama de Venn. En un colegio practican voleibol, porras y teatro. Laura pertenece al grupo de voleibol y de porras, Alejandra únicamente pertenece al grupo de voleibol, Camila y Claudia pertenecen al grupo de teatro y de porras, Rosita, Susana y Ana están en los tres grupos, pero Natalia, Daniela y Lorena solo

están en teatro. Mientras que Michelle, Lia y Adelaida pertenecen a porras y voleibol, María y Juana están solo en porras. a. ¿Cuántas niñas practican al menos una de las tres actividades? b. ¿Cuáles niñas practican las tres actividades? c. ¿Cuáles niñas practican teatro y porras? d. ¿Cuáles niñas practican solamente voleibol? e. ¿Cuántas niñas practican dos de las tres actividades?

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