INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

UNIDAD CULHUACAN

Alumno:

Rodríguez Barrera José Andrés

Materia:

Probabilidad y estadística

Profesor:

Ramírez Sánchez Bernardino Jesús

Trabajo:

Teoría de conjuntos

CONJUNTOS

Un conjunto puede considerarse como una colección de objetos, llamados miembros o elementos del conjunto. En general se denota un conjunto por una letra mayúscula A, B, C, y un elemento por una letra minúscula a, b.

Sinónimo de conjunto son clase, grupo y colección.

Si un elemento a pertenece a un conjunto C escribimos a∈C. Si a no pertenece a C escribimos a∉C . Si a y b pertenecen a C escribimos a ,b∈C .

Un conjunto puede definirse haciendo una lista de sus elementos o, si esto no es posible, describiendo alguna propiedad conservada por todos los miembros y por los no miembros. El primero se denomina el método de extensión y el segundo método de compresión.

Subconjuntos

Si cada elemento de un conjunto A también pertenece a un conjunto B llamamos a A un subconjunto de B, escrito A⊂BóB⊃ A y leído “A esta contenido en B” o “B contiene a A” respectivamente. Se sigue que para todos los conjuntos A tenemos A⊂ A .

Si A⊂B y B⊂A llamamos a A y B iguales y escribimos A=B. En este caso A y B tienen exactamente los mismos elementos.

Si A no es igual a B, es decir si A y B no tienen exactamente los mismos elementos, escribimos A ≠ B.

Si A⊂B pero A ≠Bllamamos a A un subconjunto propio de B.

Conjunto universal y conjunto vacío

Para muchos propósitos restringimos nuestra discusión a subconjuntos de algún conjunto específico denominado el universo del discurso, o simplemente, universo. También se llama el conjunto o espacio universal y se denota por U . Los elementos del espacio se llaman puntos del espacio.

Es útil considerar un conjunto que no tiene elementos. Este conjunto se denomina el conjunto vacío o el conjunto nulo y se denota por∅ ; es un subconjunto de cualquier conjunto.

Diagrama de Venn-Euler.

Es una representación gráfica de uno o varios conjuntos, en la que se conviene en representar al conjunto universal por medio de un rectángulo y a los conjuntos que pertenecen a ese universo mediante curvas cerradas (círculos por lo general).

Un universo U puede representarse geométricamente por el conjunto de puntos dentro de un rectángulo. En tal caso los subconjuntos de U (como A y B indicados

y sombreados en la figura 1-1) se representan por conjunto de puntos dentro de los círculos. Tales diagramas denominados diagramas de Venn, sirven para darnos una intuición geométrica respecto a las posibles relaciones entre conjuntos.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Unión.

El conjunto de todos los elementos (o puntos) que pertenecen a A o a B, o tanto a A como a B, se llama la unión de A y B y se escribe A∪B (región sombreada en la fig. 1-2).

Intersección.

El conjunto de todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A y a B se llama la intersección de A y B y se escribe A∩B (región sombreada en la figura 1-3)

Dos conjuntos A y B tales que A∩B=∅ , es decir, que no tienen elementos comunes, se llaman conjuntos disconjuntos. En la figura 1-1, A y B son disconjuntos.

Diferencia.

El conjunto que consiste en todos los elementos de A que no pertenecen a B se llaman diferencia de A y B, escrita por A−B (región sombreada en la figura 1-4).

Complemento.

Si B⊂ A entonces A−B se llama el complemento de B relativo a A y se escribe B' A (región sombreasa en la figura 1-5). Si A=U , el conjunto universal, nos referimos a U−B sencillamente como el complemento de B’ (región sombreada en la fig. 1-6)-

El complemento de A∪B se excribe (A∪B)'.

Probabilidad

Es un valor numérico que representa la oportunidad o posibilidad de que un evento en particular ocurra.

Ejemplos

+ El aumento de precio de un artículo.

+ Una unidad de producción no conformada.

+ Que caiga el cinco de un dado.

La probabilidad es una proporción o fracción cuyo valor varía de 0 a 1.

Un evento que no tiene oportunidad de ocurrir tiene la probabilidad de 0. Un evento que ocurrirá con toda seguridad tiene la probabilidad de 1.

Existen tres tipos de aproximaciones sujetas a la probabilidad:

Probabilidad clásica o a priori. Probabilidad clásica o empírica. Probabilidad subjetiva.

P(x)=N A

NT

N A=Numero totalde ventos buscados

NT=Numero totalde eventos

Ejercicio 1. Encontrar la probabilidad de seleccionar una carta negra puesto que se tienen 52 cartas y son 26 negras.

P(x)=2652

=0.5

Probabilidad clásica o a priori.

Ejercicio 2. Si usted tira un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga 5?

Ω=

123456

P(x)=16

Probabilidad clásica o a priori.

En el punto de vista de la probabilidad clásica empírica, los resultados se basan en datos observados, no en conocimiento previo del proceso.

Ejemplos:

+ La proporción de votantes registrados que optan por un determinado candidato político.

+ En base a una encuesta el número de estudiantes que trabaja de medio tiempo.

La probabilidad subjetiva, se distingue de los otros dos en que la probabilidad subjetiva difiere de proceso a persona.

Ejemplo:

+ La probabilidad de que un nuevo producto, asigne una probabilidad de 0.6 a la oportunidad de éxito para el producto (creadores).

Mientras que el presidente de la empresa es menos optimista y asigna una probabilidad de 0.3.

Sirve esta probabilidad para tomar decisiones.

Evento siempre se distingue por sus características singulares.

Ejemplo: Cuando se lanza una moneda al aire los dos posibles resultados son cara o cruz.

Cada uno de los anteriores es un evento simple.

Un evento conjunto es un evento que tiene dos o más características.

Ejemplo: Sacar dos caras al lanzar al aire dos monedas, es un evento de conjunto.

El complemento de un evento A (A) que se le asigna el símbolo A) incluye todos los eventos que no son parte de A.

Ejemplo: El complemento de cara en una moneda es cruz.

La colección de todos los eventos posibles se llama espacio muestral.

PROBABILIDAD FRECUENCIAL

La probabilidad frecuencial es una medida obtenida de la experiencia de algún fenómeno o experimento aleatorio que permite estimar a futuro un comportamiento. Sin embargo, no es definitiva, por lo que es importante saber interpretar los resultados que se obtienen.

La probabilidad frecuencial de un evento A, que se denotará P(A ), se obtiene dividiendo el número de veces que ocurre el evento entre el número total de veces que se realizó el experimento.

P(A )=Numerode veces queocurre elevento

Numero total deveces que serealiza el experimento

Como el valor de la probabilidad es el de la frecuencia relativa, la probabilidad es un número entre 0 y 1, que puede expresarse en forma de fracción, número decimal y porcentaje.

TECNICAS DE CONTEO

El factorial de un número

El factorial de un número entero positivo o cero se define como el producto de todos los números naturales menores e iguales que él y está dado por:

n !=n (n−1 ) (n−2 ) (n−3 )…5×4×3×2×1

Donde:

El signo ! indica la operación factorial.

El factorial de cero se define como uno, es decir, 0 !=1.

Análisis combinatorio

El análisis combinatorio nos permite conocer cuál es el número de eventos posibles al realizar un experimento, ejemplo de ello son los juegos de azar, en los cuales se tienen que contar los posibles resultados de números que se obtienen al jugar la lotería, el melate, el trébol, etc.

Principio fundamental de cuenta. Diagrama de árbol.

El principio de multiplicación nos permite contar el número de maneras en que podemos realizar dos eventos si el primero de ellos se puede efectuar de cualesquiera n maneras, y el segundo se puede realizar de m maneras cualesquiera (la segunda inmediatamente después de la primera); entonces, ambas operaciones se pueden obtener de n x m maneras. Si una cosa puede realizarse en n1maneras diferentes y después de esto una segunda cosa puede realizarse en n2 maneras diferentes,…, y finalmente una k-ésima cosa puede realizarse en nk maneras diferentes, entonces todas las k cosas pueden realizarse en el orden especificado en n1 n2…nk maneras diferentes.

Ejemplo 1.23. Si un hombre tiene 2 camisas y 4 corbatas entonces tiene 2 ⋅4=8 maneras de escoger una camisa y luego una corbata.

Un diagrama, llamado diagrama de árbol debido a su apariencia (fig1-10), se emplea frecuentemente en conexión con el principio anterior.

Ejemplo 1.24. Si las camisas se representan por S1,S2, y las otras corbatas por T 1, T 2, T 3, T 4. Las diferentes maneras de escoger una camisa y luego una corbata se indican en el diagrama árbol de la Fig. 1-10.

Permutaciones

Supóngase que se dan n objetos diferentes y deseamos ordenar r de estos objetos en una línea. Puesto que hay n maneras de escoger el primer objeto, y luego de hacer esto n – 1 maneras de escoger el segundo objeto,…, y finalmente n – r +1 formas de escoger el r-ésimo objeto, se deduce por el principio fundamental de cuenta que el número de ordenaciones, o permutaciones diferentes como generalmente se les llama, está dado por

nPr=n (n−1 ) (n−2 )… (n−r+1 )(25)

Donde se observa que el producto tiene r factores. Llamamos a nPr el número de permutaciones de n objetos tomados de r en r.

Para el caso particular cuando r=n, (25) se convierte en

nPr=n (n−1 ) (n−2 )…1=n!(26)

Que se denomina n factorial. Podemos escribir (25) en términos factoriales como

nPr= n!(n−r ) !

(27)

Si r=n observamos que (25) y (26) se satisfacen solo si tenemos que 0! = 1 y tomaremos realmente esto como una definición de 0!

Combinaciones

En muchos problemas estamos interesados solamente en seleccionar o escoger objetos sin interesar su orden. Dichas selecciones se llaman combinaciones. Por ejemplo abc y bca son la misma combinación.

El número total de combinaciones de r objetos seleccionados de n (también llamadas las combinaciones de n cosas tomadas de r en r) se denota por nCr ó

(nr ) . Tenemos

(nr )=nCr= n !r ! (n−r ) !

(29)

Que también puede escribirse como

(nr )=n (n−1 )…(n−r+1)

r !=nPrr!

(30)

Fácilmente se demuestra que

(nr )=( nn−r

) Ó nCr=nCn−r (31)

Ejemplo 1.27. El número de maneras en las cuales 3 cartas pueden escogerse o seleccionarse de un total de 8 cartas diferentes es

8C3=(83)=8•7 •63 !=56