Conic As

7/17/2019 Conic As

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Álgebra y Geometría Analítica Facultad Regional Tucumán- U.T.N..

ESTUDIO PARTICULAR DE LAS CONICAS

Que el alumno sea capaz de:

Identificar las distintas cónicas mediante el análisis de su ecuación.

Determinar sus elementos a partir de la ecuación.

Graficar las distintas cónicas a través de los elementos y la ecuación.

Aplicarlas para resolver situaciones de la vida real.

1

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

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1.1.- Introducción

¿Qué es ! "eo#etr$! An!$tic!%

Aunque eisten al!unos antecedentes previos" es #enato Descartes quien al pu$licar en 1%&'

su o$ra ()a Geometrie* pone los cimientos de lo que actualmente conocemos como

!eometr+a anal+tica o !eometr+a cartesiana.

#esumidamente se puede decir que su propuesta es ,acer la fusión entre la !eometr+a y el

ál!e$ra esta$leciendo un método que lleva a traducir las propiedades !eométricas de las

fi!uras a un len!ua-e al!e$raico" para poder operar aplicando sus leyes" y una vez o$tenido

un resultado" interpretarlo !eométricamente.

ara dar una idea más concreta de lo que es la !eometr+a anal+tica" enunciaremos dos de sus

pro$lema fundamentales.

• Dada una !ráfica ,allar su ecuación:

• A partir de una ecuación en dos varia$les" di$u-ar su !ráfica:

/s decir que la Geometr+a Anal+tica es la parte de la 0atemática que estudia pro$lemas que"

partiendo de conceptos y propiedades puramente !eométricos" lle!a a resultados puramente

anal+ticos mediante desarrollos de tipo al!e$raico" teniendo sentido" por e-emplo ,a$lar de la

(ecuación* de la recta o de la circunferencia.

e estudiarán a continuación al!unos conceptos previos

&.- Siste#! Coorden!do Rect!n'u!r

Dado un plano cualquiera" un istema 2oordenado #ectan!ular" está formado por dos rectas

diri!idas y perpendiculares entre s+ llamadas /-es de 2oordenadas.

2omo se o$serva el !ráfico 34 1 al e-e ( se le denomina e-e de las a$scisas" al e-e )" e-e de

las ordenadas y al punto 5" de intersección de am$as rectas"

ori!en de coordenadas.

&. 1.- U*ic!ción de +untos en e +!no

odemos asociar puntos del plano a pares ordenados de

n6meros reales. ara ello identificamos cada punto del plano

con un par ordenado 7" y8 de n6meros reales llamadoscoordenadas del punto" como se o$serva en el !ráfico 34 1.

9

G/50/#;A <)G/=#A

<)G/=#A G/50/#;A

P(x,y)

Y

X

y

x

"r,ico N1: istema 2oordenado#ectan ular

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iendo : la abscisa del punto y distancia diri!ida desde el e-e ) al punto" e y la ordenada

del punto y distancia diri!ida desde el e-e ( al punto.

&. &.- Tr!s!ción de os E/es Coorden!dos

i se trasladan los e-es coordenados a un nuevo ori!en O0 2 3 4 5 las coordenadas 6 3 7 5

de un punto P cualquiera se transforman en 6 0 3 7 05.

Donde: 60 8 6 9 2 : 7 08 7 9 4 .

&. ;.-.Lu'!r "eo#étrico

e llama )u!ar Geométrico al con-unto de puntos del plano o del espacio que cumplen

determinadas condiciones. odo lu!ar !eométrico del plano es la !ráfica cartesiana de una

ecuación en dos varia$les e y de la forma <63 75 8=.

in em$ar!o" la ecuación de un lu!ar !eométrico del espacio es de la forma <63 73 >5 8 =.

#ec+procamente" el con-unto de todos los puntos 7" y8 del plano que satisfacen la ecuación

<63 75 8= representan una curva en el plano. > el con-unto de todos los puntos 7" y"z8 del

espacio que satisfacen la ecuación <63 73 >5 8= representan una superficie.

2a$e aclarar que sólo estudiaremos lu!ares !eométricos cuyas ecuaciones sean polinómicas.

eniendo en cuenta que: Una ecuación olinómica o algebraica racional entera es una

ecuación en la !ue las "ariables están a#ectadas sólo or las oeraciones enteras $suma%

resta roducto% otencia&.&. ?.-.LA RECTA en &

@!ce#os un *ree re+!so de )A #/2A en 9

)a ecuación polinómica de primer !rado en 6 e 7 es de la forma:

A 6 B 7 BC 8 = 15 y representa una recta en el plano.

/isten distintas formas de epresar la ecuación de una recta en el plano.

i se conoce:

)a pendiente y ordenada al ori!en: y ? m @ $ /cuación /plicita

)a pendiente m y un punto 1 71 " y1 8 : y y1 ? m 7 1 8

Dos puntos de la recta: 1 71 " y1 8B 9 7 9 " y9 8 : 1

1&

1&

1 . x x

x x

y y y y =

5tras ecuaciones son:

/cuación se!mentaria: 1b

y

a

x B a ? A$scisa al ori!enB $ ?ordenada al ori!en

/cuación General o Impl+cita: A @ =y @ 2 ? C

P!r! deter#in!r

&

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5rdenada al ori!en de la recta" se ,ace ( ? C* en la ecuación de la recta.

A$scisa al ori!en de la recta" se ,ace (y ? C* en la ecuación de la recta.

&. .- Dist!nci! entre dos +untos

Dados dos puntos cualesquiera del plano" A 7 1" y 18 y = 7 9" y 98" su distancia A= " está

dada por la epresión:

A= 8 919

919 8y y78 7 +

> es i!ual a la lon!itud del trazo A= .

/-emplo 34 1: 2alcula la distancia entre los puntos A 7 9 " & 8

y = 7 " 1 8 del plano.

Resoución: A= ? 22 )31()2 –5( ++ ?

e puede o$servar en el !ráfico 34 9 el se!mento de recta A=

&. F.- Coorden!d!s de +unto #edio

ean A 7 1 " y 1 8 y = 7 9 " y 9 8 " puntos cualesquiera del plano y G punto medio del

se!mento A= " entonces las coordenadas de G son:

++

9

yy"

9

0

9191

/-emplo 349 :

Dados los puntos A 7E" %8 y = 7 F" 198" determina las coordenadas del punto medio del

se!mento A= .

Resoución:

ea 0 el punto medio del trazo A= " entonces sus

coordenadas son:

+

2

126,

2

4 –8M ? 0 7 9 " 8

/n el !ráfico 34 &" se o$serva el punto medio 0 encontrado.

/-emplo 34 &: 2ompletar las si!uientes afirmaciones:

ea el punto 7a " $8" entonces:

i8 i aHC y $HC el punto está en el ... cuadrante"ii8 i aJC y $JC el punto está en el . cuadrante

F

"r,ico N ;: unto medio 0 del se!mento A=

"r,ico N &: e!mento de recta A=

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iii8 i a?C y $HC el punto está............

iv8 i aJC y $?C el punto está........

&. H.- Siste#! de Coorden!d!s Rect!n'u!res en e Es+!cio.

&. H. 1.-P!nos coorden!dos

lano K Determinado por las rectas x L x e yL y"

al que denotaremos como el +!no xy.

lano M Determinado por las rectas yL y y z L z "

al que denotaremos como el +!no yz .

lano N Determinado por las rectas x L x y z L z "

al que denotaremos como el +!no 6>.

&. H. &.- E/es Coorden!dos

/-e 'L ' determinado por la intersección de los planos 67 y 6> "lo llamamos e/e 6.

/-e yL y determinado por la intersección de los planos y e yz" lo llamamos e/e 7.

/-e (L (: determinado por la intersección de los planos z y zy" lo llamamos e/e >.

&. H. ;.- Ori'en de Coorden!d!s

O = 3 =5 es el punto intersección de los & planos coordenados. )os planos coordenados

dividen el espacio en E su$espacios llamados octantes"

el 14 octante está formado por los tres semie-es

positivos.

A

partir de la fi!ura anterior ,allaremos las coordenadas del punto en el espacio" definidas

por la distancia de a cada uno de los planos coordenados" medidas so$re los e-es " y" z.

( distancia del punto al plano yz se llama abscisa del punto .

) distancia del punto al plano z se llama ordenada del punto.

distancia del punto al plano y se llama cota del punto.

&. H. ?.-Situ!ción de +untos en e es+!cio

/-emplo 34 1: ara situar el punto 79"&"8 en el espacio" a partir del ori!en marcamos:

Z

X

Y

X´

Y´

Z´

0

Z

Y

B A

X

C

DE

F P

0

α

β

Lo #,s usu! es re+resent!r este

siste#! +or os ; se#ie/es

+ositios " y"z

"r,ico N ?: lanos 2oordenados" /-es 2oordenados

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9 unidades so$re el e-e 6 " & unidades so$re el e-e 7. )ue!o levantamos una perpendicular al

plano 67 de unidades paralela al e-e > y de este modo queda situado 79"&"8.

/-emplo 34 9:

/n cuanto a los si!uientes puntos sa$emos que sus

coordenadas están so$re los e-es" como se o$serva en el

!ráfico n4 ' :

/l punto A7 a"C"C8 es un punto so$re el e-e

/l punto = 7C"$"C8 es un punto so$re el e-e y

/l punto 27C"C"c8 es un punto so$re el e-e z.

;.- Ecu!ciones de P!nos

)a ecuación de la forma A 6 @ = 7 @2 > @ D ? C representa un plano. A continuación se

mostraran al!unos casos particulares:

!5 )as ecuaciones de los lanos coordenados:

• )a ecuación del plano coordenado y es > 8 = 7todos los

puntos u$icados en el plano y tienen cota C8.

• )a ecuación del plano coordenado z es y ? C 7todos los

puntos u$icados en el plano z tienen ordenada C 8.

• )a ecuación del plano coordenado yz es ? C 7todos los

puntos u$icados en el plano yz tienen abscisa C8.

/s decir" que los puntos que tienen una coordenada cero

están u$icados so$re un plano coordenado 7ver !ráfico 34 E8:

A7a" $" C8 es un punto del plano 67.3 =7a" C" c8 es un punto del plano 6>.3 27C"$ " c8 es un

punto del plano 7>

*5 A continuación se consideraran las ecuaciones de los planos paralelos a los planos

coordenados:

• )as ecuaciones de los planos paralelos al plano coordenado () son:

> 8 c" z ? constante. odos los puntos de este plano tienen cota > 8 c .

%

O A(a,b,0)

O=7a,0,c)

y

x

z C(0,b,c)

0

X

Y

Z

A(a,0,0)

B(0,b,0)

C(0,0,c)

"r,ico N F: unto 79 " &" 8

"r,ico N H: P$icación de los puntos A" = y 2.

"r,ico N J P$icación de los puntos quetienen una coordenada cero.

X

Z

Y0

P(2,3,5)

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• )a ecuación de un +!no +!r!eo al plano coordenado ( es

7 8 * " con $ constante.

)a ecuación de un +!no +!r!eo al plano coordenado ) es

6 8 ! " cuya intersección con el e-e es el punto 7a"C"C8.

En s$ntesis3 !s ecu!ciones de os tres +!nos o*tenidos son

P!no P!r!eo ! P!no Coorden!do

( 8 ! )

) 8 * (

8 c ()

?.- L!s Secciones Cónic!s

Pna sección cónic! es la curva de intersección de un plano con un cono de dos mantos 7o

dos ,o-as8. /l nom$re de cónic!s con que se desi!na a circunferencias" elipses" ,ipér$olas y

pará$olas es de$ido a estas intersecciones.

)a importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones

reales:

'

z c

y

x

z

x a

y

x

z

> ? $

z

y

"r,ico N K: lano paralelo al plano >

"r,ico N 1=: lano paralelo al plano R

"r,ico N 11: lano paralelo al plano >R

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• )a primera ley de Sepler so$re el movimiento de los planetas dice que éstos si!uen

ór$itas el+pticas" en uno de cuyos focos se encuentra el ol.

• /s muy posi$le que 3eTton no ,u$iese podido descu$rir su famosa ley de la

!ravitación universal de no ,a$er conocido ampliamente la !eometr+a de las elipses.• )a ór$ita que si!ue un o$-eto dentro de un campo !ravitacional constante es una

pará$ola. As+" la l+nea que descri$e cualquier móvil que es lanzado con una cierta

velocidad inicial" que no sea vertical" es una pará$ola.

?. 1.- Su+ericie Cónic!

Pna superficie cónica está !enerada por una recta 7llamada

!eneratriz8 que se mueve apoyándose en una curva fi-a

7llamada directriz8 y que pasa por un punto fi-o 7llamadovértice8 no contenido en el plano de esa curva

i la directriz es una circunferencia" la superficie se llama su+ericie cónic! circu!r.

?. &.- O*tención de !s Cónic!s co#o Secciones P!n!s

i el plano no pasa por el vértice del cono las curvas que se o$tienen son cónicas verdaderas.

i el plano corta a todas las !eneratrices se o$tiene la ei+se. /n particular si el plano es

además perpendicular al e-e se o$tiene la circunerenci!. i el plano es paralelo a dos!eneratrices se o$tiene la 2i+ér*o!. i el plano es paralelo a una !eneratriz se o$tiene la

+!r,*o!. /stas situaciones" se o$servan en los !ráficos que se muestran a continuación.

E

!eneratr+z

vértice

e-edirectr+z

"r,ico N 1& uperficie 2ónica

"r,ico N 1;: 2ircunferencia

"r,ico N 1?: /lipse con e-e focal ,orizontal y vertical

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i el plano pasa por el vértice del cono" manteniéndose paralelo a su posición primitiva" se

o$tienen las llamadas cónic!s de'ener!d!s. /n el caso de la elipse y la circunferencia

de!eneran en un +unto. )a ,ipér$ola de!enera en un +!r de rect!s que se cortan. )a

pará$ola de!enera en dos se#irrect!s +!r!e!s o coincidentes. /stos casos se muestran en

los !ráficos si!uientes.

ico N 1: ará$ola con e-e focal,orizontal y vertical

"r,ico N 1F: Uipér$ola con e-e real ,orizontal y vertical.

"r,ico N 1H: la elipse y las circunferencias de!eneran en un punto

"r,ico N 1J: la pará$ola de!enera en dos semirrectas paralelas o coincidentes

"r,ico N 1K: )a ,ipér$ola de!enera en un par de rectas que se cortan

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)a curva cuadrática más simple es la circunferencia.

?. &. 1.- Circunerenci!

“Se denomina Circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistande un punto fijo llamado centro.”

)lamamos r!dio de la circunferencia a la distancia de un punto cualquiera de dic,a

circunferencia al centro.

?. &. 1. 1.- Ecu!ción !n!$tic! de ! circunerenci!:

i ,acemos coincidir el centro con el ori!en de coordenadas" las

coordenadas de cualquier punto de la circunferencia 7 '" y8

determina un trián!ulo rectán!ulo" y por supuesto que respondeal teorema de itá!oras:

x & B y& 8 r& 15

uesto que la distancia entre el centro 7," V8 y uno

cualquiera de los puntos 7 '" y8 de la circunferencia es

constante e i!ual al radio r tendremos que:

x 9 25& B y 9 45& 8 r& &5

Desarrollando los cuadrados o$tenemos: 9 @ y9 9, 9Vy r 9 ? C.

i reemplazamos 9, ? DB 9V ? /B W ? ,9 @ V 9 r 9 tendremos que:

6& B 7& B D6 B E7 B < 8 = ;5

/-emplo: i tenemos la ecuación: '9 @ y9 @ % ' E y 11 ? C. /ntonces D ? % % ? 9,

, ? & / ? E E ? 9V V ? F 27 &" F8.

1C

L! Ecu!ción "ener! de un! cónic! erd!der! o de'ener!d! es

un! ecu!ción +oinó#ic! de se'undo 'r!do en 6 e 7

A6& B 6 7 B C7& B D 6 B E 7 B < 8 =

- Si 8=3 resut! A6& B C7& B D 6 B E 7 B < 8 = ue es !

ecu!ción de & 'r!do en dos !ri!*es3 sus coeicientes deter#in!n

e ti+o de cur! ue re+resent!

Ecu!ción c!nónic! de !

circunerenci! con centro en e

ori'en

Ecu!ción C!nónic! de ! circunerenci! con

centro en C2 3 45

Ecu!ción "ener! de ! Circunerenci!

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Uallemos el radio" W ? 7 &89 @ F9 r 9 X 11 ? 7 &89 @ F9 r 9 " r ? %

)a ecuación de la circunferencia queda: 7 ' @ &89 @ 7 y F89 ? &%

?. &. 1. &.- Rect!s Sec!ntes3 t!n'entes 7 e6tern! ! un! circunerenci!

Dada la ecuación !eneral de la circunferencia 9

@ y9

@ D @ /y @ W ? C y la ecuación deuna recta: y? m @ $

#eemplazando el valor y de la recta en la circunferencia o$tenemos una ecuación de

se!undo !rado tal que:

i el radicando o discriminante cumple:

?. &. 1. ;.- Ecu!ciones de !s Rect!s T!n'ente 7 Nor#! en un +unto P=.

ara o$tener la ecuación de la recta tan!ente a una cónica" se desdo$la la ecuación de la

misma remplazando9

yyyBy.y9yB.9

+=== B

9

' ' '

+= lue!o se remplaza una

(* y una (y* por las coordenadas del punto de tan!encia C 7C" yC8 y se o$tiene la ecuación

de la recta tan!ente 8C7:mCyy −=− .

ara o$tener la ecuación de la recta normal" que es perpendicular a la recta tan!ente" se

$usca la pendiente:m

1 3m −= B y se escri$e la ecuación 8C7 3mCyy −=−

Dada la Ecu!ción "ener! A9 @ 2y9 @ D @ /y @ W ? C y el punto C7C"yC8" usamos la

re'! de desdo*!#iento para o$tener las ecuaciones de las rectas tan!ente y normal.

A . @2 y.y @ D 79

' ' +8 @ / 7

9

y y +8 @ W ?C

articularizando para 1" nos queda:

A . C @ 2 y. y C @ D 79

C ' ' +8 @ / 7

9

C y y +8 @ W ?C"

Desarrollando o$tenemos:

!5 /cuación de la rect! t!n'ente 7 8 #t' 6 B *1

*5 /cuación de la rect! nor#!3 teniendo mn ? Ytg

m

1 y el C 7C"yC 8

7yYy18 ? mn 7 18 → 7 8 #n 6 B *

O*ser!ción /stas ecuaciones son válidas para todas las cónicas

11

8nciacircunferelaaeterior esrectala7con-u!ados ple-osn6meroscomdossonraiceslasC

8nciacircunferelaa!entetanesrectala7i!ualeserealessonraiceslasC

8nciacircunferelaaantesecesrectala7asintdistyrealessonraiceslasC

<∆=∆>∆

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?. &. 1. ?.- E/ercit!ción

1.Y /scri$e la ecuación canónica y !eneral de la circunferencia dando sus elementos.

a8 )a ecuación de la circunferencia con 27C"C8 y radio r tiene ecuación.

$8 )a ecuación de la circunferencia con centro so$re el e-e tiene

ecuación...................

c8 )a ecuación de la circunferencia con centro so$re el e-e > tiene

ecuación

d8 i 7a"$8 y 7c"d8 son los etremos del diámetro de una circunferencia" cuáles serán las

coordenadas de su centroZ[2uál será la medida de su radioZ

98 i la circunferencia es tan!ente al e-e se cumple que.

&8 i la circunferencia es tan!ente al e-e y se cumple que .

F8 i la circunferencia es tan!ente a am$os e-es se cumple que.

8 i una recta corta a la circunferencia en dos puntos se dice que son.

%8i la recta no corta a la circunferencia se dice que son

'8 /l centro de un c+rculo circunscrito a un trián!ulo con vértices 7C"F8 79"C8 y 7F"%8 se

encuentra en las mediatrices de los lados. Ptilice este ,ec,o para encontrar el centro del

c+rculo.

E8 /scri$e las ecuaciones de las circunferencias: pasa por la intersección de &@yY 1F?C

y YyY9?C y es concéntrica con: 9 @ y9 @% @1Fy @1E?C.

8 #eplantee cada metro de un arco de circunferencia de metros de radio. Grafique.

1C8 /n la estructura que se indica calcule las lon!itudes de todas las $arras. 7Aclaración:

Di$u-e en escala e indique ésta.8

?. &. 1. .- E/ercicios Resuetos

1.Y Dadas las circunferencias: a8 ( ) Fy9 99 =+− ) a $8 ( ) G1y99 =−+ ) b

c8 ( ) ( ) 1%1y& 99 =−+− ) c

i8 Determinar centro y radio. Graficar.

19

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ii8 Averi!uar si los si!uientes puntos pertenecen a las mismas: ( )9"91 B ( )F"C9 B

( )1"'.& −

Resoución E/ercicio 15

i8 ( )C"92 B 9r = " ( )1"C2 B &r = " ( )1"&2 − B Fr =ii8 i los puntos pertenecen a la circunferencia" de$en verificar su ecuación.

ara C a: ( ) Fy9 99 =+−

[ ( ) a1 29"9 ∈ Z ( ) F999 99 =+− B ⇒ a1 2 ∈

[ ( ) a9 2F"C ∈ Z ( ) F9CF9C 99 ≠=+− B ⇒ a9 2 ∉

[ ( ) a& 21"' ∈− Z ( ) ( ) F9%19' 99 ≠=−+− B⇒ a& 2 ∉

ara C b: ( ) G1y99 =−+

[ ( ) $1 29"9 ∈ Z ( ) GD19999 ≠=−+ B ⇒ $1 2 ∉

[ ( ) a1 29"9 ∈ Z ( ) G1FC 9 =−+ B ⇒ $9 2 ∈

[ ( ) $& 21"' ∈− Z ( ) F999 99 =+− B ⇒ $& 2 ∉

ara C c: ( ) ( ) 1%1y& 99 =−+−

[ ( ) c1 29"9 ∈ Z ( ) ( ) 1%1C19&999 ≠=++− B

⇒ c1 2 ∉

[ ( ) c9 2F"C ∈ Z ( ) F999 99 =+− B⇒ c9 2 ∉

( ) a1 29"9 ∈ Z ( ) 1%999 99 =+− B ⇒ c& 2 ∈

9.Y 2ompletar el si!uiente cuadro:

1&

C a ) C b ) C c )

x

9*

x 1

*

x &

Y 1*

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Centro C R!dio R

Ecu!ción de !

circunerenci! de centro C 7

r!dio r

Re+resent!ción

'r,ic!

( )C"C &

( )C"C F

( )9"C −9

D

Gy 99 =+

( ) 1yF 99 =++

Resoución E/ercicio &.-.

Centro

C

R!dio

R

Ecu!ción de ! circunerenci!

de centro C 7 r!dio r

Re+resent!ción

'r,ic!

7C " C8 & K&& y x

x

&

&

Y &

Y &

*

( )C"C F 1F11 &&

=

y x x

1

1

*

( )9"C −

9

D

?

&E&

&&=

y x

x

Y 9

*

7Y1 " Y98 & K&1

&&

= y x

x

Y 9

Y 1

*

1F

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7YF " C8 1 1?

&&

=

y x x

Y F

*

&.Y #epresentar !ráficamente la si!uiente circunferencia. Determinar el centro y el radio.

a) C&yGFy 99 =−+−+

b) C99y91Cy 99 =−−++

Resoución E/ercicio ;.-

/sta es la ecuación !eneral de la circunferencia: C99y91Cy 99 =−−++

ara encontrar centro y radio ,ay que completar cuadrados:

C&GGyGyFFF 99 =−−+++−+− " ( ) ( ) C&G&yF9

99 =−−++−−

( ) ( ) 1%&y999 =++−

)ue!o" el centro es 2 ( )&"9 − y el radio es F .

[e animas a resolver la ecuación $.Z

[iempre estas ecuaciones representan circunferenciasZ[or quéZ. \Investi!a]

?. &. &.- Ei+se

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos

es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Anal+ticamente: a9WW =+′

?. &. &. 1.- Ecu!ción !n!$tic! de ! ei+se:

ara simplificar la eplicación u$iquemos a los focos so$re el e-e de las '% situados en los

puntos W 7c" C8 y W^ 7 c" C8. omemos un punto cualquiera de la elipse cuyas coordenadas

son 7 '" y8. /n el caso de la elipse la suma de las distancias entre W y W^ es i!ual al do$le del

radio so$re el e-e '. /ntonces: W @ W^ ? 9a. Aplicando itá!oras tenemos que:

1

"r,ic! N &=: /lipse de focos W0 7Yc " C8 y W 7 c " C8

7/17/2019 Conic As



/levamos al cuadrado am$os miem$ros para sacar las ra+ces y desarrollamos los cuadrados

queda finalmente:

i la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera 7," V8 la ecuación de$er+a de ser:

)ue!o de tu desarrollo o$tendrás los si!uientes resultados: 1a

y

$

9

9

9

9

=+ "

1a

8V y7

$

8,79

9

9

9

=−

+−

respectivamente.

i desarrollamos los cuadrados o$tendremos que:

$9 '9 @ a9 y9 9 '+ $9 9 y, a9 @ ,9 $9 @ V 9a9 a9 $9 ? C"

i ,acemos A ? $9B = ? a9 B 2 ? 9,$9B D ? 9Va9B / ? ,9 $9 @ V 9a9 a9 $9

endremos la ecuación:

A '9 @ = y9 @ 2 ' @ D y @ / ? C

/-emplo:

i tenemos la ecuación: F '9 @ y9 @ 9F ' E y @ E1 ? C" entonces: A ? F F ? $9 $ ? 9B

= ? " ? a9 " a ? &

)os radios de la elipse son: so$re el e-e ' " a ? &B so$re el e-e y " $ ? 9. Uallemos 27," V8.

2omo 2 ? 9F 9F ? 9,$9 , ? &" D ? F " X F ? 9qa9 " q ? &

/l centro es 27," V8 ? 7 &" &8. ara verificar que se trate de una elipse calculemos / que

de$e tener el valor de E1. / ? ,9 $9 @ V 9a9 a9 $9 ? E1

)a ecuación de la elipse queda: ( ) ( )1

F

&y

G

&99

=−

++ 7#ealice la !ráfica8.

?. &. &. &.- Ecu!ciones de ! rect! t!n'ente 7 nor#! ! ! cónic! en un +unto P16137153

Dada la ecuación de la elipse con centro en el ori!en y e-e ,orizontal

1%

Ecu!ción C!nónic! de ! Ei+se

con centro en C =3=5 7 e/e oc! e

e/e 6

Ecu!ción C!nónic! de ! Ei+se con centro en

C 2 345 7 e/e oc! +!r!eo ! e/e 61

$

8V y7

a

8,79

9

9

9

=−

+−

iguiendo el mismo ra(onamiento% busca las ecuaciones de las elises con ee #ocal ee

y y aralelo al ee y . Gra#ica.

Ecu!ción "ener! de !

Ei+se

7/17/2019 Conic As



19

9

9

9

=+b

y

a

'" se desdo$la esta ecuación 1

..99

=+b

y y

a

' ' y lue!o se reemplaza por el punto

1" o$teniendo:

1

..9

1

9

1

=+ b

y y

a

' ' Despe-ando 7 3 resultan las ecuaciones:

a8 rect! t!n'ente 7 8 #t' 6 B *1

$8 rect! nor#! 7yYy18 ? mn 7 18 → 7 8 #n 6 B *&

?. &. &. ;.- E/ercit!ción

1.Y 2alifique con _/#DAD/#5 o WA)5 cada una de las si!uientes proposiciones

-ustificando en cada caso su respuesta:

a8 /n la elipse los focos equidistan del 2entro de la elipse

$8 )a dist!nci! oc! es menor que la lon!itud del semie-e mayor.

c8 )os focos se encuentran en el e-e menor

d8 )a elipse es simétrica con respecto de sus e-es y del centro.

9.Y 2omplete:

a8 )a ecentricidad 7e8 está dada por........................

$8 ara la elipse el valor de e M 1 por que................

c8 )a relación entre (a*" ($* y (c* es:.......................&.Y /scri$a las propiedades focales de la elipse

F.Y #elacione cada ecuación de elipse con la !ráfica correspondiente

a8 1F

8979

9 =+− y

' $8 1F

817

G

897 99

=−

+− y '

c81

E19D

99

=+ y '

d8 11CC1%

99

=+ y '

"r!ico 1 "r!ico &

1'

7/17/2019 Conic As



"r,ico ; "r,ico ?

.Y /scri$a la ecuación de la elipse que cumple con las si!uientes condiciones:

a8 2entrada en ori!en de coordenadas" semie-e menor $ ? E" foco W1 7&B C8.

$8 2entro 271BY18" distancia focal %" e ? &9

. Grafique en am$os casos.

'.Y Dada la ecuación de la elipse" determine sus elementos y !rafique.

a8 9@Fy9YFYEyY9?C $8 9@Fy9Y&%?C

E.Y Determine la ecuación de la recta tan!ente y normal a la elipse del apartado a8 del

e-ercicio anterior en el punto 7EB8.

?. &. &. ?.- E/ercicios Resuetos

1.Y /ncontrar los elementos de las si!uientes elipses y !raficar:

a8 1G

y

9D

99

=+ " $8 11%

y

F

99

=+ " c8 ( ) ( )1

G

9y

&%

D99

=−

++

Resoución de E/ercicio 1.-

a8 1G

y

9D

99

=+

2entro ( )C"C " el e-e mayor está so$re el e-e x . Da = B

& $ =

( )C"DA1

−= B ( )C"DA9 = B ( )&"C=

1 −= B ( )&"C=

9 =

1%G9D $ac 99 =−=−=

⇒

Fc ±=

( )C"FW1 −= B ( )C"FW9 = 1D

F

a

ce <==

$8 11%

y

F

99

=+

( )C"C2 " el e-e mayor está so$re el e-e y . Fa = " 9 $ =

.

1E

'

y

)

* A/

F /

F 0

A0

10

1/

DY D

&

Y &

'

y

)

*

A /

F /

F 0

A0

10

1/

F

9

Y F

Y 9

7/17/2019 Conic As



19F1% $ac 99 =−=−= ( )F"CA1 −= B ( )F"CA 9 = B ( )C"9=1 −= B ( )C"9=9 =

19"CW1 −= B 19"CW9 =

F

19

a

ce ==

c8 ( ) ( )

1G

9y

&%

D99

=−

++

( )9"D2 − B %a = B & $ = . )a distancia focal es

9'%&% $ac 99 =−=−= . ara determinar 1A y

9A : 2uando 9y = : ( )1

&%

D9

=+ ( ) &%D

9 =+

&%D ±=+ %D ±=+ ⇒

11

1

9

1

−==

( )9"11A1 −= B ( )9"1A9 = . ara determinar

1= y 9= :

2uando E x : ( )1

G

9y9

=− ( ) G9y

9 =− &%D ±=+

&9y ±=− ⇒ 1y

Dy

9

1

−==

( )1"D=1 −−= B ( )C"9=9 = 19"CW1 −= B ( 9"9'DW9 +−= F

19

a

ce ==

9.Y 2ompletar el si!uiente cuadro:

C ( )CC y" ! * Ecu!ciónRe+resent!ción

'r,ic!

( )C"C D F

1y&%

9

9

=+

( )1

1%

y

G

9 99

=+−

Resoución de E/ercicio &.-

1

'

y

)

*

A/

F /

F 0 A

0

10

1/

Y D

Y 1

Y DY 1 1

7/17/2019 Conic As




'r,ic!

( )C"C D F

11F&E

&&

=

y x ó

1&E1F

&&

=

y x

'

y

*DY D

F

Y F ó

'

y

*

D

Y D

FY F


'r,ic!

( )C"C % 1 1y&%

99

=+ '

y

*

1

Y 1

%Y %

( )C"9 F & ( )

11%

y

G

9 99

=+− ')

y

*

F

Y F

DY 1

&.Y )a primera ley de Sepler afirma que: ()as ór$itas de los planetas son elipses que tienen

al sol en uno de sus focos*. 2alcular la distancia del sol al centro de la elipse" sa$iendo que

la ecentricidad de la ór$ita terrestre es C1'"C y que CCC.FG&.1D&a = Sm.

Resoución de E/ercicio ;.-

C1'"Ca

cC1'"Ce =⇒= .

)a distancia del sol al centro de la elipse es la distancia focal c " de modo que: eac

⇒

G&E.9%CcC1'"CCCC.FG&.1D&c =∴⋅= Sm.

9C

F /

F 0

)

c

o l

7/17/2019 Conic As



?. &. ;.- @i+ér*o!:

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos

puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la ipérbola.

Anal+ticamente: a9.WY.W^ =

?. &. ;. 1.- Ecu!ción !n!$tic! de ! 2i+ér*o!: 3uevamente u$iquemos los focos so$re el e-e '" W ? 7c"C8 y W^ ? 7 c"C8" y tomemos un punto

cualquiera 7 '" y8 de la ,ipér$ola. /n este caso" la diferencia de las distancias entre W y W^

es i!ual al do$le de la distancia que ,ay entre el centro y la intersección de la ,ipér$ola con

el e-e '. /ntonces tendremos que: a9.WY.W^ =

/levando al cuadrado am$os miem$ros y procediendo matemáticamente podemos lle!ar a

esta epresión: 7c9 a98. '9 a9 y9 7c9 a98 a9 ? C 7los cálculos los de-o por tu cuenta pero

puedes !uiarte con el desarrollo que ,icimos para la elipse8. 3uevamente a partir del di$u-o

y aplicando el eorema de itá!oras podemos o$tener que c9 ? a9 @ $9 y por lo tanto la

ecuación nos queda: $9 '9 a9 y9 ? a9 $9. Dividiendo cada término por a9 $9 o$tenemos:

i la ,ipér$ola estuviese centrada en un punto cualquiera 7," V8 la ecuación de$er+a de ser:

i desarrollamos los cuadrados o$tendremos que:

$99 a9y9 9,$9 @ 9yVa9 @ ,9 $9 V 9a9 a9 $9 ? C

i ,acemos: A ? $9 B = ? a9 B 2 ? 9,$9B D ? 9Va9B / ? ,9 $9 V 9a9 a9 $9

)a ecuación: A '9 = y9 @ 2 ' @ D y @ / ? C"

91

Ecu!ción C!nónic! de ! 2i+ér*o! con C=3=5 7

e/e oc! e e/e 6

Ecu!ción C!nónic! de ! 2i+ér*o! con C23453 7

e/e oc! +!r!eo ! e/e 6

"r,ico N &1: Uipér$ola de focos W`7Yc " C8 y W7c " C8

1 $

8V y7

a

8,79

9

9

9

=−

−−

Ecu!ción "ener! de ! 2i+ér*o!

iguiendo el mismo ra(onamiento% busca las ecuaciones de las +i2rbolas con ee #ocalee y y aralelo al ee y . Gra#ica.

http://soko.com.ar/matem/matematica/Elipse_cuenta.htm

http://soko.com.ar/matem/matematica/Elipse_cuenta.htm

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)ue!o de tu desarrollo o$tendrás los si!uientes resultados: 1 $

a

y9

9

9

9

=− "

1 $

8,7

a

8V y79

9

9

9 =−−− respectivamente.

?. &. ;. &.- Ecu!ciones de !s As$ntot!s de ! @i+ér*o!

on rectas que -amás cortan a la ,ipér$ola" aunque se acercan lo más posi$le a ella. Am$as

de$en pasar por el centro 27C"C8 ó 27, " V8. )as ecuaciones de las as+ntotas para c 7C"C8

son: y ? ba

b e-e ,orizontal y ? b

b

a e-e vertical

?. &. ;. ;.- E/ercit!ción

1.Y 2onsidere un cono circular recto de dos ,o-as. [2ómo de$e (pasar* un plano cortante

para que la sección definida por la intersección del cono con el plano sea una ,ipér$olaZ.

Grafique.

9.Y Pna ,ipér$ola es el con-unto de puntos del plano quesatisfacen................................................................

&.Y A partir de la definición como lu!ar !eométrico" determine la ecuación de una ,ipér$ola

de centro 2 7C"C8 y e-e real .

F.Y 2omplete y seleccione el si!no 7@ ó Y 8 de cada término para que la ecuación dada a

continuación defina una ,ipér$ola de centro 27,"V8 y e-e real paralelo al e-e y:

1........

2k)(.....

.........

2....)(x=

−±

−±

.Y )a ecentricidad de una ,ipér$ola es & y la de otra es &9. [2uál de las dos es más

cerradaZ

%.Y Dadas las ,ipér$olas cuyas ecuaciones se indican" o$ten!a centro B lon!itud del e-e real"

coordenadas de los vértices" ecentricidad y !rafique.

a8 1FG

1CC

y 99

=− $8 1CCFy9D 99

=−

c8 C'Gy&9DFy1%G 99

=−−+− d8 9Gy1%GyF 99 =+−

99

)omo eercicio% encuentra las ecuaciones de las asíntotas ara c $+% ,& tanto ara el ee real

aralelo al ee ' como al ee y.

7/17/2019 Conic As



'.Y /n las ecuaciones de los apartados $8 y c8 del e-ercicio anterior o$ten!a las ecuaciones

de las as+ntotas.

E.Y 5$ten!a la ecuación de una ,ipér$ola cuyos focos sean los vértices de la elipse

''y11' 99 =+ y cuyos vértices son los focos de la elipse dada.

.Y Pn ca$le col!ante su-eto en los etremos por columnas de 9' metros de altura separadas

FC metros tiene la forma de arco ,iper$ólico que en su parte mas $a-a dista ' metros del piso.

2alcule cada F metros" la distancia del ca$le al piso.

?. &. ;. ?.- E/ercicios Resuetos

1.Y /ncontrar los elementos de las si!uientes ,ipér$olas:

a8 1G

y

1%

99

=− " $8 11%

G

y 99

=− c8 ( ) ( )1

9D

9y

F

1 99

=+−−


a8 1G

y

1%

99

=−

5$servamos de la ecuación que el centro es ( )C"C B que Fa = " & $ = y e-e real: x .

;a B ( )C"FA1 −= B ( )C"FA9 = B ( )&"C=1 −= B ( )&"C=9 = " 9DG1% $ac99 =+=+=

⇒

Dc ±=

( )C"DW1 −= B ( )C"DW9 = " 1F

D

a

ce >==

As+ntotas: a

$y ±= ⇒

F

&y = y

F

&y −=

$8 1

1%

G

y 99

=−

( )C"C2 B F $ = B e-e real: y

( )&"CA1 −= B ( )&"CA 9 = B ( )C"F=1 −= B ( )C"F=9 = "

9D1%G $ac99 =+=+= ⇒ Dc ±= "

( )D"CW1 −= B ( )D"CW9 = "&

D

a

ce ==

As+ntotas: $

a

y ±= ⇒ F

&

y = y F

&

y −=

9&

')

* A/

A0

10

1/

F /

F 0F

&

Y &

Y F

')

y

*

A/

A 0

10

1/

F /

F 0

FY F

7/17/2019 Conic As



c8 ( ) ( )1

9D

9y

F

199

=+

−−

( )C"C2 B 9a = " D $ = B e-e real al e-e x

ara encontrar 1A y 9A se ,ace 9y −= :

( )1

F

1 9

=− ( ) F1

9 =− F1 ±=− ⇒ 19 +±= ⇒ 1

&

9

1

−=

=

( )9"1A1 −−= B ( )9"&A9 −=ara encontrar 1= y 9= " se considera 1 x " sin olvidar que estos vértices son ima!inarios"

es decir la ,ipér$ola no corta al e-e y . 3o consideramos el

si!no ne!ativo que precede a: ( )1

9D

9y9

=+ " ( ) 9D9y

9 =+ "

9D9y ±=+ ⇒ 9Dy −±=

⇒ 'y

&y

9

1

−=

=

" ( )'"1=1 −= B ( )&"1=9 = "

9G9DF $ac 99 =+=+= ⇒

9Gc ±= "

9"9G1W1 −−= B 9"9G1W9 −+= "9

9G

a

ce ==

As+ntotas: $

ay ±= ⇒

F

&y = y

F

&y −=

9.Y Determinar la ecuación de la ,ipér$ola sa$iendo que Ea = " & $ = y que:

a8 /l centro es el ori!en y los focos están so$re el e-e x .

$8 2entro ( )F"1 y e-e real al e-e y .

c8 Determinar las as+ntotas de la ,ipér$ola del inciso !.

d8 )a distancia focal.


9F

3bser"a !ue: 4as +i2rbolas de los aartados a&. y b& tienen las mismas asíntotas% or

eso se llaman +i2rbolas conugadas.

'

) *

A/ A

0

10

1/

F /

F 0

&

&

Y '

7/17/2019 Conic As



a8 2 ( )C"C " Ea = " & $ = . 2omo los focos están so$re el e-e x " el e-e real es x " lue!o la

ecuación es 1G

y

%F

99

=− .

$8 ( )F"12 " e-e real al e-e y " la ecuación es ( ) ( )1

G

1

%F

Fy 99

=−−−

c8 a

$y ±= B

E

&y ±=

d8 '&G%F $ac99 =+=+= ⇒ '&c ±=

?. &. ?.- P!r,*o!

“Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado

foco y de una recta fija llamada directriz “.

Anal+ticamente: .Q.W =

/l értice de la pará$ola es el punto medio

entre la directriz y el foco. /l vértice y el

foco determinan una l+nea perpendicular a la

directriz" a ésta l+nea se le conoce como el

e/e de ! +!r,*o!.

ara una pará$ola que tiene el vértice en el

ori!en la ecuación es 7&8 &+6" donde + es la

distancia entre la directriz y el foco.

?. &. ?. 1.- Ecu!ción !n!$tic! de ! +!r,*o!:

ara deducir la ecuación tomamos una pará$ola de _7C"C8 y e-e de simetr+a el e-e .

upon!amos que el foco esté situado en el punto W 79

" C8 y la

directriz D es la recta ? 9

" por lo tanto el vértice está en su

punto medio 7C"C8" si tomamos un punto !enérico 7 ' " y8 de la

pará$ola de$e de cumplirse que: Dist7"D8 ? dist7"W8

9

Q

"r,ico N &&: ará$ola de _7C"C8 y e-e desimetr+a el e-e

7/17/2019 Conic As



entonces: 5 6 F 6 = calculando las distancias 99 8Cy789

p7

9

p −+−=+ /levando al

cuadrado resulta:

999

y89

p

79

p

+−=

+ Desarrollando los $inomios

99

99

9 yF

p p

F

p p ++−=++ 2ancelando y rea!rupando" p @p ? y 9 entonces"

o$tenemos: 7& 8 &+6

O*ser!ciónes: 18 i la pará$ola se a$re ,acia la izquierda a ecuación es: 7& 8 - &+6 7ver

Gráfico 34 9F.

98 i el foco está a la derec,a de la directriz" la pará$ola tiene sus ramas ,acia la derec,a._er Gráfico 34 9&

98 i el foco está a la izquierda de la directriz" la pará$ola tiene sus ramas ,acia la izquierda.

7_er Grafico 34 9F.8

i la pará$ola no tiene su vértice en _ 7C"C8 si no en 7," V8 entonces la ecuaciones serán

79 45& 8 ± & + 6 -25 & 5

Desarrollando la ecuación tendremos: y9 9 y V 9 p @ V 9 @ 9 p ,? C

i ,acemos / ? 9 VB D ? 9 pB W ? V 9 @ 9 p ,

5$tendremos: y9 @ D @ / y @ W ? C" /cuación !eneral de la ará$ola con _7, " V8 y e-e

focal o de simetr+a paralelo al e-e .

i el e-e de simetr+a es el e-e y " el foco es W 7C"9

8 y la directriz es

9

y −= donde p es un

n6mero real y es distinto de cero" entonces la ecuación de la pará$ola es:

6& 8 &+7

9%

"r,ico N &;: ará$ola con foco a la derec,ade la directriz

"r,ico N &?: ará$ola con foco a laizquierda de la directriz

Ecu!ción C!nónic! de ! P!r,*o! con = 3 =5

7 e/e de si#etr$! e e/e 6

Ecu!ción c!nónic! de ! +!r,*o! con 2 3 45 7

e/e oc! +!r!eo ! e/e

Ecu!ción C!nónic! de ! P!r,*o! con = 3 =57 e/e de si#etr$! e e/e 7

7/17/2019 Conic As



5$servación: i 6& 8 - &+7 la pará$ola se a$re ,acia a$a-o. 7ver !ráfico n4 98

Aclaración:9

pes la distancia entre el vértice y el foco y entre el vértice y la directriz.

O*ser!ción: e presentan los si!uientes casos:

i la pará$ola tiene su vértice 7," V8 entonces la ecuación ser+a

x 9 25& 8 ± & + y !" 5

5$servación: 18 i 7 ' ,89 ? 9 p 7 y -, 8 la pará$ola se a$re ,acia arri$a.

98 i 7 ' ,89 ? Y 9 p 7 y -, 8 la pará$ola se a$re ,acia a$a-o.

Desarrollando la ecuación tendremos: '9 9 ' , 9 p y@ , 9 @ 9 p V ? C

i ,acemos D ? 9 ,B / ? 9 pB W ? ,9 @ 9 p V

5$tendremos: x & B D x B E y B < 8 =

?. &. ?. &.- E/ercicios

1.Y 2omplete as si!uientes proposiciones:

a8 Pna pará$ola es el con-unto del plano que satisfacen.

$8 A partir de la definición de lu!ar !eométrico" se puede determinar la ecuación de una

pará$ola de 27C"C8 y e-e de simetr+a el e-e " considerando

c8 )a ecuación de una pará$ola en función de la luz y la flec,a es:..

d8 )a ecuación de una pará$ola con e-e de simetr+a el e-e >

es..

e8 /l lado recto de la pará$ola es:f8 /nuncie la propiedad focal de la pará$ola

9'

"r,ico N &?: ará$ola con 27C " C8 e-e focalel e-e y " p H C

"r,ico N &: ará$ola con 27C " C8 e-e focalel e-e y " p J C

Ecu!ción C!nónic! de !

P!r,*o! con e/e de si#etr$!

+!r!eo ! e/e 7

Ecu!ción 'ener! de ! P!r,*o!

7/17/2019 Conic As



!8 )a ecentricidad de la pará$ola es .

,8 /l parámetro p en la pará$ola" representa

i8 /n la ecuación !eneral de la cónica" distin!ue cuando se trata de una pará$ola

porque

9.Y Determine los elementos de las si!uientes pará$olas y !rafique:

a8 9 @ %@ y Y1?C" $8 y9 & Y9y @F?C

&8 Determine la ecuación de la pará$ola" los elementos restantes y su !ráfica si:

a8 _79"&8 W7 9"8 $8 _7F"98 y directriz de ecuación ? 9 c8 _7&"Y98" directriz al

e-e 5>" y pasa por el punto 79"C8

F.Y Determine las ecuaciones de las rectas t! y normal a la pará$ola y9 ? 1% en 7F"E8

.Y /n la estructura col!ante que se indica el ca$le para$ólico está suspendido de dos torres

de 19 m de altura y su distancia es de

FC m. 2alcule las lon!itudes de los

ca$les verticales que se indican.

%.Y /n una $óveda de ,ormi!ón de arco para$ólico de 9C m de luz y % m de flec,a" calcule las

alturas de las columnas cada 9 metros.

'.Y Pn arco en forma para$ólica y e-e vertical tiene 1C m de flec,a y &C m de luz. Ualle la

altura de la columna para soporte a & m de un etremo del arco.

?. &. ?. ;.- E/ercicios Resuetos

1.Y /ncontrar los elementos de las si!uientes pará$olas y !raficar:

a8 Fy9= $8 y1C

9= c8 ( ) ( )1FFy

9 +=− d8 ( ) ( )1y%& 9 −−=−


a8 Fy9= B 9 pF p9 =⇒= . /l parámetro 9 p = 7 C p > 8" la

pará$ola se a$re a la derec,a del e-e y .

9E

'

Y 1

d

7 0 8 *

1 9

Y 1

Y 9

Y &

1

9

&

9

F

7/17/2019 Conic As



/l vértice ( )C"C_ . /l foco está so$re el e-e x y tiene coordenadas ( )C"1C"9

pW =

. )a

directriz tiene ecuación 19

p −=−= .

/l e-e de la pará$ola es el e-e x . i 1 = B 9yFy9 ±=⇒=

O*ser!ción: ara sa$er cuánto se a$re la rama de la pará$ola" se reemplaza la coordenada

x o y del foco y se determina la ordenada o a$scisa del mismo.

$8 y1C9=

( )C"C_ . /l e-e de la pará$ola es el e-e y .

D p1C p9 =⇒= "

=

9

D

"C9

p

"CW .

)a directriz tiene ecuación9

D

9

py −=−= .

i9

Dy = B D9D

9

D1C 9 ±=⇒=⋅=

c8 ( ) ( )1FFy 9 +=−

De la ecuación o$servamos que el vértice es.

C9 pF p9 >=⇒= .

/l foco es a,ora:

+ CC y"

9

pW ( ) ( )F"CF"11W =+− .

)a directriz es: 9119

p C −=−−=−= B 9 −= .

2uando C = "

( ) F9y9FyFFyFFy9 +±=⇒±=−⇒=−⇒=−

= y 9

%.

d8 ( ) ( )1y%& 9 −−=−

5$servamos que el vértice es ( )1"&_ .

% p9 −= " la pará$ola se a$re ,acia la

dirección ne!ativa del e-e y .

9

'

1

Y 1Y 9Y &

9 & F1

Y 1

Y 9

&

9

F

%

D

9

F

d

'

1

Y 1Y 9

9 & F1

Y 1

Y 9

9

F

%

9 F

d

'

y

1

Y 1Y 9Y &

9 & F D % G1

Y 1

Y 9

9

9

F

d

7/17/2019 Conic As



/l foco tiene coordenadas

+

9

py" CC

−=

−

9

1"&

9

&1"&W .

)a directriz tiene ecuación9

pyy C −= :

9

Dy

9

D

9

&1y =⇒=+= .

9.Y /ncontrar la ecuación de la pará$ola" con vértice ( )1"F − " e-e paralelo al e-e y " y que

contiene al ori!en.


i el e-e es paralelo al e-e y " la ecuación es:

( ) ( )C9

C yy p9 −=− ( ) ( )1y p9F 9 +=− . 2omo

contiene al ori!en" éste verifica la ecuación:

( ) ( )1C p9FC 9 +=− " E p p91% =⇒=

)a ecuación es: ( ) ( )1y1%F 9 +=−

Cy = : ( ) ⇒+±=⇒±=−⇒=− FFFF1%F9

x C

E

&.Y )a trayectoria que descri$e un proyectil lanzado ,orizontalmente" con una velocidad #

7mse!8 desde un punto situado y 7metros8 so$re el suelo" es una pará$ola de ecuación:

y!

v9

99 ⋅−= " donde x es la distancia ,orizontal desde el lu!ar de lanzamiento y E1"G! ≈

7mse!98. /l ori!en se considera como el punto de salida del proyectil del arma.

2on estas condiciones podemos resolver el si!uiente e-ercicio:

e lanza ,orizontalmente una piedra desde la cima de una torre de 1JE m de altura" con una

velocidad de 1E ms. Uallar la distancia del punto de ca+da al pie de la torre 7se supone el

suelo ,orizontal8. a8 _értice en ( )&"1 y directriz C = $8 _értice ( )D"&− y directriz

1y =

Resoución de E/ercicio ;.-

( ) FGD.E1EDE"G

1D9y

!

v9

999 ≈−⋅⋅−=⋅−= 1%"G9 ≈ m.

&C

'1

Y 1Y 9

9 & F D % E1

Y 1

Y 9

9

7/17/2019 Conic As



23I2A: I3/I D/ )A P3IDAD $efinici%n&

Pna sección cónica es ! cur! de intersección de un plano con un cono de dos mantos 7o dos ,o-as8.

2+rcunferencia /lipse 7,8 ará$ola 7,8 Uipér$ola 7,8

/lipse 7v8 ará$ola 7v8 Uipér$ola 7v8

2am$iando el án!ulo y el lu!ar de la intersección" podemos crear un c+rculo" una elipse" una pará$ola o una ,ipér$olaB o en el caso especial cuando el plano se pone en contacto con elvértice: un punto" una l+nea o 9 l+neas intersectadas.

unto )+nea )+nea Do$le

&1

7/17/2019 Conic As



L! Ecu!ción "ener! de un! sección cónic!

A9 @ =y @ 2y9 @ D @ /y @ W ? CY i =?C" nos queda : A9 @ 2y9 @ D @ /y @ W ? CY /n la si!uiente ta$la" consideremos las curvas que representa esta ecuación:

Circunerenci! Ei+se @i+ér*o! P!r,*o!

Definición: /s elcon-unto de todos los

puntos del plano talesque

! dierenci!

entre sus

dist!nci!s ! dos

+untos i/os os

ocos5 es un!

const!nte &!.

!u$ 3dierenci!

se to#! co#o !

distancia #!7or

#enos ! #enor5

/pemplos

i c

2lasificación se!6n:A9@2y9@D@/y@W?C7/cepto de!enerados8

A?2 A.2 H C A.2 JC A.2 ?CB A?C ó 2?C

pero no am$as

/-e ,orizontal c 7C"C8

9 @ y9 ? r 9 19

9

9

9

=+b

y

a

'1

9

9

9

9

=−b

y

a

' y9 ? 9 p

Gráfica con e-e focal ye-e de simetr+a,orizontal

/cuaciones de lasas+ntotas:

y ? ba

b

/-e ,orizontal c 7,"V8

7Y,89 @ 7yYV89 ? r 9

/-e vertical c 7C"C8

9 @ y9 ? r 9 19

9

9

9

=+b

'

a

y9? 9 p y

&9

7/17/2019 Conic As



Gráfica con e-e focal ye-e de simetr+a vertical

Ecu!ciones E6+icit!s

y ? 99 'r − semicircunferencia7@8

# 'l

# y +

−= 9

9

F"dada

la luz y la flec,a.5tra: y ? a 9 @ $ @ c

/cuaciones de lasas+ntotas:

y ? bb

a

/-e vertical

c 7,"V8

7Y,89 @ 7yYV89 ? r 9

arámetrosr ? el radio de lacircunferencia

! radio mayor lon!itud del e-e

mayor *: radio menor lon!itud del e-e

menor c: distancia delcentro al foco

p ? la distancia desdeel foco a la directriz

#elación entre parámetros

c ? C a9? $9 @ c9 c9 ? a9@ $9 p ? p

E6centric.:a

ce = e ? C C J e J1 e H1 e ? 1

Pro+ied!des <oc!es

de de !s cónic!s

Pn rayo lum+nico osonoro que sale deuno de los focos"c,oca contra laelipse y se refle-aráen el otro foco.

Pro+ied!des <oc!es

G!rc2! de os r!7os

Ecu!ciones de ! rect!

t!n'ente 7 nor#! auna cónica en un punto1

Dada la Ecu!ción "ener! A9 @ 2y9 @ D @ /y @ W ? C yel punto 171"y1 8" usamos la re'! de desdo*!#iento para o$tener las ecuaciones de las rectas tan!ente y normal.

A . @2 y.y @ D 79

' ' +8 @ / 7

9

y y +8 @ W ?C

articularizando para 1" nos queda:

A . 1 @ 2 y. y 1 @ D 79

1 ' ' + 8 @ / 79

1 y y + 8 @ W ?C"

&&

7/17/2019 Conic As



Desarrollando o$tenemos:!5 /cuación de la rect! t!n'ente 7 8 #t' 6 B *1

*5 /cuación de la rect! nor#!3 teniendo mn ? Ytg m

1 y

el 1 71"y1 8 7yYy18 ? mn 7 18 → 7 8 #n 6 B *&


t!n'ente 7 nor#! ! !

cónic! en un punto171"y18" dada suecuación conn2 7C"C8 y _7C"C8.

e/e 2ori>ont!5

Dada la ecuación de la ei+se con centro en el ori!en

19

9

9

9

=+b

y

a

'" se desdo$la esta ecuación 1

..99

=+b

y y

a

' ' y lue!o se reemplaza

por el punto 1" o$teniendo:

1..9

1

9

1 =+b

y y

a

' ' → despe-ando 7 3 resultan las ecuaciones:

a8 rect! t!n'ente 7 8 #t' 6 B *1

$8 rect! nor#! 7yYy18 ? mn 7 18 → 7 8 #n 6 B *&

/cuaciones de la rectatan!ente y normal a lacónica /n un punto171"y18" dada suecuación en

c 7C"C8 y _7C"C8. e/e ertic!5

Dada la ecuación de la +!r,*o! 9? 9 p y" cuyo e-e desi#etr$! es el e-e 7

#ealizamos el desdo$lamiento : . ? 9 p 79

y y +8 " lue!o

reemplazamos por el punto 1 " o$tenemos:

.1 ? 9 p 79

1 y y +8 → despe-ando y "

resultan las ecuaciones:a8 rect! t!n'ente 7 8 #t' 6 B *1

$8 rect! nor#! 7yYy18 ? mn 7 18 → 7 8 #n 6



cónic! en un punto171"y18 dada suecuación con

2 7,"V8 y _7,"V8. e/e 2ori>ont!8

Dada la ecuación de la +!r,*o! 7yYV89? 9 p 7Y,8" cuyo e-e desi#etr$! es paralelo al e-e 6

#ealizamos el desdo$lamiento : 7yYV8. 7yYV8 ? 9 p 7 89

+ ' '−

+ " lue!o

reemplazamos por el punto 1 " o$tenemos:

7yYV8. 7y1YV8 ? 9 p 7 + ' '

−+9

1 8 → despe-ando 7 3


$8 rect! nor#! 7yYy18 ? mn 7 18 → 7 8 #n 6



cónic! en un punto171"y18" dada suecuación con 27,"V8 y _7,"V8.

e/e ertic!8

Dada la ecuación canónica de la @i+ér*o! con centro 7,"V8"

18787

9

9

9

9

=−

−−

b

+ '

a

, y

"aplicamos la re!la del desdo$lamiento

o$tenemos:

1

88.7788.7799 =

−−−

−−b

+ '+ '

a

, y, y

" particularizamos para el punto 1"

&F

7/17/2019 Conic As



o$tenemos: 188.7788.77

9

1

9

1 =−−

−−−

b

+ '+ '

a

, y, y → despe-ando 7 3


$8 rect! nor#! 7yYy18 ? mn 7 18 → 7 8 #n 6

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