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Congruencia de triángulos. 1

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma. DEFINICIÓN: Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo que sus ángulos.

Si ABC DEF , entonces:

; ;AB FD AC DE BC FE

; ; A D B F C E

Lados correspondientes son los que se oponen a ángulos congruentes y viceversa. Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los teoremas se da el siguiente postulado POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. POSTULADO LADO – ANGULO – LADO (L – A – L) Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo que forman en uno, son respectivamente congruentes a los dos lados y el ángulo que forman en el otro.

Si

; ; AB DF BC FE B F

Entonces ABC DEF

DEFINICIÓN: Un corolario es una proposición que no necesita prueba particular, sino que se deduce fácilmente de lo demostrado antes. TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR) Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes.

;AB DE BC EF ABC DEF


TEOREMA En todo triangulo isósceles los ángulos de la base son congruentes

HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA CB

TESIS: CAB CBA

RAZÓN AFIRMACIÓN

1. En CA se toma un punto D y en CB se

toma un punto E, tal que CD CE

1. Postulado de construcción de segmentos

2. Trazamos DB y AE 2. Dos puntos determinan un segmento

3. CA CB 3. De hipótesis

4. CD CE 4. De 1. Construcción.

5. C C 5. Propiedad reflexiva

6. CAE CBD 6. L – A – L. De 3, 4, 5

7. CAE CBD 7. De 6. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

8. CD CE 8. De 1

9. CA + AD = CB + BE 9. De 8. Adición de segmentos 10. CA + AD = CA + BE 10. Sustitución de 3 en 9

11. AD BE 11. De 10. La ley cancelativa

12. ;CDB CEA DB AE 12. De 6. Partes correspondientes de triángulos congruentes

13. ABD EAB 13. De 11 y 12. L – A – L

14. EAB DBA 14. De 13. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

15. CAB CBA 15. De 14 y 7. Resta de ángulos.

NOTA: Este teorema también se puede enunciar así: Si dos lados de un triángulo son congruentes entonces los ángulos opuestos a ellos son congruentes. COROLARIO: En un triángulo equilátero sus ángulos son congruentes, es decir es equiángulo.

HIPÓTESIS: ABC es un triángulo equilátero

TESIS: A B C


TEOREMA En todo triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es mediana, altura y pertenece a la mediatriz de la base.

HIPÓTESIS: CD es la bisectriz de ACB

ABC es isósceles con CA CB A – D – B

TESIS: CD es mediana, altura y pertenece a la mediatriz.

1. CA CB 1. De hipótesis.

2. 1 2 2. De hipótesis. Definición de bisectriz.

3. CD CD 3. Propiedad reflexiva

4. CDA CDB 4. De 1, 2 y 3. Postulado L – A – L

5. AD DB 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

6. D punto medio de AB 6. De 5. Definición de punto medio

7. CD es mediana 7. De 6. Definición de mediana

8. CDA CDB 8. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

9. m ( CDA) + m ( CDB) = 180º 9. De hipótesis A – D – B. Forman un par lineal

10. m ( CDA) + m ( CDA) = 180º 10. Sustitución de 8 en 9.

11. 2m ( CDA) = 180º, m ( CDA) = 90º 11. De 10. Propiedad de los Reales

12. CD AB 12. De 11. Definición de perpendicularidad

13. CD es altura 13. De 12. Definición de altura

14. CD es mediatriz 14. De 12 y 6. Definición de mediatriz.

NOTA: Se demuestra también que si en un triángulo, una altura es mediana o bisectriz entonces el triángulo es isósceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior. Demuéstrelo. TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A – L – A) Si dos triángulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ángulos respectivamente congruentes, entonces los triángulos son congruentes.

HIPÓTESIS:

; ;A P AB PQ B Q

TESIS: ABC PQR

NOTA: Este teorema se demostrará cuando se vea el método indirecto de demostración.


TEOREMA DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. LADO-LADO-LADO (L – L – L) Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son congruentes.

HIPÓTESIS:

AB DE

AC DF

BC EF

TESIS: ABC DEF

1. En el semiplano de borde AB que no

contiene a C, se traza AP , tal que

y BAP D AP DF

1. Postulado de construcción de ángulos y segmentos.

2. Trazamos PB 2. Dos puntos determinan un segmento

3. AB DE 3. De hipótesis.

4. APB DEF 4. De 3 y 1. L – A – L

5. PB EF 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

6. PB EF BC 6. De hipótesis y 5. Propiedad transitiva

7. PBC es isósceles 7. De 6 y definición de triangulo Isósceles

8. BCP BPC 8. De 7. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes.

9. AP DF AC 9. De hipótesis y de 1

10. CAP es isósceles 10. De 9. Definición de triangulo isósceles.

11. ACP APC 11. De 10. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes.

12. m ( ACB) = m( ACP) + m( BCP) 12. Adición de ángulos.

13. m ( APB) = m ( APC) + m ( BPC) 13. Adición de ángulos

14. m ( APB) = m( ACP) + m( BCP) 14. Sustitución de 8 y 11 en 13

15. m ( ACB) = m( APB) 15. De 12 y 14. Ley transitiva

16. ABC APB 16. De 15, 6, 9. L – A – L

17. ABC DEF 17. De 4 y 16. Propiedad transitiva


EJERCICIOS RESUELTOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Demostrar que en un triángulo isósceles las bisectrices de los ángulos de la base son

congruentes.

HIPÓTESIS: ABC es isósceles con AB AC

y CEBD son bisectrices

TESIS: CEBD

1. m ACB m ABC 1. De hipótesis. Los ángulos opuestos a los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes.

2.

2

m ACBm DBC

2. De hipótesis. Definición de bisectriz

3.

2

m ABCm ECB

3. De hipótesis. Definición de bisectriz

4. m DBC m ECB 4. De 1, 2, 3. Por ser mitades de ángulos congruentes.

5. BC BC 5. Propiedad reflexiva.

6. ECB DBC 6. De 1, 4, 5. A – L – A

7. BD CE 7. De 6. Por ser lados correspondientes de triángulos congruentes.

Si AB y CD se bisecan en un punto K, demostrar que 1) 2)AC BD AD BC

HIPÓTESIS: K es punto medio de AB

K es punto medio de CD

TESIS: AC BD y AD BC

1. K es punto medio de AB 1. De hipótesis

2. AK KB 2. De 1. Definición de punto medio

3. K es punto medio de DC 3. De hipótesis.

4. CK KD 4. De 3. Definición de punto medio.

5. AKC DKB 5. Por ser opuestos por el vértice.

6. AKC DKB 6. De 5, 4, 2. Postulado L – A – L

7. AC BD 7. De 6. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

NOTA: La segunda parte se demuestra de la misma manera.


HIPÓTESIS: ABC es equilátero.

AE BF CD

TESIS: EFD es equilátero.

1. A B C 1. De hipótesis. Un triángulo equilátero es equiángulo.

2. AE BF CD 2. De hipótesis.

3. AB = BC = CA 3. De hipótesis. Definición de triángulo equilátero.

4. AE+EB=BF+FC=CD+DA 4. De 3. Adición de segmentos 5. AE+EB=AE+FC=AE+DA 5. Sustitución de 2 en 4 6. EB = FC = DA 6. De 5. Ley cancelativa

7. AED EBF FCD 7. De 6, 2, 1. L – A – L

8. DE EF FD 8. De7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

9. DEF es equilátero. 9. De 8. Definición de triángulo equilátero

HIPÓTESIS: DE AE

;DE EC AE EB

D A

D – F – H – B; A – G – H – C

TESIS: 1)

2)

CEG BEF

CFH BGH

1. D A 1. De hipótesis.

2. DE AE 2. De hipótesis.

3. AEG = DEF 3. De hipótesis. Son ángulos rectos.

4. DEF EAG 4. De 1,2, 3, A – L – A

5. DFE EGA 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes


6. EFH EGH 6. De 5. Por tener el mismo suplemento

7. FEG FEG 7. Propiedad reflexiva

8. EF EG 8. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes

9. CEG BEF 9. De 6, 7, 8. A – L – A

10. C B 10. De 9. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes

11. HFC HGB 11. Tienen el mismo suplemento

12. EC EB 12. De 9. Lados correspondientes en triángulos congruentes

13. FC GB 13. De 12 y 8. Resta de segmentos

14. FHC BGH 14. De 10, 11, 13. A – L –A

HIPÓTESIS: AB EF

DB LF

AC y EH son medianas

AC EH

TESIS: LEF ABD

1. LF DB 1. De hipótesis.

2. AC y EH son medianas 2. De hipótesis

3. H y C son puntos medios 3. De 2. Definición de mediana

4. LH HF y DC CB 4. De 3. Definición de punto medio

5. ( )

( )2

m LFm HF y

( )( )

2

m DBm CB

5. De 4. Definición de punto medio.

6. HF CB 6. De 1 y 5. Propiedad transitiva

7. ;EH AC EF AB 7. De hipótesis

8. EHF ACB 8. De 6 y 7. L – L – L

9. F B 9. De 8. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes

10. ABD LEF 10. De 1, 7, 9. L – A – L


HIPÓTESIS: CA CB

DA DB C – E – D ; A – E – B

TESIS: AB CD

1. AC BC 1. De hipótesis.

2. ABC es isósceles. 2. De 1. Definición de triangulo isósceles.

3. 1 2 3. De 2. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes

4. AD BD 4. De hipótesis.

5. ADB es isósceles. 5. De 4. Definición de triangulo isósceles.

6. 3 4 6. De 5. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes.

7. m ( CAD)=m ( 1)+m ( 3) 7. Adición de ángulos.

8. m ( CBD)=m ( 2)+m ( 4) 8. Adición de ángulos

9. m ( CBD)= m ( 1)+m ( 3) 9. Sustitución de 3 y 6 en 8

10. m ( CAD) = m ( CBD) 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva.

11. CAD CBD 11. De 10 y de hipótesis. L – A – L

12. ACD DCB 12. De 11. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

13. CE es bisectriz 13. De 12. Definición de bisectriz

14. CE es altura 14. De 13 y 2. En un triángulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es también altura.

15. CE AB 15. De 14. Definición de altura.

16. CD AB 16. De 15 y de hipótesis C – E – D


HIPÓTESIS: AB AF

AC AE A – B – C; A – F – E

TESIS: 1)BE CF

2)AD es bisectriz de CAE

1. AB AF 1. De hipótesis

2. A A 2. Propiedad reflexiva

3. AC AE 3. De hipótesis

4. ABE ACF 4. De 1, 2, 3. L – A – L

5. BE CF 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

6. BC AC AB 6. Resta de segmentos

7. FE AE AF 7. Resta de segmentos.

8. FE AC AB 8. Sustitución de 1 y 3 en 7.

9. BC FE 9. De 6 y 8. Propiedad transitiva.

10. ABE AFC 10. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

11. CBD es el

suplemento de ABE

11. De hipótesis. A – B – C. Definición de ángulos suplementarios

12. DFE es el

suplemento de AFC

12. De hipótesis. A – F – E. Definición de ángulos suplementarios

13. CBD DFE 13. De 10, 11 y 12. Por tener el mismo suplemento.

14. C E 14. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

15. BDC DFE 15. De 14, 9, 13. A – L – A

16. DB DF 16. De 15. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

17. AD AD 17. Propiedad reflexiva.

18. BAD FAD 18. De1, 16, 17. L – L – L

19. BAD FAD 19. De 18. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

20. AD es bisectriz de

CAE

20. De 19. Definición de bisectriz.


PROPOSICIONES DE VERDADERO O FALSO

1. Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado de uno, son respectivamente congruentes a dos ángulos y el lado del otro. ( )

2. Si los catetos de un triángulo rectángulo son congruentes a los catetos de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes. ( )

3. Dos triángulos son congruentes si dos lados y un ángulo de uno son respectivamente congruentes a dos lados y un ángulo del otro. ( )

4. L – L – A siempre se cumple en la congruencia de triángulos. ( ) 5. Dos triángulos que tienen un lado congruente y las alturas trazadas a esos lados

congruentes, son congruentes. ( ) 6. Dos triángulos equiláteros son congruentes. ( ) 7. Dos triángulos equiláteros son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente a un

lado del otro. ( ) 8. Dos triángulos son congruentes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes. ( ) 9. Si los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes s los lados

congruentes de otro triangulo isósceles entonces los triangulo son congruentes. ( ) 10. La altura de un triángulo pasa por el punto medio del lado al cual fue trazada. ( ) 11. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos

correspondientes son congruentes. ( ) 12. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces los lados

correspondientes son congruentes. ( ) 13. Ningún par de ángulos de un triángulo escaleno son congruentes. ( ) 14. Los lados de un triángulo son rectas. ( ) 15. Existe un triángulo RST en el cual el ángulo R sea congruente con el ángulo T. ( ) 16. El suplemento de un ángulo, siempre es un ángulo obtuso. ( ) 17. Una perpendicular a una recta biseca a la recta. ( ) 18. La mediana trazada a la base de un triángulo isósceles es perpendicular a la base. ( ) 19. Un triángulo equilátero es equiángulo. ( ) 20. Si dos ángulos tienen el mismo suplemento entonces son congruentes. ( ) 21. Si dos ángulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes. ( ) 22. La bisectriz de un ángulo de un triángulo biseca al lado opuesto al ángulo. ( )

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En la figura se tiene que:

AG GE ED FG GB BC .

Demostrar que: D C


2.

HIPÓTESIS: CD es altura. AD DB

TESIS: 1) ACD BCD

2) CA CB

3. Demostrar que en un triángulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes.

4.

HIPÓTESIS: ; ; E B ADE ACB B – C – D – E

TESIS: EAD BAC

5.

HIPÓTESIS: ;AB AD AE es bisectriz de BAD

A – C – E

TESIS: 1)

2)

BC CD

BCE DCE

6.

HIPÓTESIS: ABC es equilátero

AE BF CD TESIS: EFD es equilátero.


7. Sea ABC un triángulo isósceles, con CA CB . D es el punto medio de AC y E es el punto

medio de BC . Demostrar que el triángulo ACE es congruente con el triángulo BCD. 8.

HIPÓTESIS: E – F – C; E – G – B; A – G – H – C; D – F – H – B

ED EA

DE EC

AE EB D A

TESIS: 1)

2)

CEG BEF

CFH BGH

9.

HIPÓTESIS: AI IC CD BI IH HF

TESIS: EH EC

10.

HIPÓTESIS: B es punto medio de AC

;AD CE BD BE

TESIS: 1)

2) es isosceles.

E D

APC


11.

HIPÓTESIS:

AB AF

BD DF

BAC FAE

TESIS: 1)

2)

AC AE

BC FE

12. Demostrar que en un triangulo isósceles: A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son congruentes. C. Los segmentos de las bisectrices de los ángulos opuestos a los lados congruentes son

congruentes.

13. Si en un triángulo ABC se cumple que AB AC . R es un punto que pertenece al lado

AB ; D es un punto que pertenece al lado AC ; RC DB .En base con esta información se

puede demostrar que ?AR AD Justificar la respuesta. 14.

HIPÓTESIS: AE BC

AC BE

TESIS: 1)

2) es isosceles

DEA DCB

ABD

15.

HIPÓTESIS: 1 2

3 4

A – E – C y D – E – B

TESIS: 1)

2)

AE EC

DE AC


16.

HIPÓTESIS: ; ; 1 2AB AF DB DF

TESIS: 1)

2)

B F

DC DE

SUGERENCIA: Trazar AD

17.

HIPÓTESIS:

OED ODE

A C

AE DC

TESIS: 1)

2)

BF BH

OF OH

18.

HIPÓTESIS: ; ;AF AB FE BC DF DB

TESIS: 1)

2)

EAD CAD

ED CD

19.

HIPÓTESIS: EAD CAD

AF AB

TESIS: 1)

2)

DF DB

EF CB


20.

HIPÓTESIS: ; ;AR SC AB CD BS DR

TESIS: 1)

2)

BSA DRS

PR PS

21.

HIPÓTESIS: BD es mediana

;AE BF CF BF

TESIS: AE CF

22.

HIPÓTESIS: y son medianas

AC AE

CF EB

TESIS: AD CE

23.

HIPÓTESIS: ;AB BC DC BC

ABD DCA

TESIS: ABC DCB

24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de un triángulo isósceles al punto medio de la base son congruentes.

25. Si el segmento de recta que une el vértice B del triángulo ABC al punto medio M de AC

se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC AB 26. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo

equilátero forman otro triángulo equilátero.


27.

HIPÓTESIS: ;TR TS PR PS

TESIS: TRP TSP

28.

HIPÓTESIS: A – B – C – D

1 2

AB CD

TESIS: A D

29.

HIPÓTESIS: AB AC

BD CE

TESIS: 1)

2)

ACD ABE

BDC CEB

30.

HIPÓTESIS: biseca a CE BF

TESIS: C E


31. Se tiene un triángulo isósceles ABC, con AB AC , se toma un punto E sobre AB y se

toma un punto F sobre AC de tal manera que AE AF . Se traza la altura AH , se traza el triángulo EHF. Demostrar que EHA FHA y que EFH FEH

Algunos de estos ejercicios fueron tomados y modificados de los siguientes textos:

Geometría Euclidiana de Nelson Londoño Geometría Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometría. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli Geometría de Edwin E. Moise

Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.

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