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Ttulo original: I Confini Logici della Matematica Giuseppe Ragun. Murcia, 2009, R. P. I. nm. 08/2009/357 Traduccin: Mara Beln Hernndez Gonzlez. Colaboracin: Almudena Miralles Edita: Ajuntament de lEliana, 2011 NEXOFA, LIBROS ELECTRNICOS DE LA TORRE DEL VIRREY, coleccin dirigida por Antonio Lastra Apartado de Correos 255 46183 lEliana (Valencia) Espaa ISBN:

978-84-694-1921-2

NDICEPREFACIO PRIMERA PARTE. SISTEMAS AXIOMTICOS I.1. I.2. I.3. I.4. I.5. I.6. I.7. I.8. I.9. I.10. I.11. I.12. I.13. Sistemas axiomticos formales La metamatemtica Deducciones metamatemticas Definiciones Objetivos, deseos y Sistemas bien definidos El Clculo lgico clsico Consistencia y completitud sintctica Las implicaciones de la Lgica clsica Sistemas clsicos bien definidos Demostraciones por absurdo Principales frutos del mtodo axiomtico No individuabilidad de existentes en Lgica clsica Verdades indemostrables 9 15 18 24 25 29 39 42 48 51 55 62 66 7

SEGUNDA PARTE. COMPLETITUD SEMNTICA Y TEORA DE LOS CONJUNTOS II.1. II.2. II.3. II.4. II.5. II.6. II.7. II.8. II.9. II.10. Teora aritmtica de Peano Metateorema de correccin. O no? Metateorema de completitud semntica Paradoja de Russell Teora axiomtica de los conjuntos El conjunto de los nmeros naturales La unificacin de la Matemtica Teorema de correccin 105 Completitud sintctica y completitud semntica 113 Consistencia de la Matemtica ordinaria 117 4 68 75 80 83 85 90 95

II.11. II.12. II.13. II.14. II.15. II.16.

Isomorfismo 122 Los nmeros del infinito 129 Los nmeros de la metamatemtica 138 Los nmeros de los Sistemas axiomticos clsicos 150 Sistemas innumerables 164 Teoremas de completitud semntica y sus primeras consecuencias 168 Otras consecuencias del Teorema de completitud semntica 175 Lmites expresivos de los Sistemas formales 184 Lmites expresivos fundamentales para la Matemtica 186 El uso intrnsecamente semntico de los Sistemas formales y de TC 195

II.17 II.18. II.19. II.20.

TERCERA PARTE. INCOMPLETITUD E INDECIDIBILIDAD III.1. III.2. Sistemas clsicos efectivamente axiomatizables 203 Ejemplos de Sistemas clsicos efectivamente axiomatizables. Consecuencias del axioma de eleccin 214 La Tesis de Church-Turing 224 Metateorema de Church-Turing 238 5

III.3. III.4.

III.5.

Primer teorema de incompletitud de Gdel 244 III.6. Consecuencias del Teorema de incompletitud 253 III.7. Gloria de Chaitin 267 III.8. Vanagloria de Chaitin 282 III.9. Otras equivocaciones 291 III.10. Consistencia 303 III.11. Eplogo conclusivo 311 III.12. Sntesis 320 BIBLIOGRAFA 324 REFERENCIAS EN INTERNET 327

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Cuando no se sabe explicar algo de forma sencilla y clara, es porque no se ha comprendido.

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PREFACIO Si Dios entrase ahora por esa puerta, no podra objetar nada a esta deduccin. La frase, pronunciada por mi profesor de matemticas1 en el ltimo curso de Bachillerato, me dio mucho que pensar. No porque elucubrara sobre la divinidad, sino porque planteaba una sencilla y difcil cuestin: hasta qu punto podemos estar seguros de la correccin y la inconfutabilidad de las deducciones matemticas? El ltimo lmite de dubitabilidad de cada lenguaje est constituido por las convenciones sobre el significado de los trminos. Pero cules y cuntas son estas convenciones en el caso de las teoras matemticas? Podran ser infinitas? Aos despus, gracias a la revista Le Scienze, tuve conocimiento del Teorema de Incompletitud. La sorpresa, ms que en el enunciado en s, vino dada por la imposibilidad de comprender con exactitud lo que ste quera expresar, a pesar de haber reledo el texto varias veces. En efecto, sucede a menudo con temas de este tipo que cualquier exposicin sinttica divulgativa, al no poder aclarar todos los detalles, corre el riesgo de confundir peligrosamente las ideas del lector para el cual por lo general ha sido concebida, es decir, del lector inexperto. El itinerario que finalmente me ha conducido hasta la comprensin ha sido especialmente difcil sobre todo por tres motivos. El primero porque el tema, como a menudo sucede en Matemticas, no se presta a ser entendido de forma aislada: para comprender bien cada detalle es necesario primero haber aclarado qu es el modelo de una Teora, la Metamatemtica, elEl desaparecido y renombrado profesor Tullio Caponnetto del Liceo Cutelli de Catania. 81

Teorema de Completitud Semntica, la funciones recursivas...; en resumen, tener al menos una idea aproximada, pero slida, de los fundamentos de la Lgica. El segundo motivo se debe a la ambigedad de la terminologa usada; realmente parece increble que en un argumento tan delicado, que requiere precisin mxima, se contine adoptando un lenguaje tan propenso a la confusin: la completitud, por ejemplo, puede indicar cuatro propiedades diferentes (afortunadamente nosotros usaremos slo dos); y la decidibilidad para un Sistema, no significa que ste no pueda contener enunciados indecidibles. Adems, casi nunca se distingue claramente entre teorema y metateorema. Las razones de tal imprecisin en buena parte son histricas; pero ello no puede justificar la pasividad en la investigacin hacia expresiones ms inequivocables, que se advierte en la mayor parte de los textos. Hay que considerar que hasta que la terminologa no evolucione, el argumento quedar en un ambiente restringido a pocos y no podr difundirse adecuadamente, como finalmente merece ochenta aos despus de su nacimiento. En efecto, una de las ambiciones de este libro es el empleo de algunos trminos y conceptos nuevos. El tercer motivo est constituido por los equvocos, incorrecciones y errores que hemos credo encontrar en los distintos temas. Para avanzar, despus de meses de reflexin e investigacin, no haba ms remedio que adoptar la presuncin de corregirlos o bien resignarse a no comprender; claramente, exponindose a la posibilidad de errar. Algunas de dichas revisiones y correcciones tienen un carcter marginal, otras, en cambio, fundamental. Todo ello justifica las razones para publicar este libro, el cual, a pesar de haber sido escrito con el objetivo irrenunciable de ser plenamente comprensible para el lector inexperto, introduce tambin algunas novedades en Lgica.9

PRIMERA PARTE

SISTEMAS AXIOMTICOS I.1. Sistemas axiomticos formales De las dos disciplinas matemticas que la tradicin nos ha legado, la Geometra euclidiana y el lgebra, slo la primera posee una estructura que puede decirse axiomtica en sentido lato. En ella se comienza con las definiciones de los entes que se tratarn; siguen los postulados, es decir, las afirmaciones admitidas como verdaderas; al fin se habla de nociones comunes, o sea de reglas lgicas bsicas y autoevidentes. Todas las deducciones, esto es, los teoremas, se deducen de tales premisas. Las definiciones, dado que utilizan otros trminos indefinidos, tan slo recuerdan al lector algunos conceptos elementales y formas, que debera espontneamente poseer; en otras palabras, apelan francamente a la intuicin. Para mostrar el funcionamiento del mtodo y justificar las exigencias que han conducido a la moderna estructura axiomtica, es suficiente un ejemplo elemental. Consideremos la afirmacin quin va al Polo Sur padecer fro e intentemos deducirla a partir de un Sistema axiomtico (de modo que al final sea un teorema). Siguiendo el ejemplo de Euclides, empezaremos por definir los entes implicados, como Polo Sur, fro, etc.; pero evitaremos hacerlo suponiendo que quin escucha la frase reconoce inequvocamente tales trminos. Despus podremos continuar con los siguientes postulados:10

[1] En el Polo Sur el Sol calienta muy poco. [2] Donde el Sol calienta muy poco la temperatura es baja. [3] Donde la temperatura es baja se padece fro. Las nociones comunes consisten en las elementales hiptesis del caso, es decir, que el Polo Sur existe y es asequible, que no es posible encontrarse en ms de un lugar a la vez, etc. La demostracin de la frase antedicha sonara as: si fueras al Polo Sur, por el postulado [1] iras donde el Sol calienta poco y por tanto, por el postulado [2] donde la temperatura es baja. Entonces por el postulado [3] padeceras fro. Sin dejarnos llevar por su futilidad, el verdadero problema de la Teora matemtica que hemos construido se debe al hecho de que ella misma se encuentra ligada al significado concreto de los entes y postulados. La eventualidad de un equipamiento especial contra el fro, por ejemplo, ya pondra en peligro nuestro Sistema, porque estaramos obligados a modificar un postulado (el [3]). Pero hay otra crtica mucho ms grave. Si quisiramos demostrar que si tomaras el tranva, llegaras a tiempo al concierto, deberamos construir un Sistema matemtico nuevo que hable de tranvas, de tiempo, etc., con nuevas nociones comunes (y problemas imprevisibles como el trfico). Luego es natural desear que una Teora matemtica sea algo distinto, que est hecha de afirmaciones ms generales, en nuestro caso parecidas a: si te encuentras en una cierta condicin, que implica necesariamente otra condicin, entonces al final te encontrars en esta ltima. Es decir, que sea teora de la deduccin, en lugar de deduccin de hechos contingentes. Esta exigencia lleva, para los casos considerados, a la solucin que hemos reproducido en la columna derecha de la siguiente11

tabla. Las definiciones se han suprimido y no se hace ms que una lista de los smbolos que se utilizarn; las reglas gramaticales definen las secuencias ordenadas de smbolos que sern denominados proposiciones.SISTEMA AXIOMTICO TRADICIONAL SISTEMA AXIOMTICO FORMAL

DEFINICIN LISTA DE SMBOLOS [ej.: 1) el punto es aquello que no tiene [ejemplo del texto] partes; 2) la recta es longitud sin ancho que recorre igualmente todos sus puntos] A B C D REGLAS GRAMATICALES Una proposicin del Sistema est constituida solamente por una secuencia como: uno de los smbolos entre A, B, C o D, seguido de y seguido nuevamente de uno de los smbolos entre A, B, C o D. POSTULADOS [ej.: 1) dos puntos distintos definen una [1] recta ; 2) dada una recta existe al menos [2] un punto que no le pertenece] [3] AXIOMAS AB BC CD

NOCIONES COMUNES REGLAS DE DEDUCCIN [ej.: 1) el todo es mayor que la parte; 2) De XY y YZ se deduce cosas que son iguales a la misma cosa, XZ, siendo X, Y, Z tambin son iguales entre s] smbolos cualesquiera entre A, B, C y D e incluyendo tanto los axiomas como los teoremas. TEOREMAS [ej.: dados dos puntos distintos existe al [1] 12 TEOREMAS AC

menos una recta que no contiene ninguno [2] de los dos] [3]

BD AD

Del mismo modo, las reglas deductivas definen las proposiciones que sern denominadas teoremas; para hacer esto, generalmente, especifican algunas operaciones que deben efectuarse a partir de ciertas proposiciones de base, llamadas axiomas. La caracterstica fundamental (que se evidencia, precisamente, con el adjetivo formal) es que smbolos y proposiciones del Sistema y, por lo tanto, tambin axiomas y teoremas, permanecen sin significado explcito (o sea, expresamente predeterminado). Justamente por eso se prefiere utilizar a menudo el trmino frmula en vez de proposicin (que puede sugerir un carcter semntico errneo); no obstante, en este libro usaremos el ms familiar proposicin. Sin embargo, son las reglas gramaticales y las reglas de deduccin, elegidas de forma oportuna para construir la Teora matemtica que nos interesa, las que dan implcitamente un significado puramente operativo a los smbolos. Explicaremos este ltimo aspecto. Con respecto al ejemplo de la tabla, el primer teorema se obtiene aplicando la regla de deduccin a partir de los axiomas [1] y [2]. El segundo, haciendo lo mismo con los axiomas [2] y [3]. El tercero, aplicando la regla de deduccin en base al primer teorema y al axioma [3]. Es totalmente espontneo, desde el anlisis de nuestra regla de deduccin, asociar al smbolo un significado como consigue, se deduce, etc.; eso es un significado implcito operativo. Para reconstruir las deducciones que nos interesan, consideremos ahora aquella que se define como interpretacin del Sistema: demos a A el significado de encontrarse en el13

Polo Sur; a B el de encontrarse donde el Sol calienta poco; a C el de encontrarse donde la temperatura es baja; a D el de padecer fro y a el de implica. La regla gramatical es consistente con tal interpretacin, puesto que formar proposiciones correctas en lengua espaola. Por ejemplo, segn sta se forma: padecer fro implica encontrarse en el Polo Sur, que est expresado en correcto espaol (aunque sea falso). Si ahora interpretamos los axiomas, resultan proposiciones verdaderas; en ese caso, se dice que la interpretacin constituye un modelo del Sistema. Despus controlaremos la correccin de la regla de deduccin, o sea, si produce proposiciones verdaderas en el modelo. Con el significado de implica que se le da a , XZ es, en efecto, verdadero, si XY y YZ son verdaderos; entonces la regla, cuando acta sobre axiomas interpretados en el modelo, produce teoremas verdaderos en el modelo, sobre los cuales puede todava actuar produciendo otros teoremas verdaderos. Y as sucesivamente producir slo teoremas verdaderos para el modelo. En nuestro ejemplo podemos darle directamente significado al teorema [3] (sin necesidad de pasar por el [1]), para afirmar como verdad que: Encontrarse en el Polo Sur implica padecer fro. El lector puede construirse un modelo oportuno del mismo Sistema para demostrar que si tomaras el tranva llegaras a tiempo al concierto u otras deducciones del mismo tipo. Otro ejemplo de modelo nos convencer de lo efmero que es el significado dado a . Interpretemos A, B, C y D como cuatro amigos nuestros ordenados por edad, del mayor al ms joven y como es mayor que. Se obtiene, claramente, otro modelo. Adems, continua siendo vlida la correccin de la regla deductiva, como el lector puede comprobar. Por lo tanto, nuestro Sistema, con todos sus teoremas, tambin se adapta14

perfectamente a esta interpretacin. El uso de sugerencias visuales para algn smbolo (como una flecha, en nuestro caso) es bastante frecuente en los lenguajes matemticos, pero puede engaar en caso de que se trate de enfocar la lgica pura de las deducciones; ya que, como repetimos, todos los smbolos en realidad carecen de un significado prefijado. En este momento, se estar de acuerdo sobre el hecho de que ningn abrigo magnfico, o nocin no tan comn, podr invalidar un Sistema axiomtico formal: ste seguir siendo adecuado para cada modelo, si lo posee, siempre que sea correcto con respecto a las reglas deductivas. Pero no se nos escape la ventaja principal y extraordinaria de esta nueva organizacin abstracta de las Matemticas2: cualquier teorema, aunque sea formidablemente largo y difcil (tal vez descubierto tambin gracias a la ayuda visual de un modelo concreto), vale automticamente (esto es, sin necesidad de repetir la demostracin) para todos los modelos correctos con respecto a las reglas de deduccin del Sistema. Como consecuencia obvia de la ausencia de significado de las proposiciones matemticas, el mismo concepto de verdad es ajeno al lenguaje matemtico y slo concierne a las interpretaciones semnticas3 de sus smbolos. La situacin es ideal para la mordacidad de Russell: El lenguaje matemtico es una ciencia en la que no se sabe de qu se est hablando, ni si lo que se est diciendo es verdadero 4. Pero el tono irnico no debe distraer de la verdad literal de la afirmacin. La utilidad indiscutible del lenguaje matemtico se pone de manifiesto slo cuando ste viene interpretado por los modelos correctos,Debida fundamentalmente a D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie. Usaremos el trmino semntico como abreviacin de la locucin que tiene significado. 4 Bertrand Russell: Misticismo e Logica.3 2

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concretndose as en proposiciones significativas. Estas ltimas tambin son normalmente llamadas matemticas, pero el punto de vista axiomtico precisa que se corrija esta confusin. Volviendo, ahora, a la tradicional Geometra euclidiana, se reconoce que sta se encuentra en una situacin mejor con respecto a la Teora que hemos considerado, slo porque los entes implicados (puntos, rectas, etc.) son muy abstractos y primarios con respecto al tranva y al fro polar. La semanticidad de tales entes se manifiesta en algunos errores (difciles de descubrir) que han sido corregidos en su reajuste moderno. En concreto, se trata de algunos postulados (convertidos en axiomas en el reajuste formal) que faltaban (como el de ordenamiento: dados tres puntos alineados, hay uno y slo uno que se encuentra entre los otros dos). Pero la axiomtica formal no hace otra cosa ms que quitar la semanticidad del lenguaje puramente simblico de las proposiciones matemticas, separndolo claramente del lenguaje interpretado y de lo empleado en las reglas gramaticales y de deduccin. Es esto suficiente para concluir, como se oye a menudo, que en los Sistemas formales todo recurso intuitivo se elimina? I.2. La metamatemtica En primer lugar nos preguntaremos: se puede prescindir del valor semntico en las reglas gramaticales y de deduccin? La respuesta obvia es no. Una Teora matemtica se establece para obtener nuevas proposiciones; esta caracterstica es tan natural que puede considerarse una de las propiedades definitorias de un Sistema matemtico. As pues, si se suprime el valor semntico en las reglas gramaticales y de deduccin, se obtiene una lista de secuencias de smbolos sin significado; cmo16

podra sta especificar, generar, otras secuencias de los mismos smbolos? Si los teoremas o, ms generalmente, las proposiciones son de nmero finito podramos limitarnos a hacer una lista de las mismas, evitando la utilizacin de un Sistema matemtico. Pero si, por la razn que sea, se quiere emplear un Sistema capaz de generar tambin una sola proposicin nueva, ser necesario decir cmo hacerlo mediante un lenguaje que tenga significado. Un caso muy comn en el que parece necesario, es cuando se quiere crear un nmero infinito de proposiciones y/o teoremas; en efecto, esta ltima situacin puede considerarse un caso no trivial para un Sistema axiomtico. Las reglas gramaticales y de deduccin, por lo tanto, no pueden no ser semnticas. Lo cual significa que para estar en condiciones de desempear su funcin, que es producir nuevas proposiciones, stas deben ser necesariamente interpretadas (pero esta vez de manera unvoca!). Normalmente se expresan en el lenguaje natural: el que estamos utilizando ahora; el mismo lenguaje de la publicidad y de los polticos! Sabemos bien que el lenguaje comn puede ser engaoso o ambiguo; pero aqu, dada la naturaleza de nuestros temas, aspiraremos al mximo de la claridad y del rigor. En este punto encontramos una dificultad cardinal: de hecho sospechamos que es imposible fijar con absoluta precisin el grado de rigor y claridad al que debemos aspirar; tal sospecha ser confirmada pronto. Entonces, cmo se podran definir reglas (gramaticales o deductivas) suficientemente claras? Por ahora limitmonos a tomar nota de la exigencia de seleccionar, a partir del lenguaje natural, un lenguaje semntico suficientemente riguroso como para ser

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empleado en dichas reglas; lo llamaremos metamatemtica5. Pero, pensndolo bien, esta necesidad es todava ms primordial: en realidad, de qu tipo son todas las argumentaciones que se han hecho hasta aqu? Con algo de presuncin (dado que la metamatemtica se define como un lenguaje en un cierto modo riguroso en su terminologa), podemos justamente considerarla metamatemtica. Entonces, hemos ahora definido circularmente la metamatemtica, al servirnos precisamente de metamatemtica? S, y no hay nada paradjico: lo mismo se hace en los diccionarios y en las gramticas para definir una lengua y su sintaxis. En un diccionario, por ejemplo, se definen unas palabras a travs de otras, en un crculo que no resulta vicioso slo porque algunos significados, supuestamente, se conocen. Es decir, un lenguaje semntico puede ser capaz de autodefinirse. Esto equivale a afirmar algo parecido a que la metametamatemtica coincide con la metamatemtica. Podemos expresarlo mejor: no es necesario distinguir explcitamente los distintos niveles lgicos de un lenguaje suficientemente semntico; stos, de hecho, pueden ser clarificados en virtud del significado mismo de las afirmaciones. Poniendo un ejemplo concreto, todos pueden comprender la expresin: En la frase la luna es roja es es verbo, sin necesidad de premisas, comillas u otras tcnicas metalingsticas. Por otra parte, la metamatemtica no se limita a definir, sino que tambin es capaz de deducir. Por ejemplo, la conclusin de que cierta proposicin significativa es verdadera y, por lo tanto, que cierta interpretacin es un modelo, es una deduccin metamatemtica. Lo mismo vale para la correccin de las reglas deductivas del Sistema respecto a un modelo. Se vern otros5

Del griego , con el significado de ms all de. 18

ejemplos ms adelante. Qu decir entonces acerca de la fiabilidad y veracidad de una deduccin metamatemtica? Lo discutiremos en el prximo apartado. En tanto, ya sabemos responder a la pregunta con la que concluye el apartado anterior: en los Sistemas axiomticos formales la nica especie de intuicin se realiza bajo la forma de las convenciones semnticas que son necesarias para la comprensin de las reglas gramaticales y deductivas. Puntualizamos ahora algunas convenciones sobre la terminologa que usaremos en este libro. Por lenguaje matemtico de un Sistema axiomtico formal, entenderemos el lenguaje puramente simblico (o formal, sintctico, codificado), carente de significado explcito, usado en sus proposiciones. Utilizaremos tambin Teora y Disciplina como sinnimos de Sistema (matemtico) y, en sntesis, llamaremos premisas al conjunto de sus axiomas y reglas (gramaticales y deductivas). Cuando, con respecto a un modelo del Sistema, se verifica la correccin de las reglas deductivas (esto es, si en base a ellas se deducen siempre teoremas verdaderos, cuando son interpretados en el modelo), diremos sintticamente que el modelo es correcto. Finalmente, con Matemtica entenderemos genricamente el conjunto, el corpus, de todas las Teoras matemticas, como se ha hecho hasta ahora. I.3. Deducciones metamatemticas La metamatemtica se funda sobre las convenciones semnticas bsicas del lenguaje comn y, adems, apela a principios elementales de lgica comn. No es esto un retorno de las discutibles nociones comunes? La principal diferencia respecto al caso tradicional es que tales conceptos no intervienen directamente en la deduccin de los teoremas, sino19

que lo hacen a travs de la definicin de las reglas gramaticales y deductivas. De esto se deriva que, en caso de que los conceptos semnticos usados en tales reglas no parezcan indudables, existe siempre la posibilidad de axiomatizarlos, como aclararemos pronto. Consideremos el ejemplo del siguiente Sistema axiomtico S (cuyas reglas suponemos que son suficientemente claras): [smbolos] 0 1 x = + [regla gramatical] una proposicin se constituye nica y exclusivamente con cualquier secuencia ordenada de smbolos tales que: a) Debe encontrarse uno y slo un smbolo =. b) Los smbolos + y = deben estar siempre precedidos y seguidos por otro smbolo distinto a + o =. As, por ejemplo, son proposiciones: 0x+1x0=0x+10+x, 1=x+00+x1 y 1x+11=01x. En cambio, no lo es la secuencia 01x=10=0, que viola la a), ni +10+=01+1x que viola (dos veces) la b). [axiomas] x=x x+0=x

[regla de deduccin] un teorema se obtiene nica y exclusivamente sustituyendo en un axioma el smbolo x, dondequiera que aparezca, por una misma secuencia ordenada arbitraria de los smbolos 0 y 1. Sabemos ya que no se debe asignar significado a los20

smbolos, pero hemos utilizado + y = porque trabajan en armona con los conceptos semnticos comnmente asociados a ellos. Obsrvese que ningn teorema puede contener el smbolo x: por consiguiente, en nuestro Sistema de ejemplo, los axiomas no son teoremas, contrariamente a lo que ocurre en los Sistemas comunes (clsicos). Examinemos ahora la siguiente frase: en el primer axioma, aplicamos la regla de deduccin con la secuencia 01 obteniendo 01=01 como teorema. La mayor parte de los lectores reconocer en ella un ejemplo de demostracin, es decir, un razonamiento que permite distinguir un teorema, precisamente 01=01. Cul es el lenguaje de una demostracin? No hay dudas de que, no siendo matemtico, debe tratarse de metamatemtica. Las demostraciones no son el nico ejemplo; es facilsimo formar afirmaciones metamatemticas, como: cada teorema de S no empieza con x; cada proposicin que tiene el smbolo + a la derecha del smbolo = no es un teorema de S, etc. La sensacin tangible es que se pueden deducir infinitas aserciones de este tipo. Parece entonces que la metamatemtica no se limita a la definicin de las reglas del Sistema, sino que interviene continuamente en Matemtica mediante deducciones. Adems, en los casos considerados, que hemos elegido oportunamente, ningn lector dudar de la verdad de estas afirmaciones, a menos que haya malentendido (as creemos) el significado contenido en las reglas del Sistema o en la misma afirmacin. Cunta seguridad tienen esas deducciones? Detrs de esta pregunta est la ingenua pretensin de querer dar crdito nicamente a las deducciones propiamente matemticas, esto es, a los teoremas de un Sistema axiomtico formal. El interrogante, pues, sera: Podran tales conclusiones reconducirse a teoremas interpretados (dicho en sntesis, axiomatizarse)? Por supuesto.21

La cuestin es que ello presupondra el reconocimiento previo de que cierta interpretacin es un modelo correcto de un Sistema formal; o sea, presupondra otra vez deducciones basadas en convenciones semnticas, es decir, todava de tipo metamatemtico. La pregunta ms apropiada sera entonces si merece la pena axiomatizarlas. Por ejemplo, para transformar en un teorema interpretado la expresin cada proposicin que tiene el smbolo + a la derecha del smbolo = no es un teorema de S, podra aplicarse el primer Sistema axiomtico introducido (vase la tabla del primer apartado), con A interpretado como cada proposicin que tiene el smbolo + a la derecha del smbolo =, B como no puede deducirse por la regla deductiva de S, C como no es un teorema de S, D idntico a C (para completar el modelo) y como implica. Despus, una vez verificado que las interpretaciones antedichas constituyen un modelo correcto, la proposicin considerada se deducira interpretando el teorema AC. Esta axiomatizacin ha transformado la controvertida deduccin metamatemtica en el teorema interpretado AC, pero ha aceptado otras deducciones metamatemticas: que las metaproposiciones correspondientes a los axiomas AB y BC sean verdaderas y la correccin de la regla deductiva para el modelo. El lector juzgar por s mismo si todo esto ha merecido la pena. Las deducciones puramente metamatemticas son, en cualquier caso, indispensables; todas las veces que una deduccin metamatemtica parece inmediata, haciendo un uso elemental e inequvoco de conceptos semnticos y lgica comn, es intil introducir un Sistema axiomtico buscando una mayor justificacin de la misma. Al menos cuando, para hacerlo, se deben incomodar conceptos y convenciones semnticas del mismo nivel de comprensin. Esto revela la idoneidad en Matemticas del uso de deducciones22

metamatemticas extemporneas, como las que antes hemos simplificado, no ligadas directamente a ningn especfico Sistema axiomtico. Por otra parte, es indudable que, en el caso de que la deduccin metamatemtica (que a continuacin llamaremos concisamente metateorema), no parezca tan indiscutible, debido a un uso ambiguo de significado o de lgica comn, es muy oportuno que sta se reobtenga ms rigurosamente como teorema interpretado, mediante el uso de un Sistema axiomtico basado en convenciones semnticas ms elementales. O sea, mediante una formalizacin que distinga inequvocamente todos y solos los criterios deductivos autorizados. Aadimos que la metamatemtica opera continuamente a travs de definiciones (lo observaremos en el prximo apartado) y, tambin, que normalmente es indispensable para describir las propiedades de las colecciones matemticas (lo veremos en detalle en el apartado II.18). Adems, sta resulta, por as decirlo, intrnsecamente indispensable; esto significa que, para los objetivos de la Matemtica, es necesaria una metamatemtica capaz de emplear continuamente nuevos conceptos semnticos, es decir, de desarrollarse, de redefinirse sin cesar. sta puede considerarse como la conclusin filosfica esencial de los modernos teoremas y metateoremas que demarcan la epistemologa Matemtica, objeto de este libro. Naturalmente, a su tiempo, retornaremos con la mayor profundidad sobre este punto. Resumimos las conclusiones ms importantes de nuestro anlisis. La primera es que en todo caso necesitamos convenciones semnticas y lgicas elementales, no perfectamente especificables. Para el lenguaje metamatemtico que hace uso de ellas, no es posible establecer con absoluta precisin el grado de rigor que debe pretenderse. Para observarlo23

ms tcnicamente, sea dada una definicin D de expresin semnticamente rigurosa. D es verdaderamente dicha definicin, si se interpretan sus trminos de modo correcto y unvoco; de lo contrario, es una cadena de caracteres con un significado distinto, oscuro o sin sentido. Pero mientras se interpreta un trmino de la D, la misma definicin D an no est disponible; luego, ninguna interpretacin de D puede ser rigurosamente concluida como semnticamente rigurosa o no. En resumen, una definicin de expresin semnticamente rigurosa no puede ser concluida como semnticamente rigurosa en base a la misma definicin. La segunda conclusin es que el lenguaje metamatemtico opera continuamente en Matemtica, a travs de definiciones, descripciones de propiedad y deducciones, esto es, metateoremas. Finalmente, hemos observado que es prudente reconducir los metateoremas a teoremas interpretados slo cuando falta la incontestabilidad de la misma deduccin, debido a ambigedad en los significados de sus trminos o en el criterio deductivo. Ms tarde se ver un ejemplo realmente fundamental de esto. A algn lector podra molestarle tal vaguedad congnita en los fundamentos de la axiomtica formal; los significados de los trminos que utilizamos son ciertos (con un grado indefinible de tal certeza) en base a convenciones que, sin duda, dependen tambin de la experiencia, del hecho de que todos (o casi todos) estn de acuerdo; lo mismo puede decirse para los principios de lgica elemental. Hay, pues, un fundamento pragmtico en los Sistemas axiomticos formales causado por el carcter semntico de sus reglas gramaticales y deductivas? En cada tipo de lenguaje semntico no se puede demostrar el significado de todos los trminos que se utilizan: algunos se deben convenir al principio del discurso. Es imposible pretender24

entenderse sin antes ponerse de acuerdo sobre el significado de algo y sin adoptar, aunque sea supuestamente, algunas reglas bsicas de formacin de las frases. Sobre estas convenciones no queda ms que aceptar un grado indefinible (esperamos que suficiente) de comprensin. La respuesta a la pregunta anterior es, por lo tanto, un inevitable s. No obstante, no se debe subestimar la ventaja respecto al criterio tradicional; o sea, la posibilidad de establecer, en caso de ambigedad, convenciones semnticas ms slidas a travs de nuevas axiomatizaciones. Y, finalmente, es indudable que una actitud siempre drsticamente crtica sobre la posibilidad de conseguir entenderse, es demasiado deletrea: quin la presumiera debera consiguientemente... callarse! I.4. Definiciones Todo aquel que haya estudiado alguna Disciplina matemtica, aunque sea superficialmente, sabe lo numerosas e importantes que son las definiciones. En teora, aparte de los smbolos, las reglas gramaticales, los axiomas y las reglas deductivas, no sera necesario nada ms. Pero en la prctica en cada Teora matemtica habitual hay que establecer convenciones para simplificar expresiones largas. Las definiciones pueden consistir en simples denotaciones (tambin llamadas posiciones o abreviaciones) que, normalmente, sirven para reducir la longitud de las cadenas; o bien, pueden ser autorreferenciales, es decir, mencionar el mismo ente que se est definiendo. En la segunda Parte discutiremos el problema de la autorreferencialidad (ap. II.13). Hemos de destacar que, a menudo, el uso de las definiciones no tiene slo el objetivo de abreviar, sino mas bien de evidenciar entes y conceptos que concentran y sintetizan propiedades numerosas a expresar; lo cual ms que cmodo, es25

prcticamente imprescindible para la comprensin de los argumentos. Un ejemplo emblemtico que se ver ms adelante es el uso del smbolo N para indicar el conjunto de los nmeros naturales. Como hemos sealado, tambin las definiciones son convenciones semnticas, esto es, estn acordadas por la metamatemtica. El lenguaje matemtico, al estar privado de cualquier determinado significado, es incapaz de fijar aunque sea una convencin tan banal como una simple abreviacin. I.5. Objetivos, deseos y Sistemas bien definidos Tratamos ahora de imponer algunas convenciones mnimas para los Sistemas axiomticos formales. El objetivo es, sin duda, seleccionar Sistemas que sean tiles para el conocimiento. Secuencias de caracteres sin significado slo son un ejercicio lingstico; nos interesan, sin embargo, sus interpretaciones verdaderas y en particular, que el Sistema las pueda deducir. Esto es, nos interesan sus modelos correctos, as como los hemos llamado. En tales condiciones, los teoremas son tiles e interesantes porque constituyen proposiciones verdaderas en tales modelos. Empecemos por preguntarnos: es siempre posible descubrir que una proposicin es un teorema, si lo es? O sea: siempre existe la demostracin de un teorema? Y si es que s, siempre es posible identificarla? La primera pregunta tiene una nica respuesta: un teorema que no puede demostrarse no es lo que queremos llamar teorema, en Matemticas. En otros trminos, por definicin, cada teorema debe admitir al menos una demostracin, esto es, un razonamiento metamatemtico que nos convenza de que ste deriva de las premisas del Sistema. La segunda pregunta debe ser aclarada. Hemos convenido que la26

demostracin de un teorema tiene que existir siempre. Suponer que exista siempre un mtodo efectivo para identificarla, sin embargo, parece excesivo. Nos referimos a un mtodo automtico, que todos podran seguir, sin necesidad de alguna inventiva. Un mtodo que, aunque probablemente irrealizable en la prctica (como se deducira en consideracin de los nmeros enormes que se dan en el clculo combinatorio), hara que la creatividad del matemtico fuera en teora superflua, porque slo oportuna para sintetizar y simplificar los razonamientos. Comnmente, se cree que Hilbert confiase nada menos que cada problema en Matemticas fuese soluble mecnicamente; retomaremos el argumento en la tercera Parte. Por ahora podemos afirmar sin duda que, por lo general, las Teora matemticas carecen de un mtodo de estas caractersticas; muchas demostraciones parecen el resultado de intuiciones, observaciones o investigaciones en parte casuales. A veces stas crean, colateralmente, ambientes y propiedades nuevas por demostrar o confutar. La demostracin de la proposicin de Fermat ha resistido ms de tres siglos; hoy disponemos de una muy compleja, pero no se puede descartar que un da se encuentre una mucho ms simple. Ninguna previsin en ese sentido puede ser fundada sobre razones propiamente matemticas. Y, naturalmente, quedan innumerables conjeturas por demostrar o confutar, no pocas tan antiguas como la Matemtica. Disminuyendo nuestras pretensiones, se puede imponer en primer lugar que cada demostracin sea representable en los caracteres de un lenguaje convenido que emplea un nmero finito de smbolos; normalmente, aquellos alfa-numricos del lenguaje natural. En segundo lugar, que sea reconocible como demostracin una vez representada; obviamente, una condicin necesaria es que sea finita, puesto que un razonamiento que no27

termina no puede concluir. Pero tambin queremos ms: frente a un razonamiento que no es una demostracin, deseamos que exista siempre la posibilidad de concluirlo. En definitiva, queremos que exista siempre la posibilidad de verificar o desmentir un razonamiento que pretende ser una demostracin. No admitir esto, significara considerar a priori inexorablemente afectados por incertidumbre los razonamientos fundamentales de las Matemticas. No parece sensato. Al fin y al cabo una demostracin no es una propuesta, sino una afirmacin que debe incluir suficientes e indiscutibles razones, aunque en los lmites de la Semntica. Se pretende que estas razones puedan siempre concluirse como suficientes o insuficientes, si se indaga lo bastante. Tcnicamente, queremos entonces que exista siempre la posibilidad de concluir, fijado cualquier objeto representable x, si x es una demostracin o no. Llamaremos distinguible a un conjunto de este tipo: repetimos, un conjunto por el que, fijado cualquier objeto en la representacin convenida, es posible concluir metamatemticamente si esto pertenece al conjunto o bien no6. Otras imposiciones similares parece oportuno que deban hacerse sobre el conjunto de las proposiciones. Normalmente, si x es una cadena finita cualquiera de los caracteres admitidos, la gramtica nos indica si es correcta o no. Todo y solamente aquello que el maestro seala en rojo es error de ortografa. Por otra parte, convenimos que una cadena con al menos un carcter no admitido, no es una proposicin. Parece entonces normal pretender que las reglas gramaticalesSeguiremos siempre la estrategia de utilizar verbos como concluir, establecer, decidir, etc ..., o el ms tcnico metademostrar, refirindonos a razonamientos metamatemticos que conducen a metateoremas; mientras demostrar ser utilizado solamente por los razonamientos metamatemticos que conducen a teoremas propiamente dichos. 286

especifiquen un conjunto, aquello de las proposiciones, distinguible. A los Sistemas que satisfacen las condiciones anteriores, los denominaremos bien definidos. A continuacin siempre supondremos, a menudo implcitamente, que los Sistemas matemticos de los que hablaremos lo sean. Resumamos brevemente las condiciones de una definicin buena: las proposiciones son distinguibles entre el conjunto de las cadenas finitas de los smbolos admitidos; los teoremas son proposiciones que admiten por lo menos una demostracin; las demostraciones son cadenas finitas, en general semnticas, de carcter alfa-numricos y son distinguibles. Estas caractersticas son una clase de sensatez mnima para un Sistema formal. Por eso no tendra sentido intentar formalizarlas dentro de un Sistema particular. Nos estamos refiriendo a la posibilidad de definir formalmente la buena definicin dentro de un Sistema matemtico, de modo que esto sea capaz de establecer (mediante sus teoremas) si otros Sistemas matemticos estn bien definidos. Para tal Sistema, de hecho, nos preguntaremos: est bien definido? Si s, entonces lo estara informalmente (en su estructura de base, la definicin de bien definido no est an disponible) y la codifica de la buena definicin no comprendera todos los casos. Si no, entonces la misma formalizacin de bien definido no estara bien definida y se volvera cuestionable. Ms adelante tendremos una confirmacin del carcter primitivo de algunos conceptos contenidos en la buena definicin de un Sistema (por ejemplo, el de finito). La imposicin de que las demostraciones sean distinguibles implica que tambin deban serlo los teoremas? O bien: en los Sistemas bien definidos, el conjunto de los teoremas es distinguible? Si x es una cadena alfabtica cualquiera, podemos entretanto distinguir si es una proposicin; si es un teorema,29

existe una demostracin suya, esto es una conclusin metamatemtica del hecho de que lo es. Pero si no lo es? Una conclusin metamatemtica del hecho de que no es un teorema no hace cierto parte de las demostraciones; la buena definicin para el Sistema no parece implicar que siempre tenga que existir. Como veremos, hay razones concretas para desear reconocer tambin los no-teoremas, es decir, las proposiciones que el Sistema no podr deducir. Estudiaremos este problema para los Sistemas axiomticos que cada vez consideraremos. A menudo se afirma que el hecho de que los elementos de un conjunto sean de nmero finito implica su distinguibilidad (ms an, incluso su decidibilidad, una condicin mucho ms fuerte, como veremos). Evidentemente se pasa por alto el hecho de que estos elementos podran ser no identificables. Ms tarde profundizaremos este concepto y mostraremos un caso (no banal) de axiomas finitos y, sin embargo, no distinguibles. Subrayamos que el criterio de distinguibilidad del que hemos hablado, es el resultado de una genrica, a condicin que convincente, conclusin metamatemtica. El lector, pues, no tiene que interpretarla necesariamente como un procedimiento mecnico. En la tercera Parte del libro profundizaremos este argumento y lo que se quiere entender por mecnico; ah se comprender por completo la razn de esta advertencia. Naturalmente, las condiciones de buena definicin requieren caractersticas oportunas para las premisas del Sistema. Ms adelante las estudiaremos en relacin a los Sistemas clsicos, definidos a continuacin. I.6. El Clculo lgico clsico Los Sistemas axiomticos formales considerados hasta ahora son muy simples. En cada Disciplina matemtica bastante30

avanzada encontramos un lenguaje formal muy cercano a lo natural. Si, por ejemplo, abrimos un libro de Geometra, hallamos expresiones como: si una recta es perpendicular a un plano, cada plano que la contiene es perpendicular a este plano. Estas proposiciones parecen poseer significado. En muchos teoremas aparecen ulteriores conceptos que consideraremos semnticos, como y, o, no, existe e igual. Qu ocurre? No se ha dicho que las expresiones matemticas estn privadas de significado explcito? Para empezar, la axiomatizacin formal de la geometra es capaz de eliminar el significado de los trminos recta, plano, etc.., aunque normalmente estos trminos se sigan llamando as para facilitar la comprensin. En nuestro primer ejemplo de Sistema axiomtico formal hemos visto como se puede axiomatizar con un solo smbolo la oracin si ... entonces (o bien implica). Tambin los conceptos y, o, no, igual, cada y existe pueden ser axiomatizados. Tras la sorpresa inicial de este hecho, reconoceremos (en el siguiente apartado) que incluso son posibles axiomatizaciones diferentes, cada una capaz de reflejar en parte el carcter semntico de estos conceptos. La ms importante de stas, tradicionalmente, se llama Lgica clsica y ser descrita a continuacin. Puesto que el argumento es fundamental, dado que seguidamente estudiaremos slo los Sistemas matemticos axiomatizados segn la Lgica clsica, la descripcin en lneas generales que haremos no puede quedar totalmente desprovista de tecnicismo; sin embargo, no es indispensable que el lector comprenda todos los detalles. En primer lugar, en Lgica clsica, se restringe el mbito de las interpretaciones. Dado un Sistema axiomtico formal, se define interpretacin clsica, una correspondencia que asocia a cada proposicin matemtica del Sistema una afirmacin31

semntica con valor verdadero o falso, una posibilidad excluyendo la otra, y por lo que si sta tiene el valor verdadero entonces la negada tiene el valor falso y viceversa. Aqu nos referimos a una negacin de carcter semntico, admitiendo que cada afirmacin semntica clsica tenga una negacin nica (como en: el gallo canta, el gallo no canta)7. Estos dos principios se llaman: del tercer excluido y de no contradiccin. Un modelo clsico es, obviamente, una interpretacin clsica que verifica los axiomas. Sucesivamente, se axiomatizan los conceptos no y o (llamados conectores lgicos), mediante un Sistema axiomtico oportuno, denominado Clculo clsico formal de los enunciados. En concreto, se introducen smbolos arbitrarios para estos conceptos, ms otros (como las letras maysculas) para las mismas proposiciones y los parntesis; estos ltimos en realidad no son necesarios: su uso es slo muy cmodo. Despus se establecen cuatro axiomas oportunos, algunas reglas gramaticales y dos reglas deductivas. Ahora bien, interpretando cada smbolo con el concepto semntico espontneamente correspondiente y asumiendo que la interpretacin sea clsica, se obtiene un modelo. Haremos un solo ejemplo: uno de los axiomas, es (notX)o(YoX) 8. Si lo interpretamos con el semntico no para not, o tambin (esto es, con valor no exclusivo) para o, ( y ) como operadores que establecen precedencia y consideramos X e Y comoSe excluyen, naturalmente, expresiones como Mira t!, uff!, por qu haces esto? que no son, en efecto, afirmaciones (con un valor indiscutido de verdad) y no interesan a la Lgica. 8 Para facilitar la lectura, evitaremos de utilizar caracteres especiales para los smbolos matemticos correspondientes a no, y y o, utilizando simplemente los cursivos not, e (puesto que y es normalmente usada como variable) y o. 327

proposiciones genricas, asumiendo que la interpretacin sea clsica, obtenemos una verdad. De hecho, en tal caso, la proposicin AoB es verdadera cuando al menos una de las dos proposiciones A y B es verdadera, pudiendo ser tambin ambas verdaderas (no exclusividad); esto es, queda excluido que ambas puedan ser falsas. Ahora, el primer miembro del axioma es precisamente falso cuando X es verdadero; pero cuando X es verdadero, el segundo miembro, (YoX), es verdadero para cualquier valor de Y. Luego el axioma siempre es verdadero. Una verificacin como sta puede realizarse para cada axioma y, dado que tambin reconoceremos que las reglas deductivas son correctas9, se tiene la certeza de que se ha construido un lenguaje matemtico cuya interpretacin espontnea es compatible con la semntica del lenguaje natural. Las reglas gramaticales definen las proposiciones ya sea explcitamente (por ejemplo en: cada secuencia de letras alfabticas que comienza con maysculas es una proposicin) o implcitamente (como en: si A es una proposicin, tambin notA lo es). Las dos reglas deductivas se llaman: de la sustitucin y modus ponens. La primera funciona anlogamente al ejemplo visto anteriormente: afirma que en todos los axiomas se puede sustituir una letra mayscula por una proposicin cualquiera. La segunda se ilustrar ms adelante. Los dems conceptos, y e implica pueden codificarse, en el mismo Clculo clsico de los enunciados, como simples abreviaciones (o denotaciones) de oportunas secuencias ordenadas de los smbolos introducidos; es decir, a rigor no seran ni siquiera necesarios, si bien en la prctica son muy

En base al Metateorema de correccin que, sin embargo, discutiremos slo en el apartado II.2. 33

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tiles10. En concreto, AeB es una abreviacin de not((notA)o(notB)) y A implica B (o bien AB) de (notA)oB. Con la expresin Clculo predicativo clsico formal del primer orden se entiende una ampliacin genrica del Clculo formal de los enunciados. En esto se introducen dos nuevos smbolos para los conceptos existe (tpicamente ) y cada (o bien para todo, tpicamente ), denominados cuantificadores lgicos11. Pero su aspecto fundamental es la introduccin de las variables y de los predicados. Lo que se pretende hacer, en concreto, es formalizar expresiones como: x es el padre de y. Aqu con x e y entendemos smbolos que varan dentro de un conjunto prefijado de objetos, llamado universo. La aclaracin metamatemtica del universo ocurre cuando se considera un modelo del Sistema. Indicamos con P(x,y) la codificacin de la expresin antedicha; tal proposicin no puede ser susceptible de un valor de verdad verdadero/falso, porque x e y son indeterminados. La definicin de interpretacin clsica se debe, pues, revisar: el valor verdadero/falso se exigir slo por un subconjunto de las proposiciones, llamado de los enunciados, que definiremos a continuacin (mientras en el Clculo clsico de los enunciados, proposiciones y enunciados coinciden). P se llama predicado; se subraya para recordar que debe ser seguido por dos variables para formar una proposicin; el orden de las variables en P(x,y) es, en general, importante. Tambin expresiones que incluyen predicados, como porEl criterio descrito, debido a Russell y Whitehead, no es el nico; se puede empezar a axiomatizar dos cualesquiera de los conceptos citados y despus definir los restantes por trmite de stos. 11 Anlogamente, resulta que uno cualquiera de los dos cuantificadores podra eliminarse en cuanto abreviacin de una proposicin que contiene el otro. No obstante, en la prctica sera muy incmodo usar uno solo. 3410

ejemplo: P(x,y)(x=y), se requiere que sean proposiciones; stas se indicarn con una mayscula sin subrayar, seguida de variables, como A(x,y). En general, un predicado puede tener un nmero finito arbitrario, mayor o igual a uno, de variables. Las reglas gramaticales se generalizan consecuentemente; por ejemplo se establece: si A(x1, x2, ...xn) es una proposicin, tambin x1 A(x1, x2, ...xn) lo es; lo mismo se dispone para . Para obtener los enunciados se pueden sustituir las variables por determinados valores del universo (llamados constantes); pero ste no es el nico modo. Por ejemplo, la afirmacin para cada x existe un y tal que x es el padre de y (esto es cada objeto es padre de otro objeto) es susceptible de verdad (y es falsa en muchos universos). Por lo tanto, si una variable va precedida por los smbolos o , es como si estuviese determinada por la asignacin de una constante; en tal caso se dice, de hecho, aparente. Libre, de otra manera. En definitiva, una proposicin con variables libres puede convertirse en enunciado sustituyendo las variables por constantes y/o hacindolas aparentes mediante los cuantificadores lgicos. Formalmente, la definicin implcita tanto de los cuantificadores lgicos, como de las proposiciones con variables (y por consiguiente de los predicados), se realiza mediante reglas gramaticales oportunas, la introduccin de dos nuevos axiomas, la generalizacin de las reglas deductivas anteriores y dos nuevas reglas deductivas. Citamos solamente el axioma: x A(x) A(a) donde la generalizacin de la regla deductiva de sustitucin permite sustituir A(x) por cualquier proposicin con variable libre x (no necesariamente la nica). A(a) indica el enunciado obtenido sustituyendo x por la constante a. Las dos nuevas35

reglas deductivas se llaman de particularizacin: de B(x)A se deduce x (B(x)A) y de generalizacin: de AB(x) se deduce A x B(x) y viceversa siendo A una proposicin cualquiera que no contiene x como variable libre. Esta ltima regla implica que cuando en un axioma o en un teorema aparecen variables libres, esta libertad es ficticia, en cuanto la expresin es equivalente a otra que emplea xi para cada variable libre xi. Como consecuencia, axiomas y teoremas resultan siempre enunciados, es decir, susceptibles de verdad (y, en particular, como sabemos, deben ser verdaderos en cada modelo, para definicin de modelo). Naturalmente, para llevar a cabo la definicin de los predicados que se entienden usar en la Teora, habr que aadir como axiomas aquellas oportunas condiciones que los caracterizan. Las reglas ahora citadas definen el uso de los cuantificadores lgicos en relacin a las variables. Se quiere decir que despus de o debe haberse siempre una variable, esto es, un elemento genrico del universo; tales expresiones se llaman de primer orden. Por esto el Clculo predicativo descrito se denomina de primer orden. Para expresiones de segundo orden, se entienden aquellas en las cuales los cuantificadores se usan en relacin a los predicados, como en P(x1, x2, ... xn) o P(x1, x2, ... xn). Una expresin de segundo orden interpretada podra ser: cada relacin que existe entre las rectas r y s, existe tambin entre las rectas r y t o bien existe una propiedad tal36

que cada nmero par no la verifica. Naturalmente, no hay lmites a este tipo de complejidad12. En principio, no hay nada de extraordinario en admitir la posibilidad de proposiciones de orden sucesivo al primero para el Sistema formal; la nica advertencia que en cualquier caso vale tambin para el primer orden es de no interpretar semnticamente los smbolos, pena el no respeto de la formalidad. Por ejemplo, si al conjunto de los axiomas de un Sistema de primer orden adjuntsemos un solo axioma que utiliza la expresin ... P(x1, x2, ... xn)..., convirtindose as el Sistema en una Teora de segundo orden, sera incorrecto (es decir, en contraste con los principios de la axiomtica formal) deducir un teorema sustituyendo P(x1, x2, ... xn) por un cierto predicado Q(x1, x2, ... xn). En efecto, la secuencia ... P(... permanece sin significado hasta que una regla o un axioma sucesivo no explique en concreto como debe operarse sintcticamente a partir de ella. Faltando esta instruccin, la sustitucin de Q por P obedecera a una interpretacin semntica del smbolo , en desacuerdo con la formalidad. Todo esto, por otra parte, tambin vale en el Clculo formal del primer orden: aqu, de hecho, se tiene que obedecer a un axioma preciso (aquel ante citado) para deducir a partir de proposiciones que contengan ... x..... De todas formas, expresiones de orden superior al primero estn generalmente ausentes en las Disciplinas matemticas comunes; de hecho, veremos que el primer orden es suficienteEn el tercer orden, se puede cuantificar sobre los objetos del tipo S(x , P(x1, ... xn)), llamados super-predicados, donde x, x1,... xn son variables y P(x1,... xn) es un predicado. Un ejemplo semntico podra ser: La propiedad por la que, dadas tres rectas r, s y t se tiene que cada relacin que hay entre las rectas r y s la hay tambin entre las rectas r y t, existe siempre, si s y t son paralelas. Naturalmente, se puede aumentar el nmero de orden al infinito. 3712

para todas las exigencias expresivas respetuosas de la formalidad (consecuencia del teorema de Lindstrm, apartado II.16). Repetimos que hemos descrito una ampliacin genrica del Clculo de los enunciados: un particular Clculo predicativo clsico formal de primer orden se obtendr definiendo por completo los predicados que utiliza; para hacer esto, en el Sistema especfico se adjuntarn los axiomas que caracterizan dichos predicados, aunque stos deben satisfacer siempre a los dos precedentes generales. Un Sistema muy bsico es el Clculo predicativo clsico del primer orden con igualdad, en el que se introduce la igualdad, como un predicado a dos variables, caracterizado por la satisfaccin de algunos axiomas, de los cuales slo citamos: x(x=x). Normalmente se acuerda, precisamente, utilizar el carcter especial = en vez de una mayscula subrayada, escribiendo x=y, en lugar de =(x,y). Otros ejemplos de predicados, introducidos en diversos Sistemas axiomticos, son: paralelismo, ortogonalidad (ambas a dos variables), paridad (a una variable), relacin mayor que (smbolo >, a dos variables), etc.. Con esto terminamos nuestro anlisis de la Lgica clsica. Es evidente que en el proceso de axiomatizacin no viene codificado todo el significado, en sentido general, de cualquiera de los conceptos semnticos discutidos, sino slo su uso, llammoslo tcnico, en el seno de un mbito matemtico restringido. Por ejemplo, citamos la regla deductiva del modus ponens: De AB y A se deduce B. Aqu y y se deduce son bien diferentes de los smbolos matemticos e y anteriormente citados. De hecho stos no tienen ahora que obedecer a los axiomas del Clculo clsico, sino poseer aquel valor semntico insustituible que nos permite sacar una proposicin nueva, el teorema B, a partir de las dos38

proposiciones AB y A. Efectivamente, hemos ya aclarado que una regla deductiva no puede carecer de carcter semntico. Con la expresin Sistema axiomtico predicativo clsico, o concisamente breve Sistema clsico, entenderemos un Sistema constituido por un particular Clculo predicativo clsico formal del primer orden (con su fila oportuna de predicados) ms otros axiomas y reglas propias, sobre las que no hacemos ninguna hiptesis especfica. Este Sistema podra, por lo tanto, incorporar expresiones de cualquier orden entre los axiomas y/o hacer uso de las reglas deductivas ms complejas, incluida la posibilidad de no respetar la formalidad: el Sistema, para deducir los teoremas, podra exigir un significado no eliminable para sus proposiciones. De hecho, ms adelante descubriremos que tendremos que hacer las cuentas tambin con Sistemas clsicos no formales. Por otra parte, casi todas las ordinarias, informales, Disciplinas matemticas pueden ser reconducidas a Sistemas clsicos formales, dotados del traje axiomtico correcto en el cual todas las afirmaciones, comprendidos los teoremas, se reducen a secuencias de smbolos sin significado explcito. Es obvio que estamos satisfechos de la mera posibilidad lgica de este proceso. Hacerlo en la prctica implicara no slo reducir en smbolos los entes propios de la Teora (como las rectas, los planos, etc.., en el caso de la Geometra) sino tambin, como se ha visto, aadir a sus premisas propias (es decir, aquellas que, en el caso de la Geometra, incluyen slo las rectas, el paralelismo, etc..), todos los axiomas y reglas del Clculo predicativo clsico formal del primer orden sobre el cual el Sistema se funda. Se obtendra una Teora matemtica terriblemente (e intilmente) complicada e incomprensible, porque semnticamente accesible slo a travs de sus reglas gramaticales y deductivas. Por eso no es sensato renunciar, en39

la prctica, a la visin semntica espontnea de entes, propiedades, conectores y cuantificadores en ninguna Disciplina matemtica bastante avanzada; aunque stos, en la sistematizacin axiomtica formal de la Teora, semnticos no son. I.7. Consistencia y completitud sintctica Para introducir algunas propiedades fundamentales para el Sistema axiomtico, nos serviremos del mismo Sistema axiomtico definido en el tercer apartado. Esto es: [smbolos] 0 1 x = + [regla gramatical] una proposicin se constituye nica y exclusivamente con cualquier secuencia ordenada de smbolos tales que: a) Debe encontrarse uno y slo un smbolo =. b) Los smbolos + y = deben estar siempre precedidos y seguidos por otro smbolo distinto a + o =. [axiomas] x=x x+0=x [regla de deduccin] un teorema se obtiene nica y exclusivamente sustituyendo en un axioma el smbolo x, dondequiera que aparezca, por una misma secuencia ordenada arbitraria de los smbolos 0 y 1. Para este Sistema matemtico, definimos (en un modo de intento no clsico para una cuestin de generalidad) la negacin (o negado) de un teorema: la proposicin obtenida cambiando su40

smbolo inicial: si es 1 se sustituir por 0 y si es 0 por 1. Las negaciones de los teoremas 01=01 y 100+0=100, son entonces: 11=01 y 000+0=100. Puesto que cada teorema comienza con 0 o 1, existe una nica negacin para cada teorema. Para los axiomas, en cambio, (que, recordamos, no son teoremas) la negacin no est definida. Pero esta circunstancia (no clsica, como reconoceremos), no debe infundir sospechas: no es que una consecuencia de la sencillez de nuestro ejemplo. Un Sistema matemtico se dice consistente respecto a la relacin de negacin introducida, si la negacin de cada teorema no es un teorema. Para nuestro Sistema, concluiremos muy fcilmente la consistencia respecto a la negacin introducida. La metademostracin de tal metateorema puede ser la siguiente. Considrese un teorema arbitrario; bien si ste se deduce del primer o del segundo axioma, tendr los smbolos iniciales de ambos miembros (esto es, de cada parte a la derecha e izquierda de =) iguales. Por lo tanto, su negacin los tendr diversos y, por ello, no podr ser un teorema. La coexistencia de una proposicin y su negado como teoremas, se define contradiccin. Luego consistencia significa ausencia de contradicciones. Por lo visto, la consistencia es una propiedad sintctica que depende de la definicin de negacin; desde este punto de vista, claramente, no puede tener ningn carcter positivo o conveniente. En el prximo apartado, en cambio, veremos los efectos indeseables, desde un punto de vista epistemolgico, que produce la inconsistencia en una Teora axiomatizada segn la Lgica clsica. Diremos que un enunciado es indecidible si ni ste ni su negado son teoremas. Un Sistema en el que no existen enunciados indecidibles se dice sintcticamente completo o, brevemente,41

completo. Resumiendo: en un Sistema completo, para cada enunciado, ste o su negado es un teorema. No olvidemos que estas definiciones, para ser sensatas, deben concernir slo a los enunciados, es decir, las proposiciones susceptibles de verdad; en efecto, si una proposicin no es susceptible de verdad, ni sta ni la negada podrn jams ser teoremas: entonces, cada Sistema que pueda formular proposiciones con variables libres sera incompleto! Nuestro Sistema axiomtico tiene infinitos enunciados indecidibles y, por lo tanto, no es completo. Por ejemplo no se pueden decidir 001+01+10=0+101 ni 1011=0010. El primero, en efecto, contiene tres smbolos + y por consiguiente no puede ser un teorema; lo mismo vale para su negado. El segundo no es un teorema, ni lo es su negado por culpa del ltimo smbolo. Por qu estas definiciones? Saber si un Sistema matemtico es completo o no es muy importante en fines prcticos. Normalmente, con el objetivo de aumentar el conjunto de los teoremas, las Teoras matemticas evolucionan introduciendo nuevos axiomas; si la Teora es completa y se desea su consistencia, este proceso resultara del todo intil, en la mejor de las hiptesis. De hecho, en un Sistema completo cada enunciado que no es un teorema es el negado de un teorema; por lo tanto, si la adicin de un nuevo axioma aumentase realmente el conjunto de los teoremas, se formara un Sistema inconsistente, en el caso de que originariamente fuese consistente. Por lo tanto, si se quiere conservar la consistencia, el axioma aadido debe de ser estril, es decir intil. Adems, un Sistema completo posee otras agradables propiedades epistemolgicas que revelaremos ms adelante. Por otra parte, en un Sistema incompleto, axiomatizado segn42

la Lgica clsica, sabemos como hacer para ampliar sin peligro de inconsistencia el conjunto de los teoremas: aadir un enunciado indecidible (o su negado) como axioma. Lo justificaremos pronto. I.8. Las implicaciones de la Lgica clsica A continuacin nos concentraremos en el estudio de las propiedades de los Sistemas clsicos. En particular estamos interesados en la bsqueda de modelos clsicos (adems correctos) para el Sistema; por brevedad, cuando en el futuro digamos modelo nos referiremos siempre a un modelo clsico. Por ello es fundamental comprender las consecuencias ms trascendentes de la Lgica clsica. Por regla comn, esta Lgica se considera la ms sencilla y espontnea para un lenguaje como el matemtico. Sin embargo, no se puede negar que, al menos en parte, esto se deba a la costumbre, al hecho de que sta haya estado siempre y est todava tcitamente supuesta en toda ordinaria Disciplina matemtica: las Teoras basadas en lgicas alternativas permanecen inslitas. Para empezar, mostraremos como no todas las consecuencias de los axiomas y reglas del Clculo lgico clsico sean semnticamente tan indiscutibles. La cuestin puede ilustrarse bien observando la formalizacin de A implica B (desde ahora siempre AB), que, como hemos dicho, se define como abreviacin de (notA)oB. Vemos las razones que, en base a la Lgica clsica, conducen a esta posicin. Consideremos la afirmacin (C) Si hay gatos (A), no hay ratones (B); cuando ser C verdadera o falsa en Lgica clsica? Dos casos son obvios: 1) si A es verdadera y B es43

verdadera, entonces C es verdadera; 2) si A es verdadera y B es falsa, entonces C es falsa. Quedan otros dos casos, en los que A es falsa y B puede ser verdadera o falsa. Pero si no hay gatos, la frase C, y propio desde un punto de vista semntico, no hace alguna imposicin: no dice nada acerca de la presencia o ausencia de ratones. Asignar necesariamente un valor de verdad a los dos casos restantes es, por lo tanto, indudablemente forzado, pero es lo que se debe hacer en Lgica clsica por su misma definicin. Se podra considerar que, en el fondo, estamos totalmente libres de asignar estos dos valores respetando el valor semntico implica; pero el peligro es que pueda coincidir con otros conceptos diferentes que tambin queremos usar. Comenzamos por asignarle a C falso en ambos casos (vase la siguiente tabla); esto comporta que sea idntico a e. De hecho C resultara verdadera si y slo si, tanto A como B son verdaderas; entonces si hay gatos no hay ratones sera equivalente a hay gatos y no hay ratones. No va bien.A V V F F B V F V F C (prueba de AB) V F F F idntico a e C (prueba de C (prueba de C (prueba de AB) AB) AB) V V V F F F F V V V F V idntico AB ok a idntico a B

Axiomatizacin de AB en Lgica clsica

Probemos a asignar a los dos casos, ordenados segn la tabla, respectivamente el valor falso y verdadero. Resultara que si fuese verdadero que si hay gatos no hay ratones,44

entonces necesariamente habra ratones dondequiera no haya gatos. Pero (por suerte) con independencia de la verdad de C (que exagera un poco las capacidades felinas), existen otros mtodos de desratizacin. En efecto, se ha plasmado como idntico a implica y co-implica (o bien si y slo si), cuya notacin, AB, se puede introducir formalmente como abreviacin de (AB)e(BA). Finalmente, asignando a los dos casos, respectivamente, verdadero y falso, se dara a AB el mismo valor de verdad de B. Esto es, si hay gatos no hay ratones equivaldra a no hay ratones. He aqu porque, por exclusin, se asume la ltima posibilidad; en esa, AB se verifica siempre cuando A es falsa (esto es, si no hay gatos) y AB equivale a (notA)oB, como se anticipaba. Consecuentemente sucede que, si A es un enunciado falso y B un enunciado cualquiera, AB siempre es verdadero! El forzamiento es bastante evidente pero es indudable que, por lo visto, sta es la solucin que mejor respeta el trmino semntico implica. Veamos ahora las dramticas repercusiones de esto sobre la cuestin de la inconsistencia. Por supuesto, en Lgica clsica, la negacin de una proposicin se define mediante el smbolo not del Clculo clsico del que se ha hablado en el apartado I.6. Supongamos que en el Sistema clsico arbitrario S exista una contradiccin: sea A un enunciado tal que tanto A como notA son teoremas de S. Entonces, si M es un modelo correcto cualquiera de S, las interpretaciones tanto de A como de notA seran verdaderas en M. Pero, por las caractersticas de not, la interpretacin de notA es la negacin semntica de la interpretacin de A: por lo tanto, resulta violado el principio de no contradiccin: M no puede ser un modelo clsico. La primera conclusin que evidenciamos para los Sistemas clsicos es, por consiguiente, que la existencia de un modelo45

correcto implica la consistencia. En segundo lugar nos preguntaramos si es posible corregir el Sistema en caso de inconsistencia: si la inconsistencia se debe slo a A o a otros pocos enunciados, se podra pensar en ajustar las cosas o incluso en tolerar alguna contradiccin. Por ejemplo, en el lenguaje ordinario la proposicin esta afirmacin es falsa es contradictoria, como el lector podr reconocer: no se le puede asignar un valor verdadero/falso respectando ambos principios de toda interpretacin clsica. Pero se trata de una excepcin muy rara y peculiar. Y, normalmente, la gente no se abstiene de hablar para no incurrir en otras paradojas13. Sin embargo, a causa de la peculiaridad de implica, en mbito matemtico es absolutamente diferente. En efecto, si el Sistema demuestra un enunciado falso F, puesto que, como hemos visto, FB es verdadero sea cual sea el enunciado B, se puede aplicar la regla del modus ponens: de F y FB se deduce B, obteniendo B como teorema14. Por lo tanto,En este libro utilizaremos el trmino paradoja para indicar una afirmacin contradictoria, absurda desde el punto de vista metamatemtico (y, por lo tanto que se debe evitar). Algunos convienen en llamar antinomias las absurdidades realmente irresolubles y paradojas aquellas evitables. Aunque, sin duda, esto es ms refinado, no hay necesidad de asignar un nombre especial a las afirmaciones que parecen absurdas pero no lo son. Por lo tanto, hablaremos slo de las primeras, llamndolas, sin embargo, con el nombre histricamente ms usado: precisamente paradojas. Retornaremos sobre ellas en el apartado II.13. 14 Hemos utilizado el concepto de verdad para simplificar bastante la demostracin; en realidad B se debera deducir de modo puramente formal. Aqu la demostracin correcta en el Clculo clsico de RussellWhitehead. Supongamos que A y notA sean teoremas. Del axioma (notX)o(YoX), rescrito como X(YoX), mediante la regla deductiva de sustitucin se deduce el teorema (notA)(Bo(notA)), donde B es un enunciado cualquiera. Por modus ponens deducimos entonces el teorema 4613

cada enunciado es un teorema! He aqu la consecuencia sintctica radical de la inconsistencia clsica. As, por ejemplo, 2+2=5 implica sintcticamente cualquier enunciado, como: 7=7, 7=113, todos los nmeros naturales son impares, no todos los nmeros naturales son impares, etc.. En cada Teora matemtica clsica donde se haya descubierto una sola contradiccin, se puede demostrar todo y el contrario de todo: cualquier otro enunciado es contradictorio. No es simplemente que la Teora no admita algn modelo correcto: es que ningn enunciado de la Teora puede interpretarse de modo clsico! Realmente, semejante Teora clsica no tendra ninguna utilidad, sea formal o no. Como hemos sealado, se han propuesto otros tipos de Lgica para obviar a este radicalismo de la Lgica clsica: con tres valores de verdad (verdadero, posible, falso), con la imposicin de un mtodo efectivo para concluir la verdad/falsedad (Lgica intuicionista) o revisando la definicin misma de los conectores lgicos (Lgica lineal). An se consideran alternativas inslitas, pero es posible que esto cambie en un futuro. Desde un punto de vista sintctico, por otra parte, no hay razones para considerar en algn sentido irregular un Sistema clsico inconsistente. Si la gramtica y la deduccin de los teoremas respetan las reglas establecidas, no puede haber ningn otro defecto estructural en el Sistema; y de hecho, la eventual desagradable sorpresa de descubrir que la Teora es inconsistente, no invalidara la correccin de las deducciones hechas hasta ahora (dado que todos los enunciados sonBo(notA). Ahora el axioma (XoY)(YoX), permite de deducir, por trmite de sustitucin y modus ponens, el teorema (notA)oB que es la abreviacin de AB. Por ltimo, de nuevo modus ponens para deducir el teorema B a partir del teorema A. 47

teoremas!), aunque revelara que hemos perdido totalmente nuestro tiempo desde el punto de vista epistemolgico. En este sentido, la misma deduccin de la contradiccin, tambin correcta, no sera desde luego intil! La nica posibilidad de error lgico podra surgir cuando una regla de deduccin suponga la consistencia para generar algunos teoremas. Mencionar la consistencia (o la inconsistencia) del Sistema en una regla deductiva obedecera a un criterio circular: la consistencia, que depende de las reglas deductivas, dependera a su vez de la consistencia! Aunque, como veremos ms adelante (apartado II.13), la circularidad no implica necesariamente absurdidad en metamatemtica, en un caso similar se necesitara un argumento metamatemtico previo que descarte la posibilidad de incurrir en paradojas. De todas formas, el caso es anmalo (nunca utilizado en las Disciplinas comunes). Excluyendo, pues, este caso peculiar, podemos afirmar que la inconsistencia no representa nunca un error lgico-sintctico. Luego, que tal Teora sea absolutamente intil es un hecho indudable, pero de naturaleza distinta, que slo concierne al aspecto semntico: precisamente el hecho de que los enunciados no pueden interpretarse sensatamente. El reconocimiento de la existencia de incluso un nico, arbitrario, enunciado no demostrable, es decir que no puede ser un teorema, es suficiente para poder atestiguar la consistencia de un Sistema clsico; puesto que esta condicin tambin es necesaria para la consistencia, en definitiva es equivalente a ella. Por ejemplo, cada Sistema clsico incompleto es ciertamente consistente, porque un enunciado indecidible supone dos enunciados que no son teoremas: ste y el negado. En otros trminos, un Sistema inconsistente siempre es completo. Otra propiedad extraa de todo Sistema clsico es que, si T es un teorema, entonces YT es un teorema, cualquiera que48

sea el enunciado Y. Esto procede del axioma X(YoX) o bien X(notYX), para cada pareja de enunciados X e Y. Dado que Y es arbitrario, es lo mismo escribir el axioma como X(YX). Ahora, si X es un teorema, YX se concluye por modus ponens. Un teorema clsico que parecer bastante obvio (pero cuya demostracin no es nada breve, en el Sistema de RussellWhitehead) es AA, vlido para cualquier enunciado A. De aqu sigue la propiedad fundamental que, en cada Sistema clsico, cada axioma tambin es teorema: es suficiente aplicar el modus ponens a partir del axioma A. El metateorema de deduccin, vlido para los Sistemas clsicos, aunque en principio no necesario, es muy til para simplificar demostraciones de otro modo largusimas. Afirma que demostrar una implicacin como AB es equivalente a demostrar B en el Sistema que se obtiene aadiendo al Sistema inicial el axioma A. En efecto en cada Teora clsica, cuando se intenta demostrar una tesis, las hiptesis se tratan exactamente como si fuesen axiomas. Daremos slo una justificacin intuitiva del metateorema, puesto que su metademostracin (que el lector puede encontrar en un libro ordinario de Lgica) no es tan breve. Para empezar, si AB es un teorema, es trivial que un Sistema que posee A como axioma tenga tambin B como teorema: sigue de modus ponens. Viceversa, sea S' el Sistema obtenido de S aadiendo el axioma A y supongamos que en S', B sea un teorema; la tesis es que AB es un teorema del Sistema S. Si B es un teorema de S, cada enunciado de S implica B y por lo tanto, tambin AB es un teorema de S. Si B no es un teorema de S, entonces en S', B puede derivar slo gracias al axioma A. Esto sugiere, justamente, que AB sea teorema de S (como realmente concluye la metademostracin correcta).49

I.9. Sistemas clsicos bien definidos Discutamos ahora las implicaciones de la buena definicin sobre las premisas de un Sistema clsico cualquiera. El punto de partida es la suposicin que cualquier Clculo predicativo clsico formal del primer orden sea bien definido; este hecho debe aceptarse como intuitivo o, si se prefiere, por convencin. En rigor, por ejemplo, no es incuestionable que el modus ponens sea una regla deductiva clara y sin ambigedad! Sin embargo nos parece oportuno profundizar ms tarde este argumento (apartado II.13). Continuamos con mostrar que si un Sistema clsico cualquiera es bien definido, entonces el conjunto de sus axiomas es distinguible. Por absurdo, sea E un enunciado que ningn razonamiento metamatemtico puede concluir ni excluir que sea un axioma. Consideremos entonces el siguiente razonamiento: del axioma E y del teorema EE se deduce que E es un teorema; ste utiliza correctamente el modus ponens y, como se ha visto, no se engaa afirmando que EE es un teorema. Por lo tanto, resulta incorrecto si y slo si E no es un axioma; pero, dado que no es posible concluir o excluir esta ltima cosa, tampoco es posible concluir o desmentir su correccin, o sea si es o no es una demostracin de E. Pero esto es absurdo: viola la distinguibilidad de las demostraciones incluida en la hiptesis de buena definicin del Sistema. Recordemos que un Sistema clsico posee, en general, premisas propias que se suman a las del Clculo predicativo clsico formal del primer orden sobre el cual se basa. Como caso particular (muy importante, como veremos), hay aquello en lo que el Sistema no aade ninguna regla nueva, ni gramatical ni deductiva, sino slo axiomas propios. Metademostremos que, en este caso, la distinguibilidad de los axiomas tambin es50

suficiente para concluir la buena definicin del Sistema. Usaremos el hecho de que cualquier demostracin de un teorema siempre se puede extender de modo que al final haga referencia solamente a axiomas, reglas deductivas y al enunciado demostrado (esto es, el teorema final). Queremos decir que si una demostracin, para deducir el teorema T, involucra cierto otro teorema S, siempre se puede desarrollar incluyendo la demostracin de S. Hacindolo con todos los teoremas citados, se obtendr as una demostracin (quizs largusima) que slo menciona axiomas y reglas deductivas, adems de la conclusin. De no ser as, entonces tales deducciones no derivaran nicamente de los axiomas y de las reglas, como debe ser en cada Sistema axiomtico. Una demostracin de tal forma la llamaremos brevemente extensa; para simplificar nuestra metademostracin estableceremos, pues, de considerar como legtimas slo a las demostraciones extensas (esta convencin, claramente, descartar deducciones consideradas normalmente como cabalmente correctas pero, como hemos aclarado, no perder realmente ninguna). Empecemos con el observar que, ya que el conjunto de los enunciados permanece aquel definido por el Clculo predicativo clsico formal de primer orden, ste es distinguible por la hiptesis de buena definicin de ste ltimo. De esta misma hiptesis sigue tambin que es posible distinguir cada razonamiento que hace un uso correcto de las cuatro reglas deductivas clsicas. Entonces, todos aquellos que no entran en esta categora pueden excluirse de ser demostraciones. Consideremos, luego, un arbitrario razonamiento de la antedicha categora que deduce un cierto enunciado C, mencionando un nmero finito de enunciados E1, E2,... En. Por nuestra convencin de limitarnos a las demostraciones extensas, C ser efectivamente un teorema, o bien el razonamiento una51

demostracin, si y slo si todos los enunciados E1, E2,... En son axiomas de la Teora. Por lo tanto, siendo los axiomas distinguibles, tambin podremos siempre distinguir si este razonamiento es una demostracin, lo que implica la distinguibilidad de las demostraciones. Por ltimo, cada teorema tiene al menos una demostracin. De hecho, cada teorema debe derivar, por definicin, por los axiomas y reglas deductivas; siendo los primeros distinguibles, son las segundas que, razonando por absurdo, no seran traducibles sin malentendidos en el lenguaje de las demostraciones. Pero esto viola la hiptesis de buena definicin para el Clculo predicativo clsico formal del primer orden sobre que el Sistema se asienta. Esto completa la metademostracin que el Sistema est bien definido. En general, sin embargo, el hecho de que los axiomas de un Sistema clsico sean distinguibles, no es suficiente para garantizar su buena definicin: nada prohbe que las reglas propias del Sistema posean cierto grado de ambigedad que lo impida. Ms adelante veremos un ejemplo no trivial de este caso. I.10. Demostraciones por absurdo El moderno asentamiento axiomtico de los Sistemas matemticos clsicos exige una revisin, importante desde el punto de vista lgico, de las famosas demostraciones por absurdo o indirectas. En la escuela primaria (donde, por supuesto, no se adopta la axiomtica formal) stas se introducen aproximadamente as: queriendo demostrar el enunciado A, se suponga la verdad de notA. A partir del Sistema que se obtiene aadiendo notA a los axiomas, se deduce una contradiccin: o bien A, o la negacin de un teorema; por eso notA no puede ser verdadero, entonces ser52

falso y A verdadero. No han faltado crticas, en el pasado, a esta tcnica demostrativa. Los acusadores sostenan que obedeca a un criterio deductivo realmente nuevo (a una regla nueva, diramos ahora), inicialmente no admitido. Los defensores pensaban que no. Otros, en una posicin intermedia, mantenan que las demostraciones directas, cuando existan, eran preferibles a las indirectas. En la ambigedad de un Sistema no axiomatizado, la disputa no puede resolverse concluyentemente. Examinando superficialmente el razonamiento con la ptica de la axiomtica formal, se dira que utiliza el concepto de verdad y presupone que el Sistema sea consistente (cuando descarta la situacin absurda de una contradiccin). Si fuese as, ste obedecera realmente a un criterio deductivo nuevo y adems peligroso, por lo que se ha observado en el apartado I.8. Por suerte, no es verdaderamente as. Desde un punto de vista meramente sintctico, en efecto, en base al metateorema de deduccin, lo que en una demostracin por absurdo se hace, es deducir el teorema A a partir del teorema (notA)A o bien del teorema (notA)(notT), siendo T un teorema cualquiera. Y bien, esto es legtimo en base a las reglas deductivas clsicas; es decir, no obedece a ninguna regla deductiva nueva. Presentaremos, por amor de completitud, la entera deduccin correcta, avisando al lector que puede saltarla tranquilamente sin ningn tipo de problema para los argumentos futuros. Utilizaremos el axioma: (XY)((ZoX)(ZoY)) y el teorema (not(notX))X15, vlido para cada enunciado X, cuya demostracin es bastanteEn realidad se tiene la equivalencia (not(notX))X, en armona con el concepto semntico que dos negaciones son equivalentes a afirmar. Pero a nosotros slo nos interesa un sentido. 5315

larga en el Clculo clsico de Russell-Whitehead. Se quiere, pues, obtener como teorema A, a partir del teorema (notA)A (primer caso) o bien del teorema (notA)(notT), donde T es un teorema cualquiera (segundo caso). En el primer caso, utilizando el axioma anterior, con not(notA) en lugar de X y A substituido tanto a Y como a Z, se obtiene: (not(notA)A)((Ao(not(notA)))(AoA)) Ya que el primer trmino un teorema, por modus ponens obtenemos como teorema (Ao(not(notA)))(AoA). Ahora, el teorema de premisa es una abreviacin de (not(notA))oA. Utilizando el axioma (XoY)(YoX) y de nuevo modus ponens, deducimos el teorema Ao(not(notA)). Luego, aplicando otra vez modus ponens obtenemos el teorema AoA. Por fin el axioma (AoA)A, permite deducir el teorema A por modus ponens. En el segundo caso, el teorema de premisa es una abreviacin de (not(notA))o(notT), de la que puede obtenerse, en el modo visto, tambin el teorema (notT)o(not(notA)), o sea T(not(notA)). Mediante modus ponens se obtiene, por lo tanto, el teorema not(notA). Finalmente, utilizamos el teorema not(notA)A para deducir A con modus ponens. He aqu quitado todo lo arcano16 en este tipo de demostraciones, llamadas y realizadas habitualmente de forma incorrecta desde el punto de vista de la axiomtica formal. stas, en el riguroso asentamiento axiomtico, no tienen ningn carcter peculiar o indirecto (qu slo existen demostraciones directas!): no utilizan el concepto de verdad, no presuponen laHe ledo en la Web: en edad escolar, tuve dos choques: como se hacen los nios y las demostraciones por absurdo. 5416

consistencia y no responden a criterios deductivos nuevos. No obstante, hemos aclarado que el mtodo tradicional, aunque irregular en la forma, conduce a deducciones legtimas. En un mbito metamatemtico, sin embargo, las tradicionales demostraciones por absurdo no precisan ningn tipo de correccin. Como se ha visto, en Lgica clsica se asumen el principio de no contradiccin y del tercer excluido para cualquier interpretacin de las proposiciones de un Sistema axiomtico. Parece entonces del todo oportuno que estos principios se extiendan al resto de la metamatemtica y, por lo tanto, al lenguaje de una metademostracin. Por otra parte, incluso desde el punto de vista del saber comn estos principios parecen del todo naturales, aun con los defectos indicados en el octavo apartado. Y bien, las tradicionales demostraciones por absurdo obedecen a estos dos principios, como se reconoce inmediatamente. Se puede pues afirmar que, en una metademostracin por absurdo, a diferencia de una demostracin por absurdo, se utiliza realmente la tcnica de descartar una contradiccin semntica (como, por ejemplo, contradecir una suposicin hecha); lo que significa, ahora s, suponer consistencia en los razonamientos de la metamatemtica. Resumiendo, la tcnica demostrativa tradicional por absurdo funciona tanto en mbito metamatemtico como matemtico, con la puntualizacin de que en el segundo caso sta debera (y en todo caso puede) ser correcta formalmente, sin utilizar el concepto de verdad u otras hiptesis que limitan la generalidad del Sistema. Terminamos el apartado reconociendo que, como se haba anunciado, la adicin de un enunciado indecidible o de su negado como nuevo axioma del Sistema, no altera la consistencia. Sea S un Sistema en el que el enunciado A es55

indecidible; S, poseyendo enunciados indemostrables es por lo tanto consistente. Sea S' el Sistema que aade el axioma notA a los axiomas de S; lo indicaremos sintticamente con S+notA. Si, por absurdo (semntico) fuese inconsistente podra deducirse de ste lo que se desee, por ejemplo A. Para el metateorema de deduccin, entonces, en S puede deducirse notAA. Lo que muestra que A puede ser deducido por absurdo (sintctico) en S, contra la hiptesis inicial. La misma metademostracin puede aplicarse al Sistema S+A, llammoslo S''. Vale tambin el inverso de este metateorema: sean S' y S'', definidos como antes, ambos consistentes; entonces A tendr que ser indecidible en S (que tambin ser consistente). Por absurdo (semntico), supongamos, por ejemplo, que A sea un teorema de S; entonces lo ser tambin para S', que contiene todos sus axiomas. Sin embargo, S' puede deducir tambin notA, dado que cada axioma es tambin teorema, y por lo tanto es inconsistente contra las hiptesis hechas. Anlogamente se prueba que notA no puede ser un teorema de S; luego A es indecidible. I.11. Frutos bsicos del mtodo axiomtico En este apartado ilustraremos algunos resultados del mtodo axiomtico formal, entre los cuales ciertos histricamente bastante importantes. Para mostrar la utilidad del uso de diversos modelos correctos de una misma Teora matemtica, consideramos el siguiente juego para dos jugadores17: dispuestas sobre la mesa las cartas descubiertas del as al nueve de un mismo palo, cada jugador, en su turno, elige una carta y la aade a suEste ejemplo procede de H. De Long: Problemi non risolti dellaritmetica. 5617

grupo inicialmente vaco. Gana el primer jugador que posea en el propio grupo tres cartas (ni ms ni menos) cuya suma es 15. Se puede evitar estudiar las mejores estrategias y hacer sumas, reconociendo que hay un modelo ms simple del mismo juego: el popular tres en raya. Para convencerse de ello, basta con un rpido vistazo a la siguiente figura.

El teorema, conocido probablemente por todos, que siempre se puede empatar si se sabe jugar bien (del que se convence fcilmente apurando todos los casos posibles), puede evidentemente transferirse al modelo con las cartas (cuyos casos posibles seran muchos ms); y las mismas estrategias para hacerlo son las correspondientes establecidas por el cuadro. Los dos juegos encarnan dos modelos de un nico Sistema axiomtico57

formal (del cual, por otra parte, un definicin rigurosamente formal sera mucho ms compleja que la descripcin ofrecida por los dos modelos). En Lgica no es infrecuente el caso en el que un modelo correcto de algn Sistema axiomtico se construye mediante el modelo correcto de otro Sistema axiomtico. Entre los objetivos, hay lo de indagar algunas caractersticas del primer Sistema. Un ejemplo histricamente muy importante de esta tcnica, que sin duda aceler los esfuerzos para una sistematizacin lgica de las Matemticas, se tiene a propsito de las Geometras no euclidianas; esto es, las que asumen como axioma una de las posibles negaciones del V postulado de Euclides (en adelante VP). ste afirma: dada una recta r y un punto P externo a sta, existe una y una sola recta que pasa por P y es paralela a r18. No pocos han sido los matemticos que, desde la antigedad, han tentado demostrar el enunciado, el cual no pareca poseer el indiscutible carcter definitorio de los primeros cuatro postulados. Despus de una tentativa de demostracin por parte de G. Saccheri en 1733 (equivocada, pero que de hecho deline las bases para el desarrollo de la Geometra no euclidiana), a mitad del siglo XIX diferentes matemticos, entre los cuales Gauss, se convencieron de la indemostrabilidad de VP; algunos de stos, como Riemann y Lobavcevskij, desarrollaron en concreto Geometras no euclidianas. Pero qu hay acerca de su consistencia? Y tal pregunta suscitaba otra ms inquietante: estamos seguros, ante todo, de que la Geometra euclidiana (en adelante GE), donde VP es admitido como axioma, sea consistente? De esta manera las Geometras no euclidianas provocaronPlayfair demostr que esta proposicin, ms simple que la original (que omitimos) es equivalente a ella. 5818

una discusin crtica que, ms all del problema especfico de su consistencia, concerna los fundamentos de cada Teora matemtica. Nadie pona seriamente en discusin la consistencia de la vieja GE; pero la pregunta era: qu tipo de razonamiento, admitiendo que exista, podra concluir (o confutar) esta consistencia? Y qu decir del mismo problema para las otras Disciplinas matemticas? Las desconcertantes respuestas (parciales) a tales preguntas deban aguardar algn decenio. Entre tanto, tres ejemplos no euclidianos, el primero de E. Beltrami y de validez no general, los otros dos debidos a F. Klein y H. Poincar, con la deseada generalidad, implicaban que VP era indecidible si la GE era consistente. Describimos en lneas generales la interpretacin de Poincar (en adelante IP). En referencia a la circunferencia euclidiana c de la figura 1.1 [vase la pgina siguiente], se considere la siguiente correspondencia: PUNTO RECTA punto interno a c arco de crculo interno a c y ortogonal a c (o dimetro de c).

El lector se habr enterado de que estamos usando el carcter minsculo para los trminos que se interpretan en senti