Conduccion en regimen transitorio

4.1 Introduccion

Para completar el estudio de la transferencia de calor por Conduccion, recordemosque la ecuacion general de Fourier surge a partir de las ecuaciones de conservacionde la energıa y a partir de la aceptacion de la hipotesis fundamental de la con-duccion del Calor o ley de Fourier. Si ademas aceptabamos las hipotesis siguientespara el cuerpo en cuestion:

Material Homogeneo

Material Isotropo

Las propiedades del material no cambian fuertemente con la temperatura enel rango de temperaturas del problema.

No se realiza trabajo de contraccion o dilatacion debido a procesos termicos

No hay fuentes internas de calor

habıamos llegado a la siguiente ecuacion:

∂T

∂t= a∇2T (4.1)

donde T es Temperatura, t es tiempo y a es la difusividad del material.En procesos estacionarios, el termino a la izquierda del signo igual se considerabanulo y entonces el problema se reducıa a la resolucion de la ecuacion de Laplacepara la temperatura. En adelante, nos interesaremos en describir lo que ocurrecuando hay una evolucion del campo de temperaturas, y del proceso de transfe-rencia de calor, en el tiempo. Los problemas que se estudian en este caso son dedos tipos:

Cuerpos que evolucionan hacia un equilibrio termico (calentamientos o en-friamientos)

Cuerpos que estan sometidos a variaciones periodicas de Temperatura.

El primer tipo de problema abarca distintos casos que se presentan en la vidaprofesional como la puesta en marcha de una central, tratamientos termicos de

1

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

materiales (en particular, el proceso de templado),...., en tanto que el segundoabarca los problemas termicos de regeneradores, maquinas de vapor, motores aexplosion, etc.

Presentaremos entonces las distintas alternativas para resolver estos tipos de pro-blemas. En efecto, desde calculos simples se pueden obtener primeras aproximacio-nes al problema, que permitiran tener juicio crıtico frente a resultados que puedenobtenerse p.ej. utilizando metodos numericos.

4.1.1 Planteo del problema

Para obtener el campo de Temperaturas nos valdremos de la ecuacion 4.1. Mencio-nemos que hay dos vıas de resolucion: i) Metodos matematicos clasicos que nos danuna solucion analıtica. ii) Metodos numericos que se basan en una discretizaciondel dominio de estudio. En lo que sigue, nos concentraremos el primer metodo.La informacion que necesitamos para que el problema sea resoluble:

Condiciones geometricas: debemos conocer formas y dimensiones del cuer-po que estudiamos ası como las zonas que tienen material con propiedadesuniformes.

Propiedades fısicas: Es necesario conocer las propiedades fısicas del materialy su variacion con la temperatura.

Condiciones Iniciales: El campo de temperaturas en el instante inicial debeser dato.

Condiciones de Contorno o Frontera: Definen la interaccion de las piezas conel entorno. En general pueden establecerse las siguientes condiciones:

a) Distribucion de Temperaturas en el contorno

b) Densidad de Flujo de calor en la Superficie de control

c) Temperatura del fluido circundante y la ley de Transmision entre el fluidoy la superficie del cuerpo

d) Temperatura del entorno y la ley de transmision de calor por radiacionentre la superficie y el entorno

e) Resistencia termica a la conduccion en la superficie de separacion entresolidos.

Estas ultimas condiciones pueden tener las siguientes expresiones matemati-casCaso a)

T (xs, ys,zs) = T1

donde el subındice s indica que son las coordenadas de la superficie frontera.

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Conduccion en regimen transitorio

Caso b)Flujo de calor nulo

∂T

∂n= 0

donde n es la normal a la superficieFlujo a traves de la superficie qs especificado

−λ∂T∂n

= qs

donde λ es la conductividad termica.Caso c)Flujo lineal: ley de NewtonAquı la condicion convectiva se expresa como

−λ∂T∂n

= α(T − T∞)

donde α es el coeficiente de conveccion y T∞ es la temperatura del fluido muyalejado de la superficie. El coeficiente de conveccion depende de distintosparametros pero en general se puede decir que para conveccion forzada elcoeficiente de conveccion es funcion del cuerpo considerado, del numero deReynolds1 y de propiedades del fluido, en tanto que para conveccion naturallo es de las propiedades del fluido, de la diferencia de temperaturas y de lageometrıa del cuerpo considerado.Caso d)La ley que gobierna este tipo de fenomenos depende de las caracterısticasdel entorno y de la superficie. Cuando la radiacion es predominante frente ala conveccion, en algunos casos se puede aplicar una ley del tipo:

−λ∂T∂n

= σ(T 4 − T 4∞)

donde σ es la constante de Stefan Boltzmann y T∞ es la temperatura delmedio circundante.Caso e)Siempre se debera verificar que

−λ1∂T1

∂n= −λ2

∂T2

∂n

1Numero adimensional Re = UL/ν, donde U es una velocidad caracterıstica del flujo, Luna longitud caracterıstica y ν la viscosidad cinematica del fluido. Mayor detalle veremos enConveccion.

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67.31 – Transferencia de Calor y Masa

donde los subındices 1 y 2 sirven para identificar cada uno de los cuerpos.Caso en que la resistencia entre ambos cuerpos es nulaSi el contacto termico es muy bueno entonces se observa que

T1s = T2s

Caso con una resistencia termicaSi la superficie de separacion tiene una pelıcula de un pobre conductor, en-tonces se puede aplicar

−λ∂T∂n

= α(T − T∞)

con

α =λ

e=

cond. de la pelic

espesor de la pelic

4.2 Tipos de problemas

En el caso que las caracterısticas del problema permitan considerar que el el campode temperatura es funcion de una unica coordenada estaremos en un caso donde elflujo de calor tiene una unica direccion y se podran en general plantear solucionesanalıticas o soluciones simplificadas. Si no es el caso solo en contadas ocasiones sepodra recurrir a ellas.

Campos de Temperaturas en Flujos de Calor Unidimensionales en cuer-pos que evolucionan hacia un equilibrio termico Consideremos ahora elcaso de un flujo unidimensional de calor en un cuerpo que se calienta o enfrıa. Enprimer lugar repasemos como se ve la ecuacion general de la conduccion del caloren diversas geometrıas:geometrıa plana (flujo segun la coordenada cartesiana x)

∂T

∂t= a

∂2T

∂x2

geometrıa cilındrica (flujo segun la coordenada radial r)

∂T

∂t=

1

r

∂

∂r

(r∂T

∂r

)geometrıa esferica (flujo segun la coordenada radial r)

∂T

∂t=

1

r2

∂

∂r

(r2∂T

∂r

)4

Conduccion en regimen transitorio

En general para resolver estas ecuaciones se hace uso de dos metodos: el metodode separacion de variables o metodos que radican en la utilizacion de temas desa-rrollados en los cursos de analisis de variables complejas.El metodo de separacion de variables se basa en la separacion de la funcion que essolucion del campo de temperaturas en dos funciones una dependiente del espacioy otra del tiempo. El producto de ambas es la funcion solucion. Es decir, para unageometrıa plana la funcion que nos da el campo de Temperaturas T (x, t) se dividede la siguiente forma:

T (x, t) = X(x)T (t)

en tanto que para geometrıas cilındricas o esfericas con flujo radial T(r,t) se dividecomo

T (r, t) = R(r)T (t)

reemplazando en la ecuacion general de la conduccion la funcion que da el campode temperaturas por el producto de las funciones separadas, se llega a otra ecuaciondiferencial. De acuerdo a las condiciones fronteras e iniciales que tiene el problema,se puede ser facilmente resoluble.La otra opcion que se suele tomar es la de utilizar la Transformada de Laplace odesarrollos en serie o integrales de Fourier. Esta opciones surgen en general paradominios infinitos o semi-infinitos donde el metodo de separacion de variables noresulta provechoso. Los fundamentos de dichos metodos han sido visto en los cursosde matematica y no entraremos en demasiados detalles a lo largo de esta clase.A partir de la resolucion de esta ecuacion obtenemos el campo de temperaturasy los flujos de calor se pueden obtener tanto en la proximidad de la superficie deseparacion como en el interior del cuerpo considerando la ley de Fourier

−→q = −λ∇T

Una vez que se obtiene el campo de temperaturas, basta con evaluar el gradienteen el punto que nos interesa y de allı surge el flujo de calor.

4.2.1 Soluciones Aproximadas: Solidos de Temperatura Uniforme

En algunos pocos casos, en lugar de evaluar el flujo de calor a partir del gradientede la temperatura, podemos hacerlo de una forma simplificada.Consideremos el caso de un cuerpo que se esta enfriando y cuya temperatura espracticamente uniforme dentro del mismo. Debido a la uniformidad de la tempera-tura, las variaciones de la energıa interna del sistema pueden expresarse entoncesa partir de la variacion de la temperatura media y no es necesario evaluar puntoa punto lo que ocurre para luego integrar en el volumen. Debido a esto, el modeloque vamos a utilizar se llama modelo del solido de temperatura uniforme o de la

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67.31 – Transferencia de Calor y Masa

capacidad termica global. La formulacion que se realiza en el busca lograr deter-minar los flujos de calor que nos interesan no a partir del conocimiento del campode temperaturas sino a partir de la aplicacion de principios de conservacion de laenergıa.Algunos casos sencillos donde se aplica este modelo: en metalurgia, para el enfria-do de un cilindro largo en aceite ; intercambio de calor de un liquido fuertementeagitado con el medio en que se encuentra. En este ultimo caso, la uniformizacionde la temperatura no se da espontaneamente si no por el hecho de la agitacion,pero a los efectos del calculo el modelo es igualmente aplicable.

Lo que planteamos para este tipo de problemas entonces es que la variacion de laenergıa interna global es igual al flujo de calor intercambiado con el medio. Si elmedio es un fluido y se puede aplicar la ley de Newton entonces para el caso deun enfriamiento:

ρV cpdT

dt= −αS(T − T∞)

aquı ρ es la densidad del cuerpo que esta a temperatura uniforme T , V es elvolumen del cuerpo, cp el calor latente a presion constante, α el coeficiente deconveccion , S la superficie de intercambio y T∞ la temperatura del medio muyalejada del cuerpo. Para resolver esta ecuacion diferencial, necesitamos condicionesiniciales que pueden ser para t = 0 T = T0.

La solucion de esta ecuacion diferencial es relativamente sencilla si se supone queel flujo de calor no modifica fuertemente la temperatura del medio circundante demanera que T∞ es independiente del tiempo (se da por ejemplo para el caso demedios con grandes dimensiones) y ademas si τ definido como

1

τ=

αS

ρV cp

es independiente de la temperatura para el rango de temperaturas en cuestion.En tal caso podemos obtener facilmente la solucion del problema que surge deresolver: ∫ T

To

dT

T − T∞= −1

τ

∫ t

0

dt

que conduce a

T − T∞T0 − T∞

= e−tτ

vemos entonces aquı que τ es una constante de tiempo.Cuando el tiempo transcu-rrido t iguala a la constante de tiempo τ la diferencia de temperatura T − T∞ ha

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Conduccion en regimen transitorio

caıdo un 36.8 % de la diferencia inicial T0−T∞ . La expresion obtenida aquı arribapuede ser reescrita bajo la siguiente forma:

ϑ = e−t∗

Donde ϑ = T−T∞T0−T∞ es un parametro adimensional que varıa entre 0 y 1, en tanto

Figura 4.1: Modelo de solido de temperatura uniforme.

que t∗ varıa entre 0 y ∞. Una curva caracterıstica se presenta en la figura 4.1.Esta curva nos muestra que cuando la diferencia de temperaturas entre el medio yel cuerpo es grande la caıda de energıa interna del cuerpo que es proporcional a lapendiente de la curva es mayor y el cuerpo entonces pierde mas calor. A medidaque la diferencia de temperaturas decrece la caıda de energıa interna es menor ylos procesos son mas lentos, necesitandose tiempos mas prolongados para que elcuerpo pierda unos pocos grados. La temperatura del medio circundante solo selograrıa teoricamente para un tiempo infinito.

Aplicabilidad de la hipotesis de temperatura uniforme Dijimos que lasuposicion que la temperatura sea uniforme deberıa ser valida cuando la resistenciainterna fuese pequena comparada con la resistencia externa. Sea L una longitudcaracterıstica del cuerpo entonces :

Resist. Int. Cond

Resist. ext≈ L/λS

1/αS=αL

λ

La magnitud αLλ

es un numero adimensional que se llama numero de Biot. En con-secuencia el modelo de solido de temperatura uniforme se corresponde con valores

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67.31 – Transferencia de Calor y Masa

bajos de este numero. Resolviendo con soluciones completas, sin simplificaciones,se determina que si Bi≺ 0,1 en cuerpos parecidos a placas, esferas o cilindros losresultados obtenidos son aceptables con el modelo.Por otra parte, si la condicion de frontera a utilizar no es la ley de Newton sinola de radiacion dada por un cuerpo negro circundante, en lugar del coeficiente deconveccion se puede utilizar

α∗ = σεT 3∞

donde ε es la emisividad del cuerpo y T∞ la temperatura del cuerpo negro circun-dante. Esto es valido si T-T∞ no es muy elevado.Para el caso del liquido agitado dentro del recipiente lo que se debe considerarcomo resistencia interna no es la resistencia a la conduccion del lıquido sino laresistencia a la conveccion interna o coeficiente de pelıcula interno, en tanto quepara la externa se debera contemplar la resistencia a la conduccion del tanque masla resistencia a la conveccion externa.

Analogıa electrica del modelo de temperatura uniforme Existe una analogıafısica entre el modelo de solido a temperatura uniforme y el de un circuito electricoRC ya que la ecuacion que rige el comportamiento del potencial electrico Φ es enese caso:

dΦ

dt= − Φ

RC

donde el producto de la resistencia R y el capacitor C da la constante de tiempo.

Considerando la constante de tiempo que nosotros defnimos como τ , cumple lamisma funcion que la constante RC se puede asociar la resistencia externa a laresistencia R y el producto ρcpV con la capacitancia C. En ese caso vemos quela funcion de almacenar energıa en un circuito que tiene un capacitor en el casotermico evidentemente lo da el equivalente que se obtiene con el producto arribacitado.

4.2.2 Soluciones Analıticas

A continuacion vamos a presentar las soluciones para algunos casos sencillos queson tomados como referentes para problemas mas complejos. Esto significa que losproblemas tal cual aquı se presentan pueden representar correctamente la realidadsi las geometrıas son simples o nos pueden permitir en casos mas complicados (porejemplo con geometrıas mas complejas) tener elementos de juicio para efectuarcomparaciones.

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Conduccion en regimen transitorio

Conduccion en un solido semi-infinito Consideremos el caso de un solidosemi-infinito en el que la conduccion es unidireccional es decir el vector flujo decalor tiene una unica direccion. Esto desde un punto de vista fısico se materializapor una gran masa (medio I) con una superficie de separacion de un medio ad-yacente (medio II) en el que las variaciones de temperatura no logran penetrar losuficiente dentro del medio I en un espesor considerable para los tiempos de interesdel problema. Estos casos ocurren en la practica por ejemplo en procesos de endu-recimiento de aceros para herramientas donde se utiliza una tecnica de templadorapido enfriando la pieza desde una temperatura elevada en un plazo muy corto.El resultado de este proceso de enfriamiento no es homogeneo en toda la pieza yel metal que esta cercano a la superficie sera mas duro que el que se encuentra encapas mas profundas. En el interior de la pieza los cambios de temperatura sonmuy lentos comparados con el tiempo que dura el proceso de templado rapido.Solo el metal que se encuentra cercano a la superficie sufre fuertes cambios y fuerade una longitud de penetracion donde los cambios se hacen sentir el templado casino tendra efecto alguno. Si las dimensiones de esta longitud de penetracion sonmuy pequenas frente a las del resto de la pieza entonces la hipotesis de analizar ala pieza como un solido semi-infinito sera aceptable.Consideremos el caso de una geometrıa plana con diferentes condiciones.Geometrıa plana. Imposicion repentina de la temperatura en la superficie

Figura 4.2: Modelo de solido semi-infinito, imposicion de temperatura en la fron-tera.

Supongamos el caso que aparece en la figura 4.2 donde la superficie de separacionrepentinamente cambia su temperatura. Las condiciones iniciales del solido sonT = T0 para todos sus puntos y para el instante inicial la superficie determinada

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67.31 – Transferencia de Calor y Masa

por x = 0 toma el valor de temperatura Ts. Entonces las condiciones iniciales delproblema son:

para t > 0 en x→∞ T = T0

para t > 0 en x = 0 T = Ts

Nos conviene reformular el problema efectuando una normalizacion de las variablesde forma tal que definimos

θ =T − T0

Ts − T0

entonces la ecuacion a resolver es

∂θ

∂t= a

∂2θ

∂x2(4.2)

con las siguientes condiciones que son equivalentes a las anteriores

para t > 0 en x = 0 θ = θ0 = 1

para t > 0 en x→∞ θ = 0

Ası planteado el problema vemos que existen tres unicas variables (θ, x, t) y que elproblema esta gobernado exclusivamente por un unico parametro θ0 que consisteen la diferencia inicial de temperaturas entre el plano limite y el resto del espacio(que por la forma en que normalizamos vale 1). Considerando los parametros θ0, ay contando a nuestra disposicion con las variables x y t solo se puede formar unasola combinacion para obtener un parametro adimensional2.

η =x√at

Entonces la funcion θ se puede expresar como

θ = θ0f (η)

donde θes funcion de la constante θ0 y de una unica variable η. La forma massencilla que puede adoptar la funcion f (η)es la forma lineal f (η) = η .Los terminos de la ecuacion 4.2 resultan:

2Recuerdese el teorema Π de analisis dimensional.

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Conduccion en regimen transitorio

∂θ

∂t=

∂θ

∂η

∂η

∂t=dθ

dη

−x2a1/2t3/2

∂θ

∂x=

∂θ

∂η

∂η

∂x=dθ

dη

1

(at)1/2

∂2θ

∂x2=

∂

∂x

(dθ

dη

1

(at)1/2

)=d2θ

dη2

1

at

Luego, la ecuacion 4.2 se expresa en terminos de diferenciales totales exactos dela siguiente forma

−2ηdθ

dη=d2θ

dη2

Las condiciones de contorno son

η →∞ para θ = 0

η = 0 para θ = θ0 = 1

Es facil ver que esta ecuacion diferencial exacta tiene como solucion la siguientefuncion

θ = 1− 1√2π

∫0

ηe−ηdη = 1− fer (η)

donde fer(η) es la funcion error que se puede ver en la figura 4.3 y en la misma

Figura 4.3: Modelo de solido semi-infinito, solucion como funcion complementoerror.

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67.31 – Transferencia de Calor y Masa

figura se observa la evolucion de la temperatura normalizada con el tiempo. Porotro lado, en la figura 4.2 se aprecia la solucion en termino de las variables iniciales(T, t, x) y se observa que a lo largo del tiempo la distribucion de temperaturas en elespacio tiende a homogeneizarse. Esta igualacion de temperaturas ocurre de formatal que cada valor de temperaturas se desplaza a la derecha a razon de

√t. Es decir

es como si existiera un frente de propagacion de las temperaturas que se desplazaa lo largo del cuerpo en el tiempo. La zona que abarca ese frente viene dada poruna longitud de penetracion ` cuyo valor es

` ≈√at

region en la cual las diferencias de temperaturas son importantes. El tiempo en queeste frente abarca a todo el cuerpo puede estimarse en funcion de la comparacionde ` con la longitud caracterıstica del cuerpo L. Ası se puede asociar un tiempode relajacion τ con una longitud de penetracion de un valor tal que iguala a lalongitud L . Este tiempo de relajacion vendra dado por

τ ≈ L2

a

Conocido la funcion que determina las temperaturas para cada posicion y en cadainstante podemos ahora conocer el valor del flujo de calor para cada instante ycada posicion , bastara para ello utilizar la ley de Fourier

−→q = −λ∇TAplicando esta ley llegamos a obtener si nos interesa por ejemplo el flujo a travesde la superficie de separacion qs

qs =λ(Ts − T0)√

πat

La solucion del problema del solido semi-infinito en otras condiciones tambien esde utilidad. Veamos en lo que sigue algunas expresiones finales sin detenernosdemasiado en la deduccion de las mismas.

Geometrıa plana. Flujo de calor en la superficie siguiendo una ley temporaldada.Si a partir de un determinado instante un solido semi-infinito que esta a unatemperatura inicial T0 se ve obligado a recibir una cantidad de calor a travesde la superficie de separacion qs que es constante a lo largo del tiempo, lascondiciones iniciales y de frontera a aplicar son:

−λdTdx x=0

= qs

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Conduccion en regimen transitorio

Figura 4.4: Modelo de solido semi-infinito, imposicion de flujo de calor en la fron-tera.

para t = 0 T = T0 en todo x > 0

Si el valor de qs es constante a lo largo del tiempo entonces la expresion quese obtiene es:

T = T0 +qsλ

((4at

π

)1/2

e−x2/(4at) − x

(1− fer

( x

4at

)))

Este caso puede representar por ejemplo la situacion de un cuerpo sometidobruscamente a la accion de una fuente radiante.

La figura 4.4 muestra la evolucion de las temperaturas a lo largo del tiempoy la posicion bajo estas condiciones.

Geometrıa plana. Condicion convectiva en la superficie de separacion.Si a partir de un determinado instante inicial el solido semi-infinito a tempe-ratura T0 entra en contacto con un fluido a temperatura T∞ y con coeficientede conveccion α, las condiciones frontera e iniciales a utilizar son

λdT

dx x=0= α(T (x=0)− T∞)

para t = 0 T = T0 en todo x > 0

La solucion a la ecuacion diferencial con estas condiciones es :

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67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Figura 4.5: Modelo de solido semi-infinito, imposicion de conveccion en la frontera.

T − T0

T∞ − T0

= ferc

(x√4at

)− e−αx/((α/λ)2αt) ferc

(x√4at

+α

λ

√at

)donde ferc es la funcion error complementaria que se relaciona con la funcionerror de la siguiente forma ferc(x) = 1− fer(x).

La figura 4.5 muestra la evolucion de las temperaturas a lo largo del tiempoy la posicion.

Para resumir existen otras condiciones que pueden ser de interes como el casode dos cuerpos semi-infinitos en contacto, el caso de una reduccion brusca de loscoeficientes de transferencia de calor de un cuerpo y otros que estan disponiblesen la bibliografıa descripta al final del capıtulo. Un caso particular sobre el quevendremos mas adelante ocurre cuando la temperatura o el calor transmitido atraves de la pared sigue una ley temporal dada. Pasemos ahora a casos donde lasdimensiones de la pieza son finitas.

4.2.3 Soluciones para un cilindro, una esfera y una placa con condicio-nes fronteras convectivas.

De manera analoga a la descripta para la geometrıa de solido semi-infinito sehan obtenido soluciones analıticas para diversas geometrıas. Las de mayor interesson las que corresponden a placas de espesor pequeno comparado con las otrasdimensiones, cilindros largos y esferas a temperatura uniforme inicial T0 en elcaso que los mismos esten recibiendo o transfiriendo calor a un fluido circundantede temperatura T∞. Las expresiones que nos dan el campo de temperaturas enfuncion del tiempo estan constituidas por un conjunto de series cuya deduccion nodaremos aquı. Analizando las distintas soluciones se puede lograr una expresiongeneralizada que sirve tanto para el caso de la placa como el cilindro y la esfera.Esta expresion es:

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Conduccion en regimen transitorio

θ =∞∑n=1

Ane−λ2nFo fn(λnη)

donde

θ =T − T∞T0 − T∞

η = x/e para la placa

η = r/R para cil. o esf.

El parametro Fo es el numero de Fourier definido por

Fo =at

L2

siendo L la longitud caracterıstica (semiespesor e para la placa y el radio R parael cil. o la esf.).Los valores de λn surgen de resolver las siguientes ecuaciones:Placa

Bi cosλ− λ senλ = 0

Cilindroλ J1(λ)−Bi J0(λ) = 0

Esfera(Bi− 1)senλ+ λ cosλ = 0

Aquı J1(λ) y J0(λ) son las funciones de Bessel de primera especie.Los valores de An y fn aparecen en la tabla 1. Donde Bi es el numero de Biotdefinido como

Bi =αL

λ

El analisis de estas series no es sencillo si no se consideran valores extremos delos numeros de Biot y de Fourier. A titulo de ejemplo se muestran en las figuras6 la forma que toman las distribuciones de temperaturas a lo largo del tiempoconsiderando algunos valores de Bi y Fo para el caso de una placa. Uno puedefacilmente imaginar la forma de estas distribuciones para esferas y cilindro si seasocia al eje de la placa con el centro de la esfera o el eje del cilindro.

Graficos de Heissler Los graficos que publico Heissler en 1947 son la represen-tacion en forma grafica de las soluciones para las geometrıas citadas y nos permitentener rapidos resultados sin efectuar los engorrosos calculos. Sin embargo es da-ble citar que la programacion de la serie no es complicada y que la importanciade estos graficos frente a las facilidades computacionales es cada vez menor. Las

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67.31 – Transferencia de Calor y Masa

soluciones evidentemente dependen exclusivamente de dos parametros que son elnumero de Biot y el de Fourier y estos graficos permiten conocer la temperaturaen cualquier punto del solido. Sin embargo se debe remarcar que fueron obtenidosa partir del primer termino de la serie y presentan las siguientes limitaciones:-No son validos para Fo<0.2-Es difıcil leerlos con precision para Fo< 1 lo cual puede traer aparejado queperdamos la mayor parte de la informacion que nos interesa.Otra serie de diagramas para casos diferentes a los de conveccion se encuentrandisponibles en algunos manuales que son citados en la bibliografıa.

Analisis dimensional

Una inspeccion de las series que nos dan los resultados para los problemas deplacas, cilindros y esferas nos muestra como dijimos aquı arriba que solamenteintervienen dos parametros en la determinacion del campo de temperaturas, elnumero de Biot y el de Fourier.Esto es de gran interes practico ya que una vez definido este conjunto de parame-tros adimensional, podemos valernos de resultados obtenidos previamente en casosdiferentes al nuestro si los parametros son coincidentes. Ası mismo si se deseanrealizar prototipos a escala reducida para efectuar medidas sobre ellos, solamentepodremos estar seguros de la validez de la extrapolacion de las medidas si modeloy prototipo son semejantes es decir guardan los mismos valores de los parametrosadimensionales.Estos dos parametros tiene significados muy claros. Por un lado el numero de Bipuede ser reordenado de la siguiente forma

Bi =αL

λ=L/λ

1/α

donde el numerador representa la resistencia interna a la conduccion y el deno-minador la resistencia externa a la conveccion. Esta relacion ya la habıamos vistoanteriormente y era la que utilizabamos para determinar la validez del modelodel solido de temperatura uniforme. Habıamos dicho que si esta relacion era bajaeste modelo era valido, entonces ahora podemos decir numeros de Bi pequenos sepueden asociar con el modelo de temperatura uniforme.El otro parametro

Fo =at

L2=`2

L2=t

τ

de acuerdo con lo que vimos para el caso de un solido semi-infinito se puede asociarcon un cociente donde el numerador representa la longitud de penetracion del frentede temperatura para un cierto instante y el denominador la longitud caracterıstica

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Conduccion en regimen transitorio

del cuerpo. Visto de otra forma tambien podemos decir que es el cociente entre eltiempo transcurrido y la constante de relajacion τ definida previamente.

4.2.4 Campos de Temperaturas en Flujos de Calor pluridimensionalesen cuerpos que evolucionan hacia un equilibrio termico

Soluciones Analıticas para sistemas pluridimensionales.

Los metodos vistos en el parrafo anterior son aplicables cuando las dimensionesson tales que permiten reducir el problema al caso unidimensional. Cuando ello noes posible la solucion debe obtenerse a partir de la consideracion multidimensionalcorrespondiente. Afortunadamente la resolucion de ecuaciones diferenciales por elmetodo de separacion de variables produce una herramienta de facil aplicacion.En lo que sigue vamos a tratar de manera analoga a lo que hicimos previamenteel caso de un solido infinito, que es el referente para el caso multidimensional yluego nos adentraremos a casos donde las geometrıas sean finitas.

Respuesta termica de un solido infinito.

El problema que vamos a estudiar consiste en la determinacion de la distribucionde temperaturas en un solido infinito. Para ello supongamos que conocemos parael instante inicial t = 0 el campo de temperaturas en todo el solido

T = T0(x, y, z) para t = 0

siendo T0 una funcion dada de las coordenadas cartesianas x, y, z.Supongamos entonces que la funcion que describe la distribucion de temperaturasen todo instante posterior a t = 0 se puede descomponer en una integral unidi-mensional de Fourier de forma tal que

T (x, y, z, t) =

∫Tk(t) eikrd3k

con r el vector posicion, yd3k = dkxdkydkz

donde los coeficientes

Tk(t) =1

(2π)3

∫T (x′, y′, z′, t)e−ikrdx′dy′dz′

Substituyendo esta expresion en la ecuacion diferencial para geometrıa plana seobtiene ∫ (

dTkdt

+ k2aTk

)eikrdk = 0

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67.31 – Transferencia de Calor y Masa

lo que conduce adTkdt

+ k2aTk = 0

de donde surge al efectuar la resolucion de esta ecuacion diferencial que

Tk = T0k e−ak2t

Substituyendo la expresion obtenida para los coeficientes en la expresion de Tsurge

T (x, y, z, t) =

∫T0k e−ak

2t eikrdk

y como para t = 0 T = T0(x, y, z)entonces resulta que los T0k son los coeficientesde la representacion de T0(x,y,z) bajo la forma de integral de Fourier

T0k =1

(2π)3

∫T0(x′, y′, z′)e−ikr

′dx′dy′dz′

finalmente reemplazando esta expresion dentro de la integral, obtenemos la expre-sion del campo de temperaturas para todo instante t, bajo la forma integral.

T (x, y, z, t) =1

(2π)3

∫ ∫T0(x′, y′, z′) e−ak

2t eik(r−r′)dx′dy′dz′dk

la integracion segun d3k, se descompone en tres integrales que tienen la forma delmismo tipo y cuyo valor es conocido∫ +∞

−∞e−kxateikx(x−x′)dkx =

√π

ate−(x−x′)2/4at

considerando esto surge entonces que

T =1

8(atπ)3/2

∫T0(x′, y′, z′) e−((x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2)/4atdx′dy′dz′

expresion que nos permite conocer el campo de temperaturas para todo instantet una vez dada la distribucion inicial. Supongamos ahora que aplicamos un pulsotermico en el instante inicial a un solido cuya temperatura inicial es nula. Laexpresion de T0 sera tal que puntualmente el valor de la temperatura alcanzaun valor infinitamente grande pero la integral

∫T0(r)dV, permanece acotada. Tal

distribucion puede ser representada bajo la forma de

T0(r) = const. δ(r)

Aplicando la expresion integral del campo de temperaturas surge que

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Conduccion en regimen transitorio

T (r, t) = const.1

8(atπ)3/2e−r2/4at

donde r es la distancia al punto situado en el origen de coordenadas. Vemosaquı que para el punto r = 0 mientras que el tiempo crece la temperatura des-ciende de su valor inicial siguiendo una ley del tipo t−3/2. Ocurre tambien que amedida que el tiempo pasa la region en la que la temperatura no es nula se extiendeprogresivamente. La forma en que se produce este crecimiento esta determinadoesencialmente por la exponencial. El orden de magnitud de esta region viene dadoal igual que para solido semi-infinito por `2/at de donde

` ∼√at

y la constante de tiempo τ = `2/a puede interpretarse como el tiempo necesa-rio para que la temperatura de un cuerpo con temperaturas no uniformemen-te distribuidas, tienda a una distribucion homogenea y uniforme. Las formulasaquı obtenidas nos indican que en un medio donde la difusividad varıa poco con latemperatura toda perturbacion termica que se aplique puntualmente se propagainstantaneamente a partir de la fuente puntual asintoticamente hacia el infinito.

Casos simples de regimen transitorio multidimensional Caso de una barrarectangular largaVamos a analizar dos problemas que representan situaciones fısicas diferentes peroque tienen elementos en comun.Consideremos inicialmente el caso de una barra rectangular de lados 2L1 y 2L2.Esta barra se encuentra inicialmente a una temperatura T0 y se sumerge en unfluido de temperatura uniforme y constante T∞. La ecuacion diferencial correspon-diente sera considerando la adimensionalizacion de la temperatura θ = T−T∞

T0−T∞ yal problema como bidimensional:

∂2θ

∂x2+∂2θ

∂z2=

1

a

∂θ

∂t

que debera ser resuelto con las siguientes condiciones de borde:

en t = 0 θ = 0 en toda la barra

en las sup . lat. x = L1 y z = L2 − λ∇θ = αθ

en el eje de la barra por razones de simetrıa

∂θ

∂x=∂θ

∂z= 0

19

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Consideremos ahora otro problema: el caso de dos placas de espesores 2L1 y 2L2.Estas placas se encuentran inicialmente a una temperatura T0 y se sumergen en unfluido que esta a temperatura T∞. El problema de una placa es un problema uni-dimensional pero lo traemos aquı porque de el surgen elementos que nos ayudaranen el analisis del problema bidimensional de la placa inicialmente propuesto.En este ultimo problema considerando las siguientes adimensionalizaciones de lastemperaturas T1 y T2 de ambas placas

θ1 =T1 − T∞T0 − T∞

, θ2 =T2 − T∞T0 − T∞

las ecuaciones diferenciales que regiran el problema seran respectivamente

∂2θ1

∂x2=

1

a

∂θ1

∂t

∂2θ2

∂z2=

1

a

∂θ2

∂t

con las siguientes condiciones de borde :

en t = 0 θ1 = θ2 = 0 en ambas placas

en las sup . lat. x = L1 y z = L2 − λ∇θi = αθi i = 1, 2

en el plano medio de las placas por razones de simetrıa

∂θ1

∂x=∂θ2

∂z= 0

A continuacion vamos a ver que el producto de las soluciones unidimensionales dela placa satisface el problema original de la barra y entonces nos podremos valer delas soluciones obtenidas para flujos unidimensionales para algunos casos parecidosa este. Lo que formulamos es que la solucion del problema bidimensional de labarra es de la forma:

θ(t, x, z) = θ1(t, x)θ2(t, z)

y vamos a tratar de mostrar que estas θ1 y θ2 coinciden con la solucion del problemaunidimensional para placas.A partir de la separacion de variables asi planteadas la ecuacion diferencial deflujos bidimensionales queda escrita de la siguiente forma:

θ2∂2θ1

∂x2+ θ1

∂2θ2

∂z2=

1

a

(θ2∂θ1

∂t+ θ1

∂θ2

∂t

)de donde

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Conduccion en regimen transitorio

Figura 4.6: Superposicion de formas (Mills, pag .)

θ2

(∂2θ1

∂x2− 1

a

∂θ1

∂t

)= θ1

(∂2θ2

∂z2− 1

a

∂θ2

∂t

)esta expresion se satisface si ambos parentesis se anulan simultaneamente. Siendoθ1 y θ2 soluciones de las ecuaciones diferenciales de la placa esto ocurre siempre porlo que la solucion podra expresarse como enunciamos. En cuanto a las condicionesde borde es facilmente demostrable que la separacion de variables planteada noslleva a las condiciones de borde que hemos enunciado para los problemas unidi-mensionales y lo dejamos para que ustedes practiquen un poco en casa.

Procediendo de una forma similar a la que hemos realizado para obtener la solucionpara el caso de la barra a partir de casos conocidos puede generalizarse a otrasgeometrıas bi y tridimensionales a partir de resultados obtenidos para problemasunidimensionales.

Las precauciones que deben tenerse en cuenta son que estos procedimientos dejande ser validos si:

-La temperatura inicial del cuerpo no es uniforme

-La temperatura del fluido no es igual en todas las caras o si los coeficientes de

21

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

conveccion difieren fuertemente.-No se trata de un problema con condiciones de contorno lineales.

4.2.5 Campos de Temperaturas y Flujos de Calor en Cuerpos someti-dos a variaciones periodicas de Temperatura

Vamos analizar ahora el caso en que los problemas tienen una dependencia tempo-ral dada por una condicion en la frontera que tiene un caracter cıclico. Aquı vamosa analizar el caso de un solido semi-infinito por ser el caso de referencia y noslimitaremos a este ya que los casos donde el problema escapa a esta condicion sonde una resolucion analıtica un tanto mas complicada .

Figura 4.7: Condicion de temperatura cıclica

Solido semi-infinito sometido a una temperatura cıclica en la sup. deseparacion. Sea el problema que se presenta en la figura 4.7. En el solido semi-infinito la temperatura de la pared x = 0 sigue una ley del tipo

T (0, t) = Tm + ∆T e−iωt

Resulta previsible a priori que la distribucion de temperaturas a lo largo del solidosemi-infinito tendra tambien una periodicidad dada por e−iωt. Sin embargo parasaber cual es la forma de la distribucion es necesario resolver la ecuacion diferencialunidimensional. Al realizar esto obtenemos la siguiente expresion

T (x, t) = Tm + ∆T e−x√ω/2aei(x

√ω/2a−ωt)

Vemos entonces que de acuerdo al primer termino la temperatura media Tm penetraen todos los puntos del solido independientemente de la frecuencia. Superpuesta

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Conduccion en regimen transitorio

con esta temperatura media tenemos el segundo termino es el que determina ladistribucion espacio temporal de las temperaturas a partir de la amplitud ∆Tde las oscilaciones de la temperatura en la superficie. Las dos exponenciales quemultiplican a esta amplitud nos indican el decaimiento de la amplitud (dado porla primera exponencial) y el desfasaje que existen entre la temperatura entre elpunto considerado y la superficie(surge con la segunda exponencial). Considerandola primer exponencial se puede determinar una longitud de penetracion de lasfluctuaciones. Esta longitud vendra dada por

L ∼√

2a/ω

expresion que nos muestra que frecuencias elevadas traen aparejado longitudes depenetracion de fluctuaciones pequenas, en tanto que para frecuencias bajas lasfluctuaciones pueden ser seguidas por una mayor region del solido. En cuanto aldesfasaje, el mismo viene dado por

x/√

2a/ω

y dependera obviamente de la posicion relativa del punto considerado con respectoa esta longitud de penetracion.

Geometrıa plana. Flujo de calor en la superficie siguiendo una ley tem-poral dada. Si a partir de un determinado instante un solido semi-infinito queesta a una temperatura inicial T0 se ve obligado a recibir una cantidad de calora traves de la superficie de separacion qs que evoluciona a lo largo del tiemposiguiendo una ley dada, las condiciones iniciales y de frontera a aplicar son:

−λdTdx x=0

= qs(t)

para t = 0 T = T0 en todo x > 0

La expresion que se obtiene es

T − T0 =1

a

∫ t

−∞

√a

π(t− τ)qs(τ)e−x2/4a(t−τ) dτ

Si aplicamos una funcion pulso

qs(t) = const.∂(t)

la solucion que se obtiene es

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67.31 – Transferencia de Calor y Masa

T (x, t) = const.1

(atπ)1/2e−x2/4at

expresion que se utiliza para determinar la difusividad de una sustancia a partirde la aplicacion de un pulso laser aplicado a una muestra de delgado espesor,midiendo el retardo entre el disparo del pulso y la llegada del frente a la otra carade la muestra.

4.2.6 Problemas con contorno en movimiento

Cuando estuvimos hablando de las condiciones que se aplican en la frontera deun problema dado nos limitamos a los casos en que no habıa cambio de estado dealguno de los materiales que formaban parte del dominio en estudio del problemaen cuestion. Ahora bien, ocurre que hay un conjunto de problemas de la ingenierıaen que esto ocurre y entonces las condiciones de contorno del problema varıan en suposicion con respecto a una terna fija. Supongamos ası el caso de la solidificacionde un material en un molde, el crecimiento de una burbuja de vapor en el seno deun liquido , etc. Las condiciones que hay que aplicar en ese caso se pueden expresarde la siguiente forma

λ1∇T1 = λ2∇T2+.m h

donde.m representa la masa que cambia de estado por unidad de superficie en la

interfaz y h la entalpıa del cambio de estado.

Consideremos entonces el caso de la solidificacion de una sustancia fundida. Seaun lıquido que inicialmente se encuentra a su temperatura de solidificacion Ts queesta contenido en un recipiente de forma tal que las dimensiones segun las coor-denadas x e y sean mucho mayores que segun la coordenada z. Las paredes delrecipiente se encuentran a la temperatura Ts pero una de ellas la que ocupa laposicion z = 0 toma repentinamente en el instante inicial la temperatura Ti < Tsla cual se mantendra constante a lo largo del tiempo. El frente de solidificacionascendera segun la direccion z y el objetivo es saber como varıa a lo largo del tiem-po este frente. Por simplicidad consideremos que la superficie tiene dimensionesunitarias y comencemos por adimensionalizar las temperaturas de la forma usualllamando

θ =T − TiTs − Ti

En el solido considerando que las propiedades del material no cambian fuertementepara el rango de temperaturas en cuestion se puede aplicar la ec. unidimensional

∂θ

∂t= a

∂2θ

∂x2

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Conduccion en regimen transitorio

con las siguientes condiciones iniciales y de frontera

t = 0 θ = 1

z = 0 θ = 0

z = s θ = 1

Como la temperatura dentro del lıquido es la de cambio de faz no hay gradientede temperaturas entonces si el lıquido no presenta fenomenos convectivos la ley enla interfase es

0 = λ2∇T+.m r

donde.m representa. la masa que se solidifica por unidad de tiempo y unidad de

superficie y r el calor latente de solidificacion.La velocidad del frente de solidificacion viene dada por

v =ds

dt= −

.m

ρ

sustituyendo en la ec. de la interfase tenemos

0 = λ2(Ts− Ti)∂θ∂z− ρrv

Resolviendo la ecuacion diferencial con estas condiciones se llega a

θ =ΨeΨ2

herf(z/√

4at)

c(Ts− Ti)donde Ψ se determina a partir de

ΨeΨ2

erf(Ψ) =c(Ts− Ti)√

πr= f(Ja)

donde Ja = c(Ts−T i)h

es el numero de Jakob que caracteriza la transferencia demasa durante el cambio de faz (donde c es el calor especıfico a presion constante).Asımismo se puede demostrar que la velocidad del frente

v =ds

dt= Ψ

√a/t

Si la variacion de la temperatura dentro del solido es lineal (lo que se correspondecon Ja bajos, Ja << 1) conforme a la ley

dθ

dz= 1/s

se obtiene que

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67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Ψ =√Ja/2

y quev =

√a/t√Ja/2

reemplazando en la ecuacion del frente obtenemos luego de integrar con respectoal tiempo tenemos que

s2 = 2at Ja

ecuacion que los metalurgicos llaman de crecimiento parabolico. Esta solucionrepresenta correctamente el caso cuasiestacionario donde los procesos transitoriosson muy lentos.Como conclusion vale la pena senalar que si bien la expresion que determina lavelocidad del frente de solidificacion fue obtenida considerando un problema uni-dimensional sencillo el resultado de la proporcionalidad de la velocidad con

√a/t

se puede aplicar a otras geometrıas y a situaciones mas complejas.

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