Indice general

8. Condensacion 38.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

8.1.1. Repaso de termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.1.2. Principios de la condensacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

8.2. Condensacion en pelıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58.2.1. Regimen laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58.2.2. Solucion analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98.2.3. Analisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108.2.4. Limitaciones de la teorıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108.2.5. Otras geometrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128.2.6. Transicion y turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

8.3. Condensacion en gotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138.3.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

2

8 Condensacion

8.1 Introduccion

8.1.1 Repaso de termodinamica

Recordemos el diagrama de estado de un fluido real como muestra la figura 8.1

Figura 8.1: Diagramas de estado.

8.1.2 Principios de la condensacion

Buscaremos dar una descripcion cualitativa del fenomeno de condensacion de unapared. Establecer los factores que intervienen sobre la determinacion del calortransferido durante la condensacion de un vapor puro en distintas geometrıas. Lamasa que condensa y los espesores de film del condensado son las cantidades glo-bales que se buscan determinar en la practica. a partir de estas bases se debe podercomprender y prever fenomenos que ocurren en: a) Condensadores para recoleccionde agua potable. ; b) Condensacion en plantas desalinizadoras; c) Condensacion

3

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

T(◦C) presion VS densidad VS

-10 2,15 2,360 4,58 4,855 6,54 6,810 9,21 9,411 9,84 10,0112 10,52 10,6613 11,23 11,3514 11,99 12,0715 12,79 12,8320 17,54 17,325 23,76 2330 31,8 30,437 47,07 4440 55,3 51,160 149,4 130,580 355,1 293,895 634 50596 658 52397 682 54198 707 56099 733 579100 760 598101 788 618110 1074,6120 1489200 11659 7840

Presion de vapor saturado para un rango de tem-peraturas.

Figura 8.2: Propiedades del vapor saturado.

en intercambiadores de calor; d) Condensadores de Turbinas de Vapor. La conden-sacion aparece en un intercambiador de calor cuando un flujo de vapor se exponea una pared que lo enfrıa hasta que su temperatura es inferior a la temperaturade saturacion del vapor (Ts). Si el vapor es puro, la temperatura de saturacioncorresponde a su presion total. Si es una mezcla (pej vapor de agua en aire), latemperatura corresponde a la presion parcial del vapor. Por ejemplo, el aire alnivel del mar saturado con vapor de agua a 20◦C, tiene una presion parcial de 23mbar.

Podemos distinguir dos modos posibles de condensacion: en pelıcula, si la paredse humedece uniformemente y en gotas cuando la pared no alcanza a cubrirse uni-formemente de condensado. la condensacion en gotas es el estado que precede ala condensacion en pelıcula y se caracteriza por tener muy altos coeficientes detransferencia (hasta 10 veces mayores). Las gotas pueden ser evacuadas, por lagravedad y reemplazadas, o bien se puede producir coalescencia, que conduce a laformacion de una pelıcula. El factor principal que determina la forma de condensares el mojado de la superficie. El efecto de mojado esta relacionado con la accionde la tension superficial. La tension superficial distorsiona la superficie del lıquidoen el punto en el que estan en contacto la superficie de condensador, y el vapor de

4

Condensacion

mismo como muestra la figura 8.3:Aparecen entonces tensiones asociadas a la interaccion entre las fases solido lıqui-

Figura 8.3: Determinacion del angulo de contacto.

do (σwl), solido gas[o vapor](σwg) y lıquido vapor (σlg). El estado de equilibrioesta determinado por la ecuacion:

σwg = σwl + σlg cos(θ) (8.1)

cos(θ) = (σwg − σwl)/σlg (8.2)

La condicion de mojado se da para θ < 90◦. La condensacion en gotas se produ-cira si θ > 90◦, y para ello es necesario que la superficie del condensador (o elvapor) tenga agregados que produzcan el no mojado.Al impedirse la formacion de pelıculas, se evita una barrera importante en la trans-mision del calor y ası se explican los altos coeficientes de transferencia. Sin embargo,las condiciones necesarias para su mantenimiento son de difıcil materializacion anivel industrial por lo que centraremos nuestro analisis sobre la condensacion enpelıcula que desarrollaremos a continuacion.

8.2 Condensacion en pelıcula

La condensacion se trata de un problema donde aparecen dos fases: el vapor yel lıquido como muestra el esquema. de la figura 8.4. Como sucede en el proble-ma de Conveccion, existiran distintos regımenes de acuerdo a la evolucion de losparametros del problema, aunque destaquemos que intervendra en la ecuacion dela energıa un termino que dara cuenta del cambio de fase. Para ello, definiremosnumeros adimensionales que nos ayudaran a caracterizarlos.

8.2.1 Regimen laminar

Las hipotesis para el estudio del problema son:

5

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Figura 8.4: Condensacion en pelıcula.

Las fuerzas de inercia que aparecen en la pelıcula de condensado son despre-ciables comparadas con las viscosas y gravitatorias.

El calor transmitido por conveccion y el transmitido en la direccion x sondespreciables frente al calor transmitido por conduccion en la direccion y.

No hay friccion en la interfase vapor-lıquido (y = δ).

La superficie externa de la pelıcula esta a una temperatura constante igual ala de saturacion del vapor, y la variacion de temperatura dentro de la pelıculaes lineal.

Las propiedades fısicas del condensado son independientes de la temperatura.

La tension superficial en la superficie de la pelıcula no afecta a la naturalezadel flujo.

Las ecuaciones a resolver son las mismas que presentamos en Conveccion, podemosresumir:

6

Condensacion

a. La ecuacion de conservacion de cantidad de movimiento.

ρ∂u

∂t+ (u grad )u = ρfv +

grad p

ρ+ ν∇2u (8.3)

b. La ecuacion de conservacion de la energıa (estacionaria).

ρCpu · ∇T = σ′ik∂ui∂xk− div (λ∇T ) (8.4)

La ecuacion para la coordenada vertical (x) es:

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ g + ν

∂2u

∂y2(8.5)

Las condiciones de borde corresponden a u(y = 0) = 0 no deslizamiento ; v(y =

0) = 0 pared impermeable y∂u

∂y

∣∣∣∣y=δ

= 0 tension de corte nula en la interfase.

La ecuacion de conservacion de cantidad de movimiento:

∂u

∂x+ v

∂u

∂y=

(1− ρg

ρf

)g + ν

∂2u

∂y2(8.6)

pues el gradiente de presion∂p

∂x= ρgg se expresa en terminos de una fuerza de flo-

tacion. Por otra parte, el flujo laminar permite despreciar los terminos convectivosde la ecuacion:

����

���*

term.convec = 0

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y=

(1− ρg

ρf

)g + ν

∂2u

∂y2(8.7)

Resulta u = u(y, δ), donde δ = δ(x) es el espesor de capa lımite local.

d2u

dy2=

(1− ρg

ρf

)g

ν(8.8)

Ecuacion a la que llega Nusselt en 1916.Consideremos a continuacion el planteo de la ecuacion de conservacion de laenergıa:

ρCpu · ∇T = σ′ik∂ui∂xk− div (λ∇T ) (8.9)

Nuevamente, cancelamos los terminos convectivos. Si despreciamos ademas el apor-te de calor a partir de la friccion interna, frente al flujo de calor:

((((((ρCpu · ∇T =

����

σ′ik∂ui∂xk− div (λ∇T ) (8.10)

7

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Resulta la ecuacion de Laplace para conduccion.

∇2T = 0 (8.11)

Con condiciones de borde

T (y = 0) = Tw y T (y = δ) = Ts

Se obtiene:

u =(ρf − ρg)gδ2

2µ

[2(yδ

)−(yδ

)2]

(8.12)

T = Tw + (Ts − Tw)y

δ(8.13)

Para determinar δ, recurrimos a una relacion para el caudal:

m =

∫ δ

0

ρfudy =ρf (ρf − ρg)

3µgδ3 (8.14)

Figura 8.5: Condensacion en pelıcula: Flujo masico y balance energetico.

8

Condensacion

Si despreciamos el aporte del calor sensible al flujo de calor total, la expresion delflujo en terminos de la variacion del caudal masico:

|q| = k∂T

∂y

∣∣∣∣y=0

= k(Ts − Tw

δ) = hfg

dm

dx(8.15)

Sustituyendo m,

k(Ts − Tw

δ) =

hfgρf (ρf − ρg)µ

gδ2 dδ

dx(8.16)

8.2.2 Solucion analıtica

δ =

[4k(Ts − Tw)µx

ρf (ρf − ρg)ghfg

]1/4

(8.17)

Debido a las fuertes hipotesis, Nusselt y mas tarde Rohsenow sugirieron corregirhfg con el parametro adimensional Ja.El coeficiente de transferencia h para condensacion se define segun:

h ≡ q

Ts − Tw=

1

Ts − Tw

[k(Ts − Tw)

δ

]=k

δ(8.18)

Nux =hx

k=x

δ

Nux = 0,707

[ρf (ρf − ρg)gh′fgx3

µk(Ts − Tw)

]1/4

(8.19)

La solucion analıtica es valida en algunos casos. Para determinar los lımites dela validez, podemos escribir la funcion para h y los parametros completos delproblema:

h = F(Cp, ρf , k, hfg, g(ρf − ρg), µ, (Ts − Tw), x) (8.20)

Considerando las dimensiones (Joule [calor], m, kg, s, ◦C) y las 9 variables, surgen4 numeros adimensionales:

Π1 = Nux =hx

kΠ2 = Pr ≡ ν

a(8.21)

Π3 = Ja ≡=Cp(Ts − Tw)

hfgΠ4 =

ρf (ρf − ρg)ghfgx3

µk(Ts − Tw)(8.22)

Ası aparece el numero de Jakob Ja que compara el calor sensible maximo absorbidorespecto del calor latente absorbido. El cuarto numero, multiplicado por Ja puedeser entendido como un numero de Rayleigh para la pelıcula de condensado.

9

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

8.2.3 Analisis dimensional

Luego,

Nux = F(ρf (ρf − ρg)ghfgx3

µk(Ts − Tw), P r, Ja

)(8.23)

NuD

Π4 =ρf (ρf − ρg)ghfgD3

µk(Ts − Tw)

Figura 8.6: Correlacion de datos de Dhir para condensacion laminar en pelıcula,para esferas de cobre en vapor de agua. Se fija Pr, y se evalua en un rango deΠ4 y Ja, con propiedades evaluadas en (Ts + Tw)/2. En linea solida, una solucionanalıtica.

8.2.4 Limitaciones de la teorıa

Recuperando el resultado:

Nux = 0,707

[ρf (ρf − ρg)gh′fgx3

µk(Ts − Tw)

]1/4

sabemos queNux = F (Π4, P r, Ja)

10

Condensacion

Π4 es la variable dominante mientras Pr no influye al despreciar los terminosconvectivos en la ecuacion de energıa, y Ja se usa en la correccion del valor delcalor latente.Sparrow y Gregg(1959)(figura 8.7) estudiaron la influencia de Pr y el grado deaproximacion al representar el aporte de las variaciones con el numero de Jakob,Ja, mediante h′fg. Funciona razonablemente en lıquidos no metales1 Sadasivan y

Nux

( Π4 4

) 1/4=

Nux

0,7

07

[ ρ f(ρf−ρg)gh′ fgx3

µk(T

s−Tw

)

] 1/4

Ja = Cp∆T/hfg(a) Influencia de Pr sobre la transferencia de calor

T−Tw

Ts−Tx

y/δ

(b) Perfil de temperaturas en el condensado.

Figura 8.7: Ajustes sobre el modelo de Nusselt, Sparrow y Gregg (1959).

Lienhard(1987) produjeron una correlacion para la correccion del calor latente:

h′fg = hfg[1 + (0,683− 0,228/Pr)Ja] (8.24)

1Recordemos Pr = ν/a, cuando la difusion termica es mas importante que la difusion viscosa,en metales, Pr � 1.

11

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Por otra parte, podemos extender el resultado de Nusselt a la longitud de la placavertical:

h =1

L

∫ L

0

h(x)dx =4

3h(L)

Entonces:

NuL = 0,9428

[ρf (ρf − ρg)gh′fgL3

µk(Ts − Tw)

]1/4

(8.25)

8.2.5 Otras geometrıas

Dhir y Lienhard(1971) determinaron una expresion que permite adaptar la solucionde Nusselt:

geff =x(gR)4/3∫ x

0g1/3R4/3dx

(8.26)

donde x es la distancia a lo largo de la pelıcula, g = g(x) la componente dela gravedad proyectada sobre x, y R es el radio de curvatura a lo largo del ejevertical.En geometrıas donde R es fijo, puede simplificarse la expresion:

geff =xg4/3∫ x

0g1/3dx

(8.27)

Puede ası extenderse el resultado a otras geometrıas: a) Cilindro vertical ; b) Ci-lindro horizontal ; c) Esfera ; d) Cono vertical ; e) Disco horizontal rotatorio.

8.2.6 Transicion y turbulencia

La aparicion de inestabilidades hidrodinamicas determinaran un cambio cualitativodel comportamiento. Definiremos un numero de Re. Para ello, una forma mas usualde designar al caudal por unidad de ancho de pelıcula.

Γc = ρf

∫ δ

0

udy

Γc =ρf (ρf − ρg)

3µgδ3 (8.28)

Se define Re en terminos de Γc:

Rec =Γcµ

=ρf (ρf − ρg)

3µ2gδ3

12

Condensacion

Rec determina la aparicion de la inestabilidad del film. 2 A partir de Rec ' 7aparecen ondulaciones (o ripples). Rec > 400 corresponde al desarrollo de unapelıcula turbulenta.Gregorig et al.(1974) mostraron la evolucion de NuL con Rec. Los datos empıricosde la pelıcula turbulenta se podran resumir a partir de correlaciones. (vease Mills,Lienhard, etc.)

Figura 8.8: Evolucion de NuL con Rec.

8.3 Condensacion en gotas

8.3.1 Generalidades

La condensacion en gotas sucede cuando el condensado no moja la superficie de lapared, y aparecen entonces gotas individuales de condensado sobre la misma.Las gotas se forman abruptamente para luego crecer lentamente en tamano. La for-macion se produce a partir de la ruptura espontanea de una muy fina capa de con-densado. A medida que la pelıcula se forma y crece nuevamente, esta podra unirsea las gotas por coalescencia o bien producir nuevas gotas sobre la pared. Medianteeste mecanismo, las gotas crecen hasta un tamano que les permite rodar por lassuperficie bajo la accion de la gravedad.La pelıcula de condensado que permanece entre las gotas tiene espesores tıpicosdel orden del µm (vapor a 1 atm), inferior al espesor de condensacion en pelıcula.Espesores delgados producen resistencias termicas bajas, lo cual explica los altosvalores del coeficiente de transferencia de calor en condensacion en gotas.

2Analogamente a Capa Lım. en Mec.Fluidos

13

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

A pesar del caracter no estacionario del proceso de formacion y evacuacion de lasgotas, sus caracterısticas pueden ser promediadas a la hora de definir parametroscaracterısticos.De Termodinamica, se sabe que la presion de vapor saturado de equilibrio sobreuna superficie convexa es mayor que cuando la superficie es plana. La condensacionde vapor sobre una gota esferica de radio R sera posible solo si excede un valorcrıtico R > Rcr. El radio crıtico se determina por la ecuacion de Thompson3:

Rcr =2σTs

hfgρf (Ts − Tsg)(8.29)

donde σ es la tension superficial, Ts es la temperatura de saturacion a la presiondel vapor y Tsg el valor de la temperatura en la superficie de la gota . Se desprendeque si se tienen grandes ∆T de subenfriado, respecto de la temperatura de satu-racion, se pueden conseguir que progresen gotas de menor tamano para una dadapresion de vapor. Si R −→∞ (superficie plana), Tsg −→ Ts en el lımite (se suponeque no hay salto de temperatura en la interfase).Sobre la interfase curvilınea de la gota actua una presion adicional debida a latension superficial acuerdo a la ecuacion de Laplace pf = pg + 2σ

R. Si la tension su-

perficial varıa, aparece un movimiento asociado. En efecto, si la tension superficialcambia de un punto a otro, sobre la superficie del lıquido actuara, ademas de lapresion dirigida normalmente, una fuerza suplementaria dirigida tangencialmente.Los cambios de tension superficial se producen, por ejemplo, debido a variacionesen la temperatura y en la curvatura de la interfase, por la presencia de un gradien-te de concentracion de sustancias activas en la superficie o por accion de fuerzasvolumetricas (cargas electricas variables) sobre la superficie del lıquido. Con elaumento de la temperatura del lıquido se produce una reduccion de σ. Con unatemperatura superficial variable, el movimiento en la direccion de las temperaturasdecrecientes puede, por consiguiente, originarse en la capa capilar. Esta clase demovimiento se llama termocapilar.La fuerza inductora del movimiento termocapilar pt se determina de la forma si-guiente:

pt = ∇σ =∂σ

∂Tsg∇Tsg (8.30)

Si llamamos ξ al coeficiente de variacion de la tension superficial con respecto a latemperatura:

ξ =1

σ

∂σ

∂Treescribimos:

pt = ξσ∇Tsg (8.31)

3Una justificacion detallada de este resultado se encuentra en la clase de Ebullicion.

14

Condensacion

Figura 8.9: Esquema de la for-macion de una gota a partir deun capilar. El cambio de la pre-sion interna del lıquido conte-nido produce variaciones de lageometrıa de la superficie libre

La figura 8.9 presenta el esquema de un capilar delıquido en la superficie donde se produce la con-densacion. Se observa que el lıquido es adsorbido(fijacion superficial) sobre las paredes del capilar.La adsorcion progresa y luego la columna de lıqui-do crece dentro del capilar. El hueco se completay se forma una gota que podra ser desprendida obien se unira al resto y se producira condensacionen pelıcula. A lo largo de este proceso, la tempe-ratura varıa en la superficie del lıquido, y con ellola tension superficial y el radio de curvatura de lainterfase. De la relacion de Laplace tambien obser-vamos que la presion en el lıquido varıa acompanando al proceso. La figura 8.10muestra la acumulacion de lıquido desde la adsorcion a la pared. El cambio de lageometrıa tal como se observa en la figura 8.9 se describe como una relacion entrela presion dentro del lıquido y la cantidad depositada. Durante la condensacioncapilar, la presion no cambia al no variar el angulo entre la superficie y el lıquido.El achatamiento del menisco del capilar, que se produce al finalizar el llenado delcapilar, es acompanado por un aumento de la presion interna necesaria para esta-blecer la geometrıa. Dado que el proceso se repite por toda la superficie, teniendocomo puntos de partida a poros de distinto tamano, el cambio de comportamientose da a distintas presiones (efecto detallado en la figura 8.10 con lınea punteada).Por ultimo, si las gotas coalescen, se forma la pelıcula de condensacion a presionconstante. Si la pelıcula se desestabiliza, el proceso puede recomenzar.

Figura 8.10: Evolucion de la condensacion sobre una superficie. La lınea punteadarepresenta la evolucion de todos los nucleos de condensacion de la superficie.

15