CONCURSO DE MATEMáTICAS CARL FRIEDRICH … Concurso tuvo tanta aceptación entre los participantes...
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CONCURSO DE MATEMÁTICAS CARL FRIEDRICH GAUSS Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se le revela a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella. Carl Friedrich Gauss GUÍA DE ESTUDIO NIVEL SECUNDARIA Y NIVEL MEDIO SUPERIOR 2017 www.concursogauss.org
Transcript of CONCURSO DE MATEMáTICAS CARL FRIEDRICH … Concurso tuvo tanta aceptación entre los participantes...
CONCURSO DE MATEMÁTICAS CARL
FRIEDRICH GAUSS
Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se le
revela a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella.
Carl Friedrich Gauss
GUÍA DE ESTUDIO
NIVEL SECUNDARIA
Y
NIVEL MEDIO SUPERIOR
2017 www.concursogauss.org
GUÍA DE ESTUDIO
SECUNDARIA
NIVEL MEDIO SUPERIOR
2017
Editado por
ENRIQUE BARRERA HERRRERA
NOÉ JONHATAN GÓMEZ HERNÁNDEZ
INTRODUCCIÓN
En 2015 Educativa C – Cúbica S.S.A. (C3) llevó a cabo el Primer Concurso de
Matemáticas Carl Friedrich GAU55 en el estado de Morelos, Con el objetivo de
generar, interés, amor y pasión por las matemáticas, en jóvenes de secundaria y
preparatoria, así como incrementar los índices de aprovechamiento a nivel:
estatal, nacional e internacional.
El Concurso tuvo tanta aceptación entre los participantes y profesores. Que
actualmente se organiza el Tercer Concurso de Matemáticas Carl Friedrich
GAU55 con la participación de 7 estados: Puebla, Estado de México, Ciudad de
México, Tlaxcala, Guerrero, Chihuahua y Morelos.
En el Concurso pueden participar:
Escuelas privadas, publicas, asociaciones o inscripciones individuales (no
hay límite de inscritos).
Alumnos de secundaria y preparatoria sin importar el grado en que se
encuentren cursando.
El Concurso se divide en dos etapas:
Etapa Estatal: Se lleva a cabo el sábado 18 de noviembre, de manera
simultánea en los 7 estados, la cual consiste de aplicar un examen de 25
reactivos de opción múltiple, de esta etapa, es responsabilidad de cada
delegado, realizar de manera libre el número necesario de filtros para
obtener a su delegación.
Etapa Nacional: Se llevará a cabo el 20 y 21 de enero del 2018 en el
Estado de Morelos.
El concurso se realiza en base a los programas vigentes de estudio de secundaria
y preparatoria.
En el caso de la fase estatal, son problemas estilo planea, tanto para secundaria y
preparatoria, para el caso de la fase nacional son estilo pisa para secundaria y
para preparatoria es de tipo planea, ceneval (exani – II para el ingreso a la
universidad) y para aquellas escuelas que aplican el examen Domina - cde
(Domina las competencias disciplinares extendidas).
BIOGRAFÍA
Carl Friedrich Gauss
Desde su infancia, en el seno de una familia humilde, Carl Friedrich demostró una
habilidad sorprendente con los números.
Fue recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela
primaria, quien le proporcionó asistencia financiera en sus estudios secundarios y
universitarios.
Estudió en la Universidad de Gotinga (1795-1798), dando su tesis doctoral en
1799, donde probó rigurosamente el Teorema Fundamental del Álgebra.
En 1823 publica un libro dedicado a la estadística, concretamente a la distribución
normal cuya curva característica, denominada como "Campana de Gauss", es
muy usada.
Su fama como matemático creció considerablemente en 1831, cuando fue capaz
de predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide "Ceres", para lo
cual empleó el método de los mínimos cuadrados, desarrollado por él mismo en
1794.
En 1807 aceptó el puesto de profesor de astronomía en el Observatorio de
Gotinga, cargo en el que permaneció toda su vida.
Carl Friedrich Gauss contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la
teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el
magnetismo y la óptica.
PRESENTACIÓN
El siguiente cuadernillo se crea con la finalidad de que sirva para el profesor como
una guía en el salón de clase o como orientación para que los alumnos se
preparen para participar en el Concurso de Matemáticas Carl Friedrich GAU55.
Se anexa la respuesta correcta a cada problema, más no su procedimiento,
sabemos que cada quien es libre de elegir la solución más favorable y creativa
que lleve a cabo.
Esta publicación es anual. Por lo que invitamos a todos los lectores a enviar
problemas inéditos de nivel secundaria y preparatoria con su solución, al correo
[email protected], los cuales serán incluidos en futuras guías,
cuadernillos o libros.
Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar.
HYPATIA
SEDES
MORELOS Delegado: Gullit Marco Rodríguez Tijera Co-delegado: Héctor Luna Pérez ESCUELA EL PEÑÓN San Josemaría Escriva S/N, Ex Hacienda de Montefalco, 62930 Jonacatepec, Morelos. Tel: (735) 355 03 43 ext. 113 Coordinador de sede: Alberto Mazatl Domínguez Domínguez Director General: José E. Hernández Guzmán COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE MORELOS PLANTEL 02 Par vial no. 3, col. Atlacomulco, Jiutepec, Morelos. Tel: (777).315.49.59 Coordinador de sede: Ing. David Domínguez Garduño Dir tor Lic. Marco Polo Cisneros Paredes ESCUELA PRIMARIA BENITO JUÁREZ Calle Matamoros No 28, Barrio La Santísima Tepoztlán, Morelos. C.P 62520 Director: Jorge Villanueva Sosa Correo: [email protected] PUEBLA Delegado: Armando Hernández Hernández Co-delegado: Roberto Carlos Blanco Silva COLEGIO BENAVENTE SECUNDARIA. Av.5 de Mayo N.401 Acatzingo Puebla. Colonia Centro. Tel: 2494240175 Correo: [email protected]
ESTADO DE MÉXICO Delegado: Mario Alberto Ayala Galindo Co-Delegado: Fernando Chávez León ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL NUM. 99 Dirección: Calle Santa Teresa S/N, Col. Villa de las Flores, C.P 55710 Coacalco de Berriozabal, Estado de México Teléfono: 01 55 5875 8833 mail: [email protected] COLEGIO EURO TEXCOCO Av. Chamizal S/N, La Trinidad, 56170 Texcoco de Mora, Estado de México Correo: [email protected] Teléfono: 01 595 955 5074 ESCUELA PREPARATORIA REGIONAL DE ZUMPANGO, A.C. Dirección: Km. 11.5 Carr. Los Reyes Acozac-Zumpango Bo. San Lorenzo. Zumpango C.P. 55660 Estado de México. Teléfono: 01 (591) 917 1844 Correo: [email protected] COLEGIO PANAMERICANO Dirección: Privada de Crisantemos 3 Fracc. La Paz, Texcoco Edo de México C.P. 56170 Tel 01 595 9551385, 01 595 9554606 [email protected] ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL NUM. 110 "Profr. Alfredo Ramírez Sánchez” Dirección: Cda. de Rio Panuco casi esq. Av. Pino s/n Col. La Presa Tulpetlac, Ecatepec, Estado de México C.P. 55509 Teléfono (55) 51 26 29 88, (55) 51 26 61 30 mail: [email protected] CIUDAD DE MÉXICO Delegado: Miguel Díaz Valadez Co-Delegado: Juan Arturo de la Rosa PREPARATORIA JUSTO SIERRA, PLANTEL ARAGÓN Av. San Juan de Aragón No. 333 Col. Granjas Modernas
C.P. 07460 Gustavo A. Madero Ciudad de México GUERRERO Delegado: Ernestino Alemán Mejía Co-Delegado: Jorge Alberto Laurel Gómez COLEGIO MÉXICO DE CHILPANCINGO A.C de C.V. Andrés Figueroa Esq. Aurora Elizundia Chilpancingo de los Bravo Guerrero Tel: 7474715009 Correo electrónico: [email protected] Responsable directo: Profra. Judith Macías López COLEGIO ZIHUATANEJO Av. Los Hujes s/n Esq. ret-1-a Col. Hujal Zihuatanejo Guerrero Teléfono: 755 112 19 67 Correo: [email protected] Responsable: M.C. Jorge Alberto Laurel Gómez TLAXCALA Delegado: Sergio Bello Vázquez Co-delegado: Roger Ramos Ramos ESCUELA SECUNDARIA TÉCNICA NO 1 “Xicohténcatl Axayacatzin” Calle 1, La Loma Xicohtencatl, Xicohténcatl, 90000 Tlaxcala de Xicohténcatl, Tlax. (Cerca de la central camionera y lugar de entrenamientos)
FASE ESTATAL
NIVEL SECUNDARIA
1. ¿Cuál es el numerador de la fracción con denominador 3 que ocupa la
misma posición que ̅ en la recta numérica?
2. ¿Qué número le corresponde a “b” en la recta numérica?
3. Tres personas compraron un boleto de lotería en $60 y ganaron un premio
de 1.5 millones de pesos. Si el reparto se hizo proporcionalmente y a una le
toco medio millón de pesos. ¿Cuánto aportó dicha persona?
4. Complementa: La intersección de las mediatrices de un triángulo se
encuentra en el punto medio de uno de los lados cuando el triángulo es
5. Una fórmula para pr parar una m z la di lo sigui nt “En un matraz
mezcle
de L de la solución A y 0.1 L de alcohol etílico. Complete la mezcla
on agua d stilada hasta 1 L”. ¿Cuántos litros s n sitan d agua destilada?
6. Amando tiene un terrero de . Desea dividirlo en lotes de .
¿Cuántos lotes de esta dimensión tendrá?
7. En un avión viajan 120 personas, de las cuales la tercera parte son
mujeres, el 60% son hombres y el resto son niños. ¿Qué porcentaje del
total de pasajeros son niños?
8. Se traza la siguiente recta y se le pregunta a Enrique que diga entre qué
letras de encuentra ubicado el punto 1.65.
9. Sergio fue a la tiendita de la esquina a comprar medio cuarto de queso. ¿Cuántos gramos de queso le dieron a Sergio?
10. Dos albañiles construyen una barda en 8 días, ¿cuántos albañiles se necesitan contratar de más para construir la barda en exactamente 2 días?
11. ¿Cuál es el resultado de sumar 82 centésimos con 82 milésimos?
12. Encuentra el área de la región sombreada. Considera que .
13. Jorge tiene
litros de agua de horchata y quiere llenar vasos de una
capacidad de
de litro. ¿Cuántos vasos de agua se pueden llenar?
14. En relación con el ejercicio anterior. ¿Cuántos mililitros de agua de horchata
sobra?
15. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro de la
siguiente figura?
16. El valor numérico de cada cuadrado es igual a la suma de los dos de abajo.
Encuentra el valor numérico que le corresponde al cuadro coloreado.
17. Se sabe que en un teatro hay 1 120 butacas dispuestas de forma tal que el
número de filas es igual al número de columnas más tres. ¿Cuántas filas y
columnas de butacas tiene el teatro?
18. El largo de una pintura mide
de su ancho. Si el área que ocupa es de
, ¿Cuáles con las dimensiones de la pintura?
19. En la siguiente figura que se muestra la vista superior de una casa con
forma cuadrada. Las áreas del estacionamiento y el jardín se muestran en
color amarillo y verde, respectivamente; cada una tiene una superficie de
. Si la superficie de la casa, sin contar el jardín y el estacionamiento,
es de , ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?
20. En la clase de arte de Jonhatan quieren hacer una réplica de la Gioconda,
también conocida como la Mona Lisa, la famosa obra de Leonardo da Vinci.
Si las medidas de la pintura original son 77 cm x 53 cm, y en la réplica el
lado menor debe medir 70 cm, ¿cuánto tendrá que medir el lado mayor
para que la réplica no presente distorsión?
21. El sol proyecta sobre un árbol una sombra de 4 m, si la estatura de Héctor
es de 1.7 m y su sombra proyectada en ese mismo instante es de 2 m.
¿Cuál es la altura del árbol?
22. ¿Cuánto mide el ángulo que se muestra en la siguiente figura?
23. La figura A muestra un vaso graduado que contiene 3 gotas de colorante
azul completamente disuelto en la cantidad de agua que se indica. El vaso
de la figura B contiene agua pura en la cantidad que se muestra. ¿Qué
cantidad de colorante azul se requiere disolver en el vaso dela figura B para
que el agua tenga la misma tonalidad que la del vaso de la figura A
24. Completa la tabla que muestra distintos arreglos hechos con canicas de colores: ¿Cuál es la expresión algebraica que relaciona el número de canicas de cada figura con cada etapa?
25. En relación al ejercicio anterior. ¿Cuántas canicas habrá en la etapa 50?
26. Encuentra el valor del ángulo que se muestra en la siguiente figura:
27. Encuentra la altura del árbol que se muestra en la figura:
28. En cierta época del año, en la ciudad de Cuernavaca se raciona el agua por
falta de lluvias. El director del sistema hidráulico municipal ha decidido
abastecer cada casa sólo tres días a la semana. Por tal motivo, la familia de
Jonathan deja abierta la llave de la cisterna, en esos días, para que se
llene. La gráfica muestra la cantidad de agua que llega por minuto, a la
casa de Jonathan: el eje horizontal corresponde al tiempo y el eje vertical a
la cantidad de agua. Si la cisterna tiene una capacidad de 1200 L. ¿Cuánto
tiempo tarda en llenarse?
29. Complementa: Si dos triángulos rectángulos tienen las medidas de dos de
sus lados correspondientes iguales, entonces son __________
30. El profesor Enrique observo el mes de septiembre de su calendario 2014, y
eligió cuatro números, en la forma como lo muestra la imagen (no
necesariamente esos), se dio cuenta que la suma de ellos es 80. ¿Cuál es
el menor número de entre los cuatro números que eligió?
31. El corazón en condiciones normales, late aproximadamente 72 veces por minuto. Expresa como una función el número de veces que late el corazón n “x” minutos.
32. ¿Cuál es el resultado de expresado en notación
científica?
33. Expresa el área del rectángulo con un polinomio.
Septiembre 14
L M M J V S D
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30
34. Gullit tiene 21 años y su padre 52. ¿En cuántos años la edad de Gullit será
la mitad que la de su padre?
35. Dos automóviles parten al mismo tiempo de un punto en la misma
dirección. Si la velocidad de uno es de 85 km/h y la del otro es 100 km/h.
¿En cuántas horas se encontraran a una distancia de 105 km uno de otro?
36. Si a un número se le suma su cuadrado, se obtiene 6. ¿De qué número se trata?
37. Jonathan y Oliver poseen una colección de 40 discos entre los dos. Si
Oliver le diera 4 a Jonathan, ambos quedarían con el mismo número de
discos. ¿Cuántos tiene cada uno?
38. En la terminal de autobuses de la ciudad de México, cada 24 minutos sales
autobuses a la ciudad de Puebla, cada 40 minutos a la ciudad de Tlaxcala y
cada 30 minutos a la ciudad de Cuernavaca. Si a las 11:00 am sales
autobuses hacia los tres destinos, ¿a qué hora volverán a coincidir las
salidas?
39. Encuentra el valor del ángulo indicado en la siguiente figura:
40. Se utilizan 6 cubitos de lado uno para formar el siguiente sólido. Encuentra
la distancia a la que se encuentra el vértice A del B.
√
41. Encuentra el área sombreada en el siguiente cubo de lado 1 cm.
√
42. Encuentra el valor del ángulo que se muestra en la siguiente figura:
43. ¿De cuántas maneras de pueden acomodar 5 personas en una fila de 5
silla?
44. En el grupo de segundo de secundaria de Elisa tiene menos de 100 alumnos. Si los escolares forman tres filas, falta uno para igualar todas las hileras, si integran cuatro filas, también falta uno; si le alinean en cinco filas, sucede lo mismo. ¿Cuántos alumnos hay en el grupo?
45. Miguel obtuvo las siguientes calificaciones en 4 de 5 materias 9, 10, 6, 8.
¿Cuánto tiene que sacar en la quinta materia para poder alcanzar un
promedio de 8.2?
46. En la siguiente tabla se muestran las calificaciones que se obtuvo de un
xam n d mat máti as d l grupo d 2 “A”. ¿Qué valor r pr s nta la moda
de las calificaciones?
Calificación Número de Alumnos
10 5
9 10
8 8
7 6
6 4
5 2
47. ¿Cuánto mide los ángulos del triángulo isósceles ABC?
48. Si lanzo una moneda y un dado al mismo tiempo, ¿Cuál es la probabilidad
de obtener un número primo seguido de un sol?
49. En una urna se encuentran 5 bolas rojas, 2 negras y 3 verdes. ¿Cuál es la
probabilidad de que al sacar una bola al azar se obtenga una bola verde?
50. ¿Cuál es el número total de posibles resultados que se podrían obtener al
lanzar un dado y una moneda?
FASE ESTATAL
NIVEL MEDIO SUPERIOR
1. Encuentra el valor numérico de
2. Héctor tiene un cierto número de canicas, lo único que se sabe es que
son
rojas,
son blancas y 8 son verdes. ¿Cuántas canicas tiene Héctor?
3. Sabemos que en una fiesta infantil
de los invitados son adultos y el resto
niños. Entre los adultos,
son señores, si en la fiesta hay 40 señoras.
¿Cuántos invitados asistieron en total a la fiesta?
4. ¿Cuál es el resultado de la operación ?
5. Resuelve la siguiente operación entre números mixtos:
6. Simplifica la siguiente operación utilizando un solo radical: √ √
√
7. Encuentra el valor numérico de √
√
√
8. ¿Cuál es el resultado de la operación
?
9. Desarrolla
10. Simplifica [ { [ ] }]
11. Preguntado un hombre por su edad, responde: Si al doble de mi edad se
quitan 17 años se tendrá lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué edad
tiene el hombre?
12. La diferencia de dos números es 36. Si el mayor se disminuye en 12 se
tiene el cuádruplo del menor. Hallar los números
13. Hace 14 años la edad del Padre era el triple de la edad de su hijo y ahora
es el doble. Hallar las edades actuales.
14. Simplificar
15. Simplificar
16. Resuelve
17. Resolver el sistema {
18. Resolver el sistema {
19. Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es
, y si a los dos términos se resta 1, el valor de la fracción es
. Hallar la
fracción.
20. Simplifica √ √ √
√
21. Racionaliza √
√
√
22. Encuentra el valor de (√
)
23. Resuelva la desigualdad
]
24. Reduce la expresión
25. Encuentra el valor de la altura del siguiente triángulo:
√
26. Encuentra el área de la región sombreada en la siguiente figura:
27. Encuentre que tipo de triángulo es el formado por los puntos
.
28. Demostrar que los tres puntos siguientes son colineales:
√ √ √
29. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de coordenadas
.
30. Hallar el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto
31. Divide al segmento ̅̅ ̅̅ , dado por y en la razón
32. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos
de coordenadas
33. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro y que pase por el
punto .
34. Hallar el valor del parámetro K en la ecuación de forma
que dicha recta forme con los ejes coordenados un triángulo de área 27
unidades de superficie.
35. Hallar un punto de la recta que equidista de los puntos
.
36. Hallar la distancia entre la recta y el punto .
37. Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola
38. Hallar la ecuación de la parábola de vértice y foco
39. Encuentra los vértices de la elipse cuya ecuación
40. Hallar la ecuación de la elipse de centro , uno de los vértices en
y excentricidad
.
41. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje real sobre el
j d oord nadas “y“, longitud d l lado r to 36 y distan ia ntr los fo os
igual a 24.
42. Encuentra el dominio de la función √
] [
43. Sea dada por
. Encuentra la inversa de la
función .
44. Sea
. Realiza
45. Encuentra el siguiente límite:
46. Encuentra le siguiente límite: √
47. Encuentra el siguiente límite:
48. Deriva la siguiente función:
49. Deriva la siguiente función:
50. Realiza la derivada implícita de
FASE NACIONAL
NIVEL SECUNDARIA
1. El diagrama muestra un octágono regular. ¿Cuánto mide el ángulo indicado por x?
2. La figura muestra los tres primeros diagramas de una secuencia. Si no se
toma en cuenta el hueco negro central, ¿cuántos cuadrados hacen falta para construir el décimo diagrama de la secuencia?
3. Un triángulo equilátero tiene igual perímetro que un cuadrado. Si el área del cuadrado es 36m2, ¿cuánto mide el lado del triángulo?
4. En la figura, ABCDE es un pentágono regular que tiene adosados exteriormente un cuadrado BFGC y un triángulo equilátero CHD. Halle la
medida del ángulo ∠CHG.
5. Al estadio asistieron 75 600 personas a un partido de Pumas contra América. Si de cada 18 hombres adultos había 2 niños y de cada 6 niños había 3 mujeres adultas. ¿Cuántos niños asistieron?
6. Calcula el área del hexágono irregular sabiendo que el lado de cada cuadrito es de 1cm.
7. Ernestino puede duplicar una llave en 1 minuto; Sergio lo hace en 3 min. Si trabajan juntos, ¿Qué tiempo les tomará duplicar 40 llaves?
8. La parte que falta para finalizar el siglo es un veinticuatroavo de lo que ha transcurrido. ¿En qué año se planteó el problema?
9. Tengo la mitad de un recipiente de
de Litro de agua, si se vierte el agua
en un vaso de medio litro. ¿Qué porción del recipiente se llena?
10. El área de un cuadrado es de , y en cada vértice se traza una circunferencia de 3 cm de radio, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el
área de la región sombreada? (Considera )
11. En u ntra l valor d l ángulo “x” qu s mu stra n la sigui nt figura
12. Un barril está lleno de agua. Lo vacías a la mitad y después le añades un litro de agua. Después de hacer esta operación (vaciar la mitad de lo que hay y añadir un litro) cinco veces seguidas, te quedan 3 litros de agua en el barril. ¿Cuántos litros de agua había en el barril inicialmente?
13. La suma de los números de dos cuadraditos consecutivos (horizontalmente) es igual al número del cuadradito que está arriba de ellos, por ejemplo,
. Si la suma de los números en la fila inferior es 17, ¿cuál es el valor de ?
14. Encuentra la dieciseisava parte de
15. ¿Cuál es el polígono regular que cumple que su número de diagonales es igual a su número de lados?
17. Una llav d agua “A” ll na un tina o n
de hora, y otra llav “B” ll na l
mismo tinaco en
de hora. ¿En cuántos minutos llenarán el tinaco las dos
llaves juntas?
18. En una reunión hay 5 personas, entre ellas se encuentra Enrique y su esposa. ¿De cuántas maneras se pueden sentar en una fila de tal forma que Enrique quede junto a su esposa?
19. El día lunes Sergio presentó tres exámenes obteniendo un promedio de 8.5 y el día martes presentó dos exámenes obteniendo un promedio de 9.2. ¿Cuál es el promedio de los 5 exámenes que presentó Sergio?
20. En una granja hay 19 animales entre borregos y gallinas, si en total se contaron 62 patas. ¿Cuántos borregos y gallinas hay en la granja?
21. Realiza
22. Miguel tiene una pista de carreras con dos autos. El primer auto le da una
vuelta completa a la pista en 36 segundos y el segundo lo hace en 15 segundos. Juan también tiene su pista de carreras con dos autos, pero el primero da una vuelta completa en 36 segundos y el segundo en 42 segundos. Como Juan siempre pierde cuando juegan, propone a Miguel que el ganador sea quien tenga en su pista sus dos autos situados en la meta al mismo tiempo. ¿Quién ganará?
23. ¿Cuál es el resultado de ?
24. ¿Cuál es el resultado de ?
25. Se tiene un kilogramo de una mezcla de cacahuate y garbanzo, del tal forma que el 20% son cacahuates. ¿Cuántos gramos de cacahuates hay que agregar para que la cantidad de cacahuates sea el 60% de la mezcla total?
26. Hace dos meses el profesor Héctor recibió un aumento de 20% de su sueldo. Si ahora su sueldo es de $5 760.00. ¿Cuánto ganaba antes el profesor Héctor?
27. Se tiene un lazo de 1m de longitud, con la tercera parte se construye un circulo y con lo que resta un cuadrado. ¿Cuál es la razón entre el área del cuadrado y el área de círculo?
28. En un salón de clases el 70% de los alumnos son hombres. Si el 25% de las mujeres faltan, solo se cuentan 18 mujeres, ¿Cuántos alumnos tiene el salón?
29. Roberto seleccionó un número, lo dividió entre 7, al resultado le sumó 7 y a la suma la multiplicó por 7. Si así obtuvo el número 777, ¿qué número seleccionó inicialmente?
30. Encuentra el valor de √ √ √ √
√
31. En un cuadrado de lado 1, los puntos A y B se muestran sobre sobre los
lados del cuadrado, determinando así dos segmentos .
¿Cuánto debe valer para que el área de la zona sombreada sea la
mitad del área del cuadrado?
32. El triángulo equilátero de la figura está dividido por tres rectas paralelas a sus lados en siete regiones. Tres de ellas son triángulos equiláteros de lado 5 y el triángulo central, también es equilátero, tiene lado 2. ¿Cuál es la longitud del lado del triángulo inicial?
33. Los tres cuadrados son iguales de lado 1 cm, A y B son puntos medios de los lados respectivos. ¿Cuánto vale el área de la región sombreada?
34. Realiza la siguiente operación:
35. Luis está escalando una montaña, si ya subió tres quintas partes de lo que
le falta por llegar. ¿Qué parte de la montaña ha escalado Luis?
36. Encuentra el valor del ángulo que se muestra en la siguiente figura.
Considera el punto C como el centro de la circunferencia.
37. En un bosque mágico existe un conejo que da tres saltos en un segundo y
en cada salto avanza
de metro. También existe un zorro que cuando corre
da dos saltos en 1 segundo, y en cada salto avanza
de metro:
¿Quién recorre más distancia en un segundo?
38. ¿Cuál es la diferencia de distancia que recorren los dos animales en un
segundo?
39. ¿En qué tiempo recorrerá el conejo 135 m?
40. Si se hiciera una carrera entre el conejo y el zorro, cuando el conejo haya
recorrido 135 metros. ¿A qué distancia del conejo se encontrará el zorro?
41. En una carrera entre el conejo y el zorro se lleva a cabo en una pista de 2700 m, con la condición de que el zorro reciba una pequeña ventaja de 200 m. ¿Quién gana la carrera?
42. En un ciber café la renta de la computadora está en una tarifa inicial de
$5.00 y por cada 30 minutos o fracción que transcurra se le cobra al usuario
la cantidad de $3.00. Armando llega al ciber y toma una computadora a la
5:30 pm y sale a los 8:00 pm. ¿Cuánto pagará por la renta de la
computadora?
43. Encuentra una expresión que represente el costo de la renta de la computadora con relación al tiempo de una persona.
44. Ahora expresa el tiempo en relación con el costo.
45. Si una persona pagó $25.00, ¿Cuánto tiempo estuvo trabajando en la
computadora?
46. En cierto día una computadora fue utilizada por tres personas, obteniendo
$27.00 pesos por la renta. ¿Cuál es el tiempo máximo en la que una de las
tres personas utilizó la computadora?
47. Oscar y Armando son pintores profesionales, sólo que Oscar es más rápido
que Armando. En un cierto día tenían planeado pintar una barda de 5 metros
de largo por 3 metros de alto: Si sabemos que Armando pintó
de lo que
pintó Oscar. ¿Qué parte de la barda pintó cada uno?
48. Si Armando cobró $600.00 por su trabajo. ¿Cuánto cobró Oscar sabiendo
que el reparto fue proporcional?
49. Si por cada se gasta 0.600 L de pintura. ¿Cuánta pintura más que
Armando gastó Oscar?
50. Si la barda fuera medio metro más alta y un metro más larga, entonces el tiempo estimado para pintarla es de 7 horas, ¿En qué tiempo se pintó la barda original?
FASE NACIONAL
NIVEL MEDIO SUPERIOR
1. Gullit tiene 2 L de agua azucarada al 20 % de azúcar. ¿Cuánta agua tendrá que agregar para reducir su concentración de azúcar al 12 %?
2. ¿Cuál es la fracción que equivalente al número decimal periódico ̅̅̅̅ ?
3. Encuentra el valor de la siguiente suma
4. ¿Cuántos cifras tiene el desarrollo de ?
5. Un rectángulo tiene una altura 3 veces la longitud de su base. Si se
incrementa la base en 3 cm y la altura en 5 cm entonces el área es de
. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
6. En la casa de Enrique hay un tanque de almacenamiento de agua potable
de 2 400 L. El tanque tiene dos tuberías que lo llenan en 10 y 12 horas
respectivamente. La tubería de desagüe lo puede vaciar en 20 horas. Si las
tres tuberías se abren simultáneamente y luego se cierran cuando el
tanque se llena. ¿Cuántos litros salieron por la tubería de desagüe?
7. La edad de Jonhatan es la mitad de la edad de su Papá, hace 18 años la edad de Jonhatan era una cuarta parte de la de su Papá. ¿Cuál es la edad actual de Jonhatan?
8. En una circunferencia de radio se encuentra inscrito un trapecio isósceles
como se muestra en la siguiente figura. Encuentra el área del trapecio.
√
9. Una circunferencia se encuentra inscrita en un cuadrado cuyo lado
mide √ . Otra circunferencia es tangente a y al cuadrado, como se
muestra la siguiente figura. Encuentra cuánto mide el radio de .
√
10. Consideremos el polinomio cuadrático con la condición de
que . Sabemos que las raíces del polinomio son
y para algún número real positivo . Encuentra el valor de .
11. Encuentra el valor de la siguiente fracción continua
√
12. En una reunión el 60% de las personas son hombres de los cuales el 20%
son menores de edad. Entre las mujeres el 25% son menores de edad. Si
sabemos que en total hay 44 personas menores de edad. ¿Cuántas
personas hay en la reunión?
13. Una manguera de tipo A llena un estanque en 30 minutos, otra de tipo B lo
hace en 15 minutos y una última de tipo C lo hace en 10 minutos. Suponga
que las tres mangueras se utilizan al mismo tiempo para llenar el estanque.
¿En qué tiempo lo harán?
14. En un cierto instante dos automóviles se encuentran separados por 1 000 m
en un pista recta como se muestra en la figura, el auto 1 viaja a 110 km/h y
el auto 2 a 100 km/h. ¿A qué distancia desde el punto de referencia se
produce el encuentro de los dos autos?
15. Un recipiente de forma de cono invertido como se muestra en la figura, se
le invierte agua hasta un cierto nivel. Oliver como es muy curioso, mide el
diámetro de la circunferencia que forma el nivel del agua. Observa que ese
diámetro es de 8 cm. Encuentra la profundidad que tiene el agua.
√
16. Si . Encuentra el valor de
17. Encuentra la factorización del siguiente trinomio:
18. Dos circunferencias de radio se intersectan de forma que una pasa por el
centro de la otra. Encuentra el área de la región sombreada.
(
√
)
19. ¿Qué polígono cumple con la condición de que el número de diagonales
sea el doble que el número de lados?
20. Dos circunferencias de radio se intersectan de forma que una pasa por el
centro de la otra. Se traza un triángulo como se muestra en la siguiente
figura. ¿Cuál es el área del triángulo?
√
21. La rueda de mi bicicleta se encuentra tocando la parte superior de un block
que tiene una altura de 10 cm. La distancia entre la base del block y el
punto donde la rueda toca el suelo es de 20 cm (Ver figura). Encuentra el
radio de la rueda de mi bicicleta.
22. Encuentra una expresión para la siguiente suma ∑
∑
23. Encuentra el valor exacto de
√ √
24. Si
. Encuentra el valor de
25. Héctor se encuentra a 200 m de la base se una torre, ve la cima de la torre
con un ángulo de elevación . Después se acerca a solo 50 m de la base
de la torre y ve la cima con un ángulo de elevación de (Ver figura).
Encuentra la altura de la torre.
√
26. Encuentra todas las soluciones en [ a la siguiente ecuación trigonométrica
27. Encuentra el valor de
28. En u ntra l valor d “x” n la sigui nt figura
29. Si no tiene raíces reales, ¿cuántas raíces reales tiene
( )?
30. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación ?
31. ¿Cuál es el valor de
(√ )?
32. Resolver
33. ¿Para qué valores de x es verdadero
√
34. Encuentra las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola
.
35. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
y cuyo centro está situado en la recta
36. Desde la cima de un edificio de 50 metros de altura se patea un balón que
alcanza una altura máxima de 70 metros medido desde el suelo y esto
ocurre a 20 metros de la base del edificio. ¿Cuál es el alcance del balón?
(Ver la figura)
√
37. La Tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol que se
encuentra en uno de los focos. Sabiendo que el semieje mayor de la elipse
vale y que la excentricidad es, aproximadamente
, hallar
la máxima y la mínima distancia de la Tierra al Sol.
38. Hallar la altura de un punto de un arco parabólico de 18 metros de altura y
24 metros de base, situado a una distancia de 8 metros del centro del arco.
(Ver la figura)
39. Hallar la longitud de la altura trazada desde al lado del triángulo
cuyos vértices son:
√
40. Encuentra la ecuación de la recta tangente y normal a la curva
en el punto .
41. Dada la función
a. Puntos críticos
b. Intervalos donde la función es decreciente y decreciente.
c. Máximos y mínimos
(
) (
)
(
) (
)
42. Determinar la concavidad y convexidad de la función
(
) (
)
43. Se quiere construir un recipiente cilíndrico metálico de base circular y de 64
centímetros cúbicos de volumen. Hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de metal (área total) sea mínima, en el caso en que (a) el recipiente sea abierto y (b) sea cerrado.
√
√
√
44. Hallar las dimensiones del rectángulo del área máxima que se puede
inscribir en la porción de parábola limitada por la recta .
45. Un objeto de 5 metros de altura se encuentra justamente debajo de un foco
de luz de la calle situado a 20 metros de altura. Suponiendo que el objeto
se mueve a una velocidad de ⁄ , calcular la variación de la longitud de la
sombra en la unidad de tiempo.
⁄
46. De un recipiente cónico de 3 metros de radio y 10 de profundidad sale
agua a razón de 4 metros cúbicos por minuto. Hallar la variación, con
respecto al tiempo, de la altura de la superficie libre y del radio de ésta
cuando la profundidad del agua es de 6 metros.
47. Realiza la integral ∫
√
( √ )
48. Realiza la integral ∫
(
)
49. Realiza la integral ∫
√ ( √ )
(
( √ ) )
50. Realiza la integral por el método de integración por partes: ∫
AGRADECIMIENTOS
Agradecemos a todos nuestros:
Patrocinadores
Dependencias Gubernamentales
Delegados
Co-delegados
Entrenadores
Ex olímpicos
Sedes
Coordinadores Regionales
Coordinadores de sede
Directivos
Participantes Muchas gracias, sin ustedes, nada de esto hubiera sido posible.
COMITÉ ORGANIZADOR DEL CONCURSO DE MATEMÁTICAS CARL FRIEDRICH GAUSS
NOÉ JONHATAN GÓMEZ HERNÁNDEZ
Presidente
ENRIQUE BARRERA HERRERA Coordinador Nacional
OLIVER CAMARENA LÓPEZ Director de Enlace y Vinculación
ERNESTINO ALEMÁN MEJÍA Delegado Estado de Guerrero
JORGE ALBERTO LAUREL GÓMEZ Co-Delegado Estado de Guerrero
GULLIT MARCO RODRÍGUEZ TIJERA Delegado Estado de Morelos
HÉCTOR LUNA PÉREZ Co-Delegado Estado de Morelos
MIGUEL DÍAZ VALADEZ Delegado Ciudad de México
JUAN ARTURO DE LA ROSA Co-Delegado Ciudad de México
MARIO ALBERTO AYALA GALINDO Delegado Estado de México
FERNANDO CHÁVEZ LEÓN Co-Delegado Estado de México
SERGIO BELLO VÁZQUEZ Delegado Estado de Tlaxcala.
ROGER RAMOS RAMOS Co-Delegado Estado de Tlaxcala
AMANDO HERNÁNDEZ HERNÁNDEZ Delegado Estado de Puebla
ROBERTO CARLOS CAMPO SILVA Co-Delegado Estado de Puebla
"Llegar juntos es el principio, mantenerse juntos es el progreso, trabajar juntos es el
éxito."
Henry Ford
