PROGRAMACION IPROGRAMACION IMaterial Educativo registrado por UNITECMaterial Educativo registrado por UNITEC PPARCIAL ARCIAL IICAPITULO 1CAPITULO 1El Captulo 1 presenta nicamente aquellos conceptosyterminologaselementalesde lalgicamatemticarequeridasenlos captulos siguientes.CLASE # 2ELEMENTOS DE LOGICA MATEMATICA Proposicionesnaproposicinesunasentenciadelacualtienesentido!a"lardesu #eracidad o $alsedad.Esunaase#eracinenlacuala$irmamosonegamosalgoqueo"ienes #erdadero o "ien es $also% pero no am"as cosas.p:Las computadoras se programanV q:!" # $Caracteristicas&1.Se representa con una letra minscula% y dos puntos2.Se coloca #alor de #erdad ' ( o ) * %Va&or de Verdad'+tros e,emplos podran ser&r: La semana no tiene (# d)asV$ s:#noesunn*meroparCLASE # 2Las siguientes $rases u oraciones no son proposiciones& + De qu, co&or es tu camisa- es unaoracin interrogati#a . /u, &indo dia 0ace 0o1 . oracin e-clamati#a y una apreciacin su",eti#a Por 2a3or4 sume e& primer n*mero con e& *&timo5oracinimperati#a66666666666 es mi 0ermano5 est incompletaProposiciones a7iertasSon proposiciones que inc&u1en una 3aria7&e dentro de &a e8presi9n5.'-* :La moneda de Japn es el XElespacioen"lancolollamamos#aria"leylopodemosrepresentarporuna letra '-% y% /% etc.*.Siomitimoslapala"ra0en%segnalconceptoinicial%noserauna proposicin%porlocualesnecesariollenarelespacioen"lanco%paraquele podamos asignar un #alor de #erdad.El conjunto de todos estos elementos que al colocarse uno de ellos en el espacio en "lancooquepuedesustituira1enlaproposicina"ierta%ylatras$ormaen proposicin 'que puede ser V o F*% se denominaConjuntosolucin(CS):Locon$ormanaquelloselementos deque !acen que la proposicin sea #erdadera.CS 2 Universo de discurso de la variable% para nuestro e,emploes3 2 4.eso% Euro% Lempira% 5lar% 0en% ....64 yen 6CLASE # 2E,emplos&1. p'-*& La unidad monetaria de 7onduras es el 8%para - 2 Lempira&2.q'y* & El1 es la moneda de 8apn%.ara y 2 0en&9.r'/* & : es un nmero mayor que 2: .ara / 2 12&para 12 euro.'euro*& $q'0en* &Vr'12* & $p'lempira*&La unidad monetaria de 7onduras es elLempira VLa unidad monetaria de 7onduras es el euroEl yen en es la moneda de 8apn12 es un nmero mayor que 2: CLASE # 2(5OPE;ADO;ES LOGICOS < TA=LAS DE VE;DAD La Negaci9nSi tenemos la proposicin p: La semana tiene > d)as ' *% podemos%apartirdeella%construirunanue#aproposicinnegandosu contenido% as& ? ? p4 que se &eeria: La semana no tiene > d)as '* "ien Estasnue#asproposiciones'queseconsideranequi#alentesentresi*%se denominan la negaci9n de p% que representamos por ;p'que se lee < no p=*. 0sipes#erdadera%sunegacines$alsa>y#ice#ersa%sipes$alsa%;pes #erdadera. Esta situacin la representamos en la siguiente ta"la% que llamamos una tabla de verdad% en donde consideramos todas las posi"les com"inaciones de #alores de #erdad para p y ;p.V $$No es cierto que &a semana tenga > d)as '*CLASE # 2p ?p( )) (?a"la de #erdad de la negacin& E,emplos&p& ?egucigalpa est en 7onduras ' *;p&q& 2 @2 A 4()r&.ars no est en Alemania ( )V))((?egucigalpano est en 7onduras '*~q:2+2=4( )Pars est en Alemania

~ r:)(Negacin de la Negacin)CLASE # 2Considerando el e,emplo anterior% diseBaremos una ta"la de equi#alencias de negacin para sm"olos matemticos&C DE FF ED CA2Equi#alenciaSm"olo2E,emplo 1& p'-*& 2 @ 9 G -C 1: E,emplo 2& q'-% y*&- F y ; p'-*&; q'-%y*&2 @ 9 G -@ 1:- A yACLASE # 2OPE;ADO;ES LOGICOSConBunci9n5adas las proposiciones p y q% se $orma una nue#a proposicin uniHndolas por medio de la con,uncin< y =% asi& p I q se lee p y q5adas las proposiciones p& Estamos enaBo 2:1Jyq& Estamos en la clase de matemticas 5etermine el #alor de #erdad dep I q&p q p C q( ( (( ) )) ( )) ) )CLASE # 2Estamos en aBo 2:1J I Estamos en la clase de matemticas ( I ) sando la Ta7&a de Verdad&LaconBunci9nso&amente es3erdaderasi&asdos %proposiciones'son 3erdaderas5( ( (Setra"a,aen$ormade tringulo in#ertido)( ) )pIq&p q p 3 q( ( (( ) () ( () ) )La dis1unci9n so&amente es2a&sasiam7asson 2a&sasCLASE # 2Dis1unci9n5adas las proposiciones p y q% se $orma una nue#a proposicin uniHndolas por medio de la disyuncin 9p3qyse lee p 9 qp # q &Estamos en aBo 2:1J# Estamos en la clase de matemticas (# ) sando la ?a"la de (erdad&) ) ) VE,emplo& 5adas las proposiciones p& Estamos en aBo 2:1J q& Estamos en la clase de matemticas%determine el #alor de #erdad dep#q&( ) (Ta7&a de 3erdadKesume todos las posi"les #ariantes% y ayuda a determinar #alores de #erdad.Lecesitamos o"tener la siguiente in$ormacin para !acer la ta"la.1. Lmero de reglones 2 2n%n es el nmero de proposiciones simples. .or e,emplo si nos piden !acer la ta"la de #erdad de p I q # ;p% su ta"la tiene que tener cuatro renglones porque& n 2 2 %Lmero de renglones 2 22 2 2G2 2 M ?ipNs& Cuente las letritas. 7ay dos p%q eso son las proposiciones que !ay no importa si estn negadas o no.2..ara$ormarlascolumnasde"eprimerocolocarenordenal$a"Hticolas proposiciones.9..aracontinuar$ormandocolumnascoloquenegacionesSO$uerenecesarioy luego #a despe,ando con #alores de #erdad% !aciendo primero los parHntesis.A continuacin mostramos dos e,emplos prcticos.CLASE # 2EBercicio: E&a7orar &a Ta7&a de 3erdad de &as siguientes proposiciones:a* ;q # ' q I ; p* "* ;''; r # q* I ;p* *a*PSe colocan las proposiciones simples en orden al$a"HticoLmero de renglones2 2 2 2 2 G 2 2 M(())p q ? q ? p q C ?p ? q 3 %q C ?p'()())()())((())))(((PLegaciones de proposiciones simples P5esarrollar parHntesis% con,uncin o disyuncin general con proposiciones compuestasCLASE # 2"*;''; r # q* I ;p*P.roposiciones simples en orden al$a"HticoLmero de renglones2 2 9 2 2 G 2 G 2 2 Q((((p q ? r ? r 3 q %?r3q' C ?p ? %%?r 3 p' C ?p'(()()())r()()? p))))) (((( )))))))))((((( ()))) (((((((((())))) )((((PLegaciones de proposiciones simples 'optati#os% todas de una sola #e/*PSedesarrollanparHntesis%con,uncinodisyuncindeproposiciones compuestasPLa Legacin generalE,ercicio completo.EBercicios:5adaslassiguientesproposicionesa"iertas%determinarel#alorde #erdad de la proposicin compuesta ; p # 'q I ; r*p'-* & - G - A 9R q'-%y*& y @1 F -r'-%y* & 2 G - C y S2.ara los #alores de - 2 R %y 2 1:CLASE # 2VVA. THtodo Largo ? p 3 %q C ? r';'- G - A 9R*#''y @ 1 F -* I ; '2 G - CyS2** '- G - 2 9R* #''y @ 1 F -* I'2G-F yS2** Sustituyendo para - e y&'R G R 2 9R* # ''1:@1 F R* I '2GR F 1:S2*'9R 2 9R* # ''11 FR* I '12 FJ**V #'$ * I$#$p q r( ( (( ( )( ) (( ) )) ( () ( )) ) () ) )U.V THtodo de sustitucin &p'R*&C. sando la ?a"la de (erdadKespuesta& El #alor de #erdad de ; p # 'q I ; r* es (CLASE # 2))))(((())))(((((())))))((((()))? p? r q C ? r ?p 3 %q C ?r' $ V $ V $$ V; p#'qI; r *; )((VR G R A 9Rq'R%1:*& 1: @ 1 F R r'1:*& 2 G R C1: S29R A9R ' * 11 F R ' *12 CJ'*$$ V#') * I ; (#')* I)# )?area&?area # 1&Tomando como ejemplo el ejercicio anterior (completo 1), desarrollar el siguiente ejercicio:Dadas las siguientes proposiciones abiertas, p(x) : x