CONCEPTOS  DE  FRACTALES  APLICADOS  AL  ANALISIS  DE  FRAGMENTACION  EN  VOLADURA  DE  ROCAS    

INSTITUTO DE INVESTIGACION EN MINERIA Y GEOCIENCIAS DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO - PERU

Romel  VILLANUEVA  L.    I  Jornada  Regional  de  Minería  Cajamarca  2012  

1.-­‐  CONCEPTOS  FRACTALES  

2.-­‐  EL  PROBLEMA  DE  LA  VOLADURA  DE  ROCAS  

3.-­‐  MODELO  FRACTAL  DE  FRAGMENTACION  

4.-­‐  PRUEBAS  DE  VERIFICACION  EN  CAMPO  

5.-­‐  EJEMPLO  DE  CALCULO  DE  LA  DIMENSION  FRACTAL  EN  FRAGMENTACION  

1.-­‐  CONCEPTOS  DE  FRACTALES  

Triangulo  de  Sierpinski.  

CONSTRUYENDO  FRACTALES  

George  Cantor  1845  -­‐  1918  

Conjunto  de  Cantor  

Curva  de  Koch  Niels  Fabian  Helge  von  Koch  (1870-­‐1924)  

Curva  de  Koch  

Isla  de  Koch  o  “Copo  de  Nieve”  

AUTOSIMILITUD!

Fenómeno  donde  algo  se  define  en  términos  de  si  mismo.  La  parte  con]ene  al  todo    

RECURSIVIDAD!

DIMENSION!

N=L/r=(L/r)1

N=L2/r2=(L/r)2

N=L3/r3=(L/r)3

N=(L/r)D

DS= Log (N) / Log (L/r)

Donde:  N,  numero  de  partes  autosemejantes  L,  espacio  total  ocupado  r,  espacio  ocupado  por  un  segmento  

Conjunto  de  Cantor  

D=Log(2)/Log(1/(1/3))=0.63093  

L=1 N= 2 r=1/3

Curva  de  Koch  

D=Log(4)/Log(1/(1/3))

=1.26186

Triángulo  de  Sierpinski  

D=Log(3)/Log(1/(1/2))=1.5849  

La Dimensión de Hausdorff-Besicovitch Felix Hausdorff (1868-1942)

ü  Permite la determinación de la dimensión de un

objeto.

ü  Puede ser de tipo no entero.

ü  Es la definición de dimensión más general.

DEFINICION ACTUAL DE DIMENSION!

ü  El término fue concebido por Mandelbrot, a partir del adjetivo latino FRACTUS que significa fragmentado e irregular.

ü  Mandelbrot mostró las ventajas de utilizar los “monstruos geométricos” para representar fenómenos naturales.

ü  ... un Conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión tradicional. (1982)

ü  ... es una forma hecha de partes semejantes al todo de alguna manera. (1988)

ü  La Dimensión Fractal es la Dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

ü 

DEFINICIONES DE DIMENSION!

Diferentes Tipos de Fractales

Fractales

Lineales

Autosimilitud Perfecta

Dimensión Fractal fácil de calcular con: S = LD

Se crean a partir de: -Un generador -Un algoritmo de repetición

Ejemplo: Triángulo de Cantor y Triágulo de Sierpinski

Complejos

Autosimilitud Estadística

Dimensión Fractal difícil de calcular. Se requiere software. Método: Box Couting

Se crean a partir de: -Un Z0 -Iteraciones en el Plano Complejo

Ejemplo: Conjunto de Mandelbrot, Conjunto de Julia

Caóticos

Poseen estructura Fractal. Autosimilitud Estadística

Se requieren métodos de medición más complejos que la Dimensión Fractal.

Se generan a partir de sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo: Atractor de Lorentz Modela el Clima Meteorológico

Son los objetos geométricos de la Teoría del Caos

¿CÓMO  APLICO  TODO  

ESTO?  

•  SERIES  DE  TIEMPO  •  INTERPOLACIÓN  FRACTAL  •  SIMULACIÓN  DE  SUPERFICIES  •  ASTRONOMÍA  •  FRAGMENTACIÓN  •  SISMICIDAD  •  EN  MEDIOS  POROSOS  •  PROCESOS  DE  AGREGACIÓN  •  CUENCAS  HIDROGRÁFICAS  •  TURBULENCIA  •  OTRAS  ...  

YA  LO  ESTAMOS  APLICANDO  EN  …  

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7

APICACIONES  EN  INTERPOLACION  

SIMULACION  DE  SUPERFICIES  DE  TERRENO  

Estudio  de  patrones  de  fracturamiento  de  los  materiales  en  todas  las  escalas:  •  Microfisuras  en  el  concreto.  •  Fracturas  en  materiales  a  tensión.  •  Fisuramiento  del  pavimento.  •  Grandes  fracturas  geológicas.  

Elaboración  de  modelos  de  fragmentación.      

FRAGMENTACION  

Modelo de fragmentación fractal de un macizo rocoso

EN  MEDIOS  POROSOS  

•  Análisis  y  Simulación  de  procesos  de  percolación,  invasión-­‐percolación  y  digitación  viscosa.  

•  La  dimensión  fractal  es  un  parámetro  que  caracteriza  estos  fenómenos.  

•  Aplicable  en  estudios  de  flujo  de  agua  subterranea,  explotación  de  petróleo  y  contaminación  de  acuíferos.  

CUENCAS  HIDROGRÁFICAS  

•  Simular  geométricamente  diferentes  patrones  de  drenaje.  Cuencas  de  Peano.  

•  Relaciones  entre  los  sistemas  de  ordenamiento  de  corrientes  tradicionales  (de  Horton  y  de  Strahler)  y  la  dimensión  fractal  de  las  redes  de  drenaje.  

TURBULENCIA  

Los  torbellinos  grandes  ]enen  torbellinitos  Que  se  nutren  de  su  velocidad,  

Y  los  torbellinos  ]enen  torbellinos  menores  Y  así  en  adelante  hasta  la  viscosidad.  

OTROS  

•  Compresión  Fractal  de  Imágenes.  •  Análisis  de  Tráfico  Vehicular.  •  Estudio  de  Líneas  Costeras.  •  Patología  de  Estructuras.  •  Análisis  de  Olas  Marí]mas.  •  Aparición  de  Sismos.  •  MULTIFRACTALES.  •  .  .  .  

3.-­‐  MODELO  FRACTAL  DE  FRAGMENTACION  

La idea ! Paso  mucho  ]empo  mapeando  el  macizo  rocoso  pero  siempre  

quedaran  variables  sin  considerar,  porque  el  MR  es  un  

sistema  dinámico  muy  complejo.  

PRINCIPALES ANTECEDENTES

Si la distribución de fragmentos satisface el modelo Weibull, entonces el proceso de fragmentación podría tener un aspecto fractal.

1.  Turcope,  1986  

El aspecto fractal de la fragmentación antes y después de la voladura, es independiente del tipo de roca, del explosivo y de la geometría del disparo. A TODA ESACALA SE ENCUANTRA SIMLITUD FRACTAL.

2.  Crum,  1990  

Semejanza  del   fracturamiento  en   dis]ntos,   materiales   y   a  diferente  escala  con  el  mismo  explosivo,  Pentolita.  

La fragmentación natural del MR in situ afecta directamente a la fragmentación por voladura.

3.  Ghosh,  1990  

DIMENSION FRACTAL Y DISTRIBUCION DE SCHUMMAN

“La dimensión fractal puede ser estimada a partir de la distribución de tamaños”.

Si  N(ξ  >  L),  el  numero  de  fragmentos  con  tamaño  caracterís]co  ξ  >  L  (algún  valor  especifico),  varia  de  acuerdo  a:  (Turcope,  1986),    

Luego  D  es  la  dimensión  fractal  de  la  distribución  de  tamaños  de  los  fragmentos.  

Donde: L : Tamaño de referencia o restricción de tamaño para el optimo. ξ : Tamaño de cualquier fragmento de la pila. N: Numero de fragmentos cuyo tamaño es mayor al requerido. D: Dimensión fractal

LA DISTRIBUCION SCHUMANN

En  este  estudio  se  usa  la  distribución  de  Schumann  dada  por  Da  Gama  (1983)    (Ghosh  et  al.,  1990).  

Donde: r: Tamaño de referencia K: Máximo tamaño de fragmento α: Constante y: Porcentaje acumulativo menor que r

α  es  un  parámetro  de  uniformidad  y  se  calcula  con  todos  los  datos  de  distribución  de  tamaños.    

LA DIMENSION FRACTAL

Así  se  relaciona  la  dimensión  fractal  y  la  constante    α  de  la  distribución  Schumann.  (Ghosh  et  al.,  1990).  

El macizo rocoso y la pila de escombros son objetos fractales, entonces se debe calcular su dimensión fractal.

DIMENSION  FRACTAL  DEL  MR  IN  SITU:    D  in-­‐situ  

DIMENSION  FRACTAL  DE  LA  PILA:    D  frag  

PRUEBAS EN CAMPO Cantera  de  Caliza  “Atocongo”  -­‐  Cementos  Lima  

A  1.5  horas,  en  automóvil  desde  el  centro  de  la  ciudad  de  Lima,  se  ubica  la  cantera  “Atocongo”,  de  donde  se  explota  caliza  para  la  fabricación  de  Cemento.  

DIMENSION  FRACTAL  DEL  MACIZO  ROCOSO  DE  CALIZA  ANTES  DE  LA  VOLADURA  

La  dimensión  fractal  promedio  fue  Din  situ  =  2.60  

Es decir: Antes de la voladura en el banco había 50 000 m2.60 de roca caliza.

DIMENSION FRATAL DE LA PILA DE ESCOMBROS

Dimensión  fractal  promedio  Dfrag  =  2.79  

Es  decir:    En  la  tolva  de  este  Camion  van  90  m2.79  de  roca  caliza  fragmentada.  

RESUMEN DE PRUEBAS EN ATOCONGO

Aunque  para  entonces  no  se  contaba  con  suficiente  información  del  macizo  rocoso,  si  se  tenia  toda  la  información  del  explosivo  y  factores  de  potencia.  

2  

2.1  

2.2  

2.3  

2.4  

2.5  

2.6  

2.7  

2.8  

2.9  

3  

0.100   0.120   0.140   0.160   0.180   0.200   0.220   0.240   0.260   0.280  

DIMEN

SION  FRA

CTAL

 

FACTOR  DE  POTENCIA  (Kg/TM)  

Dis  

Dfrag  

Polinómica  (Dis)  

Polinómica  (Dfrag)  

DIMENSION FRACTAL EN RELACION AL FACTOR DE POTENCIA

Puesto  que  los  valores  altos  de  FP  corresponden  a  MR  con  baja  volabilidad,  se  deduce  que:    “En  MR  con  baja  volabilidad  la  dimensión  fractal  es  cercana  a  3  antes  y  después  de  la  voladura”    

OTROS RESULTADOS POR OTROS INVESTIGADORES

Bagde,  2001  ha  podido  relacionar  las  propiedades  del  macizo  rocoso  con  la  dimensión  fractal.  

ü En  un  macizo  rocoso  de  poca  volabilidad,  se  espera  una  alta  dimensión  fractal  y  después  de  la  voladura  esta  no  debería  crecer  mucho.  

ü En  un  MR  con  alta  volabilidad  la  voladura  incrementa  significa]vamente  su  dimensión  fractal.  

EJEMPLO  –  SOLO  DEMOSTRATIVO  -­‐  DE  OBTENCION  DE  LA  DIMENSION  FRACTAL    DEL  MACIZO  ROCOS  IN-­‐SITU  

Paso  1:  Fotograya  con  escala.  

Paso  2:  Delineado  de  los  bloques  in-­‐situ.  

Paso  3:  Procesamiento  digital  en  el  sozware  ImajeJ.  

Paso  4:  Obtención  de  resultados.  

Paso  5:  Construcción  de  la  curva  de  distribución  de  fragmentos.  

Valor  de  la  pendiente:   α  =  1.6  

Por  lo  tanto,  según  Ghosh  1990:    

D  =  3  –  1.6  D  =  1.4  

Paso  6:  Obtención  de  los  parámetros  del  modelo  Schumann.    Paso  7:  Calculo  de  la  dimensión  fractal.  

CONCLUSIONES  

1.  El   modelo   fractal   de   fragmentación,   basando   en   los   patrones   de   forma,  simplifica  la  caracterización  de  un  macizo  rocoso.  

2.  El  fracturamiento  por  voladura  es  un  proceso  fractal  porque  cumple  con  todas  las  propiedades  y  por  ende  la  fragmentación  por  voladura  seria  mejor  estudiada  en  términos  de  la  teoría  fractal.  

3.  Se  puede  clasificar   la   resistencia  de  un  macizo   rocoso  mediante   su  dimensión  fractal  y  correlacionarlo  con  indicadores  estándares  como  el  RMR.  

4.  Una  dimensión  fraccionaria  seria  mas  conveniente  en  casos  de  factor  de  llenado  del  espacio  u  otras  simplificaciones.  

   

“La verdad se encuentra siempre en la simplicidad, nunca en la confusión”

Isaac Newton

MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCION

Romel Villanueva L.

Instituto de Investigación en Minería y Geociencias de la Universidad Nacional de Trujillo