Conceptos básicos sobre funciones de una variable · Universidad Internacional de La Rioja (UNIR)...

Tema 5

Conceptos básicos sobrefunciones de una variable

© Universidad Internacional de La Rioja (U

NIR)

Índice

Esquema 3

Ideas clave 4

5.1. Introducción y objetivos 4

5.2. Funciones matemáticas 5

5.3. Dominio e imagen 6

5.4. Límites de funciones reales 8

5.5. Continuidad de funciones reales 16

5.6. Actividades resueltas para practicar 26

5.7. Referencias bibliográficas 33

A fondo 35

Actividades 37

Test 39

Tema 5. Esquema 3


NIR)

Esquema

CONCEPTOS BÁSIC

OS D

E FUNCIO

NES D

E U

NA VARIA

BLE

FUNCIO

NES M

ATEMÁTIC

AS

LÍM

ITES

CONTIN

UID

AD

Dominio

Funciones: polinómicas, racionales,

irracionales, logarítm

icas, exponen

ciales

Imagen

MÉTODO DE CRAMER

CONCEPTO

Continuidad

lateral

Concepto

Propiedades

Límites laterales

Límites indeterm

inados

Evitable

Inevitable

Esen

cial

Tema 5. Ideas clave 4


NIR)

Ideas clave

5.1. Introducción y objetivos

na función es una relación perfectamente definida entre una o varias

magnitudes. En economía hay muchas magnitudes que presentan esta

relación. Por ejemplo, las leyes de capitalización son funciones que

relacionan el capital generado, en función, del capital inicial, el tiempo y los intereses

estas magnitudes puedes ser constantes o variables. También las funciones de oferta,

demanda, producción o costes, son ejemplos de funciones económicas cuyas

magnitudes están relacionadas con la producción, volumen de ventas, precio de

coste,etc.

En muchos casos esta función es conocida de antemano ligada a un modelo

previamente conocido, como las leyes de capitalización, las operaciones financieras

o la mayoría de las funciones de probabilidad que se ajustan a modelos conocidos y

previamente estudiados. Pero es frecuente encontrarnos con situaciones reales en

las que las fórmulas de funciones previamente conocidas no se ajustan a nuestro caso

particular. En tales casos entra en juego la modelización matemática, esto es, buscar

funciones particulares que se ajusten a las condiciones concretas del problema a

estudiar.

Los objetivos que se pretenden conseguir son:

Determinar el dominio de las funciones reales.

Calcular límites.

Entender el concepto de límite de una función en un punto.

U



NIR)

Determinar la continuidad de las funciones.

Distinguir los distintos tipos de discontinuidades.

5.2. Funciones matemáticas

oloquialmente hablando, una función es una relación formal (aplicación,

regla, transformación…) entre dos magnitudes.

Sean y dos conjuntos cualesquiera no vacíos. Diremos que es una función de

en si para cada elemento ∈ , existe un único elemento ∈ tal que

.

Todos los elementos de tienen una relación en .

Esta relación es única: a cada elemento le corresponde un único elemento :

Figura 1. Función como relación entre dos magnitudes

Ejemplo

Sea f(x)=2x+1, es una función tal que para cada valor de x le hace corresponder el

valor f(x)=2x+1.

a b

F

A B

C



NIR)

5.3. Dominio e imagen

ean y dos conjuntos cualesquiera no vacíos y es una función de en

tal que para cada elemento ∈ , existe un único elemento ∈ tal

que .

Al conjunto lo denominaremos dominio de la función , y al conjunto lo

denominaremos conjunto imagen de .

Del mismo modo, a la variable x∈ A se le denomina variable independiente de , y a

su imagen ∈ se le denomina variable dependiente.

Diremos que la función f es real si y solo si su dominio de definición y su imagen

están contenidos en el conjunto de los números reales , es decir:

→ esreal ⇔ ⊆ ∧ ⊆

Para determinar el dominio de una función habrá que tener en cuenta que:

Los polinomios tienen por dominio .

El denominador de una fracción no puede anularse.

El argumento de un logaritmo ha de ser mayor que 0.

El dominio de la exponencial, el seno y el coseno es el mismo que el dominio del

argumento.

El radicando de una raíz de índice par ha de ser mayor o igual que 0.

El dominio de una raíz de índice impar es el mismo que el del radicando.

S



NIR)

La base de una potencia de exponente variable ha de ser mayor que 0.

Aunque, matemáticamente, el dominio de una función pueda ser un intervalo muy

extenso, esto en la realidad no es siempre interesante. Supongamos una función que

relaciona los beneficios de una empresa con la producción de la misma. Aunque

matemáticamente la función pueda admitir valores de producción negativos, esto en

el contexto de la economía no tiene interés de estudio. Por tanto, en muchas

ocasiones el dominio matemático de la función será sustituido por el dominio lógico

del contexto de aplicación.

Ejemplo

La función f(x)=2x+1 es un polinomio y su dominio es , independientemente del

valor que se asigne a la variable x, se tiene un valor para la variable y.

La función es una función racional. El denominador no puede

anularse, ya que si el denominador es cero se tendría que es ∞ y, por tanto, la

imagen de la función no existe. Por tanto, se calcula cuando el denominador se

anula: 2 0 ⇔ 2, el dominio de la función es 2 .

La función ln 2 es un logaritmo y por tanto el argumento. 2

0 ⇒ 2.Por tanto, el dominio de la función es 2,∞ .

En la función √x 3 para que la imagen exista, el valor de la expresión

dentro de la raíz debe ser 0 o mayor. Por tanto, x 3 0 ⇒ x 3. El dominio

de la función es 3,∞ .



NIR)

5.4. Límites de funciones reales

e manera poco formal podemos definir límite de una función en un punto

como el valor al que tiende (o se aproxima) en el entorno de dicho punto.

Sin embargo, siendo más formales lo expresaremos de la siguiente manera:

Diremos que una función real , definida en el intervalo ∈ , tiene como límite

el número ∈ cuando su variable independiente tiende a un punto ∈ , y lo

representaremos por: →

.

Si se verifica que para todo número real , existe otro número real , tal

que para todo | | se verifica que | | , o lo que es lo mismo:

→ ⇔ ∀ 0∃ 0|∀ , 0 | | ⇒ | |

Límites laterales

Límite por la izquierda

Si , diremos que tiende a por la izquierda y lo representamos por:

→

Límite por la derecha

Si , diremos que tiende a por la derecha y lo representamos por:

→

D



NIR)

Para que exista el límite de una función en un punto ( tiende a ) es

condición necesaria y suficiente que existan, y que sean idénticos, ambos límites

laterales en :

→ → →

El límite de una función en un punto puede no coincidir con el valor de la función

en dicho punto.

El límite de una función en un punto, de existir, es único. Para que exista el límite

de una función en un punto se ha de verificar:

Existencia de límites laterales en dicho punto.

Dichos límites laterales han de ser idénticos.

Ejemplo

La función 24 2

. Se representa:

Figura 2. Función I

Se calculan los límites laterales de la función :

lim→

lim→

2

lim→

lim→

4 2



NIR)

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando

x tiende a 2 es 4.

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en

dicho punto sino a su alrededor.

La función 1 0

0 01 0

. Sus límites laterales son:

lim→

lim→

1 1

lim→

lim→

1 1⇒ lim

→lim→

Como los límites laterales no coinciden la función no existe el límite en x=0.

Propiedades de los límites

Sean y dos funciones reales definidas en un intervalo ∈ y supongamos

que ambas poseen límite, y respectivamente, en el punto ∈ . Entonces se

verifican las siguientes afirmaciones:

→

| |→

| |

→

∙ ∙↔

f ∙ , ∀ ∈

→ ↔ ↔

→

∙↔

∙↔

∙

→

→

→

⇔ 0



NIR)

→ ↔

⇔ 0

→ ↔

, ∀ ∈

→ ↔

→, 0

→ ↔

, 0 ∧ 0

Nota: para probar las propiedades de los límites en el recurso titulado Propiedades

de los límites hay ejemplos donde se verifican las propiedades de los límites.

Teorema del sandwich

Sean , y tres funciones reales definidas en un intervalo real ∈ y

tales que verifican que en un entorno del punto ∈ , es

decir, ∀ ∈ , , con . Supongamos que y poseen

idéntico límite ∈ en el punto , es decir → →

. Entonces,

se verifica que la función también posee límite en dicho punto y que además

su valor es :

→ → →

Formas indeterminadas de los límites

En el caso de operar algebraicamente con límites de funciones reales se pueden

presentar una serie de indeterminaciones debidas principalmente a la interacción

de los límites de las funciones involucradas. La existencia de una indeterminación

no implica la inexistencia de límite.



NIR)

Las posibles indeterminaciones que nos podemos encontrar a la hora de calcular el

límite de una función real en un punto son siete.

Cociente de infinitos

Este tipo de indeterminación se da entre cociente de funciones polinómicas al

calcular el límite cuando x tiende a infinito. Para resolver la indeterminación infinito

partido infinito se comparan los infinitos.

Ejemplo

Si el numerador tiene mayor grado que el denominador «gana» el infinito del

numerador:

lim→

2 25

∞

Si el denominador tiene mayor grado que el numerador «gana» el infinito del

denominador:

lim→

2 25

0

Si el numerador y el denominador tienen el mismo grado, hay un empate:

lim→

2 25

25

Diferencia de infinitos ∞ ∞

Este tipo de indeterminación se da en funciones polinómicas cuya indeterminación

se resuelve comparando los infinitos, en funciones racionales cuando calculamos el

límite de una diferencia de funciones que anulan el denominador o en funciones

racionales. Vamos a ver cómo se resuelven cada uno de los casos:



NIR)

Ejemplo

Por comparación de infinitos:

lim⟶

3 √ ∞

Con funciones racionales, tenemos que poner común denominador en ambas

fracciones:

lim⟶

3 12

5 14 4

∞ ∞

lim⟶

3 1 22

5 12

lim⟶

3 7 2 5 12

lim⟶

3 12 12

110

Para resolver este límite calculamos los límites laterales:

lim→

lim→

3 2 12 12 2 ∞

lim→

lim→

3 2 12 12 2 ∞

⇒ lim⟶2

3 2 12 12 2 ∞

Con funciones irracionales, para resolver la indeterminación debemos multiplicar y

dividir por el conjugado:

lim⟶

√ 2 √ 1 ∞ ∞

lim⟶

√ 2 √ 1 √ 2 √ 1

√ 2 √ 1

lim⟶

2 1

√ 2 √ 1lim⟶

1

√ 2 √ 10



NIR)

Cociente de ceros

Se trata de una indeterminación en funciones racionales o en funciones racionales

con una raíz. Para resolver la indeterminación hay que simplificar la fracción o

multiplicar y dividir por el conjugado.

Ejemplo

Para funciones racionales polinómicas:

lim⟶

4 44

00

lim⟶

4 44

lim⟶

22 2

lim⟶

22

04

0

Para funciones racionales con raíces:

lim→

1 √1 00

lim→

1 √1lim→

1 √1 1 √1

1 √1lim→

1 1

1 √1

lim→ 1 √1

lim→

1

1 √1

12



NIR)

Nota: en el siguiente vídeo, titulado Indeterminación, puedes ver cómo se resuelven

las indeterminaciones infinito entre infinito y cero entre cero.

Accede al vídeo a través del aula virtual

Producto de cero por infinito ∙ ∞

Esta indeterminación se transforma en otras indeterminaciones como infinito entre

infinito o cero entre cero.

Ejemplo

lim⟶

2 31

3 4∞ 0

lim⟶

2 31

3 4lim⟶

2 33 4

lim⟶

4 12 93 4

43

Potencia de ceros

Este tipo de indeterminación afecta a funciones exponenciales.



NIR)

Infinito elevado a cero ∞


Unidad elevada a infinito


Nota: para ver ejemplos de cómo se resuelven las últimas tres indeterminaciones

puedes consultar el recurso titulado Ejemplo de indeterminaciones.

5.5. Continuidad de funciones reales

Continuidad de una función real en un punto

De una manera muy poco formal podemos decir que una función continua es aquella

que podemos representar sin levantar el lápiz del papel.

El concepto de continuidad de una función en un punto está íntimamente unido con

el de límite de la función en dicho punto. De hecho, la inexistencia del límite de una

función en un determinado punto imposibilita la existencia de continuidad de dicha

función en ese punto.

OJO: lo contrario no siempre es cierto.



NIR)

Figura 3. Continuidad de una función real en un punto

Diremos que una función real , definida en un intervalo ∈ , es continua en un

punto ∈ si se verifica que para todo número real existe otro número real

tal que | | siempre que | | :

⟺ ∀ 0∃ 0: | | ⟹ | |

Figura 4. Función real continua

Consecuentemente, podemos afirmar que una función real , definida en un

intervalo ∈ , es continua en un punto ∈ si existe el →

y su valor

coincide con el de la función en dicho punto:

→

Pudiendo también expresarlo en lenguaje matemático como:

contínuaen ⟺→ → →

Ejemplo



NIR)

La función 24 2


lim→

lim→

2

lim→

lim→

4 2

Se tiene que:

2→

lim→

lim→

Por tanto, la función es continua, en particular es continua en x=2.

Continuidad lateral

Continuidad lateral por la derecha

Decimos que una función es continua por la derecha en un punto si existe

límite por la derecha en el punto, →

, y coincide con el valor de la función

en dicho punto .

→

Continuidad lateral por la izquierda

Decimos que una función es continua por la izquierda en un punto si

existe el límite por la izquierda en el punto, →

y coincide con el valor de

la función en dicho punto .

→



NIR)

Ejemplo

Figura 5. Ejemplo I

La función es continua por la izquierda de ∞, 4 y es continua por la derecha de

4,∞ , pero no es continua en todo .

Continuidad en un intervalo

Diremos que una función , definida en un intervalo ∈ , es continua en el

subintervalo ⊂ si se verifica que para todo existe un tal que

| | siempre que | | para todo ∈ .

continuaen ⊂ ⟺ escontinua∀ ∈

Figura 6. Continuidad en un intervalo

Propiedades de la continuidad



NIR)

Sean y dos funciones reales definidas en un intervalo ∈ y continuas en

un subintervalo ∈ . Entonces, se verifica que las siguientes funciones también son

continuas en dicho intervalo (∀ ∈ ):

| |

∙ , con ∈

∙

, ∀

, ∀

, ∀ ∧

, ∀

∘

Nota: para comprobar que se cumplen las propiedades de las funciones continuas

consulta el recurso Propiedades de las funciones continuas.

Discontinuidad de una función en un punto

Diremos que una función real , definida en un intervalo ∈ , es discontinua en

un punto ∈ si no es continua en dicho punto.



NIR)

Parafraseando, diremos que una función real f x , definida en un intervalo ∈ , es

discontinua en un punto ∈ si no existe el →

o si existiendo, su valor no

coincide con el de la función en dicho punto:

∄→

→

Figura 7. Discontinuidad evitable

Decimos que una función real posee una discontinuidad evitable en si existe

el →

∈ , pero no coincide con el valor de la función en dicho punto :

∃→

∈ ∧ →

Ejemplo

La función 24 2


lim→

lim→

2

lim→

lim→

4 2



NIR)

Como lim→

lim→

lim→

, pero ∄ , entonces la función tiene

una discontinuidad evitable en x=2.

La función 1 12 1

Determinamos si la función tiene límite calculando los límites laterales:

lim→

lim→

1

lim→

lim→

1

Por tanto, lim→

lim→

lim→

1, pero 1 =2, entonces la función

tiene una discontinuidad evitable en x=1.

Nota: en el vídeo titulado Discontinuidad evitable podrás ver un ejemplo donde se

analiza un ejemplo de una función que presenta una discontinuidad evitable.


Diremos que una función real posee una discontinuidad inevitable (o

discontinuidad de 1ª especie) en si existen los límites laterales, pero no existe el



NIR)

→∈ . Es decir, si los límites laterales no son iguales o si existiendo, su

límite no es real:

→∉ ∨

→ →

Ejemplo

Sea la función 13 1

Calculamos los límites laterales para determinar si existe el límite de la función:

lim→

lim→

1

lim→

lim→

3 4

Por tanto, no existe lim→

ya que lim→

lim→

.

Nota: en el vídeo titulado Discontinuidad inevitable podrás ver un ejemplo donde se

analiza una función que presenta una discontinuidad inevitable.




NIR)

Diremos que una función real posee una discontinuidad esencial en (o

discontinuidad de 2ª especie) si no existe alguno de sus límites laterales:

∄→

∨ ∄→

Ejemplo

Sea la función en x=2 tiene una discontinuidad esencial:

lim→

lim→

12

10

Calculamos los límites laterales:

lim→

lim→

12

∞

lim→

lim→

12

∞

Como∄→

∨ ∄→

, la función tiene una discontinuidad esencial en

x=2.



NIR)

Nota: en el vídeo titulado Discontinuidad esencial donde se analiza un ejemplo de

una función que presenta una discontinuidad esencial.


Nota: para realizar más ejercicios relacionados con la continuidad y discontinuidad

de las funciones puedes consultar el recurso Ejemplos de límites y continuidad.

En el siguiente esquema se recogen todos los tipos de funciones:

Figura 8. Tipos de funciones

Funciones reales

Continuas

Discontinuas

Evitables

No evitables

Inevitables (1a

especie)

Esenciales (2a

especie)



NIR)

5.6. Actividades resueltas para practicar

Actividad 1

Calcula el dominio de las funciones racionales:

Solución:

,hayquevercuandoeldenominadorescero:x 2 0,x ‐2

Portanto,eldominioes 2 .

,hayquevercuandoeldenominadorescero:x 4 0 ⟹ x

4 ⇒ x 2, eldominioes 2 .

hayquevercuandoeldenominadorescero:x 4 0 ⟹ x

4 ⇒ eldenominadornuncasehacecero, eldominioes .

Actividad 2

Calcula el dominio de las funciones irracionales:

√ 5



NIR)

√ 6 9

√ 4 3

Solución:

√ 5, para determinar el dominio de la raíz hay que ver cuando la expresión que

hay dentro de la raíz es mayor o igual que cero: 5 0 ⇔

5 5,∞ .

√ 6 9 para determinar el dominio de la raíz hay que ver cuando la

expresión que hay dentro de la raíz es mayor o igual que cero: 6 9 0 ⇔

3 0 ⇔ 3 0 ⇔ 3 3,∞ .

√ 4 3 para determinar el dominio de la raíz hay que ver cuando la

expresión que hay dentro de la raíz es mayor o igual que cero: 4 3

0 ⇔ 1 3 0 ⇔ 0, 1 0, 3 0 ⇔ 0, 1,

3 0,1 3,∞ .

Actividad 3

Calcula el dominio de las funciones exponenciales y logarítmicas:

2

Solución:

, el dominio es



NIR)

2 , 2 0 ⇒ 2 ⇒ 2,∞

Actividad 4

Calcula:

lim→

3

lim→

1 √ 2

lim→

Solución:

lim→

3 5 25

lim→

1 √ 2 1 √16 1 4 5

lim→ 1

Actividad 5

Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda

y por la derecha de x = 0:

lim→2 1

2



NIR)

Solución:

lim→2 1

2 lim→2 1

2

Calculamos los límites laterales:

lim→

2 1

2∞; lim

→2 1

2∞

Actividad 6

Estudia la continuidad de la función:

12 1

1 22 2

Solución:

El primer tramo de función no está definido en x = 2, valor que pertenece a

la semirrecta x < 1. Luego, f(x) es discontinua en x = 2.

En los otros dos tramos, hay una función cuadrática y una función constante, ambas

continuas en todo P.

Estudiamos la continuidad de los puntos donde la función está definida a trozos:

x = 1.

1 1 1 2

lim→

lim→

12

11 2

1



NIR)

lim→

lim→

1 1 2

No existe lim→

, luego la función es discontinua en x = 1. Se produce un salto en

x = 1.

x = 2.

2 2

lim→

lim→

2

lim→

lim→2 2

lim→

2 2

La función f (x) es continua en x = 2, luego f (x) es continua en todo P excepto en x=2

y en x = 1.

Actividad 7

Halla los límites:

lim→

√5 2 3

lim→ √

Solución 1:

lim→

5 2 3 lim→

5 2 3 5 2 3

√5 2 3

lim→

5 2 9

√5 2 3lim→

4 2

√5 2 3∞



NIR)

Solución 2:

lim→

3 1

√ 2lim→ ∞

2 3 16 2

0

Actividad 8

Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea

continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta:

3 2 83 10

Solución:

3 2 83 10

3 4 25 2

Dominio = P {5, 2}: f (x) es continua en P {5, 2}.

Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x = 5 y en x = 2:

lim→

lim→

3 45

110

Hallamos los límites laterales:

lim→

∞; lim→

∞;

Discontinuidad de salto infinito en x = 5.

lim→

lim→

3 45

107



NIR)

Discontinuidad evitable en x = 2.

Actividad 9


13

4

15 4

Solución:

Si x ≠ 4, la función es continua.

Si x = 4:

lim→

lim→

13

1

lim→

lim→

15 1

4 1

También es continua en x = 4 porque lim→

4 .

Actividad 10


2 1 0

2

2 0



NIR)

Solución:

Si x ≠ 0, la función es continua:

lim→

lim→

2 1 1

lim→

lim→

22

1

0 1

Es continua en x = 0 porque lim→

0 .

5.7. Referencias bibliográficas

Balbás, A., Gil, J. y Gutiérrez, S. (1989). Análisis matemático para la economía Vol. I

Madrid: Alfa Centauro.

Caballero, R., González, A. y Triguero, F. (1992). Métodos matemáticos para la

economía. Madrid: McGraw‐Hill.

Chiang, A. (1987). Métodos fundamentales de economía matemática. Madrid:

McGraw‐Hill.

Guerrero, F. M. y Vázquez, M. J. (1998). Manual de cálculo diferencial e integral para

la economía y la empresa. Madrid: Pirámide.

Jarne, G., Pérez‐Gras, I. y Minguillón, E. (1997). Matemáticas para la economía.

Madrid: McGraw‐Hill.

López, M. y Vegas, A. (1994). Curso básico de matemáticas para la economía y

dirección de empresas I. Madrid: Pirámide.



NIR)

Sydsaeter, K. y Hammond, Peter J. (2008). Matemáticas para el análisis económico.

Madrid: Perentice Hall.

Tema 5. A fondo 35


NIR)

A fondo

Propiedades de los límites

Jarne, G., Minguillón, E. & Zabal, T. Curso básico de matemáticas para estudiantes de

Económicas y Empresariales. Proyecto Aragón Tres.

En este documento encontrarás ejemplos para comprobar que se verifican las

propiedades de los límites.

Accede al documento a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web:

http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad7/u7fun/u7funpr60a.pdf

Ejemplo indeterminaciones

En este enlace encontraras muchos ejemplos para resolver los límites

indeterminados.


https://www.vitutor.com/fun/3/a_11.html

Tema 5. A fondo 36


NIR)

Propiedades de las funciones continuas

Jarne, G. & Zabal, T. Curso básico de matemáticas para estudiantes de Económicas y

Empresariales. Proyecto Aragón Tres.

En este documento encontrarás ejemplos para comprobar que se verifican las

propiedades de las funciones continuas.


http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad7/u7fun/u7funpr80‐90a.pdf

Ejercicios de límites y continuidad

En este enlace encontrarás muchos ejercicios resueltos para estudiar la continuidad

de las funciones. Para determinar la continuidad tendrás que resolver límites, en

estos ejercicios encontrarás muchas funciones distintas para analizar todos los casos

posibles.


https://www.matesfacil.com/resueltos‐continuidad.htm

Tema 5. Actividades 37


NIR)

Actividades

Trabajo: Estudio de una función

Objetivos

Entender el concepto de continuidad de una función.

Entender el concepto de discontinuidad de una función.

Calcular límites de funciones.

Descripción de la actividad

Tenemos que el número de trabajadores de una empresa crece al cabo de los años,

siguiendo la siguiente función:

4 0 350 138 3 5

5

Donde t es el número de años que la empresa lleva funcionando. Determina:

Calcula los valores a y b para que la función sea continua, interpreta el resultado

en el contexto del problema.

Calcula los valores de a y b para que la función tenga una discontinuidad evitable

en t=3, y t=5. Interpreta el resultado en el contexto del problema.

Calcula los valores de a y b para que la función tenga una discontinuidad

inevitable en t=3 y t=5. Interpreta el resultado en el contexto del problema.

Calcula los valores de a y b para que la función tenga una discontinuidad esencial

en t=3 y t=5. Interpreta el resultado en el contexto del problema.

Tema 5. Actividades 38


NIR)

Criterios de evaluación

Los conceptos y contenidos expuestos y explicados deberán ser correctos y

apropiados al tema de funciones.

Se valorará la argumentación en la resolución de la actividad, así como que los

resultados obtenidos sean correctos.

Claridad en la exposición y justificación de las ideas y redacción y ortografía

adecuadas.

Extensión máxima: 3 páginas, fuente Calibri 12 e interlineado 1,5.

Tema 5. Test 39


NIR)

Test

1. Sean dos funciones y definidas en y tal que verifican →

0

y →

∞. Entonces el límite de la función compuesta →

es:

A. Igual a ∞.

B. Igual a ∞.

C. Igual a 0.

D. Un valor indeterminado.

2. Dada la función , indicar cuál de las siguientes afirmaciones es cierta:

A. es continua en todo .

B. es continua en 1,1 .

C. no es continua en 1,1 .

D. Ninguna de las anteriores.

3. Dada la función , indicar cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:

A. →

0.

B. →

∞.

C. ∄→

.

D. →

∞.

4. Analizar la continuidad de la función real √

A. La función es continua en 3,0 ∪ 3, ∞ .

B. La función no es continua en ∩ 3,3 .

C. La función no es continua en 3,0 ∪ 3, ∞ .

D. La función es continua en ∩ 3,3 .

Tema 5. Test 40


NIR)

5. Sean dos funciones y definidas en y tal que 1 y

3 . Entonces la función compuesta ∘ viene expresada por:

A. ∘ 3 3 .

B. ∘ 9 1.

C. ∘ 9 3.

D. ∘ 3 3 1.

6. Calcular el límite de la función ln 2 cuando su variable

independiente tiende a la unidad negativa.

A. →

∞.

B. →

0.

C. →

2.

D. ∄→

.

7. Sean dos funciones y definidas en y tal que verifican →

y

→ ∞. Entonces el límite de la función compuesta

→ es:

A. Igual a ∞.

B. Igual a 0.

C. Igual a ∞.

D. Es un valor indeterminado.

8. El valor del siguiente límite lim→

√ 3 , es:

A. 3/2.

B. 1.

C. 0.

D. ∞.

Tema 5. Test 41


NIR)

9. La siguiente función 3 1

√ 1 1, en x=‐1 tiene:

A. Una discontinuidad esencial.

B. Una discontinuidad evitable.

C. Una discontinuidad inevitable.

D. Es continua.

10. Analizar la continuidad de la función real √.

A. La función no es continua en ∞, 1 ∪ 1, ∞ .

B. La función no es continua en ∩ 0,1 .

C. La función es continua en 0,1 ∪ 1, ∞ .

D. La función es continua en 0, 1 .

Conceptos básicos sobre funciones de una variable · Universidad Internacional de La Rioja (UNIR)...

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