CONCEPTOS BÁSICOS DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

CONCEPTOS BÁSICOS DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

La Investigación de Operaciones es:

• Un conjunto de conocimientos que busca “determinar el mejor curso de acción de un problema de decisión con la restricción de recursos limitados.” (Taha)

• La disciplina que aplica métodos analíticos avanzados para ayudar a tomar mejores decisiones.

• La aplicación de métodos cuantitativos para la resolución de problemas en todas las áreas.


Investigación de operaciones como una CIENCIA: Utiliza técnicas matemáticas para resolución de problemas

Investigación de operaciones como un ARTE: Requiere la aplicación de la creatividad para resolver los problemas de la forma

más eficiente

Casos del empleo conjunto de los aspectos científicos y artísticos: Ejemplo del Elevador Ejemplo de la estación para perforar un pozo de prueba en el mar Aeropuerto de Inglaterra Fundidora de acero


Creatividad para la resolución de problemas:Trace 4 líneas rectas que cubran los 9 puntos, sin despegar el lápiz


Ciencia para la resolución de problemas:

Se requiere comprar 100 animales gastando exactamente Lps. 100.00Los costos son los siguientes: Vacas Lps. 10.00 Novillos Lps. 5.00 TernerosLps. 0.50

Además se debe cumplir que la cantidad de terneros sea 10 veces más que la cantidad de novillos.

Cuántas vacas, novillos y terneros se deben comprar?


EJERCICIOS BÁSICOS DE PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS

TRABAJO EN PAREJAS

Problema 1En un zoológico hay aves (de dos patas) y bestias (de cuatro patas). Si el Zoológico contiene 60 cabezas y 200 patas. ¿Cuántas aves y cuántas bestiasviven en él?

Problema 2Una tienda de helados vende sólo helados con soda y malteadas. Se pone una onza de jarabe y 4 onzas de helado en un helado con soda y una onza de jarabey 3 onzas de helado en una malteada. Si la tienda usa 4 galones de helado y 5cuartos de jarabe en un día, ¿Cuántos helados con soda y cuántas malteadas vende? (1 cuarto = 32 onzas , 1 galón =128 onzas)



TRABAJO EN PAREJAS

Problema 3La compañía sunrise porcelain fabrica tazas y platos de cerámica. Para cada tazao plato un trabajador mide una cantidad fija de material y la pone en la máquina que las forma, de donde pasa al vidriado y secado automático. En promedio, un trabajador necesita 3 minutos para fabricar una taza y 2 minutos parael de un plato. El material para una taza cuesta 25 ctvs. y el material para un platocuesta 20 ctvs. Si se asignan $44 diarios para la producción de tazas y platos,¿Cuántos deben fabricarse de cada uno en un día de trabajo de 8 horas, si un trabajador se encuentra trabajando cada minuto y se gastan exactamente $44 enmateriales?



TRABAJO EN PAREJAS

Problema 4

Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a

un lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume

cada semana un promedio de una unidad de alimento 1, una unidad de alimento 2,

y 2 unidades de alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un

promedio de 3 unidades de alimento 1, 4 unidades de alimento 2 y 5 unidades del

alimento 3. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2

unidades de alimento 1, una unidad de alimento 2 y 5 unidades de alimento 3.

Cada semana se proporcionan al lago 25000 unidades de alimento 1, 20000 unidades

de alimento 2 y 55000 de alimento 3. Si se supone que los peces se comen todo el

alimento, ¿cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?

MODELACIÓN DE SISTEMAS

Modelo de Decisión:

Un medio para resumir un problema de decisión en una forma que permita la identificación y evaluación sistemática de las opciones de decisión de un problema.

Objetivo del modelo:

Obtener la “mejor” solución entre las disponibles.

Componentes de los modelos de decisión: Alternativas o variables de Decisión Restricciones del problema Función objetivo

MODELACIÓN DE SISTEMAS

Ejemplo:

Un consultor vive en TGU y trabaja en SPS. Vuela los lunes a SPS y retorna los miércoles de la misma semana. Un boleto regular de ida y vuelta que se compra el lunes para regresar el miércoles cuesta $200. Un boleto que cubre fines de semana tiene un descuento de 20% respecto al precio del boleto regular ida y vuelta. Los boletos de ida en cualquier dirección cuestan 75% del precio del boleto regular de ida y vuelta.

Cuáles son las opciones de compra de los boletos para un período de 5 semanas?

Identifique los componentes del modelo de decisión y resuelva el problema

MODELACIÓN DE SISTEMASOpciones de Decisión:1. Comprar cinco boletos regulares de ida y vuelta todos los lunes.2. Comprar un boleto de ida el lunes de la primera semana, cuatro boletos

de ida y vuelta con descuento los miércoles de las siguientes cuatro semanas y un boleto de ida el miércoles de la quinta semana.

3. Comprar un boleto ida y vuelta con descuento para cubrir el lunes de la primera semana y el miércoles de la quinta semana y cuatro boletos cada miércoles de las primeras cuatro semanas.

Restricciones del problema: El consultor debe llegar a SPS los lunes y regresar a TGU los miércoles

Criterio objetivo: Gastar la menor cantidad de dinero.

MODELACIÓN DE SISTEMASSolución del problema:

Evaluar las alternativas de decisión que cumplen con las restricciones y encontrar la que cumpla con la función objetivo.

Opción 1: 5(200) = 1000

Opción 2: 0.75(200) + 4(200)0.8 + 0.75(200) = 940

Opción 3: 5(200)0.8 = 800

La Opción 3 es la solución óptima.Las opciones 2 y 3 son soluciones subóptimas.Las tres opciones son soluciones factibles.

TIPOS DE MODELOSModelos matemáticos Programación lineal: se utiliza para problemas en los que las restricciones

y objetivo se pueden expresar como funciones lineales de las variables de decisión.

Programación entera: similar a la lineal pero las variables de decisión sólo pueden obtener valores enteros.

Programación dinámica: involucran el transcurso del tiempo y se pueden descomponer en subproblemas.

Flujo en redes: se plantean los problemas en forma de una red Programación no lineal: utiliza funciones no lineales.

Usualmente se resuelven con:

Algoritmos iterativos: como el método simplex, método de punto interior, etc.

Heurísticas: reglas o procedimientos básicos que conllevan a obtener una buena solución aunque no sea necesariamente la óptima. Ejemplo: Algoritmos genéticos, tabu search, simulated annealing, etc.

TIPOS DE MODELOS Modelo de simulación:

Se utiliza en casos en que la representación matemática adecuada del problema es muy complicada.

Divide el sistema representado en módulos básicos que después se enlazan entre sí a través de relaciones lógicas.

Ventajas: Proporciona más flexibilidad en la representación de sistemas

complejos. Es más fácil de entender. Representan de manera más fiel el problema real

Desventajas: El desarrollo de una simulación es muy costoso en tiempo y recursos Tiempo de ejecución costoso. Producen soluciones subóptimas

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Métodos matemáticos: obtienen la solución óptima por medio de

iteraciones

Simulación

Métodos heurísticos: reglas o procedimientos básicos que conllevan a obtener una buena solución aunque no sea necesariamente la óptima.

4

75

6

3

6

1

2

83

A

B

C

DE

Ejemplo:

Problema del Agente Viajero. Traveling Salesman Problem (TSP)

4

75

6

3

6

1

2

83

A

B

C

DE

MÉTODOS DE RESOLUCIÓNAplicar el siguiente método heurístico:Partiendo del punto A escoger la siguiente ciudad más cercana

Resultado: Hacer el recorrido A-D-E-C-B-A con lo que se recorren 18 kms.

Existen mejores soluciones ya que con la trayectoria A-B-C-D-E-A se recorren 15kms

FASES DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

1. Definición del problema:• Definir objetivo• Definir opciones de decisión• Definir restricciones

2. Construcción del modelo• Expresar matemáticamente el objetivo como una función de las variables de decisión• Expresar matemáticamente las restricciones como una función de las variables de decisión

3. Solución del modelo• Obtener solución por medio de técnicas matemáticas, simulación o heurísticos• Realizar análisis de sensibilidad

4. Validación del modelo• Comprueba si el modelo hace lo que se quiere que haga • Comparar sus resultados con datos históricos o con una simulación

5. Implementación de los resultados finales• Traducir los resultados a instrucciones de operación

INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Programación lineal: se utiliza para problemas en los que las restricciones

y objetivo se pueden expresar como funciones lineales de las variables de decisión.

Aplicaciones: Agricultura Industria Transporte Economía Salud Ciencias Sociales

Ejemplo 2.1 -1 (Taha)

Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores, Xi y Xe.

INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Pinturas para exteriores Xe

Pinturas para interiores Xi

Disponibilidad diaria máxima

Materia Prima M1 6 4 24

Materia Prima M2 1 2 6

Utilidad por ton

(miles de $)

5 4

Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la de pintura para exteriores en mas de una tonelada. Además, la demanda máxima diaria para pintura de interiores es de 2 toneladas.

INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Definición de variables

Xi = toneladas de pintura de interiores producidas diariamente

Xe = toneladas de pintura de exteriores producidas diariamente

Definición de la función objetivo

Maximizar z = 5Xe + 4Xi

Definición de las restricciones

Disponibilidad de M1: 6Xe + 4Xi ≤ 24

Disponibilidad de M2: Xe + 2Xi ≤ 6

Diferencia entre Xe y Xi: Xi ≤ Xe + 1

Xi – Xe ≤ 1

Demanda máxima de Xi: Xi ≤ 2

Restricciones de no negatividad: Xi ≥ 0 , Xe ≥ 0


Modelo de programación lineal para el problema:

Maximizar z = 5Xe + 4Xi

Sujeto a:6Xe + 4Xi ≤ 24

Xe + 2Xi ≤ 6

Xi – Xe ≤ 1

Xi ≤ 2

Xe, Xi ≥ 0

Cualquier valor Xe y Xi que satisfaga todas las restricciones es una solución factible, por ejemplo, Xe = 3 y Xi = 1 es una solución factible

El objetivo final es encontrar una solución óptima factible


Solución gráfica del modelo de programación lineal

1. Determinar el espacio de soluciones que define todas las soluciones factibles del modelo

2. Determinación de la solución óptima, entre todos los puntos de esquina factibles del espacio de soluciones

SOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO

Xe

Xi 6Xe + 4Xi ≤ 241

Xe + 2Xi ≤ 62

-Xe + Xi ≤ 13

Xi ≤ 24

Xe ≥ 05

Xi ≥ 06

1

2

3

4

5

6


Ejemplo 2.2 – 2

En Granjas Modelo se usa diariamente un mínimo de 800 lbs. de un alimento especial que es una mezcla de maíz y soya, con las composiciones siguientes:

Alimento Proteínas Fibras Costo ($)

Maíz 9% 2% 0.30

Soya 60% 6% 0.90

Las necesidades dietéticas del alimento son un mínimo de 30% de proteínas y un máximo de 5% de fibras.

Determine la cantidad de libras de maíz y de soya que deben utilizarse para minimizar los costos.

INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Definición de variables

Xm = libras de maíz en la mezcla diariaXs = libras de soya en la mezcla diaria

Definición de la función objetivoMinimizar z = 0.3Xm + 0.9Xs

Definición de las restricciones

Producción mínima de alimento: Xm + Xs ≥ 800

Requerimiento mínimo de proteína: 0.09Xm + 0.6Xs ≥ 0.3(Xm +Xs)- 0.21Xm + 0.3Xs ≥ 00.21Xm – 0.3Xs ≤ 0

Requerimiento máximo de fibras: 0.02Xm + 0.06Xs ≤0.05(Xm +Xs)-0.03Xm + 0.01Xs ≤ 00.03Xm – 0.01Xs ≥ 0

Restricciones de no negatividad: Xi ≥ 0 , Xe ≥ 0


Modelo de programación lineal para el problema de la dieta:

Minimizar z = 0.3Xm + 0.9Xs

Sujeto a: Xm + Xs ≥ 800 0.21Xm – 0.3Xs ≤ 0 0.03Xm – 0.01Xs ≥ 0Xm, Xs ≥ 0

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