Conceptos b asicos del m etodo de elementos...

Lothar Banz

Conceptos basicos del metodo de elementosfinitos

Cochabamba, Bolivia y Trujillo, Peru. Agosto y Septiembre 2019

6 de agosto de 2019

Lecture Notes

Indice general

1. Introduccion al Metodo de Elementos Finitos (MEF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Formulacion variacional de un problema unidimensional de valor lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. MEF con funciones lineales continuas por trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Construccion del espacio de elementos finitos por elementos de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Ecuaciones variacionales y sus aproximaciones de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1. El proceso de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Construccion continua de funciones lineales de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Aproximaciones con elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4. Estimacion del error de Galerkin en la norma de L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5. Datos de Dirichlet no homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.1. Juego de guıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.2. La derivacion normal como ejemplo de uso para el conjunto de rastreo . . . . . . . . . . . . . . 272.5.3. Problemas de Dirichlet no homogeneos y variaciones de variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Desigualdades variacionales del primer tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1. El problema del obstaculo de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2. Desigualdes varicionales generales de primer tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3. Discretizacion del problema del obstaculo de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4. Estimacion de error a priori para problemas de obstaculos de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1. Ejercicios para la teorıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1. Ejercicios para el capıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.2. Ejercicios para el Capıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2. Tarea sobre implementacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.1. Ejercicios para el Capıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1

Introduccion al Metodo de Elementos Finitos (MEF)

1.1. Formulacion variacional de un problema unidimensional de valor lımite

El punto de partida suele ser una formulacion fuerte de una ecuacion diferencial ordinaria de segundo orden,por ejemplo, para una funcion continua dada f : (a, b) → R encontrar una funcion adecuada u : [a, b] → R,para que

−u′′(x) = f(x) en (a, b) y u(a) = u(b) = 0. (1.1)

Sea v′ := dvdx . Escribimos

(v, w) =

∫ b

a

v(x)w(x) dx

el producto escalar sobre L2(a, b) y

V =v ∈ C0([a, b]) : v′ continua por trozos sobre [a, b] y v(a) = v(b) = 0

El espacio vectorial a considerar. Con la funcion f asociamos la energıa funcional J : V → R definida como

J(v) :=1

2(v′, v′)− (f, v).

A continuacion consideramos los dos problemas

Encontrar u ∈ V : J(u) ≤ J(v) ∀v ∈ V, (1.2)

Encontrar u ∈ V : (u′, v′) = (f, v) ∀v ∈ V. (1.3)

La ecuacion (1.3) se llama formulacion variacional o debil de (1.1), y (1.2) es el problema de minimizacioncorrespondiente.

Teorema 1.1. Sea f ∈ C0(a, b), entonces (1.1), (1.3) y (1.2) son equivalentes, y existe a lo mas una unicasolucion.

Demostracion. (1.1)⇒ (1.3): Se multiplica −u′′ = f con cualquier funcion test v ∈ V y se integra sobre (a, b)lo que da,

−(u′′, v) = (f, v).

La integracion parcial, usando las condiciones de frontera v(a) = v(b) = 0, conduce a

(−u′′, v) = (u′, v′) + u′(a)v(a)− u′(b)v(b) = (u′, v′).

Eso significa, u que obviamente esta en V satisface

(u′, v′) = (f, v) ∀v ∈ V.

2 1 Introduccion al Metodo de Elementos Finitos (MEF)

(1.3) ⇒ (1.2): Sea w = v− u; es decir, v = u+w con w ∈ V arbitrario. Se aplica la bilinealidad y la simetrıadel producto escalar, (1.3) con la funcion test w ∈ V , se tiene:

J(v) = J(u+ w) =1

2(u′ + w′, u′ + w′)− (f, u+ w) =

1

2(u′, u′)− (f, u) + (u′, w′)− (f, w) +

1

2(w′, w′)

= J(u) +1

2(w′, w′) ≥ J(u).

(1.2) ⇒ (1.3): Sean v ∈ V y ε ∈ R cualquieras. Entonces J(u) ≤ J(u+ εv) despues (1.2), porque u+ εv ∈ V .Sea

g(ε) = J(u+ εv) :=ε2

2(v′, v′) + ε(u′, v′)− ε(f, v) +

1

2(u′, u′)− (f, u′).

Obviamente g es diferenciable ε en y por construccion tiene su mınimo en ε = 0. Entonces g′(0) = 0, donde

g′(ε)|ε=0 = [ε(v′, v′) + (u′, v′)− (f, v)] |ε=0 = (u′, v′)− (f, v) = 0.

(1.3) ⇒ (1.1): Porque f ∈ C0(a, b) existe F (x) =∫ xaf(t) dt ∈ C1(a, b) con F ′ = f . Asi es

(f, v) = (F ′, v) = −(F, v′)− F ′(a)v(a) + F ′(b)v(b) = −(F, v′)

con F ′(a) = f(a), F ′(b) = f(b) es una prolongacion continua de f . En consecuencia (1.3) se convierte en

(u′ + F, v′) = 0 ∀v ∈ V.

Una verificacion directa, muestra que u′ = −F en casi todo lado. Porque F ∈ C1 es u′ ∈ C1 y u′′ = −F ′ = −f .Que u(a) = u(b) = 0 se sigue que u ∈ V .Unicidad: Sean u1, u2 ∈ V ambas soluciones de (1.3); es decir:

(u′1, v′) = (f, v) ∀v ∈ V und (u′2, v

′) = (f, v) ∀v ∈ V.

Substrayendo

(u′1 − u′2, v′) = 0 ∀v ∈ V

y en particular con v = u1 − u2, que satisface (u1 − u2)′ = 0 para casi todo x ∈ [a, b]. Esto implica queu1 − u2 ∈ V ⊂ C0([a, b]) sea constante, y por la condicion u1(a) = u2(b) = 0 se tiene u1 = u2. utLa prueba anterior muestra que la equivalencia de (1.2) y (1.3) tambien es valida para f ∈ L2(a, b).

Remarca 1.2. Tambien hay situaciones en las que no hay solucion para (1.1) y tampoco no hay ningunproblema de minimizacion asociado. Es por eso que trabajamos principalmente con (1.3)

1.2. MEF con funciones lineales continuas por trozos

El metodo de elementos finitos (FEM) para resolver (1.1) resuelve (1.3) en un subespacio de dimensionesfinitas Vh ⊂ V . El elemento o enfoque finito y el espacio de prueba consta de funciones polinomicas continuaspor partes. En el caso mas simple y en lo siguiente, por lo tanto, de funciones lineales continuas, por trozos.Consideremos a = x0 < x1 < . . . < xN < xN+1 = b una familia de nodos en [a, b], ue contiene la particiono retıculadie Th := Ij = [xj−1, xj ] : j = 1, . . . , N + 1 en (a, b) inducida. Los intervalos Ij de longitud hj =xj − xj−1 se llama elementos. El tamano de la cuadrıcula es h = maxj hj . El espacio de elementos finitos sedefine como

Vh =v ∈ C0([a, b]) : v|Ij ∈ P1(Ij) fur 1 ≤ j ≤ N + 1, v(a) = v(b) = 0

⊂ V.

Donde PP := spanx0, x1, . . . , xP . El metodo Ritz FE consiste en resolver el problema de minimizaciondiscreta

Finde uh ∈ Vh : J(uh) ≤ J(vh) ∀vh ∈ Vh. (1.4)

El metodo Galerkin FE consiste en resolver la ecuacion de variacion discreta

Finde uh ∈ Vh : (u′h, v′h) = (f, vh) ∀vh ∈ Vh. (1.5)

1.2 MEF con funciones lineales continuas por trozos 3

Teorema 1.3. Los problemas (1.5) y (1.4) son equivalentes.

Demostracion. Analogo al teorema 1.1. ut

Para determinar uh ∈ Vh, (1.5) se transforma en un sistema lineal de ecuaciones. Sea ϕjNj=1 una base de

Vh. Entonces uh(x) =∑Ni=1 αiϕi(x) y debido a la bilinealidad del producto escalar

(1.5) ⇔ Encontrar α ∈ RN :

N∑i=1

αi (ϕ′i, ϕ′j)︸︷︷︸

=:aji

= (f, ϕj)︸︷︷︸=:bj

, 1 ≤ j ≤ N ⇔ resolver Aα = b (1.6)

Lema 1.4. La matriz de rigidez A in (1.6) es simetrica y definida positiva (A = A>, η>Aη > 0 ∀η ∈RN \ 0).

Demostracion. Como el producto escalar es simetrico, aji = (ϕ′i, ϕ′j) = (ϕ′j , ϕ

′i) = aij . Sea η ∈ RN arbitrario

y v(x) =∑Ni=1 ηiϕi(x) ∈ Vh. Entonces se tiene

η>Aη =

N∑i,j=1

ηiηj(ϕ′i, ϕ′j) =

N∑i=1

ηiϕ′i(x),

N∑j=1

ηjϕ′j(x)

= (v′, v′) ≥ 0.

Sin embargo, (v′, v′) = 0 si y solo si v es constante. Sin embargo, debido a las restricciones, la funcion nulaes la unica funcion constante en Vh. ut

El lema 1.4 garantiza que (1.6) tiene una solucion unica y que el metodo CG y el metodo Cholesky sonaplicables para resolver. Para uso practico, el numero de entradas distintas de cero de la matriz A es re-levante (el requisito de memoria de una matriz dispersa es mucho menor que una matriz completamentepoblada (densa)). El esfuerzo computacional de la multiplicacion matriz-vector en el metodo CG tambienes proporcional al numero de entradas distintas de cero. Al calcular el metodo Cholesky, el ancho de bandatambien es crucial. Ambos estan determinados en gran medida por la eleccion de funciones basicas. El anchode banda adicionalmente depende de la numeracion de las funciones basicas. Las funciones basicas con unsoporte finito tan pequeno como sea posible son particularmente eficientes. Para funciones lineales continuas,por partes, las funciones sombrero lo hacen

ϕj(x) =

x−xj−1

xj−xj−1=

x−xj−1

hj, x ∈ [xj−1, xj ]

xj+1−xxj+1−xj =

xj+1−xhj+1

, x ∈ [xj , xj+1]

0 sonst

mit ϕ′j(x) =

1hj, x ∈ (xj−1, xj)

− 1hj, x ∈ (xj , xj+1)

0 x 6∈ [xj−1, xj+1]

(1.7)

xj−1 xj xj+1 xi−1 xi xi+1

ϕj ϕiϕj+1

Figura 1.1: Visualizacion de tres funciones globales de tipo sombrero.

Como se puede ver facilmente, aji = (ϕ′i, ϕ′j) = 0 si ϕjϕi = 0. Al construir las funciones basicas, siempre que

|i− j| > 1. Ademas, debido a la simetrıa, aj−1,j = aj,j−1. Solo queda calcular:

ajj =

∫ b

a

ϕ′jϕ′j =

∫ xj

xj−1

1

h2j

+

∫ xj+1

xj

1

h2j+1

=1

hj+

1

hj+1, 1 ≤ j ≤ N

aj,j−1 =

∫ b

a

ϕ′j−1ϕ′j =

∫ xj

xj−1

−1

h2j

=−1

hj, 2 ≤ j ≤ N


En una cuadrıcula uniforme; es decir, h = hj(=b−aN+1 ), (1.6) se convierte en

1

h

2 −1−1 2 −1

. . .. . .

. . .

−1 2 −1−1 2

α1

...αN

=

b1...bN

.

En particular, el numero de entradas que no son cero en la matriz A es solo N+2(N−1), y por lo tanto crecesolo linealmente con la dimensionN y no cuadraticamente. Esto significa que la sobrecarga de memoria de A essolo mathcalO(N), y la multiplicacion matriz-vector requiere solo operaciones aritmeticas de mathcalO(N).

Ejemplo 1.5. Sea u(x) = (x−1)(x+1) = x2−1 sobre I = [−1, 1]. Entonces −u′′ = f = −2. Sea h = hj = 2/3y por lo tanto N = 2. El sistema lineal de ecuaciones es

3

2

(2 −1−1 2

)(α1

α2

)=

(∫I−2ϕ1∫

I−2ϕ2

)=

(−4/3−4/3

)⇒ α =

(−8/9−8/9

)−1 1

uhu

1.3. Construccion del espacio de elementos finitos por elementos de referencia

La construccion explıcita de funciones de base global es generalmente muy costosa. Por lo tanto, en laaplicacion practica de FEM, las funciones de base local se construyen sobre un elemento de referencia, queluego se transforman en un elemento fısico real y se ensamblan en funciones de base global.Sea I = [−1, 1] el elemento de referencia (dominio de integracion de cuadratura de Gauss) y Ij = [xj−1, xj ]

el elemento fısico. El mapa Fj(t) =xj+xj−1

2 +xj−xj−1

2 t es afın, la transformacion biyectiva de I a I. Laasignacion se construye usando el problema de interpolacion lineal Fj(t) = a+bt, Fj(−1) = xj−1, Fj(1) = xjesta resuelto. La funcion inversa es F−1

j (x) = 2xj−xj−1

x − xj+xj−1

xj−xj−1. En particular, d

dtFj(t) =xj−xj−1

2 =hj2

und ddxF−1

j (x) = 2hj

.

−1 1 xj−1 xj

Fj(t)

F−1j (x)

Figura 1.2: Visualizacion de la transformacion afın y biyecta I a I.

Sea ϕkNk=1 la base global de Vh y φjipji=0 tiene una base local correspondiente en I. Ahora ϕk|Ij debe

representarse como una combinacion lineal de φjipji=0; es decir, ϕk|Ij (x) =

∑pji=0 π

jkiφ

ji (F−1

j (x)). La matriz

πj ∈ RN×pj+1 se llama matriz de conectividad local al elemento Ij , cuyas entradas de la eleccion explıcita

de las funciones basicas ϕk und φji , ası como tambien dependen de las condiciones de continuidad de ϕk.

1.3 Construccion del espacio de elementos finitos por elementos de referencia 5

Ejemplo 1.6 (Construccion de las funciones sombrero). Las funciones basicas locales son φ1 = 1−t2 y φ2 = 1+t

2 .Luego se aplica en I1 (ver figura 1.3)

ϕ1|I1 = 0 · φ1 F−11 + 1 · φ2 F−1

1 , ϕ2|I1 = 0 · φ1 F−11 + 0 · φ2 F−1

1 , ϕ3|I1 = 0 · φ1 F−11 + 0 · φ2 F−1

1 .

La matriz de conectividad consiste en los coeficientes de desarrollo; es decir:

π1 =

0 10 00 0

.

Del mismo modo, se aplican I2 y I3

ϕ1|I2 = 1 · φ1 F−11 + 0 · φ2 F−1

1 , ϕ2|I2 = 0 · φ1 F−11 + 1 · φ2 F−1

1 , ϕ3|I2 = 0 · φ1 F−11 + 0 · φ2 F−1

1

ϕ1|I3 = 0 · φ1 F−11 + 0 · φ2 F−1

1 , ϕ2|I3 = 1 · φ1 F−11 + 0 · φ2 F−1

1 , ϕ3|I3 = 0 · φ1 F−11 + 1 · φ2 F−1

1

y ası

π2 =

1 00 10 0

, π3 =

0 01 00 1

.

φ1 φ2 φ1 F−1j φ2 F−1j ϕ1 ϕ2 ϕ3

x0 x1 x2 x3xj−1 xj−1 1

Fj πj

Figura 1.3: Visualizacion del diseno de la funcion sombrero.

Ejemplo 1.7 (Funciones cuadraticas con base lagrangiana). Las funciones de base local estan en el problema

de interpolacion φj ∈ P2(−1, 1) con φj(xi) = δi,j , donde xi = −2 + i (1 ≤ i ≤ 3) que son los puntos decuadratura de Gauss Lobatto. Las matrices de conectividad para mapear 1.4 son:

π1 =

0 1 00 0 10 0 00 0 00 0 00 0 0

, π2 =

0 0 01 0 00 1 00 0 10 0 00 0 0

, π3 =

0 0 00 0 00 0 01 0 00 1 00 0 1

.

Ejemplo 1.8 (Funciones cuadraticas con base integrada de Legendre). Las funciones de base loca φ1, φ2 son

las funciones lineales del ejemplo 1.6, y φ3(t) =∫ t−1l1(s) ds = t2−1

2 donde l1(s) = s es el polinomio lineal deLegendre. Las matrices de conectividad para mapear 1.5 son:

π1 =

0 1 00 0 00 0 00 0 10 0 00 0 0

, π2 =

1 0 00 1 00 0 00 0 00 0 10 0 0

, π3 =

0 0 01 0 00 1 00 0 00 0 00 0 1

.


φ1 φ2 φ1 F−1jφ2 F−1j

ϕ1 ϕ2 ϕ3

x0 x1 x2 x3xj−1 xj−1 1

Fj πj

ϕ4 ϕ5 ϕ6φ3 φ3 F−1j

Figura 1.4: Visualizacion de la construccion de funciones de base cuadratica a traves de la base de Lagrange.

φ1 φ2 φ1 F−1j φ2 F−1j ϕ1 ϕ2 ϕ3

x0 x1 x2 x3xj−1 xj−1 1

Fj πj

ϕ4 ϕ5 ϕ6φ3 φ3 F−1j

Figura 1.5: Visualizacion de la construccion de funciones de base cuadratica a traves de la base integrada deLegendre.

Queda por aclarar como la matriz (rigidez) A y el lado derecho b solo pueden calcularse utilizando las funcionesde base locales, es decir, sin un conocimiento explıcito de las funciones de base global. Esto funciona endos pasos. Primero, calcule algunos tamanos locales, segundo, armelos en tamanos globales. Entonces, conI = ∪iIi = [a, b], se tiene

bk =

∫I

f(x)ϕk(x) dx =

n∑j=1

∫Ij

f(x)

pj∑i=0

πjkiφji (F−1

j (x)) dx =

n∑j=1

pj∑i=0

πjki︸︷︷︸Ensamblaje

∫ 1

−1

f(Fj(t))φji (t)d

dtFj(t) dt︸︷︷︸

=:bloc,ji (vectordecargalocal)

≈n∑j=1

pj∑i=0

πjkihj2

gqn∑l=1

ωlf(Fj(tl))φji (tl)

donde (ωl, tl) son los pesos y nodos de la cuadratura de Gauss. Del mismo modo, aplicando la regla de lacadena:

akl =

∫I

ϕ′lϕ′k dx =

n∑j=1

∫Ij

pj∑i=0

πjlid

dx

(φji (F−1

j (x))) pj∑r=0

πjkrd

dx

(φjr(F−1

j (x)))dx

=

n∑j=1

pj∑i=0

pj∑r=0

πjliπjkr

∫Ij

(φji )′ F−1

j (x)(φjr)′ F−1

j (x)

d

dxF−1j (x)︸︷︷︸

=2/hj

2

dx

=

n∑j=1

pj∑i=0

pj∑r=0

πjliπjkr︸︷︷︸

Ensamblaje

∫ 1

−1

(φji (t))′(φjr(t))

′ 2

hjdt︸︷︷︸

=:aloc,jri (matrizderigidezlocal)

.

Como el integrante es un polinomio de grado 2pj − 2, la ultima integral se puede integrar exactamente conel nodo pj de la formula de cuadratura de Gauss.

Ejemplo 1.9. La matriz de rigidez local, por ejemplo 1.6 es

aloc,jri =2

hj

∫ 1

−1

(φji (t))′(φjr(t))

′ dt =2

hj

∫ 1

−1

(−1)i+r1

2

1

2dt =

(−1)i+r

hj⇒ aloc,j = h−1

j

(1 −1−1 1

).

1.3 Construccion del espacio de elementos finitos por elementos de referencia 7

Y la matriz de rigidez global es

A =

3∑j=1

πjTestaloc,j

(πjAnsatz

)>

= h−11

0 10 00 0

( 1 −1−1 1

)(0 0 01 0 0

)+ h−1

2

1 00 10 0

( 1 −1−1 1

)(1 0 00 1 0

)+ h−1

3

0 01 00 1

( 1 −1−1 1

)(0 1 00 0 1

)

= h−11

1 0 00 0 00 0 0

+ h−12

1 −1 0−1 1 00 0 0

+ h−13

0 0 00 1 −10 −1 1

=

h−11 + h−1

2 −h−12 0

−h−12 h−1

2 + h−13 −h−1

3

0 −h−13 h−1

3

.

2

Ecuaciones variacionales y sus aproximaciones de Galerkin

2.1. El proceso de Galerkin

El problema tıpico del modelo de PDE con condiciones de borde de segundo orden es el llamado problemade Laplace o Poisson debido a sus muchas aplicaciones posibles. Sea Ω ⊂ Rd (d = 2, 3) area de Lipschitz

limitada con el borde ∂Ω y normal exterior n (∃N ∈ N y los abiertos U1, . . . , UN : ∂Ω ⊂ ⋃Ni=1 Ui y ∂Ω ∩ Ui.Para una determinada f : Ω → R encontrar u : Ω → R, tal que

−∆u = −div∇u = −d∑i=1

∂2u

∂x2i

= f en Ω, u = 0 sobre ∂Ω. (2.1)

Para no descartar soluciones no clasicas u 6∈ C2(Ω)∩C0(Ω) consideremos la formulacion estandar debil comoen el capıtulo 1. Probar (2.1)con una funcion adecuada v, que se anula sobre ∂Ω, regresamos con el teoremaintegral de Gauss∫

Ω

fv dx =

∫Ω

−∆uv dx =

∫Ω

∇u∇v − div(∇uv) dx =

∫Ω

∇u∇v dx−∫∂Ω

∇u · nv ds =

∫Ω

∇u∇v dx. (2.2)

Para f ∈ L2(Ω) los lados izquierdo y derecho obviamente estan bien definidos si u, v ∈ L2(Ω) und ∇u,∇v ∈ L2(Ω); es decir: ∫

Ω

v2 <∞ und

∫Ω

(∇v)2 =

∫Ω

d∑i=1

(∂v

∂xi

)2

<∞.

Esto conduce a los espacios de Hilbert.

H1(Ω) = C∞(Ω)‖·‖1

und H10 (Ω) = C∞0 (Ω)

‖·‖1

donde C∞0 (Ω) = v ∈ C∞(Ω) : supp(v) ⊂⊂ Ω, el porte de v es compacto y se encuentra dentro de Ω. Elespacio de Hilbert H1(Ω) y H1

0 (Ω) estan provistos de la norma

‖v‖H1(Ω) = ‖v‖1 =

(∫Ω

v2 + (∇v)2

)1/2

.

Alternativamente, los dos espacios tambien se pueden introducir a traves del concepto de derivada debil.

Definicion 2.1. Sea Ω ⊂ Rd un abierto acotado. La funcion u ∈ L1(Ω) es debilmente diferenciable si para1 ≤ i ≤ d existe un ui ∈ L1(Ω), tal que∫

Ω

u∂iφ = −∫Ω

uiφ ∀φ ∈ C∞0 (Ω) = φ ∈ C∞(Ω) : suppφ ⊂ Ω.

Planteamos ∂iu = ui y llamamos ∇u = (∂1u, . . . , ∂du)> derivada debil de u.

10 2 Ecuaciones variacionales y sus aproximaciones de Galerkin

Si u ∈ C1(Ω), entonces u es debilmente diferenciable y las derivadas debil y clasica coinciden. Con estadefinicion, los espacios se pueden definir de manera alternativa

H1(Ω) = v ∈ L2(Ω) : la derivada debil∇v ∈ L2(Ω), H10 (Ω) = v ∈ H1(Ω) : v|∂Ω = 0.

Con estos espacios y (2.2) obtemos formulacion clasica debil:

Encontrar u ∈ H10 (Ω) :

∫Ω

∇u∇v dx =

∫Ω

fv dx ∀v ∈ H10 (Ω) (2.3)

Teorema 2.2. (2.1) ⇒ (2.3). Si u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω), entonces (2.3) ⇒ (2.1).

Demostracion. La prueba se la realiza mediante integrales por partes, vea (2.2), y en la direccion hacia atraspor la aplicacion adicional del lema fundamental. ut

Lema 2.3 (Lema fundamental). Sea h ∈ C0(Ω) y∫Ωhv = 0 para todo v ∈ C∞0 (Ω) = w ∈ C∞(Ω) :

supp ⊂⊂ Ω. Entonces h = 0.

Demostracion. Sin perdida de generalidad, suponemos que existe un punto x∗ ∈ Ω con h(x∗) > 0. Debido aque h ∈ C0(Ω) existe un δ > 0, tal que h(x) > 0 para todo x ∈ Bδ(x∗). Eligimos

v(x) =

exp

(1

|x−x∗|2−δ2

), si |x− x∗| < δ

0, sino.

Entonces v ∈ C∞0 (Ω) y v > 0 en Bδ(x∗). Obtenemos la contradiccion

0 =

∫Ω

h(x)v(x) dx =

∫Bδ(x∗)

h(x)v(x) dx > 0.

ut

Con la ayuda de la regularizacion, se puede mostrar incluso una variante mas debil del lema fundamental.Para h ∈ L1(Ω) y (h, v) = 0 para todo v ∈ C∞C (Ω) entonces h = 0 en casi todo lado.El analisis numerico para (2.3) puede determinarse en gran medida mediante el analisis del problema abstracto

Encontrar u ∈ V : a(u, v) = F (v) := 〈f, v〉 ∀v ∈ V (2.4)

Aquı V es un espacio de Hilbert con el producto escalar (·, ·) y la norma inducida‖·‖ = (·, ·)1/2. Sea F : V → Rsea una funcional lineal continua (F ∈ V ∗ el espacio dual V y 〈·, ·, 〉 el producto dual entre V y V ∗); es decir,

F (βv + θw) = βF (v) + θF (w) ∀β, θ ∈ R, ∀v, w ∈ V∃CF > 0 : |F (v)| ≤ CF ‖v‖ ∀v ∈ V (Stetigkeit). (2.5)

Ademas sea a(·, ·) : V × V → R una forma bilineal coercitiva continua sobre V ; es decirN

a(βu+ θv, w) = βa(u,w) + θa(v, w) ∀β, θ ∈ R, ∀u, v, w ∈ Va(u, βv + θw) = βa(u, v) + θa(u,w) ∀β, θ ∈ R, ∀u, v, w ∈ V∃Ca > 0 : |a(u, v)| ≤ Ca‖u‖‖v‖ ∀u, v ∈ V (continuidad) (2.6)

∃α > 0 : a(v, v) ≥ α‖v‖2 ∀v ∈ V (V − coercitividad). (2.7)

Si una forma bilineal simetrica es positiva definida, entonces

a(v, v) > 0 ∀v ∈ V \ 0

Es un producto escalar e induce la norma energetica

‖v‖a = a(v, v)1/2 ∀v ∈ V. (2.8)

Si a(·, ·) es continua y V -coercitiva, entonces la norma de energıa es equivalente ‖ · ‖ porque

2.1 El proceso de Galerkin 11

α‖v‖2 ≤ a(v, v) = ‖v‖2a ≤ Ca‖v‖2.La norma del espacio dual V ∗ se define como

‖F‖V ∗ = supv∈V \0

|F (v)|‖v‖ = sup

v∈V \0

〈f, v〉‖v‖ .

El espacio dual de H10 (Ω) es H−1(Ω) = (H1

0 (Ω))∗, mientras que (H1(Ω))∗ = H−1(Ω) ⊂ H−1(Ω) und(L2(Ω)

)∗= L2(Ω).

Teorema 2.4 (Teorema de Riesz). Sea V un espacio de Hilbert con el producto escalar (·, ·) y la norma‖ · ‖. Cada elemento w ∈ V define una funcional continua y lineal Fw ∈ V ∗ tal que Fw(v) = (w, v). Por otrolado, por cada F ∈ V ∗ existe un elemento unico RF ∈ V , tal que

F (v) = (RF, v) ∀v ∈ V.Se aplica ‖RF‖ = ‖F‖V ∗ ; es decir:

‖R‖V ∗→V := supG∈V ∗\0

‖RG‖‖G‖V ∗

= 1.

Demostracion. La primera parte es trivial. Por cada w ∈ V , Fw se define por Fw(v) = (w, v) una aplicacionlineal V a R y se mantiene la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

‖Fw‖V ∗ = supv∈V \0

|Fw(v)|‖v‖ = sup

v∈V \0

|(w, v)|‖v‖ ≤ sup

v∈V \0

‖w‖‖v‖‖v‖ = ‖w‖.

Debido Fw(w) = (w,w) = ‖w‖2 gilt ‖Fw‖V ∗ ≥ ‖w‖ y juntos

‖Fw‖V ∗ = ‖w‖.Queda por mostrar la existencia unica de RF ∈ V si F ∈ V ∗ se da.Unicidad: Sea w1, w2 ∈ V , tal que F (v) = (w1, v) = (w2, v) para cada v ∈ V . Luego aplicamos la resta

(w1 − w2, v) = 0 ∀v ∈ Vy v = w1 − w2 es seguido inmediatamente por ‖w1 − w2‖2 = 0, por lo tanto w1 = w2.Existencia: analoga al teorema 1.1, obtenemos que la ecuacion de variacion requerida es equivalente al pro-blema de minimizacion

RF ∈ V : J(RF ) ≤ J(v) =1

2‖v‖2 − F (v) ∀v ∈ V

Con la continuidad de F (·) y la desigualdad de Young, se deduce que J(·) esta acotado:

J(v) ≥ 1

2‖v‖2 − CF ‖v‖ ≥

1

2‖v‖2 − 1

2C2F −

1

2‖v‖2 = −1

2C2F

Por lo tanto, de acuerdo con la definicion de Infimum, existe una sucesion mınima (uk)k∈N en V con

lımk→∞

J(uk) = ınfv∈V

J(v) ≥ −1

2C2F > −∞.

Basado en la ecuacion del paralelogramo (‖(a+ b)/2‖2 + ‖(a− b)/2‖2 = 1/2(‖a‖2 + ‖b‖2) y la linealidad deF (·) se tiene

‖um − un‖2 = 2‖um‖2 + 2‖un‖2 − ‖um + un‖2 = 4J(um) + 4J(un)− 8J

(um + un

2

)≤ 4J(um) + 4J(un)− 8 ınf

v∈VJ(v)→ 0 fur m,n ≥ k →∞.

Entonces (uk)k∈N es una sucesion de Cauchy con lımite u ∈ V en V . Porque J(·) es continua (mas precisamenteF (·) lineal y ‖u‖2 − ‖uk‖2 = (‖u‖ − ‖uk‖)(‖u‖+ ‖uk‖) ≤ ‖u− uk‖(‖u‖+ ‖uk‖)),

J(u) = J( lımk→∞

uk) = lımk→∞

J(uk) = ınfv∈V

J(v).

Por lo tanto u es un minimizador, y debido a la equivalencia con la ecuacion de varianza, la solucion buscadaRF = u. ut


demas de la capacidad de solucion unica de las ecuaciones especiales de varianza, el teorema de Riesz estableceque el espacio de Hilbert V es isomorfo a su espacio dual V ∗.

Teorema 2.5 (Lema de Lax-Milgram). Sea V un espacio de Hilbert, a(·, ·) una forma bilineal coercitivacontinua sobre V y F (·) una forma lineal sobre V . Entonces la ecuacion variacional (2.4) tiene una solucionunica.

Demostracion. Supongamos A : V → V ∗ es una aplicacion lineal continua definida por 〈Au, v〉 = a(u, v) paratodo u, v ∈ V . Sea R : V ∗ → V el isomorfismo de Riesz. Entonces a(u, v) = 〈Au, v〉 = (RAu, v) y

α‖v‖2 ≤ a(v, v) = (RAv, v) ≤ ‖RAv‖‖v‖ = ‖Av‖V ∗‖v‖ ≤ |||A||| · ‖v‖2.

En particular, 0 < α ≤ |||A|||. Sea r > 0 arbitrario y la transformacion T : V → V definida por

Tu = u− r(RAu−Rf).

Obviamente u∗ es un punto fijo de T , si y solo si RAu∗ − Rf = 0, que es equivalente a por el Teorema deRiesz a(u∗, v) = 〈f, v〉 para todo v ∈ V ; es decir, el punto fijo u∗ es la solucion buscada. La existencia y launicidad se derivan del teorema del punto fijo de Banach, si T es una contraccion Se aplica

‖Tv1 − Tv2‖2 = ‖(v1 − v2)− r(RA(v1 − v2))‖2

= ‖(v1 − v2)‖2 − 2r(RA(v1 − v2), v1 − v2) + r2‖RA(v1 − v2)‖2

≤ (1− 2αr + r2|||A|||2)‖(v1 − v2)‖2.

Para r = α|||A|||−2, el factor 0 ≤ (1− 2αr + r2|||A|||2) = 1− α2|||A|||−2 < 1. ut

En lo siguiente siempre asumimos, a menos que se requiera lo contrario, que a(·, ·) y F (·) (2.5)-(2.7) suficiente.

Lema 2.6. La solucion de la ecuacion variacional (2.4) satisface la estimacion a priori

‖u‖ ≤ α−1‖f‖V ∗ .

y la condicion de Lipschitz depende constantemente de los datos f ∈ V ∗; es decir:

‖u1 − u2‖ ≤ α−1‖f1 − f2‖V ∗

donde ui es la solucion unica a la derecha fi.

Demostracion. stimacion a priori: de la coercitividad sobre V de a(·, ·) y la continuidad de F (v) = 〈f, v〉 setiene

α‖u‖2 ≤ a(u, u) = F (u) ≤ ‖f‖V ∗‖u‖.

Dividimos por α‖u‖ proporciona el resultado.Continuidad de Lipschitz: ahora u1, u2 sean las soluciones unicas a la derecha F1(v) = 〈f1, v〉, bzw. F2(v) =〈f2, v〉. Restamos las dos ecuaciones varicionales y lo que da

a(u1 − u2, v) = 〈f1 − f2, v〉 ≤ ‖f1 − f2‖V ∗‖v‖.

Con v = u1 − u2 y la coercitividad sobre V sigue, analogamente a lo anterior, que

α‖u1 − u2‖ ≤ ‖f1 − f2‖V ∗ .

ut

La coercitividad sobre V juega un papel crıtico, pero su prueba no siempre es trivial, como a(u, v) =∫Ω∇u∇v.

Teorema 2.7 (Desigualdad de Poincare-Friedrichs). Existe una constante C > 0, tal que

C‖v‖L2(Ω) ≤ |v|H1(Ω) := ‖∇v‖L2(Ω) ∀v ∈ H10 (Ω). (2.9)

2.1 El proceso de Galerkin 13

Demostracion. Damos la prueba para d = 2. En dimensiones superiores funciona de forma analoga. SeaΩ ⊂ Ω1 := (x, y) : 0 < x, y < a. Luego, cada v ∈ H1

0 (Ω) puede continuar en cero hastaΩ1 . En particular,v(0, y) = 0 y el teorema fundamental del Calculo diferencial e integral conduce a

v(x, y) =

∫ x

0

∂1v(ξ, y) dξ ∀(x, y) ∈ Ω.

Con la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene

|v(x, y)|2 =

∣∣∣∣∫ x

0

1 · ∂1v(ξ, y) dξ

∣∣∣∣2 ≤ ∫ x

0

1 dξ

∫ x

0

|∂1v(ξ, y)|2 dξ ≤ a∫ a

0

|∂1v(ξ, y)|2 dξ.

En consecuencia

‖v‖2L2(Ω) =

∫Ω1

|v(x, y)|2 d(x, y) =

∫ a

0

∫ a

0

|v(x, y)|2 dx dy ≤∫ a

0

∫ a

0

a

∫ a

0

|∂1v(ξ, y)|2 dξ dx dy

= a2

∫ a

0

∫ a

0

|∂1v(ξ, y)|2 dξ dy ≤ a2

∫ a

0

∫ a

0

|∂1v(ξ, y)|2 + |∂2v(ξ, y)|2 dξ dy = a2|v|2H1(Ω),

porque ∇v = 0 en Ω1 \ Ω. ut

Ejemplo 2.8. Sea V = H10 (Ω), a(u, v) =

∫Ω∇u∇v dx y F (v) = 〈f, v〉. Como H1

0 (Ω) es un espacio de Hilbert,

|F (v)| = |〈f, v〉| ≤ ‖f‖H−1(Ω)‖v‖H1(Ω) ∀v ∈ H10 (Ω)

y

|a(u, v)| =∣∣∣∣∫Ω

∇u∇v dx∣∣∣∣ ≤ |u|H1(Ω)|v|H1(Ω) ≤ ‖u‖H1(Ω)‖v‖H1(Ω) ∀u, v ∈ H1(Ω)

a(v, v) =1

2|v|2H1(Ω) +

1

2|v|2H1(Ω) ≥

1

2|v|2H1(Ω) +

C

2‖v‖2L2(Ω) ≥ α‖v‖2H1(Ω) ∀v ∈ H1

0 (Ω)

mit α = mın1/2, C/2 > 0, ist das Poisson-Problem (2.3) eindeutig losbar.

Para el metodo de Galerkin Vh ⊂ V es un subespacio de dimension finita V . La aproximacion de Galerkinuh de u es la solucion de la ecuacion variacional discreta:

Encontrar uh ∈ Vh : a(uh, vh) = F (vh) ∀vh ∈ Vh (2.10)

Teorema 2.9. Hay una solucion unica para (2.10). Esta satisface la estimacion de estabilidad

‖uh‖ ≤ α−1‖f‖H−1(Ω).

Demostracion. Como Vh igue siendo un espacio de Hilbert, la existencia y la unicidad siguen con el lemaLax-Milgram (Teorema 2.5). La estabilidad sigue literalmente como en el caso estable. ut

Una propiedad fundamental del metodo clasico de Galerkin es la llamada ortogonalidad de Galerkin.

Lema 2.10 (Ortogonalidad de Galerkin). Se tiene

a(u− uh, vh) = 0 ∀vh ∈ Vh. (2.11)

Demostracion. Sea v = vh ∈ Vh ⊂ V dado. Sustraccion (2.10) de (2.4) da

a(u, vh)− a(uh, vh) = a(u− uh, vh) = F (vh)− F (vh) = 0.

ut

La ortogonalidad de Galerkin establece que el error u − uh es ortogonal al espacio FE Vh y que uh es laproyeccion de Galerkin de u sobre Vh respecto a a(·, ·). Resolver (2.10) nos permite proyectar la funciondesconocida u sobre Vh.


Ejemplo 2.11. Una de las muchas aplicaciones de la ortogonalidad de Galerkin radica en el calculo practicodel defecto de la minoracion para formas bilineales simetricas a(·, ·). Porque

‖u− uh‖2a = a(u− uh, u− uh) = a(u− uh, u+ uh) = a(u, u)− a(uh, uh) = ‖u‖2a − ‖uh‖2a. (2.12)

Ahora, si uh → u, ‖u‖2a se puede aproximar mediante la extrapolacion de ‖uh‖2a. En la version mas simple sedesarrolla

‖uh‖a = C0 + C1hβ + C2h

2β + · · · ≈ C0 + C1hβ

en una serie de potencias con coeficientes desconocidos Ci y β > 0. Para h suficientemente pequeno, laaproximacion lineal es lo suficientemente buena, y las tres incognitas C0, C1 y β se pueden determinarusando el metodo Newton si conoce uh para tres h diferentes. Obtenemos la norma de u

‖u‖a = lımh→0‖uh‖a = C0.

Teorema 2.12 (Lema de Cea’, Casi optimalidad). Se tiene

‖u− uh‖ ≤Caα‖u− vh‖ ∀vh ∈ Vh. (2.13)

Demostracion. Con la coercitividad sobre V , la ortogonalidad de Galerkin y la continuidad de la formabilineal sigue inmediatamente

α‖u− uh‖2 ≤ a(u− uh, u− uh) = a(u− uh, u− vh) ≤ Ca‖u− uh‖‖u− vh‖.

Division con α > 0 y ‖u− uh‖ > 0 proporciona el resultado. El caso ‖u− uh‖ = 0 es trivial. utPara la convergencia uh → u ahora solo se deben estimar las propiedades de aproximacion de Vh y ya no deuh, por ejemplo mediante argumentos de ajuste o la construccion de operadores de interpolacion.El lema de C ’ea supone que los calculos del lado izquierdo y derecho se realizan exactamente con el metodode Galerkin. Una generalizacion para tener en cuenta, por ejemplo, los errores de cuadratura proporcionanel primer lema de cadena.

Teorema 2.13 (Lema del primer filamento). Sea (Vh)h>0 una familia de subespacios del espacio deHilbert V . Sean ah(·, ·) : Vh × Vh → R familia de formas bilineales discretas y uniformes, coercitivas sobreVh; es decir:

∃α > 0 ∀h > 0 ∀vh ∈ Vh : ah(vh, vh) ≥ α‖vh‖2V ,

y uh ∈ Vh la solucion de

ah(uh, vh) = 〈fh, vh〉 ∀vh ∈ Vhpara fh ∈ V ∗. Entonces, se tiene:

‖u− uh‖V ≤ (1 +Caα

)‖u− vh‖V + α−1 (‖f − fh‖V ∗ + ‖a(vh, ·)− ah(vh, ·)‖V ∗)

para todo vh ∈ Vh.

Demostracion. Sea vh ∈ Vh cualquiera, se tiene

α‖uh − vh‖2V ≤ ah(uh − vh, uh − vh)

= 〈fh − f, uh − vh〉+ a(u− vh, uh − vh) + a(vh, uh − vh)− ah(vh, uh − vh)

≤ (‖f − fh‖V ∗ + Ca‖u− vh‖V + ‖a(vh, ·)− ah(vh, ·)‖V ∗) ‖uh − vh‖V .

Se divide con ‖uh − vh‖V y se tiene la desigualdad del triangulo

‖u− uh‖V ≤ ‖u− vh‖V + ‖uh − vh‖V ≤ (1 +Caα

)‖u− vh‖V + α−1 (‖f − fh‖V ∗ + ‖a(vh, ·)− ah(vh, ·)‖V ∗) .

utEl teorema anterior es la justificacion teorica de por que, al implementar un codigo de elementos finitos,utilizamos formulas de cuadratura para calcular el lado derecho y, a veces, el lado izquierdo. Cabe senalarque el orden de convergencia del error de cuadratura no cae por debajo del error de interpolacion ‖u− vh‖V

2.2 Construccion continua de funciones lineales de base 15

2.2. Construccion continua de funciones lineales de base

Como en el caso unidimensional, necesitamos funciones basicas de Vh ⊂ V para calcular uh. En la dis-cretizacion del problema de Poisson (2.3) , de forma analoga al caso unidimensional, Ω se descompone enelementos geometricamente simples, no superpuestos, T con diametro hT . A continuacion, suponemos que Ωs poligonal y, por lo tanto, puede descomponerse en sımplex (triangulos en 2D), vea la ilustracion 2.1. Estadescomposicion grilla se llama Th. Ahora reemplazamos V durch

Vh = vh ∈ C0(Ω) : vh ist auf Th lineal por trozos, v|∂Ω = 0.

Como veremos mas adelante, φ1(s, t) = 1 − s − t, φ2(s, t) = s, φ3(s, t) = t tiene una base local adecuadaen el elemento de referencia T = convz1, z2, z3 con z1 = (0, 0), z2 = (1, 0), z3 = (0, 1). Al igual que en elcapıtulo 1.3 se combinan en funciones globales de sombrero de base utilizando matrices de transformacion yconectividad afines.

P3 P4 P12

P16P15P14P13

P11

P9 P1 P2 P10

P8P7P6P5

T1

T2

T3

T4

T5

T6

T12

T11T7

T8

T9

T10

T13

T14

T15

T16

T17

T18

1 2

32

1

3

1 2

32

1

3

1 2

32

1

3

1 2

32

1

3

1 2

32

1

3

1 2

32

1

3

1 2

32

1

3

1 2

32

1

3

1 2

32

1

3

Figura 2.1: Representacion de una cuadrıcula Th (izquierda) y una funcion de sombrero ϕk (derecha). Losnumeros rojos son numeros de nodo global, los numeros azules son numeros de nodo local, el area gris es elportador de una funcion sombrero

Ejemplo 2.14. La construccion de las funciones globales del sombrero se realiza utilizando matrices de co-

nectividad; es decir, ϕk|T (x) =∑3i=1 π

(T )ki φi(F−1

T (x)). La configuracion de las matrices de conectividad es la

misma que en el caso 1D. La i-esima funcion base local φi asociada con el i-esimo nodo local zi Por lo tanto,la figura2.1 dice que FT se construye de tal manera que para T2, el nodo local z1 en el nodo global P5, z2

se asigna a P6 y z3 a P1. EntoncesFT2(s, t) = P5 + (P6 − P5)s + (P1 − P5)t. Si ahora las funciones de baseglobal se asocian con los numeros de nodo, entonces ϕk(Pj) = δkj , entonces las entradas en las matrices de

conectividad se pueden leer en la figura 2.1. En T2, la primera funcion base local φ1(F−1T2

(x)) es necesariapara representar ϕ5. Analogamente, el segundo lugar para el sexto global, y el tercer lugar para el primerglobal. Eso se expresa

π(T2) =

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

> .Analogamente se tiene

π(T3) =

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

> , π(T9) =

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

> .


El uso de funciones de base polinomiales superiores funciona de manera similar. Por lo tanto, queda por aclararcomo se pueden calcular las entradas de la matriz de Galerkin de forma analoga al capıtulo 1.3. El calculode la matriz de masa y rigidez mediante variables locales es mas complejo en la dimension multidimensionalque en una, pero funciona estructuralmente de la misma manera. Sea F : T → T con t 7→ x la asignaciondel elemento de referencia T al elemento fısico T ⊂ Rd. En particular, u(x) = u(F−1(x)) = u F−1(x) unafuncion definida en T para u una funcion T . Ademas, x = F(t) y por lo tanto dx = |

∣∣∂F∂t

∣∣ | dt = |det ∂F∂t | dt.Sin embargo, para elementos finitos validos, el signo de det ∂F∂t es constante. Para la matriz de masa tenemos∫Ω

uv dx =∑T∈Th

∫T

uv dx wobei

∫T

u(x)v(x) dx =

∫T

u(F−1(x))v(F−1(x)) dx =

∫T

u(t)v(t)|∣∣∣∣∂F∂t (t)

∣∣∣∣ | dt.Lo mismo se aplica a la matriz de rigidez de acuerdo con la regla de la cadena.

∂u(F−1(x))

∂xj=

d∑k=1

∂u

∂tk F−1(x) · ∂(F−1(x))k

∂xj,

que ∫T

∇xu(x)∇xv(x) dx =

∫T

∇xu(F−1(x))∇xv(F−1(x)) dx

=

∫T

d∑k=1

[(∂xkF−1(x))∇tu F−1

] [(∂xkF−1(x))∇tv F−1

]dx

=

∫T

d∑k=1

[(∂xkF−1(x)) F∇tu

] [(∂xkF−1(x)) F∇tv

]|∣∣∣∣∂F∂t

∣∣∣∣ | dt=

∫T

d∑k=1

[d∑i=1

∂ti∂xk

∂ti u

] d∑j=1

∂tj∂xk

∂tj v

| ∣∣∣∣∂F∂t∣∣∣∣ | dt

=

∫T

d∑i=1

d∑j=1

(d∑k=1

∂ti∂xk

∂tj∂xk

)∂ti u∂tj v|

∣∣∣∣∂F∂t∣∣∣∣ | dt.

Debido a t = F−1 F(t)

I = ∇tt = ∇t(F−1 F(t)) =[(∇xF−1) F(t)

]∇tF(t).

Eso significa

I =

(∂ti∂tj

)i,j

=

(∂ti(x(t))

∂tj

)i,j

=

(d∑k=1

∂ti∂xk

∂xk∂tj

)i,j

=

(∂ti∂xk

)i,k

(∂xk∂tj

)k,j

.

Lo entendemos (∂ti∂xk

)i,k

=

[(∂xk∂tj

)k,j

]−1

.

En general, tenemos dos dimensiones, ası que ∂t1∂x1

∂t1∂x2

∂t2∂x1

∂t2∂x2

=

∂x1

∂t1∂x1

∂t2

∂x2

∂t1∂x2

∂t2

−1

=1∣∣∂F∂t

∣∣ ∂x2

∂t2−∂x1

∂t2

−∂x2

∂t1∂x1

∂t1

con

∣∣∂F∂t

∣∣ = ∂x1

∂t1∂x2

∂t2− ∂x1

∂t2∂x2

∂t1y ası

2.2 Construccion continua de funciones lineales de base 17∫T

∇xu∇xv dx

=

∫T

[(∂x2

∂t2,−∂x2

∂t1)∇tu

] [(∂x2

∂t2,−∂x2

∂t1)∇tv

]+

[(−∂x1

∂t2,∂x1

∂t1)∇tu

] [(−∂x1

∂t2,∂x1

∂t1)∇tv

]1

|∣∣∂F∂t

∣∣ | dt=

∫T

((∂x2

∂t2)2 + (

∂x1

∂t2)2

)∂t1 u∂t1 v −

(∂x1

∂t1

∂x1

∂t2+∂x2

∂t1

∂x2

∂t2

)(∂t1 u∂t2 v + ∂t2 u∂t1 v)

+

((∂x2

∂t1)2 + (

∂x1

∂t1)2

)∂t2 u∂t2 v

1

|∣∣∂F∂t

∣∣ | dt. (2.14)

En tres dimensiones tiene∣∣∣∣∂F∂t∣∣∣∣ =

∂x

∂t1

(∂x

∂t2× ∂x

∂t3

)=∂x1

∂t1(∂x2

∂t2

∂x3

∂t3− ∂x3

∂t2

∂x2

∂t3)− ∂x2

∂t1(∂x1

∂t2

∂x3

∂t3− ∂x3

∂t2

∂x1

∂t3) +

∂x3

∂t1(∂x1

∂t2

∂x2

∂t3− ∂x2

∂t2

∂x1

∂t3)

y

(∂ti∂xk

)i,k

=1∣∣∂F∂t

∣∣

∂x2

∂t2∂x3

∂t3− ∂x3

∂t2∂x2

∂t3−∂x1

∂t2∂x3

∂t3+ ∂x3

∂t2∂x1

∂t3∂x1

∂t2∂x2

∂t3− ∂x2

∂t2∂x1

∂t3

−∂x2

∂t1∂x3

∂t3+ ∂x3

∂t1∂x2

∂t3∂x1

∂t1∂x3

∂t3− ∂x3

∂t1∂x1

∂t3−∂x1

∂t1∂x2

∂t3+ ∂x2

∂t1∂x1

∂t3

∂x2

∂t1∂x3

∂t2− ∂x3

∂t1∂x2

∂t2−∂x1

∂t1∂x3

∂t2+ ∂x3

∂t1∂x1

∂t2∂x1

∂t1∂x2

∂t2− ∂x2

∂t1∂x1

∂t2

.

@@

@@@

@@@

@@@@

(0, 0) (1, 0)

(0, 1)

=⇒

SSSSSSSSSSSS

p1 p2

p3

Para los elementos triangulares T con los nodos p1, p2, p3, la expresion anterior se simplifica ligeramente. Latransformacion F : T → T es entonces

F(t) = a+ a1t1 + a2t2

donde los coeficientes son las tres ecuaciones satisfacen

p1 = a, p2 = a+ a1, p3 = a+ a2.

Eso es

a = p1, a1 = p2 − p1, a2 = p3 − p1.

La matriz de transformacion jacobiana es ası

∂F∂t

=

(∂F1

∂t1∂F1

∂t2∂F2

∂t1∂F2

∂t2

)=

((a1)1 (a2)1

(a1)2 (a2)2

)=

(∂x1

∂t1∂x1

∂t2∂x2

∂t1∂x2

∂t2

)(2.15)

y el determinante de Jakobi es

18 2 Ecuaciones variacionales y sus aproximaciones de Galerkin∣∣∣∣∂F∂t∣∣∣∣ = a1

1a22 − a2

1a12 = a1 × a2. (2.16)

Para las entradas de matriz de rigidez se tiene:∫T

∇xu∇xv dx =

∫T

(a2)2∂t1 u∂t1 v + (a1)2∂t2 u∂t2 v − a1a2(∂t1 u∂t2 v + ∂t2 u∂t1 v)

1

|a1 × a2|dt (2.17)

Ejemplo 2.15. En los triangulos, las cantidades (a2)2, (a1)2, a1a2 y |a1×a2| son constantes. Para las funciones

de base local φ1(s, t) = 1− s− t, φ2(s, t) = s, φ3(s, t) = t es la matriz de rigidez simetrica local

aloc1,1 =(a2)2 + (a1)2 − 2a1a2

2|a1 × a2|, aloc1,2 =

−(a2)2 + a1a2

2|a1 × a2|, aloc1,3 =

−(a1)2 + a1a2

2|a1 × a2|,

aloc2,2 =(a2)2

2|a1 × a2|, aloc2,3 =

−a1a2

2|a1 × a2|, aloc3,3 =

(a1)2

2|a1 × a2|.

La matriz de rigidez global se realiza utilizando matrices de conectividad, ver ejemplo 2.14 y ensamblaje.

Ejemplo 2.16. Consideramos el problema de Poisson (2.1) con Ω = [−1, 1]2 y la solucion exacta u(x, y) =(1 − 2x2 + x4)(1 − 2y2 + y4). El espacio de elementos finitos Vh El espacio de elementos finitos Vh consisteen funciones continuas, lineales / cuadraticas por partes en una cuadrıcula triangular. La curva de error semuestra en la Figura 2.2.

100 101 102 103 104 105 106 10710−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

1

1/2

h-unif., p = 1h-unif., p = 2

Figura 2.2: ‖u− uh‖H1(Ω) doble logarıtmico contra la dimension de Vh, ejemplo 2.16.

2.3. Aproximaciones con elementos finitos

Sea m ∈ N0. Ademas, α ∈ Nd0 es un ındice multiple, ∂α = ∂α11 ∂α2

2 · · · ∂αdd y Dmv = (∂αv)α∈Nd0 , |α|=m, donde

|α| = α1 + α2 + · · ·+ αd. Entonces

‖v‖2Hm(Ω) =∑|α|≤m

‖∂αv‖2L2(Ω), |v|2Hm(Ω) =∑|α|=m

‖∂αv‖2L2(Ω)

la norma, o semi-norma, de Hm(Ω). En particular, Hm(Ω) ⊂ C(Ω) se mantiene si m > d/2, y el conjuntoC∞(Ω) es denso en Hm(Ω).

2.3 Aproximaciones con elementos finitos 19

A continuacion, sea T ⊂ Rd un area restringida de Lipschitz. Mas tarde T se eligira especıficamente como

simplex. Sea Pm−1(T ) =v ∈ C(T ) : v =

∑α∈Nd0 , |α|≤m−1 aαx

α, aα ∈ R

, donde xα = xα11 · . . . · xαdd , el

espacio de los polinomios del grado mas alto m − 1 y PT el espacio de aproximacion local Pm−1 ⊆ PT =spanq0 . . . , qR, y K = χ0, . . . , χR un conjunto de funcionales lineales continuas en Hm(T ), de modo quela matriz A ∈ R(R+1)×(R+1) con Ajk = χj(qk) sea regular. La interpolacion IT v ∈ PT de v ∈ Hm(T ) es unaunica funcion en PT con

χ(IT v) = χ(v) ∀χ ∈ K.

En particular, existe una base dual φ0 . . . , φR (sobre la inversion de A, es decir, φj es una combinacionlineal qi y PT = spanφ0 . . . , φR) con

χj(φk) = δjk 0 ≤ j, k ≤ R.

Aus der Linearitat der χ ∈ K folgt sofort, dass

IT v =

R∑j=0

χj(v)φj ∀v ∈ Hm(T ).

Ejemplo 2.17 (Interpolacion lineal en vertices de un triangulo). Sean z0 = (0, 0), z1 = (1, 0), z2 = (0, 1),T = convz0, z1, z2, m = 2, χj(v) = v(zj), q0 = 1, q1 = x, q2 = y. Entonces, se tiene:

A =

1 0 01 1 01 0 1

⇒

φ0

φ1

φ2

= A−T

q0

q1

q2

,

Luego φ0 = 1 − x − y, φ1 = x, φ2 = y y IT v(x) =∑2i=0 v(zi)φi(x). Este es el operador de interpolacion

clasico.

Lema 2.18 (Nucleo de operadores diferenciales). Sea v ∈ Hm(T ) y ∂αv = 0 para todo α ∈ Nd0 con|α| = m. Entonces existe un polinomio q ∈ Pm−1(T ), tal que v = q.

Demostracion. m = 0 es trivial. Sea m = 1, luego ∇v = 0 y se deduce que v es constante. Entonces elenunciado se mantiene para m = 1. Veamos para m ≥ 1, y sea v ∈ Hm+1(T ), entonces ∂αv = 0 para todoα ∈ Nd0 con |α| = m + 1. Para cada β ∈ Nd0 con |β| = m y cada j = 1, 2, . . . , d porque las derivadas debilesconmutan.

∂αv = ∂j∂βv = ∂β(∂jv) = 0.

Por lo tanto, por induccion, wj = ∂jv ∈ Pm−1(T ) para j = 1, 2, . . . , d. Al incluir w = (w1, w2, . . . , wd) = ∇va lo largo de una ruta apropiada, podemos incluir un v ∈ Pm(T ) con ∇v = w. Esto implica que ∇(v− v) = 0y por lo tanto v − v es constante. Esto implica que v ∈ Pm(T ). utLema 2.19 (Proyeccion en el espacio de los polinomios). Para cada v ∈ Hm(T ) existe un polinomiobien definido q ∈ Pm−1(T ), tal que ∫

T

∂α(v − q) dx = 0

para todo α ∈ Nd0 con |α| ≤ m− 1.

Demostracion. Sea N = |α ∈ Nd0 : |α| ≤ m− 1|. Porque

Pm−1(T ) =

∑α∈Nd0 , |α|≤m−1

aαxα : aα ∈ R

,

sigue lo siguiente

Pm−1(T )→ RN , q 7→(∫

T

∂αq dx

)α∈Nd0 , |α|≤m−1

es un isomorfismo que implica el enunciado. ut


Lema 2.20 (Desiguald generalizada de Poincare). Existe una constante C > 0,tal que para todo v ∈Hm(T ) con ∫

T

∂αv dx = 0

para todo α ∈ Nd0 con |α| ≤ m− 1, se tiene

‖v‖Hm(T ) ≤ C|v|Hm(T ).

Demostracion. Supongamos que la afirmacion es incorrecta. Entonces existe una sucesion (vk)k in Hm(T )con

‖vk‖Hm(T ) = 1, |vk|Hm(T ) ≤ k−1.

La sucesion (vk) esta limitada en Hm(T ) segun el teorema de inclusion de Rellich-Kandrachov, existe unv ∈ Hm(T ) una subsucesion (vkj ) con vkj → v en Hm−1(T ) cuando j → ∞. Porque |vk|Hm(T ) → 0 es (vkj )una sucesion de Cauchy en Hm(T ) (‖vkj − vkl‖2m = ‖vkj − vkl‖2m−1 + |vkj − vkl |2m) con lımite v. Se tiene|v|Hm(T ) = 0 y com el lema 2.18, que v = q ∈ Pm−1(T ). El lema 2.19 implica la suposicion∫

T

∂αv dx = 0

para todo α ∈ Nd0 con |α| ≤ m− 1, que v = q = 0. Esto es contradictorio.

‖v‖Hm(T ) = lımj→∞

‖vkj‖Hm(T ) = 1.

ut

Teorema 2.21 (Lema de Bramble-Hilbert). Sea F : Hm(T )→ R una funcional continua, casi sublineal;es decir,

∃c2 > 0 : |F (v)| ≤ c2‖v‖Hm(T ),

∃c1 > 0 : |F (v + w)| ≤ c1 (|F (v)|+ |F (w)|)

para todo v, w ∈ Hm(T ). Ademas sean Pm−1(T ) ⊆ kerF . Entonces existe una constante C > 0, tal que

|F (v)| ≤ C‖Dmv‖L2(T ) = C|v|Hm(T )

para todo v ∈ Hm(T ).

Demostracion. Sea v ∈ Hm(T ) und q ∈ Pm−1(T ), se tiene

|F (v)| = |F (v − q + q)| ≤ c1 (|F (v − q)|+ |F (q)|) = c1|F (v − q)| ≤ c1c2‖v − q‖Hm(T ).

Del lema 2.19 se deduce que un q ∈ Pm−1(T ) unico con∫T∂α(v−q) dx = 0 para todo α ∈ Nd0 con |α| ≤ m−1

existe. Lemm 2.20 implica ‖v − q‖Hm(T ) ≤ c3|v − q|Hm(T ) = c3‖Dm(v − q)‖L2(T ). El resultado sigue conDmq = 0. ut

Lema 2.22 (Estabilidad de la interpolacion). Sea Pm−1 ⊆ PT y | · |S una seminorma en Hm(T ) con|v|S ≤ cS‖v‖Hm(T ) para todo v ∈ Hm(T ). Entonces, exise una constante C > 0, tal que

|v − IT v|s ≤ C‖Dmv‖L2(T ) ∀v ∈ Hm(T ).

Demostracion. Sea F (v) = |v − IT v|S sublineal. Sea φ0, . . . , φR la base dual y por lo tanto IT v =∑Rj=0 χj(v)φj . Como χj s, por definicion, una funcion continua en Hm(T ), entonces |χj(v)| ≤ C‖v‖Hm(T )

sigue

|F (v)| = |v − IT v|S ≤ |v|S + |IT v|S ≤(cS +RC max

j=0,...,R|φj |S

)‖v‖Hm(T ).

Es decir, F (·) es estable. Ademas, F (q) = 0 para todo q ∈ PT ⊇ Pm−1, y por lo tanto satisface los requisitosdel lema Bramble-Hilbert y el enunciado se cumple. ut

2.3 Aproximaciones con elementos finitos 21

hT

ρT

z0

z1

z2

Figura 2.3: Visualizacion de hT y ρT .

A continuacion queremos aclarar como las constantes anteriores dependen del dominio/elemento/simplex T .Sea el diametro hT y el radio interno ρT de un conjunto T ⊂ Rd definidos por

hT = diam(T ) = sup|x− y| : x, y ∈ T (2.18)

ρT = supr : r > 0, x ∈ T, Br(x) ⊂ T. (2.19)

Un simplex con los nodos z0, z1, . . . , zd ∈ Rd no es degenerado, si los nodos no son colineales

Lema 2.23. Sea T = conv0, e1, . . . , ed con la base canonica (e1, e2, . . . , ed) de Rd. Sea T = convz0, z1, . . . , zd ⊂Rd un sımplex no degenerado. Entonces hay un difeomorfismo afın unico FT : T → T con FT (0) = z0 yFT (ej) = zj para j = 1, 2, . . . , d. Para cada v ∈ Hm(T ) y v = v FT ∈ Hm(T ) se tiene

|v|Hk(T ) ≤ c1ρ−kT |detDFT |1/2|v|Hk(T ) (2.20)

|v|Hk(T ) ≤ c2hkT |detDFT |−1/2|v|Hk(T ) (2.21)

para 0 ≤ k ≤ m con constantes c1, c2 > 0, independientes de v, T y DFT .

Demostracion. 1. Definimos la matriz B ∈ Rd×d y el vector b ∈ Rd

B = [z1 − z0, z2 − z0, . . . , zd − z0], b = z0.

B es regular porque el elemento T no se degenera por suposicion. En este caso se aplica a la transformacion.

FT : T → Rd, x 7→ Bx+ b,

FT (0) = z0 y FT (ej) = zj para j = 1, 2, . . . , d. En este caso se aplica la transformacion. FT (T ) = T . Elinverso de FT viene dado por

F−1T : T → T , x 7→ B−1x−B−1b.

FT es un difeomorfismo con DFT = B, , que se define unicamente por los puntos z0, z1, . . . , zd.2. Para cualquier z ∈ Rd con |z| = %T existen ξ, η ∈ T , tal que z = ξ − η. Con Bz = FT (ξ)−FT (η) se da

‖B‖ = supz∈Rd,|z|=%T

%−1

T|Bz| ≤ %−1

Tsupξ,η∈T

|FT (ξ)−FT (η)| = %−1

ThT .

Analogamente, obtenemos intercambiando T y T , que

‖B−1‖ ≤ %−1

ThT .

3. Para una funcion o campo vectorial f ∈[L1(T )

]msea f = f FT . Con la ayuda de la regla de transfor-

macion se tiene ∫T

fdx =

∫FT (T )

f F−1T |detDF−1

T |dx = |detB|−1

∫T

fdx.

4. Sea w ∈ C∞(T ). con la regla de la cadena se tiene

∇w = ∇(w F−1T ) = (DFT )−>(∇w) F−1

T = (DFT )−>∇w F−1T

y con eso


∇w = (∇w) FT = (DΦ)−>∇w.De la misma manera obtenemos

∇w = ∇(w FT ) = DF>T (∇w) FT = (DFT )>∇w.

Con 0 < %T ≤ hT ≤ c′ obtenemos

|∇w| ≤ c%−1T |∇w|, |∇w| ≤ chT |∇w|.

Mas generalmente, se sigue con DFT constante que para cada α ∈ Nd0 tiene lugar

|∂αw| ≤ c%−|α|T max|β|=|α|

|∂βw|, |∂αw| ≤ ch|α|T max|β|=|α|

|∂βw|,

donde todo β ∈ Nd0 se maximiza con |β| = |α|.5. Al aplicar la regla de transformacion con f = |∂αw|2, se tiene∫

T

|∂αw(x)|2dx = |detB|∫T

|∂αw(x)|2dx ≤ c|detB|−2|α|%T max

|β|=|α|

∫T

|∂βw(x)|2dx.

Al aplicar la regla de transformacion con f(x) = |∂βw(x)|2 se tiene∫T

|∂αw(x)|2dx ≤ ch2|α|T max

|β|=|α|

∫T

|(∂βw)(x)|2dx = c|detB|−1h2|α|T max

|β|=|α|

∫T

|∂βw(x)|2dx.

Una combinacion de las estimaciones anteriores con argumentos de rigidez concluye la prueba.ut

Teorema 2.24 (Error de interpolacion local). Sea T el elemento de referencia, Pm−1 ⊆ PT y KT dado.

Sea T = FT (T ), PT = q F−1T : q ∈ PT y KT = χ F−1

T : χ ∈ KT . Entonces existe una constante C > 0,tal que para cada v ∈ Hm(T ) con interpolacion IT v ∈ PT se tiene

|v − IT v|Hk(T ) ≤ ChmT ρ−kT |v|Hm(T )

para todo 0 ≤ k ≤ m.

Demostracion. Sea v = v FT ∈ Hm(T ) y I v su interpolacion. Desde la estabilidad, 2.22, sigue

|v − I v|Hk(T ) ≤ c|v|Hm(T ).

Con (IT v) FT = I v, se deduce de las estimaciones de transformacion, Lemma 2.23,

|v − IT v|Hk(T ) ≤ cρ−kT |detDFT |1/2|v − I v|Hk(T )

≤ ccρ−kT |detDFT |1/2|v|Hm(T )

≤ cc2chmT ρ−kT |v|Hm(T ).

ut

Entonces, el teorema anterior dice que el error de interpolacion se hace mas pequeno a medida que T se hacemas pequeno. T no debe degenerarse, por lo que hT /ρT debe permanecer uniforme. Estas estimaciones deerror de interpolacion local ahora se pueden combinar en una variante global.Sea Th = T1, T2, . . . , TM una descomposicion simple de Ω, Pm−1 ⊆ PT y

Vh =v ∈ Ck−1(Ω) : v|T FT ∈ PT ∀T ∈ Th

⊂ Hk(Ω) (2.22)

el espacio de elementos finitos. Sea el operador de interpolacion global Ih : Hm(Ω) → Vh definido elementopor elemento

(Ihv)|T = IT (v|T ) ∀T ∈ Th.

Este es realmente el caso es la tarea real de construir Ih.

2.4 Estimacion del error de Galerkin en la norma de L2 23

Teorema 2.25 (Error de interpolacion global). Se tiene

|v − Ihv|Hk(Ω) ≤ C(∑T∈Th

h2mT ρ−2k

T |v|2Hm(T )

)1/2

≤ C maxT∈Th

hmT ρ−kT |v|Hm(Ω)

para todo 0 ≤ k ≤ m.

Demostracion. De acuerdo al teorema 2.24 y la suma de todos los elementos T ∈ Th. utUsando el operador de interpolacion, ahora podemos mostrar que el espacio de elementos finitos Vh es asintoti-camente proximo a V , por lo que el metodo de Galerkin converge.

Corolario 2.26 (Convergencia). Sea hT /ρT uniformemente limitado Para cada v ∈ Hm(Ω), se tiene

lımh→0

ınfvh∈Vh

|v − vh|Hm(Ω) = 0.

Demostracion. Sea v ∈ Hm(Ω) arbitrario pero firme. Ademas, ε > 0 es arbitrario y vε ∈ C∞(Ω) con‖v − vε‖Hm(Ω) < 0,5ε. La existencia de tal vε proviene de la estrechez de C∞ en Hm. El teorema 2.25 esseguido por la estimacion de la estabilidad global

‖Ihvε‖Hm(Ω) ≤ ‖vε − Ihvε‖Hm(Ω) + ‖vε‖Hm(Ω) ≤ (1 + CI)‖vε‖Hm(Ω). (2.23)

Entonces, se tiene

‖v − Ihvε‖Hm(Ω) ≤ ‖v − vε‖Hm(Ω) + ‖vε − Ihvε‖Hm(Ω) <ε

2+ ‖vε − Ihvε‖Hm(Ω)

Eligamos h(ε, vε) tan pequeno, de manera que se tiene

‖vε − Ihvε‖Hm(Ω) ≤ Ch|vε|Hm+1(Ω) ≤ε

2.

La combinacion de las dos ultimas estimaciones da el enunciado. utEjemplo 2.27. Sea v ∈ H2(Ω), Vh en (2.22) definido por k = 1, hT ρ

−1T ≤ c para todo T ∈ Th uniforme en h,

y IT como en el ejemplo 2.17. Entonces Ih construye Vh y

|v − Ihv|Hk(Ω) ≤ Ch2−k|v|H2(Ω)

para k = 0, 1.

Vincular el lema de C ’ea con el teorema de interpolacion anterior proporciona tasas de convergencia yconvergencia para el problema de Poisson con condiciones de Dirichlet homogeneas

lımh→0‖u− uh‖H1(Ω) ≤ C lım

h→0ınf

vh∈Vh‖u− vh‖H1(Ω) = 0

‖u− uh‖H1(Ω) ≤ C‖u− Ihu‖H1(Ω) ≤ Chmınp,m−1|u|Hm(Ω),

donde p es el grado polinomico uniforme para el espacio FE Vh.

2.4. Estimacion del error de Galerkin en la norma de L2

Para los errores de interpolacion, vimos que

‖u− Ihu‖L2(Ω) ≤ Chp+1‖u‖Hp+1(Ω) (2.24)

‖u− Ihu‖H1(Ω) ≤ Chp‖u‖Hp+1(Ω) (2.25)

Entonces surge la pregunta si no podemos probar un comportamiento similar para el error de Galerkin‖u− uh‖L2(Ω) La estimacion trivial a traves del lema de C ’ea

‖u− uh‖L2(Ω) ≤ ‖u− uh‖H1(Ω) ≤Caα‖u− Ihu‖H1(Ω) ≤ C

Caαhp‖u‖Hp+1(Ω)

es insuficiente para eso.


Definicion 2.28. Sea A : Hm(Ω)→ H−m(Ω) el operador asociado con la forma bilineal a(·, ·). La ecuacionvariacional (2.4) se llama Hs(Ω)-regular, si existe una constante C > 0, tal que para cada f ∈ Hs−2m(Ω),u es la solucion en V ∩Hs(Ω) y la estimacion

‖u‖Hs(Ω) ≤ C‖f‖Hs−2m(Ω)

suficiente.

Para el problema de Poisson con condiciones de Dirichlet homogeneas (u = 0 sobre ∂Ω), m = 1 y s = 2 si ∂Ωes suave o Ω es convexo y el area es finita Si el borde tiene vertices ∂Ω ⊂ R2, puede especificar la solucion u(para un f suave) cerca de ese vertice

u(r, θ) = rπ/γα(θ) + β(r, θ) (2.26)

con funciones suaves α(θ) y β(r, θ). Donde γ es el angulo interno deΩ en la esquina y el sistmea de coordenadaspolares se eligie de mo que la esquina sea r = 0. Entonces, la ecuacion implica que u ∈ H2(Ω) si f ∈ L2(Ω)y γ < π para todos los vertices. Este ultimo se aplica a las areas de polıgonos convexos.

Ejemplo 2.29 (Singularidad geometrica). Sea γ ∈ (0, 2π), Ω = r(cosφ, sinφ) | 0 < r < 1, 0 < φ < γ,ΓD = r(cosφ, sinφ) | 0 < r < 1, φ ∈ 0, γ y ΓN = ∂Ω \ ΓD. Con la ayuda de coordenadas polarespodemos recalcular que u(r, φ) = rπ/γ sin(φπ/γ) es la solucion clara y debil para el problema de Poisson

−∆u = 0 in Ω, u = 0 auf ΓD, ∂nu = ∂rrπ/γ sin(φπ/γ) auf ΓN

Aunque todos los datos son uniformes, u ∼ r2/3 6∈ H2(Ω) para γ = 3π/2. Esta regularidad reducida de lasolucion se refleja en las tasas de convergencia, ver Figura 2.4.

Teorema 2.30 (Truco de Aubin-Nitsche). Sea a(w, v) = 〈Aw, v〉 con A : Hm(Ω) → H−m(Ω). Sea⊂ V ⊂ Hm(Ω) y el problema dual (2.28) Hm+n(Ω)-regular con 0 ≤ n ≤ m. Entonces, se tiene

‖u− uh‖L2(Ω) ≤ Chn‖u− uh‖V (2.27)

Demostracion. Sea e := u − uh ∈ V ⊂ Hm(Ω) el error de Galerkin. Entonces la ortogonalidad de Galerkina(e, vh) = 0 para todo vh ∈ Vh. Sea φ ∈ V la solucion al problema dual

φ ∈ V : a∗(φ, v) := a(v, φ) = 〈e, v〉 ∀v ∈ V. (2.28)

Se tiene

‖e‖2L2(Ω) = 〈e, e〉 = a∗(φ, e) = a(e, φ) = a(e, φ− Ihφ) ≤ Ca‖e‖V ‖φ− Ihφ‖Hm(Ω)

≤ CaCIhn‖e‖V ‖φ‖Hm+n(Ω).

Con la regularidad de Hm+n(Ω)del problema dual, obtenemos

‖e‖2L2(Ω) ≤ CaCIhn‖e‖V ‖φ‖Hm+n(Ω) ≤ CaCICRhn‖e‖V ‖e‖H−m+n(Ω) ≤ CaCICRhn‖e‖V ‖e‖L2(Ω)

para n ≤ m, de donde se deriva inmediatamente la asercion.. ut

Para el problema de Poisson con condiciones de Dirichlet homogeneas, V = H10 (Ω), m = 1 y a∗(w, v) =

a(w, v), porque a(·, ·) es simetrica. Es decir, el problema dual tambien es el problema primario/original, y porlo tanto el problema dual H2(Ω)-regular (es decir n = 1) si Ω es una region poligonal convexa y se aplicaen consecuencia

‖u− uh‖L2(Ω) ≤ Ch‖u− uh‖H1(Ω) ≤ Chp+1‖u‖Hp+1(Ω).

En superficies no convexas n < 1 ya no obtenemos un orden de convergencia adicional completo, vea elejemplo 2.29 y la figura 2.4

2.5 Datos de Dirichlet no homogeneos 25

100 101 102 103 104 105 106 107

10−8

10−6

10−4

10−2

100

1

1/2

3/2H1-error, h-unif., p = 1L2-error, h-unif., p = 1H1-error,h-unif., p = 2L2-error, h-unif., p = 2

(a) Ejemplo 2.16

100 101 102 103 104 105 106 10710−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

2/3

1/3

H1-error, h-unif., p = 1L2-error, h-unif., p = 1H1-error,h-unif., p = 2L2-error, h-unif., p = 2

(b) Ejemplo 2.29

Figura 2.4: ‖u− uh‖H1(Ω) y ‖u− uh‖L2(Ω) escala logarıtmica versus dimension de Vh

2.5. Datos de Dirichlet no homogeneos

Los problemas del modelo siempre se han limitado a u = 0 sobre ∂Ω para condiciones de Dirichlet homogeneasu = 0. Esto se generalizara a u = g sobre ∂Ω ¿Cuales son las funciones adecuadas g y como los problemasde este tipo?

−∆u = f in Ω, u = g auf ∂Ω (2.29)

Esto sera discutido mas adelante.

2.5.1. Juego de guıas

Esta seccion trata sobre la cuestion de cual es la traza / restriccion de una funcion H1(Ω) en el borde ∂Ω ycual es la norma correcta”para esta pista. Una primera pista nos dara el siguiente caso especial. Sei

Ω =

(x, y) : x2 + y2 < 1

= (r, θ) : 0 ≤ r < 1, 0 ≤ θ < 2π (2.30)

El disco de la unidad. Para u ∈ C1(Ω) podemos entender la restriccion de u(x, y) = u(r, θ) al lımite ∂Ω dela siguiente manera,

u2(1, θ) =

∫ 1

0

∂

∂r(r2u2(r, θ)) dr =

∫ 1

0

2(r2u(r, θ)ur(r, θ) + ru2(r, θ)) dr

=

∫ 1

0

2(r2u(r, θ)∇x,yu(r, θ)(x, y)>

r+ ru2(r, θ)) dr ≤

∫ 1

0

2(r2|u(r, θ)||∇x,yu(r, θ)|+ ru2(r, θ)) dr

≤∫ 1

0

2(|u(r, θ)||∇x,yu(r, θ)|+ u2(r, θ))r dr.

La integracion sobre θ convierte con transformacion de coordenadas polares y desigualdad Cauchy-Scharwat

‖u‖2L2(∂Ω) :=

∫∂Ω

u2 ds =

∫ 2π

0

u2(1, θ) dθ ≤ 2

∫Ω

|u(x, y)||∇u(x, y)|+ u2(x, y) d(x, y)

≤ 2‖u‖L2(Ω)|u|H1(Ω) + 2‖u‖2L2(Ω).

La desigualdad de Young (ab ≤ a2/2 + b2/2) produce (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 ≤ 2a2 + 2b2 y por lo tanto

|u|H1(Ω) + ‖u‖L2(Ω) ≤√

2‖u‖H1(Ω),


de donde

‖u‖L2(∂Ω) ≤ 4√

8‖u‖1/2L2(Ω)‖u‖1/2H1(Ω) (2.31)

de la siguiente manera. Mas generalmente, incluso:

Teorema 2.31. Para los dominios de Lipschitz limitados Ω existe una constante C > 0, de modo que

‖u‖L2(∂Ω) ≤ C‖u‖1/2L2(Ω)‖u‖1/2H1(Ω)

para todo u ∈ H1(Ω).

Resulta que la suavidad de la pista esta en algun lugar entre L2(∂Ω) y H1(∂Ω), mas precisamente enH1/2(∂Ω). Para clasificar el espacio H1/2, sea Ω ⊂ Rn es una subarea, en particular se pueden permitirsuperficies. Un s ≥ 0 no entero se descompone en s = k + λ con k ∈ N0 y 0 < λ < 1. El producto escalar deHs(Ω) se define como

(u, v)s :=∑|α|≤k

∫Ω

Dαu(x)Dαv(x) dx+∑|α|=k

∫Ω

∫Ω

[Dαu(x)−Dαu(y)] [Dαv(x)−Dαv(y)]

|x− y|n+2λdx dy (2.32)

e induce la norma Sobolev-Slobodeckij

‖u‖2Hs(Ω) = (u, u)s. (2.33)

De la misma manera que para s = k ∈ N, los espacios de HilbertHs(Ω) y Hs0(Ω) estan definidos.

Teorema 2.32. Sea R 3 s ≥ 0.

1. u ∈ C∞(Ω) : Tr(u) compacto , ‖u‖Hs(Ω) <∞ esta cerca en Hs(Ω).2. C∞0 (Ω) esta cerca en Hs

0(Ω).3. Si |α| ≤ s, u ∈ Hs(Ω), a ∈ Ct−|α|(Ω), b ∈ Ct(Ω), se tiene:

aDα(bu) ∈ Hs−|α|(Ω).

4. Hs(Ω) ⊂ Ht(Ω), Hs0(Ω) ⊂ Ht

0(Ω) para s ≥ t.Una funcion φ se encuentra en el espacio Ck,1 si las k primeras derivadas son continuas y su derivada deorden k es continua de Lipschitz.

Definicion 2.33. Sea k ∈ N0. Ω ∈ Ck,1, si para cada x ∈ Γ := ∂Ω un entorno U ⊂ Rn existe, entonces esun mapeo biyectivo φ : U → K1(0) = ξ ∈ Rn : |ξ| < 1 retorna

1. φ ∈ Ck,1(U), φ−1 ∈ Ck,1(K1(0))2. φ(U ∩ Γ ) = ξ ∈ K1(0) : ξn = 03. φ(U ∩Ω) = ξ ∈ K1(0) : ξn > 04. φ(U ∩ (Rn \Ω)) = ξ ∈ K1(0) : ξn < 0

Las areas C0,1 tambien se denominan areas de Lipschitz.Sea γ el operador de restriccion, restriccion en Γ = ∂Ω, , es decir γu = u|Γ .

Teorema 2.34 (juego de guıas). Sea Ω ∈ Ck,1 con 1/2 < s = k + λ < k + 1 ∈ N.

1. γ ∈ L(Hs(Ω), Hs−1/2(Γ )), que es un mapa lineal y continuo de Hs(Ω) nach Hs−1/2(Γ ).2. Es existiert eine Konstante C > 0, so dass zu jedem w ∈ Hs−1/2(Γ ) eine Fortsetzung W ∈ Hs(Ω) Existe

una constante w = γW y ‖W‖Hs(Ω) ≤ C‖w‖Hs−1/2(Γ ).

Para las regiones restringidas de Lipschitz Ω ∈ C0,1, los dos enunciados anteriores son validos incluso paras ∈ (1/2, 3/2).

Entonces, el operador de pista γ tiene un inverso continuo del lado derecho. En particular, es sobreyectivo,es deciγ γ(Hs(Ω)) = Hs−1/2(Γ ).


2.5.2. La derivacion normal como ejemplo de uso para el conjunto de rastreo

La base para la definicion de la derivacion normal es la primera formula de Green∫Ω

−∆uv dx =

∫Ω

∇u∇v dx−∫∂Ω

∂nuv ds.

Mover a ∂nu devuelve la definicion consistente

〈∂nu, v〉∂Ω :=

∫Ω

∇u∇V dx+

∫Ω

∆uV dx (2.34)

donde V ∈ H1(Ω) es cualquier continuacion de v ∈ H1/2(∂Ω) y 〈·, ·〉∂Ω el emparejamiento dual de H1/2(∂Ω)con H−1/2(∂Ω) = (H1/2(∂Ω))∗. El espacio dual de H1(Ω) es H−1(Ω). Especıficamente, L2(Ω) ⊂ H−1(Ω) ⊂H−1(Ω) = (H1

0 (Ω))∗.

Lema 2.35. La imagen

∂n :v ∈ H1(Ω) : ∆v ∈ H−1(Ω)

→ H−1/2(∂Ω)

de (2.34) es bien definida y limitada.

Demostracion. Sean V1, V2 ∈ H1(Ω) ambas prolongaciones de v; es decir V1|∂Ω = V2|∂Ω = v. Ası es∫Ω

∇u∇(V1 − V2) dx+

∫Ω

∆u(V1 − V2) dx = 〈∂nu, v − v〉∂Ω = 0 (2.35)

debido a la linealidad del emparejamiento de dualidad. Sea E : H1/2(∂Ω)→ H1(Ω) el operador de continua-cion de la traza 2.34. Entonces, se tiene

‖∂nu‖H−1/2(∂Ω) = supv∈H1/2(∂Ω)\0

〈∂nu, v〉∂Ω‖v‖H1/2(∂Ω)

≤ C supv∈H1/2(∂Ω)\0

〈∂nu, v〉∂Ω‖Ev‖H1(Ω)

= C supv∈H1/2(∂Ω)\0

∫Ω∇u∇Ev +

∫Ω∆uEv

‖Ev‖H1(Ω)

≤ C supV ∈H1(Ω)\0

∫Ω∇u∇V +

∫Ω∆uV

‖V ‖H1(Ω)

≤ C supV ∈H1(Ω)\0

‖u‖H1(Ω)‖V ‖H1(Ω) + ‖∆u‖H−1(Ω)‖V ‖H1(Ω)

‖V ‖H1(Ω)

= C(‖u‖H1(Ω) + ‖∆u‖H−1(Ω)

).

ut

2.5.3. Problemas de Dirichlet no homogeneos y variaciones de variaciones

Consideramos el problema de Poisson con datos de Dirichlet no homogeneos, es decir, para f ∈ H−1(Ω) yg ∈ H1/2(∂Ω) encontrar una solucion debil para

−∆u = f in Ω, u = g auf ∂Ω. (2.36)

Como en el caso homogeneo, obtenemos la formulacion debil mediante la formulacion: Encuentre u ∈H1g (Ω) := v ∈ H1(Ω) : v|∂Ω = g, tal que

a(u, v) =

∫Ω

∇u∇v dx = 〈f, v〉 = F (v) ∀v ∈ H10 (Ω). (2.37)

Del conjunto de pistas 2.34 se deduce que existe un G ∈ H1(Ω) con G|∂Ω = g. Obtenemos el problema deDirichlet homogeneo u = u0 +G con

u0 ∈ H10 (Ω) : a(u0, v) = F (v)− a(G, v) ∀v ∈ H1

0 (Ω). (2.38)


Lema 2.36. Para f ∈ H−1(Ω) y g ∈ H1/2(∂Ω) hay una solucion unica para (2.37). Esta solucion deLipschitz depende de manera constante de los datos, es decir, existe una constante C > 0, tal que

‖u1 − u2‖H1(Ω) ≤ α−1‖f1 − f2‖H−1(Ω) +Ca + α

αCtr‖g1 − g2‖H1/2(∂Ω).

En particular, se aplica la estimacion a priori

‖u‖H1(Ω) ≤ α−1‖f‖H−1(Ω) +Ca + α

αCtr‖g‖H1/2(∂Ω).

Demostracion. La existencia de un Dirichletlift G ∈ H1(Ω) con G|∂Ω = g y ‖G‖H1(Ω) ≤ Ctr‖g‖H1/2(∂Ω) sesigue del conjunto de pistas 2.34. La existencia de u0 que resuelve (2.38) se deduce de Lax-Milgram, porqueel lado derecho es continuo.

|F (v)− a(G, v)| ≤ |F (v)|+ |a(G, v)| ≤(‖f‖H−1(Ω) + Ca‖G‖H1(Ω)

)‖v‖H1(Ω)

≤(‖f‖H−1(Ω) + CaCtr‖g‖H1/2(∂Ω)

)‖v‖H1(Ω).

La singularidad sigue con la prueba de contradiccion habitual, porque v − w ∈ H10 (Ω) para v, w ∈ H1

g (Ω).Sea ui = u0,i +Gi la solucion para los datos fi, gi.Entonces se aplica

α‖u0,1 − u0,2‖2H1(Ω) ≤ a(u0,1 − u0,2, u0,1 − u0,2) = 〈f1 − f2, u0,1 − u0,2〉 − a(G1 −G2, u0,1 − u0,2)

≤(‖f1 − f2‖H−1(Ω) + CaCtr‖g1 − g2‖H1/2(∂Ω)

)‖u0,1 − u0,2‖H1(Ω).

La desigualdad triangular ahora ofrece

‖u1 − u2‖H1(Ω) ≤ ‖u0,1 − u0,2‖H1(Ω) + ‖G1 −G2‖H1(Ω) ≤ α−1‖f1 − f2‖H−1(Ω) +Ca + α

αCtr‖g1 − g2‖H1/2(∂Ω).

La estimacion a priori se deriva de la continuidad de Lipschitz con respecto a los datos estableciendo f2 = 0,g2 = 0, porque entonces u2 = 0. ut

El desafıo con el metodo Galerkin es que ni el Dirichletlift continuo G ∈ H1(Ω) esta disponible para loscalculos, ni que g esta disponibleen el espacio de pista Vh|∂Ω espacio finito dimensional Vh ⊂ H1(Ω). Entoncesg debe ser aproximado por gh ∈ Vh|∂Ω . Si se establece g, esto se puede realizar por interpolacion de puntos.Alternativamente, gh se puede definir como proyecccion en Hs(∂Ω) sobre Vh|∂Ω para s = 0, 1/2, 1. Laproyeccion H1/2(∂Ω) es la proyeccion teoricamente correcta”pero tambien la mas complicada de implementar.Como gh ∈ Vh|∂Ω , el problema de interpolacion subdeterminado Gh ∈ Vh se puede resolver con Gh|∂Ω = gh.Entonces hay un elemento finito Dirichletlift Gh y la formulacion discreta

uh ∈ Vh : uh|∂Ω = gh und a(uh, vh) = F (vh) ∀vh ∈ Vh ∩H10 (Ω) (2.39)

esta bien hecha.

Lema 2.37. Hay una solucion unica para (2.39).

Demostracion. La prueba sigue literalmente el caso continuo. ut

Para la estimacion del error, se explota el Lema Lipschitz-Stetig 2.36 para dividir la aproximacion de losdatos de Dirichlet de la discretizacion real.

Teorema 2.38. Existe una constante C > 0, tal que

C‖u− uh‖H1(Ω) ≤ ‖u− vh‖H1(Ω) + ‖g − gh‖H1/2(∂Ω)

para todo vh ∈ Vh con vh|∂Ω = gh.

Demostracion. Sea u ∈ H1gh

(Ω) la solucion unica

a(u, v) = F (v) ∀v ∈ H10 (Ω). (2.40)

Entonces, segun Lemma 2.36


‖u− u‖H1(Ω) ≤ C‖g − gh‖H1/2(∂Ω) (2.41)

y uh ∈ H1gh

(Ω) es la proyeccion de Galerkin de u. En particular, u− uh ∈ H10 (Ω) y por lo tanto

a(u− uh, vh) = 0 ∀vh ∈ Vh ∩H10 (Ω)

tambien

α‖u− uh‖2H1(Ω) ≤ a(u− uh, u− uh) = a(u− uh, u− uh − vh) ≤ Ca‖u− uh‖H1(Ω)‖u− uh − vh‖H1(Ω)

para cada vh ∈ Vh∩H10 (Ω). Dado que gh como funcion de elemento finito no es mas de H3/2−ε(∂Ω) para todo

ε > 0, no podemos exceder H2−ε(Ω): espere la regularidad de u, incluso si u ∈ C∞(Ω). Entonces tenemosque reemplazar u con u nuevamente Con desigualdad triangular y (2.41) se tiene

αC−1a ‖u− uh‖H1(Ω) ≤ ‖u− uh − vh‖H1(Ω)

≤ ‖u− u‖H1(Ω) + ‖u− uh − vh‖H1(Ω)

≤ C‖g − gh‖H1/2(∂Ω) + ‖u− uh − vh‖H1(Ω)

= C‖g − gh‖H1/2(∂Ω) + ‖u− wh‖H1(Ω)

para cada wh ∈ Vh con wh|∂Ω = gh. La desigualdad triangular renovada y (2.41) proporciona el resultado.utLas tasas de convergencia y convergencia ahora se pueden demostrar como de costumbre. Sea u ∈ H2(Ω) ⊂C0(Ω), Ih : C0(Ω) → Vh el operador de interpolacion nodal, vea por ejemplo (2.17), y gh la interpolacionnodal de g ∈ H3/2(∂Ω) ⊂ C0(∂Ω) en las cuentas Rand, luego Ihu|∂Ω = gh y

‖u− Ihu‖H1(Ω) ≤ Chmınp,m−1|u|Hm(Ω)

‖g − gh‖2H1/2(∂Ω) ≤ C‖g − gh‖L2(∂Ω)‖g − gh‖H1(∂Ω)

≤ CC2Ih

mınp+1,m−1/2|g|Hm−1/2(∂Ω)hmınp,m−3/2|g|Hm−1/2(∂Ω)

= CC2Ih

1+2 mınp,m−3/2|g|2Hm−1/2(∂Ω).

Entonces en general

C‖u− uh‖H1(Ω) ≤ Chmınp,m−1|u|Hm(Ω) + h1/2+mınp,m−3/2|g|Hm−1/2(∂Ω) (2.42)

En particular, el error de aproximacion de los datos de Dirichlet es de orden superior y, por lo tanto, insig-nificante si g es lo suficientemente liso.

Como alternativa al metodo de Galerkin con Dirichletlift, tambien existe una formulacion debil que utiliza elmismo lote y cantidades de prueba. El problema es que H1

g (Ω) ya no es un espacio vectorial (para v1, v2 ∈H1g (Ω) v1 + v2 6∈ H1

g (Ω) y v1 − v2 ∈ H10 (Ω)). Sin embargo, se tiene

1. H1g (Ω) 6= ∅ despues del conjunto de pistas

2. H1g (Ω) esta completo. Sea (vn)n ⊂ H1

g (Ω) con vn → v ∈ H1(Ω); es decir

‖v − g‖H1/2(∂Ω) = ‖v − vn‖H1/2(∂Ω) ≤ C‖v − vn‖H1(Ω) → 0

despues de la pista establecida.3. H1

g (Ω) es convexo. Para λ ∈ [0, 1] ist λv1 + (1− λ)v2 ∈ H1g (Ω), porque

(λv1 + (1− λ)v2)|∂Ω = λv1|∂Ω + (1− λ)v2|∂Ω = λg + (1− λ)g = g

Lema 2.39. La formulacion debil (2.37) es equivalente a la desigualdad de variacion

u ∈ H1g (Ω) : a(u, v − u) ≥ F (v − u) ∀v ∈ H1

g (Ω). (2.43)

Demostracion. La ejecucion es trivial porque v − u ∈ H10 (Ω). Seleccione v = w + u y v = u − w para

w ∈ H10 (Ω) arbitrariamente en(2.43) lo que da

a(u,w) ≥ F (w) und a(u,−w) ≥ F (−w).

Sigue inmediatamente debido a la linealidad que a(u,w) = F (w) para todo w ∈ H10 (Ω). ut

3

Desigualdades variacionales del primer tipo

En (2.43) vimos la primera desigualdad variacional. Sin embargo, los problemas de Dirichlet no homogeneosgeneralmente se formulan con un Dirichletlift en lugar de una desigualdad variacional. El problema tıpico delmodelo para las desigualdades variacionales es el problema del obstaculo de Laplace.

3.1. El problema del obstaculo de Laplace

Sea Ω ⊂ Rd (d = 1, 2, 3, · · · ) un area con el lımite de Lipschitz ∂Ω y la normal exterior n. Para una fuerzade volumen dada f : Ω → R y un obstaculo ψ : Ω → R, encontrar una funcion adecuada u : Ω → R tal que

−∆u = −div∇u = −d∑i=1

∂2u

∂xi∂xi≥ f in Ω (3.1a)

u ≥ ψ in Ω (3.1b)

(u− ψ)(−∆u− f) = 0 in Ω (3.1c)

u = 0 auf ∂Ω. (3.1d)

La ecuacion (3.1b) es la condicion de no sangrıa en el obstaculo y (3.1c) la condicion de complementaridad.De (3.1c) se deduce que el area Ω se puede dividir en dos partes. Primero, la cantidad de contacto

C := x ∈ Ω : u(x) = ψ(x) (3.2)

y segundo, su cantidad complementaria, la cantidad sin contacto

N := Ω \ C = x ∈ Ω : u(x) > ψ(x) . (3.3)

Se encuentra la interfaz Γ , el borde libre que separa los dos conjuntos. Tambien es a menudo el lugar dondeuna derivada mas alta (normal) de u tiene una torcedura, es decir, la ubicacion de una singularidad a resolver.Sea

K :=v ∈ H1

0 (Ω) : v ≥ ψ f.u. in Ω

(3.4)

El conjunto convexo de enfoque valido y funciones de prueba. Entonces K 6= ∅ es ψ ∈ H1(Ω) con ψ|∂Ω ≤ 0.La formulacion debil estandar se obtiene probando e integrando parcialmente (3.1a) con v−u para u, v ∈ K.∫

Ω

∇u∇(v − u) dx =

∫Ω

∇u∇(v − u) dx−∫∂Ω

∂nu(v − u) ds =

∫Ω

−∆u(v − u) dx

=

∫C−∆u︸︷︷︸≥f

(v − ψ)︸︷︷︸≥0

dx+

∫N−∆u︸︷︷︸

=f

(v − u) dx ≥∫Ω

f(v − u) dx

Debido a (3.1c), mas precisamente (3.2)-(3.3), la direccion de la desigualdad no cambia durante la prueba.Por lo tanto, la formulacion de la desigualdad variacional es:

Finde u ∈ K :

∫Ω

∇u∇(v − u) dx ≥∫Ω

f(v − u) dx ∀v ∈ K (3.5)

32 3 Desigualdades variacionales del primer tipo

Ejemplo 3.1. Consideramos el problema del obstaculo en el intervalo (0, L) con f = 0 y la funcion de obstaculocuadratico

ψ(x) = 1−(

4

Lx− 2

)2

.

Donde u es la posicion de una cadena que esta por encima de ψ vea la figura 3.1.

0 LL− xx

ψ

u

Figura 3.1: Visualizacion del problema del obstaculo 1D.

Debido al principio de minimizacion de energıa de la fısica, la longitud de la cuerda se convierte en∫ L

0

√1 + (u′)2dx ≈

∫ L

0

1 +1

2(u′)2dx

minimizar. Es obvio como solucion

u(x) =

αx, fur x ∈ [0, x]

ψ(x), fur x ∈ [x, L− x]

α(L− x), fur x ∈ [L− x, L]

Por razones de continuidad, u ∈ K ⊂ H10 (0, L) ⊂ C0(0, L) produce inmediatamente α = ψ(x)/x y permanece

ni la determinacion del punto x ∈ (0, L/2). Aquı, la vista fısica lleva a suponer que la cuerda se aproxima alobstaculo en el punto x continuamente diferenciable. Esta condicion puede ser expresada por la ecuacion

ψ(x)

x= ψ′(x) oder ψ(x) = ψ′(x)x

Cuando se escribe, obtenemos la ecuacion cuadratica para determinar x(4

Lx

)2

− 3 = 0

y ası

x =L

4

√3.

En consecuencia, es

u(x) =

4√3Lψ(√

34 L)x, fur x ∈ [0,

√3

4 L]

ψ(x), fur x ∈ [√

34 L, (1−

√3

4 )L]4√3Lψ(√

34 L)(L− x), fur x ∈ [(1−

√3

4 )L,L]

Nuestra posible solucion. Ahora mostramos que esta funcion es en realidad la desigualdad variacional

u ∈ K :

∫ L

0

u′(x)(v′(x)− u′(x))dx ≥ 0 ∀v ∈ K

Para esto dividimos el intervalo de integracion en las subsecciones [0, x], [x, L− x] y [L− x, L] y llegamos pormedio de una integracion parcial

3.2 Desigualdes varicionales generales de primer tipo 33∫ L

0

u′(x)(v′(x)− u′(x))dx =

(∫ x

0

+

∫ L−x

x

+

∫ L

L−x

)u′(x)(v′(x)− u′(x))dx

= u′(x)(v(x)− u(x))|x0 + u′(x)(v(x)− u(x))|L−xx + u′(x)(v(x)− u(x))|LL−x

−(∫ x

0

+

∫ L−x

x

+

∫ L

L−x

)u′′(x)(v(x)− u(x))dx.

Los primeros tres terminos caen debido a la continuidad de u y v, ası como de u′, lo que resulta en la segundaderivada de u

u′′(x) =

0 , x ∈ (0, x)

−2(

4L

)2, x ∈ (x, L− x)

0 , x ∈ (L− x, L)

Con ψ ≤ v ∈ K y u = ψ en (x, L− x) se tiene∫ L

0

u′(x)(v′(x)− u′(x))dx = 2

(4

L

)2 ∫ L−x

x

(v(x)− ψ(x)) dx ≥ 0.

3.2. Desigualdes varicionales generales de primer tipo

En esta seccion consideramos una variacion general de las desigualdades del primer tipo: Sea K ⊂ V unsubconjunto no vacıo, convexo y cerrado de un espacio de Hilbert V . Sea V con producto interno (·, ·), quela norma inducida ‖ · ‖V = (·, ·)1/2. Ademas a(·, ·) : V × V → R sea una forma bilineal continua , coercitivasobre V ; es decir

∃α > 0 ∀v ∈ V : a(v, v) ≥ α‖v‖2V (3.6)

∃Ca > 0 ∀v, w ∈ V : a(v, w) ≤ Ca‖v‖V ‖w‖V , (3.7)

y F ∈ V ∗, una funcional lineal continua F = 〈f, ·〉 : V → R con

∃CF > 0 ∀v ∈ V : F (v) ≤ CF ‖v‖V . (3.8)

La desigualdad de variacion del primer tipo a considerar es:

Encontrar u ∈ K : a(u, v − u) ≥ F (v − u) = 〈f, v − u〉 ∀v ∈ K (3.9)

Para generalizar el lema de Lax-Milgram para las desigualdades de variacion, todavıa necesitamos los siguien-tes resultados.

Teorema 3.2. Sea V un espacio de Hilbert con la norma ‖ · ‖V y producto escalar(·, ·). Sea K ⊂ V unsubconjunto convexo cerrado, no vacıo. Para cada f ∈ V existe un u ∈ K unico, tal que

‖f − u‖V = mınv∈K‖f − v‖V . (3.10)

Entonces, el problema de minimizacion es equivale a la desigualdad variacional

u ∈ K : (f − u, v − u) ≤ 0 ∀v ∈ K. (3.11)

Demostracion. Existencia de un minimizador: existe una secuencia (un)n ⊂ K, tal que

dn := ‖f − un‖V → d := ınfv∈K‖f − v‖V .

Con la regla del paralelogramo (‖(a+ b)/2‖2 + ‖(a− b)/2‖2 = 1/2(‖a‖2 + ‖b‖2)) se tiene para a = f − un yb = f − um que ∥∥∥∥f − un + um

2

∥∥∥∥2

V

+

∥∥∥∥un − um2

∥∥∥∥2

V

=1

2

(‖f − un‖2V + ‖f − um‖2V

).


Debido a la convexidad, (un + um)/2 ∈ K y por lo tanto∥∥f − un+um

2

∥∥2

V≥ d2. En consecuencia, es∥∥∥∥un − um2

∥∥∥∥2

V

≤ 1

2(d2n + d2

m)− d2 → 0 (n,m ≥ k →∞).

Por lo tanto, (un)n es una secuencia de Cauchy con lımite u ∈ K, porque este conjunto se completa como unsubconjunto cerrado de un espacio de Hilbert. Debido a la continuidad de la norma,‖f − u‖V = d.(3.10) ⇒ (3.11): Sea w ∈ K. Entonces v = (1− λ)u+ λw ∈ K para cada λ ∈ (0, 1)

‖f − u‖V ≤ ‖f − (1− λ)u− λw‖V = ‖f − u− λ(w − u)‖V .

La cuadratura entrega

‖f − u‖2V ≤ ‖f − u− λ(w − u)‖2V = ‖f − u‖2V + λ2‖w − u‖2V − 2λ(f − u,w − u),

que de inmediato

(f − u,w − u) ≤ λ

2‖w − u‖2V

Para λ→ 0 es seguido por (3.11).(3.11) ⇒ (3.10): De (3.11) sigue

‖u− f‖2V − ‖v − f‖2V = 2(f − u, v − u)− ‖u− v‖2V ≤ 0.

Unicidad: Sean u1, u2 ∈ K ambas soluciones de (3.11). La opcion v = u2 und v = u1 devuelve

(f − u1, u2 − u1) ≤ 0 und (f − u2, u1 − u2) ≤ 0.

Ademas entrega inmediatamente

(u2 − u1, u2 − u1) = ‖u2 − u1‖2V ≤ 0.

Entonces u1 = u2. ut

Definicion 3.3. El minimizador u ∈ K de (3.10) se llama proyeccion de f en K y se denomina u = PKf .

Lema 3.4. El operador de proyeccion PK es Lipschitz continuo con Lipschitz constante 1; es decir

‖PKf − PKg‖V ≤ ‖f − g‖V .

Demostracion. Sea f, g ∈ V y F = PKf ∈ K, G = PKg ∈ K. Entonces se tiene

‖f − g‖2V = ‖F −G+ (f − F )− (g −G)‖2V= ‖F −G‖2V + ‖(f −G)− (g −G)‖2V + 2(F −G, (f − F )− (g −G))

≥ ‖F −G‖2V − 2(F −G, g −G) + 2(F −G, f − F )

≥ ‖F −G‖2Vdespues de (3.11) en el teorema 3.2. ut

Teorema 3.5 (Stampacchia). Sea V un espacio de Hilbert con el producto escalar (·, ·) y sea K ⊂ V unsubconjunto convexo cerrado, no vacıo. Ademas, sea a(·, ·) : V ×V → R una forma bilineal continua coercitivasobre V y F ∈ V ∗. Entonces hay una solucion unica para la desigualdad variacional (3.9).

Demostracion. Segun el teorema de Riesz (renunciamos a la mencion explıcita del operador Riesz R) existeun f ∈ V unico con F (v) = (f, v) para cada v ∈ V . Similar a la prueba de Lax-Milgram, existe un operadorunico A : V → V con a(u, v) = (Au, v) para cada u, v ∈ V . En particular, este operador es lineal, continuo ycoercitivo,

(Av, v) ≥ α‖v‖2V ∀v ∈ V.

Esto agregara la variacion desigualdad (3.9) zu

3.2 Desigualdes varicionales generales de primer tipo 35

u ∈ K : (Au, v − u) ≥ (f, v − u) ∀v ∈ K.

Para ρ > 0 esto es equivalente a

u ∈ K : (ρf − ρAu+ u− u, v − u) ≤ 0 ∀v ∈ K,

que es equivalente a u = PK(ρf − ρAu+ u). Sea T : K → K con Tv = PK(ρf − ρAv + v). Para ρ > 0, T esuna contraccion, porque

‖Tv1 − Tv2‖2V = ‖PK(ρf − ρAv1 + v1)− PK(ρf − ρAv2 + v2)‖2V≤ ‖v1 − v2 − ρA(v1 − v2)‖2V= ‖v1 − v2‖2V + ρ2‖A(v1 − v2)‖2V − 2ρ(A(v1 − v2), v1 − v2)

≤ (1− 2ρα+ ρ2C2)‖v1 − v2‖2V .

Para ρ ∈ (0, 2αC−2), T es una contraccion y el teorema del punto fijo de Banach produce la existenciainequıvoca. ut

Teorema 3.6. La solucion u de (3.9) es Lipschitz-contınua dependiendo de los datos f ab. Se aplica

‖u1 − u2‖V ≤ α−1‖f1 − f2‖V ∗ (3.12)

donde ui es la solucion unica para los datos fi.

Demostracion. Al seleccionar la funcion test, se devuelve v1 = u2 y v2 = u1

a(u1, u2 − u1) ≥ 〈f1, u2 − u1〉 und a(u2, u1 − u2) ≥ 〈f2, u1 − u2〉.

La suma de las desigualdades con la definicion de la norma dual y la coercitividad sobre V produce que

‖f1 − f2‖V ∗‖u1 − u2‖V ≥ 〈f1 − f2, u1 − u2〉 ≥ a(u1 − u2, u1 − u2) ≥ α‖u1 − u2‖2V .

Division con α‖u1 − u2‖V devuelve el resultado. ut

Hasta ahora, no se ha requerido que sea simetrica a(·, ·). Si esto se requiere adicionalmente, hay otra formula-cion debil en forma de un problema de minimizacion. Al igual que con las ecuaciones de variacion, definimosla energıa funcional J : V → R

J(v) :=1

2a(v, v)− F (v). (3.13)

Teorema 3.7. Bajo los supuestos del teorema 3.5 y a(·, ·) simetrica, el problema de minimizacion es

J(u) = mınv∈K

J(v) (3.14)

equivalente a las desigualdades variacionales (3.9). En particular, hay una solucion unica para (3.14).

Demostracion. 1. (3.9) ⇒ (3.14): Porque a(·, ·) bilineal y coercitiva sobre V , se tiene para todo v ∈ K:

0 ≤ a(u, v − u)− F (v − u) =1

2a(u, v − u) +

1

2a(u, v)− 1

2a(v, v)− 1

2a(u, u) + F (u) +

1

2a(v, v)− F (v)

= J(v)− J(u)− 1

2a(v − u, v − u) ≤ J(v)− J(u)

2. (3.14) ⇒ (3.9): Porque K es convexo, u+ λ(v − u) ∈ K con λ ∈ (0, 1) y v ∈ K arbitrario. Ası:

0 ≤ J(u+ λ(v − u))− J(u) =λ2

2a(v − u, v − u) + λa(u, v − u)− λF (v − u).

La division con λ > 0 y λ→ 0+ da (3.9).3. La existencia del elemento y la unicidad de la solucion para (3.14) se deduce inmediatamente de la

equivalencia a(3.9). ut


Con la ayuda del problema de minimizacion podemos derivar una primera estimacion de error. A diferenciade la ecuacion de variacion, aquı solo tenemos una estimacion al alza y ninguna equivalencia.

Teorema 3.8. Bajo los supuestos del Teorema 3.7, se tiene para todo v ∈ K

α‖u− v‖2V ≤ a(v − u, v − u) ≤ 2J(v)− 2J(u). (3.15)

Demostracion. Debido a (3.9) y la simetrıa de a(·, ·), se tiene:

2J(v)− 2J(u) = a(v, v)− a(u, u)− 2F (v − u) ≥ a(v, v)− a(u, u)− 2a(u, v − u)

= a(v, v)− 2a(u, v) + a(u, u) = a(v − u, v − u).

La coercitividad sobre V proporciona el enunciado. ut

Este teorema permite discretizaciones conformes para estimar (aproximar) el error sin tener que conocerla solucion exacta u. Sea vN ∈ K con vN → u para N → ∞, luego converja J(vN ) → J(u) debido a lacontinuidad. Por lo tanto, J(u) se puede determinar de manera analoga al ejemplo 2.11 por extrapolacionde J(vN ). El metodo mas simple de extrapolar J(vN ) es un enfoque de serie de potencia que se canceladespues del primer orden; es decir, J(vN ) ≈ C0 + C1N

−β con C0 = J(u) y β > 0. Si se conocen vN entres (suficientemente grandes) Ns, entonces las tres incognitas C0, C1 y β se pueden determinar mediante unmetodo de Newton unidimensional.

J(v1) = C0 + C1N−β1 , J(v2) = C0 + C1N

−β2 , J(v3) = C0 + C1N

−β3

⇒ J(v1)− J(v2) = C1(N−β1 −N−β2 ), J(v1)− J(v3) = C1(N−β1 −N−β3 )

⇒ J(v1)− J(v2)

J(v1)− J(v3)=N−β1 −N−β2

N−β1 −N−β3

Para resolver numericamente la desigualdad variacional (3.9), el conjunto convexo K debe ser discretizado.Sin embargo, las discretizaciones conformes del tipo KN = VN ∩ K ⊂ K para un espacio FEVN ⊂ V ,generalmente no se pueden realizar en la computadora, por lo que generalmente solo un convexo discreto, novacıo, cerrado, convexo Se esta trabajando en la cantidad KN ⊂ VN . La desigualdad variacional discreta es:

Finde uN ∈ KN : a(uN , vN − uN ) ≥ F (vN − uN ) ∀vN ∈ KN (3.16)

Teorema 3.9. Hay una solucion unica para (3.16). En particular, esto cumple con la evaluacion de estabi-lidad

C‖uN‖2V ≤ ‖vN‖2V + C2F ∀vN ∈ KN . (3.17)

Demostracion. La existencia y la unicidad siguen inmediatamente con el teorema 3.5. El cambio de (3.16)devuelve

α‖uN‖2V ≤ a(uN , uN ) ≤ a(uN , vN )− F (vN ) + F (vN ) ≤ Ca‖uN‖V ‖vN‖V + CF ‖vN‖V + CF ‖uN‖V .

El enunciado sigue con la desigualdad de Young. ut

El termino ‖vN‖V describe inestabilidades que pueden provenir de la no conformidad KN 6⊂ K. Si 0 ∈ KN ,entonces vN = 0 es una buena opcion, o si la proyeccion de ψ ∈ K es estable despues KN , entoncesvN = PKN (ψ) es una buena opcion.Para demostrar la convergencia uN → u a Glowinski, tenemos que hacer dos suposiciones sobre las propiedadesde aproximacion de VN y KN .

Suposision 3.10 1. Para (vN )N una sucesion acotada en V con vN ∈ KN , cada punto de acumulaciondebil pertenece a K.

2. Si hay χ ⊂ V con χ = K, y rN : χ→ KN , entonces lımN→∞ rNv = v fuerte en V para todo v ∈ χ.

Teorema 3.11 (Convergencia de Glowinski). Bajo los supuestos 3.10

lımN→∞

‖uN − u‖V = 0 (3.18)

para u, uN la solucion de (3.9), o (3.16).

3.2 Desigualdes varicionales generales de primer tipo 37

Demostracion. La prueba consta de tres partes: una estimacion a priori de uN , convergencia debil de (uN )N ,y finalmente la convergencia fuerte de (uN )N .Estimacion a priori: Von (3.16) obtenemos

a(uN , uN ) ≤ a(uN , vN )− F (vN − uN ) ∀vN ∈ KN .

Debido a la coercitividad sobre V obtenemos

α‖uN‖2V ≤ a(uN , uN ) ≤ a(uN , vN )− F (vN − uN ) ≤ Ca‖uN‖V ‖vN‖V + ‖f‖V ∗ (‖uN‖V + ‖vN‖V ) .

Sea v0 ∈ χ y vN = rNv0 ∈ KN . Suponiendo 3.10(ii) tenemos vN = rNv0 → v0 fuerte en V y por lo tanto‖vN‖V ≤ ‖v0‖V + ‖v0− vN‖V uniforme delimitado por una constante, digamos m. En consecuencia tenemos

‖uN‖2V ≤Cam+ ‖f‖V ∗

α‖uN‖V +

m‖f‖V ∗

α= C1‖uN‖V + C2,

¿Que sucede con la desigualdad ‖uN‖V ≤ C?, implica.Convergencia debil: Debido a que la secuencia (uN )N esta limitada, existe una subsecuencia (uNi) queconverge debilmente a u∗ en V Por supuestos 3.10(i) en (KN )N tenemos u∗ ∈ K. Queda por demostrar queu∗ es una solucion de (3.9). Como arriaba

a(uNi , uNi) ≤ a(uNi , vNi)− F (vNi − uNi) ∀vNi ∈ KNi .

Con v ∈ χ y vNi = rNiv la desigualdad anterior se convierte en

a(uNi , uNi) ≤ a(uNi , rNiv)− F (rNiv − uNi).Debido a que rNiv converge fuertemente a v, y uNi debilmente a u∗ cuandor N →∞, obtenemos

lım infN→∞

a(uNi , uNi) ≤ a(u∗, v)− F (v − u∗) ∀v ∈ χ.

Nosotros tambien

0 ≤ a(uNi − u∗, uNi − u∗) = a(uNi , uNi)− a(uNi , u∗)− a(u∗, uNi) + a(u∗, u∗),

tan

a(uNi , u∗) + a(u∗, uNi)− a(u∗, u∗) ≤ a(uNi , uNi).

Supongamos el lımite que obtuvimos con la estimacion anterior.

a(u∗, u∗) ≤ lım infN→∞

a(uNi , uNi) ≤ a(u∗, v)− F (v − u∗) ∀v ∈ χ.

tan

u∗ ∈ K : a(u∗, v − u∗) ≥ F (v − u∗) ∀v ∈ χ.Como χ esta cerca de K, y a(·, ·) y F (·) son estables, obtenemos que

u∗ ∈ K : a(u∗, v − u∗) ≥ F (v − u∗) ∀v ∈ K.Como la solucion a esta desigualdad de variacion es unica, u∗ = u y u es el unico punto de agrupacion de(uN )N ,y toda la secuencia (uN )N converge debilmente a u.Convergencia fuere De la coercitividad sobre V de a(·, ·) obtenemos

0 ≤ α‖uN − u‖2V ≤ a(uN − u, uN − u) = a(uN , uN )− a(uN , u)− a(u, uN ) + a(u, u).

Como uN es la solucion de (3.16) y rNv ∈ KN para todo v ∈ K,obtenemos

a(uN , uN ) ≤ a(uN , rNv)− F (rNv − uN ) ∀v ∈ χ.Porque lımN→∞ uN = u debilmente en V y lımN→∞ rNv = v fuertemente en V por suposiciones 3.10(ii),obtenemos

0 ≤ α lım infN→∞

‖uN − u‖2V ≤ α lım supN→∞

‖uN − u‖2V ≤ a(u, v − u)− F (v − u).

Debido a χ es denso en K y la continuidad, la desigualdad anterior se aplica a todo v ∈ K, y por lo tanto av = u. En consecuencia,

lımN→∞

‖uN − u‖V = 0. (3.19)

ut


El teorema anterior establece en que condiciones se garantiza que nuestro procedimiento sea significativo(convergente). Pero no proporciona una generalizacion del lema de C ’ea, que necesitamos para probar lastasas de convergencia.

Teorema 3.12 (Lema de Falk). Sean V ⊂ H ⊂ H∗ ⊂ V ∗ un espacio de Hilverte, entonces se tiene

‖u− uN‖2V ≤2

α‖Au− f‖H∗ (‖u− vN‖H + ‖uN − v‖H) +

Caα‖u− vN‖2V

para todo vN ∈ KN y v ∈ K.

Demostracion. Como en el lema de Lax-Milgram, A : V → V ∗ es el operador con a(u, v) = 〈Au, v〉 para todou, v ∈ V y f ∈ V ∗ con F (v) = 〈f, v〉 para todo v ∈ V .Agregue las desigualdades variacionales (3.9) y (3.16),

a(u, u) + a(uN , uN ) ≤ a(u, v)− 〈f, v − u〉+ a(uN , vN )− 〈f, vN − uN 〉.

La resta a(u, uN ) + a(uN , u) da

α‖u− uN‖2V ≤ a(u− uN , u− uN )

≤ a(u, v − uN )− 〈f, v − uN 〉+ a(uN , vN − u)− 〈f, vN − u〉+ a(u− u, vN − u)

= 〈Au− f, v − uN 〉+ 〈Au− f, vN − u〉+ a(uN − u, vN − u)

≤ ‖Au− f‖H∗ (‖uN − v‖H + ‖u− vN‖H) + Ca‖u− uN‖V ‖u− vN‖V .

La desigualdad de Young (ab ≤ εa2 + (4ε)−1b2 para todo ε > 0) da

α‖u− uN‖2V ≤ ‖Au− f‖H∗ (‖uN − v‖H + ‖u− vN‖H) +C2a

4ε‖u− uN‖2V + ε‖u− vN‖2V .

La eleccion ε = α/2 proporciona el enunciado. ut

Los terminos ‖u− vN‖2V y ‖u− vN‖H reflejan las propiedades de aproximacion de KN , donde ‖uN − v‖H esel error de conformidad.Para poder resolver la desigualdad de variacion discreta (3.16) en la computadora, nuevamente necesitamosuna base ϕjNj=1 del espacio de elementos finitos VN . Ademas, definimos el conjunto de coeficientes de

desarrollo permitidos KN ⊂ RN , tal que v ∈ KN ⇔∑j vjϕj ∈ KN . Esto hace que (3.16) en el nivel

algebraico:

Finde u ∈ KN : (u− v)>Au ≥ (u− v)>b ∀v ∈ KN , (3.20)

donde uN =∑j ujϕj , aji = a(ϕi, ϕj) y bj = F (ϕj). Si KN continua siendo un subconjunto cerrado, no vacıo,

convexo de RN , la prueba de Stampacchia, Teorema3.5, ya es un primer proceso iterativo alrededor de loscoeficientes de desarrollo

u = PKN (u + ρ(b−Au)) (3.21)

desde uN . Como ρ > 0 es suficientemente pequeno, la secuencia de punto fijo con u(0) ∈ KN converge y

u(k+1) = PKN

(u(k) + ρ(b−Au(k))

)(3.22)

hacia u. Sin embargo, lo que es suficientemente pequeno depende de los valores propios de la matriz A, quea su vez dependen del problema en sı, la discretizacion KN y el parametro de discretizacion N . En cualquiercaso, la proyeccion PKN debe ser muy facil de implementar. Por lo tanto, no deberıa ser mucho mas difıcilque evaluar las funciones maximas y mınimas.

3.3 Discretizacion del problema del obstaculo de Laplace 39

3.3. Discretizacion del problema del obstaculo de Laplace

Para el problema del obstaculo, el conjunto convexo tiene la forma K = v ∈ H10 (Ω) : v ≥ ψ f.u. en Ω.

Si H10 (Ω) se reemplaza por VN = spanϕ1, . . . , ϕN, tenemos que encontrar los N coeficientes de desarrollo

desconocido de uN , pero con v ≥ ψ condiciones de desigualdad infinitas. Se puede realizar un numero infinitode condiciones con una computadora si es muy difıcil. Entonces tambien discretizaremos la restriccion v ≥ ψforzandola a puntos finitos GN . Por supuesto, esto requiere ψ ∈ C0(Ω) . El conjunto discreto, convexo, novacıo y cerrado es

KN = vN ∈ VN : vN (x) ≥ ψ(x) ∀x ∈ GN . (3.23)

En general, KN no es compatible, es decir, KN 6⊂ K. Para la estimacion e implementacion de errores apriori, se debe seleccionar la cantidad GN . Particularmente adecuados son los puntos de cuadratura GN =x1, . . . , xN y ϕi a estas funciones de base de nodale de puntos de cuadratura. Por lo tanto, la condiciondiscreta no intrusiva se transfiere uno a uno a los coeficientes de desarrollo de las funciones discretas. Seaplica

vN (xi) =

N∑j=1

vjϕj(xi) = vi ≥ ψ(xi).

Por lo tanto, la proyeccion es (PKNv)i = maxvi, ψ(xi) muy facil y eficientemente realizable.Nuevamente para la estimacion de errores y el calculo de las matrices de conectividad, los puntos de cuadra-tura Gauss-Lobatto transformados FT son muy adecuados en una dimension. Debido a que no hay puntosde cuadratura igualmente buenos para p ≥ 2 en triangulos, usamos cuadrados en lugar de triangulos trans-formados bilinealmente, los llamados cuadrilateros. La transformacion bilineal FT : [−1, 1]2 → T ∈ Th tienela forma F(t) = a + a1t1 + a2t2 + a12t1t2 y asigna los cuatro vertices de [−1, 1]2 a los vertices de T . Laconstruccion es analoga en tres dimensiones, pero TT es trilineal. Las funciones de base local en el elementode referencia resultan como un producto tensor a partir de las funciones de base 1D locales, ver por ejemplo3.2 para φi,j(t1, t2) = φi(t1)φj(t2).

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 3.2: Funciones basicas de Gauss-Lobatto-Lagrange para el polinomio grado 3, arriba 1D, abajo 2D.

Para p ≥ 2, esta discretizacion no es compatible, incluso para ψ = 0. Lo mismo se aplica a p ≥ 1 y ψestrictamente concavos. Para p = 1 y ψ convexo, en particular ψ lineal, esta discretizacion es compatible.


3.4. Estimacion de error a priori para problemas de obstaculos de Laplace

Teorema 3.13. Sea Ip : C0([−1, 1])→ Pp(−1, 1) el operador de interpolacion dado por

Ipv(ξj) = v(ξj), 0 ≤ j ≤ p (3.24)

donde ξj es el nodo j-simo de los (p+ 1)puntos de Gauss-Lobatto.Para cada numero real µ > 1/2 existe una constante C(µ) = C > 0,de modo que para todos los v ∈ Hµ(−1, 1)se tiene

‖v − Ipv‖L2(−1,1) ≤ Cp−µ‖v‖Hµ(−1,1). (3.25)

Para cada µ ≥ 1 existe una constante C(µ) = C > 0, de modo que para todo v ∈ Hµ(−1, 1) se tiene

‖v − Ipv‖H1(−1,1) ≤ Cp1−µ‖v‖Hµ(−1,1). (3.26)

Sea Ip : C0([−1, 1]2)→ Pp([−1, 1]2) el operador de interpolacion dado por

Ipv(ξj , ξi) = v(ξj , ξi), 0 ≤ i, j ≤ p. (3.27)

Para cadaµ > 1 existe una constante C(µ) = C > 0, tal que para todo v ∈ Hµ([−1, 1]2) se tiene

‖v − Ipv‖L2([−1,1]2) ≤ Cp−µ‖v‖Hµ([−1,1]2). (3.28)

Para cada µ > 3/2 existe una constante C(µ) = C > 0, tal que para todo v ∈ Hµ([−1, 1]2) se tiene

‖v − Ipv‖H1([−1,1]2) ≤ Cp1−µ‖v‖Hµ([−1,1]2). (3.29)

La condicion µ > 1/2 garantiza que Hµ(−1, 1) ⊂ C0(−1, 1) que la interpolacion esta bien definida. Lasdimensiones d deben tener µ > d/2. Como Ip se construye bidimensionalmente como una estructura tensorade operadores de interpolacion unidimensionales, la prueba requiere el error de interpolacion L2(−1, 1) de∂iv. Por lo tanto, ∂iv ∈ H1/2+ε y v ∈ H3/2+ε para ε > 0. El resultado anterior se traduce en dimensionessuperiores de forma analoga.

Lema 3.14 (Operador de interpolacion de K a Khp). Sea Th sea una cuadrıcula de elementos finitosde Ω que consiste en cubos transformados (bi / tri) lineales [−1, 1]d. Entonces, existe un operador de inter-polacion Ihp : H2(Ω)→ Vhp mit Ihpv(x) = v(x) en el producto tensor transformado (bi / tri) lineal basadosen puntos Gauss-Lobatto y

h

p‖v − Ihpv‖H1(Ω) + ‖v − Ihpv‖L2(Ω) ≤ C

h2

p2‖v‖H2(Ω) (3.30)

con una constante C > 0 que es independiente de h, p y v.

Demostracion. Siga el teorema 3.13 y los argumentos de escala, vea Lema 2.23. ut

Teorema 3.15. Sea ∆u+ f ∈ L2(Ω) y u, ψ ∈ H2(Ω). Entonces, se tiene

‖u− uhp‖H1(Ω) ≤ C(h

p

)1/2

(3.31)

con una constante C > 0 independiente de h y p.

Demostracion. Estimamos los terminos individuales del Teorema 3.12 individualmente. Para el problemade obstaculo de Laplace V = H1

0 (Ω) y H = L2(Ω). Elegimosvhp como una interpolacion de u, lema 3.14.Debido a la construccion de Khp, vhp = Ihpu ∈ Khp. Sea ψhp = Ihpψ. Se tiene

‖u− vhp‖2H1(Ω) ≤ Ch2

p2‖u‖2H2(Ω) y ‖u− vhp‖L2(Ω) ≤ C

h2

p2‖u‖H2(Ω).

Para estimar la consistencia ‖uhp − v‖L2(Ω), elegimos v = maxuhp − ψhp, 0+ ψ ∈ K. Entonces v − uhp =maxuhp − ψhp, 0+ ψ − ψhp + ψhp − uhp = max0, ψhp − uhp+ ψ − ψhp y Ihp max0, ψhp − uhp = 0. Setiene

3.4 Estimacion de error a priori para problemas de obstaculos de Laplace 41

‖uhp − v‖L2(Ω) = ‖max0, ψhp − uhp − Ihp max0, ψhp − uhp+ ψ − ψhp‖L2(Ω)

≤ Chp‖max0, ψhp − uhp‖H1(Ω) + ‖ψ − ψhp‖L2(Ω)

≤ Chp‖ψhp − uhp‖H1(Ω) + C

h

p‖ψ‖H1(Ω)

≤ Chp

(‖ψ‖H1(Ω) + ‖uhp‖H1(Ω)

)despues de la estimacion de la desigualdad del triangulo y el error de interpolacion, porque una funcionpolinomica continua y por partes es arbitraria en H3/2−ε para ε > 0. La estabilidad

‖uhp‖2H1(Ω) ≤ C1‖Ihpu‖2H1(Ω) + C2F ≤ 2C1‖u‖2H1(Ω) + C2

F + 2‖u− Ihpu‖2H1(Ω)

≤ 2C1‖u‖2H1(Ω) + C2F + 2C2

h2

p2‖u‖2H2(Ω) ≤ C

se sigue del teorema 3.9, lo que da la afirmacion. ut

El teorema anterior nos da tasas de convergencia garantizadas. Sin embargo, estos son peores que las pro-piedades de aproximacion del espacio Vhp por un factor de dos. En la practica, sin embargo, vemos tasas deconvergencia optimas si la solucion es suficientemente fluida. En el caso de quep = 1, podemos probar esotambien..

Corolario 3.16. Sea ∆u+ f ∈ L2(Ω), u, ψ ∈ H2(Ω) y p = 1. Entonces, se tiene

‖u− uh‖2H1(Ω) ≤ Ch2. (3.32)

Demostracion. La prueba es analoga a la prueba del teorema 3.15, solo el error de conformidad se estimade manera diferente. Puesto que p = 1 y uh ≥ ψ en los cuatro nodos de cada elemento, uh ≥ Ihψ en todaspartes de Ω con Ih es la interpolacion lineal en terminos de los nodos del elemento. Elegimos v = maxuh, ψ.Luego, en los puntos donde uh < ψ, lo que da

0 < v − uh = ψ − uh = ψ − Ihψ + Ihψ − uh ≤ ψ − Ihψ,

y donde uh ≥ ψ trivialmente v − uh = 0. En consecuencia

‖uh − v‖L2(Ω) ≤ ‖ψ − Ih‖L2(Ω) ≤ Ch2|ψ|H2(Ω).

ut

Lema 3.17. Sea H un subconjunto denso de V y K ⊂ V convexo con K 6= ∅. Entonces K ∩H = K ∩H =K.

Teorema 3.18. Fara ψ ∈ Hµ(Ω) con µ > d/2 se aplica a la discretizacion FE del problema del obstaculo deLaplace

lımh/p→0

‖u− uhp‖H1(Ω) = 0. (3.33)

Demostracion. Utilizamos la estimacion de error a priori de Falk, Teorema 3.12 con H = V = H10 (Ω).

‖u− up‖2H1(Ω) ≤2

α‖Au− f‖H−1(Ω)

(‖u− vnp‖H1(Ω) + ‖unp − v‖H1(Ω)

)+ ‖u− vnp‖2H1(Ω).

Debido al lema 3.17, se tiene H2 ∩K = K = K. Por lo tanto, para cada ε > 0, existe uε ∈ H2 ∩ K con‖u− uε‖H1(Ω) < ε. Ademas, h/p es suficientemente pequeno como para que ‖uε − Ihpuε‖H1(Ω) ≤ ε

ınfvhp∈Khp

‖u− vhp‖H1(Ω) ≤ ‖u− uε‖H1(Ω) + ‖uε − Ihpuε‖H1(Ω) < ε+ ε = 2ε.

Para el error de consistencia, elegimos v = maxuhp − ψhp, 0+ ψ ∈ K. Se tiene


‖u− vhp‖H1(Ω) ≤ ‖max0, ψhp − uhp‖H1(Ω) + ‖ψ − ψhp‖H1(Ω)

≤ ‖ψhp − uhp‖H1(Ω) + C

(h

p

)1−µ

‖ψ‖Hµ(Ω)

≤ ‖ψ‖1 + ‖uhp‖1 + 2C

(h

p

)1−µ

‖ψ‖Hµ(Ω).

La estabilidad de uhp se deriva del teorema 3.9 y Ihpψ ∈ Khp estable.

La condicion ψ ∈ Hµ(Ω) con µ > d/2 no es restrictiva porque esta es la regularidad mınima de Sobolev,entonces ψ ∈ C0(Ω), que solo se necesita para la discretizacion en sı.

4

Ejercicios

4.1. Ejercicios para la teorıa

4.1.1. Ejercicios para el capıtulo 1

Ejercicio 4.1 Derive una formulacion debil y el problema de minimizacion correspondiente para el siguienteproblema de cuarto orden.

u(4)(x) = f(x) fur x ∈ (−1, 1), u(±1) = u′(±1) = 0 (4.1)

Ejercicio 4.2 Sean a, b ∈ R y f ∈ L2(0, 1). Introducir una formulacion debil para

−u′′ = f in (0, 1), u(0) = a, u′(1) = b. (4.2)

Ejercicio 4.3 Para la forma bilineal (lado izquierdo de la formulacion debil)

a(u, v) =

∫ 1

0

u′v′dx

y el espacio de aproximacionVp = spanx, x2, x3, . . . , xp.

Determine la matriz asociada A y determine su condicion para p = 2, 4, 6.

Ejercicio 4.4 Construya un espacio de elementos finitos Vh ⊂ V = H10 (Ω), que consiste en funciones

cuadraticas continuas por partes. Especifique explıcitamente y suscrıbase a las funciones basicas de Vh.Ademas, determine las entradas de la matriz A.

Ejercicio 4.5 Sean φi la base local funciona como una base polinomica integrada de Legendre (consulte(4.5) bei en las tareas de programacion para la definicion). Supongamos que Vh sea el espacio de las funcionespolinomicas continuas y por partes que desaparecen en los puntos finales del intervalo I = [a, b]. La cuadrıculaen I esta dada por los cuatro nodos x0, . . . , x3. El grado de polinomio en el subintervalo Ij = [xj−1, xj ] es j.Es decir, vh ∈ Vh es lineal en I1, cuadratica en I2 y cubica enI3. Configure las tres matrices de conectividadπj para la construccion de las funciones de base global de Vh.

4.1.2. Ejercicios para el Capıtulo 2

Ejercicio 4.6 1. ¿Para cual α es xα ∈ H1(0, 1)?2. ¿Para cual β es |x|β ∈ H1(Ω), donde Ω ⊂ R2 es una esfera de radio uno y centro cero?3. Sea I = (−1, 1). Calcule la derivada debil de f(x) = 1− |x| y la funcion Heaviside H(x).

Ejercicio 4.7 Sea κ ∈ L∞(Ω) con κ ≥ κ0 > 0, γ ∈ [H1(Ω) ∩ L∞(Ω)]d, m ∈ L∞(Ω). Introducir la clasicaformulacion debil para

−div(κ∇u) + γ>∇u+mu = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω

¿El operador diferencial es simetrico? ¿Para que κ, γ,m es la forma bilineal coercitiva sobre H10 (Ω)?

44 4 Ejercicios

Ejercicio 4.8 Revise todos los argumentos en las pruebas del teorema de Riesz y el lema de Lax-Milgram.En particular, explique en detalle todos los argumentos concisos.

Ejercicio 4.9 Para γ ∈ (0, 2π) sea Ω = r(cosφ, sinφ) | 0 < r < 1, 0 < φ < γ. Sea ΓD = r(cosφ, sinφ) |0 < r < 1, φ ∈ 0, γ y ΓN = ∂Ω \ ΓD. Demuestre que u(r, φ) = rπ/γ sin(φπ/γ) es la solucion de laformulacion debil del problema de Poisson.

−∆u = 0 in Ω, u = 0 auf ΓD, ∂nu = ∂rrπ/γ sin(φπ/γ) auf ΓN

Para hacer esto, derive la representacion del operador de Laplace en coordenadas polares ¿Es u ∈ C1(Ω)?

Ejercicio 4.10 Sea uN ∈ VN la aproximacion de Galerkin de u con dim(VN ) = N . Supongamos que el error‖u− uN‖ en una serie de potencia

∑∞i=0 Ci(N

α)i con parametros Ci, α ∈ R Obtenga un calculo aproximadode la tasa de convergencia α asumiendo uN → u.

Ejercicio 4.11 Considere el teorema 2.24. ¿Por que (IT v) FT = I v? ¿Como cambia la declaracion delteorema 2.24 si en lugar de Pm−1 ⊆ PT general Pp ⊆ PT por un p ≥ 1? Discuta los casos p ≤ m − 1 yp ≥ m− 1 por separado.

Ejercicio 4.12 Demuestre la desigualdad de la pista local: sea T sea un elemento finito (sımplex) de lacuadrıcula FE Th y S un borde en R2 o una cara en R3 de T . Entonces existe una cosntante C > 0, tal quepara todo v ∈ H1(T )

C‖v‖2L2(S) ≤ h−1S ‖v‖2L2(T ) + hS‖∇v‖2L2(T ).

Ejercicio 4.13 Demuestre que u(x) = 1 en [−1, 1], u(x) = 0 para |x| > 1y luego pertenece a Hs(R), si0 ≤ s < 1/2.

Ejercicio 4.14 Sea Πhu una proyeccion sobre L2(Ω) de u ∈ L2(Ω) en el espacio FE Vh ⊂ L2(Ω); es decir,∫Ω

Πhuvh =

∫Ω

uvh ∀vh ∈ Vh.

Probar

1. Existe una unica solucion Πhu ∈ Vh.2. Una estimacion a priori (estimacion de estabilidad) en L2(Ω).3. Una estimacion de error a priori de ‖u−Πhu‖L2(Ω), si u ∈ Hs(Ω) y Vh := vh ∈ Ht(Ω) | vh FT ∈ Pp ∀T ∈ Th

para p ≥ 0 y t = 0, 1.4. Una estimacion de error a priori para ‖u − Πhu‖H1/2(Ω). . Use sin pruebas de que ‖v‖2

H1/2(Ω)≤

C‖v‖L2(Ω)‖v‖H1(Ω) para cada v ∈ H1(Ω).

4.2. Tarea sobre implementacion

4.2.1. Ejercicios para el Capıtulo 3

Ejercicio 4.15 (1D-FEM) La tarea consta de tres tareas principales: analisis numerico de un metodo deelementos finitos 1D, extension del programa Matlab de la conferencia, ası como simulaciones numericas, ycreacion de un informe de latex.

Sei I = (−1, 1) y la funcion f : I → R. El siguiente problema de valor lımite con FEM debe resolverseaproximadamente:

−u′′(x) + u(x) = f(x) in I, u(±1) = 0 (4.3)

Incluya las siguientes tareas en su informe:

1. ¿Como se ve la redaccion debil “ clasica ” de (4.3)?2. ¿En que cantidad es la solucion u y de que cantidad se puede elegirf para que la formulacion debil este

bien colocada?3. Demuestra que hay una solucion bien definida

4.2 Tarea sobre implementacion 45

Para la discretizacion FE, se utilizara el espacio de las funciones polinomicas continuas, por partes, endiferentes redes con diferente distribucion de grados polinomiales:

1. En una cuadrıcula uniforme con nelementos.2. En una cuadrıcula graduada con 2n elementos. La graduacion debe ser hacia ambos puntos finales de I.

Para la graduacion −1, los nodos xi =(in

)β − 1 con 0 ≤ i ≤ n y los parametros de graduacion β ≥ 1usados. El grado polinomico se da uniformemente para p ≥ 1.

3. En una cuadrıcula geometrica graduada con 2n La graduacion debe ser hacia ambos puntos finales de I.Para la graduacion −1, se usan los nodos x0 = −1, xi = σn−i − 1 con 1 ≤ i ≤ n y los parametross degracuacion σ > 0. El grado polinomico en el elemento i-simo es pi = i para 1 ≤ i ≤ n y pi = 2n+ 1− ipara n < i ≤ 2n.

Los polinomios de Legendre integrados se deben usar para abarcar el espacio de los polinomios de los p masaltos en el intervalo de referencia (−1, 1). Eso es

L0(x) =1− x

2, L1(x) =

1 + x

2, Lj(x) =

∫ x

−1

lj−1(t) dt =lj(x)− lj−2(x)

2j − 1fur 2 ≤ j ≤ p (4.4)

donde lj es el polinomio de Legendre de grado j.


1. Introducir una discretizacion FE formalmente limpia.2. ¿Cual es la formulacion discreta?3. Probar que hay una solucion discreta bien definida.4. ¿Que propiedades tiene el sistema de ecuaciones lineales?5. Muestra que Lj forma una base jerarquica y Lj(±1) = 0 para j ≥ 2.6. Describe un calculo recursivo para Legendre y, por lo tanto, para los polinomios Legendre integrados.

Escriba el programa Matlab de la conferencia para el problema (4.3) y las discretizaciones anteriores. f debeelegirse de modo que u(x) = (1 + x)α(1− x)α con α > 0,5 sea la solucion exacta.


1. ¿Cuantos nodos de cuadratura de Gauss se necesitan para calcular la rigidez local y las matrices de masaMji =

∫ILiLjdx para ser exactos?

2. Ejecute su programa FEM por α = 0,52, 1 y 1,6.3. Crea 3 tramas de error (una para cada α). En el eje x (escalado logarıtmicamente) se traza la dimension

del sistema lineal de ecuaciones, en el eje y (tambien escalado logarıtmicamente) el error de discretizacionen la forma norma de H1(I). Cada parcela contiene varias curvas. La primera curva corresponde a laversion uniforme h con p = 1. El segundo en la version h uniforme con p = 2. El tercero y el cuartocorresponden a la version graduada h con β = 1,5 y β = 3, cada uno con p = 1. El quinto al septimocorresponde a la version geometrica graduada con σ = 0,17, 0,25, 0,5. La octava curva pertenece a laversion uniforme p con elementos n = 3.

4. En las versiones h siempre duplicas el numero de elementos, entonces n = 2, 4, 8, 16, . . .. ¿Hasta que npuedes esperar?

5. Para la version p, siempre aumente p en uno, p = 1, 2, 3, 4, . . ..¿Hasta que p puedes esperar?6. En las versiones graduadas geometricamente, siempre incrementas n en uno. ¿Hasta que n puedes espe-

rar?7. Cree 3 tablas (una para cada α) en las que ingrese las tasas de convergencia determinadas experimental-

mente para cada paso de refinamiento para cada variante de discretizacion, es decir, una columna paracada tipo de discretizacion.

8. ¿Que informacion puedes leer de las curvas de error y las tasas de convergencia? Compare estos resultadoscon la teorıa de la conferencia.

Ejercicio 4.16 (2D-FEM) Analice el siguiente problema con las tecnicas de la conferencia, amplıe el pro-grama de salida de Matlab para este problema y explique sus resultados en un informe de latex.

Sea Ω ⊂ R2 sea un area poligonal con un borde ∂Ω. Ademas, sean ΓN , ΓD ⊂ ∂Ω, por lo que ΓN ∪ ΓD = ∂Ωy ΓN ∩ ΓD = ∅. Para los datos dados f , g, t sea u una solucion debil de

46 4 Ejercicios

−∆u = f in Ω, ∂nu = t auf ΓN , u = g auf ΓD. (4.5)

Sin pruebas, use la desigualdad de Poincare-Friedrich para todov ∈ H10,ΓD

(Ω) := v ∈ H1(Ω) | v = 0 auf ΓDsi |ΓD| > 0. Ademas, H−1/2(ΓN ) = (H1/2(ΓN ))∗ es el espacio dual de H1/2(ΓN ).En particular, discuta si existe una solucion debil unica u y como depende de los datos f , t und g.Sea Th una descomposicion de Ω en triangulos, de modo que la interseccion de dos triangulos diferentessea el conjunto vacıo, exactamente un borde o exactamente un nudo. Para discretizar, use el espacio defunciones continuas, lineales por partes y, alternativamente, cuadraticas a traves de Th. En particular, discutala existencia unica de una solucion discreta uh, , si es uniformemente estable y como manejar los datos deDirichlet no homogeneos g.¿Que tasas de convergencia se pueden probar?Realice calculos numericos para los siguientes dos problemas:

1. Ω = (−1, 1)2 \ ([0, 1]× [−1, 0]), ΓD = [0, 1]× 0 ∪ 0 × [−1, 0], ΓN = ∂Ω \ ΓD, u(r, θ) = r2/3 sin(2φ/3)

2. Ω = (0, 1)2, ΓD = [0, π/2]× 0, ΓN = ∂Ω \ ΓD, u(x, y) = sin(x) cos(y).

Documente y explique sus resultados numericos. Esto deberıa incluir en particular:

1. Tasas de convergencia del error en las normasH1(Ω)- y la norma de L2(Ω)2. los tiempos de CPU asociados

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