Concepto de teorema de binomio
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Concepto de Teorema de Binomio. El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima potencia de un binomio como un polinomio. La fórmula general del binomio sea igual de la siguiente forma (a+b): Si a este binomio se le multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes potencias: (a+b) 1 = a+b (a+b) 2 = (a+b) (a+b)= a 2 + 2ab + b 2 (a+b) 3 = (a+b) (a+b) (a+b)= a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 De esto descrito se puede concluir que: 1) El desarrollo de (a+b) n tiene n+1 términos. 2) Las potencias de a empiezan con n en el primer término y van disminuyendo en cada término hasta cero en el último. 3) Las potencias de b empiezan con exponente cero en el primer término y van aumentando en uno cada término, hasta n en el último. 4) Por cada término la suma de los exponentes de a y b es n. 5) El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n. 6) El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el exponente a dividido entre el número que indica el orden de ese término. 7) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.
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Concepto de Teorema de Binomio.
El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima potencia de un binomio como un polinomio.
La fórmula general del binomio sea igual de la siguiente forma (a+b):
Si a este binomio se le multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes potencias:
(a+b)1= a+b(a+b)2= (a+b) (a+b)= a2 + 2ab + b2
(a+b)3= (a+b) (a+b) (a+b)= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
De esto descrito se puede concluir que:
1) El desarrollo de (a+b)n tiene n+1 términos.2) Las potencias de a empiezan con n en el primer término y van
disminuyendo en cada término hasta cero en el último.3) Las potencias de b empiezan con exponente cero en el primer término y
van aumentando en uno cada término, hasta n en el último.4) Por cada término la suma de los exponentes de a y b es n.5) El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n.6) El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente
del término anterior por el exponente a dividido entre el número que indica el orden de ese término.
7) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.
Algunas simetrías se pueden ver en el Triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo de (a+b)n.
A este tipo de números se les llama coeficientes binomiales, dado que cada renglón se observa que el primer y último elemento es 1 porque los coeficientes del primer y último término son iguales a 1.
Cada elemento es la suma de los dos que se encuentra a su izquierda y derecha en el renglón superior. Por ejemplo n=4, el segundo coeficiente 4 es la suma de los elementos 1 y 3 que se encuentran a su izquierda y derecha en el renglón superior, y también el coeficiente 6 es la suma de los elementos 3 y 3 del renglón superior.
EJEMPLOS
Resolver por el teorema del binomio:
(a + 2b)4
- SOLUCION
n=4 Se utilizarán los coeficientes binomiales con las potencias correspondientes para cada término del desarrollo. Es decir:
(a + 2b)4= 1(a)4 + 4(a)3 (2b)1 + 6(a)2 + 4(a)1 (2b)3 + 1(2b)4
Efectuándose las potencias, se tiene que:
(a + 2b)4= 1.a4 + 4.a3.2b + 6.a2.4b2 + 4.a.8b3 + 1.16b4
Efectuando los productos:
(a + 2b)4= a4 + 8a3b + 24a2b2 + 32ab3 + 16b4
TEOREMA GENERALIZADO DEL BINOMIO DE NEWTON
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:
Si queremos el k-ésimo término de la serie lo podemos obtener:
Donde
EJEMPLOS
Encontrar el septimo término de tenemos que:
sustituyendo.
resolvemos.
BIBLIOGRAFÍA
http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIII/3_5_5_teo_bin.htm
http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/38.%20Teorema%20del%20Binomio.pdf
es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomio
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Teorema_del_Binomio
