CONALEPIZTAPALAPA V

(211)

Unidad de Operación Desconcentrada para el Distrito Federal

CLASE MUESTRALa parábola

La parábola

Contenido Presentación Objetivo Un breve repaso La parábola

Clase Muestra

Presentación Academia de Matemáticas

Periodo 21213Enrique Trejo

Rodriguez

Carmen Rodriguez

Lemus

Jonathan Zambrano Cruz

Manuel Rangel Carrillo

Luis Eduardo Santiago Chávez

Objetivo

Al finalizar seremos capaces de definir que es una parábola, cuales son sus principales

formulas y donde lo podemos aplicar.

Un breve repasoLa línea

La circunferen

cia

La parabola

La línea recta Recordaras varias definiciones de la línea recta dadas en sus

estudios anteriores, siendo la más común la que se expresa diciendo

que una recta es la distancia más corta entre dos puntos. Pero esta

definición se apoya en el significado del término distancia.

P1 P2

La línea recta También llamamos línea recta al lugar geométrico de los

puntos tales que tornados dos puntos diferentes cualesquiera P1 (x1 , y1) y P2 (x2 , y2) del Iugar, el valor de la pendiente por medio de la formula:

La línea recta

Forma general de la ecuación de una recta.

En donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero. La ecuación se llama la forma general de

la ecuación de una recta.

La circunferencia Definición. Circunferencia es el lugar geométrico

de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano.

El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio.

Radio

Punto Fijo

Circunferencia

La circunferencia

Teorema 1. La circunferencia cuyo centro es el punto (h, k) y cuyo radio es la constante r, tiene por ecuación:

Corolario . La circunferencia de centro en el origen y radio r tiene por ecuación

La circunferencia

Teorema 2: La ecuación x2 + y2 + Dx + Ey + F una circunferencia de radio diferente de cero, solamente si

D2 + E2 - 4 F > 0

La parábola

Parábola Una parábola es una curva abierta, producida por

la intersección de un cono circular recto y un plano paralelo a algún elemento del cono.

Una parábola se define como el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de una recta y un punto fijos. El punto fijo se llama foco y la recta fija se llama directriz de la parábola.

X

B

VL

PF

directriz

Foco

qp

YD

nm

1. Trazar

2. Bisecar

3. Unir F con cualquier X en L

4. Trazar la mediatriz m de

5. Trazar por X. Se obtiene P en

6. Para obtener más puntos, se repite lo hecho en 3, 4 y 5 con cualquier otro punto de L.

FD L

FD

FX

n L

m n

Conocidos el foco y la directriz, la parábola se construye como sigue:

¿Qué sucede con la parábola si la distancia del foco a la directriz crece?

¿Qué sucede con la parábola, si la distancia del foco a la directriz decrece?

¿Es la mediatriz m de tangente a la parábola?FX

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos determinados al unir el foco con los puntos de la directriz?

La parábola se abre

La parábola se cierra

Sí

Es la paralela a la directriz por el vértice de la parábola

La distancia del vértice V al foco F se denota con p, esto es ,,d V F p

VL

PF

D

p

p

A B

y es igual que la distancia del vértice V a la directriz L, o sea:

, ,d V F d V pL

La cuerda perpendicular al eje de simetría de una parábola por el foco, se llama lado recto de la parábola.

AB es lado recto de la parábola.

Si el eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice coincide con el origen, las coordenadas del foco son la ecuación de la directriz es Por lo que, si es cualquier punto de la parábola entonces se satisfacen las siguientes relaciones:

,0,F p ,P x y.y p

, ,d P d P FL

2 2

2 20

0 1

y px y p

22x y p y p

2 22x y p y p

2 4x py

La parábola abre hacia arriba si

La parábola abre hacia abajo si

0p

0p

OL

F(0,p)

Q

p

px

y

y = -p

,P x y

Si el eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice es las coordenadas del foco son y la ecuación de la directriz es Por lo que, si es cualquier punto de la parábola, entonces se satisfacen las siguientes relaciones:

, ,F h k p.y k p ,P x y

, ,V h k

, ,d P F d P L

2 2

2 20 1

y k px h y k p

2 2x h y k p y k p

2 2 2x h y k p y k p

24x h p y k

La parábola abre hacia arriba si

La parábola abre hacia abajo si

0p

0p

0

Qpx

,F h k p ,P x y

p

y

h

k

y = k - p

Longitud del lado recto de una parábola

La longitud PQ del lado recto de la párábola adjunta, se calcula como sigue:

VL

F

D

p

p

S R

P Q

2PQ PF FQ PF

Pero: 2PF PS p

Entonces: 4PQ p

Ejemplo 1

Solución

Graficar la parábola y obtener la forma canónica de su ecuación. Además obtener la longitud del lado recto y las coordenadas del vértice y del foco de la parábola.

22 4 5 12 0x x y

2 51 2

2x y

1,2V

21,

8F

La longitud del lado recto es:5

2

-6 -4 -2 2 4

2.5

5

7.5

10

12.5

15

La calzada de un puente parabólico está sobre el lado recto de una parábola, cuyo vértice está a 20 m de altura por arriba de la calzada. Tomando como eje x a la horizontal que define a la calzada, y como eje y al eje de simetría de la parábola, y si los extremos del lado recto están cada uno a 60 m del foco, determinar la gráfica y la ecuación de la parábola, y las coordenadas de los puntos de anclaje del puente en las orillas de la Bahía .

Ejemplo 2

Solución 2 80 20x y

Los puntos de anclaje del puente son:

60, 25P

60, 25Q QP

Si el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértice coincide con el origen, las coordenadas del foco son la ecuación de la directriz es Por lo que, si es cualquier punto de la parábola entonces se satisfacen las siguientes relaciones:

0 ,,F p ,P x y.x p

, ,d P F d P L

2 2

2 21 0

x px p y

2 2x p y y p

2 22x p y y p

2 4y px

La parábola abre hacia la derecha si

La parábola abre hacia la izquierda si

0p

0p

O

L

F(p,0)

Q

p px

y

x =

-p

,P x y

Si el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértice es las coordenadas del foco son y la ecuación de la directriz es Por lo que, si es cualquier punto de la parábola, entonces se satisfacen las siguientes relaciones:

,,F h p k.x h p ,P x y

, ,V h k

, ,d P d P FL

2 2

2 21 0

x h px h p y k

2 2x h p y k x p

2 2 2x h p y k x h p

24y k p x h

La parábola abre hacia la derecha si

La parábola abre hacia la izquierda si

0p

0p

0

Q

p p

x

,F h p k

,P x y

x = h - p

y

h

k

L

Ejemplo 3

Solución

Graficar la parábola y obtener la forma canónica de su ecuación. Además obtener la longitud del lado recto y las coordenadas del vértice y del foco de la parábola.

2 8 6 7 0y x y

23 8 2y x

2, 3V

0, 3F

La longitud del lado recto es: 8

-5 -4 -3 -2 -1 1 2

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

y

x0

La calzada de un puente parabólico está sobre el lado recto de una parábola, cuyo vértice está a 20 m de altura por arriba de la calzada. Tomando como eje x a la horizontal que define la calzada, y como eje y al eje de simetría de la parábola, y si los extremos del lado recto están cada uno a 60 m del foco, se puede determinar la ecuación de la parábola y las coordenadas de los puntos de anclaje del puente en las orillas de la Bahía .

Curvas con Historia Se dice que Menaechmus fue el que descubrió las

secciones cónicas y que fue el primero en enseñar que las parábolas, hipérbolas y elipses eran obtenidas al cortar un cono en un plano no paralelo a su base.

Apollonius describió las cónicas como las curvas formadas en un plano.

Apollonius de Perga fue otro matemático que estudio las cónicas, su trabajo tuvo una gran influencia en el estudio de las matemáticas, también descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.

Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes: las llamadas propiedades de reflexión.

En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas.

Propiedades de Reflexión

Las aplicaciones principales de las parábolas incluyen su como reflectores de luz y ondas de radio.

Los rayos originados en el foco de la parábola se reflejan hacia afuera de la parábola, en líneas paralelas al eje de la parábola. Aun más el tiempo que tarda en llegar cualquier rayo al foco a una recta paralela a la directriz de la parábola y por lo tanto estas propiedades se utilizan en linternas, faros de automóviles, en antenas de transmisión de microondas.

PROPIEDADES REFLECTORAS

ASTRONOMIA

El físico italiano Galileo (1564-1642) descubrió la ley que gobierna el movimiento de los cuerpos sobre la superficie de la Tierra: La velocidad de caída de los cuerpos no depende de su masa y es directamente proporcional al tiempo. Esto implica que si lanzamos un objeto con cierta inclinación hacia arriba la trayectoria seguida es una parábola. ORBITA

DE LOS COMETAS

A cierta distancia del Sol, existe una velocidad umbral llamada velocidad de escape, v. Cuando un cometa tiene una velocidad igual o mayor que v, escapa del sistema solar . Si su velocidad es menor permanece dentro del campo gravitacional del Sol.Trayectoria del cometa: Elíptica si su velocidad es menos que v.Hiperbólica si es mayor que v. Parabólica si es igual a v.En los dos últimos casos, el cometa se acerca al Sol una sola vez y se retira al espacio para nunca volver (solo se considera interacción entre 2 cuerpos, Sol-cometa)

Evaluación ¿Cual es el nombre que se da a las graficas de una ecuación

cuadrática? En una ecuación cuadrática, ¿cómo podemos determinar el

vértice de su grafica? Elabora tres funciones cuadráticas y explica por que las

funciones son cuadráticas. Grafícalas. Dadas las siguientes funciones, determinar las coordenadas

de su vértice y si la parábola abrirá hacia arriba o hacia abajo.

.

Gracias