Comunicaciones moviles
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ANÁLISIS Y SIMULACIÓN DE UN RECEPTOR RASTRILLO Y COMPARACIÓN CON EL RECEPTOR ÓPTIMO PARA CDMA MELISSA DUARTE GÉLVEZ Trabajo de grado para optar por el título de Ingeniero Electrónico Director ADOLFO LEÓN RECIO VÉLEZ Ingeniero Electrónico M.Sc. PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA BOGOTÁ 2004
Transcript of Comunicaciones moviles
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ANLISIS Y SIMULACIN DE UN RECEPTOR RASTRILLO Y
COMPARACIN CON EL RECEPTOR PTIMO PARA CDMA
MELISSA DUARTE GLVEZ
Trabajo de grado para optar por el ttulo de
Ingeniero Electrnico
Director
ADOLFO LEN RECIO VLEZ
Ingeniero Electrnico M.Sc.
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA
BOGOT
2004
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERA
CARRERA DE INGENIERA ELECTRNICA
RECTOR MAGNIFICO: R.P. GERARDO REMOLINA S.J.
DECANO ACADMICO: Ing. ROBERTO ENRIQUE MONTOYA VILLA
DECANO DEL MEDIO UNIVERSITARIO: R.P. ANTONIO JOS SARMIENTO NOVA S.J.
DIRECTOR DE CARRERA: Ing. JUAN CARLOS GIRALDO CARVAJAL
DIRECTOR DEL PROYECTO: Ing. ADOLFO LEN RECIO VLEZ M.Sc.
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ARTICULO 23 DE LA RESOLUCIN No. 13 DE JUNIO DE 1946
"La universidad no se hace responsable de los conceptos emitidos por sus alumnos en
sus proyectos de grado.
Slo velar porque no se publique nada contrario al dogma y la moral catlica y porque
los trabajos no contengan ataques o polmicas puramente personales. Antes bien, que se
vea en ellos el anhelo de buscar la verdad y la justicia".
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A mi querida familia A mi querido Fred
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CONTENIDO
Pg. CONTENIDO................................................................................................................... 5 LISTA DE FIGURAS ...................................................................................................... 8 INTRODUCCIN.......................................................................................................... 10 1. MARCO TERICO ............................................................................................... 13
1.1 ESPECTRO DISPERSO DE SECUENCIA DIRECTA (DSSS)................... 13 1.1.1 Transmisin ............................................................................................ 13 1.1.2 Recepcin ............................................................................................... 14
1.2 SECUENCIAS GOLD ................................................................................... 16 1.3 NOTACIN o-minscula .............................................................................. 21 1.4 ENERGA EFECTIVA .................................................................................. 21 1.5 RESISTENCIA CERCA LEJOS................................................................. 22
2. ESPECIFICACIONES ........................................................................................... 24 2.1 SEAL TRANSMITIDA POR UN USUARIO ............................................ 24 2.2 MODELO DEL CANAL Y SEAL RECIBIDA.......................................... 25
2.2.1 Efecto multicamino y desvanecimiento Rayleigh ................................... 25 2.2.2 Seal recibida modelo sncrono ............................................................. 28
2.3 DIVERSIDAD................................................................................................ 29 2.3.1 Diversidad debida a mltiples caminos Combinacin de tasa mxima 29
2.4 MODELO RECEPTOR RASTRILLO........................................................... 31 2.5 RECEPTOR PTIMO PARA CDMA........................................................... 32 2.6 RELACIN SEAL A RUIDO .................................................................... 35 2.7 DIAGRAMA DE FLUJO DE LAS SIMULACIONES ................................. 36 2.8 PARMETROS SIMULACIONES .............................................................. 37
3. DESARROLLO...................................................................................................... 39 3.1 DESARROLLO PASO A PASO DE LAS ECUACIONES QUE CARACTERIZAN AL RECEPTOR RASTRILLO .................................................. 39
3.1.1 Etapa 1. Lnea de retardo....................................................................... 39 3.1.2 Etapa 2: Correlatores............................................................................. 41 3.1.3 Etapa 3: Combinacin de tasa mxima.................................................. 44 3.1.4 Etapa 4: Toma de decisin ..................................................................... 45
3.2 DESARROLLO DE ECUACIONES PARA LA PROBABILIDAD DE ERROR DE BIT DEL RECEPTOR RASTRILLO.................................................... 45
3.2.1 Probabilidad de error de bit. Caso: Receptor rastrillo con estimacin perfecta de los coeficientes de desvanecimiento del canal y sincronizacin perfecta de la seal firma. .................................................................................................... 46 3.2.2 Probabilidad de error de bit. Caso: Receptor rastrillo con error en la estimacin de los coeficientes de desvanecimiento del canal y sincronizacin perfecta de la seal firma. ...................................................................................... 49 3.2.3 Probabilidad de error de bit. Caso: Receptor rastrillo con error en la sincronizacin de la seal firma y estimacin perfecta de los coeficientes de desvanecimiento del canal...................................................................................... 52
3.3 RESUMEN DE LAS FUNCIONES CREADAS PARA REALIZAR LAS SIMULACIONES. ..................................................................................................... 56
3.3.1 Funcin transmisor ................................................................................ 57 3.3.2 Funcin Canal ........................................................................................ 58 3.3.3 Funcin Receptor ................................................................................... 61
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3.3.3.1 Funcin Rakep.................................................................................... 62 3.3.3.2 Funcin Rakeme34 ............................................................................. 63 3.3.3.3 Funcin Rakeme121 ........................................................................... 64
3.4 COTAS PARA LA PROBABILIDAD DE ERROR DE BIT DEL RECEPTOR PTIMO DE CDMA ............................................................................ 66 3.5 APROXIMACIN DE Lck PARA EL CLCULO DE LAS ECUACIONES 69
4. ANLISIS DE RESULTADOS............................................................................. 72 4.1 PROBABILIDAD DE ERROR DE BIT DEL RECEPTOR RASTRILLO EN FUNCIN DE LOS PARMETROS DE ESTIMACIN DEL CANAL. ............... 73
4.1.1 Probabilidad de error de bit del receptor rastrillo con estimacin perfecta de los coeficientes de desvanecimiento del canal y sincronizacin perfecta de la seal firma. .................................................................................................... 73 4.1.2 Probabilidad de error de bit del receptor rastrillo con error en la estimacin de los coeficientes de desvanecimiento del canal y sincronizacin perfecta de la seal firma. ...................................................................................... 75 4.1.3 Probabilidad de error de bit del receptor rastrillo con error en la sincronizacin de la seal firma y estimacin perfecta de los coeficientes de desvanecimiento del canal...................................................................................... 77
4.2 ANLISIS DE LA ENERGA EFECTIVA DEL RECEPTOR RASTRILLO Y COMPARACIN CON EL RECEPTOR PTIMO PARA CDMA..................... 79
4.2.1 Anlisis de la energa efectiva del receptor rastrillo en el caso de estimacin perfecta de los coeficientes de desvanecimiento del canal y sincronizacin perfecta de la seal firma. Comparacin con el receptor ptimo para CDMA ............................................................................................................ 79 4.2.2 Anlisis de la energa efectiva del receptor rastrillo en el caso de error en la estimacin de los coeficientes de desvanecimiento del canal y sincronizacin perfecta de la seal firma. ...................................................................................... 81 4.2.3 Anlisis de la energa efectiva del receptor rastrillo en el caso de error en la sincronizacin de la seal firma y estimacin perfecta de los coeficientes de desvanecimiento del canal...................................................................................... 83
4.3 ANLISIS DE LA RESISTENCIA CERCA LEJOS DEL RECEPTOR RASTRILLO Y COMPARACIN CON EL RECEPTOR PTIMO PARA CDMA 84
4.3.1 Anlisis de la resistencia cerca lejos del receptor rastrillo en el caso de estimacin perfecta de los coeficientes de desvanecimiento del canal y sincronizacin perfecta de la seal firma. Comparacin con el receptor ptimo para CDMA ............................................................................................................ 84 4.3.2 Anlisis de la resistencia cerca lejos del receptor rastrillo en el caso de error en la estimacin de los coeficientes de desvanecimiento del canal y sincronizacin perfecta de la seal firma. ............................................................. 85 4.3.3 Anlisis de la resistencia cerca lejos del receptor rastrillo en el caso de error en la sincronizacin de la seal firma y estimacin perfecta de los coeficientes de desvanecimiento del canal. ............................................................ 86
5. CONCLUSIONES.................................................................................................. 88 5.1 TRABAJO FUTURO ..................................................................................... 94
6. BIBLIOGRAFA.................................................................................................... 95 7. ANEXO 1. ALGUNOS CONCEPTOS DE PROBABILIDAD............................. 99
7.1 Variable aleatoria con distribucin Gaussiana ............................................... 99
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7.2 Variable aleatoria compleja formada a partir de dos variables aleatorias Gaussianas ................................................................................................................ 100 7.3 Distribucin Rayleigh................................................................................... 101 7.4 Ruido blanco Gaussiano aditivo ................................................................... 102 7.5 Funciones erf y Q ........................................................................................ 102 7.6 Seales continuas en tiempo en ruido blanco Gaussiano aditivo ................. 103
8. ANEXO 2. COMBINACIN DE TASA MXIMA, REGLA DE DECISIN PTIMA EN EL CONTEXTO DE DIVERSIDAD Y UN USUARIO PRESENTE EN EL CANAL .................................................................................................................. 105 9. ANEXO 2. CDIGO DE LAS FUNCIONES IMPLEMENTADAS EN C++.... 108
9.1 FUNCIN transmisorg.cpp ....................................................................... 108 9.2 FUNCIN canalxu3.cpp ........................................................................... 110 9.3 FUNCIN etapas12.cpp ............................................................................ 118 9.4 FUNCIN etapas34.cpp ............................................................................ 120 9.5 FUNCIN etpas12me1.cpp....................................................................... 122 9.6 FUNCIN etapas34me.cpp ....................................................................... 125
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LISTA DE FIGURAS
Pg.
Figura 1-1 Diagrama en bloques de la transmisin en banda base usando DSSS.......... 14 Figura 1-2 Ejemplo de las seales que hacen parte del proceso de transmisin en banda base usando DSSS. N=127, numero de bits transmitidos = 3 ........................................ 14 Figura 1-3 Diagrama en bloques de la recepcin en banda base cuando la seal se transmite usando DSSS .................................................................................................. 15 Figura 1-4 Diagrama en bloques del proceso de generacin de una secuencia pseudo aleatoria .......................................................................................................................... 17 Figura 1-5 Generacin de una secuencia pseudo aleatoria............................................. 17 Figura 1-6 Generacin de una secuencia Gold a partir de dos polinomios que cumplen con las condiciones del teorema de Gold. ...................................................................... 19 Figura 1-7 Diagrama en bloques que muestra cmo generar diferentes secuencias Gold a partir de dos secuencias de longitud mxima. ................................................................ 19 Figura 1-8 Ejemplo de una secuencia Gold:Gold1......................................................... 20 Figura 1-9 Autocorrelacin de la secuencia Gold1 ........................................................ 20 Figura 1-10 Ejemplo de una secuencia Gold: Gold 2..................................................... 20 Figura 1-11 Autocorrelacin de la secuencia Gold2 ...................................................... 21 Figura 1-12 Correlacin entre las secuencias Gold 1 y Gold 2 ...................................... 21 Figura 2-1 Reflexin, difraccin y dispersin generando varias rplicas de la seal original enviada por el transmisor. Potencia instantnea en el receptor. Figura tomada de las notas de G. Mandyam. .............................................................................................. 26 Figura 2-2 Diagrama en bloques de un canal multicamino con desvanecimiento Rayleigh. Figura tomada del artculo de C. D mours et al. ........................................ 27 Figura 2-3 Diagrama en bloques de un canal de comunicaciones inalmbricas con K usuarios y la seal del usuario k se afecta de acuerdo a la respuesta impulso hk(t) que representa un canal multicamino con desvanecimiento Rayleigh. Figura tomada del artculo de Kumar y Panicker. ........................................................................................ 29 Figura 2-4 Fasores que representan las seales provenientes de tres caminos diferentes........................................................................................................................................ 30 Figura 2-5 Combinacin de tasa mxima para el caso de tres seales multicamino..... 31 Figura 2-6 Diagrama en bloques del receptor rastrillo ................................................... 32 Figura 2-7 Diagrama en bloques del recepto ptimo para CDMA propuesto por Verd......................................................................................................................................... 34 Figura 2-8 Diagrama de flujo de las simulaciones ......................................................... 37 Figura 3-1 Representacin de los tiempos de llegada de las seales multicamino para un usuario ............................................................................................................................ 39 Figura 3-2 Ejemplo de la funcin de la lnea de retardos............................................... 40 Figura 3-3 Ejemplo de lo que sucede en los correlatores cuando hay error de sincronizacin................................................................................................................. 44 Figura 3-4 Cota inferior exacta y cota inferior aproximada para la probabilidad de error de bit del receptor ptimo para CDMA.......................................................................... 68 Figura 3-5 Cotas para la probabilidad de error de bit del receptor ptimo para CDMA 69 Figura 4-1 Probabilidad de error de bit del receptor rastrillo en el caso de estimacin perfecta de los coeficientes de desvanecimiento del canal y sincronizacin perfecta de la seal firma. ..................................................................................................................... 73
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Figura 4-2 Resultados de Kumar y Panicker para la probabilidad de error de bit del receptor rastrillo.............................................................................................................. 74 Figura 4-3 Probabilidad de error de bit del receptor rastrillo con error en la estimacin de los coeficientes de desvanecimiento del canal y sincronizacin perfecta de la seal firma ............................................................................................................................... 75 Figura 4-4 Resultados de Kumar y Panicker para la probabilidad de error de bit del receptor rastrillo teniendo en cuenta error en la estimacin de los coeficientes de desvanecimiento del canal. ............................................................................................. 76 Figura 4-5 Probabilidad de error de bit del receptor rastrillo con error en la sincronizacin de la seal firma y estimacin perfecta de los coeficientes de desvanecimiento del canal. ............................................................................................. 77 Figura 4-6 Probabilidad de que la probabilidad de error de bit del receptor rastrillo con error en la sincronizacin de la seal firma y estimacin perfecta de los coeficientes de desvanecimiento est dentro del rango delimitado por F=0.005.................................... 78 Figura 4-7 Relacin seal a ruido promedio en funcin de la probabilidad de error de bit promedio para el receptor rastrillo con sincronizacin perfecta de la seal firma y estimacin perfecta de los coeficientes de desvanecimiento del canal y para el receptor ptimo para CDMA........................................................................................................ 79 Figura 4-8 Seal a ruido promedio efectiva en funcin de la probabilidad de error de bit promedio. Receptor rastrillo con error en la estimacin de los coeficientes de desvanecimiento del canal. ............................................................................................. 82 Figura 4-9 Seal a ruido promedio efectiva en funcin de la probabilidad de error de bit promedio. Receptor rastrillo con error en la sincronizacin de la seal firma. .............. 83 Figura 4-10 Probabilidad de error de bit promedio. Receptor rastrillo con sincronizacin perfecta de la seal firma y estimacin perfecta de los coeficientes de desvanecimiento del canal. Cotas para la probabilidad de error de bit del receptor ptimo para CDMA........................................................................................................ 84 Figura 4-11 Probabilidad de error de bit promedio. Receptor rastrillo con error en la estimacin de los coeficientes de desvanecimiento del canal ........................................ 86 Figura 4-12 Probabilidad de error de bit promedio. Receptor rastrillo con error en la sincronizacin de la seal firma ..................................................................................... 86 Figura 7-1 Funcin de densidad de probabilidad de una variable aleatoria Gaussiana de media cero. ..................................................................................................................... 99 Figura 7-2 Funcin de densidad de probabilidad de una variable aleatoria con distribucin Rayleigh.................................................................................................... 101
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INTRODUCCIN
En un sistema de comunicacin de acceso mltiple varios usuarios desean acceder al
canal al mismo tiempo. Para implementar un sistema de comunicacin de acceso
mltiple existen tcnicas que permiten que los usuarios compartan el canal. En la
tcnica de acceso mltiple por divisin de cdigo (CDMA por sus siglas en ingls) los
usuarios pueden acceder al canal simultneamente y compartir el mismo ancho de
banda. Acceso mltiple por divisin en frecuencia (FDMA por sus siglas en ingls) y
acceso mltiple por divisin en tiempo (TDMA por sus siglas en ingls), son otros
ejemplos de tcnicas de acceso mltiple. Estas tres tcnicas (CDMA, FDMA y TDMA)
son usadas en sistemas de comunicaciones inalmbricas de acceso mltiple. Cada
tcnica se implementa utilizando diferentes esquemas de modulacin, por lo tanto los
esquemas de demodulacin tambin son diferentes en cada caso. Independientemente de
la tcnica de acceso mltiple que se implemente, el receptor debe ser diseado teniendo
en cuenta que el canal o el medio por el cual viaja la seal transmitida no es ideal. En el
caso de un sistema de comunicaciones inalmbricas es muy importante tener en cuenta
las caractersticas del canal en el momento de disear el receptor. En este tipo de
sistemas el medio por el cual viaja la seal introduce no slo ruido aditivo sino que
tambin puede distorsionar la seal y se presentan fenmenos como la generacin de
varias seales rplica de la seal enviada originalmente (multicamino). El receptor
rastrillo (rake receiver) introducido en 1958 por Price y Green surge como un mtodo
de deteccin de CDMA en un sistema de comunicaciones inalmbricas. Este receptor no
slo tiene en cuenta las caractersticas de modulacin de CDMA sino que para mejorar
su desempeo utiliza constructivamente las rplicas que se producen de la seal
enviada, lo cual se conoce como diversidad debida a mltiples caminos.
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Para su funcionamiento el receptor rastrillo debe estimar algunos parmetros del canal.
En la prctica no es posible hacer una estimacin perfecta por lo tanto es importante
analizar cunto se afecta el desempeo del receptor rastrillo debido a errores de
estimacin del canal. Este tema y temas relacionados con el efecto de los errores de
estimacin del canal en sistemas de comunicaciones CDMA han sido tratados de
diferentes maneras por diferentes autores. Por ejemplo, Kumar y Panicker modelaron
los errores de estimacin como variables aleatorias Gaussianas de media cero y a partir
de su estudio propusieron una ecuacin para la probabilidad de error de bit del receptor
rastrillo. Por otro lado, McLane y Sunay supusieron en su estudio que los errores que
tuvieron en cuenta estaban uniformemente distribuidos en un rango pequeo y a partir
de esta suposicin desarrollaron una ecuacin para la probabilidad de error de bit de un
sistema de comunicaciones basado en CDMA. En stos dos casos los autores modelaron
los errores de estimacin como variables aleatorias con una funcin de densidad de
probabilidad especfica y se ignor el estimador del canal como tal. Autores como
Felstrm y Zigangirov y Huang et al. tomaron un estimador especfico, hallaron la
funcin de densidad de probabilidad del error y a partir de esta funcin realizaron
anlisis numricos para evaluar el efecto de los errores de estimacin del canal en el
desempeo de los sistemas de comunicaciones basados en CDMA. Como una tercera
aproximacin al problema se tiene la propuesta por Quirk y Milstein en la que tienen en
cuenta algunas caractersticas del estimador a partir de las cuales logran obtener la cota
inferior para la probabilidad de error de bit del receptor rastrillo cuando se utiliza un
esquema de estimacin especfico.
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En este trabajo de grado el enfoque es parecido al de Kumar y Panicker ya que no se
tiene en cuenta un estimador del canal especfico sino que se supone que los errores de
estimacin tienen una funcin de densidad de probabilidad Gaussiana de media cero. La
principal diferencia est en que en el desarrollo de las ecuaciones para la probabilidad
de error de bit, Kumar y Panicker consideraron todas las fuentes de error a la vez
mientras que ac se analiza cada fuente de error por aparte, es decir se obtiene una
ecuacin para la probabilidad de error de bit para cada parmetro de estimacin del
canal que se analiza. Esto es una aproximacin ms sencilla que la presentada por los
autores anteriormente mencionados y simplifica el desarrollo de las ecuaciones siendo
una buena primera aproximacin al problema en cuestin. Adems, se incluye un
anlisis detallado del receptor rastrillo teniendo en cuenta las ecuaciones de cada una de
las etapas que lo conforman y se hace un anlisis de la energa efectiva y de la
resistencia cerca lejos del receptor rastrillo a partir de simulaciones y de las ecuaciones
propuestas.
Paralelamente al anlisis del receptor rastrillo en funcin de los errores de estimacin
del canal, se lleva a cabo una comparacin entre el receptor rastrillo y el receptor
ptimo para CDMA propuesto por Verd. El objetivo de esta comparacin es resaltar
caractersticas, ventajas y desventajas propias de cada uno de los dos receptores.
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1. MARCO TERICO
1.1 ESPECTRO DISPERSO DE SECUENCIA DIRECTA (DSSS)
Cuando se implementa CDMA la tcnica de modulacin que ms se utiliza es la de
espectro disperso de secuencia directa (DSSS por sus siglas en ingls) y es con la cual
funciona el receptor rastrillo. A continuacin se explica la transmisin y la recepcin
cuando se utiliza DSSS.
1.1.1 Transmisin
En DSSS la seal de banda angosta que contiene la informacin del usuario k, bk(t), se
multiplica por una seal firma, sk(t), la cual es una seal pseudo aleatoria de banda
ancha1. El resultado de la multiplicacin es la seal de banda ancha Xk(t) que contiene la
misma informacin que la seal bk(t) y ocupa un rango en frecuencia mucho mayor.
Para el caso de transmisin en banda base Xk(t) es la seal transmitida.
)()()( tstbtX kkk =
En DSSS las seales bk(t) y sk(t) son antipodales y adems sk(t) cumple que:
=Tb
k dtts0
2 1)(
La figura 1-1 muestra el proceso que sigue la seal de informacin para una
transmisin en banda base usando DSSS, la figura 1-2 muestra un ejemplo de una seal
de informacin, una seal firma y el resultado de su multiplicacin.
1 El anlisis de esta seccin est basado en el de Haykin en su libro Communication Systems por lo tanto se exponen slo los puntos importantes
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Seal transmitida usuario k
Xk(t)
Seal firma usuario k
sk(t)
Seal de informacin
usuario k bk(t)
Figura 1-1 Diagrama en bloques de la transmisin en banda base usando DSSS
Figura 1-2 Ejemplo de las seales que hacen parte del proceso de transmisin en banda base usando DSSS. N=127, numero de bits transmitidos = 3
1.1.2 Recepcin
El modelo banda base que representa el proceso de recepcin de una seal transmitida
usando DSSS se presenta en la figura 1-3.
Suponiendo que el nico efecto del canal es sumar ruido aditivo a la seal transmitida
Xk(t), la seal recibida Y(t) es:
)()()( tntXtY k += ,
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en donde n(t) representa el ruido aditivo. Al multiplicar en el receptor por la seal firma
se obtiene g(t):
)()()( tstYtg k=
( ) )()()( tstntX kk +=
)()()()( 2 tstntstb kkk +=
Integrando g(t) entre 0 y Tb y suponiendo que durante este intervalo de tiempo llega un
bit de la seal de informacin transmitida por el usuario k se obtiene:
=Tb
dttgG0
)(
+=Tb
k
Tb
kk dttstndttsb00
2 )()()(
kk nb +=
bT
dt0
)( tbk
G g(t)Estimado de
la seal enviada por el
transmisor
Toma de decisin
Seal firma usuario k
sk(t)
Seal recibida Y(t)
Figura 1-3 Diagrama en bloques de la recepcin en banda base cuando la seal se transmite usando DSSS
El anlisis hecho hasta ahora implica que la seal firma debe ser conocida tanto por el
receptor como por el transmisor, por lo tanto, como es conocida por ambos, esta seal
no lleva informacin y la nica informacin es la de la seal bk(t). Para poder hacer el
desarrollo anterior usando sk2(t) es necesario suponer que el transmisor y el receptor
estn en perfecto sincronismo lo cual significa que la seal firma en la seal Y(t) est
perfectamente alineada con la seal firma generada internamente por el receptor.
La forma de implementar DSSS en un sistema de comunicacin de acceso mltiple es
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asignando a cada usuario una seal firma diferente. La condicin que stas seales firma
deben cumplir es que para usuarios que comparten un mismo canal las diferentes
seales firma deben ser todas ortogonales entre s. Si se cumple sta condicin, al
multiplicar en el receptor por la seal firma apropiada el efecto de los usuarios
interferentes se cancela. De esta forma CDMA usando DSSS permite que muchos
usuarios accedan al canal al mismo tiempo. En aplicaciones reales la condicin de
ortogonalidad para las seales firma usadas en un mismo medio no es tan estricta y
puede que las seales no sean estrictamente ortogonales pero s hay un lmite para el
valor de la correlacin entre seales firma diferentes (Verd 2001).
1.2 SECUENCIAS GOLD
Como se dijo anteriormente la seal firma es una seal pseudo aleatoria. Esto significa
que se genera a partir de una secuencia de bits pseudo aleatoria que a su vez se genera
utilizando un registro de corrimiento y una etapa de retroalimentacin. El registro de
corrimiento est compuesto por n flipflops y la etapa de retroalimentacin consiste en
sumas mdulo dos cuyo resultado depende del estado de los flipflops, este resultado es
la entrada al primer flipflop del registro de corrimiento.
Una secuencia pseudo aleatoria generada de la forma que ilustra la figura 1-4 est
determinada por la longitud n del registro de corrimiento, su estado inicial y la lgica de
la etapa de retroalimentacin. Como la retroalimentacin consiste slo de sumas
mdulo dos el estado cero (salida de todos los flipflops en cero) no es permitido ya que
de ocurrir el registro permanecera en este estado indefinidamente. Consecuentemente el
perodo de una secuencia pseudo aleatoria generada de la forma indicada no excede de
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2n-1 bits. Cuando el perodo N es exactamente 2n-1 la secuencia se conoce como una
secuencia de longitud mxima (SLM por sus siglas en ingls).
Reloj
Secuencia Pseudo aleatoria
....
Etapa de retroalimentacin (Circuito Lgico, Implementa sumas modulo 2)
Flip Flop n
Flip Flop 2
Flip Flop 1
Figura 1-4 Diagrama en bloques del proceso de generacin de una secuencia pseudo aleatoria
La suma mdulo dos que se realiza en la etapa de retroalimentacin se puede
representar por un polinomio p(x) de grado n. El siguiente es un ejemplo para n = 7, los
bloques enumerados en la figura 1-5 representan los flipflops del registro de
corrimiento.
Ej 1:
n = 7, p(x) = x7 + x3 + x2 + 1
76543 21 Secuencia pseudo aleatoria
Figura 1-5 Generacin de una secuencia pseudo aleatoria.
A partir de la Xor de dos SLM de periodo N (SLM1 y SLM2) se puede generar una
secuencia Gold de periodo N, las condiciones que deben cumplir las dos secuencias
SLM estn dadas por el teorema de Gold a continuacin:
A partir de dos polinomios primitivos p1(x) y p2(x) de grado n cuyos
registros de corrimiento generan secuencias de longitud mxima de
perodo 2n-1 cuya funcin de correlacin tiene magnitud igual o menor a
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2(n+1)/2 + 1 para n impar, o
2(n+2)/2 + 2 para n par y n 0 mod 4,
es posible generar, a partir de la xor de las dos secuencias generadas por
p1(x) y p2(x), 2n+1 secuencias diferentes cada una con periodo igual a -
2n-1 y la correlacin entre cualquier par de estas secuencias cumple la
condicin de correlacin mencionada anteriormente2.
Teniendo en cuenta que slo se estn considerando polinomios con coeficientes iguales
a 0 o 1, un polinomio p(x) de grado n es primitivo si el menor entero m para el cual el
polinomio divide el factor xm+1 es m = 2n-1 (Haykin 2001). Los polinomios primitivos,
para un grado dado, se pueden generar con la funcin primpoly de Matlab.
A continuacin se muestra en un ejemplo la configuracin con la cual, a partir de dos
polinomios que cumplen con las condiciones del teorema de Gold, se puede generar una
secuencia Gold.
Ej. 2:
Los polinomios de grado n = 7, p1(x) = x7+x3+x2+1 y p2(x) = x7+x3+1,
cumplen con las condiciones dadas por el teorema de Gold. La
generacin de una secuencia Gold a partir de la xor de las secuencias de
longitud mxima generadas por cada uno de estos polinomios se ilustra
en la siguiente figura:
2Haykin, pg.505
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-
76543 2 1
76543 2 1
Secuencia Gold
Figura 1-6 Generacin de una secuencia Gold a partir de dos polinomios que cumplen con las condiciones del teorema de Gold.
Para generar 2n+1 secuencias Gold a partir de las secuencias generadas por dos
polinomios primitivos se hace un corrimiento circular a una de las dos secuencias tal y
como se muestra en la figura 1-7.
Secuencia Gold
Corrimiento circular
Generar SLM2Generar SLM1
Corrimiento
Figura 1-7 Diagrama en bloques que muestra cmo generar diferentes secuencias Gold a partir de dos secuencias de longitud mxima.
Utilizando el esquema anterior se generan 2n-1 secuencias Gold, las dos que faltan para
completar las 2n+1 que se pueden generar son SLM1 y SLM2.
Las figuras 1-8 a 1-12 muestran dos secuencias Gold generadas a partir de los
polinomios p1(x) = x7+x3+x2+1 y p2(x) = x7+x3+1. Tambin se muestra su
autocorrelacin y su correlacin.
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Figura 1-8 Ejemplo de una secuencia Gold:Gold1
Figura 1-9 Autocorrelacin de la secuencia Gold1
Figura 1-10 Ejemplo de una secuencia Gold: Gold 2
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Figura 1-11 Autocorrelacin de la secuencia Gold2
Figura 1-12 Correlacin entre las secuencias Gold 1 y Gold 2
1.3 NOTACIN o-minscula
En la cota de la probabilidad de error de bit del receptor ptimo para CDMA aparece la
notacin o-minscula la cual corresponde a la siguiente definicin (Apostol 1980):
( )()( xgoxf = ) significa que 0)()(lim =
xgxf
x
1.4 ENERGA EFECTIVA
De acuerdo a Verd, suponiendo que hay varios usuarios compartiendo el canal, la
energa efectiva del usuario k es la energa que este usuario requerira para alcanzar una
probabilidad de error de bit igual pero en el caso en que slo exista el usuario k y el
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-
resto de las caractersticas del canal sean las mismas. Es decir, si con K usuarios
compartiendo el canal se alcanza una probabilidad de error de bit para el usuario k igual
a Pek, la energa efectiva del usuario k es la energa con que este usuario alcanza una
probabilidad igual a Pek pero en el caso en que este sea el nico usuario en el canal y el
resto de las caractersticas del canal sean las mismas. De acuerdo a esta definicin, la
energa efectiva debe ser siempre menor o igual a la energa verdadera con que est
transmitiendo el usuario k. que es la energa a la que le corresponde una probabilidad de
error de bit igual a Pek en el caso de K usuarios compartiendo el canal.
1.5 RESISTENCIA CERCA LEJOS
La resistencia cerca-lejos mide cun robusto es el sistema con respecto al efecto cerca
lejos. El efecto cerca-lejos se debe a la diferencia en potencia con que llegan seales de
diferentes usuarios a la estacin base. Por lo general la estacin base mide la potencia de
llegada de la seal de cada usuario para luego indicarle a cada uno si debe subir o bajar
su potencia de transmisin. Esta regulacin no se puede hacer completamente perfecta
y puede ocurrir que la potencia de llegada de un usuario sea mucho mayor que la de otro
causando gran interferencia en la deteccin del usuario cuya potencia de transmisin es
baja. Por lo general esta diferencia de potencias se debe a que unos usuarios estn ms
cerca de la estacin base que otros y por esta razn se conoce como el efecto cerca-
lejos. Debido a que no es posible garantizar que la potencia recibida de todos los
usuarios sea la misma es importante analizar cmo se afecta el funcionamiento del
receptor con respecto al efecto cerca-lejos. Este anlisis se har comparando la
probabilidad de error de bit en la recepcin de un usuario cuando la potencia recibida de
cada usuario es la misma, con la probabilidad de error de bit del mismo usuario cuando
22
-
aumenta la potencia recibida de la seal de los otros usuarios los cuales pueden ser
llamados usuarios interferentes.
23
-
2. ESPECIFICACIONES
En esta seccin se presentan los modelos de transmisor, canal y receptor que se
suponen durante el desarrollo del trabajo de grado. Al final de la seccin se presenta el
diagrama de flujo de las simulaciones y los parmetros que se tuvieron en cuenta al
realizarlas.
2.1 SEAL TRANSMITIDA POR UN USUARIO
Teniendo en cuenta la teora presentada en la seccin 1.1.1 la seal transmitida por el
usuario k es:
)()()( tstbtX kkk =
= =
=M
Mi
MN
MNjchTchkbTbk
b
bk jTtpjsiTtpibTE
)(][)(][ (2-1)
En donde Ebk es la energa con que transmite el usuario k, 2M+1 es el nmero de bits de
informacin transmitidos, bk[i] representa un bit de la seal de informacin, sk[j]
representa un bit de la seal firma, Tb es el tiempo de bit el cual es igual al inverso de la
tasa de envo de informacin, Tch es el tiempo de chip igual a Tb/N y pTb(t) y pTch(t)
corresponden a la siguiente definicin:
=totroTt
tp xTx 001
)(
El usuario k enva una secuencia de 2M+1 bits:
bk[-M],....bk[0],.bk[M]
La seal de informacin bk(t) correspondiente a esta secuencia es:
=
=M
MibTbkbkk iTtpibEtb )(][)(
24
-
La seal firma del usuario k, sk(t), est determinada por la secuencia firma sk que es una
secuencia Gold de periodo N. Para una secuencia de 2M+1 bits transmitidos la seal
firma consta de 2NM+1 bits:
sk[-NM],......sk[0],......sk[NM] en donde sk[i] = sk[i+N]
La seal sk(t) correspondiente a esta secuencia es:
=
=MN
MNjchTchk
bk jTtpjsT
ts )(][1)(
Las secuencias que definen la seal de informacin y la seal firma son antipodales:
bk[i] y sk[i] {-1,1}. La multiplicacin de b k(t) por sk(t) da como resultado la seal
transmitida Xk(t).
2.2 MODELO DEL CANAL Y SEAL RECIBIDA
2.2.1 Efecto multicamino y desvanecimiento Rayleigh
Un modelo que se utiliza para ver los efectos de un canal de comunicaciones
inalmbricas es el modelo a pequea escala el cual caracteriza la potencia instantnea
de la seal en el receptor cuando ste se mueve distancias cortas o durante pequeos
perodos de tiempo (Rappaport 1999). En este modelo las fluctuaciones de la potencia
instantnea se deben a la generacin de rplicas de la seal enviada las cuales al llegar
al receptor pueden sumarse constructiva o destructivamente. Estas rplicas se presentan
en los sistemas de comunicaciones inalmbricas debido a las caractersticas del medio
por el cual viaja la seal. Por ejemplo, en un sistema celular el camino entre el
transmisor y el receptor est lleno de obstculos como carros, edificios y rboles cuya
presencia genera tres tipos de fenmenos: reflexin, difraccin y dispersin (Rappaport
1999). Debido a estos tres fenmenos la seal enviada por el transmisor toma varios
25
-
caminos y al receptor le llegan varias seales, todas replica de la seal original, las
cuales son llamadas seales multicamino. El canal que genera este tipo de
comportamiento se llama canal multicamino (multipath channel). El resultado de la
suma de las seales multicamino se conoce como desvanecimiento (fading). La figura
2-1 muestra cmo la difraccin, reflexin y dispersin pueden producir ms de una
seal en el receptor y tambin muestra una grfica de la potencia instantnea en el
receptor debida al desvanecimiento.
Figura 2-1 Reflexin, difraccin y dispersin generando varias rplicas de la seal original enviada por el transmisor. Potencia instantnea en el receptor. Figura tomada de las notas de G. Mandyam.
Cada uno de los K usuarios transmite su correspondiente seal Xk(t) definida en la
ecuacin (2-1). El canal afecta la seal de cada usuario de acuerdo a la respuesta
impulso:
=
=C
cckckk ttAth
1)()()(
En este modelo, debido al fenmeno multicamino, la seal transmitida por el usuario k
toma C caminos diferentes. Se supone que C es igual para todos los usuarios. La seal
que viaja por el camino c se retrasa ck y se atena segn Ack(t). La siguiente figura
ilustra el modelo correspondiente.
26
-
fen y el
Camino C
Camino 3
Camino 2
Camino 1
ACk(t)
A2k(t)
Ck
3k
2k
Seal Transmitida por
el usuario k Xk(t)
A1k(t)
Seal correspondiente al usuario k,
Yk(t), resultado del meno multicamino
desvanecimiento Rayleigh
...A3k(t)
...
1k
Figura 2-2 Diagrama en bloques de un canal multicamino con desvanecimiento Rayleigh. Figura tomada
del artculo de C. D mours et al.
Despus de pasar por el canal multicamino la seal del usuario k, Xk(t), queda:
=
=C
cckkckk tXtAtY
1)()()(
=
=C
cckkckkck tstbtA
1)()()(
= = =
=C
c
M
Mi
MN
MNjckchTchkckbTbkck
b
bk jTtpjsiTtpibtATE
1)(][)(][)(
Ahora se va a suponer que los coeficientes de desvanecimiento Ack(t) permanecen
constantes durante el envo de varios bits de informacin, es decir se supone un canal
con desvanecimiento lento slow fading. Teniendo esto en cuenta la seal Yk(t) se
puede escribir de la siguiente manera:
= = =
=C
c
M
Mi
MN
MNjckchTchkckbTbkck
b
bkk jTtpjsiTtpibiAT
EtY
1)(][)(][][)( (2-2)
27
-
Cada Ack[i] es una muestra de la variable aleatoria compleja Ack = AckR + jAckI cuyas
partes real e imaginaria son independientes y AckR~N(0,2A) y AckI~N(0,2A). La
magnitud de los coeficientes de desvanecimiento tiene una funcin de densidad de
probabilidad de tipo Rayleigh y por esta razn el canal presentado se conoce como canal
con desvanecimiento Rayleigh.
2.2.2 Seal recibida modelo sncrono
En el estndar IS-95 tanto el receptor de la estacin base como el de la estacin mvil
son receptores rastrillo (Garg 2002, Rappaport 1999). En el sentido hacia abajo
(Downlink) hay un transmisor (Estacin Base) y varios receptores (Estaciones
Mviles) y el modelo ms apropiado para representarlo es el modelo sncrono, tal y
como lo hacen Bottomley et al. y Noneaker. En el sentido hacia arriba (Uplink) hay un
receptor (Estacin Base) y varios transmisores (Estaciones mviles). El modelo ms
apropiado para representar la comunicacin en este sentido es el modelo asncrono, tal y
como lo hacen Kumar y Panicker. Con cualquiera de los dos modelos se pueden realizar
los anlisis de inters por lo tanto se supone el modelo sncrono ya que es ms sencillo
de trabajar.
Teniendo en cuenta la ecuacin (2-2) que define a Yk(t), la seal que llega al receptor
teniendo en cuenta todos los usuarios y su transmisin sncrona es:
=
+=K
kk tntYtY
1)()()(
28
-
)()(][)(][][1 1
tnjTtpjsiTtpibiATEK
k
C
c
M
Mi
MN
MNjckchTchkckbTbkck
b
bk += = = = =
(2-3)
La siguiente figura representa el modelo propuesto:
Usuario K
Usuario 2
Usuario 1
Seal que llega al receptor
n(t)
hK(t)
h (t)2
...
h1(t)
XK(t)
X (t) 2
...
X1(t)
Figura 2-3 Diagrama en bloques de un canal de comunicaciones inalmbricas con K usuarios y la seal del usuario k se afecta de acuerdo a la respuesta impulso hk(t) que representa un canal multicamino con
desvanecimiento Rayleigh. Figura tomada del artculo de Kumar y Panicker.
En este modelo n(t) representa el ruido aditivo cuyas partes real e imaginaria son
independientes y corresponden a ruido blanco Gaussiano aditivo con densidad espectral
de potencia unitaria.
2.3 DIVERSIDAD
Antes de presentar el modelo del receptor rastrillo es importante tener claro el concepto
de diversidad ya que el diseo del receptor rastrillo se basa en este concepto.
2.3.1 Diversidad debida a mltiples caminos Combinacin de tasa mxima
Seales provenientes de diferentes caminos tienen diferentes desfases y amplitud pero
todas tienen la misma informacin. La variacin de la potencia instantnea de la seal
recibida se debe a que la seal que le llega al receptor es el resultado de la suma de
29
-
todas las seales multicamino y en algunos casos la suma resulta constructiva pero en
otros resulta destructiva. El poder recuperar cada una de las seales multicamino por
aparte para despus combinarlas de manera apropiada de tal forma que el resultado sea
siempre constructivo es lo que se conoce como diversidad debida a mltiples caminos.
El objetivo del receptor rastrillo es proveer diversidad en la recepcin de CDMA de tal
forma que las seales que lleguen al receptor desde diferentes caminos sean combinadas
constructivamente.
En la siguiente figura se supone que al receptor le llega la superposicin de tres seales
multicamino, la amplitud de la seal transmitida es A y los coeficientes de
desvanecimiento tienen amplitudes A1, A2 y A3 y fases 1, 2 y 3 respectivamente.
Seal proveniente del camino 1
AA1ej1 Seal proveniente del camino 2
AA2ej2 Seal proveniente del camino 3
AA3ej3
Figura 2-4 Fasores que representan las seales provenientes de tres caminos diferentes
Como al receptor le llega la superposicin de las seales multicamino si fuera posible
separarlas se podra idear alguna manera de que su suma fuera siempre constructiva.
Suponiendo que es posible separarlas se puede implementar la tcnica de combinacin
de tasa mxima (MRC por sus siglas en ingls). En est tcnica, tal y como se muestra
en la figura 2-5, se multiplica la seal de un camino por el complejo conjugado del
coeficiente de desvanecimiento que afect la seal en ese camino y de esta manera la
seal queda netamente real y se garantiza que su contribucin, a la suma que se hace
posteriormente, va a ser siempre constructiva.
30
-
Seal proveniente del camino 1
AA1ej1 Seal proveniente del camino 2
AA2ej2 Seal proveniente del camino 3
AA3ej3
Combinacin de tasa mxima: A2ej-2
A1ej-1 A3ej-3
Figura 2-5 Combinacin de tasa mxima para el caso de tres seales multicamino
AA21 + AA22 + AA23
AA23AA22AA21
2.4 MODELO RECEPTOR RASTRILLO
El receptor rastrillo se implementa para recibir la seal de slo uno de los K usuarios
presentes en el canal. Si se desea obtener la informacin de todos los K usuarios es
necesario implementar K receptores rastrillo. Se supondr que el usuario de inters es el
usuario x (x {1..K}) y los otros K-1 son usuarios interferentes. El receptor tiene D
ramas y el objetivo es que cada rama recupere la seal del usuario x proveniente de un
camino diferente para luego sumarlas constructivamente utilizando la tcnica de
combinacin de tasa mxima, por lo tanto, lo ideal es que C = D y se supone as durante
los anlisis que se desarrollen en adelante. La siguiente figura representa el modelo del
receptor rastrillo.
31
-
.
( )sgn
{ }YRx
YRDx YR2x YR1x
YRDx(t) YR2x(t) YR1x(t)
Rama D
Rama 2 Rama 1
Estimado de la seal enviada por el transmisor usuario x
. ARDx AR2x AR1x
Seal firma Usuario x sx(t-) Generada por el receptor Correlator D Correlator 2Correlator 1
.Retardo RDx Retardo R2xRetardo R1x
Seal recibida Y(t)
Etapa 1: Lnea de retardo
Etapa 2: correlatores
Etapa 3: Ajustes de fase y ganancia. Combinacin de Tasa Mxima
Etapa 4: Toma de decisin
Figura 2-6 Diagrama en bloques del receptor rastrillo
El modelo est dividido en cuatro etapas las cuales se explicarn ms adelante
incluyendo las ecuaciones que las caracterizan.
2.5 RECEPTOR PTIMO PARA CDMA
En esta seccin se presenta un resumen del planteamiento del receptor ptimo para
CDMA propuesto por Verd y generalizado por Brady y Zovonar al caso de un
multicamino con desvanecimiento Rayleigh. En este modelo se supone que la
transmisin es CDMA-DSSS, que slo hay un camino entre el transmisor y el receptor y
que el receptor conoce o es capaz de estimar los parmetros del canal.
De acuerdo la con ecuacin (2-3), cuando hay varios usuarios y la seal de todos viaja
por un slo camino, la seal recibida es:
32
-
)()(][)(][][)(1
111 tnjTtpjsiTtpibiATE
tYK
k
M
Mi
MN
MNjkchTchkkbTbkk
b
bk += = = =
Si se desea hacer una demodulacin ptima del i-simo bit que enva usuario k, bk[i],
no basta con observar la seal recibida en el intervalo de tiempo que ocupa este bit, es
necesario observar todo el intervalo de tiempo que toma el usuario k en enviar los 2M+1
bits, esto corresponde a observar una ventana de tiempo de duracin (2M+2)Tb. Hay
dos tipos de receptores que siguen este criterio y por lo tanto toman decisiones ptimas:
el receptor individualmente ptimo individually optimum receiver y el conjuntamente
ptimo jointly optimum receiver.
El criterio de decisin del receptor individualmente ptimo, diseado para demodular el
bit i del usuario k, selecciona el bit bk[i] {-1,1} tal que rehaga mximo: P[bk[i]|{Y(t), t
[-MT b,(M+2)Tb]].
El criterio de decisin del receptor conjuntamente ptimo selecciona
bT = [b1[-M] ...bK[-M]....b1[M]...bK[M]] bk[i] {-1,1} (2-4)
tal que se haga mximo: P[b|Y(t), t [-MTb,(M+2)Tb]] y el estimado de bk[i] se obtiene
a partir de la secuencia bT.
Si se implementa el receptor individualmente ptimo se obtiene la mnima probabilidad
de error de bit. Si se implementa el conjuntamente ptimo se decide por el b que est lo
ms cerca posible, en el sentido medio cuadrtico, a la seal recibida Y(t). El receptor
ptimo que se considera en adelante es el conjuntamente ptimo que tambin es
conocido como Maximum Likelihood Sequence Detector (MLS). El uso del receptor
33
-
conjuntamente ptimo se justifica debido a que su complejidad es menor y a no ser que
la relacin seal a ruido sea muy baja la probabilidad de error de bit que se logra es muy
cercana a la probabilidad de error de bit mnima que se logra con el receptor
individualmente ptimo (Verd 2001).
El modelo del MLS es Seal recibida
se
. . Matched filter
usuario K
Matched filter usuario 2
Estimado de la al enviada por el
transmisor
Algoritmo de
Viterbi . .
Matched filter usuario 1
Figura 2-7 Diagrama en bloques del recepto ptimo para CDMA propuesto por Verd.
La seal recibida Y(t) se puede escribir en forma vectorial:
Y(t) = bTASt + n(t)
En donde bT corresponde al definido en la ecuacin (2-4), A es la matriz de coeficientes
de desvanecimiento del canal:
A = diag(A(-M),..A(M)); A(i) = diag(A11[i], A12[i],, A1K[i])
y St corresponde a la matriz con la seal firma de todos los usuarios
St = [sT(t+M)sT(t-M)]T; s(t) = [s1(t-11),,sK(t- 1K)] T
El objetivo del receptor MLS es hacer mximo:
{ }[ ]
=+
+
dtTtYTMTMTttYfTMT
MTt
22
2 )()(21exp|]2,[),( bb
En donde Tt(b) = bTASt. Hacer mximo f[{Y(t),t [-MTb,MTb+2Tb]}|b] equivale a
hacer mxima la funcin L(b):
L(b)=
dtTdttYT tt2)()()(2 bb
34
-
L(b)= { } bbb RAAY HHH 2
En donde Y = es la salida de los matched filters muestreada cada T
dttY tH *)( AS b y
R es la matriz de correlacin .
= dtR Ttt SS*
El b que hace mxima la funcin L(b) se encuentra con ayuda de un algoritmo de
programacin dinmica dynamic programming algorithm. En este algoritmo, de
acuerdo a lo que se mencion anteriormente, es necesario esperar a que llegue toda la
trama de 2M+1 bits de cada usuario para luego tomar una decisin. Esperar a que
lleguen los 2M+1 bits no resulta muy til en la prctica y por lo general no se espera a
que llegue toda la trama sino que se hace una aproximacin en la que cada L bis
recibidos (L
-
[ ]2
12
=
=C
ccx
bxBX iA
EE ,
y
[ ]2
1
4
==
C
ccxbx iAE
SNR
Como los coeficientes Acx varan con el tiempo la energa recibida por bit EBx y la
relacin seal a ruido SNR tambin varan con el tiempo y un valor ms til resulta ser
el valor promedio de SNR:
[ ] 22BxESNRESNR == ,
donde
[ ][ ]=
=C
ccx
bxBx iAE
EE
1
2
2
Teniendo en cuenta la descripcin de los coeficientes del canal hecha al final de la
seccin 2.2.1 se llega a que:
[ ][ ] 22 2 Adx iAE = y finalmente se obtiene:
2
2
2 AbxCESNR = (2-5)
2.7 DIAGRAMA DE FLUJO DE LAS SIMULACIONES
Para las simulaciones se crearon tres funciones, una simula el transmisor del usuario de
inters (usuario x), otra simula el canal y otra simula el receptor rastrillo. En la figura 2-
8 se resaltan los bloques con que se implementaron la funcin transmisor y la funcin
canal.
36
-
INICIO
Generar secuencia gold
usuario x
Generar secuencia de
bits de informacin
Generar seales usuarios
interferentes teniendo en
cuenta efecto multicamino y
desvanecimiento Rayleigh
Generar secuencia firma
usuario x
hx(t)
Aadir efecto multicamino y
desvanecimiento Rayleigh
multiplicacin
suma
Sumar AWGN
Receptor Rake
FIN
INICIOINICIO
Generar secuencia gold
usuario x
Generar secuencia de
bits de informacin
Generar seales usuarios
interferentes teniendo en
cuenta efecto multicamino y
desvanecimiento Rayleigh
Generar secuencia firma
usuario x
hx(t)
Aadir efecto multicamino y
desvanecimiento Rayleigh
multiplicacin
suma
Sumar AWGN
Receptor Rake
FINFIN
Funcin Canal
Funcin transmisor usuario x
Figura 2-8 Diagrama de flujo de las simulaciones
2.8 PARMETROS SIMULACIONES
N = 127
C = 3
D = C
Ack: Permanecen constantes durante el envi de 10 bits de informacin
2A = 0.3
2A: El mismo para todos los usuarios y todos los caminos
1k < 2k < 3k
Usuario de inters: usuario x
1x = 20
2x = 40
3x = 60
Para usuarios interferentes
11 = = 1k =...= 1K = 30,k x
21 = = 2k =...= 2K = 50,k x
31 = = 3k =...= 3K = 70,k x
37
-
El nmero de bits enviados en cada simulacin se calcul con el mtodo de Montecarlo.
En el artculo de Jeruchim se encuentra una explicacin detallada de cmo utilizar ste
mtodo.
38
-
3. DESARROLLO
3.1 DESARROLLO PASO A PASO DE LAS ECUACIONES QUE
CARACTERIZAN AL RECEPTOR RASTRILLO
El desarrollo que se presenta a continuacin se remite al modelo presentado en la
seccin 2.4 figura 2-6.
3.1.1 Etapa 1. Lnea de retardo
Seales provenientes de diferentes caminos llegan en diferentes momentos, esto est
representado en el siguiente esquema
..
..
.
R2X
R1X
t = Cx Llega ltima seal multicamino usuario x.
t =2x Llega segunda seal multicamino usuario x.
t = 1x Llega primera seal multicamino usuario x.
t= 0 Se enva seal desde el transmisor x.
Figura 3-1 Representacin de los tiempos de llegada de las seales multicamino para un usuario
La funcin de la lnea de retardo es que las seales multicamino correspondientes al
usuario x se retrasen el tiempo necesario para que al pasar a los correlatores parezca
como si llegaran todas al tiempo. Para cumplir sto los retardos Rdx (ver figuras 2-6 y 3-
1) deben ser iguales a Rdx = Cx dx, como se supone C = D entonces tambin se puede
escribir Rdx = Dx dx.
39
-
La seal recibida, descrita en la ecuacin (2-3), tambin se puede escribir de la siguiente
manera:
)()()()()(1 1
tntstbtAtYK
k
C
cckkckkck +=
= =
Teniendo en cuenta esta ecuacin, la salida de la lnea de retardo son las D seales
YR1x(t) a YRDx(t) en donde:
)()( RdxRdx tYtY =
)()()()(1 1
RdxRdxckk
K
k
C
cRdxckkck tntstbtA +=
= =
(3-1)
Para entender mejor la funcin de la lnea de retardo un ejemplo ilustrativo para tres
caminos es el siguiente:
Ej. 3: Suponiendo que C = 3, la seal que llega al receptor es la
superposicin de las seales provenientes de los 3 caminos diferentes.
Suponiendo que la seal del camino 1 llega con retardo de Tch (seal
tringulo negra en la figura 3-2), que la seal del camino 2 llega con
retardo de 2Tch (seal caf en la figura 3-2) y la seal del camino 3 llega
con retardo de 3Tch (seal verde en la figura 3-2), la seal a la entrada
del receptor est dada por la superposicin de estas tres seales. Las
seales a la entrada del receptor se pueden ver en la siguiente figura:
t=0t=Tch
t=2Tcht=3Tch
Retardo R1xR1x =2Tch
Retardo R2xR2x =Tch
Retardo R3xR3x =0
t=0
t=Tcht=2Tch
t=3Tch
= Dx
Corr1
Corr2
Corr3
sx(t-)
Etapas
3
y
4
YR1x(t)
YR2x(t)
YR3x(t)
Y(t)
Y(t)
Y(t)
YR1x
YR2x
YR3x
t=0
t=Tcht=2Tch
t=3Tch
t=0
t=Tcht=2Tch
t=3Tch
Retardo R1xR1x =2Tch
Retardo R2xR2x =Tch
Retardo R3xR3x =0
t=0
t=Tcht=2Tch
t=3Tch
t=0
t=Tcht=2Tch
t=3Tch
= Dx
Corr1
Corr2
Corr3
sx(t-)
Etapas
3
y
4
YR1x(t)
YR2x(t)
YR3x(t)
Y(t)
Y(t)
Y(t)
YR1x
YR2x
YR3x
Seales a la entrada del receptor
Figura 3-2 Ejemplo de la funcin de la lnea de retardos.
40
-
En la figura se ve que aunque la entrada a cada bloque de retardo es la misma, a la
salida, las seales de caminos diferentes quedan alineadas en t = 3Tch.
3.1.2 Etapa 2: Correlatores
Hay D correlatores, para el correlator d una entrada es la seal firma generada
internamente por el receptor y desfasada , sx(t-) ( debe ser igual a Dx como se
muestra en la figura 3-2), y la otra entrada es la seal proveniente de la lnea de retardo.
Teniendo en cuenta la ecuacin (3-1) la salida del correlator de la rama d es igual a:
dttYtsY RdxT
xRdx
b
)()(0
=
+=
= =
bT
RdxRdxckk
K
k
C
cRdxckkckx dttntstbtAts
0 1 1)()()()()(
El receptor rastrillo toma decisiones bit a bit por lo tanto su anlisis se puede limitar a
una ventana de duracin Tb suponiendo que durante este tiempo llega slo un bit de
informacin relacionado con el usuario x. Durante un intervalo de esta duracin los
coeficientes de desvanecimiento del canal permanecen constantes por lo tanto en la
ecuacin se pueden dejar como constantes. Bajo estas suposiciones:
( ) += =
dttsbAEtsYC
cRdxcxxxcxbx
Tb
xRdx10
)()(
dttntstbAEtsK
xkk
C
cRdxRdxckkRdxckkckbk
Tb
x
+
= =,1 10
)()()(')(
En donde bk
kk E
tbtb
)()(' = y los valores que puede tomar bk(t) son slo 1 o 1.
41
-
Se supone que la diferencia en tiempos de llegada entre seales multicamino
correspondientes a un mismo usuario es mayor al tiempo de chip Tch. Bajo esta
suposicin y teniendo en cuenta las propiedades de autocorrelacin de las secuencias
Gold, la correlacin entre seales de diferente camino pero correspondientes a un
mismo usuario se puede aproximar a cero. Se tiene entonces que:
( 0)()(0
+ dttstsTb
Rdxcxxx ) solo para | (cx+Rdx)|
-
La seal firma generada en el receptor debe estar sincronizada con la que llega del
transmisor del usuario de inters, en este caso el usuario x. La sincronizacin depende
de la estimacin que se haga de los retardos cx. Si estos retardos se estiman
perfectamente = Dx y Rdx = Dx - dx y en consecuencia xx = 1. Cuando no se estiman
correctamente el error en la estimacin de y Rdx se puede representar como un error
neto igual a Tch. Este error neto, que se supone igual en cada rama, corresponde a que
en el correlator d la seal firma de la seal proveniente del camino d est desfasada
Tch con respecto a la seal firma generada internamente por el receptor. Como
consecuencia stas dos seales firma no estn sincronizadas y por eso el error en la
estimacin de los cx se conoce como error en la sincronizacin de la seal firma. La
figura 3-3 da una idea de lo que pasa en el correlator cuando hay error en la
sincronizacin de la seal firma.
xx en la ecuacin (3-3) se puede dejar en trminos del error de sincronizacin:
, (3-5) ( ) ( ) =Tb
chxxxx dtTtsts0
)(
y la ecuacin (3-2) queda
( ) = =
++=K
xkk
C
cckckbkdxxxxdxbxRdx LAEnbAEY
,1 1 (3-6)
Por ahora se supone que hay sincronizacin perfecta, = 0 y por lo tanto se obtiene:
43
-
= =
++=K
xkk
C
cckckbkdxxdxbxRdx LAEnbAEY
,1 1 (3-7)
T c h
T c h
T c h
T c hSeal firma usuario x camino c
Seal firma generada por el receptor, sincronizada
Seal firma generada por el receptor, con error de sincronizacin
Figura 3-3 Ejemplo de lo que sucede en los correlatores cuando hay error de sincronizacin
3.1.3 Etapa 3: Combinacin de tasa mxima
En esta etapa se implementa la tcnica de combinacin de tasa mxima en la cual el
valor de los coeficientes de ajuste de fase y ganancia (ARdx en la figura 2-6) debe ser
igual al valor conjugado de los coeficientes de desvanecimiento del canal, esto de
acuerdo con lo que se dijo en las secciones 2.3.1 y 2.3.2. Esto significa que en el caso de
estimacin perfecta de los coeficientes de desvanecimiento del canal ARdx = Adx*.
La salida de esta etapa es:
=
=D
dRdxRdxRx YAY
1
Suponiendo estimacin perfecta de los coeficientes del canal ARdx = Adx* y teniendo en
cuenta la ecuacin (3-7):
= = ==
++=
D
d
K
xkk
C
cdxckbkdxdx
D
ddxxbxRx LAAEnAAbEY
1 ,1 1
**
1
2 (3-8)
44
-
3.1.4 Etapa 4: Toma de decisin
sta etapa implementa la toma de decisin basada en la regla de decisin que es: E
{ }( )Yb = sgn Rxx
xb
D K CD
es el estimado del bit transmitido bx. Reemplazando (3-8) en la regla de decisin:
++=
= = == d xkk cckckbkdxdxdx
dxdxbxx LAEAnAbAEb
1 ,1 1
**
1
2sgn (3-9)
.2 DESARROLLO DE ECUACIONES PARA LA PROBABILIDAD DE ERROR
ara los clculos que se realizan en las tres primeras etapas del receptor rastrillo es
3
DE BIT DEL RECEPTOR RASTRILLO.
P
necesario conocer el valor de los parmetros del canal Ack y ck. Los valores de estos
parmetros, con que cuenta el receptor, son el resultado de una estimacin. A
continuacin se propone una expresin para la probabilidad de error de bit en el caso en
que la estimacin de los parmetros del canal es perfecta (PeP); una expresin para el
caso en que la estimacin de los coeficientes de desvanecimiento ARdx es imperfecta
(PeA) y finalmente; una expresin para la probabilidad de error de bit para el caso en
que la estimacin de los cx es imperfecta (Pe) (error en la estimacin de los cx
significa error en la sincronizacin de la seal firma) 3.
3 Los anlisis de la probabilidad de error de bit se basaron en el anlisis para diversidad hecho por S. Verd en su libro Multiuser Detecion
45
-
3.2.1 Probabilidad de error de bit. Caso: Receptor rastrillo con estimacin perfecta de los coeficientes de desvanecimiento del canal y sincronizacin perfecta de la seal firma.
Para este caso la regla de decisin est dada por la ecuacin (3-9). Primero resulta
conveniente hallar la probabilidad de error de bit condicionada a los coeficientes Adx,
(PePc). Esta probabilidad es igual a:
( ) ]...[ 1 DxxxxPc AAbbPRNSPe =
]...,11[]1[]...,11[]1[ 11 DxxxxxDxxxxx AAbbPbPAAbbPbP +==+=+=+===
Se sabe que
21]1[]1[ =+=== xx bPbP
entonces falta hallar ]...,11[ 1 Dxxxx AAbbP =+= y ]...,11[ 1 Dxxxx AAbbP +== .
Primero se va a hallar:
]...,11[ 1 Dxxxx AAbbP =+=
[ ]Dxxxx AAbbP ...,10 1=>=
=>
++= = = ==
Dxxx
D
d
K
xkk
C
cckckbkdxdxdx
D
ddxbx AAbLAEAnAAEP ...,10 1
1 ,1 1
**
1
2
=+>
+= == = =
Dxxx
D
ddxbx
D
d
K
xkk
C
cckckbkdxdxdx AAbAELAEAnAP ...,1 1
1
2
1 ,1 1
**
como
== == = =
+=
+D
ddx
K
xkk
C
cckbkA
D
d
K
xkk
C
cckckbkdxdxdx ALELAEAnAVAR
1
2
,1 1
222
1 ,1 1
**
se tiene que
46
-
]...,11[ 1 Dxxxx AAbbP =+= =
+
= =
=K
xkk
C
cckbkA
D
ddxbx
LE
AEQ
,1 1
222
1
2
Ahora falta hallar ]...,11[ 1 Dxxxx AAbbP +== . Siguiendo el mismo anlisis anterior se
llega a que
]...,11[ 1 Dxxxx AAbbP +==
=
+=+
+= == = =
Dxxx
D
ddxbx
D
d
K
xkk
C
cckckbkdxdxdx AAbAELAEAnAP ...,11 1
1
2
1 ,1 1
**
+=
= =
=K
xkk
C
cckbkA
D
ddxbx
LE
AEQ
,1 1
222
1
2
1
Teniendo en cuenta la propiedad Q(-x)+Q(x)=1:
]...,11[ 1 Dxxxx AAbbP +==
+
= =
=K
xkk
C
cckbkA
D
ddxbx
LE
AEQ
,1 1
222
1
2
11
=
+=
= =
=K
xkk
C
cckbkA
D
ddxbx
LE
AEQ
,1 1
222
1
2
En resumen
47
-
]...,11[ 1 Dxxxx AAbbP =+= ]...,11[ 1 Dxxxx AAbbP +===
+
= =
=K
xkk
C
cckbkA
D
ddxbx
LE
AEQ
,1 1
222
1
2
=
Y
]...[)( 1 DxxxxPc AAbbPRNSPe =
]...,11[]1[]...,11[]1[ 11 DxxxxxDxxxxx AAbbPbPAAbbPbP +==+=+=+===
++
+=
= =
=
= =
=K
xkk
C
cckbkA
D
ddxbx
K
xkk
C
cckbkA
D
ddxbx
LE
AEQ
LE
AEQ
,1 1
222
1
2
,1 1
222
1
2
21
21
+=
= =
=K
xkk
C
cckbkA
D
ddxbx
LE
AEQ
,1 1
222
1
2
(3-10)
Como Adx es una variable aleatoria, la probabilidad de error de bit no condicionada (Pep)
se va a tomar como el valor esperado de la probabilidad de error de bit condicionada
(Pepc). Esto significa que en realidad Pep es el promedio o valor esperado de la
probabilidad de error de bit. Este valor esperado se halla usando la propiedad de la
funcin Q que se encuentra en el anexo 2, seccin 7.5, teniendo en cuenta que para este
caso:
dxK
xkk
C
cckbkA
bxi A
LE
EX
= =
+=
,1 1
222
L = D y
48
-
AK
xkk
C
cckbkA
bx
LE
E
= =
+=
,1 1
222
Por lo tanto la probabilidad de error de bit no condicionada es:
++
+
++
=
=
= =
= =
1
1
,1 1
222
2
2,1 1
222
12!
)12(5311
1
121
21)(
D
nn
K
xkk
C
cckbkA
Abxn
Abx
K
xkk
C
cckbkA
P
LE
En
n
E
LERNSPe
(3-11)
3.2.2 Probabilidad de error de bit. Caso: Receptor rastrillo con error en la estimacin de los coeficientes de desvanecimiento del canal y sincronizacin perfecta de la seal firma.
Error en la estimacin de los coeficientes de desvanecimiento significa que (ver figura
2-6)
ARdx = Adx*+ Ad.
La variable Ad representa el error en la estimacin y es igual a Ad = Adr + jAdi. Ad
tiene partes real e imaginaria independientes y Adr~N(0,2A) y Adir~N(0,2A).
La salida de la etapa 3 (Combinacin de tasa mxima) es
=
=D
dRdxRdxRx YAY
1
Reemplazando ARdx = Adx*+ Ad y YRdx por su valor correspondiente en el caso en que
no hay error en la sincronizacin de la seal firma, ecuacin (3-7), se obtiene la salida
49
-
de la etapa 3 en el caso en que hay error en la estimacin de los coeficientes de
desvanecimiento del canal:
( )=
+=D
dRdxddxRx YAAY
1
*
( )
+++=
= ==
K
xkk
C
cckckbkdxxdxbx
D
dddx LAEnbAEAA
,1 11
*
=
+++=D
ddxddxdxddxxbxdxxbx nAnAAAbEAbE
1
*2(
= == =
++K
xkk
C
ckcckbk
K
xkk
C
cdckckbkdx LAEALAEA
,1 1,,1 1
* )
Utilizando este resultado, la regla de decisin { }( )Rxx Y= sgnb queda igual a:
( )
+= =
D
dddxxbxx EAbEb
1
2sgn ,
en donde
= == =
++++=K
xkk
C
cckckbk
K
xkk
C
cdckckbkdxdxddxdxddxxbxd LAEALAEAnAnAAAbEE
,1 1,1 1
**
Inicialmente se halla la probabilidad de error de bit condicionada PeAc. Siguiendo un
proceso anlogo al que se hizo en el caso de estimacin y sincronizacin perfecta, para
hallar ]...[)( 1 DxxxxAc AAbbPRNSPe = primero es necesario hallar
]...,1 1 Dxxx AAb =1[ xbP += y ]...,1 1 Dxx AA+=1[ xx bbP = .
Para empezar se tiene que:
]...,11[ 1 Dxxxx AAbbP =+= = { }
=+>
==Dxxx
D
ddxbx
D
dd AAbAEEP ...,1 1
1
2
1
Aproximando que la varianza de
50
-
{=
D
ddE
1
} (3-12)
es igual a4 :
{ } =
= ==
++=
D
ddxAbx
K
xkk
C
cckbkA
D
dd AELEEVAR
1
22
,,1 1
222
1 (3-13)
se tiene que
]...,11[ 1 Dxxxx AAbbP =+= =
++ = =
=
2
,,1 1
222
1
2
Abx
K
xkk
C
cckbkA
D
ddxbx
ELE
AE
Q
Y siguiendo un proceso anlogo se obtiene:
]...,11[ 1 Dxxxx AAbbP +== =
++ = =
=
2
,,1 1
222
1
2
Abx
K
xkk
C
cckbkA
D
ddxbx
ELE
AE
Q
La probabilidad de error condicionada es igual a:
++=
= =
=
2
,,1 1
222
1
2
)(Abx
K
xkk
C
cckbkA
D
ddxbx
Ac
ELE
AEQRNSPe
(3-14)
Comparando esta expresin con la equivalente para el caso de estimacin perfecta (3-
10) se ve que el error en la estimacin de los coeficientes del canal Adx aumenta la
probabilidad de error de bit condicionada y por lo tanto aumentar la probabilidad de
error de bit no condicionada.
4 Para el clculo de la varianza de 3-12 no se tiene en cuenta el trmino Adndx ni el trmino
= =
K
xkk
C
cckckbkd LAEA
,,1 1ya que su funcin de densidad de probabilidad no es Gaussiana y esto
complica el desarrollo de las ecuaciones.
51
-
Para hallar la probabilidad de error no condicionada hay que hallar el valor esperado de
PeAc. Teniendo en cuenta la propiedad de la seccin 7.5 con:
dx
Abx
K
xkk
C
cckbkA
bxi A
ELE
EX
++=
= =
2,,1 1
222 ,
L = D y
A
Abx
K
xkk
C
cckbkA
bx
ELE
E
2
,,1 1
222
= =
++=
se obtiene la probabilidad de error no condicionada:
+++
+
+++
=
=
= =
= =
1
1
2
,1 1
222
2
2
2
,,1 1
222
12!
)12(5311
1
121
21)(
D
nn
Abx
K
xkk
C
cckbkA
Abxn
Abx
Abx
K
xkk
C
cckbkA
A
ELE
En
n
E
ELERNSPe
(3-15)
3.2.3 Probabilidad de error de bit. Caso: Receptor rastrillo con error en la sincronizacin de la seal firma y estimacin perfecta de los coeficientes de desvanecimiento del canal
Al encontrar la salida de la etapa 2 (correlatores) se lleg a la ecuacin (3-6)
= =
++=K
xkk
C
cckckbkdxxxxdxbxRdx LAEnbAEY
,,1 1)(
En donde ( ) ( ) =Tb
chxxxx dtTtsts0
)(
y
dttstbtsL RdxckkTb
Rdxckkxck )()(')(0
=
52
-
Como se supone que el valor de los ARdx corresponde a una estimacin perfecta la salida
de la etapa 4 es:
++= = = ==
D
d
K
xkk
C
cckckbkdxdxdx
D
dxxxdxbxx LAEAnAbAEb
1 ,1 1
**
1
2 )(sgn , (3-16)
ya que y Y { }( )Rxx Yb = sgn =
=D
dRdxRdxRx YA
1
La funcin xx() se puede definir a trozos en funcin del tiempo de chip Tch:
( )
-
( )( )
+
=
= =
=K
xkk
C
cckbkA
D
ddxxxbx
c
LE
AEQRNSPe
,1 1
222
1
22
(3-17)
Para hallar la probabilidad de error no condicionada hay que hallar el valor esperado de
Pec. Teniendo en cuenta la propiedad de la seccin 7.5 para la funcin Q con:
( )dxK
xkk
C
cckbkA
xxbxi A
LE
EX
= =
+
=
,1 1
222
2
L = D y
( ) AxxKxkk
C
cckbkA
bx
LE
E
+=
= =,1 1
222
Se obtiene:
( )( )
++
+
++
=
=
= =
= =
1
1
,1 1
222
22
22,1 1
222
12!
)12(5311
1
121
21)(
D
nn
K
xkk
C
cckbkA
Axxbxn
Axxbx
K
xkk
C
cckbkA
LE
En
n
E
LERNSPe
(3-18)
Cuando xx()=1 la probabilidad de error de bit queda igual a la probabilidad que se
hall para el caso de estimacin perfecta: PeP. De acuerdo con esto, cuando hay error en
la estimacin de la probabilidad de error est entre dos lmites: PeP < Pe < 1/2
En este punto el siguiente paso sera hallar el valor esperado de Pe con respecto a la
variable aleatoria xx(). Cuando las variaciones de son lentas en comparacin a la
54
-
tasa de envo de informacin (1/Tb) el resultado de la ecuacin (3-18) resulta ms til si
se usa para calcular la probabilidad de que la probabilidad de error de bit est por debajo
de cierto margen. Esto se debe a que cuando se trabaja con variables aleatorias cuya
variacin es lenta en comparacin a la tasa de envo de informacin, el valor esperado
de la probabilidad de error de bit puede alejarse considerablemente del valor real debido
a condiciones desfavorables y raras del canal (Verd 2001). Suponiendo que las
variaciones de son lentas en comparacin a la tasa de envo de informacin, el
resultado obtenido en la ecuacin 3-18 se puede usar para dados F y E calcular el rango
admisible de la varianza del error (2) para garantizar que P[PeP < Pe < F] > E. El
procedimiento es el siguiente: Dado F se puede usar la ecuacin 3-18 para hallar el
valor de xx() con el que Pe = F. Suponiendo que este valor es igual a A la siguiente
afirmacin es cierta: P[PeP < Pe < F]=P[A< xx()
-
3.3 RESUMEN DE LAS FUNCIONES CREADAS PARA REALIZAR LAS
SIMULACIONES.
Las simulaciones se basan en tres funciones principales creadas en Matlab:
1. Funcin Transmisor
2. Funcin Canal
3. Funcin Receptor
Es importante resaltar que estas funciones hacen llamados a funciones implementadas
en C++ las cules realizan la mayor parte de los clculos. A continuacin se presenta el
cdigo en Matlab de las funciones transmisor, canal y receptor; el cdigo de las
funciones creadas en C++ se incluye en el Anexo 1. Los cdigos presentados se
encuentran bien documentados y en los cdigos de Matlab se resalta en negrilla la parte
que define las entradas, la parte que define las salidas y los pasos importantes. En la
documentacin de las funciones se supone que el usuario de inters es el usuario 1.
Las variables aleatorias Gaussianas de media cero generadas en Matlab se crearon a
partir de la funcin randn y las generadas en C++ se crearon a partir del algoritmo de
Box-Mller presentado por Donadio.
La funcin receptor implementa el modelo de la figura 2-6 y no implementa el
estimador del canal. Por esta razn entre las entradas a la funcin receptor estn los
coeficientes de desvanecimiento del canal y los retardos multicamino correspondientes
al usuario de inters. En los casos en que hay error en la estimacin de los parmetros
56
-
del canal, este se genera dentro de las mismas funciones y corresponden a los modelos
planteados: variables aleatorias Gaussianas de media cero.
3.3.1 Funcin transmisor
La funcin txg.m genera la seal transmitida por el usuario de inters que se define
segn la ecuacin (2-1). En la figura 2.8 se resaltan los bloques que representan el
proceso para generar esta seal. txg.m se encarga de crear la secuencia de bits
transmitidos por el usuario de inters (usuario 1 en la documentacin de los cdigos) y
de llamar la funcin transmisorg.cpp la cual genera la secuencia Gold del usuario de
inters y su seal firma y se encarga de multiplicarla por la seal de informacin. El
cdigo de la funcin transmisorg.cpp se encuentra en el anexo 1a.
Funcin txg.m:
function [X1,bitsinfo,gold] = txg(corrimiento,numbitsinfo,Eb)
%Genera la seal transmitida por el usuario 1 %Se defini Tb = 127, Tc =1 %ENTRADAS: %corrimiento: Indica el corrimiento de una de las dos maximal
sequences % usadas para generar la secuencia Gold a partir de la cual % se genera la seal firma del usuario 1. %numbitsinfo: Indica el nmero de bits de informacin que enva el
usuario % 1 %Eb: Energa por bit transmitida por el usuario 1 Tb = 127; %1. Generar la secuencia de bits transmitidos: %(La probabilidad de transmitir un 1 es igual a la probabilidad de %transmitir un cero, esta probabilidad es igual a 0.5): bitsinfo= randsrc(1,numbitsinfo); %2. Cada bit transmitido se multiplica por sqrt(Eb/Tb) de acuerdo al %modelo propuesto: senalinfo = sqrt(Eb/Tb)*bitsinfo;
57
-
%3. Se llama a la funcin en C++ llamada `transmisorg %Esta funcin se encarga de generar la seal transmitida multiplicando la %seal de informacin (senalinfo) por la secuencia Gold del usuario 1 la %cual se genera internamente en la funcion`transmisorg y depende del %parmetro de entrada: corrimiento %SALIDAS: %X1 : Vector que contiene la seal transmitida por el usuario 1 %Gold : Vector que contiene la secuencia Gold que se uso para generar % la seal transmitida por el usuario 1 : X1. Esta secuencia se % genera de acuerdo al parmetro de entrada 'corrimiento' %bitsinfo:Vector que contiene la secuencia de bits de informacin
transmitidos. [X1,Gold] = transmisorg(corrimiento,senalinfo);
3.3.2 Funcin Canal
La funcin canalxusuarios2.m implementa los bloques correspondientes a la funcin
canal que se resaltan en la figura 2-8. La salida de esta funcin corresponde a Y(t),
ecuacin (2-3). Esta funcin llama a la funcin en C++ canalxu3.cpp que es la que
realiza la mayora de los clculos. Las seales firma de los usuarios interferentes se
generan a partir de los mismos polinomios primitivos usados en la funcin
trasnsmisorg.cpp para generar la seal firma del usuario de inters. Para generar la
secuencia Gold del usuario interferente 1 se usa un corrimiento de 1, para generar la
secuencia Gold del usuario interferente 2 se usa un corrimiento de 2 por lo tanto si hay
L usuarios interferentes es importante que en la funcin txg.m definida en la seccin
anterior el parmetro de entrada corrimiento sea igual a 0 o mayor a L.
Funcin canalxusuarios2.m:
function[Yr,Yi,A1r,A1i] = canalxusuarios2(numbitsinfo,numusuariosint,Ebinterferentes,sigA2,taos,sigmaawgn,x1)
%A partir de la seal transmitida por el usuario 1, X1, la funcin %canalxusuarios2 genera (con ayuda de la funcin en C++ canalxu3) %la seal Y que corresponde a la seal recibida, es decir la seal
58
-
%X1 despus de haber pasado por un canal con desvanecimiento Rayleigh, %efecto multicamino y varios usuarios y haberle sumado a la seal AWGN. %El canal de desvanecimiento Rayleigh se define en este caso como un canal %que genera 3 seales multicamino %ENTRADAS %X1 : Vector que contiene la seal transmitida por el usuario 1. %taos: [tao1,tao2,tao3] Vector que contiene los retardos que afectan % la seal del usuario 1 en los caminos 1, 2 y 3 respectivamente. % Se defini que para los usuarios interferentes el numero de % caminos es tambin 3 % El retardo de los usuarios interferentes se defini como % tao1+10 para el primer camino % tao2+10 para el segundo camino % tao3+10 para el tercer camino % Lo anterior significa que para los usuarios interferentes % el nmero de caminos es el mismo y en caminos iguales tienen % el mismo retardo %sigA2: Contiene el valor de la varianza de la parte real y de la % parte imaginaria de los coeficientes de desvanecimiento del % canal (2A) % (misma para todos los usuarios y todos los caminos). % Recordar que la parte real y la parte imaginaria son % variables aleatorias Gaussianas independientes de media cero % e igual varianza: sigA2. %numbitsinfo: Indica el nmero de bits de informacin que envi el usuario. %sigmaawgn: Varianza de la parte real y la parte imaginaria del awgn (2). %Ebinterferentes: Energia usuarios interferentes % (Es la misma para todos. No es un vector) %numusuariosint: Numero de usuarios interferentes %1.Generar los coeficientes del canal que afectan al usuario x. %Cada fila representa un camino diferente y el numero de columnas %corresponde al nmero de bits que se enviaron %Se supone que los coeficientes permanecen constantes durante el envi de %10 bits de informacin a = 1; cont = 0; while a 9) A1r(a,:) = sqrt(sigA2)*randn(1,3); A1i(a,:) = sqrt(sigA2)*randn(1,3); cont = 1; else A1r(a,:) = A1r(a-1,:); A1i(a,:) = A1i(a-1,:); cont = cont+1; end a=a+1; end
59
-
%2. Llamar a la funcin en C++ 'canalxu3' la cual genera Y que es la salida % del canal: %SALIDAS: %Yr: Vector que contiene la parte real de la salida del canal (Re(Y(t))) % de acuerdo al modelo propuesto %Yi: Vector que contiene la parte imaginaria de la salida del canal % (Im(Y(t)))de acuerdo al modelo propuesto %A1r: Matriz, tamao: numbitsinfox3. Contiene la parte real de los
coeficientes de % desvanecimiento del canal que afectan a cada uno de los bits de la % seal transmitida por el usuario 1 (X1) %A1i: Matriz, tamao: numbitsinfox3. Contiene la parte imaginaria de los % coeficientes de desvanecimiento del canal que afectan a cada uno % de los bits de la seal transmitida por el usuario 1 (X1) [Yr, Yi] =
canalxu3(numbitsinfo,numusuariosint,Ebinterferentes,sigA2,taos,sigmaawgn,x1,
A1r,A1i);
Los bloques en la figura 2-8 correspondientes a la funcin Canal, se implementan en la
funcin en C++ canalxu3.cpp a partir de las siguientes 4 subfunciones:
canalxu3
sumsusumassint
secuencias
vgauss
El bloque de la figura 2-8 que representa la generacin de la seal correspondiente a los
usuarios interferentes se implementa a partir de canalxu3 y secuencias. La funcin
secuencias se encarga de generar las secuencias de longitud mxima a partir de las
cules se obtiene la secuencia Gold de cada uno de los usuarios interferentes. La
funcin canalxu3 se encarga de generar la secuencia Gold de cada uno de los usuarios
interferentes y de aadirle a la seal de cada uno el efecto multicamino, el
desvanecimiento Rayleigh y luego sumarlas.
60
-
La funcin sumsusumassint se encarga de implementar el bloque hx(t) de la figura 2-8,
de sumar la salida de este bloque con la salida del bloque que genera la seal de los
usuarios interferentes y de sumarle a esto el ruido Gaussiano aditivo que a su vez se
genera con la funcin vgauss.
El cdigo en C++ de la funcin canalxu3.cpp se encuentra en el anexo 1b.
3.3.3 Funcin Receptor
A cada tipo de error de estimacin que se evala le corresponde una funcin receptor
diferente:
1. Funcin rakep: Funcin en Matlab, implementa el receptor rastrillo con
estimacin perfecta de los coeficientes de desvanecimiento del canal y
