Comunicaciones Digitales: Modulación discreta de pulsos

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Objetivo

Exponer los diferentes esquemas de modulación de pulsos en tiempo discreto así como su impacto en los sistemas de comunicación digital.

Presentar de manera general de las técnicas de modulación discreta PAM, PWM, PPM junto con sus principales características y limitantes.

El alumno aprenderá las características de cada una de estas técnicas y aprenderá los conceptos generales para su implementación.

Al finalizar esta unidad el alumno deberá ser capaz de establecer comunicaciones usando estas técnicas mediante el uso de microprocesadores y convertidores de señal digital/analógicos.

● La señal o mensaje se describe por los valores de sus muestras.

● Técnica de procesamiento del mensaje mediante pulsos que varían de forma continua

● Portadora: Tren de pulsos● Parámetros:

● Amplitud● Duración● Posición

Modulación de Pulsos

● Gran contenido de CC y bajas frecuencias.● Transmisión en distancias muy pequeñas.● Es necesario modular una portadora de RF si se quiere alcanzar mayores distancias● No se usa para transmisión directa de señales sino que forma parte del procesamiento de la señal.


● PAM – Pulse Amplitude Modulation

Modulación por amplitud de pulsos

● PWM – Pulse Wide Modulation

Modulación por ancho de pulso

● PPM – Pulse Position Modulation

Modulación por posición de pulsos


Proceso de Muestreo

● Para extraer muestras de una señal x(t) se emplea algún conmutador electrónico, el cual al estar abierto toma el valor de cero y cuando está cerrado toma brevemente el valor de x(t).

x(t) xs(t)

Dispositivo de Muestreo

Xp(t)

x(t) xs(t)

Modelo Matemático del Dispositivo de Muestreo

Para que el proceso de muestreo sea útil, se debe mostrar que es posible recuperar x(t) de las muestras de xs(t).

Si se sabe que x(t) muestreada es xs(t) y esta definida por:

p(t) es conocida como la función de muestreo, modelando la acción del conmutador electrónico. Consideraremos a esta función como un tren de pulsos periódico. De allí, que pueda ser escrita como una serie de Fourier:

Proceso de Muestreo

xs( t )=x ( t ) p ( t )

p ( t )= ∑n=−∞

∞

Cn ej2π n f s t

, Cn =1T

∫−T /2

T /2

p( t )e− j2π n f s t dt

El proceso de muestrear uniformemente una señal de energía finita, en un tiempo continuo, produce un espectro periódico con un período igual a la frecuencia de muestreo

Proceso de Muestreo

x(t)

T 2T 3T 4T t

p(t)

tT 2T 3T 4T

Proceso de Muestreo

Entonces la señal muestreada puede ser escrita como:

Por definición la transformada de Fourier de xs(t) es:

xs( t )= ∑n=−∞

∞

Cn x ( t )ej2π n f s t

X s( f )=∫−∞

∞

xs( t )e− j2π tf dt

X s( f )=∫−∞

∞

∑n=−∞

∞

C n x ( t )ej2π tnf s e− j2π tf dt

X s( f )= ∑n=−∞

∞

Cn∫−∞

∞

x ( t )e− j2πt ( f −nf s) dt

X s( f )= ∑n=−∞

∞

Cn X ( f −nf s )

Proceso de Muestreo

Espectro de la señal original y de la señal muestreada:X(f)

ffh-fh

Xs(f)

ffh-fh

fs+fhfs-fh-fs+fh-fs-fh

Filtro de Reconstrucción

fs-fs

x δ( t )=∑n=−∞

n=∞

δ ( t−nT s)

)()()( txtxtxs

n

nsss nTtnTxtx )()()(

Muestreo Impulsivo

El muestreo impulsivo es el muestreo ideal, es decir, con una secuencia de funciones impulsos unitarios.

donde Ts es el período de muestreo igual al inverso de fs. Y δ(t) es la función delta de Dirac o la función impulso.

Utilizando la propiedad de desplazamiento de delta, se puede determinar que la función x(t) muestreada queda como:

Muestreo Impulsivo

Para obtener la señal en el dominio de la frecuencia, utilizamos la propiedad de multiplicación en el tiempo - convolución en frecuencia. La transformada de Fourier de la señal de impulsos es:

Y recordando que la convolución con la función impulso es la función original desplazada, se obtiene:

Finalmente la transformada de Fourier de la señal muestreada queda como:

X δ( f )=1T s

∑n=−∞

n=∞

δ ( f −nf s )

X ( f )∗δ( f −nf s )=X ( f −nf s )

X s( f )=X ( f )∗Xδ ( f )=X ( f )∗[ 1T s

∑n=−∞

∞

δ ( f −nf s )]X s( f )=

1T s

∑n=−∞

∞

X ( f −nf s )

El teorema demuestra que la reconstrucción exacta de una señal periódica x(t) continua en banda base a partir de sus muestras, es matemáticamente posible si la señal está limitada en banda y la frecuencia de muestreo fs es superior al doble de su ancho de banda fs > 2fh.

La señal f(t) se muestrea impulsivamente cada T segundos con T< 1 / (2fh).

Teorema de muestreo

El producto de ambas señales f(t) y pT(t) producirá la señal muestreada fs (t) :

donde se ha considerando que T es el intervalo de Nyquist (inverso de la frecuencia del muestreo)

Teorema de muestreo

1)2( mfT

f t f t p ts T( ) ( ) ( )

Según las propiedades de la transformada de Fourier, se tiene:

Sabemos que la transformada de Fourier del tren de pulsos es:

Teorema de muestreo

F s(ω)=1

2 πF (ω)∗P(ω)

P (ω )= τT∑

n=−∞

∞

Sa ( nπ τT )2πδ(ω−n 2π/T )

Aplicando la convolución a P(ω), se tiene que:

El muestreo de f(t) produce la generación de replicas espectrales en múltiplos de 2π / T.

Teorema de muestreo

F s(ω)= τT∑n=∞

∞

Sa( n π τT )F (ω−n2 π/T )

● Cada replica espectral generada por el muestreo es una reproducción exacta de la densidad espectral original F(w) desplazada en frecuencia.● La señal original f(t), se puede recuperar fácilmente de la señal muestreada fs(t) usando un filtro pasa bajas ideal.

Teorema de muestreo

Problema: señal de banda limitada (ω)

Submuestreo

Aliasing

Teorema de muestreo

Filtro de Reconstrucción

Filtro pasabajos / pasa Banda [-W,W]; coincide con el filtro antialiasing

Banda de transición [W, fs-W], donde fs es la frecuencia de muestreo

Teorema de muestreo

W-W fs-W-fs+W

PAM AM

PWM / PPM Modulación exponencial

de onda continua

Técnicas de Modulación de Pulsos

La modulación de amplitud de pulso PAM se produce al multiplicar una señal f(t) que contiene la información por un tren de pulsos periódicos pT(t).

Al realizar el producto, la amplitud de los pulsos será escalada en magnitud por la amplitud de la señal f(t).

De esta manera el resultado final es un tren de pulsos cuyas amplitudes son función del valor de la señal f(t) en cada uno de ellos.

PAM

Ejemplos:

Componente DC

Componente AC

PAM

Dependiendo de la forma como se implemente la Modulación de Amplitud de Pulso, se tienen dos casos:

● PAM de Muestreo Natural (Gating)● PAM de Muestreo Instantáneo (Flat-top)

donde fm es la frecuencia máxima de la señal

FiltroFiltroPasabajosPasabajos

Señal f(t) Señal PAMSeñal PAM

pp ttTT (( ))

mf

X

PAM

PAM – Muestreo natural (Gating)

xs( t )=x ( t )s( t )=x ( t ) ∑k=−∞

∞

∏ ( t−kT s

τ )

s( t )= ∑n=−∞

∞

C n ejn ωs t

, C n=dSin(nπd )

nπd


Si x(t) es una forma de onda analógica de ancho de banda limitado B Hz, la señal PAM que usa muestreo natural es:

● El ciclo de trabajo de s(t) es d = τ/Ts.● El espectro de la señal naturalmente muestreada se calcula en función de la propiedad de multiplicación en el tiempo, convolución en frecuencia. ● s(t) puede ser representada también por las series de Fourier

S ( f )=∑n=−∞

∞

C n δ ( f −nf s)

X s( f )=X ( f )∗( ∑n=−∞

∞

C n δ ( f −nf s ))=∑n=−∞

∞

Cn X ( f )∗δ ( f −nf s )

X s( f )= ∑n=−∞

∞

C n X ( f −nf s)

http://cnyack.homestead.com/files/afourse/fspultr.htm


Ya que s(t) es una señal periódica puede obtenerse el espectro como:

Para obtener el espectro de la señal muestreada natural

PAM – Muestreo Instantáneo (FLAT-TOP)

PAM: AMPLITUD– T Duración del pulso

– Ts: Tiempo entre muestras


Muestreo de techo plano● Pulsos regularmente espaciados : Ts● Pulsos rectangulares o de forma apropiada [h(t)]

Dos operaciones involucradas● Muestreo instantáneo de m(t) cada Ts seg., de acuerdo al

teorema del muestreo● Duración del pulso: T= tiempo por el cual se mantiene el

valor muestra

SAMPLE AND HOLD


xs( t )=h( t )∗x ( t ) ∑k=−∞

∞

δ ( t−kT s ),

X s( f )=1T s

H ( f ) ∑n=−∞

∞

X ( f −nf s )

H ( f )=τ ( Sin( τπ f )τπ f )


Si la señal x(t) es una señal analógica de ancho de banda limitado B Hz, la señal PAM muestreada instantáneamente está dada por:

El espectro para la señal flat-top PAM es:

en donde H(f) esta dada por:

Una vez que se ha transmitido la señal de modulación de PAM se debe extraer la información a partir de ella en el receptor. Esto se logra por medio de un filtro pasa bajo.

PAM

+2π/Tw

F(w)

Señal PAMSeñal PAM

wm- wm-2π/Tw

F(w)

Señal Banda Señal Banda BaseBase

wm- wm

Filtro Pasa Bajos

Entrada: Señal PAM Salida: Señal BB

Filtro de reconstrucción + ecualizador

H(f) provoca distorsión de amplitud y retardo de T/2. Se corrige ecualizando

PAM

Recuperación de una señal PAM

PAM

PAM – Ventajas y Desventajas

VENTAJAS● Fácil de generar y de detectar

DESVENTAJAS● Resulta difícil eliminar el ruido aditivo una vez incorporado a la

señal sin modificarla sustancialmente ya que afecta directamente la amplitud que contiene la información.

● El ancho de banda de transmisión es muy grande.

PWM / PPM

El pulso modulado varía en proporción directa a los valores muestra.a) Mensaje : f(t) b) Señal de Relojc) PWMd) PPM

Modulación de pulsos PWM / PPM

Modulación Analógica de Pulsos

En PAM y PWM ● f(t)=0 se representan con un valor paramétrico

diferente de cero.

● Sincronización del Rx – Multicanalización por división de tiempo

● En la modulación de ancho de pulso PWM «Pulse Width Modulation», los pulsos son de amplitud constante pero varían su duración (ancho del pulso / ciclo de vida útil) proporcionalmente a los valores de f(t) (la información) en los instantes de muestreo.

● La modulación de ancho de pulso PWM, a veces también se nombra como modulación de duración de pulso y se denota como PDM

Modulación de Ancho de Pulso (PWM)

● En PWM, la señal f(t) se muestrea en forma periódica a una tasa muy alta como para satisfacer los requisitos del teorema del muestreo.

● En cada instante de muestreo se genera un pulso de amplitud fija y ancho proporcional a los valores muestreados de f(t), con un ancho mínimo asignado al valor mínimo de la entrada.


● La variación del ancho del pulso a partir del valor inicial es proporcional a f(t) y se define mediante una constante de proporcionalidad k1.

● Consideremos como señal de modulación a:

f ( t ) = mV senw m t

con V=1 voltio


0 = duración mínima del pulso.

A = amplitud del pulso.T = período de los pulsos.

La duración de los pulsos varía como:

0 1( sen ) m w tm

Donde 0 es la duración (anchura) del pulso para una entrada = 0.

Sea además, un tren de pulsos pT(t) dado por:

p tA

T

A

T

nw

nw nw tTn

( )sen( )

cos( )

0 0

0 0

0 00

1

2 2

2


f ( t ) = mV senwm t

Si en esta ultima ecuación se considera que A = 1 voltios y se usa una variable auxiliar x:

x=nw0 t 0

2

La ecuación pT(t) se convierte en:

pT ( t )=t 0

T+

2t0

T∑n=1

∞

(sen( x )

x )cos(nw0 t )


Entonces el tren de pulsos modulado es:

El primer término es una componente continua, la cual se puede bloquear por medio de un condensador

El 2do. término corresponde a la señal moduladora la cual resulta multiplicada por un factor : τ 0 m

T

f tT

m w tn

nwm w t nw tPWM m

nm s( ) ( sen ) sen sen cos

0

1

0 012

21


● Si las otras frecuencias laterales en la expresión están suficientemente alejadas de fm, la señal modulada puede recuperarse simplemente pasando la señal a través de un filtro pasa bajo.

● Para el caso de señales negativas ( < 0 ) el PWM no tiene respuesta, pero el problema se soluciona aplicando una componente de DC lo que provoca que únicamente se representen valores positivos de la señal.


Reloj

GeneradorRampa

S/H +

+PWM

f(t)

muestreador

Vref.

Comparador

a)

b)

c)


● Cuando el valor de la suma entre la señal de entrada y la del generador de rampa caen por debajo del valor Vref la señal del comparador cambia a 0 (cero)

Reloj

GeneradorRampa

S/H +

+PWM

f(t)

muestreador

Vref.

Comparador

Voltaje de referencia

Entradasdel

Comparador

PWM


● La señal f(t) se muestrea por medio del S/H ( etapa de muestreo: Sample and Hold ) el cual está sincronizado con el generador de rampa por medio de una señal de reloj común.

Reloj

GeneradorRampa

S/H +

+PWM

f(t)

muestreador

Vref.

Comparador



● Las señales de salida de la etapa de muestreo y del generador de rampa se suman algebraicamente.

Reloj

GeneradorRampa

S/H +

+PWM

f(t)

muestreador

Vref.

Comparador


● Finalmente, pasa a través de un comparador que tiene en una de sus entradas un voltaje de referencia, que permite variar el ancho de los pulsos de la modulación PWM a un valor adecuado.

Reloj

GeneradorRampa

S/H +

+PWM

f(t)

muestreador

Vref.

Comparador

Reloj

GeneradorRampa

S/H +

+PWM

f(t)

muestreador

Vref.

Comparador

Voltaje de referencia

Entradasdel

Comparador

PWM


Demodulación de Ancho de Pulso (PWM)

● Si se desea extraer la señal original a partir de una señal modulada en PWM, basta con pasar la señal PWM por un filtro pasa bajos

Señal PWM

LPFSeñal Modulante

f tT

m w tn

nwm w t nw tPWM m

nm s( ) ( sen ) sen sen cos

0

1

0 012

21

Señal en Señal en Banda BaseBanda Base

Pulsos anchos, desperdicio de Potencia.

Área de los pulsos igual PPM a PAM.

Tmáx + tg < Ts

Resumen PWM

● Ventajas:● Alta inmunidad al ruido● Se puede distinguir la señal (pulso)

del ruido en amplitud ● Desventajas:

● El ancho de banda requerido por un PWM es mayor que el requerido por un PAM

Resumen PWM

● Consiste en desplazar los pulsos desde una posición de referencia hasta otra, en función del valor de la señal f(t).

● El mínimo desplazamiento de pulso se usa para designar el mínimo valor de f(t) y el cambio de posición es proporcional a la señal moduladora f(t).

Modulación de Posición de Pulso (PPM)

● Una forma conveniente de generar PPM es usar la señal PWM generada y entonces accionar un generador de pulsos de ancho constante en los flancos de bajada de la señal PWM.

● El circuito generador de pulsos puede ser considerado como un monoestable el cual se dispara con el flanco de caída de la señal de PWM. El ancho del pulso generado se determina por el monoestable.


Señal PWM

MonoestableSeñal PPM

PWM

t

PPM

t

Portadora

t

Flanco de disparo


● Considérese el tren de pulsos sin modular dado por:

pT ( t ) =τ0

T+

2nπ

∑n=1

∞

sen(nws τ0

2) cos(nw s t )

● Si la frecuencia de muestreo es fs, donde fs = 1/T , el centro de cada pulso estará situado en los intervalos de tiempo 0, T, 2T, etc..


● Debido a la señal moduladora

f t w tm( ) sen

● El centro de cada pulso se desplaza en el tiempo en una magnitud

t m w tm( sen )1

mtT


● La señal modulada se puede escribir como:

f PPM ( t )=τT

+mτT

senwm t+2π

sen(w s τ0

2 ) J0(mws τ0

2 )cos w s t +

+2π

cos(w s τ0

2 ) J 1(mws τ0

2 ) {sen (w s+wm) t−sen( w s−wm) t }

+2π

sen (w s τ0

2 ) J 2 (mw s τ0

2 ) {cos ( ws+2wm) t+cos( w s−2wm )t }

+.. . ..Donde Jo, J1, J2… son valores obtenidos a través de las funciones de Bessel. Estos valores se pueden obtener a partir de tablas.


● Para recuperar la modulante, los impulsos del tren PPM se convierten en un tren de pulsos PAM o PWM en el receptor y luego se pasan a través de un filtro pasa bajo.

Señal PPMSeñal

Modulante

FPBGenerador

Pulsos

SeñalPAM

Demodulación de Posición de Pulso (PPM)

● Ventajas:● Muy alta inmunidad al ruido● Se puede distinguir fácilmente la

señal (pulso) del ruido en amplitud ● Desventajas:

● El proceso y la circuitería de detección son más complejos

Resumen PPM

Dificultad de implementación en circuitos (mín): PAM

Ancho de Banda:

–Piso: Banda Base digital

–Techo: Niveles de interferencia (ISI : intersymbol interference)

Potencia transmitida (mín): PPM

Comparación

PWM / PPMGeneración de PPM

– Diente de sierra– Señal m(t)– Derivando una PWM

La diferencia está en la fase de los pulsos (PPM)Reconstrucción con filtro Pbajos

Comparación

● Costo: Asociado a la complejidad de la circuitería empleada● Inmunidad al ruido (máx): PPM

Comparación

Retos técnicos

Intersymbol Interference «ISI»● Como se mencionó anteriormente los tiempos de retraso de los distintos MPCs pueden mover la fase e interferir las señales de sistemas de comunicación de banda estrecha «narrow band».

● Sin embargo en sistemas con mayor ancho de banda y con buena resolución temporal la mayor preocupación es la dispersión de señal. En sistemas digitales significa que un impulso δ se convierte en múltiples impulsos.

Retos técnicos

RxTx

1 2 3

Tx

Rx

Intersymbol Interference «ISI»● Cada impulso δ estará llegando con un retardo y una atenuación particular a la trayectoria MPC seguida por cada una. Esta dispersión conduce a la Interferencia entre símbolos (ISI) en las tramas de datos digitales.

Retos técnicos

RxTx Rx

Tx

1 2 3

Intersymbol Interference «ISI»● Cada impulso δ estará llegando con un retardo y una atenuación particular a la trayectoria MPC seguida por cada una. Esta dispersión conduce a la Interferencia entre símbolos (ISI) en las tramas de datos digitales.

Retos técnicos

RxTx Rx

Tx

1 2 3

Intersymbol Interference «ISI»● Si no se implementa alguna medida contra la interferencia ISI, los errores no desaparecerán incluso si se incrementa la potencia de Tx. Por esos se les conoce como Errores Irreductibles.

Retos técnicos

Intersymbol Interference «ISI»● Si no se implementa alguna medida contra la interferencia ISI, los errores no desaparecerán incluso si se incrementa la potencia de Tx. Por esos se les conoce como Errores Irreductibles.

301

2

301

2

Trayectoria corta

Trayectoria larga

Señal resultante

Retos técnicos

Intersymbol Interference «ISI»● La «ISI» se determinada por la taza entre la duración de la señal y la duración de la respuesta impulsiva del canal.

● Es crucial conocerla en sistemas con altos bitrates y en sistemas de acceso múltiple (e.g. TDMA, CDMA, etc. )

● Aún cuando la respuesta del sistema al impulso sea más corta que la duración de un bit de transmisión, la «ISI» aún puede influir en la generación de errores.

MULTIPLEXIÓN

El espacio libre, entre dos muestrasse aprovecha para enviar otras señales.(Time División Multiplexión = TDM)

Multiplexión PAM

● TDM es el proceso de transmitir por un mismo canal varias señales las cuales han sido muestreadas sincrónicamente en el tiempo y secuencialmente intercaladas.

Multiplexión por División de Tiempo (TDM)

● La señal TDM que se muestra, se obtuvo multiplexando en el tiempo dos señales de PAM.

● Se puede observar que entre dos muestras sucesivas de f1(t) existe un espacio de tiempo no utilizado.

TDM

t

f1(t)

f2(t)


● En este espacio se pueden colocar las muestras correspondientes a otras señales. En el caso de la figura se incluyen muestras de la señal f2(t).

TDM

t

f1(t)

f2(t)


● En el receptor TDM se requiere la sincronización de los cuadros (tramas) de modo que los datos multicanalizados recibidos se puedan clasificar y dirigir al canal de salida apropiado.

● Existen dos maneras enviar la sincronización hasta el receptor:

● Línea adicional de sincronización que llega al Receptor desde el Transmisor.

● Señal de sincronismo implícita en el mensaje enviado.


Línea adicional que llega al Rx desde el Tx.Línea adicional que llega al Rx desde el Tx.

Señal de sincronismo implícita en el mensaje Señal de sincronismo implícita en el mensaje enviado.enviado.

InformaciónInformación

Señal de SincronismoSeñal de Sincronismo

Información + sincronismoInformación + sincronismo


● Se observa que mientras más estrechas sean las muestras de las señales y mayor su distanciamiento una de otra, mayor número de muestras de señales se pueden incorporar entre dos muestras sucesivas de una misma señal.


● Diagrama de bloques para un generador de TDM :

f1(t)

f2(t)

f3(t)

conmutador

Muestreador FPB

GeneradorPulsos

Reloj

TDM

PAM


● El conmutador determina la sincronización y la secuencia de los canales (señales) que se han de muestrear. El generador de pulsos produce los pulsos estrechos necesarios para accionar el muestreador. El reloj marca el tiempo de todo el sistema.

f1(t)

f2(t)

f3(t)

conmutador

Muestreador FPB

GeneradorPulsos

Reloj

TDM

PAM


● La salida del generador de TDM (PAM) va conectado a un medio transmisor tal como una línea o a un transmisor modulador. En el otro extremo la señal debe ser reconstruida a su forma original.

f1(t)

f2(t)

f3(t)

conmutador

Muestreador

GeneradorPulsos

Reloj

TDM

PAM

LPF

LPF

LPF

Demultiplexión TDM

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