UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLÓGICA DE LIMA SUR

ALUMNO: Fernández Fernández Leonel Alison.

CICLO: IV.

CURSO: FÍSICA 2.

TEMA: Movimiento ondulatorio.

DOCENTE: Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo.

COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ONDA LINEAL.

a) La ecuación diferencial:

∂ y2

∂2x= 1v2. ∂ y

2

∂ t 2

b) Su solución:

y=f ( x−vt )= ym. sin(kx−wt+φ)

Empecemos con la primera y segunda derivada parcial de “y” con respecto a “x”:

∂ y∂ x

=k . ym .cos (kx−wt+φ )

∂ y2

∂2 x=−k2 . ym . sen (kx−wt+φ)

Procedemos con la primera y segunda derivada parcial de “y” con respecto a “t”:

1

2

∂ y∂ t

=−w . ym .cos (kx−wt+φ)

∂ y2

∂ t2=−w2 . ym. sen(kx−wt+φ)

Por último reemplazamos 2 y 3 en 1:

−k 2 . ym . sen (kx−wt+φ )=−1v2.w2 . ym. sen (kx−wt+φ )

Notamos que en ambos lados de la igualdad, se repiten los factores:

− ym . sen (kx−wt+φ )

Así que podemos simplificarlos:

k 2= 1v2.w2

De esa igualdad fácilmente obtenemos:

v=wk

3

UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLÓGICA DE LIMA SUR

ALUMNO: Fernández Fernández Leonel Alison.

CICLO: IV.

CURSO: FÍSICA 2.

TEMA: Movimiento oscilatorio forzado.

DOCENTE: Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo.

DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DE AMPLITUD Y DESFASAJE, MEDIANTE LA COMPROBACION DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL

MOVIMIENTO OSCILATORIO FORZADO.

Vamos a suponer que nuestra fuerza externa tiene

la siguiente forma:

F ext ( t )=F ext .cos (wt)

Como se vio en el movimiento oscilatorio

amortiguado, la fuerza que actúa en oposición al

movimiento tiene la forma:

F=−b . v

Consideraremos un resorte de constante de elasticidad k, entonces la fuerza

recuperadora de este resorte tiene la forma:

F=−k . x

Aplicamos la segunda ley de Newton:

F ext .cos (wt )−b . v−k . x=m.a

m .a+b . v+k . x=Fext .cos (wt )

m . d2 xd t 2

+b . dxdt

+k . x=Fext

.cos (wt )

d2 xd t 2

+ bm. dxdt

+ km.x=F

ext

. cos(wt )m

Del movimiento oscilatorio sabemos que:

β= b2m

Del movimiento armónico simple se sabe que:

wo=¿√ km ¿

Reemplazando:

d2xd t 2

+2β . dxdt

+wo2 . x=F

ext

.cos (w f t )m

La solución de esa ecuación diferencial es:

x=A . sin (w f t−φ)

Hallamos la primera y segunda derivada:

dxdt

=A .wf .cos (wf t−φ )

d2 xd t 2

=−A .w f2 .sin (wf t−φ )

Reemplazamos en 1:

−A .w f2 .sin (wf t−φ )+2 β . A .w f .cos (w f t−φ )+wo

2 . A . sin (wf t−φ )=Fext .cos (wf t )m

1

Desarrollamos senos y cosenos:

−A .w f2 .¿

Agrupamos a conveniencia:

[−A .w f2+wo2 . A ]¿

[(−A .w f2+wo2 . A )cos (φ )+2 β . A .wf . sin (φ)]sin (w f t )+¿[ (A .w f2−wo2 . A )sin (φ )+2 β . A .w f .cos(φ)]cos (w f t )=¿ Fext .cos (w f t )m

¿¿

Ahora igualamos los coeficientes:

[(−A .w f2+wo2. A )cos (φ )+2 β . A .wf . sin (φ)]sin (w f t )=0

[(A .wf 2−wo2 . A )sin (φ )+2β . A .wf .cos (φ)]cos (wf t )=¿ F ext .cos (wf t )m

¿

Desarrollando 2 obtenemos:

tan φ=(wf

2−wo2)

2 β .w f

Desarrollando 3 obtenemos:

A=F extm .¿¿

De la ecuación 4:

2

3

5

4

√(w¿¿ f ¿¿2−wo2)2+(2β .w f )

2 ¿¿

w f2−wo

2

Del triángulo:

sin (φ )=wf

2−wo2

√(w¿¿ f ¿¿2−wo2)2+(2 β .w f )

2¿¿

cos (φ )=2 β .wf

√(w¿¿ f ¿¿2−wo2)2+(2β .wf )

2 ¿¿

Reemplazamos en 5, y desarrollando obtenemos el resultado:

A=F ext

m .√(w¿¿ f ¿¿2−wo2)2+(2 β .w f )

2¿¿

2 β .w f

φ