COMPROBACIÓN EXPERIMENTAL DEL EFECTO PIEL EN CONDUCTORES

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

COMPROBACION EXPERIMENTAL

DEL EFECTO PIEL EN

CONDUCTORES

por

ESTEBAN ESCOBAR LONDONO

DANIEL EDUARDO SALAZAR CORREA

Una tesis presentada en cumplimiento parcial para el

grado de Licenciado en Fısica

en la

Facultad de Ciencias y Educacion

Proyecto Curricular de Licenciatura en Fısica

15 de agosto de 2018

Declaracion de Autorıa

NOSOTROS, ESTEBAN ESCOBAR LONDONO Y DANIEL EDUARDO SALAZAR

CORREA, declaramos que esta tesis titulada, ’COMPROBACION EXPERIMENTAL

DEL EFECTO PIEL EN CONDUCTORES’ y el trabajo presentado en ella son nuestros.

Lo confirmamos:

Este trabajo se realizo total o principalmente mientras nos encontrabamos en la

candidatura para un tıtulo de licenciatura en esta Universidad.

Si alguna parte de esta tesis ha sido presentada previamente para un tıtulo o

cualquier otra titulacion en esta Universidad o cualquier otra institucion, esto ha

sido claramente establecido.

Cuando hemos consultado el trabajo publicado de otros, esto siempre se atribuye

claramente.

Donde hemos citado del trabajo de otros, se da siempre la fuente. Con la excepcion

de tales citas, esta tesis es completamente nuestro propio trabajo.

Reconocimos todas las principales fuentes de ayuda.

Cuando la tesis se basa en el trabajo hecho por nosotros mismos junto con otros,

hemos dejado en claro exactamente lo que otros hicieron y lo que nosotros contri-

buimos.

Firma:

Fecha:

i

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

Resumen

Facultad de Ciencias y Educacion

Proyecto Curricular de Licenciatura en Fısica

Licenciado en Fısica

por ESTEBAN ESCOBAR LONDONO

DANIEL EDUARDO SALAZAR CORREA

En este documento estudiaremos de manera experimental la manifestacion del efecto piel

en diferentes conductores, basandose en el montaje experimental de las cuatro puntas

para medir la resistividad de los materiales. A partir de la resistividad determinaremos

el valor de la conductividad de estos y mediante las ecuaciones planteadas teoricamen-

te determinar el valor de la profundidad pelicular y de la corriente en funcion de la

frecuencia para ası evidenciar el efecto piel.

Agradecimientos

. . . A nuestros padres quienes a lo largo de toda nuestra vida nos han apoyado y motivado

en toda nuestra formacion academica, por sus consejos, sus valores, por la motivacion

constante que nos han permitido ser personas de bien, por los ejemplos de perseverancia

y constancia que los caracterizan y que nos han infundado siempre, pero mas que nada,

por su amor.

A nuestro director de tesis, Lic. Luis Augusto Mendez Mejıa por su esfuerzo y dedicacion,

por su vision crıtica de muchos aspectos cotidianos de la vida, por su rectitud en su

profesion como docente, por sus consejos, quien con sus conocimientos, su experiencia,

su paciencia y su motivacion ha logrado formarnos como personas y hombres de ciencia.

Tambien nos gustarıa agradecer a nuestros profesores a quienes les debemos gran parte

de nuestros conocimientos, gracias por su paciencia y ensenanza durante esta formacion

academica, en especial al Lic. Edwin Munevar Espitia por su tiempo compartido, por su

apoyo, por sus consejos y por impulsar el desarrollo de nuestra formacion profesional.

Gracias Ingenieros Eduardo Rodrıguez Mora, Andres Ruben Baron Aldana y Nelson

Enrique Fuentes Amaya por creer en nosotros, por habernos brindado la oportunidad

de desarrollar nuestra tesis profesional en los laboratorios de la universidad Distrital

Francisco Jose de Caldas, por el apoyo que nos fue otorgado en especial por el inge-

niero Eduardo Rodrıguez Mora, quien gracias a su tiempo, paciencia y conocimientos

brindados logramos culminar este trabajo de grado.

A la Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas, la cual abre sus puertas a jovenes

como nosotros, preparandonos para un futuro competitivo y formandonos como profe-

sionales con sentido de seriedad, responsabilidad y rigor academico.

Son muchas las personas que han formado parte de nuestra vida profesional a las que nos

encantarıa agradecerles por su apoyo incondicional, por sus consejos, por su companıa

y por todo lo que nos han brindado para la culminacion de nuestra carrera.

A todos muchas gracias.

Esteban Escobar Londono

Daniel Eduardo Salazar Correa

iii

Indice general

Declaracion de Autorıa I

Resumen II

Agradecimientos III

Lista de Figuras VI

Lista de Tablas VII

Constantes Fısicas VIII

Sımbolos IX

1. Introduccion 1

1.1. Referentes Historicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Marco Teorico 3

2.1. Variacion de la densidad de corriente con la frecuencia . . . . . . . . . . . 3

2.1.1. Componentes real e imaginaria del numero de onda . . . . . . . . 6

2.1.2. Profundidad Pelicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.3. Ecuacion diferencial de la densidad de corriente . . . . . . . . . . . 11

3. Procedimiento Experimental 17

3.1. Montaje y materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Analisis y Resultados 20

4.1. Corriente directa (DC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1.1. Resistividad y conductividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.2. Tubos de Cobre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.3. Tubos de Aluminio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.4. Varillas de Aluminio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2. Corriente alterna (AC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2.1. Profundidad pelicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5. Conclusiones 29

iv

Contenido v

A. Ecuaciones de Maxwell para un medio material 30

B. Fluorescencia de rayos X 33

C. Tablas y graficas 36

C.1. Tablas y graficas DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

C.2. Tablas y graficas AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

D. Materiales utilizados 65

Bibliografıa 68

Indice de figuras

2.1. Alambre conductor cilındrico orientado en la direccion z. . . . . . . . . . . 11

2.2. Corriente circulando por un conductor cilındrico. . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1. Ilustracion del circuito utilizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1. Grafica de voltaje en funcion de la corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2. Grafica de corriente en funcion de la frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . 23

B.1. Calibracion de CASSY Lab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

B.2. Pico de energıa para el cobre (Cu). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

B.3. Picos de energıa para el aluminio (Al). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

D.1. Tubos de aluminio de diferente radio y longitud. . . . . . . . . . . . . . . 65

D.2. Tubos de cobre de diferente radio y longitud. . . . . . . . . . . . . . . . . 66

D.3. Varillas de aluminio de diferente radio y longitud. . . . . . . . . . . . . . . 66

D.4. Montaje para corriente directa utilizando la fuente Bench Power Supply,el amplificador de senal Universal Measuring Amplifier y dos multımetrospara la medicion de corriente y voltaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

D.5. Montaje para corriente alterna utilizando el generador de funciones y dosmultımetros para la medicion de corriente y voltaje teniendo en cuenta lafrecuencia de la senal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

vi

Indice de cuadros

4.1. Tabla de datos tubo aluminio grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2. Tabla de dimensiones, resistividad y conductividad de los tubos de cobre . 22

4.3. Tabla de dimensiones, resistividad y conductividad de los tubos de aluminio 22

4.4. Tabla de dimensiones, resistividad y conductividad de las varillas de alu-minio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.5. Tabla de datos tubo de aluminio grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.6. Profundidad pelicular (δ) para el tubo de aluminio grande. . . . . . . . . 25

4.7. Profundidad pelicular (δ) para el tubo de aluminio mediano. . . . . . . . . 25

4.8. Profundidad pelicular (δ) para el tubo de aluminio pequeno. . . . . . . . . 26

4.9. Profundidad pelicular (δ) para el tubo de cobre grande. . . . . . . . . . . 26

4.10. Profundidad pelicular (δ) para el tubo de cobre mediano. . . . . . . . . . 27

4.11. Profundidad pelicular (δ) para el tubo de cobre pequeno. . . . . . . . . . 27

4.12. Profundidad pelicular (δ) para la varilla de aluminio delgada. . . . . . . . 28

4.13. Profundidad pelicular (δ) para la varilla de aluminio gruesa. . . . . . . . . 28

vii

Constantes Fısicas

Permitividad Electrica ε = ε0 = 8, 8541878176× 10−12(Fm

)Permeabilidad Magnetica µ = µ0 = 4π × 10−7

(NA2

)Tiempo de Relajacion τ = 10−4 (s)

viii

Sımbolos

~D Densidad de flujo electrico(Cm2

)~H Vector de intensidad magnetica

(Am

)~J Densidad de corriente

(Am2

)σ Conductividad Ω−1 ∗m−1

K Numero de onda m−1

δ Profundidad pelicular m

ρl Densidad de carga libre(Cm3

)ω frecuencia angular rads−1

f Frecuencia s−1

~P Polarizacion Electrica C×m2

~M Magnetizacion(Am

)

ix

Capıtulo 1

Introduccion

Existen gran cantidad de fenomenos, efectos y aplicaciones basados en la corriente electri-

ca y campos electromagneticos, pero se debe considerar que los fenomenos o efectos

varıan segun el tipo de campo o corriente utilizada, es decir, si los campos electro-

magneticos son campos oscilantes o no, y si la corriente electrica es directa o alterna.

Para nuestro caso especial, nos centraremos en los efectos que producen los campos

electromagneticos oscilantes y la corriente alterna sobre los conductores.

1.1. Referentes Historicos

Cuando hablamos de los efectos y fenomenos que podrıa ocasionar la corriente alterna

en un conductor, nos remitimos alrededor de la epoca de 1850. Gustav Kirchhoff fue

uno de los primeros en hablar acerca del fenomeno que ocurrirıa al trabajar con la

corriente alterna, al mencionar que deberıa haber una distribucion no uniforme de la

corriente a traves de la seccion transversal de un conductor. Por otro lado, Maxwell, en su

Tratado Sobre la Electricidad y Magnetismo, menciona que al incrementar la frecuencia

de la corriente alterna, la corriente tiende a fluir cada vez mas cerca a la superficie del

conductor, es decir, que la region central del conductor no lleva ninguna corriente.

Luego de que Kirchhoff y Maxwell abordaran este fenomeno, Horace Lamb realizo el

tratamiento matematico para observar los efectos de la corriente alterna. Lamb, en

su artıculo de 1883 On Electrical Motions in a Spherical Conductor pretende estudiar

como es el movimiento de la corriente en un conductor esferico producido por la accion

electrica o magnetica fuera del mismo. En dicho artıculo, Lamb realiza varios calculos

sobre diferentes efectos electromagneticos, en especial para una esfera metalica inmersa

en campo oscilante. Durante este experimento, Lamb observo como la perturbacion

1

2

dentro de la esfera consistıa en una serie de ondas que decaen rapidamente, lo cual le

indicaba que la corriente se encuentra mayormente confinada a una pequena seccion en

la superficie del conductor. Luego de los resultados obtenidos por Lamb, Heaviside logro

generalizar los resultados para cualquier conductor de cualquier geometrıa. Luego de

los resultados postulados por Lamb y Heaviside se establecio lo que se conoce como el

Efecto Piel.

Capıtulo 2

Marco Teorico

Debido a que nuestro trabajo se enfoca en el estudio de la corriente alterna a traves de un

material conductor, es necesario recurrir al estudio de las ondas electromagneticas en los

medios materiales. Queremos encontrar relaciones directas entre la densidad de corriente

y la resistencia con la frecuencia, ademas de encontrar el termino que permita calcular

la profundidad pelicular. Para lograr lo anterior recurrimos entonces a las ecuaciones de

Maxwell para un medio material.

2.1. Variacion de la densidad de corriente con la frecuencia

Las ecuaciones de Maxwell para un medio material en el SI son (la demostracion de

como obtener estas ecuaciones se presenta en el apendice A):

~∇ · ~D = ρ (2.1)

~∇× ~E = −∂~B

∂t(2.2)

~∇ · ~B = 0 (2.3)

~∇× ~H = ~J +∂ ~D

∂t(2.4)

donde ~D es la densidad de flujo electrico, ~H es el vector de intensidad magnetica y ~J la

densidad de corriente.

3

4

A continuacion se muestran las relaciones entre el campo electrico ~E y la densidad de

flujo electrico ~D y la densidad de corriente ~J ; entre el campo magnetico ~B y la intensidad

magnetica ~H, considerando que el medio sea homogeneo y lineal.

~D = ε ~E (2.5)

~J = σ ~E (2.6)

~B = µ ~H (2.7)

ε, µ y σ son la permitividad, la permeabilidad y la conductividad del medio, respectiva-

mente. Ademas las relaciones (2.5), (2.6) y (2.7) son lineales. Sin embargo, la relacion

(2.6) solo es valida en equilibrio, en la gran mayorıa de los conductores el tiempo de

relajacion τ es del orden de 10−4s.

Ahora reescribiremos la ecuacion (2.4) en terminos de ~B y de ~E utilizando las relaciones

(2.5) y (2.7):

~∇×

(~B

µ

)= ~J +

∂(ε ~E)

∂t(2.8)

Ademas, si utilizamos la relacion (2.6) podemos escribir ~E en funcion de ~J :

~∇× ~B = µ~J +µε

σ

∂ ~J

∂t(2.9)

Aplicando el rotacional a la ecuacion (2.6) tenemos

~∇× ~J = σ(~∇× ~E) (2.10)

Reemplazando la ecuacion (2.2) en (2.10) y aplicando el rotacional nuevamente

~∇× (~∇× ~J) = −σ~∇×

(∂( ~B)

∂t

)(2.11)

al ser (~∇) y (∂/∂t) operadores lineales

5

~∇× (~∇× ~J) = −σ

(∂(~∇× ~B)

∂t

)(2.12)

Si desarrollamos el rotacional de un rotacional y reemplazamos la ecuacion (2.9) en

(2.12) tendremos:

~∇(~∇ · ~J)−∇2 ~J = −σ ∂∂t

(µ~J +

µε

σ

∂ ~J

∂t

)(2.13)

Para corrientes continuas y conductividad uniforme se tiene que ~∇ · ~J = 0, esto se debe

a que el tiempo τ en el que se disipa la densidad de carga ρ es muy corto. Teniendo en

cuenta que ~J es funcion de la posicion y el tiempo.

∇2 ~J(r, t) = µε∂2 ~J(r, t)

∂t2+ σµ

∂ ~J(r, t)

∂t(2.14)

De esta manera hemos obtenido una ecuacion de onda para la densidad de corriente en

el conductor. Esta ecuacion de onda admite como solucion una onda plana, es decir, una

solucion de la forma:

~J(r, t) = ~J0ei(Kr−ωt) (2.15)

Reemplazando esta solucion en la ecuacion (2.14), separando las variables temporales y

espaciales de la ecuacion anterior y efectuando las respectivas derivadas temporales:

∇2( ~J0ei(Kr))e−iωt = µε

∂2e−iωt

∂t2~J0e

iKr + σµ∂e−iωt

∂t~J0e

iKr (2.16)

∂e−iωt

∂t= −iωe−iωt (2.17)

∂2e−iωt

∂t2= −ω2e−iωt (2.18)

Por lo tanto, reemplazando estos resultados en la ecuacion (2.16)

∇2( ~J0ei(Kr))e−iωt = µε(−ω2e−iωt) ~J0e

iKr + σµ(−iωe−iωt) ~J0eiKr (2.19)

6

De la ecuacion (2.19) es posible simplificar la parte temporal e−iωt y llamando ~J(r) =

~J0eiKr , resulta:

∇2 ~J(r) = −(µεω2 + iσµω) ~J(r) (2.20)

En donde tenemos que

K 2 = µεω2 + iµσω (2.21)

es decir, el numero de onda es un numero complejo definido como:

K = α+ iβ (2.22)

La ecuacion (2.20) puede escribirse como:

∇2 ~J(r) + K 2 ~J(r) = 0 (2.23)

2.1.1. Componentes real e imaginaria del numero de onda

Ahora determinaremos las componentes real e imaginaria del numero de onda K , para

ello, elevaremos al cuadrado la ecuacion (2.22)

K 2 = (α+ iβ)2 = α2 − β2 + i2αβ (2.24)

Igualando las ecuaciones (2.21) y (2.24)

α2 − β2 + i2αβ = µεω2 + iµσω (2.25)

Ası, podemos obtener la parte real y la parte imaginaria del numero de onda elevado al

cuadrado:

<(K 2 ) = α2 − β2 = µεω2 (2.26)

=(K 2 ) = 2αβ = µσω (2.27)

7

De la ecuacion (2.27) se obtiene

β =µσω

2α(2.28)

Si reemplazamos la ecuacion (2.28) en la ecuacion (2.26), podemos determinar α

α4 − α2µεω2 −(µσω

2

)2= 0 (2.29)

La ecuacion (2.29) es una ecuacion cuadratica para α2, tomando solamente la parte

positiva de la raız para que la solucion de α2 sea positiva y realizando un poco de

algebra se obtiene

α2 =µεω2

2+µεω2

2

√1 +

( σεω

)2=µεω2

2

(1 +

√1 +

( σεω

)2)(2.30)

Ahora, para determinar α sacamos raız cuadrada a la ecuacion (2.30)

α =

√µεω2

2

(1 +

√1 +

( σεω

)2)1/2

(2.31)

Ahora determinaremos β2, para ello reemplazamos la ecuacion (2.30) en (2.26)

β2 =µεω2

2+µεω2

2

√1 +

( σεω

)2− µεω2 (2.32)

Realizando el algebra necesaria y sacando la raız cuadrada se obtiene

β =

√µεω2

2

(√1 +

( σεω

)2− 1

)1/2

(2.33)

2.1.2. Profundidad Pelicular

Ahora, al reemplazar la ecuacion (2.22) en la ecuacion (2.15), es posible observar de

forma mas acertada el comportamiento de la densidad de corriente.

~J(r, t) = ~J0e−βrei(αr−ωt) (2.34)

8

Esta ultima ecuacion nos muestra que la densidad de corriente decae con r debido al

termino e−βr, es decir, se esta presentando una atenuacion de la onda. La distancia

caracterıstica con la cual decae la onda se conoce como profundidad pelicular y esta es

la distancia tıpica que una onda electromagnetica penetra en un conductor. Dado que β

posee unidades de m−1, la profundidad pelicular sera entonces:

δ =1

β(2.35)

Cuando se trabaja con diferentes materiales conductores se debe tener en cuenta si estos

materiales son lo que se denomina “buenos” o “malos” conductores, lo cual conlleva a que

se den diferentes valores y expresiones para la profundidad pelicular. Para comprender

mejor lo que es un “buen” y “mal” conductor partiremos de la ecuacion de continuidad

para las cargas libres (ρl) dentro de un conductor:

∂ρl∂t

= −~∇ · ~Jl (2.36)

Utilizando las relaciones (2.5) y (2.6)

~∇ · ~Jl = σ~∇ · ~E =σ

ε~∇ · ~D (2.37)

Reemplazando la ecuacion (2.1) obtenemos:

σ

ε~∇ · ~D =

σ

ερl (2.38)

Por lo tanto la ecuacion de continuidad resulta ser:

∂ρl∂t

= −σερl (2.39)

Integrando para hallar ρl

∫∂ρlρl

= −σε

∫∂t (2.40)

ρl(t) = Ce−σεt (2.41)

9

Ahora, teniendo en cuenta la condicion inicial para t = 0, es posible determinar la

constante C.

ρl(0) = C (2.42)

Ası que:

ρl(t) = ρl(0)e−σεt (2.43)

Ası, hemos determinado la densidad de cargas libres en funcion del tiempo. De la ecua-

cion anterior se puede observar que la densidad de cargas libres decae en una escala

de tiempo de τ = εσ , este tiempo se conoce como el tiempo de relajacion y nos indica

cuan rapido se reordenan las cargas libres dentro del conductor. Ahora bien, en un buen

conductor el tiempo de relajacion es bastante pequeno, es decir el caso en el que σ →∞,

cualquier exceso de cargas libres dentro del conductor se reordenara rapidamente y el

conductor regresara a su estado de equilibrio, en otras palabras, permite que las car-

gas libres fluyan rapidamente a traves del mismo. Por otro lado, cuando el tiempo de

relajacion es bastante grande, es decir cuando el valor de σ es muy pequeno hablamos

de malos conductores. Que el tiempo de relajacion sea muy pequeno nos indica que las

cargas libres se mantienen durante un largo periodo de tiempo en el conductor, no fluyen

con rapidez.

Teniendo en cuenta lo anterior, la expresion para determinar la profundidad pelicular

δ varıa segun el tipo de conductor. Para encontrar las nuevas expresiones, realizaremos

una aproximacion de δ teniendo en cuenta las condiciones que debe tener σ para cada

tipo de conductor.

Para malos conductores, se tiene la condicion de que σ es muy pequeno, por tanto, si

tenemos en cuenta la ecuacion (2.33) el termino σεω → 0 o σ << εω. En primer lugar

nos enfocaremos en el termino√

1 + (σ/εω)2 y realizaremos una expansion de esta raız.

Este termino es de la forma:

(1 + x)1/2 (2.44)

Si se tiene que x << 1, es posible aproximar la ecuacion (2.44) solamente al termino de

primer orden

(1 + x)1/2 ≈ 1 +x

2(2.45)

10

Ahora, si cambiamos x por el termino que se encuentra en la raız (σ/εω)2 y tenemos

en cuenta que este valor es muy pequeno y mucho menor que uno, podemos realizar la

misma aproximacion

(1 +

( σεω

)2)1/2

≈ 1 +1

2

( σεω

)2(2.46)

Al obtener esta aproximacion, podemos reemplazarla en la ecuacion (2.33)

β ≈√µεω2

2

(1 +

1

2(σ

εω)2 − 1

)1/2

(2.47)

β ≈√µσ2

4ε(2.48)

Por lo tanto la profundidad pelicular cuando se trabaja con malos conductores sera:

δ =1

β=

√4ε

µσ2(2.49)

Ahora para buenos conductores tenemos que el valor de la conductividad del material es

muy alta σ →∞, por lo que ahora el termino σεω →∞ o σ >> εω. Teniendo en cuenta

que el termino al cuadrado dentro de la raız√

1 + (σ/εω)2 es muchısimo mayor que 1,

se puede aproximar a:

(1 +

( σεω

)2)1/2

≈(( σ

εω

)2)1/2

≈ σ

εω(2.50)

Entonces, la ecuacion (2.33) se puede escribir como:

β =

√µεω2

2

( σεω− 1)1/2

(2.51)

Al ser el termino σ/εω >> 1 se puede hacer la misma aproximacion anterior, pues al

tender al infinito sumarle o restarle un 1 no afectara su valor. Ası:

β =

√µωσ

2(2.52)

Por lo tanto la profundidad pelicular para buenos conductores viene dada por:

11

δ =1

β=

√2

µωσ(2.53)

Comparando ahora las ecuaciones (2.49) y (2.53) podemos observar que la profundidad

pelicular para malos conductores no depende de la frecuencia, mientras que para los

buenos conductores si existe una dependencia de esta. Ademas de esto, es posible notar

como la profundidad pelicular para malos conductores es mucho mayor que para los

buenos conductores, pues en malos conductores δ depende inversamente de σ2 y al ser

un mal conductor el valor de la conductividad es muy pequeno, por lo que δ toma un

valor grande. Por el contrario, para buenos conductores δ depende inversamente de la

conductividad y para el caso de buenos conductores σ tiende a infinito, por lo que el

valor de δ sera muy pequeno.

2.1.3. Ecuacion diferencial de la densidad de corriente

Ya que hemos encontrado las expresiones para la profundidad pelicular en buenos y

malos conductores, volvemos a centrarnos en la ecuacion de la densidad de corriente y

procederemos a resolver la ecuacion diferencial (2.23)

Considerando que el conductor es un alambre cilındrico, donde queremos determinar la

densidad de corriente en el radio r del alambre de seccion transversal circular y radio a

entonces:

Figura 2.1: Alambre conductor cilındrico orientado en la direccion z.

Teniendo en cuenta la simetrıa cilındrica del problema, tendremos las siguientes condi-

ciones de frontera:

Bn1 = Bn2 (2.54)

Bt1µr1

=Bt2µr2

(2.55)

12

En2 =Jn2σ2

= 0 (2.56)

En donde los subındices n hacen referencia a la componente normal a la superficie del

conductor, en estos casos las componentes normales del campo magnetico ~B, del campo

electrico ~E y la densidad de corriente ~J . El subındice t hace referencia a las componentes

tangenciales en este caso del campo magnetico ~B y la densidad de corriente ~J . Y los

subındices 1 y 2 hacen referencia al aire y al material conductor, respectivamente.

Si nos centramos en la condicion de frontera (2.56) podemos observar que se debe a la

existencia de un medio fuera del conductor, ya sea el aire o el vacıo, y por dicho medio

no circula corriente ya que este es un medio no conductor. Ademas es posible obtener

otra interpretacion de la condicion (2.56) y es que la densidad de corriente del conductor

normal a la superficie, es decir perpendicular a esta, no puede existir debido a que la

densidad de corriente y la corriente como tal son paralelas al conductor, para ilustrar

mejor esto recurriremos a la siguiente imagen:

Figura 2.2: Corriente circulando por un conductor cilındrico.

Si operamos el Laplaciano en coordenadas cilındricas y tenemos una unica dependencia

del radio, es decir, no hay dependencia azimutal ni dependencia de z (no depende del

largo del conductor), podemos escribir el Laplaciano de la ecuacion (2.23) como:

∇2 ~J(r) =1

r

d

dr

(rd

dr~J(r)

)(2.57)

Operando las derivadas y abriendo el parentesis tenemos:

∇2 ~J(r) =1

r

dr

dr

d ~J(r)

dr+

1

rrd

dr

(d ~J(r)

dr

)=

1

r

d ~J(r)

dr+d2 ~J(r)

dr2(2.58)

Reemplazando el Laplaciano en la ecuacion (2.23), reescribiremos la ecuacion anterior

como:

13

d2 ~J(r)

dr2+

1

r

d ~J(r)

dr+ K 2 ~J(r) = 0 (2.59)

La solucion para la ecuacion diferencial (2.59) son las funciones de Bessel modificadas de

orden cero. Teniendo en cuenta que la constante K es un numero complejo, la solucion

para esta ecuacion se puede escribir como:

~J(r) = c1J0(Kr) + c2H0(Kr) (2.60)

En donde J0(Kr) son las funciones de Bessel modificadas de orden cero y H0(Kr) son

las funciones de Bessel modificadas de segunda clase de orden cero, con la condicion

de que r > 0. Llamaremos a Kr = x para mostrar la forma de las funciones de Bessel

modificadas que utilizaremos.

I0(x) = 1 +1

22x2 +

1

2242x4 +

1

224262x6 + . . . (2.61)

H0(x) = (ln (2)− γ)I0(x)− I0(x) ln (x) +1

4x2 + . . . (2.62)

En donde γ es la constante de Euler cuyo valor es aproximadamente 0, 577215 . . .

Ahora, si observamos la solucion de la ecuacion (2.59) y observamos la forma de cada

una de las funciones de Bessel, es posible observar como la constante c2 en la ecuacion

(2.60) se hace cero. Esto sucede al evaluar el lımite de las funciones de Bessel cuando nos

acercamos a cero (r → 0), nos acercamos al origen, la funcion H0(x) diverge a infinito

debido al termino de ln (x) que esta posee, ademas que el logaritmo natural de cero

no existe, mientras que el lımite de la funcion J0(x) converge a cero. Por esto se hace

necesario considerar a la constante (c2 = 0) para unicamente basarnos en las soluciones

que converjan, pues el valor de la densidad de corriente no puede tender a infinito en el

origen, ya que el efecto piel nos lo indica, en el origen o evaluando a (r = 0) o (r → 0)

esta densidad de corriente debe ser mınima o tender a cero.

Ası, la ecuacion (2.60) sera

~J(r) = c1J0(Kr) (2.63)

Se debe determinar la constante c1, para esto usamos el hecho de que a traves del cilindro

homogeneo de radio a y longitud L a circula una corriente alterna dada por:

14

I(t) = I0eiωt (2.64)

Donde I0 es constante. Ası, el periodo de la corriente alterna es:

T =2π

ω(2.65)

En la ecuacion (2.64) la parte real, I0, es la corriente total, ası que por definicion la

corriente total viene dada por:

I0 =

∫~J · d~S (2.66)

Como hablamos de un conductor cilındrico en el cual nos interesa observar el compor-

tamiento con diferentes radios dentro de la circunferencia, d~S viene determinado por:

d~S = 2πrdr (2.67)

Esto debido a que el area de un cırculo, en pocas palabras, es la suma de las infinitas

circunferencias que se encuentran en el mismo, por lo tanto (2.66) sera:

I0 = 2π

∫ a

0r ~J(r)dr (2.68)

Reemplazando (2.63) en (2.68)

I0 = c12π

∫ a

0rJ0(Kr)dr (2.69)

La integral de la ecuacion (2.69) es una integral definida que tiene por solucion:

∫xI0(αx)dx =

x

αI ′0(αx) + c (2.70)

Por lo tanto, la solucion a la integral de la ecuacion (2.69) es:

∫ a

0rJ0(Kr)dr =

a

KJ ′0(Ka) (2.71)

Ası, la ecuacion (2.69) resulta ser

15

I0 = 2πc1a

KJ ′0(Ka) (2.72)

Despejando la constante c1 de la ecuacion anterior y reemplazando el valor de la cons-

tante en la ecuacion (2.63)

~J(r) =I0K

2πa

J0(Kr)

J ′0(Ka)(2.73)

Y reemplazando la ecuacion (2.73) en (2.15)

~J(r, t) =

(I0K

2πa

J0(Kr)

J ′0(Ka)

)e−iωt (2.74)

Sabemos que toda la corriente fluye a traves del cilindro de radio r dentro del alambre,

por lo tanto utilizando (2.74) determinaremos la corriente en general:

~J(r, t) =I0Ke

−iωt

2πaJ ′0(Ka)

∫ r

02πrJ0(Kr)dr (2.75)

De la ecuacion (2.71) sabemos que la solucion a la integral en la ecuacion anterior es:

~J(r, t) =I0Ke

−iωt

2πaJ ′0(Ka)

2πr

KJ ′′0 (Kr) (2.76)

~J(r, t) = I0e−iωt r

a

J ′′0 (Kr)

J ′0(Ka)(2.77)

Teniendo en cuenta que I0 es constante, nos centraremos en la parte espacial de la

densidad de corriente:

~J(r) = I0r

a

J ′′0 (Kr)

J ′0(Ka)(2.78)

Aquı el termino rJ ′′0 (Kr) representa la corriente en el cilindro de radio r, y aJ ′0(Ka)

representa la corriente total en el alambre.

De la relacion (2.21), cuando la frecuencia ω es grande, la magnitud de K es grande

y la solucion mostrada en (2.61) cambia cuando x es muy grande, esto se llama el

comportamiento asintotico, por lo tanto la solucion de la funcion de Bessel I0 es diferente

a la mostrada en (2.61), para valores muy grandes de x, I0 es:

16

I0 = cex√x

(1 +

1

8

1

x+

32

2 ∗ 821

x2+

3252

3!831

x3325272

4!841

x4+ . . .

)(2.79)

De la ecuacion (2.78)

rJ ′′0 (Kr) ≈ r eKr

√Kr

(2.80)

aJ ′0(Ka) ≈ a eKa

√Ka

(2.81)

Por lo tanto, la ecuacion (2.78) se puede escribir como:

~J(r) =

(I0r

a

eKr√Kr

√Ka

eKa

)(2.82)

Simplificando tenemos

~J(r) = I0

√r

a(e−K(a−r)) (2.83)

Reemplazando (2.21) en (2.83)

~J(r, ω) = I0

√r

a(e−(√µεω2+iµσω)(a−r)) (2.84)

La ecuacion (2.84) es valida para 0 < r < a y esta ecuacion nos indica que al acercarnos

a la superficie del cilindro conductor la densidad de corriente aumenta por lo tanto la

expresion√

ra(e−(

√µεω2+iµσω(a−r)) puede hacerse tan pequeno como se quiera, tomando

la frecuencia ω suficientemente grande, lo cual significa que para frecuencias grandes

la mayor parte de la corriente esta fluyendo cerca de la superficie exterior del cilindro,

apareciendo aquı el efecto piel.

Capıtulo 3

Procedimiento Experimental

3.1. Montaje y materiales

Para realizar la parte experimental se utilizaron varios dispositivos de medicion y 8

tubos diferentes. Estos 8 tubos se dividıan en 3 tubos de cobre, 3 tubos de aluminio y 2

varillas (tubos macizos) de aluminio con diferentes radios y longitudes. A continuacion,

se describiran los tubos y los aparatos de medicion utilizados:

1. Tubos de cobre: El primer tubo de cobre, al que denominaremos “tubo grande”

tenıa un radio exterior (Rext) de 0,04127 m, un radio interior (Rint) de 0,03787 m

y una longitud (L) de 0,46 m.

El segundo tubo de cobre, al que denominaremos ”tubo mediano”tenıa un radio

exterior (Rext) de 0,03495 m, un radio interior (Rint) de 0,03177 m y una longitud

(L) de 0,47 m.

El tercer tubo de cobre, al que denominaremos ”tubo pequeno”tenıa un radio


(L) de 0,489 m.

2. Tubos de aluminio: El primer tubo de aluminio, al que denominaremos ”tubo

grande”tenıa un radio exterior (Rext) de 0,03175 m, un radio interior (Rint) de

0,02911 m y una longitud (L) de 0,499 m.

El segundo tubo de aluminio, al que denominaremos ”tubo mediano”tenıa un radio


(L) de 0,45 m.

El tercer tubo de aluminio, al que denominaremos ”tubo pequeno”tenıa un radio


(L) de 0,452 m.

17

18

3. Varillas de aluminio: La primera varilla de aluminio, la cual denominaremos como

”varilla gruesa”tenıa un radio (R) de 0,020115 m y una longitud (L) de 0,195 m.

La segunda varilla de aluminio, la cual denominaremos como ”varilla delgada”tenıa

un radio (R) de 0,01252 m y una longitud (L) de 0,478 m.

4. Generador de funciones: Se utilizo un generador de funciones de Leybold, el cual

nos permitıa variar la frecuencia de la corriente alterna. Con este generador se

lograban maximo 3 Amperios como lımite de corriente que soporta el aparato y se

alcanzaba una frecuencia de maximo 100 kHz.

5. Universal measuring amplifier: El amplificador de medicion se usa para amplificar

senales de medicion que no se pueden medir directamente, ya sea debido a la alta

resistencia de la fuente de senal o a la baja amplitud. Si las senales de medicion son

muy pequenas (en el rango de microvoltios), se trabaja en el modo “Low Drift”.

En este modo, la senal puede amplificarse en varios ordenes de magnitud, teniendo

particularmente en cuenta una posicion cero estable de la senal (“Low Drift”). En

este modo de funcionamiento, las senales superpuestas por ruido de frecuencia mas

alta u otras senales interferentes pueden suavizarse mediante un filtro de paso bajo

con constante de tiempo ajustable (0 ... 3 s). Junto a los voltajes, las intensidades

de corriente y las cargas electricas tambien se pueden medir facilmente.

6. Bench Power Supply, Adjustable, Fixed, 3 Output, 0 V, 32 V, 0 A, 2.5 A: Ambas

salidas de la fuente se pueden conectar en paralelo o en serie mediante un inte-

rruptor en el panel frontal. La unidad de la mano izquierda esta operando como

la unidad de control maestra. Los valores de salida se indican en los medidores de

la unidad maestra (lado izquierdo). Las unidades estan equipadas con una tercera

salida que suministra un voltaje fijo de 3 a 6 voltios y un maximo de corriente de

2A. Esta salida se encuentra en el lado derecho con tomas de seguridad. La tension

se puede ajustar con un destornillador cerca de la salida.

Con estos aparatos se realizaron diferentes mediciones sobre los tubos, por ellos se hacıa

circular corriente directa (DC) y corriente alterna (AC), ubicando los tubos en el si-

guiente circuito:

Este circuito consiste en una fuente de energıa DC (fuente de triple poder), un am-

plificador de voltaje, un voltımetro el cual se conecta en paralelo a la resistencia y un

amperımetro que se encuentra en serie con la fuente y la resistencia, para nuestro caso

cada uno de los tubos conductores corresponde a la resistencia del circuito. Para las

mediciones de AC se utilizo un generador de audio en lugar de la fuente de triple poder

y el amplificador.

19

Figura 3.1: Ilustracion del circuito utilizado.

Todo esto se realizo con el objetivo de determinar la resistencia de cada tubo a partir de

la ley de Ohm, para a su vez determinar la resistividad de los tubos y por ende de cada

material, y a partir de este valor encontrar la conductividad. Todo esto para ası poder

calcular los valores de la profundidad pelicular y poder evidenciar el efecto piel en cada

conductor utilizado.

Capıtulo 4

Analisis y Resultados

4.1. Corriente directa (DC)

Inicialmente se obtuvieron las condiciones iniciales de cada tubo, estas involucran la

resistividad y conductividad de cada uno para poder obtener los resultados que permiten

obtener las condiciones iniciales, se realizo el montaje descrito anteriormente.

Se realizaron dos medidas, una con los valores de voltaje y corriente positivos y otras

con los valores negativos, con lo cual solo bastaba con cambiar la polaridad de los cables

en la fuente.

A continuacion se muestra una de las tablas de datos obtenidas en las mediciones con

su respectiva grafica, esta tabla y grafica corresponden al tubo de aluminio grande

realizando la medicion por la seccion interior del tubo.

Voltaje (V) Corriente (A) Voltaje (-V) Corriente (-A)

0.05 0.13 -0.05 -0.15

0.1 0.29 -0.1 -0.31

0.15 0.47 -0.15 -0.48

0.2 0.61 -0.2 -0.62

0.25 0.76 -0.25 -0.77

0.3 0.93 -0.3 -0.93

0.35 1.09 -0.35 -1.08

0.4 1.25 -0.4 -1.22

0.45 1.39 -0.45 -1.36

0.5 1.54 -0.5 -1.53

0.55 1.73 -0.55 -1.67

0.6 1.89 -0.6 -1.81

Cuadro 4.1: Tabla de datos tubo aluminio grande.

20

21

De la tabla anterior se realizo la respectiva grafica:

Figura 4.1: Grafica de voltaje en funcion de la corriente.

Se observa que la tendencia de la grafica es lineal, lo que nos permite estudiar de manera

mas sencilla los datos ya que la regresion lineal de la grafica se ajusta a la ley de Ohm,

esto nos permite obtener las condiciones iniciales del tubo, en este caso el valor de la

resistencia, con el cual se obtuvieron la resistividad y conductividad del material del que

estaba compuesto, especıficamente de aluminio.

El ajuste a la curva de la FIGURA 4.1 donde las mediciones se realizaron para un voltaje

(V-) tiene la siguiente forma:

V (I) = 0,332064(Ω) ∗ I + 0,005127(V )

Cuyo valor de la pendiente es 0.332064 y coincide con el valor de la resistencia, la cual

se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)

El ajuste a la curva de la FIGURA 4.1 donde las mediciones se realizaron para un voltaje

(V+) tiene la siguiente forma:

V (I) = 0,315276(Ω) ∗ I + 0,005127(V )

Cuyo valor de la pendiente es 0.315276 y coincide con el valor de la resistencia, la cual


22

4.1.1. Resistividad y conductividad

4.1.2. Tubos de Cobre

Resistencia Ω Radio Ext (m) Radio Int (m) Longitud (m) Resistividad (Ω ∗m) Conductividad (S/m)

Pequeno 0,00001905 0,02858 0,02578 0,489 1,86283*10−8 5,3682*107

Mediano 0,00002286 0,03495 0,03177 0,47 3,24199*10−8 3,0845*107

Grande 0,00001351 0,04127 0,03787 0,46 2,48269*10−8 4,0279*107

Cuadro 4.2: Tabla de dimensiones, resistividad y conductividad de los tubos de cobre

4.1.3. Tubos de Aluminio

Resistencia Ω Radio Ext (m) Radio Int (m) Longitud (m) Resistividad (Ω ∗m) Conductividad (S/m)

Pequeno 0,00003943 0,02222 0,01978 0,452 2,80852*10−8 3,5606*107

Mediano 0,0000287 0,0254 0,0221 0,45 3,1407*10−8 3,1840*107

Grande 0,00002825 0,03175 0,02911 0,499 2,85761*10−8 3,4994*107

Cuadro 4.3: Tabla de dimensiones, resistividad y conductividad de los tubos de alu-minio

4.1.4. Varillas de Aluminio

Resistencia (Ω) Radio (m) Longitud (m) Resistividad (Ω ∗m) Conductividad (S/m)

Delgado 0,00002286 0,012605 0,478 2,38717*10−8 4,1891*107

Grueso 0,00001779 0,020115 0,195 1,15966*10−7 8,6232*106

Cuadro 4.4: Tabla de dimensiones, resistividad y conductividad de las varillas dealuminio

4.2. Corriente alterna (AC)

Durante las mediciones se recolectaron datos de corriente, frecuencia y voltaje para cada

uno de los tubos y varillas utilizados, esto con el fin de observar el comportamiento y la

dependencia de la corriente y el voltaje en funcion de la frecuencia. A continuacion, se

muestran los resultados y las graficas obtenidas de la corriente en funcion de la frecuencia,

puesto que estas son las que mas nos interesan para analizar. La tabla de datos y grafica

que se mostraran a continuacion corresponden al tubo de aluminio grande realizando las

mediciones por la seccion exterior del tubo.

23

Frecuencia (kHz) Corriente (A) Voltaje (V)

13.2 2.81 0.041

18.02 2.53 0.062

23.05 2.24 0.076

28.28 1.94 0.091

33.04 1.64 0.098

38.21 1.29 0.1

43.14 0.92 0.092

48.05 0.59 0.081

53.18 0.3 0.064

58.1 0.14 0.048

63.17 0.06 0.032

68.06 0.03 0.022

73.14 0.02 0.015

78.15 0.01 0.01

Cuadro 4.5: Tabla de datos tubo de aluminio grande.

Figura 4.2: Grafica de corriente en funcion de la frecuencia.

Como se puede observar en las graficas de los 3 tubos de cobre, la corriente electrica

muestra una exponencial decreciente. Esto nos indica que la corriente electrica ira dis-

minuyendo exponencialmente a medida que la frecuencia aumente, lo que nos dice esto

es que la resistencia de cada tubo se ve afectada cuando la frecuencia aumente. lo cual

concuerda con los resultados teoricos y ecuaciones obtenidas en el marco teorico. Esto

se explica debido a que a medida que la frecuencia aumenta, la densidad de corriente

dentro del conductor se situa en una pequena porcion del mismo cercana a la superficie

24

lo cual disminuye el area transversal por donde esta circula, logrando ası un aumento en

la resistencia del conductor.

De la misma manera sucede con los tubos y varillas de aluminio, se observa una dismi-

nucion de forma exponencial de la corriente en funcion de la frecuencia, con lo cual se

logra evidenciar de cierta manera el efecto piel.

4.2.1. Profundidad pelicular

Ahora bien, ya que hemos encontrado los valores de la conductividad y la frecuencia

utilizada en nuestras mediciones, es posible determinar el valor de la profundidad pe-

licular para cada uno de los conductores utilizados. Para ello utilizaremos la ecuacion

(2.53), es decir, la ecuacion para la profundidad pelicular (δ) en buenos conductores,

pero cambiando la frecuencia angular (ω) en terminos de la frecuencia (f) utilizada en

las mediciones.

δ ≈√

2

2πfµσ(4.1)

δ ≈√

1

πfµσ(4.2)

Utilizando esta ecuacion hemos determinado los valores de la profundidad pelicular para

cada uno de los tubos utilizados.

De los datos obtenidos es posible evidenciar que los valores de la profundidad pelicular

son mayores a los valores del grosor de los tubos. Ademas, teniendo en cuenta una tabla

de valores de profundidad pelicular mostrada en la referencia [12], libro de Sadiku, en el

capıtulo 10 tabla 10.2, pagina 427, nos muestra la profundidad pelicular para el cobre,

teniendo en cuenta valores concretos de frecuencia como por ejemplo a 500Hz se tiene un

δ de 2.99 mm, aun ası en esta tabla no se muestran los valores para frecuencias entre 1

kHz a 100 kHz que fueron los utilizados en nuestro experimento. Ahora, si nos enfocamos

en la referencia [14], en este artıculo se observa que se obtiene un valor para δ de 2.06E-

03 m utilizando una frecuencia de 1 kHz y si comparamos nuestros datos obtenidos se

puede apreciar que hay una diferencia en una potencia de 10 aunque se logra aproximar

bastante el resultado. Estas diferencias entre la referencia [12] y nuestros datos es debido

a que en el libro de Sadiku la tabla se hace con valores teoricos y pre-definidos, y en

comparacion a la referencia [14] la diferencia radica en el uso de aparatos y metodos de

medicion diferentes a los utilizados en nuestro experimento.

25

Frecuencia (kHz) Conductividad (S/m) Profundidad (m) Profundidad (mm)

13,2 3,4994E+07 2,3417E-02 23,42

18,02 3,4994E+07 2,0042E-02 20,04

23,05 3,4994E+07 1,7721E-02 17,72

28,28 3,4994E+07 1,5999E-02 16,00

33,04 3,4994E+07 1,4801E-02 14,80

38,21 3,4994E+07 1,3764E-02 13,76

43,14 3,4994E+07 1,2953E-02 12,95

48,05 3,4994E+07 1,2274E-02 12,27

53,18 3,4994E+07 1,1667E-02 11,67

58,1 3,4994E+07 1,1162E-02 11,16

63,17 3,4994E+07 1,0705E-02 10,70

68,06 3,4994E+07 1,0313E-02 10,31

73,14 3,4994E+07 9,9482E-03 9,95

78,15 3,4994E+07 9,6241E-03 9,62

Cuadro 4.6: Profundidad pelicular (δ) para el tubo de aluminio grande.


13,1 3,1840E+07 2,4643E-02 24,64

18,04 3,1840E+07 2,1000E-02 21,00

23,06 3,1840E+07 1,8574E-02 18,57

28,06 3,1840E+07 1,6838E-02 16,84

33,04 3,1840E+07 1,5517E-02 15,52

38 3,1840E+07 1,4469E-02 14,47

43,08 3,1840E+07 1,3589E-02 13,59

48,04 3,1840E+07 1,2869E-02 12,87

53 3,1840E+07 1,2252E-02 12,25

58,07 3,1840E+07 1,1705E-02 11,70

63,14 3,1840E+07 1,1225E-02 11,22

68,04 3,1840E+07 1,0813E-02 10,81

73,1 3,1840E+07 1,0432E-02 10,43

78,16 3,1840E+07 1,0089E-02 10,09

83,16 3,1840E+07 9,7808E-03 9,78

88,01 3,1840E+07 9,5075E-03 9,51

Cuadro 4.7: Profundidad pelicular (δ) para el tubo de aluminio mediano.

26


13,2 3,5606E+07 2,3215E-02 23,22

18,03 3,5606E+07 1,9864E-02 19,86

23,06 3,5606E+07 1,7564E-02 17,56

28,05 3,5606E+07 1,5925E-02 15,93

33,01 3,5606E+07 1,4680E-02 14,68

38,17 3,5606E+07 1,3652E-02 13,65

43,14 3,5606E+07 1,2842E-02 12,84

48,02 3,5606E+07 1,2172E-02 12,17

53,18 3,5606E+07 1,1566E-02 11,57

58,25 3,5606E+07 1,1051E-02 11,05

63,1 3,5606E+07 1,0618E-02 10,62

68 3,5606E+07 1,0228E-02 10,23

73,02 3,5606E+07 9,8705E-03 9,87

78,09 3,5606E+07 9,5447E-03 9,54

83,16 3,1840E+07 9,7808E-03 9,78

88,01 3,1840E+07 9,5075E-03 9,51

Cuadro 4.8: Profundidad pelicular (δ) para el tubo de aluminio pequeno.


13,45 4,0279E+07 2,1623E-02 21,62

18,3 4,0279E+07 1,8538E-02 18,54

23,33 4,0279E+07 1,6418E-02 16,42

28,1 4,0279E+07 1,4960E-02 14,96

33,3 4,0279E+07 1,3742E-02 13,74

38,05 4,0279E+07 1,2856E-02 12,86

43,19 4,0279E+07 1,2067E-02 12,07

48,11 4,0279E+07 1,1433E-02 11,43

53,04 4,0279E+07 1,0889E-02 10,89

58,12 4,0279E+07 1,0402E-02 10,40

63,26 4,0279E+07 9,9705E-03 9,97

68,11 4,0279E+07 9,6089E-03 9,61

73,19 4,0279E+07 9,2695E-03 9,27

78,03 4,0279E+07 8,9774E-03 8,98

83,03 4,0279E+07 8,7029E-03 8,70

88,35 4,0279E+07 8,4368E-03 8,44

93,37 4,0279E+07 8,2069E-03 8,21

Cuadro 4.9: Profundidad pelicular (δ) para el tubo de cobre grande.

27


10,80 3,0845E+07 2,7575E-02 27,57

15,12 3,0845E+07 2,3305E-02 23,31

20,12 3,0845E+07 2,0203E-02 20,20

25,31 3,0845E+07 1,8013E-02 18,01

30,24 3,0845E+07 1,6479E-02 16,48

35,15 3,0845E+07 1,5285E-02 15,28

40,27 3,0845E+07 1,4280E-02 14,28

45,10 3,0845E+07 1,3494E-02 13,49

50,21 3,0845E+07 1,2789E-02 12,79

55,26 3,0845E+07 1,2190E-02 12,19

60,28 3,0845E+07 1,1672E-02 11,67

65,08 3,0845E+07 1,1233E-02 11,23

70,32 3,0845E+07 1,0807E-02 10,81

75,14 3,0845E+07 1,0454E-02 10,45

80,14 3,0845E+07 1,0123E-02 10,12

85,13 3,0845E+07 9,8217E-03 9,82

Cuadro 4.10: Profundidad pelicular (δ) para el tubo de cobre mediano.


12,01 5,3682E+07 1,9821E-02 19,82

17,27 5,3682E+07 1,6530E-02 16,53

22,24 5,3682E+07 1,4566E-02 14,57

27,19 5,3682E+07 1,3174E-02 13,17

32,12 5,3682E+07 1,2120E-02 12,12

37,24 5,3682E+07 1,1256E-02 11,26

42,33 5,3682E+07 1,0558E-02 10,56

47,21 5,3682E+07 9,9975E-03 10,00

52,28 5,3682E+07 9,5003E-03 9,50

57,07 5,3682E+07 9,0929E-03 9,09

62,11 5,3682E+07 8,7162E-03 8,72

67,18 5,3682E+07 8,3808E-03 8,38

72,14 5,3682E+07 8,0876E-03 8,09

77,19 5,3682E+07 7,8186E-03 7,82

82,35 5,3682E+07 7,5696E-03 7,57

87,1 5,3682E+07 7,3603E-03 7,36

Cuadro 4.11: Profundidad pelicular (δ) para el tubo de cobre pequeno.

28


13,16 4,1891E+07 2,1436E-02 21,44

18,02 4,1891E+07 1,8318E-02 18,32

23,05 4,1891E+07 1,6197E-02 16,20

28,06 4,1891E+07 1,4680E-02 14,68

33,05 4,1891E+07 1,3526E-02 13,53

38 4,1891E+07 1,2615E-02 12,61

43,14 4,1891E+07 1,1839E-02 11,84

48,03 4,1891E+07 1,1220E-02 11,22

53,06 4,1891E+07 1,0675E-02 10,68

58 4,1891E+07 1,0211E-02 10,21

63 4,1891E+07 9,7970E-03 9,80

68,06 4,1891E+07 9,4258E-03 9,43

73 4,1891E+07 9,1012E-03 9,10

78,07 4,1891E+07 8,8008E-03 8,80

Cuadro 4.12: Profundidad pelicular (δ) para la varilla de aluminio delgada.


13,13 8,6232E+06 4,7299E-02 47,30

18,02 8,6232E+06 4,0375E-02 40,37

23,08 8,6232E+06 3,5675E-02 35,68

28,14 8,6232E+06 3,2309E-02 32,31

33,17 8,6232E+06 2,9759E-02 29,76

38,2 8,6232E+06 2,7730E-02 27,73

43,15 8,6232E+06 2,6091E-02 26,09

48,12 8,6232E+06 2,4707E-02 24,71

53,07 8,6232E+06 2,3527E-02 23,53

58,04 8,6232E+06 2,2497E-02 22,50

63,2 8,6232E+06 2,1559E-02 21,56

68,06 8,6232E+06 2,0775E-02 20,77

73 8,6232E+06 2,0060E-02 20,06

78,11 8,6232E+06 1,9392E-02 19,39

Cuadro 4.13: Profundidad pelicular (δ) para la varilla de aluminio gruesa.

Capıtulo 5

Conclusiones

A partir de los resultados obtenidos y las graficas presentadas, es posible evidenciar

que se genera una disminucion en la corriente electrica que circula por el tubo, lo cual

nos indica que existe una disminucion en la densidad de corriente y por ende un au-

mento en la resistencia del material, debido a la disminucion de la seccion transversal

por la que circula la corriente. Lo cual concuerda con la teorıa mostrada, aun ası, si

observamos los valores obtenidos en el calculo de la profundidad pelicular y comparando

con la bibliografıa descrita en la seccion 4.2.1 los valores de profundidad no concuerdan

completamente, aunque se aproximan, esto se debe a que los aparatos de medicion utili-

zados en las practicas planteadas en la bibliografıa poseen una mayor precision y estan

disenados para trabajar este tipo de experimentos en los cuales se presentan voltajes y

resistencias muy pequenas. Debido a que el generador de funciones solo lograba llegar a

una frecuencia maxima de 100 kHz, no fue posible evidenciar de forma precisa y clara

el efecto piel a frecuencias altas, ya que trabajamos con frecuencias bajas y esto no nos

permitio evidenciar claramente dicho fenomeno.

29

Apendice A

Ecuaciones de Maxwell para un

medio material

Teniendo en cuenta que trabajamos en medios materiales, las ecuaciones de Maxwell

varıan. A continuacion se muestra como obtener las respectivas ecuaciones de Maxwell

para un medio material.

Ley de Gauss en la presencia de materiales dielectricos

Teniendo en cuenta que el efecto de la polarizacion es producir acumulaciones de carga

ligada, sabemos que la densidad de carga ligada puede definirse como:

ρb = −~∇ · ~P (A.1)

la ecuacion (A.1) es la densidad de carga volumetrica dentro del dielectrico.

El campo debido a la polarizacion del medio es solo el campo de esta carga ligada. Por

lo tanto aparece una carga libre que puede consistir en electrones en un conductor o

iones incrustados en el material dielectrico, en pocas palabras, es cualquier carga que no

es un resultado de la polarizacion.

Dentro del dielectrico, la densidad de carga puede escribirse:

ρ = ρb + ρf (A.2)

Tenemos ademas la relacion:

εo~∇ · ~E = ρ (A.3)

30

31

Reemplazando la ecuacion (A.2) en (A.3)

εo~∇ · ~E = ρb + ρf (A.4)

Cambiando el termino de ρb

εo~∇ · ~E = −~∇ · ~P + ρf (A.5)

Reescribimos la ecuacion (A.5) teniendo en cuenta que ∇ es un operador lineal

~∇ · (εo ~E + ~P ) = ρf (A.6)

El lado izquierdo en la ecuacion anterior se conoce como el desplazamiento electrico y

se define como:

(εo ~E + ~P ) = ~D (A.7)

Por lo tanto se obtiene la ley de Gauss en un medio material.

~∇ · ~D = ρf (A.8)

La ley de Ampere en materiales magnetizados

Cuando un campo magnetico afecta en un medio material magnetico, se produce un

fenomeno conocido como magnetizacion ( ~M), es decir, un momento dipolar magnetico.

El efecto de la magnetizacion es establecer las corrientes ligadas dentro del material y

en la superficie. Esta corriente ligada ( ~Jb) se define como:

~Jb = ∇× ~M (A.9)

Ademas de la densidad de corriente ligada, otra contribucion a la densidad de corriente

dentro de un medio material viene dada por la razon de cambio de la polarizacion

respecto al tiempo. Esta densidad de corriente debida a la polarizacion se puede expresar

como:

~JP =∂ ~P

∂t(A.10)

32

Ası, la densidad de corriente no incluye solamente la densidad de corriente libre ( ~Jf ),

sino que ademas se incluyen la densidad de corriente ligada ( ~Jb) y la de polarizacion

( ~JP ). Ası, la densidad de corriente se puede escribir como la suma de las tres densidades

mencionadas.

~J = ~Jf + ~Jb + ~JP (A.11)

Partiendo ahora de la ley de Ampere-Maxwell

~∇×B = µ0 ~J + µ0ε0∂ ~E

∂t(A.12)

Reemplazando la densidad de corriente ( ~J)

1

µ0~∇×B = ~Jf + ~Jb + ~JP + ε0

∂ ~E

∂t(A.13)

Reemplazando ahora las ecuaciones (A.9) y (A.10) en (A.13) tenemos

~∇×~B

µ0− ~∇× ~M = ~Jf +

∂ ~P

∂t+∂(ε0 ~E)

∂t(A.14)

Al ser ~∇ y ∂/∂t operadores lineales, resulta

~∇×

(~B

µ0− ~M

)= ~Jf +

∂(ε0 ~E + ~P )

∂t(A.15)

El termino dentro del parentesis del lado izquierdo de la ecuacion (A.15) se conoce como

el vector de la intensidad de campo magnetico y se define como:

~H =~B

µ0− ~M (A.16)

Ası, obtenemos la ecuacion de Ampere-Maxwell para un medio material.

~∇× ~H = ~Jf +∂ ~D

∂t(A.17)

La ley de Faraday y ~∇ · ~B = 0 no son afectadas cuando se trata un medio material,

debido a que estas no dependen de ρ o ~J directamente.

Apendice B

Fluorescencia de rayos X

La ionizacion consiste en el desprendimiento de uno o mas electrones del atomo como

consecuencia de exponer el material a rayos X o rayos gamma, solo si la energıa de la

radiacion a la cual se expone el material es lo suficiente como para exceder el potencial

de ionizacion. Los rayos X como los gamma son lo suficientemente energeticos como para

desprender los electrones fuertemente ligados a los orbitales de cada atomo, debido a

este desprendimiento, la estructura del atomo queda inestable, por lo cual los electrones

de orbitales mas elevados caen a los orbitales mas bajos, ocupando los espacios que

dejaron los electrones desprendidos, durante la transicion de este decaimiento se genera

energıa mediante la emision de un foton. El valor de energıa de ese foton es igual a la

diferencia de energıa de cada uno de los orbitales involucrados durante esta transicion,

debido a esto el material emite una radiacion que es caracterıstica a cada uno de los

atomos componentes del material.

Para lograr identificar exactamente la composicion de los tubos utilizados, es decir si

eran alguna aleacion o no, realizamos el estudio de la fluorescencia de rayos X en ellos

utilizando CASSY Lab y el aparato de rayos X. Se cortaron muestras de los tubos y se

ubicaron el aparato de rayos X para ası ser bombardeados por la radiacion emitida por

un tubo de molibdeno.

En primer lugar se realizo la calibracion del software con muestras de metales conocidos,

obteniendo las graficas respectivas para cada uno. Los metales utilizados para esta cali-

bracion fueron: hierro (Fe) mostrado en la grafica de color azul, Niquel (Ni) mostrado de

color verde, cobre (Cu) mostrado de color rojo y Zinc (Zn) mostrado de color morado.

Cada uno de los picos en la grafica B.1 hacen referencia a la energıa emitida por cada

material.

33

34

Figura B.1: Calibracion de CASSY Lab.

Al realizar la medicion sobre los tubos de cobre se observo que estos son 100 % de cobre,

es decir, no se encontro ningun otro metal en su composicion tal y como nos muestra la

siguiente grafica:

Figura B.2: Pico de energıa para el cobre (Cu).

Con los tubos de aluminio se encontro un inconveniente con el CASSY Lab, pues este no

lograba realizar una lectura de la energıa liberada por el material, ya que estos valores

salen del rango de medida del aparato, por lo cual no se pudo evidenciar completamente

los componentes del aluminio ni cuanto porcentaje de aluminio existe en las muestras.

Esto se puede apreciar debido a que en la grafica B.3 no aparece un pico en el valor del

35

aluminio y ademas los picos que se encuentran en la grafica corresponden al hierro (Fe)

y al zinc (Zn) pero a niveles muy bajos, comparados con los obtenidos en la grafica B.1.

Figura B.3: Picos de energıa para el aluminio (Al).

Gracias a estas mediciones es posible comparar los resultados de resistividad y con-

ductividad obtenidos experimentalmente con los valores que podemos encontrar en la

literatura.

Apendice C

Tablas y graficas

A continuacion se muestran las tablas de datos y las graficas obtenidas durante las

mediciones.

C.1. Tablas y graficas DC

Tubos de aluminio

Tubo grande realizando las medidas por la seccion exterior del tubo.

Voltaje + (V) Corriente +(A) Voltaje - (V) Corriente - (A)

0.05 0.26 -0.05 -0.26

0.1 0.5 -0.1 -0.45

0.15 0.68 -0.15 -0.65

0.2 0.92 -0.2 -0.86

0.25 1.12 -0.25 -1.05

0.3 1.33 -0.3 -1.27

0.35 1.54 -0.35 -1.45

0.4 1.72 -0.4 -1.68

0.45 1.93 -0.45 -1.87

0.5 2.15 -0.5 -2.12

0.55 2.38 -0.55 -2.3

0.6 2.59 -0.6 -2.49

La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V-) tiene la siguiente

forma:

36

37

V (I) = 0,243975(Ω) ∗ I + 0,00944891(V )

Cuyo valor de la pendiente es 0.243975 y coincide con el valor de la resistencia, de la

cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el Ohm (Ω)

La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V+) tiene la siguiente

forma:

V (I) = 0,238643(Ω) ∗ I + 0,0154638(V )


cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)

Tubo mediano realizando las medidas por la seccion interior del tubo.


0.05 0.17 -0.05 -0.2

0.1 0.33 -0.1 -0.38

0.15 0.48 -0.15 -0.54

0.2 0.65 -0.2 -0.69

0.25 0.8 -0.25 -0.84

0.3 0.95 -0.3 -1.02

0.35 1.12 -0.35 -1.18

0.4 1.29 -0.4 -1.36

0.45 1.46 -0.45 -1.52

0.5 1.6 -0.5 -1.67

0.55 1.75 -0.55 -1.85

0.6 1.93 -0.6 -2.02

38


forma:

V (I) = 0,303977(Ω) ∗ I + 0,0111479(V )




forma:

V (I) = 0,31304(Ω) ∗ I − 0,00186645(V )

Cuyo valor de la pendiente es 0.31304 y coincide con el valor de la resistencia, de la cual


39

Tubo mediano realizando las medidas por la seccion exterior del tubo.


0.05 0.21 -0.05 -0.22

0.1 0.42 -0.1 -0.38

0.15 0.6 -0.15 -0.58

0.2 0.78 -0.2 -0.78

0.25 0.96 -0.25 -0.98

0.3 1.14 -0.3 -1.14

0.35 1.34 -0.35 -1.35

0.4 1.53 -0.4 -1.56

0.45 1.71 -0.45 -1.71

0.5 1.88 -0.5 -1.91

0.55 2.08 -0.55 -2.13

0.6 2.27 -0.6 -2.3


forma:

V (I) = 0,262077(Ω) ∗ I + 0,00347002(V )




forma:

V (I) = 0,26916(Ω) ∗ I − 0,00965571(V )

40



Tubo pequeno realizando las medidas por la seccion interior del tubo.


0.05 0.16 -0.05 -0.14

0.1 0.27 -0.1 -0.27

0.15 0.4 -0.15 -0.39

0.2 0.52 -0.2 -0.53

0.25 0.66 -0.25 -0.66

0.3 0.79 -0.3 -0.8

0.35 0.91 -0.35 -0.92

0.4 1.05 -0.4 -1.05

0.45 1.17 -0.45 -1.17

0.5 1.3 -0.5 -1.31

0.55 1.43 -0.55 -1.45

0.6 1.56 -0.6 -1.57


forma:

V (I) = 0,383523(Ω) ∗ I + 0,00291243(V )



41


forma:

V (I) = 0,389787(Ω) ∗ I − 0,00696863(V )



Tubo pequeno realizando las medidas por la seccion exterior del tubo.


0.00005 0.1 -0.00005 -0.13

0.0001 0.23 -0.0001 -0.24

0.00015 0.34 -0.00015 -0.37

0.0002 0.49 -0.0002 -0.51

0.00025 0.61 -0.00025 -0.64

0.0003 0.73 -0.0003 -0.77

0.00035 0.85 -0.00035 -0.88

0.0004 0.98 -0.0004 -1

0.00045 1.1 -0.00045 -1.13

0.0005 1.2 -0.0005 -1.26

0.00055 1.33 -0.00055 -1.38

0.0006 1.47 -0.0006 -1.5


forma:

V (I) = 0,000405236(Ω) ∗ I + 6,55191 ∗ 10−6(V )

42




forma:

V (I) = 0,000398754(Ω) ∗ I + 9,81593 ∗ 10−7(V )



Tubos de cobre



0.05 0.35 -0.05 -0.73

0.1 0.76 -0.1 -1.15

0.15 1.1 -0.15 -1.5

0.2 1.49 -0.2 -1.91

0.25 1.82 -0.25 -2.22

0.3 2.22 -0.3 -2.63

0.35 2.6 -0.35 -3

0.4 2.98 -0.4 -3.33

0.45 3.32 -0.45 -3.74

0.5 3.71 -0.5 -4.15

0.55 4.08 -0.55 -4.48

0.6 4.44 -0.6 -4.85

43


forma:

V (I) = 0,133992(Ω) ∗ I + 0,0511282(V )




forma:

V (I) = 0,134698(Ω) ∗ I + 0,000939248(V )



Tubo grande realizando las medidas por la seccion interior del tubo.


0.05 0.1 -0.05 -0.11

0.1 0.19 -0.1 -0.2

0.15 0.28 -0.15 -0.3

0.2 0.38 -0.2 -0.39

0.25 0.48 -0.25 -0.48

0.3 0.58 -0.3 -0.57

0.35 0.68 -0.35 -0.66

0.4 0.77 -0.4 -0.75

0.45 0.86 -0.45 -0.83

0.5 0.94 -0.5 -0.93

0.55 1.04 -0.55 -1.03

0.6 1.12 -0.6 -1.11


forma:

V (I) = 0,550299(Ω) ∗ I + 0,0125169(V )




forma:

44

V (I) = 0,532022(Ω) ∗ I − 0,00396672(V )





0.05 0.26 -0.05 -0.24

0.1 0.53 -0.1 -0.49

0.15 0.72 -0.15 -0.7

0.2 0.95 -0.2 -0.93

0.25 1.21 -0.25 -1.15

0.3 1.41 -0.3 -1.39

0.35 1.63 -0.35 -1.61

0.4 1.88 -0.4 -1.86

0.45 2.13 -0.45 -2.1

0.5 2.38 -0.5 -2.36

0.55 2.58 -0.55 -2.58

0.6 2.83 -0.6 -2.84


forma:

V (I) = 0,212611(Ω) ∗ I − 0,00165448(V )



45


forma:

V (I) = 0,215035(Ω) ∗ I − 0,00669092(V )





0.05 0.26 -0.05 -0.2

0.1 0.48 -0.1 -0.41

0.15 0.65 -0.15 -0.57

0.2 0.86 -0.2 -0.78

0.25 1.08 -0.25 -0.99

0.3 1.24 -0.3 -1.22

0.35 1.5 -0.35 -1.41

0.4 1.7 -0.4 -1.64

0.45 1.91 -0.45 -1.84

0.5 2.12 -0.5 -2.02

0.55 2.31 -0.55 -2.25

0.6 2.51 -0.6 -2.46


forma:

46

V (I) = 0,242214(Ω) ∗ I − 0,00628692(V )




forma:

V (I) = 0,24274(Ω) ∗ I − 0,011195(V )





0.05 0.19 -0.05 -0.21

0.1 0.37 -0.1 -0.44

0.15 0.56 -0.15 -0.62

0.2 0.76 -0.2 -0.84

0.25 0.96 -0.25 -1.04

0.3 1.14 -0.3 -1.23

0.35 1.35 -0.35 -1.44

0.4 1.54 -0.4 -1.64

0.45 1.73 -0.45 -1.83

0.5 1.91 -0.5 -2.05

0.55 2.12 -0.55 -2.23

0.6 2.32 -0.6 -2.42

47


forma:

V (I) = 0,249113(Ω) ∗ I − 0,00694362(V )




forma:

V (I) = 0,257954(Ω) ∗ I + 000036329(V )



48



0.05 0.38 -0.05 -0.37

0.1 0.65 -0.1 -0.64

0.15 0.95 -0.15 -0.96

0.2 1.21 -0.2 -1.23

0.25 1.44 -0.25 -1.47

0.3 1.7 -0.3 -1.74

0.35 1.99 -0.35 -1.99

0.4 2.28 -0.4 -2.22

0.45 2.57 -0.45 -2.48

0.5 2.78 -0.5 -2.75

0.55 3.07 -0.55 -2.97

0.6 3.34 -0.6 -3.21


forma:

V (I) = 0,194367(Ω) ∗ I − 0,0318249(V )




forma:

V (I) = 0,186215(Ω) ∗ I − 0,0219815(V )

49



Varillas de aluminio

Varilla gruesa.


0.05 0.29 -0.05 -0.29

0.1 0.57 -0.1 -0.62

0.15 0.79 -0.15 -0.89

0.2 1.11 -0.2 -1.14

0.25 1.4 -0.25 -1.44

0.3 1.65 -0.3 -1.72

0.35 1.96 -0.35 -1.92

0.4 2.21 -0.4 -2.33

0.45 2.51 -0.45 -2.59

0.5 2.75 -0.5 -2.87

0.55 3.07 -0.55 -3.15

0.6 3.35 -0.6 -3.4


forma:

V (I) = 0,176447(Ω) ∗ I + 0,00377957(V )



50


forma:

V (I) = 0,179533(Ω) ∗ I − 0,00094299(V )


cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el 0hmio (Ω)

Varilla delgada.


0.05 0.27 -0.05 -0.26

0.1 0.49 -0.1 -0.49

0.15 0.75 -0.15 -0.72

0.2 0.95 -0.2 -0.92

0.25 1.2 -0.25 -1.15

0.3 1.42 -0.3 -1.39

0.35 1.64 -0.35 -1.6

0.4 1.86 -0.4 -1.83

0.45 2.12 -0.45 -2.05

0.5 2.29 -0.5 -2.27

0.55 2.52 -0.55 -2.49

0.6 2.71 -0.6 -2.73

51


forma:

V (I) = 0,223698(Ω) ∗ I + 0,00868252(V )




forma:

V (I) = 0,223486(Ω) ∗ I − 0,0143266(V )



C.2. Tablas y graficas AC

Tubos de aluminio



13.2 2.7 0.064

18.27 2.41 0.088

23.06 2.11 0.108

28.31 1.82 0.13

33.05 1.55 0.148

38 1.24 0.159

43.14 0.88 0.159

48.05 0.54 0.149

53.17 0.25 0.129

58.05 0.11 0.11

63.2 0.05 0.091

68 0.03 0.081

73.3 0.01 0.059

52



13.1 2.76 0.076

18.04 2.52 0.104

23.06 2.28 0.132

28.06 2.06 0.147

33.04 1.82 0.168

38 1.55 0.18

43.08 1.26 0.184

48.04 0.93 0.177

53 0.61 0.163

58.07 0.33 0.143

63.14 0.17 0.123

68.04 0.09 0.102

73.1 0.05 0.081

78.16 0.03 0.061

83.16 0.02 0.045

88.01 0.01 0.033

53



13.2 2.67 0.034

18.03 2.38 0.044

23.04 2.11 0.053

28.05 1.84 0.063

33.02 1.56 0.071

38 1.28 0.078

43.11 0.97 0.079

48.26 0.64 0.075

53.14 0.36 0.064

58.06 0.17 0.051

63.12 0.08 0.038

68.02 0.04 0.028

73.09 0.02 0.019

78.13 0.01 0.014

54



13.2 2.65 0.079

18.03 2.37 0.107

23.06 2.09 0.135

28.05 1.79 0.162

33.01 1.52 0.188

38.17 1.23 0.212

43.14 0.92 0.227

48.02 0.61 0.232

53.18 0.32 0.227

58.25 0.14 0.213

63.1 0.07 0.198

68 0.04 0.176

73.02 0.02 0.154

78.09 0.01 0.132

55



13.19 2.6 0.068

18.03 2.32 0.092

23.05 2.04 0.116

28.08 1.76 0.14

33.03 1.48 0.163

38 1.2 0.183

43.1 0.9 0.196

48.04 0.59 0.198

53.13 0.31 0.191

58.23 0.14 0.177

63.1 0.06 0.155

68.18 0.03 0.136

73.22 0.02 0.115

78.12 0.01 0.093

56

Tubos de cobre



13,45 2,64 0,037

18,3 2,39 0,05

23,33 2,14 0,063

28,1 1,9 0,073

33,3 1,65 0,085

38,05 1,42 0,096

43,19 1,15 0,105

48,11 0,86 0,11

53,04 0,57 0,113

58,12 0,32 0,113

63,26 0,16 0,111

68,11 0,08 0,109

73,19 0,05 0,106

78,03 0,03 0,104

83,03 0,02 0,101

88,35 0,01 0,097

93,37 0,01 0,094

57



13,92 2,79 0,11

18,24 2,52 0,1443

23,21 2,22 0,181

23,21 2,19 0,188

28,39 1,88 0,227

33,5 1,53 0,256

38,15 1,24 0,278

43 0,87 0,28

48,31 0,47 0,268

53,17 0,21 0,249

58,18 0,09 0,228

63,21 0,04 0,204

68 0,02 0,181

73,04 0,01 0,156

78,08 0,01 0,13

83,64 0 0,104

93,37 0,01 0,094

58



10,80 2,85 0,072

15,12 2,59 0,100

20,12 2,31 0,132

25,31 2,03 0,165

30,24 1,77 0,194

35,15 1,49 0,218

40,27 1,13 0,224

45,10 0,76 0,238

50,21 0,41 0,221

55,26 0,19 0,199

60,28 0,09 0,177

65,08 0,04 0,154

70,32 0,02 0,129

75,14 0,01 0,106

80,14 0,01 0,084

85,13 0 0,064

59



13,71 2,77 0,063

18,00 2,51 0,080

23,19 2,23 0,099

28,15 1,97 0,116

33,05 1,70 0,131

38,18 1,39 0,139

43,05 1,03 0,131

48,09 0,66 0,116

53,19 0,34 0,095

58,25 0,15 0,075

63,06 0,08 0,056

68,05 0,04 0,039

73,09 0,02 0,026

78,10 0,01 0,018

83,25 0,01 0,013

88,10 0,00 0,009

60



12,01 2,84 0,105

17,27 2,54 0,155

22,24 2,27 0,197

27,19 2,01 0,239

32,12 1,74 0,276

37,24 1,41 0,300

42,33 1,02 0,301

47,21 0,65 0,290

52,28 0,34 0,270

57,07 0,16 0,249

62,11 0,08 0,225

67,18 0,04 0,200

72,14 0,02 0,175

77,19 0,01 0,149

82,35 0,01 0,124

87,1 0 0,101

61



13,44 2,83 0,111

18,22 2,56 0,150

23,18 2,28 0,186

28,35 2,00 0,232

33,29 1,70 0,276

38,16 1,37 0,293

43,26 0,98 0,285

48,13 0,61 0,271

53,21 0,30 0,251

58,23 0,14 0,228

63,31 0,07 0,204

68,07 0,04 0,179

73,12 0,02 0,153

78,07 0,01 0,129

83,10 0,01 0,105

88,01 0,00 0,083

62

Varillas de aluminio

Varilla gruesa

Frecuencia (kHz) Corriente (A)

13,13 2,76

18,02 2,47

23,08 2,16

28,14 1,87

33,17 1,59

38,2 1,31

43,15 1

48,12 0,68

53,07 0,38

58,04 0,18

63,2 0,08

68,06 0,04

73 0,02

78,11 0,01

63

Varilla delgada

Frecuencia (kHz) Corriente (A)

13,16 2,87

18,02 2,58

23,05 2,28

28,06 1,99

33,05 1,7

38 1,39

43,14 1,03

48,03 0,71

53,06 0,4

58 0,19

63 0,09

68,06 0,04

73 0,03

78,07 0,01

Apendice D

Materiales utilizados

A continuacion se muestran los tubos y varillas utilizados, ademas de las fuentes de

poder usadas.

Figura D.1: Tubos de aluminio de diferente radio y longitud.

65

66

Figura D.2: Tubos de cobre de diferente radio y longitud.

Figura D.3: Varillas de aluminio de diferente radio y longitud.

67

Figura D.4: Montaje para corriente directa utilizando la fuente Bench Power Supply, elamplificador de senal Universal Measuring Amplifier y dos multımetros para la medicion

de corriente y voltaje.

Figura D.5: Montaje para corriente alterna utilizando el generador de funciones y dosmultımetros para la medicion de corriente y voltaje teniendo en cuenta la frecuencia de

la senal.

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COMPROBACIÓN EXPERIMENTAL DEL EFECTO PIEL EN CONDUCTORES

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