Comportamiento Roca Dura y Fragil

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  • COMPORTAMIENTO DE LA ROCA DURA

    Prof. Antonio Karzulovic

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    COMPORTAMIENTO DE LA ROCA DURA

    Consideraciones Generales Uno de los aspectos ms importantes relativos al comporta-miento de la roca dura es su modo de ruptura. Este se determina experimentalmente mediante ensayos de mecnica de rocas (t-picamente ensayos de compresin uniaxial y triaxial), en base a cuyos resultados se determinan los parmetros que definen un criterio de falla, el cual se considera representativo de la resisten-cia de la roca.

    En Tabla 1 se resumen algunos criterios de falla para la roca. La mayora de stos se han desarrollado en trminos de esfuerzos y, si bien algunos se desarrollaron considerando una ruptura de tipo frgil, en la prctica se utilizan suponiendo en la gran mayora de los casos un comportamiento de tipo elasto-plstico (eg al usar modelos numricos).

    El suponer un comportamiento elasto-plstico significa que la ro-ca falla en forma dctil, como se ilustra en el ejemplo de Figura 1, y que las componentes cohesiva y friccionante de su resis-tencia se movilizan simultneamente hasta alcanzar la condicin de falla definida por su resistencia peak.

    Esto significa suponer que la falla ocurre a travs de mltiples superficies de falla plstica, donde el esfuerzo de corte ha alcanzado su valor mximo permisible (las llamadas lneas de Lders, ver Figura 1).

    Pero la roca dura no presenta este comportamiento sino que muestra una ruptura de tipo frgil (ver ejemplos de Figura 2), que incluye fallas por corte y tambin por traccin, frecuentemente con fracturas frescas que pueden o no interactuar con las vetillas se-lladas pre-existentes en la pro-beta de roca (caso muy frecuente en la minera).

    As, la curva carga-deformacin de la roca primaria muestra una notoria perdida de resistencia en su rama post-peak.

    Es bien sabido que la forma de ruptura en compresin triaxial de una probeta de roca puede variar de frgil a dctil dependiendo de la presin de confinamiento, como se ilustra en el ejemplo de Figura 3. Mogi (1966) investig esta transicin, concluyendo que para la mayora de las rocas poda expresarse mediante la relacin:

    31 4.3 S S = (1) donde S3 es el esfuerzo principal menor (presin de confinamiento) y S1 es el esfuerzo principal mayor. En otras palabras, se tendr una ruptura frgil cuando sta ocurre para valores de S1 menores que 3.4 veces la presin de confinamiento y un comportamiento dctil en caso contrario.

    Figura 1: Ejemplo de falla plstica en una probeta de caliza a elevada presin de confinamiento (Farmer, 1983).

    Figura 2: Algunos ejemplos de falla de tipo frgil en probetas de piedra Portland ensayadas con confinamientos de 0 a 28 MPa (Farmer, 1983).

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    Tabla 1 ALGUNOS CRITERIOS DE FALLA UTILIZADOS PARA LA ROCA

    Criterio Autor(es) Fecha Ecuacin Comentarios Referencia

    Coulomb Coulomb 1773 131 S

    A S

    CC

    +=

    S1 y S3 son los esfuerzos efectivos principal mayor y menor, respectivamente, C es la resistencia en compresin uniaxial, A es una constante que se determina experimentalmente. En su forma ms comn este criterio se define en trminos de la cohesin, c, y del ngulo de friccin, . Puede demostrarse que C puede definirse en funcin de c y , y que A puede definirse en funcin de . Criterio desarrollado para ruptura por corte.

    Jaeger & Cook (1979)

    Mximo Esfuerzo de

    Corte Tresca 1868 0

    31max 2

    S SS

    == max es el mximo esfuerzo corte, S1 y S3 son los esfuerzos efectivos principales mayor y menor, respectivamente, y S0 es la resistencia que debe determinarse experimentalmente. Criterio desarrollado para falla dctil.

    Nadai (1950)

    Mxima Deformacin

    Elstica Saint Venant 1870 ( ) oS SS S =+ 321

    es la razn de Poisson, S1, S2 y S3 son los esfuerzos efectivos principales mayor, intermedio y menor, respectivamente, y S0 es la resistencia que debe determinarse experimentalmente. Criterio desarrollado para ruptura frgil.

    Nadai (1950)

    Von Mises Von Mises 1913 ( ) ( ) ( ) 0213232221 S SS SS SS =++ S1, S2 y S3 son los esfuerzos efectivos principales mayor, intermedio y menor, respectivamente, y S0 es la resistencia que debe determinarse experimentalmente. Criterio desarrollado para falla dctil.

    Harr (1966)

    Griffith Griffith 1921 ( ) ( )

    03038

    313

    31312

    31

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    Tabla 1 (continuacin) ALGUNOS CRITERIOS DE FALLA UTILIZADOS PARA LA ROCA

    Criterio Autor(es) Fecha Ecuacin Comentarios Referencia

    Griffith Modificado

    McClintock & Walsh 1962 ( )( )( ) ( ) T SS A A S S 41 315.0231 =++

    S1 y S3 son los esfuerzos efectivos principal mayor y menor, respectivamente, T es la resistencia en traccin, y A es un parmetro que se determina experimentalmente. Criterio desarrollado para la ruptura de un material que contiene numerosas grietas que no interactan entre s, y que exhiben deslizamiento friccionante en su plano.

    McClintock & Walsh (1962)

    Griffith Extendido Murrel 1963 1

    31 S

    A S

    a

    CC

    +

    =

    S1 y S3 son los esfuerzos efectivos principal mayor y menor, respectivamente, C es la resistencia en compresin uniaxial, A y a son constantes que se determinan experimentalmente. Criterio desarrollado para ruptura frgil.

    Muriel (1963)

    Fairhurst Fairhurst 1964 ( ) ( ) B S S A S S ++= 31231 S1 y S3 son los esfuerzos efectivos principal mayor y menor, respectivamente, A y B con constantes que se determinan experimentalmente. En su definicin original estas constantes dependen de la resistencia en compresin uniaxial, C , y en traccin, T. Criterio desarrollado para ruptura frgil.

    Fairhurst (1964)

    Franklin Franklin 1971 ( ) a C

    3

    C

    S S A S

    S

    311 ++=

    S1 y S3 son los esfuerzos efectivos principal mayor y menor, respectivamente, C es la resistencia en compresin uniaxial, A y a con constantes que se determinan experimentalmente. Criterio desarrollado para ruptura en compresin triaxial.

    Franklin (1971)

    Bieniawski Bieniawski 1974 1.022

    3131 S S

    A S S

    a

    CC

    +

    +=

    S1 y S3 son los esfuerzos efectivos principal mayor y menor, respectivamente, C es la resistencia en compresin uniaxial, A y a con constantes que se determinan experimentalmente. Criterio desarrollado para ruptura por corte.

    Bieniawski (1974)

    Hoek-Brown Hoek & Brown 1980 S

    m S

    S

    Ci

    CC

    1331 ++=

    S1 y S3 son los esfuerzos efectivos principal mayor y menor, respectivamente, C es la resistencia en compresin uniaxial, mi es una constantes que se determina experimentalmente. Criterio desarrollado para ruptura frgil.

    Hoek & Brown (1980)

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    Tabla 1 (continuacin) ALGUNOS CRITERIOS DE FALLA UTILIZADOS PARA LA ROCA

    Criterio Autor(es) Fecha Ecuacin Comentarios Referencia

    Mxima Deformacin Extensional

    Stacey 1981 ( )( ) critic SS SE += 3131

    es la deformacin unitaria en la direccin de S3, E es el mdulo de deformabilidad de la roca y su razn de Poisson, S1, S2 y S3 son los esfuerzos efectivos principales mayor, intermedio y menor, respectivamente, y critic es la deformacin unitaria que produce la ruptura y debe determinarse experimentalmente. Criterio desarrollado para roca dura de ruptura frgil.

    Stacey (1981)

    Yudhbir Yudhbir 1983 B S

    A S

    a

    CC

    +

    =

    31 S1 y S3 son los esfuerzos efectivos principal mayor y menor, respectivamente, C es la resistencia en compresin uniaxial, A, B y a con constantes que se determinan experimentalmente. Desarrollado para falla dctil.

    Yudhbir et al (1983)

    Ramamurthy Ramamurthy 1985

    +=

    a C

    C

    3

    C S A

    S

    S

    3

    1 1

    S1 y S3 son los esfuerzos efectivos principal mayor y menor, respectivamente, C es la resistencia en compresin uniaxial, y A y a son parmetros que se determinan experimentalmente. Desarrollado para ruptura por corte.

    Ramamurthy et al (1985)

    Sheorey Sheorey 1989 a

    TC

    S A

    S

    +=

    31 1

    S1 y S3 son los esfuerzos efectivos principal mayor y menor, respectivamente, C es la resistencia en compresin uniaxial, T es la resistencia en traccin, y A y a son parmetros que se determinan experimentalmente. Desarrollado para ruptura por corte.

    Sheorey et al (1989)

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    (i) Evolucin de las curvas carga-deformacin en probe-tas de mrmol Wonbeyan a medida que aumenta la presin de confinamiento (tomada de Paterson & Wong, 2005)

    (ii) Tipos de falla en probetas de mrmol Wonbeyan a di-ferentes presiones de confinamiento: (a) ruptura fr-gil por clivaje vertical, sin confinamiento, (b) ruptura frgil a lo largo de un nico plano de corte, confina-miento de 3.5 MPa, (c) falla semi-dctil segn planos de corte conjugados, confinamiento de 35 MPa, (d) falla dctil, confinamiento de 100 MPa (tomada de Paterson & Wong, 2005).

    Figura 3: Efecto de la presin de confinamiento en el comportamiento carga-deformacin y el modo de falla en probetas de mrmol Wonbeyan.

    Esta transicin se ilustra en el ejemplo de Figura 4 (tomada de Hoek & Brown, 1980), donde se observa que los resultados experimentales obtenidos para la caliza de Indiana por Schwartz (1964) comienzan a desviarse de la envolvente de Hoek-Brown (desarrollada suponiendo una ruptura de tipo frgil) una vez que se excede el lmite definido por la ecuacin (1), conocido como lnea de Mogi.

    Mogi (1965,1966) indica tambin que tpicamente la presin de confinamiento necesaria para la transicin de comportamiento frgil a dctil esta asociada a la resistencia de la roca, aumentando al aumentar sta.

    Los valores de presiones de transicin que se resean en Tabla 2, para distintos tipos de roca, indican que en el caso de una roca dura y compacta se requerira una presin de confinamiento mucho mayor que 100 MPa para lograr un comportamiento dctil.

    Presin de Confinamiento

    Deformacin Unitaria

    Esf

    uerz

    oD

    esvi

    ador

    , S1

    -S3

    (MPa

    )Presin de Confinamiento

    Deformacin Unitaria

    Esf

    uerz

    oD

    esvi

    ador

    , S1

    -S3

    (MPa

    )

    0 5 10

    10

    15

    20

    25

    S3 (kips)

    S1 (kips)

    1 kips = 34.5 MPa

    Lnea de Mogi

    Envolventede Ruptura

    de Hoek-Brown

    DUCTIL

    FRAGIL

    0 5 10

    10

    15

    20

    25

    S3 (kips)

    S1 (kips)

    1 kips = 34.5 MPa

    Lnea de Mogi

    Envolventede Ruptura

    de Hoek-Brown

    DUCTIL

    FRAGIL

    Figura 4: Transicin de comportamiento fr-gil a dctil en la caliza de Indiana segn re-sultados obtenidos por Schwartz (1964) (tomada de Hoek & Brown, 1980).

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    Tabla 5.2 PRESIN DE TRANSICIN FRGIL-DCTIL DE ALGUNAS ROCAS A TEMPERATURA AMBIENTE (modificada de Paterson & Wong, 2005)

    Roca n pt (MPa) Referencia

    Anhidrita - - - 100 Handin & Hager (1957)

    Arenisca 10% 200 a 300

    Arenisca 20% < 100 Edmond & Paterson (1972), Hoshino et al (1972), Schock

    et al (1973), Bergues et al (1974), Wong et al (1997)

    Basalto 5% 300 Shimada & Yukutake (1982)

    Caliza 16% 10 a 20 Vajdova et al (1004)

    Caliza de Solenhofen - - - 100 Heard (1960)

    Clorita - - - 300 Murrel & Ismail (1976)

    Cuarcita 7% 600 Hadizadeh & Rutter (1983), Hirth & Tullis (1989)

    Cuarcita compacta - - - hasta 1200 Paterson & Wong (2005)

    Dolomita - - - 100 a > 200 Handin & Hager (1957), Mogi (1971)

    Esquistos media a alta < 100 Handin & Hager (1957), Hoshino et al (1972)

    Granitos duros - - - hasta 3000 Paterson & Wong (2005)

    Lavas porosas alta 30 a 100 Mogi (1965), Hoshino et al (1972)

    Limolitas media a alta < 100 Handin & Hager (1957), Hoshino et al (1972)

    Mrmoles de grano grueso - - - 20 a 30 Heard (1960)

    Mrmol de Carrara - - - 60 Jaeger & Cook (1979) Mrmol de Tennessee - - - 48 MPa Brady & Brown (2004)

    Sal Gema - - - < 20 Handin (1953)

    Serpentinita - - - 300 a 500 Raleigh & Paterson (1965), Escartin et al (1997)

    Talco - - - 400 Edmond & Paterson (1972)

    Tiza porosa 43% < 10 Homand & Shao (2000)

    Yeso - - - 40 Murrel & Ismail (1976)

    n porosidad de la roca pt presin de transicin

    Comportamiento Observado en Rocas Duras de Ruptura Frgil En Figura 5 se muestra el comportamiento tpico de una probeta de roca dura de ruptura frgil, correspondiente al granito Lac du Bonnet, en un ensayo de compresin uniaxial. En esta figura se muestran las curvas carga-deformacin axial, carga-deformacin lateral y deformacin volumtrica-deformacin axial. El comportamiento carga-deformacin-ruptura de la probeta puede describirse de la manera siguiente1:

    Etapa I: En esta primera etapa se produce el cierre de las discontinuidades pre-existentes en la probeta (eg microfracturas), el comportamiento carga-deformacin es no lineal, y no se producen eventos de emisin acstica. Esta etapa puede estar presente o no, depen-diendo de la presencia de discontinuidades pre-existentes en la probeta.

    1 Esta descripcin se basa en el trabajo de Martin & Chandler (1994). Otras descripciones pueden encontrarse en los trabajos

    de Jaeger & Cook (1979), Price (1979), Goodman (1989) y otros.

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    Etapa II: Comienza a desarrollarse una vez que las discontinuidades pre-existentes se han cerra-do. En esta etapa la roca presenta comportamiento linealmente elstico, y no se producen eventos de emisin acstica. Esta etapa dura hasta que el esfuerzo de compresin alcanza una magnitud, ci, suficiente para que se inicie el agrietamiento de la roca, la cual tpicamente es del orden del 30% al 50% de la resistencia en compresin uniaxial de la roca, c. Este esfuerzo ci ha sido denominado esfuerzo de inicio del agrietamiento (crack-initiation stress). Resultados experimentales demuestran que hasta este nivel de carga el dao inducido en la probeta es mnimo en lo que se refiere a prdida de resistencia (eg Hoek & Bieniawski, 1965, Bieniawski, 1967, y Haimson & Kim, 1972).

    Cierrede

    grietas

    Deformacin volumtrica por agrietamiento

    Crecimientode las grietas

    Deformacin Axial (%)

    Deformacin Lateral (%)

    Esfuerzo Axial (MPa)

    Cierre de grietas pre-existentes

    Comportamiento elstico

    Inicio del agrietamiento

    Agrietamiento estable

    Con

    tracc

    in

    Expa

    nsi

    n

    Strain gauge lateral

    Strain gauge axial

    Deformacin volumtrica total

    medida

    Deformacin Axial (%)

    I

    I

    II

    II

    III

    III

    IV

    IVAgrietamiento

    inestable

    V

    V

    Inic

    io d

    el tr

    amo

    post

    -pea

    k

    ci 0.8c

    0.4cE

    cdc

    Cierrede

    grietas

    Deformacin volumtrica por agrietamiento

    Crecimientode las grietas

    Deformacin Axial (%)

    Deformacin Lateral (%)

    Esfuerzo Axial (MPa)

    Cierre de grietas pre-existentes

    Comportamiento elstico

    Inicio del agrietamiento

    Agrietamiento estable

    Con

    tracc

    in

    Expa

    nsi

    n

    Strain gauge lateral

    Strain gauge axial

    Deformacin volumtrica total

    medida

    Deformacin Axial (%)

    I

    I

    II

    II

    III

    III

    IV

    IVAgrietamiento

    inestable

    V

    V

    Inic

    io d

    el tr

    amo

    post

    -pea

    k

    ci 0.8c

    0.4cE

    cdc

    Figura 5: Curvas carga-deformacin de una probeta de granito Lac du Bonnet en compresin uniaxial, donde se muestra el esfuerzo que inicia el agrietamiento (ci), el esfuerzo que inicia el dao por agrietamiento con propagacin inestable (cd), y el esfuerzo que define la resistencia (peak) en compresin uniaxial de la probeta (c). En este ensayo se mide la carga y las deformaciones axiales y laterales; mientras que la deformacin volumtrica total se obtiene de la suma de las deformaciones principales, y al restrsele su componente elstica se obtiene la deformacin volumtrica causada por el agrietamiento (to-mada de Martin & Chandler, 1994).

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    Etapa III: En la probeta aparecen grietas que se propagan en forma estable, y se registran eventos de emisin acstica. La curva carga-deformacin se desva levemente del comporta-miento elstico y el modo de incremento de deformacin volumtrica cambia de contrac-cin a expansin, debido al aumento de volumen causado por las grietas, fenmeno que se denomina dilatancia2. Esta etapa dura hasta que el esfuerzo de compresin alcanza una magnitud, cd, tal que las grietas comienzan a propagarse en forma inestable, la cual tpicamente es del orden del 70% al 85% de de la resistencia en compresin uniaxial de la roca, c. Este esfuerzo cd ha sido denominado esfuerzo de dao por agrietamiento (crack-damage effect).

    Etapa IV: El comportamiento carga-deformacin se hace cada vez menos lineal, y aumentan fuerte-mente la dilatancia y el nmero de eventos de emisin acstica. Esta etapa se caracteriza por la ocurrencia de los cambios ms significativos en la probeta, con un muy fuerte aumento de la densidad de micro-grietas y la formacin de planos de ruptura por corte (Hallbauer et al, 1973). Esta etapa dura hasta que se alcanza la resistencia en compresin uniaxial de la probeta3, c.

    Etapa V: Al alcanzarse la resistencia peak se produce la falla frgil de la roca, por lo la pendiente de la curva carga-deformacin axial se hace negativa, y disminuye progresivamente la carga que puede soportar la probeta en la medida que continua aumentando su deforma-cin axial4. Al inicio de esta etapa pueden generarse fracturas por corte, pero en general se generan pocas grietas nuevas y la deformacin est asociada al deslizamiento relativo y reacomodo de trozos de roca. En esta etapa disminuye notoriamente el nmero de eventos de emisin acstica. Para deformaciones suficientemente grandes se alcanzar la resistencia residual de la probeta.

    El mecanismo de ruptura frgil fue estudiado por Waversik & Fairhurst (1970), quienes obtuvieron curvas competas carga-deformacin para distintos tipos de roca (ver Figura 6) y observaron que el comportamiento post-peak de la roca poda dividirse en dos clases, como se ilustra en el esquema de Figura 7:

    Clase I: La ruptura ocurre en forma estable, en el sentido que es pre-ciso realizar trabajo para seguir degradando la resistencia de la probeta de roca. En este caso es posible obtener la curva completa carga-deformacin si se utiliza una mquina de carga suficientemente rgida5.

    2 Cook (1970) demostr experimentalmente que la dilatancia es una propiedad volumtrica omnipresente (pervasive) en las

    rocas de ruptura frgil. 3 En esta discusin se ha supuesto que el ensayo de compresin uniaxial se realiza de acuerdo a los estndares comnmen-

    te utilizados en mecnica de rocas, o sea de acuerdo a las recomendaciones de la ISRM y/o las normas ASTM. 4 Para obtener el tramo post-peak de la curva carga-deformacin debe emplearse una mquina de carga rgida y/o servo-

    asistida. En caso contrario la probeta sufrira un ruptura sbita al alcanzarse la resistencia peak, y no sera posible obtener la curva carga-deformacin completa (eg ver Brady & Brown, 2004).

    5 Una breve discusin respecto al efecto de la rigidez de la mquina de carga en los ensayos de compresin de probetas de roca y al uso de mquinas servo-controladas, puede encontrase en Brady & Brown (2004). Por otra parte, Hawkes & Mellor (1970) presentan una discusin muy detallada de los ensayos de carga uniaxial en mecnica de rocas.

    Esf

    uerz

    o A

    xial

    (MP

    a)

    Deformacin Axial (%)

    Granito gris II

    Basalto

    Caliza de Solenhofen

    Granito gris I

    Caliza de Indiana

    Mrmol de Tennessee

    Clase I

    Clase II

    Esf

    uerz

    o A

    xial

    (MP

    a)

    Deformacin Axial (%)

    Granito gris II

    Basalto

    Caliza de Solenhofen

    Granito gris I

    Caliza de Indiana

    Mrmol de Tennessee

    Clase I

    Clase II

    Figura 6: Curvas completas carga-deformacin (que incluyen la rama post-peak), obtenidas en distintos tipos de roca (Waversik & Fairhurst, 1970).

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    Clase II: La ruptura ocurre en forma inestable, en el sentido que se contina propagando a menos que se extraiga energa de la probeta de roca. En este caso para obtener la curva completa carga-deformacin es necesario utilizar una mquina de carga servo-controlada. Los experimentos de Waversik & Fairhurst (1970) e investigadores posteriores, indican que en el caso de rocas duras ensayadas en compresin uniaxial pueden ocurrir dos tipos de fractura: y Fracturas locales por traccin, preferentemente

    orientadas paralelamente a la direccin de carga. y Fracturas locales y globales (a escala probeta) por

    corte.

    El predominio relativo de uno u otro tipo de fracturas depende de la resistencia, grado de anisotropa, fragilidad, textura y mineraloga de la roca; sin embargo, siempre ocurren primero las fracturas axiales por traccin.

    En el caso de rocas muy heterogneas las fracturas axiales por traccin corresponden frecuentemente al principal modo de ruptura de la roca hasta alcanzar la resistencia peak, tanto en rocas de la Clase I como de la Clase II. Esto ocurre por concentraciones locales del campo de esfuerzos debido a las heterogenei-dades de la roca, y estas fracturas axiales pueden seguir ocurriendo incluso en el tramo post-peak del ensayo de compresin6. Por otra parte, en el caso de rocas homogneas de grano fino no se producen estas concentracio-nes locales de esfuerzos, y el inicio de las fracturas y su propagacin ocurren en forma casi simultnea. Como se muestra en Figura 9, para el rango de presiones de confinamiento que usual-mente interesa en ingeniera, las rocas duras y frgiles muestran un fuerte reblandecimiento o prdida de resistencia post-peak. Esto se debe al desarrollo de rupturas por corte globales a escala de la probeta, las cuales comienzan a ocurrir una vez que se excede el esfuerzo de dao por fracturamiento, cd, como se ilustra en el ejemplo de Figura 8. Los resultados presentados por Schmidtke & Latjai (1985) demuestran que la resistencia peak, c, comnmente usada parra definir la resistencia en compresin uniaxial de la roca, solo puede ser soportada por la probeta un corto periodo de tiempo.

    6 La ocurrencia de una ruptura por corte a lo largo de una superficie bien definida muchas veces se debe a efectos asociados

    a la poca rigidez de la maquina de carga (Brady & Brown, 2004).

    Deformacin Axial

    Esf

    uerz

    o Ax

    ial

    Clase II

    Clase I

    Deformacin Axial

    Esf

    uerz

    o Ax

    ial

    Clase II

    Clase I

    Figura 7: Clases de comportamiento post-peak en las rocas de ruptura frgil (Waversik & Fairhurst, 1970)

    Desplazamiento Axial (mm)

    Esf

    uerz

    o D

    esvi

    atr

    ico

    (MPa

    )D

    efor

    mac

    in

    103

    a

    Desplazamiento Axial (mm)

    Esf

    uerz

    o D

    esvi

    atr

    ico

    (MPa

    )D

    efor

    mac

    in

    103

    a

    Figura 8: Desarrollo de un plano de ruptura en una probeta de granito Lac du Bonnet (conforme a resultados de Lockner et al, 1992). Los esquemas (a) a (f) muestran la posicin de los eventos de emisin acstica en distintas etapas del ensayo, e indican claramente que al excederse cd comienza a formarse un plano global de ruptura (Martin, 1997)

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    - 10 -

    Conforme con esto, Martin & Chandler (1994) sugieren que la resistencia de largo plazo queda definida por el esfuerzo de dao por agrietamiento, cd, y que ste y el esfuerzo de inicio del agrieta-miento, ci, son parmetros propios de la roca y, a diferencia de c, independientes del volumen de la probeta, como sugieren los resultados de Figura 10. Martin & Chandler (1994) realizaron ensayos lentos sobre probetas de granito Lac du Bonnet de 200 mm, con una velocidad de carga de 0.00075 MPa/s (1000 veces menor que la comnmente usada en los ensayos de mecnica de rocas), concluyendo que con las condiciones de borde apropiadas (velocidad de carga, rigidez de la mquina de carga, etc.), la resistencia de la roca era del orden del 80% del valor medido en los ensayos estndar (c), lo que concuerda con los resultados de Schmidtke & Latjai (1985).

    Deformacin Axial (MPa)

    Esfu

    erzo

    Axi

    al (M

    Pa)

    Deformacin Axial (MPa)

    Esfu

    erzo

    Axi

    al (M

    Pa)

    Figura 9: Curvas completas carga-deformacin para distintas presiones de confinamiento en el granito Lac du Bonnet (Martin, 1997).

    Esfu

    erzo

    Axi

    al (M

    Pa)

    Resistencia peak

    Probetas estndar URL

    Media + Desviacin Estndar

    Media

    Media

    Dimetro de la Probeta (mm)

    Esfu

    erzo

    Axi

    al (M

    Pa)

    Resistencia peak

    Probetas estndar URL

    Media + Desviacin Estndar

    Media

    Media

    Dimetro de la Probeta (mm)

    Figura 10: Efecto del tamao de la probeta en los valores de ci, cd y c, obtenidos en 53 muestras de granito Lac du Bonnet provenientes del Nivel 240 del URL (Martin, 1997).

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    - 11 -

    Para evaluar el efecto del dao acumulado en la probeta en los niveles de esfuerzo requeridos para iniciar el agrietamiento y para iniciar el dao por agrietamiento, Martin & Chandler (1994) definen el parmetro de dao , como el valor acumulado de la deformacin volumtrica permanente al someter la probeta a una serie de ciclos de carga-descarga:

    (%)1

    n

    i

    pvi

    == (2)

    donde pvi es la deformacin volumtrica permanente asociada al i-simo ciclo de carga-descarga (ver Figura 11). En base a los resultados obtenidos, Martin & Chandler (1994) concluyen que el esfuerzo para el inicio del agrietamiento, ci, permanece razonablemente constante y puede considerarse independiente del dao acumulado en la probeta (ver Figura 12), pero el esfuerzo de dao por agrietamiento, cd, se reduce notablemente en la medida que aumenta el dao en la probeta (ver Figura 13).

    Figura 11: Curvas de carga-descarga y definicin del parmetro de dao como el valor acu-mulado de la deformacin volumtrica asociada al i-simo ciclo de carga-descarga (Martin & Chandler, 1994).

    Parmetro de Dao, (%)

    Esf

    uerz

    o A

    xial

    (MP

    a)

    Granito Lac du BonnetNivel 420 URL

    Muestra MB 124205S3 = 2 MPa

    Parmetro de Dao, (%)

    Esf

    uerz

    o A

    xial

    (MP

    a)

    Granito Lac du BonnetNivel 420 URL

    Muestra MB 124205S3 = 2 MPa

    Figura 12: Variacin de ci (puntos rojos), cd (puntos azules) y c (puntos amarillos) con el pa-rmetro de dao , en una probeta de granito Lac du Bonnet con un confinamiento de 2 MPa (Martin & Chandler, 1994).

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    - 12 -

    Por otra parte, en la medida que aumenta el dao en la probeta se produce una reduccin de su mdulo de deformabilidad, E, y un aumento de su razn de Poisson, (ver Figura 14). Esta reduccin del mdulo para un nivel dado de dao es, en trminos relativos, menor que la reduccin de resistencia y tiende a disminuir en la medida que aumenta el esfuerzo de confinamiento.

    El locus de la variacin de con define muestra claramente la existencia de dos fases de desarrollo del agrietamiento en la probeta. En la primera fase (rama pre-peak de la curva carga-deformacin) crece rpidamente, debido a un significativo aumento del agrietamiento en la probeta. En la segunda fase (rama post-peak de la curva carga deformacin), muestra un comportamiento errtico, aunque siempre de tendencia creciente, asociado a la ocurrencia de rupturas por corte (ver Figura 14).

    Parmetro de Dao, (%)

    Esf

    uerz

    o A

    xial

    (MP

    a) Resistencia Peak

    Resistencia PeakS3 = 2 MPa

    Nivel 420

    Locus del daopor agrietamiento

    Cantera Coldspring

    Parmetro de Dao, (%)

    Esf

    uerz

    o A

    xial

    (MP

    a) Resistencia Peak

    Resistencia PeakS3 = 2 MPa

    Nivel 420

    Locus del daopor agrietamiento

    Cantera Coldspring

    Parmetro de Dao, (%)

    Esf

    uerz

    o A

    xial

    (MP

    a) Resistencia Peak

    Resistencia PeakS3 = 2 MPa

    Nivel 420

    Locus del daopor agrietamiento

    Cantera Coldspring

    Figura 13: Locus de la variacin de la resistencia peak, c, y el esfuerzo de dao por agrieta-miento, cd, en funcin del dao por agrietamiento definido por el parmetro . Note la fuerte cada en el locus de cd poco antes de que se alcance el valor mximo de c (Martin, 1997).

    Parmetro de Dao, (%)

    Mod

    ulo

    de D

    efor

    mab

    ilida

    d, E

    (GP

    a)

    Razn de P

    oisson,

    Modulo de Deformabilidad

    Razn de Poisson

    = 0.5

    par

    a c p

    eak

    Parmetro de Dao, (%)

    Mod

    ulo

    de D

    efor

    mab

    ilida

    d, E

    (GP

    a)

    Razn de P

    oisson,

    Modulo de Deformabilidad

    Razn de Poisson

    = 0.5

    par

    a c p

    eak

    Parmetro de Dao, (%)

    Mod

    ulo

    de D

    efor

    mab

    ilida

    d, E

    (GP

    a)

    Razn de P

    oisson,

    Modulo de Deformabilidad

    Razn de Poisson

    = 0.5

    par

    a c p

    eak

    Figura 14: Variacin del mdulo de deformabilidad, E, y de la razn de Poisson, , en funcin del dao por agrietamiento definido por el parmetro . Cuando excede 0.5 deja de tener sentido como constante elstico, y debe considerarse slo como un parmetro que relaciona las deformaciones laterales y axiales de la probeta (Martin & Chandler, 1994).

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    - 13 -

    Considerando los anlisis de Berry (1960), para el crecimiento de grietas sujetas a traccin y de Cook (1965), para el crecimiento de grietas sujetas a corte y la definicin que hace Cook (1965) del locus de Griffith que delimita el crecimiento de las grietas (ver Figura 15), Martin & Chandler (1994) usan sus resultados experimentales para estudiar la relacin entre el locus de dao por agrietamiento y la curva carga deformacin, como se muestra en Figura 16.

    Esta figura muestra que se produce una reduccin total de cd en el dcimo incremento de dao, antes de que se alcance la resistencia peak de la probeta de roca. Si se considera que el dao por agrietamiento esta asociado a la ocurrencia de deslizamientos en las grietas, entonces el locus del dao por agrietamiento (locus de cd) corresponde al locus del esfuerzo requerido para iniciar este deslizamiento, denominado locus de Griffith por Cook (1965), quien define la deformacin crtica a la cual ocurre este deslizamiento como:

    ( ) ( )

    +++

    =2

    2122

    31

    31 fscr

    WW

    S Sn

    GS S

    (3)

    123

    axial

    axial

    Trayectoria de descarga de un sistema de carga rgido

    Trayectoria de descarga de un sistema de carga no rgido

    Energa cintica

    Locus de Griffith

    Energa superficial de fractura

    EDC

    A

    123

    axial

    axial

    Trayectoria de descarga de un sistema de carga rgido

    Trayectoria de descarga de un sistema de carga no rgido

    Energa cintica

    Locus de Griffith

    Energa superficial de fractura

    EDC

    A

    123

    axial

    axial

    Trayectoria de descarga de un sistema de carga rgido

    Trayectoria de descarga de un sistema de carga no rgido

    Energa cintica

    Locus de Griffith

    Energa superficial de fractura

    EDC

    A

    Figura 15: Forma general del locus de Griffith definido por Cook (1965). El tramo AB, durante la primera etapa de crecimiento de las grietas, corresponde a una rpida prdida de resistencia sin aumento de la deformacin axial. A menos que la energa liberada por las zonas con deformacin elstica acumulada en la vecindad de la grieta que se propaga sea removida del sistema, sta se transformar en energa cintica. En la prctica, no es posible seguir la trayectoria AB ya que, incluso una mquina de carga rgida tiene una rigidez finita, repre-sentada por AC. Por lo tanto una grieta que se inicia con un esfuerzo A se propagar dinmicamente. El ex-ceso de energa de deformacin elstica, correspondiente al rea ABC, acelerar el crecimiento de la grieta, la cual continuar extendindose incluso si el esfuerzo se reduce a c. Al continuar disminuyendo el esfuerzo, cuando el exceso de energa de deformacin ABC se haga igual a la energa de deformacin CDE, que es la energa superficial de fractura requerida para formar la grieta ms larga, que define una menor rigidez, OE, pa-ra la roca. Estas grietas se encuentran ahora en un nivel de carga subcrtico, e, y no continuarn extendin-dose hasta que el nivel de esfuerzo alcance el valor d. As, el locus de Griffith queda definido por dos elemen-tos bsicos: la rigidez inicial de la roca, que define la posicin del tramo OA, y las caractersticas de las grietas, que definen la forma y posicin del tramo BCD (Martin & Chandler, 1994).

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    - 14 -

    en que:

    ( ) ( ) 2214

    cG

    W ns = (4)

    ( ) ( ) 212

    cG

    W nnf = (5)

    ( )( )218

    n G c

    = (6)

    donde G es el mdulo de corte, es la razn de Poisson, es la friccin a lo largo de las caras de las grietas, es el esfuerzo de corte en la direccin del deslizamiento, n es el esfuerzo normal sobre la superficie de las grietas, 2c es el largo de las grietas, n es el nmero de grietas por unidad de volumen, y es la energa de fractura por unidad de superficie (ver Cook, 1965). Si se considera una condicin de compresin triaxial, se supone que las grietas estn orientadas en forma paralela al esfuerzo principal intermedio y tienen una inclinacin respecto a la direccin del esfuerzo principal mayor, se tiene que:

    2cos22

    3131 S S S S n+= (7)

    Deformacin Axial (%)

    Esfu

    erzo

    Axi

    al (

    MP

    a)C

    ontr

    acci

    nD

    ilata

    cin Resistencia

    Peak

    Incrementode dao No 10

    V/V

    (%)

    Incrementode dao No 3

    Resistencia Peak

    3 = 2 MPa

    Peak

    Peak

    cdLocus de cd

    Locus de cd

    Deformacin Axial (%)

    Esfu

    erzo

    Axi

    al (

    MP

    a)C

    ontr

    acci

    nD

    ilata

    cin Resistencia

    Peak

    Incrementode dao No 10

    V/V

    (%)

    Incrementode dao No 3

    Resistencia Peak

    3 = 2 MPa

    Peak

    Peak

    cdLocus de cd

    Locus de cd

    Figura 16: Variacin del esfuerzo de dao por agrietamiento y de la resistencia peak con la de-formacin axial, donde se muestra tambin la deformacin volumtrica correspondiente a cada incremento de dao. Ntese la fuerte reduccin de cd antes de que se alcance la resistencia peak (Martin & Chandler, 1994).

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    - 15 -

    2cos22

    3131 S S S S n+= (8)

    2sin2

    31 S S = (9) La mecnica de fracturas indica que:

    G = 2 (10) donde G es la tasa de liberacin de energa de deformacin por unidad de rea, y corresponde a una propiedad de material. En la condicin de falla de la roca:

    G = Gc (11)

    Kemeny & Cook (1987) calcularon que para el granito de Westerly Gc es igual a 1.05 J/m2. Utilizando este mismo valor para el granito Lac du Bonnet, y estimado n en funcin de los resultados de un ensayo de compresin uniaxial, Martin & Chandler (1994) estimaron los valores de cr para presiones de confinamiento de 2, 15 y 30 MPa. En Figura 5.17 se compara esta estimacin con los resultados experimentales, y se observa una cierta desviacin que aumenta al crecer la presin de confinamiento; sin embargo, esto se debe a que no se efectu una correccin para incorporar el incremento de la rigidez de la probeta de roca debido a la presin de confinamiento (de 30 GPa para el caso no confinado, a unos 60 GPa para un confinamiento de 30 MPa). Incluso sin esta correccin, la concordancia de los resultados experimentales con la prediccin puede considerarse aceptable.

    Segn Cook (1965) la condicin crtica se produce cuando:

    ( ) ( ) 412

    2

    cG

    n (12)

    Deformacin Axial (%)

    Esfu

    erzo

    Axi

    al (

    MP

    a)

    Deformacin Axial (%)

    Esfu

    erzo

    Axi

    al (

    MP

    a)

    Figura 17: Locus del dao por agrietamiento en granito Lac du Bonnet para distintas presiones de con-finamiento (Martin & Chandler, 1994).

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    - 16 -

    Introduciendo (9) en (12) se puede definir la resistencia de la roca en la forma generalizada de Mohr-Coulomb, y el esfuerzo principal mayor que causa la falla de la roca queda dado por:

    ( )( )

    tan1tan

    1

    tan1cossin1

    8

    31

    ++

    = S cG

    S (13)

    por otra parte, se puede demostrar que el valor crtico de es:

    1tan

    21 1= cr (14)

    con lo que resulta:

    ( )

    +++++

    =2

    2

    321 11

    11

    8

    S c

    G

    S (15)

    considerando que:

    tan = (16) donde es el ngulo de friccin, se llega a la siguiente definicin para la resistencia de la roca:

    ( ) NS N

    cG S 31 1

    22 += (17) en que:

    +=2

    45tan2 N (18) La ecuacin (5.17) indica que la resistencia de la roca, definida en trminos del dao por agrieta-miento, queda definida por una recta en el espacio S1 - S3. Como se muestra en Figura 18, esto concuerda con los resultados experimentales de Martin & Chandler (1994) para el granito Lac du Bonnet, que definen un ngulo de friccin de unos 48, similar a los 45 (ver Figura 19) reseados por Gyenge et al (1991), y los 42 a 43 indicados por Latjai & Gadi (1989) para este mismo granito.

    La resistencia al corte de un material se expresa comnmente mediante el criterio de Mohr-Coulomb:

    NS NS S o 31 2 += (19) donde So es la cohesin de la roca. Resulta evidente la similitud entre las ecuaciones (18) y (19), lo que permite indicar lo siguiente: y La cohesin de la roca quedara definida por la extensin de las grietas (2c) y la energa de

    fractura por unidad de superficie (). y La friccin de la roca es independiente de estos parmetros. Esto sugiere que la movilizacin de las componentes cohesiva y friccionante de la resistencia de la roca no necesariamente es simultnea7 y, por otra parte, su degradacin en la medida que aumenta la deformacin axial debera ser distinta.

    7 Este efecto fue reportado por primera vez por Schmertmann & Osterberg (1960), quienes estudiaron la movilizacin de la

    cohesin y la friccin con la deformacin en suelos cohesivos.

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    - 17 -

    Martin & Chandler (1994) presentan la siguiente interpretacin respecto a este efecto que sera carac-terstico de una ruptura frgil8:

    y La cohesin comienza a decrecer una vez que la extensin de las grietas comienza a aumentar, o sea una vez que el esfuerzo axial excede el valor cd.

    8 Para mejorar la claridad de la exposicin, el autor de este informa se ha permitido modificar esta ampliar la discusin origi-

    nal de Martin & Chandler (1994).

    S3 (MPa)

    S 1(M

    Pa)

    S3 (MPa)

    S 1(M

    Pa)

    Figura 18: Envolventes del esfuerzo de dao por agrietamiento y de la resistencia peak del granito Lac du Bonnet (Martin & Chandler, 1994).

    Esfuerzo Normal, N (MPa)

    Esf

    uerz

    o de

    Cor

    te,S

    (MP

    a)

    Granito Lac du BonnetGranito cantera Cold Spring

    Esfuerzo Normal, N (MPa)

    Esf

    uerz

    o de

    Cor

    te,S

    (MP

    a)

    Granito Lac du BonnetGranito cantera Cold Spring

    Figura 19: Determinacin del ngulo de friccin bsico o residual del granito Lac du Bonnet (Martin & Chandler, 1994, en base a informacin presentada por Gyenge et al, 1991).

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    - 18 -

    y Como la probeta todava puede soportar un aumento del esfuerzo axial (no se ha alcanzado la resistencia peak, c), esto significa que simultneamente con la disminucin de la cohesin debe producirse un aumento de la friccin.

    y Este aumento de la friccin puede explicarse si se considera que el ngulo de friccin, , corres-ponde a la suma de una componente bsica o residual, b, y una componente asociada a la ru-gosidad o trabazn de los elementos de roca delimitados, solo parcialmente al inicio del proceso de agrietamiento, por las grietas que se estn desarrollando en la probeta. En el caso del granito Lac du Bonnet b vara entre 42 y 45 (Gyenge et al, 1991, Latjai & Gadi, 1989), y el valor del n-gulo de friccin total puede calcularse como:

    o

    cdi b

    S 90tan2 11

    = + (20)

    y En la medida que continua aumentando la deformacin se moviliza cada vez ms friccin, hasta alcanzar la resistencia peak de la roca, c, para una deformacin axial peak.

    y Al continuar aumentando la deformacin de la probeta comienza a disminuir la trabazn de los elementos de roca delimitados por las grietas, por lo que tambin comienza a disminuir la magnitud del ngulo de friccin total.

    y Puede para deformaciones suficientemente grandes puede suponerse que la componente de trabazn sera nula o muy pequea, y el ngulo de friccin total tendera al ngulo de friccin bsico o residual.

    En Figura 20 se ilustra, en un diagrama de Mohr, el concepto de prdida de cohesin y aumento del ngulo de friccin en la medida que progresa el agrietamiento de la probeta de roca. En Figura 21 se muestra este efecto en la curva carga-deformacin de una probeta de granito Lac du Bonnet en compresin triaxial con un confinamiento de 15 MPa. En Figura 22 se muestra este efecto en compresin uniaxial, en trminos del parmetro de dao normalizado respecto a su valor mximo, max. Esta figura indica que el valor peak del ngulo de friccin ( b + i = 63) slo se alcanza cuando se ha perdido la mayor parte de la cohesin, y que para deformaciones suficientemente grandes el ngulo de friccin decrece a unos 42 (valor similar al ngulo de friccin bsico o residual).

    2Smax

    Smax

    Smov

    Prdida decohesin

    cd c (peak)

    inicial = 0omov

    Aumento de la friccin

    2Smax

    Smax

    Smov

    Prdida decohesin

    cd c (peak)

    inicial = 0omov

    Aumento de la friccin

    Figura 20: Esquema que ilustra en un diagrama de Mohr la prdida de cohesin y el aumento de la friccin en la medida que el esfuerzo axial sobre la probeta aumenta desde el valor que inicia el dao por agrietamiento, cd, hasta la resistencia peak, c (Martin & Chandler, 1994).

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    - 19 -

    Deformacin Axial (%)

    Esfu

    erzo

    Axi

    al (

    MP

    a) b

    b + i iPrdida de cohesin a medida que se moviliza la friccin

    Friccin movilizada

    Muestra MB122382S3 = 15 MPa

    Deformacin Axial (%)

    Esfu

    erzo

    Axi

    al (

    MP

    a) b

    b + i iPrdida de cohesin a medida que se moviliza la friccin

    Friccin movilizada

    Muestra MB122382S3 = 15 MPa

    Figura 21: Esquema que ilustra la prdida de cohesin y el aumento de la friccin en la medida que aumenta la deformacin axial de una probeta de granito Lac du Bonnet, sometida a compresin triaxial con un confinamiento de 15 MPa (Martin & Chandler, 1994).

    Parmetro de dao normalizado, / max

    Parmetro de dao normalizado, / max

    Ang

    ulo

    de

    fric

    cin

    (gr

    ados

    )

    Cohesin norm

    alizadac

    / cmax

    Res

    iste

    ncia

    nor

    mal

    izad

    aS 1

    / S1m

    ax

    i

    Parmetro de dao normalizado, / max

    Parmetro de dao normalizado, / max

    Ang

    ulo

    de

    fric

    cin

    (gr

    ados

    )

    Cohesin norm

    alizadac

    / cmax

    Res

    iste

    ncia

    nor

    mal

    izad

    aS 1

    / S1m

    ax

    i

    Figura 22: Variacin de la resistencia peak (puntos rojos), del esfuerzo de dao por agrietamiento (puntos morados), del ngulo de friccin (puntos verdes), y de la cohesin (puntos naranja) en funcin del parmetro de dao normalizado respecto a su valor mximo, max (Martin, 1997).

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    - 20 -

    Diederichs (1999) en base a experimentos numricos en los que modela la roca como un conjunto de discos cementados, utilizando el software PFC (Itasca, 1995), llega a conclusiones similares a las de Martin & Chandler (1994) y define la evolucin del dao por agrietamiento en una probeta de roca como se ilustra en Figura 5.23. Supone que la resistencia a la traccin de la unin de los cristales que forman la roca es en un cuarto de su resistencia al corte (Laqueche et al, 1986, Okubo & Fukui, 1996). Esto significa que el proceso de dao de la roca, tanto en compresin uniaxial como triaxial, es dominado por las fracturas por traccin que ocurren localmente, pese a que a nivel global la probeta muestra una falla que pude considerarse propia de una ruptura por corte. En base a los resultados de estos experimentos numricos, Diederichs (1999) seala lo siguiente:

    y El agrietamiento comienza para solicitaciones del orden del 30% al 40% de la resistencia peak. y Las grietas por traccin son unas 50 veces ms numerosas que las grietas por corte (ver Figura

    24).

    AcumulacinUniforme

    de grietas

    PrimeraInteraccin

    entre grietas

    Inicio delagrietamiento

    aleatorio

    Daopre-existente en

    la probeta

    Dao y deformacinlocalizados

    Deformacin Axial

    Esfu

    erzo

    Axi

    al o

    Inte

    nsid

    ad d

    el A

    grie

    tam

    ient

    o

    Dao ltimo(discontinuo)

    Intensidad del Agrietamiento

    Esfuerzo Axial

    AcumulacinUniforme

    de grietas

    PrimeraInteraccin

    entre grietas

    Inicio delagrietamiento

    aleatorio

    Daopre-existente en

    la probeta

    Dao y deformacinlocalizados

    Deformacin Axial

    Esfu

    erzo

    Axi

    al o

    Inte

    nsid

    ad d

    el A

    grie

    tam

    ient

    o

    Dao ltimo(discontinuo)

    Intensidad del Agrietamiento

    Esfuerzo Axial

    Figura 23: Esquema que ilustra la evolucin del dao por agrietamiento en una probeta de ro-ca, de acuerdo a los resultados de experimentos numricos con un modelo de discos cemen-tados y utilizando el software PFC (Diederichs, 2003).

    Deformacin Axial (%)

    Esf

    uerz

    o A

    xial

    (MPa

    )Ta

    sa d

    e A

    grie

    tam

    ient

    o (e

    vent

    os/0

    .005

    % d

    efor

    mac

    in)

    Nm

    ero de Grietas

    Esfuerzo Axial

    Condicin final de dao

    Tasa de agrietamiento (EA)

    Grietas de

    Grietas detraccin

    corte

    Deformacin Axial (%)

    Esf

    uerz

    o A

    xial

    (MPa

    )Ta

    sa d

    e A

    grie

    tam

    ient

    o (e

    vent

    os/0

    .005

    % d

    efor

    mac

    in)

    Nm

    ero de Grietas

    Esfuerzo Axial

    Condicin final de dao

    Tasa de agrietamiento (EA)

    Grietas de

    Grietas detraccin

    corte

    Figura 24: Evolucin del agrietamiento por traccin y por corte segn los resultados de uno de los experimentos numricos con un modelo de discos cementados y utilizando el software PFC (Diederichs, 2003).

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    - 21 -

    y La tasa de agrietamiento (o el nmero de eventos de emisin acstica) comienza a crecer rpida-mente una vez que se inicia el agrietamiento, alcanza un mximo cuando se alcanza la carga peak y luego comienza a decrecer.

    y Cuando la deformacin axial a excedido en ms o menos un 50% la deformacin a la cual se alcanza la carga peak, la tasa de incremento del nmero de grietas con la deformacin axial se hace poco importante.

    Diederichs (2003) indica que despus del inicio del agrietamiento se produce un periodo de agrieta-miento uniforme pero sin interaccin entre grietas (ver Figura 23), y que el inicio de la interaccin entre grietas es lo que define realmente el comienzo del verdadero dao o desviacin respecto al comportamiento carga-deformacin de tipo lineal. Esta interaccin entre grietas sera un fenmeno de tipo probabilstico9, que se inicia cuando se alcanza una cierta densidad crtica de grietas en la probeta de roca. Esta densidad crtica se alcanzara para un cierto nivel crtico de deformacin extensional (conforme a la definicin de Stacey, 1981), el cual no dependera del esfuerzo de confinamiento10. Esto permite definir la resistencia de la roca como:

    311 S E S cr

    += (21)

    donde cr es la deformacin extensional crtica, E es el mdulo de deformabilidad de la roca y es su razn de Poisson. Si se considera un valor tpico de para rocas duras, en el rango de 0.16 a 0.20, la pendiente de la recta definida por (21) resulta equivalente a un ngulo de friccin de 37 a 43, lo que puede considerarse bastante consistente.

    Esto indica que el efecto friccionante, o sea a la contribucin a la resistencia de la roca debida al es-fuerzo de confinamiento, no esta asociado al concepto clsico de friccin de los materiales granulares sino que a una acumulacin de grietas cuya generacin no depende de la friccin de la roca sino que de las deformaciones extensionales que sufre la roca en su rango de comportamiento elstico (la acumulacin de grietas se produce para < cr, y la interaccin entre grietas ocurre cuando cr). En lo que dice relacin con la presencia de grietas pre-existentes en una probeta de roca dura, resulta interesante el trabajo de Martin & Stimpson (1994), quienes muestran que existe perturbacin en las muestras del granito Lac du Bonnet debido a microfracturas que se forman durante la obtencin de la muestra debido al desconfinamiento que sufre la misma. El efecto de estas microfracturas es una reduccin de la componente cohesiva de la resistencia al corte (ie la componente que no depende del esfuerzo de confinamiento), y del mdulo de deformabilidad de la roca.

    La magnitud de este dao depende de la razn entre el esfuerzo principal mayor in situ y la resistencia en compresin uniaxial de la roca no daada (ie S1 In Situ /c). Mientras mayor sea esta razn mayor ser el dao por efecto del la obtencin de la muestra.

    Esto explica la diferencia que se observa en Figura 13 entre la resistencia de muestras de granito Lac du Bonnet provenientes del Nivel 420 del URL ( 185 MPa, S1 In Situ /c 0.3), y otras provenientes de la cantera Coldspring ( 250 Mpa, S1 In Situ /c 0.1). Todo lo antes expuesto respecto a la forma de ruptura de las rocas duras de comportamiento frgil indica que la tpica envolvente de ruptura que se utiliza para describir la resistencia de la roca, por ejemplo de acuerdo al criterio no lineal de Hoek-Brown, solo representa la resistencia peak en condicin de corto plazo, lo que no necesariamente corresponde a la resistencia de largo plazo, y no entrega informacin respecto a la condicin en la cual se inicia el fracturamiento (que podra definir la resistencia de largo plazo segn Martin & Chandler, 1994). Esto se ilustra en Figura 25 para el caso del granito Lac du Bonnet.

    9 Si se supone que las grietas pre-existentes en la roca son aleatorias y presentan una distribucin uniforme, lo que no nece-

    sariamente se cumple en el caso de un stockwork de vetillas selladas con rellenos ms dbiles que los cristales que forman la roca.

    10 Diederichs (1999) realiz experimentos numricos para confinamientos en el rango de 0 a 60 MPa.

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    - 22 -

    En lo que dice relacin con el comportamiento carga-deformacin de la roca, el modulo de deformabilidad efectivo, , de la roca fracturada puede definirse como (Martin, 1997):

    S S E 31 = (22)

    en donde la deformacin axial efectiva est dada por:

    ++

    =2

    2

    31

    31 EfEs

    W W

    SS

    ESS (23)

    en que:

    ( ) ( )E

    W nEs2

    212

    = (24)

    ( ) ( )E

    W nnEf = 21 (25)

    V Nc E

    2

    = (26)

    cms

    = 224 MPa= 11.13 = 0.379

    cms

    = 224 MPa= 28.11 = 1

    Lab c (peak)

    Lab cd

    Lab ci

    In Situ

    71 + 1.5 S3 (en MPa)

    S1 S3 70 (en MPa)

    S3 (MPa)

    S 1(M

    Pa) c

    ms

    = 224 MPa= 11.13 = 0.379

    cms

    = 224 MPa= 11.13 = 0.379

    cms

    = 224 MPa= 28.11 = 1

    cms

    = 224 MPa= 28.11 = 1

    Lab c (peak)

    Lab cd

    Lab ci

    In Situ

    71 + 1.5 S3 (en MPa)

    S1 S3 70 (en MPa)

    S3 (MPa)

    S 1(M

    Pa)

    Figura 25: Envolventes de Hoek-Brown para la resistencia peak (corto plazo, puntos morados) y el es-fuerzo de inicio del dao por fracturamiento (largo plazo segn recomendacin de Martin & Chandler, 1994, puntos rojos). En esta figura se muestran tambin las rectas que definen la condicin de inicio del fracturamiento en laboratorio (lnea de trazos) e in situ (lnea llena) para el granito Lac du Bonnet (Martn, 1997).

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    - 23 -

    donde E y son el mdulo de deformabilidad y la razn de Poisson de la roca, es la friccin a lo largo de las caras de las grietas, es el esfuerzo de corte en la direccin del deslizamiento, n es el esfuerzo normal sobre la superficie de las grietas, cE es el largo efectivo de stas11, N es el nmero de grietas en el volumen total de roca, V, y es el parmetro de densidad de grietas definido por Kemeny & Cook (1986) para considerar los efectos del largo de las grietas (2c) y del nmero de grietas por unidad de volumen (n).

    La variacin del valor de /E en funcin del esfuerzo de confinamiento, para distintos valores del pa-rmetro de densidad de grietas, se ilustra en Figura 26, la cual muestra tambin los resultados experimentales obtenidos para el granito Lac du Bonnet (medidos cuando el locus de Griffith se hace horizontal, como se muestra en el esquema de Figura 26). Esta figura indica que un aumento S3 reduce el valor de y aumenta el valor de . Los resultados experimentales obtenidos para el granito Lac du Bonnet muestran que la variacin de con S3 es del tipo (ver Figura 27):

    oE BS AS

    EE ++= 3

    3 (27)

    donde o es el valor de en condicin no confinada, y A y B son constantes que dependen del tipo de roca y deben determinarse experimentalmente.

    En lo que dice relacin con la razn de Poisson no hay un desarrollo terico equivalente al del mdulo de deformabilidad efectivo; sin embargo, para efectos prcticos puede suponerse que aumenta li-nealmente con la deformacin axial, a, desde un valor inicial o hasta un valor max que se alcanza si-multneamente con la resistencia peak, cuando a = a peak (ver Figura 14), imponiendo la restriccin que este valor mximo no puede exceder 0.5 si se desea considerar la roca como un material isotrpico; o sea:

    apeak a

    oo

    += max (28)

    Resumen Todo lo antes expuesto respecto al comportamiento observado de rocas duras de ruptura frgil puede resumirse en los siguientes puntos principales:

    (a) Si bien para presiones de confinamiento suficientemente altas se tendr un comportamiento de falla dctil, a temperatura ambiente y para el rango de presiones de confinamiento que interesa en la prctica (eg S3 70 MPa) se tendr siempre una ruptura de tipo frgil.

    (b) Incluso en el caso de ensayos de compresin triaxial, el inicio de la falla de la roca ocurre me-diante la generacin de grietas de traccin, orientadas segn la direccin del esfuerzo principal mayor. El esfuerzo al cual comienza el agrietamiento de la roca se denomina esfuerzo de inicio del agrietamiento, ci. Tpicamente, en condicin de compresin uniaxial ci es del orden del 30% al 40% de la resistencia en compresin uniaxial de la roca, c (ver Tabla 3). Se trata de una propagacin estable de grietas, por lo que la roca puede soportar un aumento de las solici-taciones (ie resiste un aumento del esfuerzo axial a igual confinamiento). Se comienzan a regis-trar eventos de emisin acstica, la curva carga-deformacin se comienza a desviar del com-portamiento elstico y el modo de incremento de deformacin volumtrica cambia de contrac-cin a expansin, debido al aumento de volumen causado por las grietas, fenmeno que se de-nomina dilatancia.

    11 Definido por Kemeny & Cook (1986) para un conjunto de grietas como el promedio de los valores de c2, donde cada grieta

    tiene un largo 2c.

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    - 24 -

    (c) El proceso de agrietamiento continua en la medida que sigue aumentando el desviador de es-fuerzos (ie aumenta el aumento axial y se mantiene constante el esfuerzo de confinamiento), hasta que la densidad de grietas es tal que comienza la interaccin entre grietas y se produce una transicin de agrietamiento estable a inestable. Esto ocurre cuando el esfuerzo principal mayor alcanza una magnitud cd, denominada esfuerzo de dao por agrietamiento. Tpicamen-te, en condicin de compresin uniaxial cd es del orden del 70% al 85% de la resistencia en compresin uniaxial de la roca, c (ver Tabla 3). El comportamiento carga-deformacin se hace cada vez menos lineal, y aumentan fuertemente la dilatancia y el nmero de eventos de emisin acstica. Comienza a disminuir la componente cohesiva de la resistencia de la roca (o sea la que no depende del esfuerzo de confinamiento) y comienza a movilizarse la componente fric-cionante de su resistencia (o sea la que depende del esfuerzo de confinamiento).

    S3 (MPa)

    /E

    S3 (MPa)

    /E

    Figura 26: Efecto de la presin de confinamiento en el mdulo de deformabilidad efectivo de la roca (normalizado respecto a E = 70 MPa) con la presin de confinamiento, S3, para distintos valores del pa-rmetro de densidad de grietas, . En esta figura se muestran tambin los resultados experimentales (puntos rojos) obtenidos para el granito Lac du Bonnet (Martn, 1997).

    S3 (MPa)

    /E

    E = 70 MPa

    S3 (MPa)

    /E

    E = 70 MPa

    Figura 27: Variacin del mdulo de deformabilidad efectivo de la roca (normalizado respecto a E) con la presin de confinamiento, en el caso del granito Lac du Bonnet (Martn, 1997).

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    - 25 -

    Tabla 3 VALORES TPICOS DE ci Y cd

    Referencia ci /c cd /c Brace et al (1966) 0.30 a 0.50 - - -

    Bieniawski (1967) 030 a 0.50 0.70 a 0.80

    Schmidtke & Latjai (1985) - - - 0.70

    Latjai et al (1991) - - - 0.70

    Martin & Chandler (1994) 0.20 a 0.40 0.70 a 0.85

    c es la resistencia en compresin uniaxial de la roca (d) El proceso de agrietamiento continua en la medida que sigue aumentando el desviador de es-

    fuerzos (ie aumenta el aumento axial y se mantiene constante el esfuerzo de confinamiento), hasta que se alcanza la resistencia peak de la roca que, en el caso de compresin uniaxial, se denomina resistencia en compresin uniaxial, c (tambin se han usado las denominaciones UCS e IRS para esta resistencia). El nmero de eventos de emisin acstica se hace mximo y aumenta fuertemente la dilatancia. Ocurren cambios significativos en la probeta, con un muy fuerte aumento de la densidad de micro-grietas y la formacin de planos de ruptura por corte.

    (e) Al alcanzar la resistencia peak se produce la ruptura frgil de la roca por lo que, a menos que se cuente con mquinas de carga servo-asistidas no se podr obtener la rama post-peak de la curva carga-deformacin, la cual es muy importante para caracterizar la fragilidad de la roca (especialmente en trminos de una homologacin o comparacin con rocas similares12. La pen-diente de la curva carga-deformacin axial se hace negativa, y disminuye progresivamente la carga que puede soportar la probeta en la medida que continua aumentando su deformacin axial. Pueden generarse algunas fracturas por corte, pero en general se generan pocas grietas nuevas y la deformacin est asociada al deslizamiento relativo y reacomodo de trozos de roca. Comienza a disminuir el nmero de eventos de emisin acstica. Finalmente, y para deforma-ciones suficientemente grandes se alcanzar la resistencia residual de la roca.

    (f) Hay evidencia experimental que indica que ci y cd seran propiedades de la roca que no de-pende del volumen de la probeta, a diferencia de la resistencia en compresin uniaxial, c, que si muestra esta dependencia (ver Figura 10). Por otra parte, hay evidencia experimental que muestra que la resistencia peak no podra ser soportada por la roca en el largo plazo, por lo que debera considerarse como una resistencia de corto plazo. De hecho, Martin & Chandler (1994) proponen considerar que la resistencia de largo plazo de la roca queda definida por cd.

    (g) Todo lo anterior permite considerar que la resistencia de las rocas duras queda definida por la evolucin del dao por agrietamiento, en la forma que se muestra en Figura 28: Para valores del esfuerzo principal mayor menores que ci la roca no sufre dao. Esta condi-

    cin queda definida por:

    31 BS A S ci += (29) donde A tpicamente vara entre 0.2 y 0.5 veces c (en forma preliminar puede suponerse igual a 0.35c), y B usualmente vara entre 1.0 y 2.0 (en forma preliminar puede suponerse igual a 1.5)13.

    12 Por ejemplo, Singh & Goel (1999) indican que rocas con comportamiento post-peak de la Clase II (ver Figura 5.7 en pgina

    35) seran propensas a sufrir estallidos de roca. 13 Martin et al (1999) proponen definir ci en trminos del criterio de Hoek-Brown, considerando m = 0 y s = 0.11, lo que equiva-

    le a considerar A = 0.33c y B = 1.0.

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    - 26 -

    Para valores del esfuerzo principal mayor mayores que ci la roca sufre agrietamiento, pero el proceso de dao es estable mientras el esfuerzo principal mayor no exceda cd. Conforme con esto, puede emplearse un criterio de falla no lineal para ajustar una envolvente de falla a los datos que definen cd para distintos valores de la presin de confinamiento. Por ejemplo, si se emplea el criterio de Hoek-Brown se llega a:

    0.5

    cdo

    cdcdo 1

    S m S S

    ++=

    331 (30)

    donde cdo es el valor de cd en compresin uniaxial, y mcd corresponde al parmetro m del criterio de Hoek-Brown que resulta del ajuste de la curva tipo al conjunto de valores de cd(S3).14

    Para valores del esfuerzo principal mayor mayores que cd se produce la interaccin coales-cencia y desarrollo inestable de grietas, lo que se traduce en un nivel de dao que la roca no puede soportar en forma permanente; sin embargo, en el corto plazo si puede soportar la so-licitacin peak definida por c. Conforme con esto, puede emplearse un criterio de falla no li-neal para ajustar una envolvente de falla a los datos que definen la resistencia peal para dis-tintos valores de la presin de confinamiento. Por ejemplo, si se emplea el criterio de Hoek-Brown se llega a:

    0.5

    c

    c 1

    S m S S

    ++=

    331 (31)

    donde c es la resistencia en compresin uniaxial de la roca, y m corresponde al parmetro m del criterio de Hoek-Brown que resulta del ajuste de la curva tipo al conjunto de valores de resistencia peak (esto corresponde a la aplicacin usual del criterio de Hoek-Brown).

    14 Martin (1997) realiza este ajuste considerando c en vez de cdo y un valor menor que 1 para el parmetro s de Hoek-Brown

    (ver Figura 25); sin embargo, en la opinin del autor de estas notas la ecuacin (30) es preferible desde un punto de vista conceptual.

    S3

    S1

    NO HAY DAO

    AGRIETAMIENTODE LA ROCA

    DAOIMPORTANTE

    PORAGRIETAMIENTO

    Inicio del Agrietamiento

    Resistencia de Largo Plazo

    Resistencia de Corto Plazo (peak)

    S3

    S1

    NO HAY DAO

    AGRIETAMIENTODE LA ROCA

    DAOIMPORTANTE

    PORAGRIETAMIENTO

    NO HAY DAO

    AGRIETAMIENTODE LA ROCA

    DAOIMPORTANTE

    PORAGRIETAMIENTO

    Inicio del AgrietamientoInicio del Agrietamiento

    Resistencia de Largo PlazoResistencia de Largo Plazo

    Resistencia de Corto Plazo (peak)Resistencia de Corto Plazo (peak)

    Figura 5.28: Definicin de la resistencia de la roca en funcin del dao por agrietamiento.

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    - 27 -

    Figura 29: Esquema que ilus-tra el concepto de estado perturbado propuesto por Desai (2001). El nivel de da-o evoluciona desde la con-dicin de no dao (D = 0), pa-ra un estado inicial relativa-mente intacto (RI), hasta la condicin de dao total (D = 1), para un estado crtico (FA). En el esquema de la derecha se ilustra como dis-minuye la resistencia, desde un estado relativamente in-tacto, en la medida que au-menta el nivel de dao. Es in-teresante indicar que Desai indica que el dao es obser-vable hasta un cierto nivel en que D < 1, y si bien el da-o puede aumentar ms all de este nivel el efecto de este incremento de dao no sera observable (tomada de De-

    sai, 2001).

    (h) Para cualquier formulacin de la resistencia en trminos de una componente cohesiva (inde-pendiente de S3) y una componente friccionante deber considerarse que la resistencia inicial es puramente cohesiva y que la friccin empieza a movilizarse una vez que el esfuerzo principal mayor alcanza el valor cd. Por otra parte, una vez que comienza a movilizarse la friccin se ini-cia tambin el proceso de reduccin de la cohesin (ver Figuras 21 y 22).

    (i) Para evaluar la evolucin de la deformabilidad de la roca en funcin del dao por agrietamiento resulta conveniente el uso del concepto del locus de Griffith, pudiendo utilizarse las ecuaciones (27) y (28) para evaluar valores efectivos del mdulo de deformabilidad y la razn de Poisson de la roca.

    (j) Para caracterizar el nivel de dao de la roca en las distintas etapas del proceso de carga puede utilizarse el concepto del parmetro de dao definido por Martin & Chandler (1994), pero con-siderndolo como el valor acumulado de la deformacin volumtrica permanente al nivel de car-ga considerado, (S1), normalizado respecto al valor correspondiente a la carga peak:

    ( )( )peak S S Dao de Nivel

    1

    1

    == (32)

    As, un nivel de dao 0 corresponde a una roca no agrietada cuya deformacin, para el nivel de carga considerado es elstica; mientras que un nivel de dao 1 corresponde a una roca total-mente agrietada y en condicin de falla incipiente. Si bien esta definicin tiene el problema de que el nivel de dao puede exceder 1 (puede haber algn agrietamiento adicional en la condi-cin post-peak), la misma es bastante simple y concuerda con el concepto de estado perturba-do propuesto por Desai (2001)15, que se ilustra en Figura 29.

    Sin perjuicio de lo recin indicado, podra considerarse tambin el definir el valor del modulo de corte, G, para distintos niveles de deformacin en funcin de y , y utilizar la definicin del pa-rmetro de dao anisotrpico propuesto por Sakurai & Akayuri (1998) (descrito en forma simple por Sakurai, 2006).

    15 Definiciones ms detalladas del nivel de dao pueden encontrarse en los trabajos de Kachanov (1986) y de Krajcinovic

    (1996).

    D = 0

    D = 1

    D = DC

    D = DF

    D = DU

    RI

    FA

    RI

    FA

    D = 0

    DUDC DFa

    i

    c

    i Condicin inicial, relativamente no perturbadaa Condicin observable (medible)c Condicin ltima (no medible), para D = 1D = 0C No dao, estado inicial relativamente intactoD = DC Nivel de dao antes de la fallaD = DF Nivel de dao en la condicin de fallaD = DU Nivel de dao en la condicin ltimaD = 1C Dao total

    D = 0

    D = 1

    D = DC

    D = DF

    D = DU

    RI

    FA

    RI

    FA

    D = 0

    DUDC DFa

    i

    c

    D = 0

    D = 1

    D = DC

    D = DF

    D = DU

    RI

    FA

    RI

    FA

    D = 0

    DUDC DFa

    i

    c

    i Condicin inicial, relativamente no perturbadaa Condicin observable (medible)c Condicin ltima (no medible), para D = 1D = 0C No dao, estado inicial relativamente intactoD = DC Nivel de dao antes de la fallaD = DF Nivel de dao en la condicin de fallaD = DU Nivel de dao en la condicin ltimaD = 1C Dao total

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    - 28 -

    REFERENCIAS [1] Bazant, Z P. 2005. SCALING OF STRUCTURAL STRENGTH, 2nd ed. 327 p. Elsevier: Oxford.

    [2] Bergues, J, Derlich, S, Habib, P, Massat, H & Vodar, B. 1974. Etudes de quatre roches sous tres hautes pressions, Proc 3rd Int Congress on Rock Mechanics: ADVANCES IN ROCK ME-CHANICS, Denver, Colorado. Vol 2A, pp. 493-498. National Academy of Sciences: Washington, DC.

    [3] Berry, J P. 1960. Some kinetic considerations of the Griffith criterion for fracture I: Equations of motion at constant force. J Mech Phys Solids. 8, pp 194-206.

    [4] Berry, J P. 1960. Some kinetic considerations of the Griffith criterion for fracture II: Equations of motion at constant deformation. J Mech Phys Solids. 8, pp 207-216.

    [5] Bieniawski, Z T. 1967. Mechanism of brittle fracture of rocks, Parts I, II and III. Int J Rock Mech Min Sci & Geomech Abstr. 4(4):395-430.

    [6] Bieniawski, Z T. 1974. Estimating the strength of rock materials, J S Afr Inst Min Metall, 74:312-320.

    [7] Bieniawski, Z T. 1984. ROCK MECHANICS DESIGN IN MINING AND TUNNELING, 272 p. Balkema: Rotterdam.

    [8] Brace, W F, Paulding, B & Scholz, C. 1966. Dilatancy in the fracture of crystalline rocks. J Geo-phys Res. (71):3939-3953.

    [9] Brady, B H G & Brown, E T. 2004. ROCK MECHANICS FOR UNDERGROUND MINING, 3rd ed, 628 p. Kluwer: Dordrecht, The Netherlands.

    [10] Brown, E. 2002. BLOCK CAVING GEOMECHANICS, JKMRC Monograph Series in Mining and Mineral Processing 3, 516 p, Julius Kruttschnitt Mineral Research Centre, The University of Queensland: Queensland.

    [11] Cook, N G W. 1965. The failure of rock. Int J Rock Mech Min Sci & Geomech Abstr. 2(4):389-403.

    [12] Cook, N G W. 1970. An experiment proving that dilatancy is a pervasive volumetric property of brittle rock loaded to failure, Rock Mech. 2(4):181-188.

    [13] Desai, C S. 2001. MECHANICS OF MATERIALS AND INTERFACES. The Disturbed State Con-cept, 698 p. CRC Press: Boca Raton, Florida.

    [14] Diederichs, M S. 1999. Instability of Hard Rock Masses: The Role of Tensile Damage and Re-laxation, PH D Thesis, University of Waterloo.

    [15] Diederichs, M S. 2003. Rock fracture and collapse under low confinement conditions, Rock Mech Rock Engng, 36(5):339-381.

    [16] Diederichs, M S, Kaiser, P K & Eberhardt, E. 2004. Damage initiation and propagation in hard rock during tunnelling and the influence of near-face stress rotations, Int J Rock Mech & Mining Sciences, 41: 785-812.

    [17] Edmond, J M & Paterson, M S. 1972. Volume changes during the deformation of rocks at high pressures. Int J Rock Mech Min Sci & Geomech Abstr (9):161.182.

    [18] Escartin, J, Hirth, G & Evans, B. 1997. Nondilatant brittle deformation in serpentinites: implica-tions for Mohr-Coulomb theory and the strength of faults. J Geophys Res (102):2897-2913.

    [19] Fairhurst, C. 1964. On the validity of the Brazilian test for brittle materials, Int J Rock Mech Min Sci & Geomech Abstr, 1: 535-546.

    [20] Farmer, I. ENGINEERING BEHAVIOUR OF ROCKS, 2nd ed. 208 p. Chapman and Hall: London.

  • COMPORTAMIENTO DE LA ROCA DURA Y FRAGIL

    Prof. Antonio Karzulovic

    - 29 -

    [21] Franklin, J A. Triaxial strength of rock materials, Rock Mech, 3:86-98.

    [22] Gerrard, C M. 1977. Background to mathematical modelling in geomechanics: The roles of fab-ric and stress history, FINITE ELEMENTS IN GEOMECHANICS (ed G Gudehus), pp 33-120. Wiley: London.

    [23] Goodman, R E.1989. INTRODUCTION TO ROCK MECHANICS, 2nd ed. 562 p. Wiley: New York.

    [24] Griffith, A A. 1921. The phenomenon of rupture and flow in solids, Philosophical Transactions, 222:163-198.

    [25] Griffith, A A. 1924. Theory of rupture, Proc First Int Congress Applied Mech, Delft, Vol 1, pp 53-66.

    [26] Gyenge, M, Jackson, R & Gorski, B. 1991. Residual strength envelopes using the confined shear test method, Proc. 32th US Symp on Rock Mech, Norman, Oklahoma (ed J C Roegiers), pp 629-635. Balkema: Rotterdam.

    [27] Hadizadeh, J & Rutter, E H. 1983. The low temperature brittle-ductile transition in quartzite and the occurrence of cataclastyc flow in nature. Geol Rundsch (72):493-509.

    [28] Haimson, B C & Kim, C M. 1972. Mechanical behavior of rock under cyclic fatigue, STABILITY OF ROCK SLOPES, Proc. 13TH US Symp on Rock Mech, Urbana, Illinois (ed E J Cording), pp 373-378. ASCE: New York.

    [29] Hajiabdolmajid, V, Kaiser, P K & Martin, C D. 2003. Mobilised strength components in brittle fail-ure of rock, Geotechnique, 53(3):327-336.

    [30] Hallbauer, D K, Wagner, H & Cook, N G W. 1973. Some observations concerning the micro-scopic and mechanical behaviour of quartzite specimens in stiff, triaxial compression tests. Int J Rock Mech Min Sci & Geomech Abstr. 10(6):713-726.

    [31] Handin, J. 1953. An application of high pressure in geophysics: experimental rock deformation. Trans Am Soc Mech Eng (75):315-324.

    [32] Handin, J & Hager, R V. 1957. Experimental deformation of sedimentary rocks under confining pressure: tests at room temperature on dry samples. Am Soc Petrol Geol Bull. (41):1-50.

    [33] Harr, M. 1966. FOUNDATIONS OF THEORETICAL SOIL MECHANICS, 381 p. McGraw-Hill:New York.

    [34] Hawkes, I & Mellor, M. 1970. Uniaxial testing in rock mechanics laboratories. Engng Geol. 4(2):177-285.

    [35] Heard, H C.1960. Transition from brittle fracture to ductile flow in Solenhofen limestone as a function of temperature, confining pressure, and interstitial fluid pressure, ROCK DEFORMA-TION (eds D Griggs & J Handin), Geol Soc Am Mem (70):193-336.

    [36] Hirth, G & Tullis, J. 1989. The effects of pressure and porosity on the micromechanics of the brit-tle-ductile transition in quartzite. J Geophys Res (94):17825-17838.

    [37] Hoek, E & Bieniawski, Z T. 1965. Brittle fracture propagation in rock under compression, J Fract Mech. 1, pp137-155.

    [38] Hoek, E & Brown, E T. 1980. Empirical strength criterion for rock masses, J Geotech Engng Div, ASCE, 106(GT9):1013-1035.

    [39] Hoek, E, Carranza-Torres, C & Corkun, B. 2002. Hoek-Brown Failure Criterion - 2002 Edition, MINING AND TUNNELLING INNOVATION AND OPPORTUNITY, Proc. 5th North Am Rock Mech Symp & 17th Tunn Assn Can Conf, Toronto (eds R Hammah, W Bawden, J Curran and M Telesnicki), Vol 1, pp 267-273. University of Toronto Press: Toronto.

    [40] Hoek, E & Diederichs, M S. 2006. Empirical estimation of rock mass modulus, Int J Rock Mech Min Sci. 43(2):203-215.

  • COMPORTAMIENTO DE LA ROCA DURA Y FRAGIL

    Prof. Antonio Karzulovic

    - 30 -

    [41] Hoek, E, Kaiser, P K & Bawden, W F. 1995. SUPPORT OF UNDERGROUND EXCAVATIONS IN HARD ROCK, 215 p, Balkema: Rotterdam.

    [42] Homand, S & Shao, J F.2000. Mechanical behaviour of a porous chalk and effect of saturating fluid flow. Mech Cohes-Fric Mat. (5):583:606.

    [43] Hoshino, K, Koide, H, Inami, K, Iwamura, S & Mitsui, S. 1972. Mechanical Properties of Japa-nese Tertiary Sedimentary Rocks under High Confining Pressures. Geological Survey of Japan, Report No 244, 200 p.

    [44] Irwin, G R. 1960. Fracture mechanics, STRUCTURAL MECHANICS, eds Goodier & Hoff, pp 557-592, Pergamon Press: New York.

    [45] Itasca. 1995. PFC Particle Flow Code, Modelling Software. Itasca, Inc: Minneapolis.

    [46] Jaeger, J C J & Cook, N G W. 1979. FUNDAMENTALS OF ROCK MECHANICS, 3rd ed. 593 p. Chapman and Hall: London.

    [47] Jakubec, J & Laubscher, D H. 2000. The MRMR rock mass rating classification system in min-ing practice, MASSMIN 2000, Brisbane (edited by G Chitombo), pp 413-422, The Australasian Institute of Mining and Metallurgy: Melbourne.

    [48] Kachanov, L M. 1986. INTRODUCTION TO CONTINUUM DAMAGE MECHANICS, 135 p. Mar-tinus Nijhoff Publishers: Dordrecht.

    [49] Kemeny, J M & Cook, N G W. 1986. Effective moduli, non-linear deformation and strength of a cracked elastic solid. Int J Rock Mech Min Sci & Geomech Abstr. 23(2):107-118.

    [50] Kemeny, J M & Cook, N G W. 1987. Determination of rock fracture parameters from crack mod-els for failure in compression, Proc. 28th US Symp on Rock Mech, Tucson (eds C S Desai, E Krempl, P D Kiousis & T Kundu), pp 367-375. Balkema: Rotterdam.

    [51] Krajinovic, D. 2003. DAMAGE MECHANICS, 761 p. Elsevier: Amsterdam.

    [52] Laqueche, H, Rousseau, A & Valentin, G. 1986. Crack propagation under Mode I and II loading in slate schist. Int J Rock Mech Min Sci & Geomech Abstr. 23(2):293-306.

    [53] Latjai, E Z, Carter, B J & Duncan, E J S. Mapping the state of fracture around cavities. Engntg Geol. 31, 277-289.

    [54] Latjai, E Z & Gadi, A M. 1989. Friction on a granite to granite interface. Rock Mech Rock Engng, 22, 25-49.

    [55] Lockner, D A, Byerlee, J D, Kuksenko, V, Ponomarev, A & Sidorin, A. 1992. Observations of quasi-static fault growth from acoustic emissions, FAULT MECHANICS AND TRANSPORT PROPERTIES OF ROCKS (eds b Evans & T F Wong), pp 3-31. Academic Press: London.

    [56] Martin, C D. 1995. Brittle rock strength failure: laboratory and in situ, Proc 8th Int Congress on Rock Mech, Tokyo, Japan (ed T Fuji), Vol 3, pp 1033-1040. Balkema: Rotterdam.

    [57] Martin, C D. 1997. Seventeenth Canadian Geotechnical Colloquium: The effect of cohesion loss and stress path on brittle rock strength, Can Geotech J, 34(5):698-725.

    [58] Martin, C D & Chandler, N A. 1994. The progressive fracture of Lac du Bonnet granite, Int J Rock Mech & Mining Sciences, 31(6):643-659.

    [59] Martin, C D & Stimpson, B. 1994. The effect of sample disturbance on laboratory properties of Lac du Bonnet granite, Can Geotech J, 31(5):692-702.

    [60] McClintock, F A & Walsh, J B. 1962. Friction on Griffith cracks in rocks under pressure, Proc Fourth US Nat Congress Applied Mech, Vol 2, pp 1015-1021.

    [61] Mogi, K. 1965. Deformation and fracture of rocks under high confining pressure (2): Elasticity and plasticity of some rocks. Bull Earthquake Research Inst, Japan, (43):349-379.

  • COMPORTAMIENTO DE LA ROCA DURA Y FRAGIL

    Prof. Antonio Karzulovic

    - 31 -

    [62] Mogi, K. 1966. Pressure dependence of rock strength and transition from brittle fracture to duc-tile flow. Bull Earthquake Research Inst, Japan, (44):215-232.

    [63] Mogi, K. 1971. Fracture and flow of rocks under high triaxial compression. J Geophys Res. (76):1255-1269.

    [64] Murrel, S. A criterion for brittle failure of rocks and concrete under triaxial stress and the effect of pore pressure on the criterion, Proc Fifth US Symp Rock Mech, Minneapolis, Minnesota, pp 563-573.

    [65] Murrel, S A F & Ismail, I A H. 1976. The effect of decomposition of hydrous minerals on the me-chanical properties of rocks at high pressures and temperatures. Tectonophysics (31):207-258.

    [66] Nadai, A. 1950. THEORY OF FLOW AND FRACTURE OF SOLIDS, Vol 1, 2nd ed, 572 p. McGraw-Hill: New York.

    [67] Okubo, S & Fukui, K. 1996. Complete stress-strain curves for various rock types in uniaxial ten-sion. Int J Rock Mech Min Sci & Geomech Abstr. 33(6):549-556.

    [68] Paterson, M S & Wong, T-F. 2005. EXPERIMENTAL ROCK DEFORMATION - THE BRITTLE FIELD, 2nd ed. 347 p. Springer: Berlin.

    [69] Price, A M. 1979. The Effect of Confining Pressure on the Post-Yield Deformation Characteris-tics of Rocks, Ph D Thesis, University of Newcastle-upon-Tyne.

    [70] Priest, S D & Hudson, J A. 1976. Discontinuity spacings in rock, Int J Rock Mech Min Sci & Ge-omech Abstr, 13(5):135-148.

    [71] Raleigh, C B & Paterson, M S. 1965. Experimental deformation of serpentinite and its tectonic implications. J Geophys Res (70):3965-3985.

    [72] Ramamurthy, T, Rao, G V & Rao, K S. 1985. A strength criterion for rocks, Indian Geotechnical Conference, Roorkee, Vol 1, pp 59-64.

    [73] Sakurai, S & Akayuri, C F J. 1998. Deformational analysis of geomaterials considering strain-induced damage, Proc 4th European Conference on Numerical Methods in Geotechnical Engi-neering NUMGE98, pp 728-738.

    [74] Sakurai, S & Shimizu, N. 2006. Monitoring the stability of slopes by GPS, Int Symp STABILITY OF ROCK SLOPES IN OPEN PIT MINING AND CIVIL ENGINEERING SITUATIONS, Cape Town (ed D Stacey), SAIMM, pp 353-360.

    [75] Schmertmann, J H & Osterberg, J O. 1960. An experimental study of the development of cohe-sion and friction with axial strain in saturated cohesive soils, RESEARCH CONFERENCE ON SHEAR STRENGTH OF COHESIVE SOILS, Boulder (ed W J Turnbull), pp 643-694. University of Colorado: Boulder, Colorado.

    [76] Schock, R N, Heard, H C & Stephens, D R. 1973. Stress-strain behaviour of a granodiorite and two graywackes on compression to 20 kilobars, J Geophys Res (78):5922-2941.

    [77] Schwartz, A E. 1964. Failure of rock in the triaxial shear test. Proc 6th US Symp Rock Mech, Rolla, Missouri, pp 109-135.

    [78] Schmidtke, R H & Latjai, E. 1985. The long-term strength of Lac du Bonnet granite. Int J Rock Mech Min Sci & Geomech Abstr. 22(6):461-465.

    [79] Sheorey, P R, Biswas, A K & Choubey, V D. 1989. An empirical failure criterion for rock and rock and jointed rock masses, Engng Geol, 26:141-159.

    [80] Shimada, M & Yukutake, H. 1982. Fracture and deformation of silicate rocks at high pressure in a cubic press. HIGH-PRESSURE RESEARCH IN GEOPHYSYCS (edited by S Akimoto & M H Manghnani), Riedel Pub Co: Dordrecht, pp 193-205.

    [81] Singh, B & Goel, R K. 1999. ROCK MASS CLASSIFICATION. A Practical Approach in Civil En-gineering, 267 p. Elsevier: Amsterdam.

  • COMPORTAMIENTO DE LA ROCA DURA Y FRAGIL

    Prof. Antonio Karzulovic

    - 32 -

    [82] Stacey, T R. 1981. A simple extension criterion for fracture of brittle rock, Int J Rock Mech Min Sci & Geomech Abstr, 18:469-474.

    [83] Vajdova, V P, Baud, P & Wong, T. 2004. Compaction, dilatancy and failure in porous carbonate rocks. J Geophys Res. (109):B05204.

    [84] Waversik, W R & Fairhurst, C. 1970. A study of brittle rock fracture in laboratory compression experiments. Int J Rock Mech Min Sci & Geomech Abstr. 7(5):561-575.

    [85] Wong, T F, David, C & Zhu, W. 1997. The transition from brittle faulting to cataclastic flow in po-rous sandstones: mechanical deformation. J Geophys Res (102):3009-3025.

    [86] Yudhbir, Lemanza, W & Prinzl, F. 1983. An empirical failure criterion for rock masses, Proc Fifth Int Congress Rock Mech, Melbourne, Vol 1, pp B1-B8.

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