XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y AplicacionesXI Congreso de Matematica Aplicada

Ciudad Real, 21-25 septiembre 2009(pp. 1–8)

Comportamiento dinamico de un sistema no holonomo: El

sistema de Heisenberg modificado

E. Freire1, J. Galan Vioque,1 M. Molina Becerra1

1 Dpto. Matematica Aplicada II, Universidad de Sevilla, Camino de los descubrimientos s/n, E-41092Sevilla. E-mails: efrem@us.es, jgv@us.es, monica@us.es.

Palabras clave: sistema no holonomo, sistema de Heisenberg, bifurcaciones

Resumen

En este trabajo pretendemos analizar tanto teorica como numericamente el com-portamiento dinamico de una modificacion de un sistema no holonomo conocido comoel sistema de Heisenberg, donde se supone una partıcula libre en tres dimensionessujeta a la condicion que la velocidad en la tercera componente es igual a la terceracomponente del momento angular. Para anadir mas complejidad al sistema hemosanadido un potencial armonico que depende solo de las dos primeras variables. Cla-ramente obtenemos la existencia de dos familias de orbitas periodicas. Mediante lacontinuacion de dichas familias, observamos como el comportamiento dinamico trivialde un oscilador bidimensional es completamente modificado por la existencia de larestriccion no holonoma.

1. Introduccion

El termino de sistemas no holonomos fue introducido en mecanica por Heinrich Hertzen su famosa obra Principios de la mecanica (1894). Sistemas no holonomos son, en lıneasgenerales, sistemas con restricciones en las velocidades no integrables, es decir no es posibleexpresarlas, exclusivamente, en termino de las posiciones. Generalmente, dichos sistemassurgen en la mecanica clasica modelando la rodadura sin deslizamiento de los cuerposrıgidos y han cobrado gran importancia en la moderna ingenierıa de control: en particu-lar, en robotica, en dinamica de vehıculos y en generacion del movimiento. Existen unagran cantidad de ejemplos clasicos de sistemas no holonomos que han sido ampliamenteestudiados, la esfera de Routh, el disco rodante que cae, el patın en un plano inclinado, elrattleback (piedra celta). Bastantes libros de mecanica clasica han discutido detalladamen-te la geometrıa de sistemas Hamiltonianos y Lagrangianos; por otra parte, no ha habido

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E. Freire, J. Galan Vioque, M. Molina Becerra

mucho trabajo hasta hace poco tiempo sobre la geometrıa de los sistemas no holonomos.La geometrıa y la reduccion de tales sistemas son discutidas en los libros recientes [1, 2].

En este trabajamos investigamos el comportamiento dinamico de un sistema no holonomo,dicho sistema es una modificacion del sistema de Heisenberg [1], el cual es frecuentementeestudiado en sistemas de control.

El Algebra de Heisenberg es habitual en Mecanica Cuantica en la cual dos operadorestienen un conmutador no trivial, en el caso estandar un multiplo de la identidad ([q, p] =i~), y genera un Algebra de Lie tridimensional. El sistema analizado tiene asociado unalgebra de Lie con una estructura similar. Este hecho justifica el uso del nombre de sistemade Heisenberg el cual no tiene ninguna relacion con la Mecanica Cuantica.

En [1] se considera la energıa cinetica clasica en R3,

L(q, q) =12(q21 + q2

2 + q23

)sujeta a la restriccion

q3 = q2q1 − q1q2. (1)

Fısicamente estamos ante una partıcula libre en el espacio tridimensional sujeta a lacondicion que la velocidad de la tercera componente es igual a la tercera componente delmomento angular.

Como nuestro objetivo es estudiar el comportamiento dinamico, para hacerlo masinteresante (como veremos mas adelante), anadimos un potencial armonico que dependesolo de las dos primeras variables e introduce un unico parametro escalar α. Es decir,consideramos el potencial

V (q) =12qT Qq, (2)

con

Q =

α 0 00 1 00 0 0

,

donde α ≥ 0. Ası, vamos a estudiar el sistema de Heisenberg modificado cuya lagrangianaes

L(q, q) =12(q21 + q2

2 + q23

)− 1

2(αq2

1 + q22

)sujeto a la restriccion (1).

2. Ecuaciones de movimiento

Para deducir las ecuaciones de movimiento de nuestro sistema, vamos a seguir la for-mulacion de [5]. En dicho trabajo consideramos un sistema mecanico definido por suLagrangiano dado en coordenadas generalizadas (q1, · · · , qn), y velocidades generalizadas,(q1, · · · , qn), es decir

L(q, q) =12qT M(q)q − V (q) ,

donde M(q) ∈ Mn×n es simetrica y definida positiva. Suponemos que la restriccion noholonoma es lineal en velocidades, es decir

C(q, q) = bT (q)q = 0.

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El Sistema de Heisenberg modificado

En dicho caso, las ecuaciones de movimiento para el sistema anterior, en funcion de lascoordenadas generalizadas (q1, · · · , qn) y los momentos generalizados (p1, · · · , pn) vienedada por (

qp

)= J∇H+

(0

b

bT M−1bT{H,C}

). (3)

donde

J =(

0 In

−In 0

).

H, es el hamiltoniano del sistema, es decir, H(q, p) =12pT M−1(q)p + V (q). Y finalmente,

{·, ·} denota el corchete de Poisson, es decir {H,C} = −∇CT J∇H. Ademas dicho sistematiene, al menos, dos cantidades conservadas, la restriccion y el hamiltoniano sujeto a quese cumpla la restriccion.

Siguiendo esta nueva formulacion, el Hamiltoniano de nuestro sistema es

H(q, p) =12(p2

1 + p22 + p2

3) +12(αq2

1 + q22) (4)

sujeto a la restriccionC(q, p) = −q2p1 + q1p2 + p3 = 0 (5)

Observamos que si consideramos dicho sistema sin la restriccion, fısicamente representaun oscilador armonico con 2 grados de libertad en un espacio tridimensional en el cual lafuerza potencial no actua en la tercera componente.

Luego para nuestro sistema (4)-(5), la ecuacion de movimiento (3) esq = p

p = −

αq1

q2

0

+ (1− α)q1q2

q21 + q2

2 + 1

−q2

q1

1

(6)

sujeto a la restriccion, (5).La correspondiente primera integral es:

H|C =12

(p21 + p2

2 + (q2p1 − q1p2)2)

+12(αq2

1 + q22

). (7)

Observamos que el tercer grado de libertad (q3 y p3) se puede desacoplar comple-tamente del resto del sistema y el comportamiento dinamico del sistema de Heisenbergmodificado puede ser reducido a estudiar el comportamiento dinamico de un sistema condos grados de libertad y una cantidad conservada. Y una vez que el sistema reducidohaya sido integrado (bien analıtica o numericamente) la tercera componente puede serrecuperada de la restriccion.

Esta propiedad de desacople es caracterıstica de los sistemas no holonomos llamadosChaplygin. Un gran numero de ejemplo no triviales pertenecen a esta clase de sistemas,por ejemplo el disco o la esfera en un plano rugoso, el trineo en un plano inclinado [7].

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E. Freire, J. Galan Vioque, M. Molina Becerra

2.1. Sistema de Heisenberg reducido

Las ecuaciones de movimiento reducidas para los dos grados de libertad q1 y q2 son:

q1 = p1

q2 = p2

p1 = −αq1 + (1− α)q1q2

q21 + q2

2 + 1(−q2)

p2 = −q2 + (1− α)q1q2

q21 + q2

2 + 1q1

(8)

y el subsistema desacoplado, {q3 = p3

p3 = q2p1 − q1p2.(9)

La ecuacion (8) representa un sistema conservativo (no hamiltoniano) con (7) comouna cantidad conservada. Un calculo directo nos da que el origen es el unico equilibrio conautovalores ±i

√α y ±i.

Ademas, el sistema tiene dos reversibilidades:

R1 : (q1, q2, p1, p2, t) 7→ (q1, q2,−p1,−p2,−t)R2 : (q1, q2, p1, p2, t) 7→ (−q1,−q2, p1, p2,−t).

(10)

En el caso no resonante el Teorema del centro de Lyapunov para sistemas conservativoso reversibles [3, 8] predice la existencia de dos familias de orbitas periodicas partiendo delorigen. De hecho, en este caso, estas dos familias son simples osciladores armonicos quepersisten para cualquier valor de la energıa y pueden ser analıticamente determinadascomo

(F1){

p2 ≡ q2 ≡ 0q1 + αq1 = 0

y (F2){

p1 ≡ q1 ≡ 0q2 + q2 = 0

Los perıodos de estas familias de Lyapunov que parten del origen son T1 = 2π√α

yT2 = 2π, respectivamente.

3. Analisis del comportamiento dinamico

3.1. Secciones de Poincare y diagramas de bifurcacion

Es evidente que para α = 1 el sistema es lineal y el comportamiento dinamico es trivial.Nuestro objetivo es ver como este comportamiento cambia para otro valores del parametroα y diferentes condiciones iniciales (lo que corresponde a distintos valores de H).

Sistemas con dos grados de libertad con una cantidad conservada son ejemplos dondelas secciones de Poincare pueden ayudar a visualizar el cambio en la dinamica. La cantidadconservada nos ayuda a reducir la dimension del problema. En nuestro caso elegimos q1 = 0como seccion de Poincare y eliminamos p1 desde la cantidad conservada. Nosotros hemosexplorado el plano α − H de parametros computando las correspondientes secciones dePoincare.

Ası, primero hemos fijado un valor de H = 3 y hemos ido incrementando los valoresde α. Como era de esperar, cerca de α = 1 la dinamica es trivial, pero variando un po-co el valor de α, encontramos dinamica complicada con la tıpica estructura de sistemas

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El Sistema de Heisenberg modificado

conservativos (o reversibles en dimension par); rotura de toros invariantes, soluciones sub-armonicas, regiones caoticas,. . . . Tambien, hemos fijado un valor de α = 0.01 y hemos idoincrementado el valor de la cantidad conservada H.

(a) α = 0.001, H = 3 (b) α = 10, H = 3

(c) α = 0.01, H = 2 (d) α = 0.01, H = 4

Figura 1: Secciones de Poincare para distintos valores de la energıa, H y del parametro α. La familia F1 esrepresentada como un punto en el origen (p2 = q2 = 0). Y el cırculo verde es la familia F2.

Nuestro siguiente paso ha sido continuar las familias de Lyapunov, para ello hemosseguido el metodo introducido en [6]. En la figura 2 dibujamos el diagrama de bifurcacionpara la familia F1 para α = 0.01 cuando el parametro H varıa. Se puede observar que elcomportamiento es bastante rico con una sucesion alternante de puntos de ramificacion ypuntos de duplicacion de periodo.

3.2. Ecuacion variacional

En esta seccion vemos desde un punto de vista teorico el comportamiento encontradoen los resultados de continuacion numerica.

Comenzamos derivando las ecuaciones variacionales de las familias F1 y F2,

(VF1)

q1 + αq1 = 0

q2 +(

1 + αq21

q21 + 1

)q2 = 0

y (VF2)

q2 + q2 = 0

q1 +(

α + q22

q22 + 1

)q1 = 0

5

E. Freire, J. Galan Vioque, M. Molina Becerra

0 2 4 6 8 10 12 140

1

2

3

4

5

6

L 2 nor

m

0 2 4 6 8 10 12 14−4

−3

−2

−1

0

1

BP fu

nctio

n

H

(a) Diagrama de bifurcacion para la familia F1

con α = 0.01

0 2 4 6 8 10 12 14−4

−2

0

2

4

Arg(µ)

0 2 4 6 8 10 12 14−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

H

Log(|µ|)

(b) Multiplicadores de Floquet

Figura 2: En el panel (a1), el eje vertical representa la norma L2 de la solucion y el eje horizontal el valordel Hamiltoniano. La lınea solida es la rama principal, los cırculos indican los puntos de rama mientras quelos cuadrados indican los puntos de duplicacion de periodo. En el panel (a2) dibujamos el determinante dela matriz de continuacion a lo largo de la rama principal que es usado para testear que efectivamente nosencontramos en un punto de ramificacion. En el panel (b) representamos el argumento principal en el intervalo[−π, π] y el logaritmo, respectivamente, de los multiplicadores de Floquet a lo largo de la rama principal.

Nota.- Mediante un reescalado, es facil ver que el problema (VF1) se transforma enq1 + q1 = 0

q2 +(

1/α + q21

q21 + 1

)q2 = 0

.

Luego nos podemos concentrar en uno de los dos problemas y despues trasladar la infor-macion obtenida a la otra familia.

Ası vamos a estudiar el problema (VF2). Tenemos que q2(t) = A cos(t) y sustituyendoen la segunda ecuacion de (VF2) llegamos a,

q1 + q1

(α +

(1− α)A2 cos2(t)A2 cos2(t) + 1

)= 0. (11)

Es facil ver que la solucion trivial (A = 0) de la ecuacion (11) experimenta una bi-furcacion de duplicacion de periodo para α =

(k − 1

2

)2 y un punto de ramificacion paraα = k2 con k = 1, 2, . . . .

La ecuacion (11) es una ecuacion de tipo Hill con periodo mınimo T = π. De acuerdocon el Teorema de Floquet, la ecuacion de Hill, en general, tiene una unica solucion deperiodo π o 2π [4]. En el caso en que dos soluciones linealmente independientes (y entoncestodas) de la ecuacion de tipo Hill sean de perıodo π o 2π, se dice que dichas solucionescoexisten.

El problema de coexistencia en la ecuacion (11) es resuelto haciendo uso de la teorıadesarrollada para la ecuacion de Ince, es decir una ecuacion de tipo Hill de la forma

(1 + a cos(2t))x′′ + b sin(2t)x′ + (c + d cos(2t))x = 0, (12)

6

El Sistema de Heisenberg modificado

donde a, b, c y d son parametros reales con |a| < 1. Aplicando la teorıa desarrollada en[4] para la ecuacion de Ince, tenemos que para la ecuacion (11) no hay coexistencia delas soluciones π−periodicas y, en este caso, la teorıa predice la existencia de lenguas deinestabilidad acotadas. Sin embargo, para las soluciones 2π-periodicas la teorıa prediceque hay siempre coexistencia de soluciones y las lenguas se vuelven una unica lınea dondelas dos curvas de duplicacion de periodo coinciden.

Otra importante aplicacion de este resultado es que en un entorno de un punto deramificacion no puede existir otra solucion con el mismo periodo y ninguna rama nuevapuede partir de la rama principal. Analogamente, la teorıa permite la posibilidad de otrasolucion en un punto de duplicacion de periodo (con periodo 2π) y una unica rama puedepartir de un punto de duplicacion de periodo. Sin embargo, hacemos hincapie, que esteresultado es un analisis lineal y por tanto, es simplemente una condicion necesaria perono suficiente.

Por ultimo, para completar el estudio hecho de la ecuacion variacional, hemos con-tinuado dichas ecuaciones como un sistema no autonomo y hemos creado un diagramaen el plano A − α para las familias F1 y F2 (figuras 3(a) y 3(b)). El resultado, comoefectivamente predice la teorıa, nos dice que la solucion trivial experimenta o un puntode ramificacion o una bifurcacion de duplicacion de periodo siempre que α sea igual a(k − 1

2

)2 o k2 respectivamente, con k = 1, 2, . . . . Sin embargo, desde cada punto de rami-ficacion parten dos nuevas curvas en el plano A − α y solo una para las bifurcaciones deduplicacion de periodo. Teniendo en mente que H es igual a αA2

2 y a A2

2 para la familiaF1 y F2 respectivamente, estos diagramas del sistema variacional pueden ser usados paraexplicar el diagrama de bifurcacion, figura 2. Nosotros unicamente tenemos que trazaruna lınea horizontal (H constante y variamos α) o vertical (α constante y variamos H).Observamos que en este caso hemos encontrado que la familia F1 experimenta un numerocontable de bifurcaciones cuando α tiende a cero, explicando el comportamiento bastanterico encontrado en el analisis de las secciones de Poincare.

Agradecimientos

Los autores quieren agradecer la financiacion proporcionada por el Ministerio de Edu-cacion y Ciencia a traves de los proyectos BFM2003-00247 y MTM2006-00847.

Referencias

[1] A.B. Bloch, Nonholonomic mechanics and control, Interdisciplinary Applied Mathematics, vol. 24,Springer-Verlag, New York, 2003

[2] J. Cortes Monforte, Geometric, control and numerical aspects of nonholonomic systems, LectureNotes in Mathematics, vol. 1793, 2002.

[3] R. Devaney Blue sky catastrophe in reversible and hamiltonian systems, vol 26 , Indiana UniversityMathematical Journal, 247–263, 1977.

[4] W. Magnus and S. Winkler. Hill’s equation. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics,No. 20. Interscience Publishers John Wiley & Sons New York-London-Sydney, 1966.

[5] M. Molina-Becerra, E. Freire, J. Galan-Vioque, Dynamical behavior of nonholonomic Hamiltoniansystems: application to the Heisenberg system, Sometido a publicacion.

[6] F. J. Munoz-Almaraz, E. Freire, J. Galan, E. Doedel, and A. Vanderbauwhede. Continuation ofperiodic orbits in conservative and Hamiltonian systems ,Phys. D, 181:1–38, 2003.

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E. Freire, J. Galan Vioque, M. Molina Becerra

(a) Conjunto de bifurcaciones en el planoA − α de parametros de la familia F2.Observamos,como predice la teorıa, quela solucion trivial experimenta un puntode ramificacion (curvas rojas) y duplica-cion de periodo (curvas azules) siempre que

α =�k − 1

2

�2o α = k2 respectivamente,

con k = 1, 2, . . . .

(b) Conjunto de bifurcaciones en el planoA − α de parametros de la familia F1.En este caso, la familia F1 experimentaun numero contable de bifurcaciones cuan-do α tiende a cero, explicando el compor-tamiento extremadamente rico encontradoen el analisis de la secciones de Poincare

Figura 3: Conjunto de bifurcaciones en el plano A− α de parametros de las familias F2 y F1.

[7] Yu. I. Neımark, N. A. Fufaev. Dynamics of Nonholonomic Systems, Translations of MathematicalMonographs, vol. 33, American Mathematical Society, Providence, RI, 1972.

[8] A. Vanderbauwhede. Families of periodic solutions for autonomous systems, A.R. Bednarek andL. Cesari, editors, Dynamical Systems II, pages 427–446. Academic Press, New York, 1982.

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