COMPONENTES SIMETRICOS

CURSO REDES ELECTRICAS II 1

CAPITULO I

COMPONENTES SIMÉTRICAS

Nota preliminar: En este capítulo excepcionalmente, emplearemos la notación V (sinraya superior) para un complejo y |V| para su módulo ya que casi no aparecen módulosen los desarrollos.

Introducción

Sea un vector de tres componentes complejas.

Este vector puede tener distintas interpretaciones en un circuito trifásico, donde setiene siempre tres componentes:

• Tensión en un punto del circuito respecto a un punto de referencia (que sueleser el neutro del sistema).

• Tensión entre dos “puntos” del circuito (tenemos tres parejas de puntosgeométricos).

• Corriente en un ramal.• Impedancia de un ramal.• Potencia eléctrica consumida en un ramal (en cada fase del ramal se tiene una

potencia compleja - activa y reactiva).• Etc.

Llamaremos a los números complejos ,,, 321 VVV “componentes fásicas” del

vector V�

:

( )321 ,, VVVV =�

3V

2V

2V


Es fácil ver que este vector se puede descomponer en la suma de tres vectoresperfectos en la forma siguiente:

El vector directo esta formado por tres componentes de igual módulo, de ángulo120° dos a dos y de secuencia horaria; el vector inverso por tres componentes de igualmódulo, ángulo 120° dos a dos, secuencia anti-horaria, y el vector homopolar por trescomplejos de igual módulo y en fase.

Utili zando el operador °= 120jea , usamos la siguiente notación:

Es obvio que el solo conocimiento de hid VVV ,, determina completamente los

tres vectores perfectos.

Tendremos:

de donde:

î

==

=

dd

dd

dd

aVV

VaV

VV

3

22

1

î

=

==

ii

ii

ii

VaV

aVV

VV

23

2

1

î

===

hh

hh

hh

VV

VV

VV

3

2

1

( ) ( ) ( )321321321 ,,,,,, hhhiiiddd VVVVVVVVVV ++=�

VVaaVV

VaVVaV

VVVV

id

hid

hid

++=

++=

++=

23

22

1

Vector“directo”

3dV1dV

2dV

Vector“ inverso”

3iV

1iV

2iV

Vector“homopolar”

3hV

2hV

1hV


Conocidos ),,( hid VVV quedan determinados ),,( 321 VVV y, recíprocamente dados

),,( 321 VVV existen y son únicos ),,( hid VVV ya que la matriz de paso es:

1

1

111

2

2

aa

aa , que es invertible por ser su determinante 0)(3 2 ≠− aa

La inversión de esta matriz nos da:

Lamando ),,( hids VVVV =�

“vector simétrico” asociado a V�

existe una correspondensia

biunívoca entre el vector “ fásico” y el vecor simétrico:

Los números complejos hid VVV ,, se llaman, respectivamente, componente

“directa” , “ inversa” y “homopolar” del vector V�

, distinguiéndolos así de suscomponentes “ fasicas” ; también pueden notarse así:

( )

( )

( )321

322

1

32

21

3

13

13

1

VVVV

aVVaVV

VaaVVV

h

i

d

++=

++=

++=

( ) ( )hids VVVVVVVV ,,,, 321 =↔=��

( )( )( )

î

===

hh

i

dd

VV

iVV

VV

�

�

�


Propiedades aritmétricas del operador “ a ” :

Casos particulares:

1. V�

directo: ( ) ( )0,0,,, 1112

1 VaVVaV ↔ Fásicas Simétricas

“Un vector directo sólo tiene componente directa”

2. V�

inverso: ( ) ( )0,,0,, 112

11 VVaaVV ↔ Fásicas Simétricas

“Un vector inverso sólo tiene componente inversa”

3. V�

“homopolar” : ( ) ( )VVVV ,0,0,, ↔ Fásicas Simétricas

“Un vector homopolar sólo tiene componente homopolar”

Ejemplos:

1) Tramo de un circuito equili brado o receptor formado por tres impedancias iguales:

2) Fuente equili brada:

123 Con secuencia directa

Componentes simétricas: ( )0,0,V

3

01

12

3

2

1

2

3

2

1

2

2

3

º2402

º120

jaa

aa

a

jaea

jea

j

j

=−

=++

=

−−===

+−==

�

VVVV === 321

Fásicas Simétricas

( ) ( )ZZZZ ,0,0,, ↔

Z

Z

Z


Operaciones:

1) Suma:

Sean ( )321 ,, VVVV =�

y ( )321 ,, UUUU =�

. La suma de esos dos vectores es:

Es consecuencia de la linealidad de la transformación a componentes simétricas:

Aplicación a circuitos trifásicos:

a) Corrientes en un nudo:

Las componentes simétricas de J�

son suma de las componentes simétricascorrespondientes de 1I

�

e 2I�

.

b) Tensiones en dos ramas en serie:

Las componentes simétricas de V�

son la suma de las componentes simétricascorrespondientes de 1V

�

y 2V�

.

Representaciónunifilar del nudo.

(ley de Kirchoff)

( )332211 ,, UVUVUVUV +++=+��

( )( )( ) hhh

iii

ddd

UVUV

UVUV

UVUV

+=++=++=+

��

��

��

21 IIJ��

+=

Representaciónunifilar.

+-

V�

1V�

2V�

1I�

2I�

J�


c) Impedancias en serie:

Las componentes simétricas del vector fásico ( )332211 ',',' ZZZZZZ +++ son la

suma de las componentes simétricas correspondientes de los vectores fásicos( )321 ,, ZZZ y ( )321 ',',' ZZZ .

2) Producto de un número por un vector:

Sean el vector fásico ( )321 ,, VVVV =�

y el número complejo α . Es consecuencia de

la linealidad que las componentes del vector fásico ( )321 ,, VVVV αααα =�

son:

En particular, para α = -1:

Aplicación a circuitos trifásicos:

Si las tres impedancias del ramal son iguales, el vector fásico de tensiones entrebornes es (ley de Ohm):

( )( )( ) hh

ii

dd

VV

VV

VV

αααααα

===

�

�

�

( )( )( ) hh

ii

dd

VV

VV

VV

−=−−=−−=−

�

�

�

ZI1

ZI 2

ZI3

V�+ -

( ) ( )321321 ,,,, IIIZZIZIZIV ==�

22 'ZZ +11 'ZZ +

33 'ZZ +2Z

3Z

2'Z

1'Z

3'Z

1Z


y por lo tanto sus componentes simétricas son:

En caso de una impedancia perfecta, la ley de Ohm puede aplicarse en las tressecuencias en forma desacoplada.

3) Producto fásico:

Dados los vectores fásicos ( )321 ,, VVVV =�

y ( )321 ,, UUUU =�

, llamamos producto

fásico de esos vectores al vector fásico:

obviamente conmutativo.Queremos hallar las componentes simétricas de P

conocidas las componentessimétricas de V

y U

.

Realizando operaciones:

Análogamente se procede para iP y hP , llegandose a la formula:

hh

ii

dd

ZIV

ZIV

ZIV

===

( )332211 ,, UVUVUVUVP =⊗=

( ) [ ( )( )

( )( ) ( )( ) ]hidhidhidhid

hidhidd

UUaaUVVaaVaUaUUaVaVVaa

UUUVVVUVaUaVUVP

+++++++++

+++++=++=

22222

332

2211 3

1

3

1

udiidhd UVUVUVP ++=

( )( )( ) hhiddih

hiihddi

hdiidhd

UVUVUVUV

UVUVUVUV

UVUVUVUV

++=⊗++=⊗++=⊗


Aplicacíon a la ley de Ohm en componentes simétricas:

Por las fórmulas anteriores:

Vemos que en el caso de impedancias desequili bradas, la ley de Ohm ya no se aplica enforma desacoplada en las tres secuencias.

4) Conjugación

Dado el vector fásico ( )321 ,, VVVV =�

, llamamos “conjugado de V�

” al vector fásico:

Vamos a hallar las componentes simétricas de V��

conocidas las de V�

.

11 ZI

22 ZI

33 ZI

1V+ -

2V+ -

3V+ -

IZV

IZV

IZV

IZV��

⊗=⇒î

===

333

222

111

hhiddih

hiihddi

hdiidhd

IZIZIZV

IZIZIZV

IZIZIZV

++=++=++=

( )321ˆ,ˆ,ˆˆ VVVV =

�

( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]

( ) ( )[ ] ihidhidhid

hidhidhidd

VVVaVaaVVaVaaVVV

VVaaVaVaVVaaVVVVaVaVV

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ3

13

1ˆˆˆ3

1ˆ

222

2223

221

=++++++++=

=++++++++=++=�


Análogamente se hallan las otras componentes, obteniendose las fórmulas:

Aplicación: Potencia total consumida en un ramal desequili brado.

La potencia eléctrica total consumida en este ramal es el escalar complejo:

Se trata de la suma de las componentes fásicas del vector:

o sea que:

Usando la componente homopolar hS del vector IV ˆ

⊗ , obtenemos:

De acuerdo al resultado anterior:

( )( )( ) hh

ii

dd

VV

VV

VV

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

=

=

=

11 ZI

22 ZI

33 ZI

1V+ -

2V+ -

3V+ -

332211ˆˆˆ IVIVIVS ++=

( )321 ,,ˆ SSSIVS =⊗=

hSSSSS 3321 =++=

( ) ( ) ( )[ ]hhiddi IVIVIVS ˆˆˆ3

++=

hhiidd IVIVIVS ˆ3ˆ3ˆ3 ++=

Potencia eléctricatotal consumida en lared trifásica directa.

Potencia eléctricatotal consumida en lared trifásica inversa.

Potencia eléctrica totalconsumida en la redtrifásica homopolar.


Del punto de vista de la potencia eléctrica total consumida en el ramal, se puedeconsiderar las tres redes desacopladas, calcular la potencia eléctrica total consumida encada red de secuencia y sumar los tres resultados. Esta conclusión es por otra parteintuitiva del punto de vista físico.

5) Pasaje de un sistema estrellado a un sistema compuesto:

Sistema estrellado: ( ) ( )eheiede VVVVVVV ,,,, 321 ↔=�

Sistema compuesto:

Se trata de hallar las componentes simétricas de cV�

conocidas las de eV�

.

Puede escribirse:

1V

2V3V

0

1

23

Componentesfásicas

Componentessimétricas

( ) ( )chcicdc VVVVVVVVVV ,,,, 123123 ↔−−−=�

Componentesfásicas

Componentessimétricas

( ) ( )132213 ,,,, VVVVVVVc −=�

V�

U�


Entonces:

Nos queda:

Procediendo análogamente para las otras componentes, se obtienen las fórmulas:

El tercer resultado es previsible pues se trata de la componente homopolar de un vectorcuya suma de componentes fásicas es nula.

Aplicación: Pasaje de componentes simétricas de corrientes a través de untransformador:

Sea un transformador de relación de transformación R (primario/secundario), conconexión (el neutro de la estrella primaria puede estar eventualmente a tierra).

Siendo K la relación de espiras, se tiene: 3KR = .Cuando las corrientes que penetran al primario son equili bradas, las que salen del

secundario se obtienen multiplicando éstas por R; cuando son desequili bradas, o seacuando tienen, además de la componente directa, una componente inversa (lahomopolar es nula si el neutro está aislado o, si el neutro está a tierra, no sale deltriángulo) se trata de ver cómo se transfieren las componentes simétricas de esascorrientes al secundario:

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( )

( )32

21

32

21

322

12

12

3222

13

33

1

3333

1

113

13

1

3

1

VaaVVj

VajaVjVj

VaVaVaa

VaaVVVaaVV

UVV ddcd

++=

=++=

=−+−+−=

=++−++=

=−=

edcd VjV 3=

0

3

3

=−=

=

ch

eici

edcd

V

VjV

VjV


El vector de corrientes de líneas en el primario es:

Mientras que el vector de corrientes de líneas que salen en elsecundario es:

Pero:

Entonces:

Pero cI�

es el vector “compuesto” correspondiente al “estrellado” I�

de modo que:

Entonces, por una operación vista y recordando que RK =3 :

( )321 ,, IIII =�

( )321 ,, yyyy =�

( )( )( )1212123

3131312

2323231

''

''

''

IIKKIKIIIy

IIKKIKIIIy

IIKKIKIIIy

−=−=−=−=−=−=−=−=−=

( )123123 ,, IIIIIIKy −−−=�

cI�

1I

2I

3I

1

3

2

2'I

3'I1'I

3y

1y

2y

3

1

2

î

=−=

=

0

3

3

ch

ici

dcd

I

IjI

IjI


El resultado muestra que para obtener las componentes simétricas en el secundarioa partir de las de las corrientes primarias, deben utili zarse, ademas de la relación detransformación R, los factores multiplicativos j, -j, 0 respectivamente para las tressecuencias. Podemos imprimir un giro simultaneo a las tres componentes (cambiando elorigen de fases, pero no olvidar el giro adicional que crea el tipo de conexión deltransformador), multiplicándolas por –j, resultando los factores 1, -1, 0 que son deaplicación más práctica.

î

=−=

=

0h

ii

dd

y

jRIy

jRIy

COMPONENTES SIMETRICOS

Documents

Transcript of COMPONENTES SIMETRICOS