3.4 APLICACIONES 115

Componentes normal y tangencialCuando u~ cuerpo se mueve en una trayectoria curva plana, podemos ex-presar la segunda ley de Newton en las componentes normal y tangencial:

(3.6)

donde

dvat=-

dt'

Igualando las componentes normal y tangencial en la Ec. (3.6), obtenemosdos ecuaciones escalares de movimiento:

dv:EFt = m-,

dt(3.7)

La suma de las fuerzas en la dirección tangencial es igual al producto dela masa por la razón de cambio de la magnitud de la velocidad, y la sumade las fuerzas en la dirección normal es igual al producto de la masa porla componente normal de la aceleración (Fig. 3.5). La suma de las fuerzasperpendiculares a la trayectoria curva plana debe ser igual a cero.

Figura 3.5Componentes normal y tangencial de 1:F y a.

En los siguientes ejemplos usaremos la segunda ley de Newton expresadaen términos de las componentes normal y tangencial para analizar los mo-vimientos de los cuerpos. Dibujando el diagrama de cuerpo libre de uncuerpo se pueden identificar las componentes de las fuerzas que actúansobre él y luego usar la segunda ley de Newton para determinar las compo-nentes de su aceleración. O bien, si se conocen las componentes de la acele-ración, sepuede usar la segunda ley de Newton para determinar lasfuerzasexternas. Cuando un cuerpo describe una trayectoria circular, las compo-nentes normal y tangencial suelen ser la mejor opción para analizar sumovimiento.

Componentes normal y tangencial Cuando up. cuerpo se mueve en una trayectoria curva plana, podemos ex­presar la segunda ley de Newton en las componentes normal y tangencial:

donde

dv at =-

dt'

(3.6)

Igualando las componentes normal y tangencial en la Ec. (3.6), obtenemos dos ecuaciones escalares de movimiento:

dv :EFt = m-,

dt (3.7)

La suma de las fuerzas en la dirección tangencial es igual al producto de la masa por la razón de cambio de la magnitud de la velocidad, y la suma de las fuerzas en la dirección normal es igual al producto de la masa por la componente normal de la aceleración (Fig. 3.5) . La suma de las fuerzas perpendiculares a la trayectoria curva plana debe ser igual a cero.

Figura 3.5

3.4 APLICACIONES 115

Componente's normal y tangencial de I:F y a.

En los siguientes ejemplos usaremos la segunda ley de Newton expresada en términos de las componentes normal y tangencial para analizar los mo­vimientos de los cuerpos. Dibujando el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo se pueden identificar las componentes de las fuerzas que actúan sobre él y luego usar la segunda ley de Newton para determinar las compo­nentes de su aceleración. O bien, si se conocen las componentes de la acele­ración, se puede usar la segunda ley de Newton para determinar las fuerzas externas. Cuando un cuerpo describe una trayectoria circular, las compo­nentes normal y tangencial suelen ser la mejor opción para analizar su movimiento.

http://carlos2524.jimdo.com/

116 CAPíTULO 3 FUERZA. MASA Y ACELERACiÓN

Figura 3.6

N

(a) Diagrama de cuerpo libre de unapersona de pie en el anillohabitado.

Ejemplo 3.3

Las estaciones espaciales del futuro podrán diseñarse con movimiento giratoriopara simular una gravedad artificial. Si la distancia desde el eje de rotaciónde la estación al anillo externo habitado es R = 100 m, ¿qué razón de rotaciónse necesita para simular una gravedad igual a la mitad de la terrestre?

ESTRATEGIADibujando el diagrama de cuerpo libre de una persona en equilibrio y expresan-do la segunda ley de Newton en términos de las componentes normal y tangen-cial, podemos relacionar la fuerza ejercida sobre la persona por el piso conla velocidad angular de la estación. La persona ejerce una fuerza igual y opuestasobre el piso, que es su peso efectivo.

SOLUCiÓN

La Fig. (a) es el diagrama de cuerpo libre de una persona de pie en el anilloexterior, donde N es la fuerza ejercida por el piso. Con respecto al centro dela estación, la persona se mueve en una trayectoria circular de radio R. La segun-da ley de Newton en términos de las componentes normal y tangencial es

LF = ma:

Por tanto, N = mu2/ R. La magnitud de su velocidad es u = Rw, donde wes la velocidad angular de la estación. Si se simula una gravedad igual a la mitadde la terrestre, N = (1/2) mg. Por tanto,

1 (RW)2Zmg=m-

R-·

Resolviendo para w, obtenemos la velocidad angular necesaria de la estación,

9.81--- = 0.221 rad/s,(2)(100)

que equivale a una revolución cada 28.4 segundos.

116 CAPíTULO 3 FUERZA. MASA Y ACELERACiÓN

Figura 3.6

N

(a) Diagrama de cuerpo libre de una persona de pie en el anillo habitado.

Ejemplo 3.3

Las estaciones espaciales del futuro podrán diseñarse con movimiento giratorio para simular una gravedad artificial. Si la distancia desde el eje de rotación de la estación al anillo externo habitado es R = 100 m, ¿qué razón de rotación se necesita para simular una gravedad igual a la mitad de la terrestre?

ESTRATEGIA

Dibujando el diagrama de cuerpo libre de una persona en equilibrio y expresan­do la segunda ley de Newton en términos de las componentes normal y tangen­cial, podemos relacionar la fuerza ejercida sobre la persona por el piso con la velocidad angular de la estación. La persona ejerce una fuerza igual y opuesta sobre el piso, que es su peso efectivo .

SOLUCiÓN

La Fig. (a) es el diagrama de cuerpo libre de una persona de pie en el anillo exterior, donde N es la fuerza ejercida por el piso. Con respecto al centro de la estación, la persona se mueve en una trayectoria circular de radio R. La segun­da ley de Newton en términos de las componentes normal y tangencial es

LF = ma:

Por tanto, N = mu2/ R. La magnitud de su velocidad es u = Rw, donde w es la velocidad angular de la estación. Si se simula una gravedad igual a la mitad de la terrestre, N = (1/2) mg. Por tanto,

1 (RW)2 "2 mg =m-

R- ·

Resolviendo para w, obtenemos la velocidad angular necesaria de la estación,

9.81 -:-::-:--:-:-::-:-:- = 0.221 rad/s , (2)(100)

que equivale a una revolución cada 28.4 segundos.

http://carlos2524.jimdo.com/

3,4 APLICACIONES 117

Ejemplo 3.4

El tren experimental de levitación magnética de la Fig. 3.7 está soportado porfuerzas de repulsión magnéticas normales a las vías. El movimiento transversala las vías del tren es impedido por soportes laterales. El tren de 20 Mg viaja a30 mis sobre un segmento circular de vía de radio R = 150 m y ángulo deinclinación de 40°. ¿Qué fuerza debe ejercer el sistema de levitación magnéticapara soportar el tren y qué fuerza total ejercen los soportes laterales?

Figura 3.7

" 1t__L,

ESTRATEGIA

SOLUCiÓN

eri

Conocemos la velocidad del tren y el radio de su trayectoria circular, por loque podemos determinar su componente normal de aceleración. Expresandola segunda ley de Newton en términos de las componentes normal y tangencial,podemos determinar las componentes de fuerza normal y transversal a la vía.

La trayectoria del tren, vista desde arriba, es circular (Fig. a). El vector unitarioen es horizontal y apunta hacia el centro de la trayectoria. En la Fig. (b) dibu-jamos el diagrama de cuerpo libre del tren visto desde el frente, donde M esla fuerza magnética normal a la vía y S es la fuerza transversal. La suma delas fuerzas en la dirección vertical (perpendicular a la trayectoria circular deltren) debe ser igual a cero:

M cos 40° + S sen 40° - mg = O.

La suma de las fuerzas en la dirección en es igual al producto de la masa porla componente normal de la aceleración:

(a) Vista superior de la trayectoriacircular del tren.

v2'EFn = m- :

p

M

s

v2M sen40° - Scos40° = mli VISTA FRONTAL

(b) Diagrama de cuerpo libre del tren.Resolviendo para M y S obtenemos M = 227.4 kN y S 34.2 kN.

Ejemplo 3.4

El tren experimental de levitación magnética de la Fig. 3.7 está soportado por fuerzas de repulsión magnéticas normales a las vías. El movimiento transversal a las vías del tren es impedido por soportes laterales. El tren de 20 Mg viaja a 30 mi s sobre un segmento circular de vía de radio R = 150 m y ángulo de inclinación de 40°. ¿Qué fuerza debe ejercer el sistema de levitación magnética pai·a soportar el tren y qué fuerza total ejercen los soportes laterales?

Figura 3.7

ESTRATEGIA

Con·ocemos la velocidad del tren y el radio de su trayectoria circular, por lo que podemos determinar su componente normal de aceleración. Expresando la segunda ley de Newton en términos de las componentes normal y tangencial, podemos determinar las componentes de fuerza normal y transversal a la vía.

SOLUCiÓN

La trayectoria del tren, vista desde arriba, es circular (Fig. a). El vector unitario en es horizontal y apunta hacia el centro de la trayectoria. En la Fig. (b) dibu­jamos el diagrama de cuerpo libre del tren visto desde el frente, donde M es la fuerza magnética normal a la vía y S es la fuerza transversal. La suma de las fuerzas en la dirección vertical (perpendicular a la trayectoria circular del tren) debe ser igual a cero:

M cos 40° + S sen 40° - mg = O.

La suma de las fuerzas en la dirección en es igual al producto de la masa por la componente normal de la aceleración:

Resolviendo para M y S obtenemos M = 227.4 kN y S 34.2 kN.

3.4 APLICACIONES 117

VISTA SUPERIOR "

(a) Vista superior de la trayectoria circular del tren .

s

M

VISTA FRONTAL

(b) Diagrama de cuerpo libre del tren.

http://carlos2524.jimdo.com/

118 CAPíTULO 3 FUERZA, MASA Y ACELERACIÓN

Ejemplo 3.5

Aplicaciones a la ingenieríaDinámica de vehículosEl diseño preliminar de una rampa de autopista es circular con radio R = 300pies (Fig. 3.8). Si se supone que el coeficiente de fricción estática entre los neu-máticos y el camino es de por lo menos Jls = 0.4, ¿cuál es la velocidad máximaa la que los vehículos pueden entrar a la rampa sin perder tracción?

Figura 3.8 - --300 pies

IESTRATEGIAComo un vehículo sobre la rampa se mueve en una trayectoria circular, tieneuna componente de aceleración normal que depende de su velocidad. La com-ponente normal de la fuerza necesaria es ejercida por la fricción entre los neu-máticos y el camino, y la fuerza de fricción no puede ser mayor que el productode Jls por la fuerza normal. Suponiendo que la fuerza de fricción es igual aeste valor, podemos determinar la velocidad máxima para que no ocurra desli-zamiento.

SOLUCiÓN

En la Fig. (a) vemos el diagrama de cuerpo libre de un auto sobre la rampa,y en la Fig. (b) lo vemos desde el frente. La fuerza de fricciónfdebe ser igual

mg

(a) Vista superior del diagrama de cuerpo libre. (b) Vista frontal.

118 CAPíTULO 3 FUERZA MASA Y ACELERACIÓN

Figura 3.8

Ejemplo 3.5

Aplicaciones a la ingeniería Dinámica de vehículos El diseño preliminar de una rampa de autopista es circular con radio R = 300 pies (Fig. 3.8). Si se supone que el coeficiente de fricción estática entre los neu­máticos y el camino es de por lo menos /ls = DA, ¿cuál es la velocidad máxima a la que los vehículos pueden entrar a la rampa sin perder tracción?

--------¡¡¡¡-¡;;¡¡¡¡¡---==-:~-;,;--._.;.:.=--======; .. ;::= .-

300 pies

I ESTRATEGIA

Como un vehículo sobre la rampa se mueve en una trayectoria circular, tiene una componente de aceleración normal que depende de su velocidad. La com­ponente normal de la fuerza necesaria es ejercida por la fricción entre los neu­máticos y el camino, y la fuerza de fricción no puede ser mayor que el producto de /ls por la fuerza normal. Suponiendo que la fuerza de fricción es igual a este valor, podemos determinar la velocidad máxima para que no ocurra desli­zamiento .

SOLUCiÓN

En la Fig. (a) vemos el diagrama de cuerpo libre de un auto sobre la rampa, yen la Fig. (b) lo vemos desde el frente. La fuerza de fricciónfdebe ser igual

mg

(a) Vista superior del diagrama de cuerpo libre. (b) Vista frontal.

http://carlos2524.jimdo.com/

al producto de la masa m del auto por su componente normal de aceleración:

v2

!=m-.R

La fuerza de fricción requerida aumenta con la velocidad v. La fuerza de fric-ción máxima que la superficie puede proporcionar eS/máx= /J.,!V = /J.smg. Portanto, la velocidad máxima para que no ocurra deslizamiento es

v = .j JLsg R = .j (0.4)(32.2)(300) = 62.2 pie/s,

o 42.4 mi/h.

CONSIDERACIONES DE DISEÑOLos ingenieros mecánicos, los ingenieros civiles que diseñan carreteras y losingenieros que estudian los accidentes de tránsito y su prevención deben analizary medir los movimientos de vehículos en diferentes condiciones. Usando losmétodos descritos en este capítulo, pueden relacionar las fuerzas que actúansobre los vehículos con sus movimientos y estudiar, por ejemplo, los efectosdel peralte y la curvatura sobre la velocidad con que se puede guiar con seguri-dad un vehículo sobre un camino en curva (Fig. 3.9).

En el Ej. 3.5, el análisis indica que los vehículos perderán tracción si entrana la rampa con velocidades superiores a 42.4 mi/h. Esto puede danos una ideade la velocidad límite que se debe señalar para que los vehículos entren a larampa con seguridad, o bien la rampa se podría diseñar para una mayor veloci-dad incrementando su radio de curvatura. Sin embargo, si se desea una mayorvelocidad segura y las limitaciones de espacio impiden usar un mayor radio decurvatura, la rampa sepodría diseñar con un peralte adecuado (véase Probo 3.65).

3.4 APLICACIONES 119

Figura 3.9Las pruebas de la capacidad de losvehículos para tomar curvas influyen enel diseño de éstos y de las carreteras.

al producto de la masa m del auto por su componente normal de aceleración:

v2

!=m-. R

La fuerza de fricción requerida aumenta con la velocidad v. La fuerza de fric­ción máxima que la superficie puede proporcionar eS/máx = fJ.,N = fJ.smg. Por tanto, la velocidad máxima para que no ocurra deslizamiento es

v = J¡.tsgR = J(0.4)(32.2)(300) = 62.2 pie/s,

o 42.4 mi/h.

CONSIDERACIONES DE DISEÑO

Los ingenieros mecánicos, los ingenieros civiles que diseñan carreteras y los ingenieros que estudian los accidentes de tránsito y su prevención deben analizar y medir los movimientos de vehículos en diferentes condiciones. Usando los métodos descritos en este capítulo, pueden relacionar las fuerzas que actúan sobre los vehículos con sus movimientos y estudiar, por ejemplo, los efectos del peralte y la curvatura sobre la velocidad con que se puede guiar con seguri­dad un vehículo sobre un camino en curva (Fig. 3.9).

En el Ej. 3.5, el análisis indica que los vehículos perderán tracción si entran a la rampa con velocidades superiores a 42.4 mi/h. Esto puede danos una idea de la velocidad límite que se debe señalar para que los vehículos entren a la rampa con seguridad, o bien la rampa se podría diseñar para una mayor veloci­dad incrementando su radio de curvatura. Sin embargo, si se desea una mayor velocidad segura y las limitaciones de espacio impiden usar un mayor radio de curvatura, la rampa se podría diseñar con un peralte adecuado (véase Probo 3.65).

3.4 APLICACIONES 119

Figura 3.9

Las pruebas de la capacidad de los vehículos para tomar curvas influyen en el diseño de éstos y de las carreteras.

http://carlos2524.jimdo.com/