RESOLUCIÓN DEL PRACTIQUEMOS DE LA FICHA N° 7

COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES

Actúa y piensa en

situaciones de forma,

movimiento y

localización.

Comunica y

representa

ideas

matemáticas

Grafica transformaciones geométricas de

rotar, trasladar, reflejar, ampliar y reducir en

un plano cartesiano o cuadrícula.

1. Se muestra el plano de un centro comercial de una sola planta. La parte coloreada

representa las áreas por donde transita la gente. Se van a instalar cámaras de

seguridad para observar toda el área transitable. Estas cámaras podrán tener una

vista de 360°. Coloca en el plano los puntos donde se deberían instalar las

cámaras para que sean la menor cantidad posible y que con estas se pueda observar toda el área transitable.

Al Observar la gráfica, deducimos que las cámaras deben ser colocar en dos

vértices opuestos de la región rectangular, esto permitirá que una cámara vigile

dos sectores transitables, además nos permite cumplir la condición “sean la

menor cantidad posible”.

Caso 1 Caso 2

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Actúa y piensa en

situaciones de forma,

movimiento y

localización.

Comunica y representa

ideas matemáticas

Grafica transformaciones

geométricas de rotar, trasladar,

reflejar, ampliar y reducir en un

plano cartesiano o cuadrícula.

2. ¿Cuál de las siguientes opciones muestra el resultado de rotar la figura en 180° sentido horario alrededor del punto 0?

Solución:

Respuesta: Alternativa “C

90°

90°

Rotación con sentido horario. Giro 90º

Rotación con sentido horario. Giro 180º

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Comunica y representa

ideas matemáticas

Grafica transformaciones

geométricas de rotar, trasladar,

reflejar, ampliar y reducir en un

plano cartesiano o cuadrícula.

3. En una tarea de arte, Dante realizo la ampliación de la siguiente

figura.

Si la ampliación consistía en duplicar la figura, dibuja en la

cuadricula la figura ampliada por Dante.

Como la ampliación solicitada es el doble, es decir K = 2, bastara con contar las

cuadriculas de la primera gráfica y luego multiplicar por 2 ó duplicarla.

2 cuadrados

x2

4 cuadrados

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Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización

Matematiza Expresa diseños de planos y mapas a escala con regiones y formas

ITEM 4: Elena está diseñando el jardín rectangular de un condominio. Ella ha plasmado su diseño en una hoja en la cual 1 cm equivale a 1 m. Si cuenta con 100 m de vallas, escribe verdadero o falso según corresponda:

I. Según el diseño de Elena, el jardín tendrá una superficie de 525 m2.

II. Si ella quiere ampliar la superficie del jardín, necesariamente debe comprar más vallado.

III. Si reduce 5 m a un lado y aumenta 5 m al otro, no varía el área del jardín.

IV. Si la superficie del jardín se reduce a la mitad, también se necesitaría la mitad de la longitud del vallado.

a. VVFFb. FVVVc. FFFF d. VFFF

Solución:

Graficamos el jardín:

15 cm

35 cm

Perímetro de la figura rectangular = cmp 100)15(2)35(22

Por la escala de que 1 cm = 1 m, tenemos que los 100 cm = 100 m de vallas necesarias para cercar el terreno.

I. 2525

)15)(35(

cmA

A

, por la escala dada esto equivale a 525 m2. Por lo tanto, es verdadera.

II. Falso, porque con las dimensiones 30 x 20 = 600 la superficie aumenta y el perímetro se mantiene en 100 cm

20cm

30cm

III. Se tendrían dos casos:

2

2

2

1

400)10)(40(

600)20)(30(

mA

mA

, por lo tanto, la afirmación es falsa. Porque si varia.

IV. Nuevamente se tendrían dos casos:

mp

mp

85)35(2)5,7(22

65)5,17(2)15(22

2

1

,

estos perímetros no son la mitad del inicial, por lo tanto, la afirmación es falsa.

Respuesta: CLAVE B

Caso 1

caso 2

caso1 caso 2

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ITEM 5: Respecto al problema anterior, ¿cuánto será la máxima superficie que podrá tener el jardín utilizando los 100m de vallas? a. 525 m2 b. 625 m2 c. 2500 m2 d. 10 000 m2

Solución: Por simple inspección: Del enunciado tenemos que los datos obtenidos del perímetro y la incógnita del área máxima, se obtiene:

máxxy

yx

50, buscando valores que sumen 50 y resulten el mayor producto posible, se llega a la conclusión que este

valor es posible cuando ambas incógnitas son iguales, por lo tanto ambos valen 25m y el área máxima resulta 625m2.

Por ensayo error

Se debe hallar la máxima superficie, por lo tanto multiplicamos los lados del rectángulo.

(x) (y) = máx

(30) (20) = 600

(29) (21) = 609

(28) (22) = 616

(27) (23) = 621

(26) (24) = 624

(25)(25) = 625

(31) (19) = 589

Rpta: La máxima superficie que podrá tener el jardín utilizando los 100 m de vallas es 625 m2 . CLAVE B

Otra forma de mayor nivel:

perímetro:

xy

yx

yx

50

50

10022

Se busca que la superficie (área) sea máxima, es decir, xy = máx.

Entonces los lados se pueden expresar de la siguiente manera:

xL

xL

502

1

Calculando el área: 250)50( xxxx , como esta es una expresión cuadrática donde el coeficiente principal es

negativo, corresponde a una parábola cóncava hacia abajo. Por lo tanto, el valor máximo corresponde al vértice de la

parábola.

22 625)25(25)2550(2525)25(50

25)1(2

50

2

);(

mhfk

xa

bh

khVértice

Por lo tanto, los lados mL

mL

252550

25

2

1

, son iguales y se obtiene el área máxima de 625m2.

Rpta: La máxima superficie que podrá tener el jardín utilizando los 100 m de vallas es 625 m2

CLAVE B

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ITEM 6: Considera los datos de los problemas 4 y 5: si Elena no quiere limitarse a jardines de forma rectangular, sino que también quiere diseñarlos circulares, y quiere utilizar la mayor longitud de vallas disponibles, ¿cuánto mediría la máxima longitud entera del radio de la superficie del jardín si este tuviera forma circular? Considera π= 3,14. a. 15 m b. 16 m c. 50 m d. 100 m

Solución: La cantidad de metros de vallas que se tiene son 100m, esta cantidad de vallas se mantiene como longitud de la

circunferencia.

Entonces tenemos, ))((2100 r

Siendo el valor de 14,3 , calculamos el radio máximo, aproximándolo a un valor entero:

r

r

r

92,15

)(28,6100

))(14,3(2100

En este caso nos dice por dato el máximo entero, por ello se puede redondear a 15, puesto que es el radio máximo para un

perímetro inicial de 100m, que es la cantidad de valla que se dispone.

Área del circulo=2 r2 100= 2 (3,14) r2

RESOLUCIÓN.- El mapa nos muestra la ubicación de los pueblos y los minutos que demora de ir de un lugar a otro. Como nos piden trasladarnos de Gardenias al pueblo de Jazmines en el menor tiempo, entonces procedemos a observar el mapa de carreteras y ubicamos el pueblo de Gardenias y Jazmines.

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ITEM 7.

El siguiente mapa corresponde a la red de carreteras que une los pueblos de un distrito. En él está indicado el tiempo en minutos que demora ir de un lugar a otro. ¿Cuántos minutos como mínimo demora una persona para ir de las Gardenias a los Jazmines?

a. 28 minutos. b. 33 minutos. c. 21 minutos. d.20 minutos.

Podemos observar que podemos llegar de diferentes formas pero como nos piden en el mínimo de tiempo y teniendo en cuenta que la distancia más corta de un punto a otro es una línea recta, tenemos que:

De Gardenias a Dalias, demora 5 minutos De Dalias a Azucenas, demora 6 minutos De Azucenas a Lupinus, demora 7 minutos De Lupinus a Jazmines, demora 2 minutos

Entonces el total del tiempo mínimo empleado es: 5 + 6 + 7 + 2 = 20.

Por tanto, los minutos como mínimo que demora una persona para ir de las Gardenias a los Jazmines es 20 minutos.

Respuesta: Alternativa d) 20 minutos

Para resolver este problema nos desplazamos por el mapa y determinamos que viaje demora 31 minutos para ir de un lugar a otro. Y nos damos cuenta que tenemos diferentes opciones como:

De Zinnia a Azucenas o viceversa. 5+6+8+2+4+6=31 minutos (ruta con las flechas azules) De Gardenias a Jazmines o viceversa. 6+5+10+5+3+2=31 (ruta con las flechas negras) De Gardenias a Geranios o viceversa. 8+2+4+6+6+5=31 (ruta con las flechas rojas)

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movimiento y localización.

Comunica y representa ideas matemáticas.

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ITEM 8. Con respecto al problema anterior, si Ernesto demoró 31 minutos en trasladarse, ¿de qué lugar a otro pudo haber ido?

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Actúa y piensa en

situaciones de forma,

movimiento y localización. Matematiza

Usa modelos, relacionados a figuras poligonales regulares, compuestas, triángulos y el círculo para plantear y resolver problemas.

ITEM 9. Se desea colocar una plancha de vidrio sobre el tablero de una mesa que tiene forma de un hexágono regular. Si uno de los lados de la mesa tiene 4 dm, determina la superficie del vidrio que

Como la plancha de vidrio que debemos colocar sobre el tablero de la mesa tiene que tener también la forma de

un hexágono regular.

Y sabemos que un hexágono regular está compuesto por 6 triángulos equiláteros,

entonces hallamos el área de un triángulo equilátero que tiene de lado 4dm.

Finalmente como el hexágono tiene 6 triángulos equiláteros, al área obtenida lo multiplicamos por 6.

Entonces la superficie del vidrio que encaja exactamente para cubrir todo el tablero de la mesa es

Respuesta: la alternativa “c”

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Matematiza Usa modelos, relacionados a figuras poligonales regulares, compuestas, triángulos y el círculo para plantear y resolver problemas.

encaja exactamente para cubrir todo el tablero de la mesa.

a. 236 dm

b. 26dm

c. 2324 dm

d. 24 dm2

4 dm

ÍTEM 10: En la plaza de una ciudad se está construyendo una pileta de forma circular. Se van extender 5 tubos

que irán desde el centro de la pileta hasta 5 puntos en el borde de esta; en ellos se instalarán grifos

distribuidos a una misma distancia unos de otros. ¿Cuánto medirá el ángulo de abertura entre tubo y

tubo?

a. 36° b. 72° c. 90° d. 360°

Resolución:

1° Si en la pileta se van a instalar 5 tubos, cada uno de estos tubos representará el radio de la circunferencia.

2° Dice el enunciado del ítem que en el extremo que coincide con la circunferencia se colocará un grifo y además los cinco

grifos estarán separados la misma distancia, entonces se forman 5 ángulos congruentes.

Por lo tanto: la medida de cada uno de estos ángulos será igual a: 360° : 5 = 72°

3° Respuesta: El ángulo de abertura entre tubo y tubo mide setenta y dos grados sexagesimales. Alternativa b)

COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y

Comunica y representa ideas

Grafica la composición transformaciones geométricas de rotar, trasladar, reflejar, ampliar

localización matemáticas y reducir en un plano cartesiano o cuadrícula.

ÍTEM 11: Observa las figuras A, B y C. ¿Cuál es el orden de las transformaciones que debemos efectuar a la figura A para que se convierta en la figura B, y luego está en la figura C ?

a. Reflexión y rotación. b. Reflexión y traslación. c. Rotación y traslación. d. Rotación y reflexión.

RESOLUCIÓN:

1° Sabemos por definición que la imagen de la figura B se origina de la reflexión de la figura A. Observa el eje de

simetría de color naranja, recuerda que es como ver el reflejo en un espejo a través del eje de simetría (espejo).

2° La figura C se obtiene luego de rotar 90° en

sentido horario la figura B.

Q´ Q

3° Respuesta: El orden de las transformaciones que debemos efectuar a la figura A para que se convierta en la

figura B y luego en la figura C es: primero una REFLEXIÓN y luego una ROTACIÓN. Alternativa “a”

COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y

Comunica y representa ideas matemáticas

Grafica transformaciones geométricas de rotar, trasladar, reflejar, ampliar y reducir en un plano

localización. cartesiano o cuadrícula.

ITEM 12: Para la decoración del aula, Patricia decide hacer figuras sobre un hexágono regular. En la imagen siguiente, se observa una región sombreada y la siluetan que resulta de aplicarle un movimiento a dicha región. Señala qué movimiento se le aplicó a la región sombreada para obtener su imagen.

a. Una reflexión tomando como eje el segmento NS.

b. Una reflexión tomando como eje el segmento LR.

c. Una rotación de 30° con centro en el punto L.

d. Una rotación de 120° con centro en el punto M.

RESOLUCIÓN:

1° La figura es un hexágono regular NPRSTL, calculamos el ángulo central: 360° : 6 = 60°

2° Si a la figura sombreada rotamos 60° en sentido horario, el vértice Q aparecerá entre L y N, Si nuevamente

rotamos 60° en el mismo sentido tendremos al vértice Q entre T y L , obteniendo la figura que se quería obtener.

Respuesta: El movimiento que se le aplicó a la región sombreada para obtener su imagen es una rotación

de 120° con centro de rotación en el punto M. Alternativa “d”

COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES

Actúa y piensa matemáticamente en Comunica y representa Grafica transformaciones geométricas de rotar,

30°

30°

60°

120° Q

Q

Q

situaciones de forma, movimiento y localización.

ideas matemáticas trasladar, reflejar, ampliar y reducir en un plano cartesiano o cuadrícula.

ITEM 13: Una plaza tiene forma de un hexágono regular. Por el aniversario van a colocar cadenetas de una

esquina a otra, de tal manera que las cadenetas se crucen en el punto centro de la plaza. Si la plaza

mide 15 m en cada lado, ¿cuánta será la longitud mínima de la cadeneta que une dos esquinas de la

plaza?

a. 90 m b. 60 m c. 30 m d. 15 m

RESOLUCIÓN:

La plaza tiene forma de un hexágono regular. Hacemos un bosquejo, cuyo lado tiene 15 m, según dato del problema.

Observamos que los triángulos que se forman en un hexágono regular son equiláteros; por tanto los lados de los triángulos

tienen la misma medida.

Recordamos que todo triángulo equilátero tiene los lados y ángulos de la misma

medida.

Si nos piden la cantidad mínima de cadeneta que se usa para colocar de una esquina a otra de tal manera que pase por el

centro, estamos refiriendo que es una de las diagonales formadas por la suma de los lados del triángulo.

Respuesta: La longitud mínima que debe de tener las cadenetas para unir dos esquinas de la plaza es 30 m.

Alternativa C.

15m

15m

15m

15m M N

Finalmente si cada lado del triángulo mide

15m entonces dos lados medirán 30 m.

15m + 15m =30 m

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Actúa y piensa en situaciones de forma,

movimiento y localización.

Matematiza Usa modelos, relacionados a figuras

poligonales regulares, compuestas, triángulos

y el círculo para plantear y resolver

problemas.

ITEM 14:

Las monedas de un nuevo sol tienen un polígono regular inscrito. Si una diagonal une dos vértices no comunes

de un polígono, ¿cuántas diagonales podríamos trazar en este polígono regular inscrito en la moneda de un

nuevo sol?

a. 8 diagonales

b. 20 diagonales.

c. 40 diagonales.

d. 56 diagonales.

RESOLUCIÓN:

Nos está pidiendo el total de diagonales que se pueden trazar en un polígono, en este caso la moneda tiene forma de un

octágono.

Podemos iniciar trazando las diagonales desde un cuadrado hasta llegar al octágono, donde “n” es número de lados y “D”

es número de diagonales. De esta manera:

Pero si quisiéramos sacarlo directamente sin tener que trazarlo podemos utilizar la siguiente fórmula o modelo

matemático:

Como la figura dentro de la moneda es un octágono, entonces tiene a 8 lados. n = 8

Reemplazando: N° Total de Diagonales =2

)38(8 = 20 diagonales

Respuesta: Podríamos trazar 20 diagonales en el polígono inscrito en la moneda de un sol.

Alternativa “b”

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compuestas, triángulos y el círculo para plantear y resolver

problemas.

ITEM 15.

Una empresa fabrica triángulos musicales. Cada lado del triángulo mide 18,5 cm y la varilla con que se toca,

15 cm. Si se desea aprovechar al máximo una varilla sin trabajar cuya longitud es 5,5 m, ¿cuántos triángulos

musicales completos (triangulo y varilla) se podrá obtener de la varilla sin trabajar?

a. 7

b. 7,8

c. 8

d. 9,9

RESOLUCIÓN:

Considerando que los triángulos musicales son equiláteros, tendremos que su perímetro será el triple de 18,5 cm lo que

resulta 55,5 cm y adicionando la varilla que mide 15 cm, se necesita 70,5 cm para obtener un triángulo musical completo.

Nos dan como dato la medida de una varilla para fabricarlos cuya medida es 5,5 m. Esta medida debemos convertirlo en

centímetros para poder tener en las mismas unidades y hacer las operaciones.

5,5 m equivales a 550 cm

Cantidad de triángulos musicales: X

Finalmente planteamos el modelo: 70,5 x = 550

x = 550 = 7,8 < Redondeando obtenemos 7 triángulos musicales. 70,5 Respuesta: Entonces podremos obtener 7 triángulos musicales completos de la varilla sin trabajar. Alternativa “a”