INSTITUCION EDUCATIVA JORGE ROBLEDO

CICLO: Bsica Secundaria GRADO: _____9__2P_______

APLICACIN DE ECUACIONES.

Una aplicacin de una ecuacin es una representacin matemtica de un enunciado verbal para interpretar y solucionar un problema de la vida real, para su solucin se sigue el siguiente proceso:

1. Leer el problema y extraer los datos(Variables y constantes)2. Proponer o montar una ecuacin.3. Solucionar la ecuacin.

Para cercar un terreno rectangular con tres vueltas de alambre se utilizan 1530 metros. Determinar la superficie del terreno, si se sabe que el largo mide el doble que el ancho.Proceso de resolucin:Despus de hacer una lectura de comprensin del problema, es claro que la incgnita principal es la superficie o rea del terreno mientras que los datos son: el triple del permetro del terreno, o sea 1530 metros, y adems de que el largo del terreno es igual al doble del ancho. Podemos visualizar o representar grficamente la situacin planteada con el siguiente dibujo o esquema:

Una vuelta de alambre equivale a un permetro del rectngulo y resulta de sumar dos anchos (x) y dos largos (2x), o sea: Permetro: x + x + 2x + 2x = 6xPor lo tanto tres vueltas de alambre equivalen a : (3) (6x) = 18xY esta longitud total de alambre, 18x, equivale al dato dado en el problema, o sea:

Ecuacin a solucionar

Prueba:Recordemos que "x" representa el ancho del terreno, y 2x el largo, por lo tanto las dimensiones del terreno seran "85 metros de ancho y 170 metros de largo", ya que (comprobacin): (3)[(2)(85)+(2)(170)]=1530. Se concluye que el valor x = 85 es correcto.Por tanto, ya que la pregunta del problema es sobre la extensin de la superficie del terreno, con las dimensiones ya determinadas la calculamos: Superficie o rea del terreno = (85 m) ( 170 m) = 14, 450 m2

Problema. Un autobs sale de una ciudad A para otra ciudad B con una velocidad promedio de 80 km/h. Una hora despus sale otro autobs de la misma ciudad A y en la misma direccin y destino que el anterior, con una velocidad promedio de 90 km/h. Dentro de cunto tiempo y a qu distancia de la ciudad A alcanzar el segundo autobs al primero?

Resolucin:

Tiempo (en horas) para el alcance: t

Distancia recorrida por el primer autobs en t horas: d = 80t

Distancia recorrida por el segundo autobs en t horas: d= 90tCuando sali el segundo autobs (una hora despus), el primero le llevaba 80 km de ventaja. Por tanto el planteamiento y resolucin de la ecuacin es:

d= 80 + d 90t = 80 + 80t 10t = 80 t = 8Comprobacin: 90(8) = 720 y 80 + 80(8) = 720

Respuesta: El alcance ser 8 horas despus de la salida del segundo autobs, y ser a una distancia de 720 km de la ciudad A.

Problema El Sr. Martnez compr un automvil de agencia en $146,000.00. Si dicho costo incluye un 14.5 % de impuesto, Cul era el precio del automvil sin agregar el impuesto? Resolucin:Sea P el precio del automvil sin el impuesto e i el impuesto, por tanto:

P + i = $ 146, 000.00 P + (P)(0.145) = 146 000

1.145P = 146 000

P = 146 000 / 1.145 = 127 510.9Respuesta: El precio del automvil sin agregar el impuesto es $ 127,510.90.

Problema Encontrar tres enteros consecutivos tales que su suma sea 72.Resolucin:Sean a , b , c enteros tales que a+b+c = 72Los designamos por: a=x , b=x+1, c=x+2Planteamiento de la ecuacin: x + (x+1) + (x+2) = 72Solucin de la ecuacin: x + x + 1 + x + 2 = 723x = 69

x = 69/3 = 23 Luego: a = 23 b = 23 + 1 = 24 c = 23 + 2 = 25Comprobacin: 23 + 24 + 25 = 7272 = 72Respuesta: Los nmeros buscados son 23 , 24 y 25.Problema. Encontrar 3 nmeros enteros consecutivos impares tales que su suma sea 69.Resolucin:Sean a , b , c enteros impares tales que: a + b + c = 69Los designamos por: a = x , b = x + 2 , c = x + 4Planteamiento de la ecuacin: x + (x+2) + (x+4) = 69Solucin de la ecuacin: x + x + 2 + x + 4 = 69 3x + 6 = 69 x = (69 -6 ) / 3 x = 21Luego: a = x = 21 , b = 21 + 2 = 23 , c = 21 + 4 = 25Comprobacin: 21 + 23 + 25 = 69Respuesta: Los nmeros son 21 , 23 y 25.

Problema Cul es el nmero que, al aumentar en 20, se triplica?Resolucin: Nmero pedido: xEl nmero aumentado en 20: x + 20El triple del nmero pedido: 3xPlanteamiento de la ecuacin: x + 20 = 3x

Solucin de la ecuacin: 20 = 2x 20 / 2 = x 10 = x x = 10 Comprobacin:10 + 20 = 3(10)30 = 30Respuesta: El nmero es 10

Problema Cmo se pagara una deuda de $700 con 52 monedas, unas de $20 y otras de $10?Resolucin:Nmero de monedas de $20 : xNmero de monedas de $10 : 52 xValor de las monedas de $20 : 20xValor de las monedas de $10 : 10(52-x)Planteamiento y resolucin de la ecuacin: 20x + 10(52-x) = 700

20x + 520 10x = 700 10x = 180 x = 180/10 = 18Comprobacin: 20(18) + 10(52 18) = 360 + 340 = 700Respuesta: La deuda se pagara con 18 monedas de $20 y 34 monedas de $10.

Ecuaciones fraccionarias reductibles a ecuaciones lineales

En este apartado se resolvern ecuaciones que contienen fracciones algebraicas, es decir, donde la variable aparece en los denominadores de las fracciones (al menos en uno de ellas); a estas ecuaciones se les llaman ecuaciones fraccionarias. Se trata del caso de ecuaciones fraccionarias que conducen a ecuaciones lineales o de primer grado.

Por ejemplo, la ecuacin: es fraccionaria.

En general, las ecuaciones fraccionarias se resuelven transformndolas en ecuaciones enteras, para lo que es necesario eliminar los denominadores.

Para eliminar los denominadores en una ecuacin fraccionaria se procede de la manera siguiente:

1) Se halla el mcm de los denominadores.2) Se multiplican ambos miembros de la ecuacin por el mcm de los denominadores

Ejemplo. Resolver la ecuacin: ;

Resolucin: Como el mcm de los denominadores es 3x, se multiplican ambos miembros de la ecuacin por 3x, de donde resulta la siguiente ecuacin entera:

Ahora bien, la operacin que hemos efectuado de multiplicar ambos miembros por el mcm de los denominadores, equivale a dividir el mcm de los denominadores por cada denominador y multiplicar cada cociente por el numerador respectivo. As, en la ecuacin anterior resulta:

Por tanto, multiplicando los numeradores por los factores de ampliacin:

Nota: Es importante tener presente que cuando ambos miembros de una ecuacin fraccionaria se multiplican por el mcm de los denominadores, entonces se obtiene una ecuacin equivalente a la dada, siempre que la solucin obtenida no anule algn denominador de la ecuacin original.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuacin siguiente: .

Resolucin: Desde un inicio suponemos x 1, puesto que anula un denominador. El mcm de los denominadores es 5(x + 1). Dividiendo el mcm 5(x + 1) por cada denominador y multiplicando los numeradores por los factores de ampliacin, resulta:

=

Resolviendo esta ecuacin tenemos que:

5x 15= 3x + 3 5x 3x= 15 + 3 2x= 18 x= 9Comprobacin:

Luego: x = 9

Ejemplo. Resolver la ecuacin: .

Resolucin: El mcm de los denominadores es 6x y adems x 0.

= 12 + x= 15 x= 15 2 = 3

Comprobacin: (M.I.) = (M.D.)

=

Luego: x = 3

Ejemplo. Resolver la ecuacin : .

Resolucin: Como , luego el mcm es: . Al suprimir los denominadores resulta:

= 16

= 16 4x= 16 8 4x= 8 x= 2

Como puedes observar, el valor x = 2 es solucin de la ecuacin transformada 4(x + 2) = 16. Sin embargo, la ecuacin original no tiene sentido para x = 2 y x = -2 ya que al sustituir por estos valores se anulan los denominadores y la divisin por cero no est definida.

En este caso, al suprimir los denominadores decimos que se ha introducido una raz extraa, es decir, un valor que es solucin de la ecuacin transformada, pero que no lo es de la ecuacin original. Luego, la ecuacin original y la transformada no son equivalentes. Por tanto, la ecuacin original es imposible ya que no tiene solucin.

Ejemplo. Resolver la ecuacin: .

Resolucin: Factorizando el trinomio , luego el mcm es ; adems x 1, x 6. Al suprimir los denominadores resulta:

= 5x

= 5x 7x 5x= 18 + 4 2x= 22 x= 11

x =11Al comprobar en la ecuacin original obtenemos: M.I. = M.D. = verifquelo!Luego:

Nota: Para tener certeza de que una ecuacin est correctamente resuelta ya se dijo que debe siempre realizarse la comprobacin de la solucin hallada en la ecuacin original, esto es an ms importante en las ecuaciones fraccionarias, donde la ecuacin transformada corre mayor riesgo que en otros casos de no ser equivalente a la ecuacin original.

Aplicaciones de las ecuaciones fraccionarias

Ejemplo. Un obrero puede hacer un trabajo en 3 das, mientras que otro obrero puede hacer el mismo trabajo en 5 das. En qu tiempo lo harn trabajando conjuntamente? (Entindase das como jornadas de trabajo diarias).

Resolucin: Designemos a los dos obreros con A y B, respectivamente y consideremos como x la cantidad de das que demoran en hacer el trabajo conjuntamente. Entonces:

Das que demoran en hacer el trabajoParte del trabajo que hacen en un da.

A31/3

B51/5

AyBX1/X

Puesto que la parte que hace el obrero A en un da ms la parte que hace el obrero B en un da es igual a la parte del trabajo que hacen ambos en un da, resulta la ecuacin:

1/3 + 1/5 = 1/xSuprimiendo los denominadores se tiene: 5x + 3x = 15

8x = 15 x= 15/8 (das trabajando en conjunto)

Comprobacin: sumando las partes del trabajo que hacen en un da cada uno por separado se tiene: 1/3 + 1/5 = 8/15. Mientras que la parte del trabajo que hacen en un da conjuntamente es: . Ya que son iguales los resultados, se concluye que el trabajo lo terminarn conjuntamente en: 1 da, ms 7/8 de otro da. Ejemplo La velocidad de la corriente de un ro es 3 km/h. Un bote tarda el mismo tiempo en navegar 8 km a favor de la corriente que en navegar 5 km en contra de la corriente. Cul es la velocidad del bote en agua tranquila?

Resolucin: Suponiendo que el bote navega con movimiento uniforme, podemos trabajar con la relacin ya conocida v = d / t. Por tanto, si designamos con x la velocidad del bote en agua tranquila, entonces cuando navega a favor de la corriente (ro abajo) la velocidad es x+3 y en contra de la corriente (ro arriba) es x-3. De donde:

DistanciaVelocidadTiempo.

Rio aba8X+31/(x+3

Rio Arr5x-31/(x-3)

Puesto que el bote tarda el mismo tiempo en navegar 8 km ro abajo que en navegar 5 km ro arriba, se obtiene la ecuacin: 8/(x+3) = 5/(x-3)

Suprimiendo los denominadores, resulta:8(x-3) = 5(x+3)8x-24 = 5x + 158x-5x = 24 + 15 3x = 39 x = 13

Comprobacin: Navegando ro abajo el bote demora 8/(13+3) = 1/2 hora. Navegando ro arriba el bote demora 5/(13-3) = 1/2 hora .

Por tanto (Respuesta): La velocidad del bote en agua tranquila es de 13 km/h .

Ejemplo El denominador de una fraccin es 4 unidades mayor que el numerador. Si a cada trmino de la fraccin se le agregan 5, la fraccin resultante es equivalente a 2/3 . Cul es la fraccin original?

Resolucin: Si representamos por x el numerador de la fraccin original, el denominador se podr representar por x+4 . Si agregamos 5 unidades a cada uno, el nuevo numerador ser x+5 y el nuevo denominador, x+9 . Es decir:

Fraccin originalFraccin Modificada

numeradorxX+5

Denominador(x+4)(x+4)+5=x+8

Como la fraccin resultante es equivalente a 2/3, resulta la ecuacin:

=x + 5 2 x + 9 3Suprimiendo denominadores en la ecuacin fraccionaria anterior, se obtiene: 3(x+5) = 2(x+9) 3x+15 = 2x+18 3x-2x = 18-15 x = 3Por tanto, el numerador de la fraccin original es 3 y el denominador 3+4=7.

Comprobacin: sumando 5 al numerador y al denominador de la fraccin 3/7 se tiene que: . Por tanto, la fraccin original es 3/7.