Compendio de Geometría

Captulo

NGULOS1Definicin :

Es la figura geomtrica determinada por la reunin de dos rayos no alineados que tienen el mismo origen.

O

A

B

Elementos1. Vrtice : O

2. Lados : OA y OB

Notacin : * ngulo AOB : ) AOB, BOA* Medida del ngulo AOB : m ) AOB = .

Regin Interior de un ngulo Regin Exterior de un ngulo

Clasificacin de los ngulos por su Medida :

0 < < 90

* ngulo Agudo

= 90

* ngulo Recto

* ngulo Obtuso

90 < < 180

Bisectriz de un ngulo :

O

A

B

bisectriz

N

M L

bisectriz

AOB,

* Medida del ngulo AOB : m* Medida del ngulo AOB : m* Medida del ngulo AOB : m AOB =* Medida del ngulo AOB : m* Medida del ngulo AOB : m* Medida del ngulo AOB : m ))

AOB,

* Medida del ngulo AOB : m* Medida del ngulo AOB : m* Medida del ngulo AOB : m )* Medida del ngulo AOB : m* Medida del ngulo AOB : m* Medida del ngulo AOB : m* Medida del ngulo AOB : m AOB =))* Medida del ngulo AOB : m )))) AOB =

ngulos Adyacentes : ngulos Consecutivos :

a bc

d

+ + + = 180

Observaciones :

+ + + + = 360

ngulos Complementarios

a

b

a + b = 90

ngulos Suplementarios

+ = 180

ngulos Adyacentes Suplementarios :

A C

B

O

Los ngulos AOB y BOC tambinse les denomina par lineal.

A C

B

O

Las bisectrices de todo par linealson perpendiculares.

ngulos Opuestos por el vrtice

Observaciones :

Es necesario recordar los siguientes ngulos comprendidos entre rectas paralelas.

= = + = 180

* Alternos Internos * Correspondientes * Conjugados

L1

L2

a

b

c

* Si : L1 // L2

L1

L2

a

b

* Si : L1 // L2

x

+ + + = a+b+c x = a + b

SSSi

=

SSSSi

= = = =

01. Si: OM es bisectriz del ngulo AOB, calcule "x".

5x+40

A

M

B

O

02. Calcule "x".

4x+20 3x+50

03. Calcule :

2 .

3

120 2

3

04. Calcule "x", si : L // L1 2 .

L1

L2

3x

2x

80

05. Si : L // L1 2 , calcule "x".

L1

L2

4x80

60

3x

06. Si : L // L1 2 , calcule "x".

L1

L2

60

x

x

x

Test de aprendizaje preliminar

07. En el grfico, las medidas de los ngulos AOB y BOC

son suplementarios y la m ) AOC = 80.

Calcule la m ) AOB.

B C

AO

80

08. Si : L // L1 2 , calcule : .

L1

L2

100

09. Si : L // L1 2 , calcule "x".

L1

L2

60

100

x

10. Calcule "x".

1003x x

Practiquemos :11. Se tienen los ngulos AOB y BOC consecutivos y miden

20 y 30 respectivamente. Calcule la medida del nguloque forman sus bisectrices.

12. El doble del complemento de la medida de un nguloes 120. Cunto mide el ngulo?

13. Si un ngulo es el doble de su suplemento, Cuntomide el ngulo?

El doble del complemento de la medida de un nguloEl doble del complemento de la medida de un ngulo

L

El doble del complemento de la medida de un nguloEl doble del complemento de la medida de un ngulo

LLLL

14. La diferencia de la medida de dos ngulos consecutivosAOB y BOC es 80. Calcule la m ) DOB, si : OD esbisectriz del ngulo AOC.

15. Cunto mide el ngulo formado por las bisectrices dedos ngulos adyacentes y complementarios?

16. Si al complemento de un ngulo se le disminuye 10,ste resulta ser el suplemento del triple del ngulo.Calcule el complemento de la mitad del ngulo.

17. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD,tal que los ngulos AOC y AOB son complementarios;m ) AOD + m ) AOB = 120.Calcule la m ) DOC.

18. El doble de la medida un ngulo es mayor que otro en30. Si los ngulos son conjugados internoscomprendidos entre rectas paralelas, En cunto sediferencian las medidas de estos ngulos?

19. Se tiene los ngulos consecutivos AOB; BOC y COD,tal que :m ) AOD = 148 y m ) BOC = 36.Calcule la medida del ngulo formado por las bisectricesde los ngulos AOB y COD.

20. Se trazan los rayos coplanares y consecutivos OA , OB ,OC y OD , determinndose los ngulos consecutivosAOB, BOC, COD y DOA que miden 90, 7 , 10 y100.Calcule el complemento de .

Problemas propuestos

21. Si : L // L1 2 , calcule "x".

L1

L2160

x+a

40

3x

20+a

a) 18 b) 16 c) 15d) 10 e) 25

22. Si : L // L1 2 , calcule .

L1

L2

+100

130

a) 10 b) 15 c) 25d) 20 e) 30

Calcule el complemento de la mitad del ngulo.

21.21. Si :

Calcule el complemento de la mitad del ngulo.

21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21. Si :Si :Si :

23. Si la sexta parte del suplemento del complemento deun ngulo es igual a 1/3 de 9 menos que sucomplemento, calcule la medida del ngulo.

a) 32 b) 16 c) 48d) 24 e) 30

24. Un ngulo mide los 2/3 de un ngulo recto y otrongulo los 4/5 de un ngulo recto, calcule elcomplemento de su diferencia.

a) 30 b) 78 c) 18d) 48 e) 60

25. Calcule : "x", si : 21 L//L .

L1

L2

x

2x

2x

a) 80 b) 18 c) 70d) 20 e) 75

26. Si : L // L1 2 , calcule "x".

L1

L2

x

2

2

a) 90 b) 70 c) 60d) 40 e) 30

27. Si : L // L1 2 , calcule "x".

L1

L2x

120

a) 10 b) 20 c) 25d) 30 e) 45

28. Si : L // L1 2 , calcule "x".

L1

L2

5 4

x

a) 154 b) 115 c) 130d) 144 e) 120

29. En el grfico, calcule "x", siendo :

L // L1 2 .

L1

L2

4x

3x

x

a) 35 b) 20 c) 30d) 45 e) 37

30. Calcule "x", si : L // L1 2 .

L1

L2

3x

2x

a) 18 b) 9 c) 27d) 30 e) 20

31. Si : L // L1 2 , calcule "x".

L2

x

6x

x

a) 15 b) 10 c) 12,5d) 22 e) 2230'

c) 70c) 70c) 70

30.

c) 70c) 70c) 70

30.30.30.30.

32. Si : L // L1 2 , calcule :a + b + c + d + e.

L1

L2

a d

b e

c

a) 180 b) 520 c) 480d) 360 e) 720

33. Si : L // L1 2 , calcule "x".

L1

L2

34

48

x

a) 34 b) 48 c) 82d) 98 e) 49

34. El doble del complemento de un ngulo sumado conel suplemento de otro ngulo es igual al suplementodel primer ngulo. Calcule la suma de las medidas dedichos ngulos.

a) 100 b) 45 c) 90d) 180 e) 160

35. El doble del complemento de un ngulo aumentadoen el triple del suplemento del doble de dicho ngulonos da 480. Calcule el suplemento de la medida dedicho ngulo.

a) 30 b) 60 c) 120d) 150 e) 135

36. La diferencia de las medidas de dos ngulos es 40 y eltriple del suplemento del ngulo doble del primero esigual al duplo del complemento del suplemento delngulo triple del segundo. Calcule la medida de dichosngulos.

a) 60 y 60 b) 30 y 90 c) 45 y 75d) 70 y 50 e) 40 y 80

37. Si : L // L1 2 , calcule el mximo valor entero de "x",siendo el ngulo CAB agudo.

L1

L2 3x

2x

A

BC

a) 18 b) 17 c) 16d) 15 e) 12

38. Dados los rayos consecutivos : OA1 , OA 2 , OA 3 , ....OA n , contenidos en un mismo plano, donde "n"ngulos consecutivos y la suma de 2 ngulosconsecutivos es siempre agudo. Calcule el menor valorentero que puede tener "n"?

a) 6 b) 7 c) 8d)9 e) 10

39. Si : DC//AB ,23

DCQ)mBAQ)m

y

m ) AQC = 100, calcule el complemento del nguloDCQ.

B

D

A

Q

C

a) 20 b) 60 c) 50d) 70 e) 80

40. Calcule "x", siendo : L // L1 2 .

L1

L2

x

a) 60 b) 75 c) 105d) 135 e) 140

DCQ.DCQ.DCQ.DCQ.

41. Calcule "x", si : a + b = 50 y L // L1 2 .

L1

L2

120 x

80

b

a

a) 40 b) 50 c) 70d) 60 e) 65

42. En el grfico, el rayo OP es bisecriz del ngulo AOD,siendo : m ) POC - m ) BOP = 20.

Calcule m ) AOB - m ) COD.

OD

AB

P

C

a) 22 b) 40 c) 25d) 10 e) 20

43. En el grfico, calcule el mximo valor entero de "y".

x- 2y 3y+ x

a) 50 b) 35 c) 41d) 40 e) 52

44. Si : L // L1 2 y n //m, calcule "x".

m

39x

4x 54C

L1

L2

n

a) 20 b) 30 c) 33d) 35 e) 40

45. En el grfico : 78 y L // L1 2 , calcule "x".

x

L1

L2

a) 76 b) 78 c) 70d) 90 e) 82

46. En el grfico, calcule el mnimo valor entero de "x".

x

a) 46 b) 48 c) 54d) 56 e) 63

47. Si : L // L1 2 , calcule "x".

L1

L2

x

2

3

a) 143 b) 127 c) 150d) 135 e) 165

48. Si : L // L1 2 , calcule "x". Si : 220 .

L1

L2

x

3

3

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

DD

47.47.

DDDD

47.47.47.47.47.47.47.

49. Si : L // L1 2 y 110 , calcule "x".

L1

L2

x

a) 35 b) 45 c) 40d) 30 e) 25

50. Calcule la razn aritmtica del mximo y mnimo valorentero que puede tomar "x", si "" es la medida deun ngulo agudo, en el grfico L // L1 2 .

L1

L2

x

83

a) 90 b) 85 c) 87d) 88 e) 86

51. Del grfico, calcule el valor de la razn aritmtica entrex e y, cuando "x" toma su mnimo valor entero.

x-y

2y+x5x

a) 8 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

52. Si un ngulo mide 180 es dividido en "n" ngulosconsecutivos y congruentes :

1 , 2 , 3 , .... n , calcule la medida del ngulo queforman las bisectrices de 5 y 8 , sabiendo que lasbisectrices de 3 y 2n son perpendiculares.

a) 44 b) 45 c) 48d) 52 e) 54

53. Sean : AOB, BOC, COD, DOE y EOF ngulosconsecutivos tales que : m ) AOF = 154 ym ) AOD = m ) BOE = m ) COF..Calcule la m ) BOC, si la medida del ngulo formadopor la bisectriz del ngulo COD y el rayo OE es igual a54.

a) 23 b) 28 c) 63d) 36 e) 75

54. Del grfico, calcule el mximo valor entero impar de"x", si " " es la medida de un ngulo agudo..

x

x

a) 100 b) 120 c) 130d) 133 d) 145

55. Del grfico, calcule el valor de "" cuando "x" toma sumnimo valor entero par. Si : L // L1 2 .

L1

L2

x

x

x-

a) 34 b) 32 c) 28d) 29 e) 30

56. Segn el grfico, calcule "x", si : L // L1 2 .

x

L1

L2121

44

a) 66 b) 85 c) 77d) 70 e) 80

57. Calcule "x", si : L // L1 2 L3// y a - b = 36.

a

xb

L1

L2

L3

a) 54 b) 72 c) 36d) 63 e) 52

Segn el grfico, calcule "x", si :Segn el grfico, calcule "x", si :Segn el grfico, calcule "x", si :Segn el grfico, calcule "x", si :Segn el grfico, calcule "x", si :Segn el grfico, calcule "x", si :Segn el grfico, calcule "x", si :Segn el grfico, calcule "x", si :Segn el grfico, calcule "x", si :Segn el grfico, calcule "x", si :Segn el grfico, calcule "x", si :Segn el grfico, calcule "x", si :Segn el grfico, calcule "x", si :Segn el grfico, calcule "x", si :

58. Si el suplemento del complemento de la mitad delmayor ngulo que forman la bisectriz del nguloadyacente a un ngulo "" y el lado no comn es140, calcule "" .

a) 10 b) 12 c) 15d) 20 e) 30

59. En el grfico : L // L1 2 , L // L3 4 , L // L5 6 , calcule :x+y.

L2

L1

L3

x

110

55

y

L5

L4

L6

a) 170 b) 180 c) 210d) 235 e) 245

60. En el grfico, calcule )x

( , cuando "x" sea mximo..

Siendo : )aa6(x 2 .

x

a) 0 b) 39 c) 35d) 36 e) 30

c) 210c) 210c) 210c) 210c) 210c) 210c) 210c) 210c) 210c) 210

ClavesClaves21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

d

e

d

b

b

c

d

d

b

c

e

e

d

d

a

e

c

d

c

d

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

c

d

b

c

b

a

d

c

a

d

c

e

a

d

d

c

d

d

d

b

Definicin :

AE

B

F

C H

Elementos

1. Vrtices : A, B, C2. Lados : AB, BC y AC

3. ngulosInteriores :

3.

y

x z

x = + y = + z = +

4.

b c

a

b - c < a < b + c

5.

x

x = + +

Lneas Notables en el Tringulo

1 . Mediana

A

B

CM

BM : mediana

b b

2 . Bi sec t r i z

A

B

CI

BI : bisectriz interior

A

B

C

L

L : bisectriz exterior

BM : medianaBM : medianaBM : medianaBM : medianaBM : medianaBM : medianaBM : medianaBM : medianaBM : medianaBM : medianaBM : medianaBM : medianaBM : mediana

3 . Al tu ra

A

B

C

BH : altura

H

A

BC

AF : altura

F

4 . Med iatr i z

A

B

C

LL : mediatriz de AC

b b

* Ceviana

A

B

CF

BF : ceviana interior

A

B

CE

BE : es ceviana exterior

Relaciones Angulares

1 .

B

x2B

90x

2 .

B

2B

90x

x

BF : ceviana interiorBF : ceviana interiorBF : ceviana interiorBF : ceviana interiorBF : ceviana interior

3 .

Bx

2B

x

4 .

x

A

B

CH I

2x

BH : altura

BI : bisectriz

01. En el grfico, el tringulo ABC es equiltero, calcule"x".

80

xA

B

C

02. En el grfico, calcule "x".

130 4x

3x-10


x

150

04. En el grfico, calcule )( .

120

100

05. En el grfico, calcule "x", si : AB = BQ = QF = FC.

x

A

B

Q

CF


100

x


07. En el grfico, AB = DC, calcule "" .

A

B

C

5

D3

08. En el grfico mostrado, cul de los segmentos es el demenor longitud?

60 6159B

C

D

EFA60

6061 61

09. Calcule "x".

x

60

10. Calcule la m ) BDC.

B

CD

A

60

Practiquemos :11. Calcule el ngulo que forman las perpendiculares

trazadas desde el vrtice B de un tringulo ABC a lasbisectrices interiores de los ngulos A y C, si :

m ) B = 110.

12. Las medidas de los ngulos internos de un tringuloestn en progresin aritmtica cuya razn es 10. Calculela medida de cada ngulo.

13. En un tringulo ABC (m ) B>90), se sabe que :BC = 2 cm y AC = 5 cm. Calcule el valor o valores

enteros que puede adoptar AB.

DD

14. En un tringulo acutngulo, dos de sus lados suman30u. Calcule el mayor valor entero que puede tomar laaltura relativa al tercer lado.

15. Los lados de un tringulo issceles miden 5 u y 13 u.Calcule su permetro.

16. En un tringulo ABC, m ) A = 2(m ) C), la bisectrizinterior BD prolongada intersecta en "E" a la bisectrizexterior del ngulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE.

17. En un tringulo ABC, la medida del ngulo formadopor la bisectriz interior del ngulo A, y la bisectrizexterior del ngulo C es siete veces la medida del nguloB. Calcule la medida del ngulo B.

18. Los catetos de un tringulo rectngulo ABC, miden :AB = 16 u, BC = 30 u, se traza la altura BH y lasbisectrices BP , y BQ de los ngulos ABH y HBCrespectivamente. Calcule PQ.

19. En un tringulo ABC, la suma de las medidas de losngulos B y C es 105. Si la medida del ngulo A excedea la medida del ngulo B en 4. Calcule la medida delngulo C.

20. En el grfico, NM = NC y CB es bisectriz del nguloACN. Calcule la m ) BAC.

B

A C

40

N

M

Problemas propuestos21. Las medidas de los ngulos internos de un tringulo

son proporcionales a los nmeros 3, 4 y 5. Calcule lamedida de cada ngulo.

a) 60, 80 y 100 b) 40, 60 y 80c) 30, 40 y 50 d) 45, 60 y 75e) 36, 48 y 60

22. Calcule la medida del ngulo formado por la altura y labisectriz que parten del vrtice A de un tringulo ABC.Sabiendo que : m ) A + 2(m ) C) = 100.

a) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 60

23. Los catetos de un tringulo rectngulo ABC midenAB = 8 u; BC = 15 u. Se traza la altura BH y lasbisectrices BP y BQ de los ngulos ABH y HBCrespectivamente. Calcule PQ.

a) 2 u b) 4 u c) 5 ud) 6 u e) 3 u

prolongada intersecta en "E" a la bisectrizexterior del ngulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE.exterior del ngulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE.

o

exterior del ngulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE.exterior del ngulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE.prolongada intersecta en "E" a la bisectriz

exterior del ngulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE.exterior del ngulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE.

o

exterior del ngulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE.exterior del ngulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE.exterior del ngulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE.exterior del ngulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE.exterior del ngulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE.exterior del ngulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE.exterior del ngulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE.exterior del ngulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE.

24. En el grfico, calcule "x", si : AD y BC son bisectricesde los ngulos A y C respectivamente.

B

A

D

C

x 60

20

a) 130 b) 100 c) 120d) 70 e) 110

25. Calcule la medida de los ngulos de un tringulo ABC,

si: 3(m ) B) = 2(m ) A) y 3(m ) C) = 7(m ) A).

a) 20, 30, 130 b) 45, 30, 105c) 48, 32, 100 d) 51, 34, 195e) 60, 40, 80

26. Dado el tringulo ABC; si por el vrtice C se traza CHperpendicular a AB y tambin la bisectriz exterior delngulo C y la diferencia de las medidas de los ngulosA y B es 26. Calcule la medida del ngulo que forma labisectriz y la perpendicular.

a) 110 b) 123 c) 103d) 77 e) 96

27. En el tringulo ABC, AD es la altura correspondienteal lado BC y BE es la bisectriz del ngulo B, las cualesse cortan en F. Si : m ) A = 64 y m ) C = 42.Calcule la medida del ngulo AFB.

a) 127 b) 150 c) 170d) 132 e) 130

28. Calcule "x".

80

xA

B

C

a) 140 b) 130 c) 120d) 110 e) 125

29. Sobre el lado BC de un tringulo ABC, se ubica elpunto "D", tal que la medida del ngulo ADC es igual ala semisuma de los ngulos interiores de A y B. CalculeBD, si adems :AC = 12 u y BC = 16 u.

a) 14 u b) 10 u c) 8 ud) 4 u e) 6 u

30. Calcule "x".

x130

a) 15 b) 20 c) 25d) 30 e) 50


x x

a) 12 b) 18 c) 24d) 36 e) 60

32. En un tringulo ABC, m ) A = 2m ) C, AB = 4 u.Calcule el mximo y mnimo valor entero que puedetomar el lado BC .

a) 8 u y 7 u b) 5 u y 4 u c) 5 u y 2 ud) 7u y 6 u e) 5 u y 3 u

33. Si dos lados de un tringulo son 15 u y 18 u, el tercerlado puede ser :

a) 1 u b) 2 u c) 12 ud) 35 u e) 3 u

34. El ngulo CAD es igual a tres veces el ngulo CAB y elngulo BCA es mayor al ngulo CBA. El mayor ladodel tringulo ABC es :

C

DB

A

a) BCb) ABc) ACd) Puede ser AC o BC dependiendo de la forma

del tringulo.e) No se puede determinar los datos.

ngulo C y la diferencia de las medidas de los ngulosA y B es 26. Calcule la medida del ngulo que forma laA y B es 26. Calcule la medida del ngulo que forma la

lado puede ser :lado puede ser :lado puede ser :

d) 7u y 6 u

Si dos lados de un tringulo son 15 u y 18 u, el tercer

A y B es 26. Calcule la medida del ngulo que forma laA y B es 26. Calcule la medida del ngulo que forma la

a) 8 u y 7 ua) 8 u y 7 ud) 7u y 6 ud) 7u y 6 u

ngulo C y la diferencia de las medidas de los ngulosngulo C y la diferencia de las medidas de los ngulosA y B es 26. Calcule la medida del ngulo que forma laA y B es 26. Calcule la medida del ngulo que forma la

lado puede ser :lado puede ser :lado puede ser :lado puede ser :

d) 7u y 6 u

Si dos lados de un tringulo son 15 u y 18 u, el tercer

A y B es 26. Calcule la medida del ngulo que forma laA y B es 26. Calcule la medida del ngulo que forma laA y B es 26. Calcule la medida del ngulo que forma laA y B es 26. Calcule la medida del ngulo que forma laA y B es 26. Calcule la medida del ngulo que forma laA y B es 26. Calcule la medida del ngulo que forma la

a) 8 u y 7 ua) 8 u y 7 ua) 8 u y 7 ud) 7u y 6 ud) 7u y 6 ud) 7u y 6 ud) 7u y 6 ud) 7u y 6 ud) 7u y 6 ua) 8 u y 7 ud) 7u y 6 ud) 7u y 6 ud) 7u y 6 ud) 7u y 6 u

35. Calcule "" .

6050

a) 110 b) 110 c) 90d) 55 e) 60

36. Calcule : .

70

a) 70 b) 100 c) 110d) 140 e) 130

37. En el tringulo ABC, m ) A = 80, m ) B = 60. Si :

AN y BM son alturas, calcule : "x".

B

A C

N

M

x

a) 40 b) 140 b) 120d) 50 e) 60

38. Calcule el nmero de tringulos escalenos que tienentodos los lados enteros y de permetro 22 cm.

a) 5 b) 6 c) 4c) 7 e) 8

39. En el grfico, calcule la suma de las medidas de losngulos sealados.

a) 405 b) 180 c) 390d) 450 e) 360

40. En un tringulo ABC, se traza la ceviana BT , si :AB = AT, BC = AC. Calcule el mximo valor entero dela m ) CBT..

a) 36 b) 35 c) 30d) 45 e) 44

41. En el grfico, el tringulo ABC es equiltero.Calcule "x".

x

70

B

AC

a) 10 b) 45 c) 36d) 72 e) 30

42. En el grfico, AB = BC, DEBC y el ngulo BECmide 35. Calcule "" .

D

C

EAB

a) 32 30' b) 30 30' c) 27 30'd) 20 15' e) 20 5'

43. Sea el tringulo ABC en el cual se cumple que :m ) ABC = 64, m ) ACB = 72 y BM y CP bisectricesde los ngulo ABC y ACB respectivamente; dichasbisectrices se intersectan en el punto I (incentro).Adems, se traza la altura BH . Calcule la medida delos ngulos BIC y MBH.

a) 112 y 16 b) 120 y 12 c) 11 y 14d) 110 y 12 e) 112 y 14

mide 35. Calculemide 35. Calculemide 35. Calcule

d) 72

En el grfico, AB = BC,En el grfico, AB = BC,mide 35. Calculemide 35. Calculemide 35. Calculemide 35. Calcule

d) 72

En el grfico, AB = BC,

d) 72

44. En el grfico, BH es altura del tringulo ABC y BD esbisectriz del ngulo ABC. Calcule "x".

B

A C

x

DH3

a) 2 b) c) 2/

d) 3/2 e) 3/

45. En el grfico, calcule el mximo valor entero de .Si : x + y + z > 300.

2

3

y zx

6

a) 22 b) 23 c) 24d) 25 e) 26

46. En el grfico, las medidas de los ngulos interiores deltringulo ABC estn dadas en grados sexagesimales.Calcule el menor valor entero (en gradossexagesimales) que puede tomar "b".

B

A C

2b-a

a -b a +b

a) 45 b) 46 c) 40d) 35 e) 36

47. Calcule "x".

x

4x

a) 18 b) 20 c) 22d) 25 e) 30


x

3 3

x

a) 60 b) 45 c) 36d) 72 e) 30


Si : 50ba .

xa b

a) 62 b) 66 c) 63d) 64 e) 65

50. En el grfico :x+y+z = 240 y a+b+c = 170.Calcule : .

c

x

za

by

a) 60 b) 80 c) 100d) 140 e) 50

51. La bisectriz de uno de los ngulos de un tringuloescaleno, forma con el lado opuesto dos ngulos queson entre s como 7 es a 13. Calcule el menor de losngulos del tringulo asumiendo que la medida que lamedida en grados de cada uno de los tres ngulos esun nmero entero menor que 80.

a) 24 b) 25 c) 26d) 27 e) 28

Calcule :Calcule :Calcule :

En el grfico :x+y+z = 240 y a+b+c = 170.

6 6 6 6

d) 64

En el grfico :

Calcule :Calcule :Calcule :Calcule :

En el grfico :x+y+z = 240 y a+b+c = 170.

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

d) 64d) 64d) 64

En el grfico :En el grfico :En el grfico :En el grfico :En el grfico :En el grfico :

52. Calcule "x", si ; AM = NC.

B

M

CAN

60

20x

80

a) 40 b) 60 c) 80d) 90 e) 70

53. En el grfico, calcule "x ".

22

x

60

a) 45 b) 60 c) 30d) 90 e) 75


x

40

a) 115 b) 125 c) 135d) 14 e) 140

55. Dado un tringulo ABC equiltero, se ubica el punto Dexterior al tringulo, tal que el segmento BD intersectaal lado AC .Si m ) ADC > 90, AD = 8u y CD = 15u. Calcule elmenor permetro entero del tringulo ABC.

a) 52 u b) 24 u c) 22 ud) 46 u e) 48 u

56. En el grfico, calcule "x", AB = BC, EF = FD.

58

94

F

C

D

B

EA x

a) 20 b) 15 c) 30d) 18 e) 25

57. En el grfico : PA = 2 u y BR - RC = 3 u.Calcule PQ.

A

B

R

C

P

Q

2

3

a) 6 u b) 5 u c) 4 ud) 3 u e) 7 u

58. En un tringulo ABC, se traza la bisectriz interior BM ,si :m ) ACB = , CAB)m y la medida delngulo exterior del ngulo A es "" , donde :AB = 8u, MC =3u. Calcule BC.

a) 10 u b) 11 u c) 12 ud) 13 u e) 14 u

59. En un tringulo ABC se traza la ceviana BP , si :AB = PC.

m ) BAC = 10 , m ) BCA = 2 .

m ) CBP = . Calcule " ".

a) 5 b) 8 c) 9d) 10 e) 12

60. En un tringulo ABC, se traza la ceviana BT , si :BC = AT y m ) BAC = 60 - 2x ;m ) CBT = x, m ) BCA = 2x.Calcule la m ) CBT..

a) 5 b) 8 c) 10d) 12 e) 15

En un tringulo ABC, se traza la bisectriz interiorEn un tringulo ABC, se traza la bisectriz interiorEn un tringulo ABC, se traza la bisectriz interiorEn un tringulo ABC, se traza la bisectriz interior

a) 6 ud) 3 u

En un tringulo ABC, se traza la bisectriz interiorEn un tringulo ABC, se traza la bisectriz interiorEn un tringulo ABC, se traza la bisectriz interiorEn un tringulo ABC, se traza la bisectriz interiorEn un tringulo ABC, se traza la bisectriz interior

d) 3 ud) 3 u

ClavesClaves21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

d

c

a

d

b

c

c

a

a

c

d

c

d

e

b

d

a

a

d

c

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

a

a

e

b

c

b

b

d

e

e

b

c

b

b

a

d

b

b

d

c

Definicin :

Dos segmentos, dos ngulos o dos figurasgeomtricas en general, sern congruentes si tiene la mismaforma y el mismo tamao. Para la congruencia de dostringulos, se postulan los siguientes casos :

Postulado (LAL)

Postulado (ALA)

Postulado (LLL)

Postulado (LLA)

CaptuloCONGRUENCIA DE

TRINGULOS3Propiedad de la Bisectriz

O

F

E

H

OHOF

EHEF

Propiedad de la Mediatriz

A

P

Bb b

PA = PB

El APB es issceles.

Teorema de la Base Media

B

A C

NM

MN : base media

MN // AC

2AC

MN

c a

c a

Teorema de la Menor Med iana en el TringuloRectngulo

B

A CM

2AC

BM

b

b b

En el Tringulo Issceles

*

B

A CE

G

HF

Si : AB = BC

AH = EF + EG

*

B

A

S

C P

H

Q

Si : AB = BC

CH = PQ - PS

TRINGULOS NOTABLES

* De 30 y 60

60

30

2aa

3a

* De 45 y 45

b2b

45

45b

* De 37 y 53

53

37

3k

5k

4k

* De2

53

53/2

n

2n

* De2

37

37/2

l

l3

* De 15 y 75

1575

h

a

4a

h

* De 30 y 75

3075

h

b

2b

h

** DD

01. En el grfico, calcule AB, si : BC = 15 u.

B

A C45 37


x

10 u

45

37

03. En el grfico, ED = 12u. Calcule AC.

B

AC

E

D30 15

04. En el grfico, calcule "x". 2BP = PC.

B

A C

P

x

05. En el grfico, PM es mediatriz de AC . Calcule AB.Si : PC = 8 m.

M

B

A C

2 P

06. En un tringulo ABC, se ubican los puntos medios M yN de AB y BC respectivamente. El segmento que unelos puntos medios de MC y NA mide 2u. Calcule AC.


07. En el grfico, calcule QN, si :AC = 10 u y MQ = 4u , AM = MB, BN = NC.

B

A C

M N

Q

08. En el grfico, calcule PH, si : BH = 36 u.(AP = PM) y (BM = MC).

A

B

HC

M

P

09. Calcule "x".

x

5 u

6 u

5 u

10. En el grfico, calcule PQ, si :AB = 6 u y AC = 8 u, BQ = QC.

B

A C

QP

Practiquemos :

11. En el grfico : AC = 16 m. Calcule AP. (AB = PC).

B

CA

P

2

5

12. En el grfico : AB = BC, BM = 1 u, calcule AD.

45

B

C

DAM

13. En el grfico, calcule : "x", si los tringulos ABR y PBCson equilteros.

B

CA

R

xP

14. En el grfico, calcule el permetro del tringulo.

60

15. En el grfico, calcule MN, si :AH = 5 u, BH = 12 u.

A

B

HC

NM

16. En un tringulo ABC, la medida del ) ABC es igual a128. Las mediatrices de AB y BC cortan a AC enlos puntos R y S, respectivamente. Luego, la suma delas medidas de los ngulos ABR y SBC es :

17. En el grfico, BM = MC. Calcule "x".

A

CBM

30 15

x

18. En el grfico, calcule "x". BP = PC y AM = MP.

B

A C

Px

Q

M18 u

19. En el grfico : AH = 2 u y HC = 8 u. Calcule AB.

2A

B

HC

20. En el grfico, AM y CN son bisectrices exteriores delA y C, AB = 6 u, BC = 12 u, AC = 16 u. Calcule MN.

A C

M N

B


21. Calcule BD, si : CD = 8 u.

A

B

C

Da) 8 u b) 4 u c) 16 ud) 2 u e) 12 u

22. En el grfico, AM = MC. Calcule3

.

2 45

B

CAM

a) 10 b) 12 c) 5d) 15 e) 18

23. En el grfico, BC = 18 u, AC = 6 u y "M" es el puntomedio de AB. Calcule MQ.

Q

B

M

AC

a) 10 u b) 12 u c) 13 ud) 14 u e) 15 u

24. En el grfico, calcule BC, si : HM = 6 u.

A

B

H

CM

a) 9 u b) 12 u c) 15 ud) 18 u e) 24 u

25. En el grfico, AB = BC. Calcule QC, si :AQ = 8 u; PC = 2 u.

A

B QC

P

a) 4 u b) 8 u c) 3 ud) 6 u e) 12 u

26. En el grfico, calcule la m ) ABM. Si : AM = MC.

A

B

C

532

372

M

a) 37 b) 53 c) 45d) 60 e) 90

stt sos

25.25. En el grfico, AB = BC. Calcule QC, si :AQ = 8 u; PC = 2 u.

ttt soossoss

25.25.25.25.25.25.25.25.25.25. En el grfico, AB = BC. Calcule QC, si :En el grfico, AB = BC. Calcule QC, si :En el grfico, AB = BC. Calcule QC, si :En el grfico, AB = BC. Calcule QC, si :AQ = 8 u; PC = 2 u.AQ = 8 u; PC = 2 u.AQ = 8 u; PC = 2 u.AQ = 8 u; PC = 2 u.

27. Sea ABC un tringulo escaleno. La mediatriz de BCcorta a AC en "F" y se cumple que:AB = AF = FC. Calcule la m ) ACB.

a) 53 b) 15 c) 30d) 37 e) 60

28. En el grfico, calcule "x", si : BC = MC.

x

M

B

A C2

a) 20 b) 25 c) 30d) 45 e) 37

29. En el grfico, calcule "" .

30

7010

a) 9 b) 10 c) 15d) 22,5 e) 30

30. Se ubica un punto P en el interior de un tringulo ABC,tal que : AP = AB = BC, si :m ) ACP = 30, m ) CAP = 10. Calcule la m ) BAP..

a) 20 b) 40 c) 30d) 10 e) 15

31. En el grfico, calcule : "x", si : AD = DC.

A

B

CD

45

x

x

a) 15 b) 20 c) 25d) 30 e) 35

32. En el grfico, calcule "x", si : AD = DC.

A

B

CD

30105

x

a) 10 b) 12 c) 15d) 20 e) 30

33. En el grfico, calcule "x", si : AB = AD + DC.

x 2x

x

B

A C

D

a) 10 b) 12 c) 15d) 18 e) 36

34. En un tringulo ABC se traza la ceviana BD , tal que :CDAB y D est en el lado AC . Adems :

m ) ABD = 60 y m ) BAC = 20. Calcule la m ) BCA.

a) 15 b) 30 c) 25d) 22 30' e) 20

35. En el grfico, calcule AE.Si : BC = 36 u y EC = 24 u. AB = AC.

2

B E

A C

a) 61 u b) 62 u c) 64 ud) 66 u e) 60 u

36. En el grfico, AT = 5 u, BC = 10 u.Si : AM = MC. Calcule TB.

B

C

L

T

MA

En el grfico, calcule AE.En el grfico, calcule AE.En el grfico, calcule AE.En el grfico, calcule AE.Si : BC = 36 u y EC = 24 u. AB = AC.

d) 22 30'd) 22 30'

En el grfico, calcule AE.En el grfico, calcule AE.En el grfico, calcule AE.En el grfico, calcule AE.En el grfico, calcule AE.Si : BC = 36 u y EC = 24 u. AB = AC.

d) 22 30'd) 22 30'd) 22 30'd) 22 30'd) 22 30'

a) 11 u b) 12 u c) 13 ud) 14 u e) 15 u

37. En el grfico mostrado, AB = CD. Calcule : "x".

x

A

B C2xD

a) 9 b) 12 c) 18 30'd) 14 e) 21 30'

38. En el grfico, calcule : "" . AB = PQ y AQ = QC.

6

2

B

P

A CQ

a) 10 b) 18 c) 20d) 30 e) 15

39. En el grfico, ABC es un tringulo issceles (AB = BC).AC//PQ ; PE = 3u; PF = 5u y NQ = 7 u. Calcule QD.

B

D

E

P

FQ

A CN

a) 12 u b) 13 u c) 14 ud) 15 u e) 16 u

40. En el grfico mostrado, AB = CD. Calcule "x".

A

B

CD

x90-2x

2x

a) 8 b) 10 c) 12d) 15 e) 18

41. En el grfico, calcule : "x". Si : AB = BC.

2x

x

90+2x

B

A C

a) 22 30' b) 20 30' c) 18 20'd) 18 30' e) 20 18'

42. En el grfico mostrado : DE = 18 u, FC = 24 u,GC = 16 u. Calcule MN, si : M y N puntos medios deEF y DG , respectivamente.

B

E FM

D

NA

GC53

a) 16 u b) 15 u c) 12 ud) 17 u e) 18 u

43. En el grfico, calcule "x".Si : AB = BR = MC y AM = MC.

2xx

B

R

CAM

a) 5 b) 10 c) 12d) 15 e) 18

44. En el grfico, calcule "x", si : AD = DC.

A

B

CD

2x

x30

a) 30 b) 10 c) 15d) 18 e) 20

C

43.43. En el grfico, calcule "x".Si : AB = BR = MC y AM = MC.

C

43.43.43.43.43.43.43.43.43. En el grfico, calcule "x".En el grfico, calcule "x".En el grfico, calcule "x".Si : AB = BR = MC y AM = MC.Si : AB = BR = MC y AM = MC.Si : AB = BR = MC y AM = MC.Si : AB = BR = MC y AM = MC.

45. En el grfico, calcule "x".Si : BP = AC y AD = DP.

x

2

B

C

D

A

P

a) 90 b) 60 c) 45d) 120 e) 150


3 2

a) 8 b) 10 c) 15d) 18 e) 20


3 5

2

5

3

a) 9 b) 12 c) 10d) 15 e) 18

48. En el grfico, calcule "x", si : AB = CD.

x

x

30

B

CAD

a) 9 b) 10 c) 12d) 15 e) 18

49. En el grfico mostrado, AB = CD.

Calcule " ".

A

B

CD

90-

4

a) 10 b) 12 c) 15d) 20 e) 25

50. En un tringulo ABC, se traza la ceviana BF , si :AB = FC, m ) BAC = 30, m ) FBC = 45.Calcule m ) BCA.

a) 12 b) 15 c) 20d) 30 e) 22 30'

51. En el grfico mostrado, calcule "x".

10100

10

20x

a) 5 b) 8 c) 10d) 12 e) 15

52. En el grfico, calcule "x", si : AD = BC.

2x3x

6x

A

B

CDa) 10 b) 12 c) 20d) 15 e) 18

53. En el grfico, calcule "x", si : AD = BC.

A

B

CD30+x 30

a) 12 b) 15 c) 10d) 18 e) 20

a) 5a) 5d) 12d) 12a) 5a) 5a) 5d) 12d) 12d) 12a) 5

54. En el grfico : BC = AD, calcule "" .

2

2

3

B

C

A D

a) 10 b) 12 c) 15d) 18 e) 20

55. En el grfico, calcule "x", si : AB = DC.

A

B

CD

2x60+x

x

a) 10 b) 15 c) 20d) 45/2 e) 15/2

56. En el grfico, calcule "x". Si : AQ = QC = BC.

2xx

B

A C

Q

a) 10 b) 15 c) 18d) 30 e) 22 30'

57. Si : M, N y P puntos medios de BC , AB y ACrespectivamente. Calcule "x", si adems :BE = 2u y BD = 4u.

x

2

2

C

A

PM

E

DB N

a) 30 b) 35 c) 31d) 36 e) 37

58. Calcule "x", en funcin de : "" .Si : AM = MC.

22

30

x

B

A CM

a) 2 b) c) 15

c) 30 e) 60

59. En el grfico, calcule "x", si : AB = DC.

A

B

CD

x

1848

a) 10 b) 12 c) 15d) 18 e) 20

60. En el grfico, calcule : "x", si : AD = BC.

A

B

CD

30

x

12

a) 5 b) 6 c) 9d) 10 e) 12

AAAAAA

C

ClavesClaves21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

a

c

b

b

d

e

c

c

b

b

d

e

e

e

e

e

c

e

d

b

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

a

d

b

c

b

c

c

e

d

e

c

d

b

c

d

d

c

c

b

b

Captulo

POLGONOS4Definicin :

Sean 1P , 2P , 3P , .... nP una sucesin de "n" puntosdistintos de un plano con n 3. Los segmentos 21 PP ,

32 PP , 43 PP , .... n1n PP , 1n PP ; son tales que ningn par

de segmentos con un extremo comn sean colineales y no

exista un par de segmentos que se intersecten en puntos

distintos de sus extremos. Entonces, la reunin de los "n"

segmentos se denomina Polgono.

P1

P2

P3

P4

P5

P6

Pn

Elementos :

1. Vrtices : 1P , 2P , 3P , ....

2. Lados : 21 PP , 32 PP , .....

3. ngulos :

* Internos : ) 1P , ) 2P , ....

* Externos : , ......

4. Diagonal : 53 PP , 64 PP , .....

Los Polgonos se clasifican en :

1. Por el nmero de lados :

* Tringulo 3 lados* Cuadriltero 4 "* Pentgono 5 "* Exgono 6 "

(o hexgono)* Heptgono 7 "

* Octgono 8 "* Enegono 9 "

o nongono* Decgono 10 "* Endecgono 11 "* Dodecgono 12 "* Pentadecgono 15 "* Icosgono 20 "

2. Por sus lados y ngulos

* Polgono Convexo

* Polgono no Convexo

* Polgono Equiltero

* Polgono Equingulo

Polgono no Convexo*

P

Polgono no Convexo

4

****

* Polgono Regular

B C

A D

OO

G H

F I

E J

* Polgono Irregular

PROPIEDADES

I. Mximo nmero de diagonales trazadas desde 1 vrtice.

(n-3) diagonales

II. Nmero total de diagonales.

2)3n(n

ND

III. En los polgonos convexos, la suma de las medidas delos ngulos internos es de :

)2n(180Si

IV. En todo polgono convexo, la suma de las medidas delos ngulos extenos es de 360.

Sex = 360

V. En el polgono equingulo.

e

e

e

e

i

i

i i

i

n360

Exterior)m

n)2n(180

Interior)m

VI. En el polgono regular.

e

i

i

e

e

i

i

O

: medida del ngulo central.

Se = 360S

n360

e

n)2n(

180i

En el polgono regular.En el polgono regular.En el polgono regular.En el polgono regular.En el polgono regular.En el polgono regular.En el polgono regular.En el polgono regular.

01. En el octgono regular, calcule " ".

02. Calcule la suma de las medidas de los ngulos interioresen el grfico.

03. ABCDE es un polgono regular. Calcule "x".

x

A

E D

C

B

04. En el polgono mostrado :AB = BC = CD = DE = a, CDAC , DEAD .Calcule el permetro del polgono mostrado.

C

D

E

B A

05. El grfico muestra un polgono regular.Calcule : x - y.

x

y

06. En un polgono, la suma de las medidas de sus ngulosinternos es 540, el nmero de lados de dicho polgonoes :


07. En un polgono, la diferencia de la suma de los ngulosinternos y la suma de ngulos externos es igual a 720.Calcule el nmero de diagonales de dicho polgono.

08. En un polgono equingulo, la relacin entre lasmedidas de un ngulo interior y otro exterior es como5 a 1.Calcule el nmero de diagonales del polgono.

09. La medida del ngulo interior de un polgono regulares igual a la medida de su ngulo central. El polgonoes un :

10. En el grfico, se presenta parte de un polgono regularde "n" lados. Calcule "n".

A

B

CD

E

F

G

164

Practiquemos :11. Calcule el nmero de lados de un polgono convexo, si

desde cuatro vrtices consecutivos se puede trazar 45diagonales.

12. En un hexgono ABCDEF :BC = 4u, AB = 3u, CD = 6u, DE = 5u.Calcule el permetro del hexgono equingulomencionado.

13. Se tiene un octgono equingulo ABCDEFGH en elcual :AB =2 m; BC = 2 m; CD = 3m. Calcule AD.

14. Cada lado de un polgono regular mide 6 cm y elpermetro equivale al nmero que expresa el total dediagonales en cm. Calcule la medida de un ngulocentral.

15. Desde 7 vrtices consecutivos de un polgono se hantrazado 55 diagonales. Calcule el nmero de diagonalestotales del polgono.

La medida del ngulo interior de un polgono regularLa medida del ngulo interior de un polgono regulares igual a la medida de su ngulo central. El polgonoes igual a la medida de su ngulo central. El polgonoes igual a la medida de su ngulo central. El polgonoes igual a la medida de su ngulo central. El polgonoLa medida del ngulo interior de un polgono regularLa medida del ngulo interior de un polgono regulares igual a la medida de su ngulo central. El polgonoes igual a la medida de su ngulo central. El polgonoes igual a la medida de su ngulo central. El polgonoes igual a la medida de su ngulo central. El polgonoes igual a la medida de su ngulo central. El polgonoes igual a la medida de su ngulo central. El polgonoes igual a la medida de su ngulo central. El polgonoes igual a la medida de su ngulo central. El polgonoes igual a la medida de su ngulo central. El polgonoes igual a la medida de su ngulo central. El polgono

16. En un hexgono convexo ABCDEF :

m ) B = 140, m ) E = 150, m ) C + m ) D = 330.

Calcule la medida del ngulo que forman las rectas AB

y FE al intersectarse.

17. En un polgono equingulo ABCDEF ... las bisectricesde los ngulos ABC y DEF son perpendiculares. Calculeel nmero de diagonales de dicho polgono.

18. Si a un polgono se le incrementa el nmero de ladosen 2, cada ngulo interno aumenta en 15.El polgono es :

19. Si el nmero de lados de un polgono regular aumentaen 10, su ngulo interior aumenta en 3. Calcule elnmero de lados del polgono original.

20. En un polgono regular, se cumple que la suma de lasmedidas de un ngulo central, un ngulo exterior y unngulo interior es 210. Calcule el nmero total dediagonales.

Problemas propuestos21. Calcule la suma de las medidas de los ngulos internos

de un polgono, sabiendo que si se aumenta en tres elnmero de lados, el nmero de diagonales aumentaen 27.

a) 1260 b) 1360 c) 1560d) 1460 e) 1600

22. En un polgono regular la diferencia de un ngulointerno y un ngulo externo est comprendida entre30 y 40. Calcule el nmero de lados de dichopolgono.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 10

23. Se tiene un octgono regular ABC-DEFGH. Calcule lamedida del ngulo formado por las diagonales BE yCH .

a) 30 b) 45 c) 60d) 90 e) 120

24. Si un polgono regular tiene "n" lados y se suman elvalor de la suma de sus ngulos internos, externos ycentrales se obtiene (200n). Calcule el nmero dediagonales que tiene dicho polgono.

a) 119 b) 152 c) 104d) 135 e) 170

25. Los ngulos internos B, C y D de un polgono convexomiden 170, 160 y 150 respectivamente. Calcule lamedida del menor ngulo formado por los lados AB yDE .

a) 50 b) 60 c) 70d) 80 e) 40

26. ABCDE es un pentgono regular y BCPQ es uncuadrado interior al pentgono. Calcule la m ) DBP..

a) 6 b) 8 c) 9d) 10 e) 12

27. Calcular el nmero de lados de un polgono equinguloABCDEF ......, si las mediatrices de AB y EF formanun ngulo cuya medida es 36.

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

28. Calcule el nmero de lados del polgono regular cuyongulo interno es (p+15) veces el ngulo exterior, yadems se sabe que el nmero de diagonales es 135p.

a) 80 b) 85 c) 90d) 95 e) 100

en 2, cada ngulo interno aumenta en 15.en 2, cada ngulo interno aumenta en 15.

miden 170, 160 y 150 respectivamente. Calcule lamiden 170, 160 y 150 respectivamente. Calcule lamiden 170, 160 y 150 respectivamente. Calcule lamedida del menor ngulo formado por los lados

Los ngulos internos B, C y D de un polgono convexomiden 170, 160 y 150 respectivamente. Calcule la

en 2, cada ngulo interno aumenta en 15.en 2, cada ngulo interno aumenta en 15.en 2, cada ngulo interno aumenta en 15.

miden 170, 160 y 150 respectivamente. Calcule lamiden 170, 160 y 150 respectivamente. Calcule lamiden 170, 160 y 150 respectivamente. Calcule lamiden 170, 160 y 150 respectivamente. Calcule lamedida del menor ngulo formado por los lados

Los ngulos internos B, C y D de un polgono convexomiden 170, 160 y 150 respectivamente. Calcule la

en 2, cada ngulo interno aumenta en 15.

29. Dadas las siguientes proposiciones :I. Cada ngulo interior de un hexgono regular mide

120.II. En el decgono, se pueden trazar 36 diagonales.III. El polgono regular cuyos ngulos exteriores mi-

den 36 es un decgono.

Son verdaderas :

a) Slo I y III b) Slo IIc) Slo I y II d) Slo IIIe) Slo II y III

30. Calcule el nmero de diagonales que se puede trazaren un polgono regular de vrtices 1A , 2A , 3A , .....

nA , sabiendo que las mediatrices de 21AA y 43AA

forman un ngulo que mide 30.

a) 189 b) 230 c) 170d) 275 e) 252

31. Dos nmeros consecutivos, representan los nmerosde vrtices de dos polgonos convexos. Si la diferenciade los nmeros de diagonales totales es 3. El polgonomayor es :

a) Icosgono b) Nongonoc) Pentgono d) Eptgonoe) Endecgono

32. Se tiene un polgono regular cuyo semipermetro es"p" y el nmero que expresa su nmero de diagonaleses igual al permetro.Adems su ngulo interior es "p" veces su nguloexterior.Calcule la longitud del lado del polgono regular.

a) 1/3 b) 1/5 c 1/4d) 1 e) 1/2

33. El polgono, en el que su nmero de lados es igual a sunmero de diagonales es :

a) Pentgono b) Hexgonoc) Dodecgono e) Nongonoe) Octgono

34. Si la suma de las medidas de los ngulos internos dedos polgonos convexos difieren en 720 y sus nguloscentrales difieren en 7,5.Indicar si el cociente mayor que la unidad de los ladosde los dos polgonos convexos es igual a :

a) 1,53 b) 1,23 c) 1,13d) 1,43 e) 1,33

35. Si a un polgono se le aumenta un lado, su nmero dediagonales aumenta en 6. Si se le disminuye un lado,el nmero de diagonales disminuye en :

a) 6 b) 3 c) 5d) 2 e) 4

36. Si a un polgono se le aumenta 2 lados, el nmero dediagonales aumenta en 15. Calcule la mitad de lamedida del ngulo externo de dicho polgono.

a) 45 b) 60 c) 40d) 120 e) 90

37. En cierto sistema de medida, la suma de las medidas

de los ngulos internos de un tringulo 43

K. Calcule

la suma de las medidas de los ngulos internos en undecgono convexo.

a) 6 K b) 5 K c) 7 Kd) 10 K e) 8 K

38. En el grfico ABCDE y AFE son regulares, GD = 10u.Calcule la distancia de D a GC .

C

DB

G

F

A E

a) 3 u b) 4 u c) 8 ud) 6 u e) 5 u

39. Se inscribe un rectngulo en un cuadrado, tal que suslados sean paralelos a las diagonales del cuadrado.Calcule la relacin entre los permetros del cuadrado ydel rectngulo.

a) 2 b) 3 c) 2

d) 2 2 e) 4

40. Calcule el nmero de lados de un polgono equinguloABCDEF .....; si las mediatrices de AB y EF formanun ngulo de 36.

a) 15 b) 10 c) 20d) 40 e) 10 40

41. En un polgono equingulo desde (n-7) ladosconsecutivos se pueden trazar (n-1) diagonales medias.Calcule la medida de un ngulo interior.

a) 130 b) 132 c) 134d) 135 e) 140

42. Calcule el nmero de polgonos equingulos convexosexisten de modo que la medida de su ngulo internoen grados sexagesimales est representado por unnmero entero.

a) 24 b) 22 c) 18d) 30 e) 21

del rectngulo.del rectngulo.

lados sean paralelos a las diagonales del cuadrado.Calcule la relacin entre los permetros del cuadrado ydel rectngulo.

Se tiene un polgono regular cuyo semipermetro es

39.39. Se inscribe un rectngulo en un cuadrado, tal que susSe inscribe un rectngulo en un cuadrado, tal que suslados sean paralelos a las diagonales del cuadrado.lados sean paralelos a las diagonales del cuadrado.Calcule la relacin entre los permetros del cuadrado ydel rectngulo.del rectngulo.

lados sean paralelos a las diagonales del cuadrado.Calcule la relacin entre los permetros del cuadrado ydel rectngulo.

Se tiene un polgono regular cuyo semipermetro es

39.39.39.39.39. Se inscribe un rectngulo en un cuadrado, tal que susSe inscribe un rectngulo en un cuadrado, tal que susSe inscribe un rectngulo en un cuadrado, tal que suslados sean paralelos a las diagonales del cuadrado.lados sean paralelos a las diagonales del cuadrado.lados sean paralelos a las diagonales del cuadrado.lados sean paralelos a las diagonales del cuadrado.lados sean paralelos a las diagonales del cuadrado.Se inscribe un rectngulo en un cuadrado, tal que suslados sean paralelos a las diagonales del cuadrado.Calcule la relacin entre los permetros del cuadrado yCalcule la relacin entre los permetros del cuadrado ylados sean paralelos a las diagonales del cuadrado.lados sean paralelos a las diagonales del cuadrado.lados sean paralelos a las diagonales del cuadrado.lados sean paralelos a las diagonales del cuadrado.

43. En un polgono convexo de "n" lados. Calcule la sumade las medidas de los ngulos formados al prolongarlos lados del polgono.

a) 180n b) 360n c) 90(n-2)d) 180(n-4) e) 360(n-2)

44. El menor ngulo de un polgono mide 139, y lasmedidas de los otros ngulos forman, con la delprimero, una progresin aritmtica de razn 2.Calcule el nmero de lados del polgono.

a) 10 b) 9 c) 12d) 15 e) 20

45. Calcule el mayor nmero de lados de un polgonoequiltero ABCDEF ...... ; si las mediatrices de AB yEF forman un ngulo cuya medida es 36.

a) 10 b) 12 c) 30d) 14 e) 15

46. En un polgono convexo de "n" lados, desde (n-4)vrtices consecutivos se trazan (4n+3) diagonales.Calcule la suma de las medidas de los ngulos interioresdel polgono.

a) 1040 b) 1140 c) 1240d) 1340 e) 1800

47. En un hexgono regular ABCDEF, cuyo permetro esigual a 72u, se traza la bisectriz interior FM en eltringulo ABF y sobre FD se toma el punto Q, tal que:AF = FQ y BFQM = {P}. Calcule PQ.

a) 4 u b) 8 u c) 10 ud) 12 u e) 16 u

48. Calcule "x", si ABCDE es un pentgono regular.(ED = DP).

B

A C

E D

42

x

P

a) 42 b) 45 c) 48d) 54 e) 60

49. De uno de los vrtices de un polgono convexo, sepuede trazar (x - 3) diagonales, entonces la suma de lasmedidas de sus ngulos interiores equivale a ......ngulos rectos.

a) 2x b) 2x - 4 c) x + 4d) 2x + 8 e) x

50. En cierto polgono convexo, el menor ngulo internomide 135 y los dems ngulos internos estn enprogresin aritmtica de razn 3. Calcule el nmerode lados.

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 17

51. En el nongono regular AB ... HI, las diagonales BD yCF miden "a" y "b" unidades respectivamente.Calcule la distancia del vrtice E, a la diagonal BH.

a) 2ba

b) b - a c)2

2a

d)2

3be) ab

52. Las medidas de los ngulos interiores de un trapezoideforman una progresin aritmtica. Si la medida delcuarto ngulo es nueve veces la del segundo, calcule lamedida del tercer ngulo interior.

a) 81 b) 54 c) 71d) 27 e) 108

53. ABCD es un cuadriltero donde el ngulo A es recto,m ) B = m ) C = 60 y2AB - BC = 6 3 u. Calcule CD.

a) 6 3 u b) 6 u c) 2 3 u

d) 3 2 u e) 3 u

54. Al disminuir en 6 la medida de cada ngulo interno deun polgono regular, resulta otro polgono regular cuyonmero de diagonales es los 3/5 del nmero dediagonales del polgono original.Calcule el nmero de lados del polgono original.

a) 9 b) 10 c) 12d) 15 e) 20

55. En un pentgono ABCDE :m ) B = m ) D = 90 y los ngulos restantescongruentes. Calcule la distancia del vrtice A al ladoED , si : BC = 4 cm y CD = 10 cm, AB = 4 3 cm.

a) 3 cm b) 7 cm c) 6 cmd) 8 cm e) 5 cm

56. En un pentgono convexo ABCDE :AB = BC y CD = DE (CD > BC); si :BD = K y m ) B = m ) D = 90. Calcule la distancia delpunto medio de AE a BD .

a)2K

b) 2K c) 3K2

d) K e) 3K

Al disminuir en 6 la medida de cada ngulo interno deAl disminuir en 6 la medida de cada ngulo interno deAl disminuir en 6 la medida de cada ngulo interno deun polgono regular, resulta otro polgono regular cuyoun polgono regular, resulta otro polgono regular cuyo

d) 3

Al disminuir en 6 la medida de cada ngulo interno de

c) 1240c) 1240

En un hexgono regular ABCDEF, cuyo permetro esigual a 72u, se traza la bisectriz interior FM en el

d) 3

Al disminuir en 6 la medida de cada ngulo interno deAl disminuir en 6 la medida de cada ngulo interno deAl disminuir en 6 la medida de cada ngulo interno deun polgono regular, resulta otro polgono regular cuyoAl disminuir en 6 la medida de cada ngulo interno deun polgono regular, resulta otro polgono regular cuyo

d) 3

Al disminuir en 6 la medida de cada ngulo interno de

c) 1240c) 1240c) 1240c) 1240c) 1240c) 1240c) 1240

En un hexgono regular ABCDEF, cuyo permetro esigual a 72u, se traza la bisectriz interior FM en eligual a 72u, se traza la bisectriz interior FM en elEn un hexgono regular ABCDEF, cuyo permetro esEn un hexgono regular ABCDEF, cuyo permetro esEn un hexgono regular ABCDEF, cuyo permetro esEn un hexgono regular ABCDEF, cuyo permetro esigual a 72u, se traza la bisectriz interior FM en eligual a 72u, se traza la bisectriz interior FM en eligual a 72u, se traza la bisectriz interior FM en eligual a 72u, se traza la bisectriz interior FM en el

d) 3d) 3d) 3d) 3

57. Dado el polgono equingulo PQRST ... tal que lasprolongaciones de PQ y TS se cortan en A. Si elngulo PAS es agudo, calcule el mximo nmero delados del polgono.

a) 12 b) 13 c) 14d) 10 e) 11

58. Los lados de un polgono regular de "n" lados, n > 4,se prolongan para formar una estrella. El nmero degrados en cada vrtice de la estrella, es :

a)n

360b)

n180)4n(

c)n

180)2n(d)

n90

180

e)n

180

59. El nmero de diagonales de un polgono convexoexcede en 16 a la diferencia entre el nmero de ngulosrectos a que equivale la suma de sus ngulos interioresy el nmero de vrtices del polgono. El polgono es :

a) Octgono. b) Decgono.c) Pentgono. d) Exgono.e) N. A.

60. Si la medida de cada ngulo interior de un polgonoregular de "n" lados se disminuye en 5, su nmero dediagonales disminuye en (5n-3). Calcule "n".

a) 18 b) 24 c) 30d) 36 e) 42

ClavesClaves21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

a

a

d

d

b

c

d

c

a

e

c

d

a

e

c

a

a

e

c

d

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

d

e

d

c

a

e

d

e

b

d

d

a

a

d

c

a

e

b

a

b

Captulo

CUADRILTEROS5Definicin :

Son aquellas figuras determinadas al trazar cuatro rectas secantes y coplanares, que se intersectan dos a dos. Lossegmentos que se determinan son sus lados y los puntos de interseccin son sus vrtices.

A

BC

D

Convexo

A+B+C+D = 360

x

No Convexo

x = + +

A

BC

D

B

A

D

C

Clas if i cacin

I. Trapezoides

TrapezoideAsimtrico

TrapezoideSimtrico

B

C

A

D

A

B

C

D

II. Trapecios

BC // AD

Bases

B C

A DT. Escaleno

A

B C

D

T. Issceles T. Rectngulo

B C

A D

B C

DA

Convexo

A+B+C+D = 360A+B+C+D = 360A+B+C+D = 360A+B+C+D = 360

Convexo

A+B+C+D = 360A+B+C+D = 360A+B+C+D = 360A+B+C+D = 360A+B+C+D = 360A+B+C+D = 360A+B+C+D = 360A+B+C+D = 360A+B+C+D = 360

III. Paralelogramos

B C

DA

AB // CD

BC // AD

= 90

Romboide Rombo

A

B C

D

A

B

C

D

RectnguloCuadrado

B C

A DA

B C

D

Propiedades Bsicas

I. En el Trapecio

a

b

M N

MN : Base media

MN // Bases

b

a

PQ // Bases

* *

MN = a+b2

P Q PQ = a - b2

II. En el Paralelogramo

B C

AD

AO = OCBO = OD

*

a

bn

m a+b = n+m

*

A

BC

DO

III. En todo Cuadriltero

P

Q

R

S

PQRS es un paralelogramo

B

C

A

D

01. En la prolongacin del lado AD de un rectnguloABCD, se ubica el punto E, tal que :m ) ADB = m ) DCE, BD = 4 u y CE = 3 u. CalculeAE.

02. En el grfico, calcule la m ) BEA, si : ABCD es uncuadrado y BF = 3(AF).

B C

A D

E

F

03. En el grfico, calcule "x", si ABCD es un cuadrado.

B C

A D

xx

04. Calcule "" en el grfico, si : ABCD es un cuadrado y"M" y "N" son puntos medios.

B C

A D

N

M

05. En un cuadrado ABCD, se prolonga AD hasta "P".Luego se traza la perpendicular AQ hacia PC quecorta a CD en M. Calcule la m ) DPM.

06. Las diagonales de un rombo miden 20 dm y 48 dm.Calcule el permetro del rombo.

07. Del grfico, calcule "x".

x

x

2x

B

C

DA


Las diagonales de un rombo miden 20 dm y 48 dm.Calcule el permetro del rombo.Las diagonales de un rombo miden 20 dm y 48 dm.Las diagonales de un rombo miden 20 dm y 48 dm.Calcule el permetro del rombo.Las diagonales de un rombo miden 20 dm y 48 dm.Calcule el permetro del rombo.Las diagonales de un rombo miden 20 dm y 48 dm.Las diagonales de un rombo miden 20 dm y 48 dm.Las diagonales de un rombo miden 20 dm y 48 dm.Las diagonales de un rombo miden 20 dm y 48 dm.Las diagonales de un rombo miden 20 dm y 48 dm.Las diagonales de un rombo miden 20 dm y 48 dm.Calcule el permetro del rombo.Calcule el permetro del rombo.Calcule el permetro del rombo.Las diagonales de un rombo miden 20 dm y 48 dm.Las diagonales de un rombo miden 20 dm y 48 dm.Las diagonales de un rombo miden 20 dm y 48 dm.

08. En el grfico, si : ABCD es un romboide, calcule BF,sabiendo que : BC = 7 u y CD = 5 u.

A

B C

D

F

09. En el grfico, si : ABCD es un romboide, AD = 8 u;AB = 5u. Calcule DN.

A

B C

D

M

N

10. En el grfico, se muestran los cuadrados A, B y C. Calcule:

Permetro de A + Permetro de BPermetro de C

A B

C

Practiquemos :11. En los lados BC y CD del cuadrado ABCD, se ubican

los puntos M y P, respectivamente, tal que : CP = PD ym ) APM = 90. Calcule la m ) AMB.

12. En el grfico, si : ABCD es un paralelogramo,PQ = 12u, EF = 17 u. Calcule : EL.

A

B C

D

L P

Q

F

E

13. En el grfico ABCD un trapecio )AD//BC( .

Calcule la m ) ADC.

A

B C

D

4u

8u 6u

14u

14. Las diagonales de un trapecio miden 12 cm y 18 cm.Calcule el mximo valor entero que puede tomar lalongitud de la mediana de dicho trapecio.

Calcule la mCalcule la m

En el grfico ABCD un trapecio

Calcule la mCalcule la mCalcule la m

En el grfico ABCD un trapecio

15. En un trapecio rectngulo ABCD.

m ) A = m ) B = 90, m ) D = 75 ; AD = 2(AB).

Calcule la medida del ngulo BCA.

16. Los lados AB , BC y CD de un trapecio ABCD sonde igual longitud. Si AD es paralela a BC y tiene eldoble de la longitud de BC , la diagonal AC mide :

17. En el grfico, si : BC // AD y ABCD, es un trapecioissceles. Calcule : AD, EC = 5 m.

A

B C

D

E30

30

18. En un trapecio, la suma entre la mediana y el segmentoque une los puntos medios de las diagonales es 32 cm.Calcule la longitud de la base mayor.

19. Las diagonales de un trapecio son perpendiculares ymiden 6u y 8u. Calcule la longitud de la mediana.

20. La suma de las longitudes de las diagonales de untrapezoide es 20. Calcule el permetro del cuadrilteroque resulta al unir consecutivamente los puntos mediosde los lados del trapezoide.


21. En el grfico se muestra un trapecio ABCD, de basesAB y CD , se trazan las bisectrices de los ngulos A yD que se cortan en R, y las bisectrices de los ngulos By C que se cortan en S.Calcule RS, si : AB = 4 u, CD = 12 u, AD = 7 u yBC = 9 u.

D

A B

C

a) 0 b) 8 u c) 19/2 ud) 13/2 u e) 3/2 u

22. En un cuadriltero convexo ABCD, el ngulom ) A = 9 y m ) B = 4. Calcule la medida del nguloformado por las bisectrices de los ngulos C y D.

a) 6 30' b) 7 20' c) 7 55'd) 9 00' e) 12 00'

23. En el grfico, los lados AB y CD son paralelos.Si : AB = 5 u y AC = 12 u, calcule : CD.

A

B

C

D2

a) 15 u b) 16 u c) 18 ud) 17 u e) 10 u

En un cuadriltero convexo ABCD, el ngulo

d) 13/2 ua) 0

En un cuadriltero convexo ABCD, el ngulo

d) 13/2 ua) 0a) 0a) 0a) 0a) 0a) 0a) 0a) 0a) 0a) 0a) 0

24. En el grfico : BC = PA y AD = BP. Calcule "x".

x

B C

A D

P

a) 53 b) 30 c) 60d) 45 e) 37

25. En el grfico, calcule "" . Si : PL = LM = NM.

P

N

L

M

45-

a) 20 b) 10 c) 12d) 30 e) 15

26. En el grfico, calcule "" , si ABCD es un rombo..MH = 1 u, y D dista de BC 3 u.

A

B

C

D

H

M O

a) 26 30' b) 15 c) 18d) 30 e) 10

27. En grfico mostrado, MNOP es un trapecio, si : S puntomedio de OU y QU//RS . Siendo : QU = 12 m, calculeTR.

N O

R S

T

MQ P

U

a) 1 m b) 1,5 m c) 2 md) 3 m e) 4 m

28. En un trapecio ABCD, la base menor AB es igual a laaltura AH ; si :m ) A = 135 y el ) B = 150. Calcule el permetro del

trapecio, si : AB = AH = 20 cm.

a) 195,920 cm b) 200 cmc) 182,920 cm d) 162,920 cme) 170,500 cm

29. En el grfico, se muestra un romboide ABCD. Si lasdistancias de B, A y D a la recta son 2,4m; 3,6m; 7,9m,respectivamente, calcule la distancia de C a la recta L.

B

CA

D

L

a) 1 m b) 1,5 m c) 1,9 md) 2 m e) 2,5 m

30. Dado un cuadrado, al unir los puntos medios de suslados se obtiene otro cuadrado. Si se efecta esteprocedimiento cuatro veces ms se tendr un cuadrado.Calcule la razn entre las longitudes de los lados delcuadrado inicial y el ltimo que se obtuvo.

a) 2 b) 4 2 c) 2 2

d) 5 2 e) 3 2

31. En el grfico ABCD, es un paralelogramo y DX = BY.Si el permetro del tringulo BCE es : a+2b, el permetrodel tringulo CDX es : b-2a, y el permetro del tringuloCFY es p.

Calcule : ab6p2 .

D C

EBA

F

X

Y

a) 22 ba b) 22 b2a3

c) 22 b3a2 d) 22 b9a

e) 22 ba9

Calcule la razn entre las longitudes de los lados delCalcule la razn entre las longitudes de los lados delCalcule la razn entre las longitudes de los lados delcuadrado inicial y el ltimo que se obtuvo.cuadrado inicial y el ltimo que se obtuvo.

lados se obtiene otro cuadrado. Si se efecta esteprocedimiento cuatro veces ms se tendr un cuadrado.Calcule la razn entre las longitudes de los lados del

M

30.30.lados se obtiene otro cuadrado. Si se efecta este

Calcule la razn entre las longitudes de los lados delCalcule la razn entre las longitudes de los lados delCalcule la razn entre las longitudes de los lados delcuadrado inicial y el ltimo que se obtuvo.cuadrado inicial y el ltimo que se obtuvo.cuadrado inicial y el ltimo que se obtuvo.

lados se obtiene otro cuadrado. Si se efecta esteprocedimiento cuatro veces ms se tendr un cuadrado.Calcule la razn entre las longitudes de los lados del

MMM

30.30.30.30.30.30.30.30.lados se obtiene otro cuadrado. Si se efecta estelados se obtiene otro cuadrado. Si se efecta estelados se obtiene otro cuadrado. Si se efecta estelados se obtiene otro cuadrado. Si se efecta este

32. El grfico 1 es un cuadrado de lado 4m, tomando lospuntos medios de los lados AB y BC se construye elgrfico 2. En el segundo paso, tomando los puntosmedios de los segmentos 1AP , 11QP , 11RQ y CR1 seconstruye el grfico 3. Si se efecta este procedimiento10 veces, calcule la longitud de la "escalera" que seobtiene.

A B

D C

P1

R1Q1

A

D C

A

D C

fig. 1 fig. 2

fig. 3

a) 24 m b) 210 m c) 240 m

d) 104 m e) 8 m

33. En el grfico mostrado, se tiene un rectngulo ABCD,en el cual : AD = 2(CD), y donde :

m ) OMA = m ) BPO. Si : MN y PQ se intersectan en

O, de modo que : PO = 2 cm, QO = 4 cm y MO = 5 cm,calcule NO.

B CP

M

N

A DQ

O


34. En el grfico :ABCD es un cuadrado, y = 20. Calcule : "" .

D

C

A

B

a) 120 b) 105 c) 115d) 100 e) 110

35. En el grfico, PQ = 12 3 u y 38QR u, calcule :PS + RS.

120

S

R

P Q

a) 60 u b) 63 u c) 64 ud) 65 u e) 66 u

36. En el grfico, ABCD es un trapecio CD//BM ; AF = 18cm y FC = 12 cm. Calcule EF.

B C

EF

A DM


37. En un trapecio ABCD, la base mayor es AD . Al trazarselas bisectrices del ngulo B y el ngulo exterior C,intersectan a la base AD y a su prolongacin en P y Qrespectivamente.Si : AB + BC = 24 m y CD + AD = 30 m,calcule la longitud del segmento que une los puntosmedios de PC y BQ .

a) 1 m b) 2 m c) 3 md) 4 m e) 5 m

38. Se tiene un paralelogramo ABCD. Se construyenexteriormente los tringulos equilteros ABM y BCN.Por M se traza la perpendicular MH a ND , calcule lamedida del ngulo HMB, si el ngulo NDC mide 46.

a) 16 b) 14 c) 18d) 11 e) 20

39. En un trapecio ABCD )CD//AB( . Si :AB = 8m; BC = 6m; AD = 10m y CD = 18m; lasbisectrices de los ngulos A y D se intersectan en elpunto M y las bisectrices de los ngulos B y C seintersectan en el punto N. Calcule MN.

a) 4 m b) 5 m c) 6 md) 4,5 m e) 5,5 m

respectivamente.respectivamente.respectivamente.respectivamente.Si : AB + BC = 24 m y CD + AD = 30 m,

las bisectrices del ngulo B y el ngulo exterior C,intersectan a la base

En el grfico mostrado, se tiene un rectngulo ABCD,En el grfico mostrado, se tiene un rectngulo ABCD,En el grfico mostrado, se tiene un rectngulo ABCD,

se intersectan ense intersectan en

O, de modo que : PO = 2 cm, QO = 4 cm y MO = 5 cm,

37.37. En un trapecio ABCD, la base mayor esEn un trapecio ABCD, la base mayor eslas bisectrices del ngulo B y el ngulo exterior C,las bisectrices del ngulo B y el ngulo exterior C,intersectan a la baserespectivamente.respectivamente.respectivamente.respectivamente.Si : AB + BC = 24 m y CD + AD = 30 m,

las bisectrices del ngulo B y el ngulo exterior C,intersectan a la base

En el grfico mostrado, se tiene un rectngulo ABCD,En el grfico mostrado, se tiene un rectngulo ABCD,En el grfico mostrado, se tiene un rectngulo ABCD,En el grfico mostrado, se tiene un rectngulo ABCD,En el grfico mostrado, se tiene un rectngulo ABCD,En el grfico mostrado, se tiene un rectngulo ABCD,En el grfico mostrado, se tiene un rectngulo ABCD,En el grfico mostrado, se tiene un rectngulo ABCD,


O, de modo que : PO = 2 cm, QO = 4 cm y MO = 5 cm,


37.37.37.37.37. En un trapecio ABCD, la base mayor esEn un trapecio ABCD, la base mayor esEn un trapecio ABCD, la base mayor eslas bisectrices del ngulo B y el ngulo exterior C,las bisectrices del ngulo B y el ngulo exterior C,las bisectrices del ngulo B y el ngulo exterior C,las bisectrices del ngulo B y el ngulo exterior C,las bisectrices del ngulo B y el ngulo exterior C,las bisectrices del ngulo B y el ngulo exterior C,En un trapecio ABCD, la base mayor eslas bisectrices del ngulo B y el ngulo exterior C,intersectan a la baseintersectan a la baseintersectan a la baselas bisectrices del ngulo B y el ngulo exterior C,las bisectrices del ngulo B y el ngulo exterior C,las bisectrices del ngulo B y el ngulo exterior C,

40. De las siguientes proposiciones, las verdaderas (V) ofalsas (F) son :

I. Si el trapecio tiene sus diagonales congruentes;entonces, es necesariamente inscriptible a una cir-cunferencia.

II. En un trapecio escaleno, una diagonal puede sertambin altura.

III. Si un polgono equingulo est escrito en una cir-cunferencia es necesariamente un polgono regu-lar.

a) VVF b) FVF c) VFVd) FFF e) VVV

41. En un romboide ABCD, con AB < BC, se trazan lasbisectrices interiores de sus cuatro ngulos. Dichasbisectrices al intersectarse, forman un :

a) Rombo.b) Cuadrado.c) Rectngulo.d) Trapecio.e) Otros cuadrilteros.

42. En un rombo ABCD, M es punto medio de CD y ladiagonal BD corta a AM en punto R. Si : RM = 5u y

m ) DRM = 53, calcule BD.

a) 18 u b) 35 u c) 30 ud) 36 u e) 40 u

43. En el rectngulo ABCD de la figura, la longitud de lossegmentos AB y FC son respectivamente 2 m y 4 m.Si los segmentos AE y EM son iguales, calcule elpermetro del rectngulo.

D C

F

M

A

E

B

a) 48 b) 30 c) 36d) 24 e) 28

44. En un trapecio rectngulo ABCD, recto en A y D; labase menor AB mide 4 y la mediana ME del trapeciomide 6 (M en AD ) se ubica sobre AD el punto P, talque :

PB = PC y m ) BPC = 90. Calcule MP..

a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3

45. En un cuadrado ABCD, sobre la recta AD, se ubicanlos puntos P y Q, tal que : P, A, D y Q estn en eseorden. Calcule la medida del ngulo formado entrePC y BQ , siendo el punto medio de AD punto mediode PQ y m ) PCQ = 90.

a) 75 b) 60 c) 63,5d) 52,5 e) 67,5

46. En un cuadriltero ABCD :m ) B = m ) D = 90 , m ) BCD = 45, luego setrazan BDAP , BDCQ . Calcule BD, si :AP = 4 m, CQ = 20 m.

a) 16 m b) 24 m c) 30 md) 40 m e) 50 m

47. Es un cuadrado ABCD, por D se traza una recta queinterseca en N a AB . Si la proyeccin ortogonal de A yC sobre dicha recta son los puntos P y Qrespectivamente, calcule la razn entre PQ y la distanciadel centro del cuadrado a dicha recta.

a) 1 b) 1/2 c) 3

d) 2 e) 2

48. En un trapecio issceles ABCD ( AD//BC y BC

50. En un paralelogramo ABCD, se tiene que (AB

ClavesClaves21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

c

a

d

d

c

d

a

d

c

b

d

e

c

e

a

d

c

a

b

c

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

c

d

d

c

c

a

d

c

e

b

d

c

c

d

d

d

a

a

a

c

Captulo

CIRCUNFERENCIA6Definicin :

Es el lugar geomtrico de todos los puntos del planoque equidistan de otro punto de su plano denominadocentro. La distancia mencionada recibe el nombre de radio.

Elementos de la Circunferencia

EF

P

Q

O

B

C

A

L1

L2T

* Centro : O

* Radio : OB

* Dimetro : BC

* Cuerda : EF

* Arco : EB

* Flecha o sagita : PQ

* Secante : 1L

* Tangente : 2L

* Punto de Tangencia : T

* Permetro : L = Longitud de la circunferencia.

L = 2 r

r radiophi

r2L

= 3,1415926 .......

Posic iones re lat ivas de dos CircunferenciasCoplanares

* Circunferencias Exter iores

d

d > R + r

* Circunferencias Tangentes Exteriores

d

r

R

d = R + r

* Circunferencias Secantes

d

rR

R - r < d < R + r

* Circunferencias Ortogonales

d

rR

222 rRd

AA

1L

AA

1LL

* Circunferencias Tangentes Interio res

R

r

d

d < R - r

* Circunferencias Interio res

R

rd

d < R - r

* Circunferencias Concntricas

R

r

d = cero

R

r

Esta regin sedenomina coronao anillo circular.

Observacin : "d" distancia entre los centros.

Propiedades Fundamentales

1 .

O r

PL

* P punto de tangencia

* LOP

rOP

2 .

B

A

CO

AB = AC

3 .

BA

C

O

Si : ABOC

MBAM

CBAC

M

4 .

A

E F

B

AB//EF

FBAE

Si :

5 .

A

B C

D

DCAB

CDAB

Si :

6 .

S

AB

Q

EP T F

PQST

yEFAB

Teorema de Poncelet

A

B

C

r

r : inradio

AB + BC = AC + 2r

Teorema de Pitot

r

AB + CD = BC + AD

* Este teorema es vlido paratodo polgono circunscrito cuyonmero de lados es un nmeropar.

BC

DA

Teorema de Steiner

A

B

C

D

AB - CD = AD - BC

* Q y F puntos de tangenciap semi-permetro del tringulo ABC.

2cba

p

pAFAQ

A

B

Cp

F

Q

AA

01. En el grfico, calcule PA, si : A y B son puntos detangencia.

A

P

B

x +x2

2x+6

02. En el grfico : AB = 7 cm, CD = 7,5 cm y AD = 4 cm.Calcule BC.

B

C

A D

r

03. En el trapecio issceles : AD = BC = 8 cm.Calcule la longitud de la mediana del trapecio.

)DC//AB( .

A B

CD

04. Calcule "x", si "T" es punto de tangencia.AO = OB = BP = 1 u.

x

T

ABO P

05. Calcule el permetro del tringulo ABC.

A

B

C

10u

4u

1u

06. Calcule "x", si "O" es centro. (T : punto de tangencia).

4x x

T

A CBO


C

07. La distancia entre los centros de dos circunferenciascoplanares es 5 cm. Si sus radios miden 2,5 cm y 1,5cm, las circunferencias son :

08. Si : AO = EC. Calcule : "" .

A

D

E

CB

RO

09. Dado el romboide ABCD donde: m ) A=64, loscentros de las circunferencias inscritas a los tringulosABD y BCD son O y O1 respectivamente. Calcule lam

15. En un tringulo ABC, se sabe que :AB = 8 u, BC = 10 u y AC = 12 u, la circunferenciainscrita determina sobre AC el punto "M".Calcule AM.

16. El punto de tangencia de la circunferencia inscrita enun trapecio rectngulo divide al mayor de los lados noparalelos en segmentos que miden 1 u y 9 u. Calcule lalongitud de la mediana del trapecio.

17. En un tringulo ABC acutngulo, la circunferenciainscrita es tangente a AB en N y la circunferencia ex-inscrita relativa a AC es tangente a la prolongacin deBA en M.Cacule AC. Si : AN = 3,5 u y AM = 4,5 u.

18. Se tiene un octgono ABCDEFGH circunscrito a unacircunferencia, donde :AB = 1 u, BC = 1 u, CD = 1,5 u; DE = 0,5 u; EF = 2u,FG = 2,7 u; HA = 0,8 u.Calcule GH.

19. Marcar verdadero (V) o falso (F), en las siguientesproposiciones :

I. La recta que contiene los centros de dos circunfe-rencias secantes es perpendicular a la recta quecontiene los puntos comunes a las dos circunfe-rencias.

II. El ngulo central de una circunferencia mide 0(cero grados).

III. La mediatriz de toda cuerda contiene al centro delcrculo.

IV. ngulo inscrito es aquel cuyo vrtice est sobre lacircunferencia.

20. Las longitudes de dos circunferencias coplanares estnen relacin de 7 a 3 y su suma es igual a 20 . Si ladistancia entre sus centros es dos veces la diferencia delas longitudes de sus radios, podemos decir que lascircunferencias son :


21. Los dimetros de dos circunferencias situadas en elmismo plano miden 14 m y 6 m. Si la distancia entresus centros es 10m. Las circunferencias son :

a) Exteriores. b) Interiores.c) Tangentes. d) Secantes.e) Concntricas.

22. La prolongacin de CA de un tringulo ABC intersectaa la circunferencia exinscrita relativa a AB en el puntoP. Siendo :CP = 20 u, calcule el permetro de la regin triangularABC.

a) 20 u b) 40 u c) 30 ud) 60 u e) 50 u

En un tringulo ABC acutngulo, la circunferenciaEn un tringulo ABC acutngulo, la circunferenciaen N y la circunferencia ex-en N y la circunferencia ex-en N y la circunferencia ex-

es tangente a la prolongacin de

En un tringulo ABC acutngulo, la circunferenciaEn un tringulo ABC acutngulo, la circunferenciaEn un tringulo ABC acutngulo, la circunferenciaEn un tringulo ABC acutngulo, la circunferenciaEn un tringulo ABC acutngulo, la circunferenciaEn un tringulo ABC acutngulo, la circunferenciaEn un tringulo ABC acutngulo, la circunferenciaEn un tringulo ABC acutngulo, la circunferenciaen N y la circunferencia ex-en N y la circunferencia ex-

En un tringulo ABC acutngulo, la circunferenciaEn un tringulo ABC acutngulo, la circunferenciaEn un tringulo ABC acutngulo, la circunferenciaen N y la circunferencia ex-en N y la circunferencia ex-en N y la circunferencia ex-en N y la circunferencia ex-en N y la circunferencia ex-

es tangente a la prolongacin dees tangente a la prolongacin dees tangente a la prolongacin deen N y la circunferencia ex-

23. Calcule la longitud del lado del tringulo equilteroinscrito en una circunferencia de 8 cm de dimetro.

a) 34 cm b) 38 cm c) 32 cm

d) 28 cm e) 8 cm

24. Si el radio de la circunferencia se aumenta en 1 u, calculela razn de la longitud de la nueva circunferencia aldimetro es :

a) b) 212

c) 212

d) 2 e) 12

25. Calcule la medida del arco ST, si :

257 , si : S, P y T son puntos de tangencia.

O

P

S T

a) 77 b) 80 c) 103d) 75 e) 90

26. En el grfico : A, B y C son puntos de tangencia.Calcule : "x".

x

9

A

B

C

a) 20 b) 27 c) 36d) 54 e) 60

27. En el grfico mostrado : AB = 12 dm, BC = 8 dm y

AC = 10 dm. Calcule : )FCEB

( .

EB

AC F

a) 4/3 b) 5/3 c) 3/5d) 2/3 e) 4/7

28. Caclule BC. Si los inradios de los tringulos rectngulosABCyACDmiden r1 y r2.

A D

B C

a) 2221 rr d) 21 r.r

b) r1+r2 e) 2rr 21

c)21

21rrr.r

29. En el grfico : P, Q, M y N son puntos de tangencia.BP + BQ = 13 u, MN = 6 u.Calcule el inradio del tringulo ABC.

C

B

AM N

P Q

a) 2,5 u b) 3,5 u c) 4,5 ud) 1,5 u e) 5,5 u

30. El permetro de un tringulo rectngulo es 24 m y suhipotenusa mide 10 m. Calcule el radio de lacircunferencia inscrita.

a) 1 m b) 2 m c) 3 md) 4 m e) 5 m

31. En el grfico, el tringulo equiltero PQT, inscrito enuna circunferencia. Calcule SN, en funcin del radio R.Si : PS = ST.

Q

P TS

N

a) R/2 b) R/3 c) R/4

d) 2R e) 3R

d) 1,5 ud) 1,5 ud) 1,5 ud) 1,5 ua) 2,5 ud) 1,5 ud) 1,5 ud) 1,5 ud) 1,5 ud) 1,5 ua) 2,5 u

32. En el grfico, ABCD es un trapecio rectngulo. BC = 10m, OC = 8 m. Calcule la altura del trapecio.

BA

D C

O

a) 4,8 m b) 9,6 m c) 4 md) 8 m e) 10 m

33. Si uno de los catetos de un tringulo rectngulo mide15 cm y la distancia del baricentro al ortocentro es 25/3 cm. La altura relativa a la hipotenusa en cm mide :


34. Los dimetros de dos circunferencias coplanares y lasdistancias entre sus centros, estn en la relacin 13 :10: 1. Estos circunferencias son :

a) Secantes.b) Tangentes interiores.c) Interiores.d) Exteriores.e) Concntricos.

35. En el grfico : AB = 3 u y BC = 13 u.Calcule AD.

AB

CD

O

a) 16 u b) 18 u c) 19 ud) 21 u e) 22 u

36. En dos circunferencias ortogonales de radios R y rrespectivamente, se cumple que la distancia d entre suscentros es :

a) rRd)rR(4

b) drRc) 2/)rR(d2/)rR(

d) 222 rRde) drR

37. El radio de la circunferencia y el permetro de untringulo rectngulo circunscrito a dicha circunferenciamiden 3 cm y 50 cm respectivamente. Entonces, el radiode la circunferencia circunscrita al tringulo rectngulomide :


38. Sean O y O' los centros de dos circunferencias tangentesexteriormente cuyos dimetros son 2 u y 6 u respectiva-mente.Calcule el ngulo agudo formado por la recta que unelos centros y la tangente comn a las circunferencias.

a) 60 b) 45 c) 30d) 15 e) 75

39. En un tringulo rectngulo, cuya hipotenusa mide 48cm, se inscribe una circunferencia de longitud 24 cm.Cul es el permetro de dicho tringulo?


40. Del grfico, calcule "R".

R

37

15u

6u

5u

a) 3 u b) 4 u c) 5 ud) 6 u e) 8 u

41. Calcule "R", si : AB = 9 u y BC = 12 u.(P, Q y T : puntos de tangencia).

P OR

A

B C

Q

T

a) 15 u b) 16 u c) 18 ud) 20 u e) 22 u

42. En la grfico, calcule : R + r, si : AB = 15 u y BC = 8 u.

O

R

C

B

A

r

a) 23 u b) 11,5 u c) 10,5 ud) 13,5 u e) 14 u

43. En el grfico : R = 3 u y r = 1 u. Calcule BE.

B E C

A D

R

r

a) 3 u b) 4 u c) 5 ud) 6 u e) 7 u

44. En el grfico, calcule AB, si : CD = 6 cm.

B

E

A

CD


45. Calcule "r", si : AB = 5 u y BC = 12 u.(T, P y Q son puntos de tangencia).

Or

B

CA

T

P

Q

a) 2 u b) 3 u c) 4 ud) 5 u e) 10 u

46. Calcule PT.P y T : puntos de tangencia.

C

B

A

13u6u

PM

T

H

a) 15 u b) 17 u c) 19 ud) 21 u e) 22 u

47. En un cuarto de circunferencia de centro "O" y radiosOA , OB ; se toma el punto "E" y luego : OEAH ;

OEBP (H y P sobre OE ).Calcule EP, si : AH = 15 u y BP = 8 u.

a) 1 u b) 2 u c) 3 ud) 4 u e) 5 u

48. Calcule BR, siendo : r = 4u.

A B

R

r

P

a) 8 u b) 4 u c) 24 u

d) 28 u e) 22 u

49. En la figura : AO = OB = JF = FC.

Calcule "x", si : AB es dimetro..

x

J

F

CAO B

a) 15 b) 30 c) 45d) 60 e) 12

50. Los dimetros de dos circunferencias situadas en elmismo plano estn en la relacin de 10 a 6 y la distanciaentre sus centros es como 5. Tales circunferencias son:

a) Tangentes interiormenteb) Exterioresc) Interioresd) Tangentes exteriormentee) Secantes

a) 8 ua) 8 ua) 8 ua) 8 u

c) 5 u

D

a) 8 ua) 8 ua) 8 ua) 8 ua) 8 u

c) 5 u

DDD

51. En el grfico, calcule "x", si :BC = 6 u, CD = 1 u y EA = 3 u.("O" centro).

xO

C

B

D

AE

a) 45 b) 53 c) 55d) 60 e) 63 30'

52. En un tringulo rectngulo, calcule la longitud de lahipotenusa, si el radio de la circunferencia inscrita mide5 cm y el radio de la circunferencia exinscrita relativa ala hipotenusa mide 14 cm.


53. En el grfico, calcule AD.

a

c

b

B C

M

A D

a) a + b - c b) b + c - ac) a . b . c d) a + b + c

e) 3cb2a

54. En el grfico :p : semipermetro del tringulo ABC.

Calcule :BF.AE.2

)bp)(ap(R

A

B

F

EC

a) 2 b) 1 c) 1/2d) 2/3 e) 4/3

55. En la figura : AD//BC , mABC = mAD;BC = a y AD = b. Calcule la distancia entre los puntosmedios de las flechas de AB y CD .

A

B C

D

a) 4b3a

b) 4b3a2

c) 4ba2

d) 4b2a3

e) 2ba

56. En una lnea recta, se ubican los puntos consecutivosA, B y C (AB > BC); a un mismo lado de dicha recta setrazan las semicircunferencias de dimetros AB y BCrespectivamente y por C se traza la tangente CT a unade ellas. Calcular la medida del ngulo formado por

BT y la bisectriz del ngulo BCT..

a) 45 b) 30 c) 60d) 15 e) 37

57. En el grfico :AM = 4u; MN = 11u y NB = 5u. Calcule "x".

A M O N B

FEx

a) 60 b) 113/2 c) 90d) 70 e) 67

58. ABCD es un cuadrado y "T" es punto de tangencia.Calcule "x".

CD

x

A B

T

a) 6 b) 8 c) 12d) 16 e) 18

59. Se tiene un tringulo rectngulo ABC circuncrito a unacircunferencia de centro I; dicha circunferencia estangente a los catetos AB y BC en P y Qrespectivamente. Las prolongaciones de PI y QI cortaa AC en R y L. Las circunferencias inscritas en lostringulos PAR y LQC son tangentes en M y N a ACrespectivamente. Calcule MN, si los radios de lascircunferencias menores miden 2 u y 3 u.

a) 1 u b) 2,5 u c) 4 ud) 5 u e) 6 u

60. En el grfico : P y Q son puntos de tangencia.Calcule : m + n.

P

Q

nm

10

a) 90 b) 100 c) 110d) 120 e) 130

ClavesClaves21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

d

b

b

a

a

c

c

b

b

b

a

b

d

c

c

d

c

c

a

b

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

c

b

c

d

b

c

b

c

c

e

e

e

d

c

a

a

b

b

d

b

CaptuloNGULOS EN LA

CIRCUNFERENCIA7* ngulo Central

O

A

B

= mAB

* ngulo Inscrito

B

=A

C

mBC2

* ngulo Seminscrito

=mEFH2

E

H

F

* ngulo Exinscrito

= mABC2

A

B

C

* ngulo Interior

= mAB+mCD2

A

B D

C

* ngulo Exterior

x = mAB - mCD2

A

B

D

Cx

x = mAB - mAC2

A

B

C

x

+ = 180

Polgono Inscrito

R

Circunferencia : circunscritaRadio : circunradio

Polgono Circunscrito

r

Circunferencia : inscritaRadio : inradio

CUADRILTERO INSCRIPTIBLE

Es aquel cuadriltero que acepta que se le describauna circunferencia por sus cuatro vrtices. Para que estosuceda es necesario y suficiente que el cuadriltero cumplacon una de las dos condiciones siguientes :

Primera condicin :

A

B C

D

ABCD es uncuadrilteroinscriptible

Si : + =180

Segunda condicin :

A

B

C

D

Si : =

ABCD es uncuadrilteroinscriptible

Observaciones :

* Si un cuadriltero cumple con una de las doscondiciones, entonces se cumplirn las dos a la vez.

* Si un cuadriltero es inscriptible, entonces la medidade un ngulo interior es igual a la medida del nguloexterior opuesto.

A

BC

D

ABCD inscriptible

* Dado un tringulo al trazar dos alturas, se observa quese determina un cuadriltero inscriptible.

B

EF

A C

AEFC : inscriptible

A

P

Q

C

B

APQC : inscriptible

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