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Formal Paquetes de bienes Varios compradores

Compatibilidad de incentivos y muchosbienes: Resultados, perspectivas, y alguna

observacion

A. Manelli

November 13, 2013

1


Plan

1. Compatibilidad de incentivos

2. Modelos de intercambio de equilibrio parcial

a. 1 bien, 1 compradorb. 2 o mas bienes, 1 comprador

3. Nociones de equilibrio y equivalencia

a. 1 bien, 2 o mas compradoresb. 2 o mas bienes, 2 o mas compradores

4. Un caso real

2


Introduccion

I Economıas dirigidas versus economıas de mercado

I J. Marschak (1924): capitalismo no es competencia perfectasi no un conjunto de monopolios y oligopolios. Ventajas ydesventajas.

I Lange (1930): socialismo logra competencia perfecta.

I Hayek (1935, 1945): Dos objeciones, demasiadas ecuaciones eincognitas, y problema de informacion

I Arrow and Debreu (1954), and McKenzie (1959):Formalizacion de la teorıa del bienestar. Existencia deequilibrio competitivo y teoremas del bienestar.

3


Compatibilidad de incentivos

I Busqueda de reglas que, si respetadas por las unidadeseconomicas, llevan a una solucion competitiva.

I Hurwicz (1972). ¿Seran seguidas las reglas? La respuestadeseada debe ser compatible con los incentivos de los agentes.Este es un problema de asimetrıa de informacion diferente alplanteado por Hayek.

I Akerlof (1970). El mismo problema de informacion afecta amercados competitivos, mercado de autos usados.

4


Instituciones de intercambio

I Disenar un mecanismo es disenar un juego. Un conjunto decomportamientos es compatible con los incentivos del juego siesos comportamientos constituyen un equilibrio.Hurwicz propone un acercamiento al diseno de instituciones.

I Myerson (1981) utiliza las ideas de Hurwicz en el contexto deun intercambio bilateral simple:

1. Hay un vendedor de un bien unico e indivisible e I compradorespotenciales.

2. El vendedor no sabe cuanto esta dispuesto a pagar elcomprador tıpico

3. Objetivo: maximizar el ingreso esperado del vendedor

5


Modelo de valores privados e independientes

1. Cada comprador potencial i conoce su valuacion (cuanto estadispuesto a pagar por el bien) x ∈ [0, 1].

2. Las preferencias de i son simples, x · q − t, donde q es laprobabilidad de que obtenga el bien, t es el monto a pagar.

3. El vendedor no observa la valuacion x pero sabe que que lasvaluaciones (una para cada comprador) estan independiente eidenticamente distribuidas (λ).

6


Ejemplo: 1 bien, 1 comprador 1/4

I Un solo bien y un solo comprador.

I Disenar un mecanismo en este caso es disenar un juego conun solo jugador

I El juego es una funcion de pago u(x), la utilidad del jugadorcuando la estrategia es x .

I Compatibilidad de incentivos.

7


Ejemplo 2/4

- x

6

��

$ u

10

• u(x) = qx · x − tx

u(·)

x��QQQQQQQQ

qx

8


Ejemplo 3/4

- x

6

��

$ u

10

• u(x) = qx · x − tx

u(·)

• 1 aparenta ser x , porque

u(1) = 0 < qx · 1− tx

• u viola compatibilidad

de incentivos

x��QQQQQQQQ

qx

9


Ejemplo 4/4

I Universo de mecanismos compatibles con incentivos

W = {u | u es convexa,∇u ∈ [0, 1]}

- x

6

$

?

��

��

��

��

−t(x)

10

•

x x ′

u

q(x)

10


Uso de la tecnica

I El vendedor desea maximizar ingreso esperado.

I Dado que u(x) = ∇u(x) · x − t(x), el ingreso esperado es

E [t(x)] = E[∇u(x) · x − u(x)

]I El problema de optimizacion es

maxu∈W

E [∇u(x) · x − u(x)]

11


Ejemplo: Precios 1/2

I Posible estragegia: Precio final y unico p. ¿Que precio?

I Si suponemos x ∈ [0, 1], λ uniforme.

-

6

x

$

��

1

1

0

F (x)

1/4

1/2

• El comprador adquiere el bien

⇐⇒ x ≥ p.

• El ingreso esperado del vendedor es

p(1− p)

• El precio optimo es p∗ = 0.5

12


Ejemplo: Mecanismo optimo 2/2

I Estrategia en termino de utilidad

-

6

x1

1

0

0

∇u = 012

∇u = 1

1

u(x)1/2

��

��

13


Resultados: 1 bien, 1 comprador

Teorema La estrategia que maximiza el ingreso esperado delvendedor satisface las siguientes propiedades.

(i) Se obtiene fijando un precio final y unico.Myerson (1981), Samuelson (1984)

(ii) Es determinıstica, no aleatoria. No hay negociacion.“No haggling” (Zeckhauser 1984)

(iii) Es lineal a trozos.

(iv) Tiene la misma “forma” (fijar un precio) para cualquierdistribucion inicial, un elemento no observable del modelo. Elprecio a fijar si depende de la distribucion inicial.

14


Dos (o mas) bienes indivisibles 1/4

I El resultado analogo cuando hay dos bienes serıa

-

6

x1

x2

P2

P1

(0, 0) (1, 0)

(0, 1) (1, 1)

-

6

x1

1 1 = ∇u(x)

�� u(x)

•

0∇u = 0

12

∇u = 11

15


Mas de un bien 2/4

I Problema clasico: ¿Como maximizar el ingreso esperado delvendedor?

I Adams and Yellen (1976): Si valuaciones estan negativamentecorrelacionadas, (P1,P2,Pp) es preferible a (P ′1,P

′2).

-

6

AC

PP

(1) (2)

(3) (4)

rrrr

700400200

700

400

200

16


Mas de un bien 3/4

I McAfee, McMillan, and Whinston (1989). Aun si lasvaluaciones son independientes, (P1,P2,Pp) es preferible a(P1,P2).

17


Mas de un bien 4/4

-

6

x2

P2

P1

@@@

Pp

(0, 0) (1, 0)

(0, 1) (1, 1)

-

6

x1

x2

P2

P1

(0, 0) (1, 0)

(0, 1) (1, 1)

0∇u = 0

12

∇u = 11x1

18


Mecanismo optimo

1 Anunciar precios (de cada bien y de cada paquete) generalmenteno maximiza el ingreso esperado del vendedor. Solo es optimo“esencialmente” cuando la distribucion inicial es independiente(entre bienes) y exponencial. [Manelli and Vincent (2006)]

2 El mecanismo optimo prescribe asignaciones aleatorias. Suforma depende de la distribucion inicial. Los mecanismos queson optimos para alguna distribucion inicial son identificados.[Manelli and Vincent (2007)]

-

6

x1

P2

P1

@@@

Pp

(0, 0) (1, 0)

(0, 1) (1, 1)

-

6

x2

@@@@HHHH

HH

.4

1

.6

.3(0, 0)

(.5, 0)

(1, 1)

19


Resultados: multiples bienes

I Pocos

I Aguilera y Morin (2008): Algorıtmo, solucion numerica para elcaso de dos bienes.

I Lev (2011): Solucion analıtica para una distribucion particularcon dos bienes en el sımplex.

I Hart y Reny (2011, 2012): Dos bienes, distribucionesparticulares, soluciones aproximadas.

20


Perspectivas

1. Cualidad del resultado unidimensional: Formato del mecanismoptimo es independiente de la distribucion inicial.

2. Perspectivas de resultados multidimensionales analogos:Ninguna.

3. Direcciones a explorar:I Dado un mecanismo, determinar la distribuciones bajo las

cuales es optimo. Ventajas.I Posibilidad de soluciones numericas.

4. Importancia: Theory of incentives in procurement andregulation, Laffont and Tirole (1993). Theory of corporatefinance, Tirole (2005).

21


Mas de un comprador potencial

• Mecanismo con un solo agente, u(x).

• Dos (o mas) jugadores, para i = 1, 2,, vi (x1, x2).

• Si el juego es simetrico, entonce v(x1, x2) es suficiente

v1(x1, x2) = v(x1, x2)

v2(x1, x2) = v(x2, x1)

• Solucion del juego: Equlibrio Bayesiano de Nash (EBN),equilibrio en estrategia dominante (EED).

• Importancia y sensitividad.

22


Ejemplo: 1 bien, 2 compradores 1/2

- x

6

��

$ v

10

• Dado x ′2,

v(x1, x′2) = qx1,x ′2 · x1 − tx1,x ′2

• ∇x1v(x1, x′2) ≤ 1

v(·, x ′2)

x��Q

QQQQQQQ

qx

23


Ejemplo: 1 bien, 2 compradores 2/2

I Es v(·, ·) un mecanismo? ∀x , x ′,I ∇1v(x , x ′) ≤ 1I ∇v(x , x ′) +∇v(x ′, x) ≤ 1 (Ej: ∇v( 1

2 ,45 ) +∇v( 1

2 ,45 ) ≤ 1)

- x

6

$

?

��

−t(x)

10

•

12

45

v(·, 45)

v(·, 12)

%%%%%

24


Compatibilidad de incentivos

• Compatibilidad de incentivos con estrategiadominante (CIED)El mecanismo v(x1, x2) satisface CIED si para cada x2, v(x1, x2)es convexa en x1.

I ∇x1v(x1, x2) = q(x1, x2) a.e.

• Compatibilidad de incentivos Bayesiana (CIB)El mecanismo v(x1, x2) satisface CIB si u(x1) es convexa, dondeu(x1) = Ex2v(x1, x2).

I ∇u(x1) = Ex2q(x1, x2) a.e.

25


Resultados: 1 bien, mas de 1 comprador

I Compatibilidad de incentivos Bayesiana y en estrategiadominante son equivalentes en utilidad [Manelli and Vincent(2010)]

I Relevancia practica. La equivalencia no se da en asignacion.

I Gershkov, Goeree, Kushnir, Moldovanu, and Shi (2013), andGoeree and Kushnir (2012) extienden el resultado deequivalencia a un model con multiples “resultados(outcomes)” sociales en un modelo analogo (valores privadosindependientes, utilidad lineal, unidimensional). Pruebaselegantes.

26


Resultados: Mas de un bien

I No hay equivalencia. Mecanismos Bayesianos permitenobtener mas que mecanismos en estrategia dominante,excepto en casos especiales. Caracterizacion a traves dedesigualdad, admite solucion numerica. [Manelli and Vincent(2013)]

I Relevancia y perspectivasI Disenar mecanismos en estrategia dominante. Costo/Beneficio.

27


Ejemplo: 2 bienes, 2 compradores

CIB 6= CIED@@@

u(x1) 6= E2v(x1, x2)

0, 0 34 , 0

0, 3434 ,

34

@@@

E2∇1v(x1, x2)

0, 0 58 , 0

0, 5858 ,

58 @

@@

λ

A0 A1

A2

A3

14

14

14

14

28


Ejemplos

ZZZZZZ

JJJJJJJ

0, 0

1224 ,

624

1924 ,

2024

@@@@@@

JJJJJJJ

0, 0

624 ,

624

1524 ,

2424

@@@@@@

JJJJJJJ

λ

A0

A1

A2

13

13

13

29


Un caso real, (auction96, EE.UU.)

I Febrero del 2012, Congreso autoriza FCC: subasta H-block ysubasta de incentivos.

I 10 Mhz del espectro de frecuencias en EE.UU.

I Fecha estimada de la subasta: 22 de enero de 2014

I Por area economica. Alternativas: region, paıs.

30

UPCS

1850

PCS Uplink

1915

H PCS Downlink

1920 1930 1995

H MSS

AWS-4 Uplink

2000 2020

J

2025

A D B E F C G A D B E F C G

Frequencies in MHz

H Block Band Plan

Federal Communications Commission Wireless Telecommunications Bureau

Broadband Division July 2013

160

167

144

170

103

113

011

007

008

002

018 019045046

042

014

034

033

030

032

031

072

039

086

076

134

081

083

080

075

043

010054

055

120

119

151

155

001

003004

005006

009012

013

015016

017 020

021

022023

024025

026027

028

029035

036 037

038

040

041

044

047

048049

050051

052 053

056

057

058059

060061

062063

064065

066

067068

069 070

071

073074

077

078

079

082084

085087

088 089

090091

092

093094

095

096

097

098099

100

101

102

104

105106

107 108

109

110111

112

114

115 116

117

118121

122

123

124

125126

127128

129130

131

132

133

135

136

137

138

139

140

141

142

143

145146

147

148

149

150

152

153

154

156

157

158

159

161

162

163 164

165

166

168

169

171

172174

Not ShownEA 173 (Guam and the Northern Mariana Isl.)EA 175 (American Samoa)

Economic Areas (EAs)

EAs delineated by the Regional Economic Analysis DivisionBureau of Economic Analysis, U.S. Department of CommerceJanuary 1995


Observaciones sobre el caso real (auction96)

I Muchos bienes

I Preferencias no son lineales: Complementariedades, sinergıas

I Valuaciones no son independientes

I Mecanismo a usar?

31


Equivalencia de mecanismos

Definicion

Dos mecanismos son equivalentes en asignacion si cada agente irecibe los bienes con la misma probabilidad en ambos mecanismos.

Definicion

Dos mecanismos son equivalentes en utilidad si cada agent ireceibe la misma utilidad interina en ambos mecanisms.

—————————————————————–◦I Equivalencia en asignacion es mas fuerte que equivalencia en

utilidad.Ejemplo: Subasta de primer y segundo precio de sobre

cerrado. Son equivalentes en asignacion y por lo tantotambien en untilidad.

I Si dos subastas son equivalentes en utilidad, generan el mismoingreso esperado para el vendedor.

32


Ejemplo: Equivalente en utilidad (no en asignacion)

Un bien, dos compradores, λ uniforme.

-

6

x1

x2

��

0 0

0 0 0

0 0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0 0 16

26

36

46︸︷︷︸

E∇v ′CIB :

∇v ′(x1, x2)

-

6

x1

x2

��

0 1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

0 0 16

26

36

46︸︷︷︸

E∇vCIED :

∇v(x1, x2)

33

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