¿Cómo medir la tierra?

TEMA:

¿Co ́mo medir la tierra?

INTEGRANTES:

David Benítez

Vanessa Mariño

Érika Dávalos

3º Bachillerato “A”

2013 – 2014

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I ́ndice

Introducción…………………………………………………………………………………………..3

Objetivos………………………………………………………………………………………………..4

Cuerpo o desarrollo del tema:

• Para que nos ayuda saber geometría………………………………………………………………..5 • Medición de objetos de gran tamaño usando sombras. (Ejemplo)……………………6 • Eratóstenes Matemático, Astrónomo, Geógrafo………………………………………………11 • Eratóstenes mide el radio de la tierra……………………………………………………………….12 • Nuestro proyecto de medición de la tierra……………………………………………………….13 • El Inti Raymi………………………………………………………………………………………………………16 • Los solsticios y los equinoccios………………………………………………………………………….18 • La colaboración en los proyectos científicos……………………………………………………..19

Ejecución de la medición y análisis de resultados…………………………………..20

Conclusiones………………………………………………………………………………………….24

Recomendaciones………………………………………………………………………………….25

Bibliografía…………………………………………………………………………………………….26

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Introduccio ́n

La geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).

Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).

Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada,mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanía.

La geometría ha sido desde los principios de la humanidad un mecanismo utilizado para encontrar soluciones a los problemas más comunes de quienes la han aplicado en su vida, pues, entre otros usos, facilita la medición de estructuras sólidas reales, tanto tridimensionales como superficies planas y además es bastante útil para la realización de complejas operaciones matemáticas.

En este trabajo se busca destacar y lograr reconocer la geometría en teoría y aplicación, además de identificar cinco figuras geométricas con sus fórmulas, características, aplicaciones y los procesos que para conseguir su área o volumen se requieran, entre las muchas otras que esta importante y extensa materia abarca.

Con la realización de este trabajo pretendemos la consecución de nuevos y diversos conocimientos que de seguro serán bastante útiles en el resto de nuestra vida escolar, universitaria y profesional.

Mostramos además en este trabajo una variedad de ejercicios de aplicación que demuestran nuestro entendimiento del tema

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Objetivos:

• Conocer los primeros métodos para medir la tierra mediante un pequeño experimento tener más conocimiento acerca de la geometría conocer un poco de la vida y obra de algunos importantes científicos como eratóstenes.

• Trabajar en equipo en una forma colaborativa para alcanzar los objetivos

propuestos.

• Se pretende mediante la realización de este trabajo, reconocer y destacar la importancia de la geometría como tema básico e indispensable para la vida de toda persona.

• Lograr el aprendizaje y reconocimiento de las diferentes figuras que a continuación van a ser presentadas, además de conocer su aplicación y características fundamentales.

• Por medio de la investigación resolver con facilidad ejercicios de aplicación para la vida, o para nuestros estudios en matemáticas.

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Cuerpo o desarrollo del tema

Para que nos ayuda saber geometría?

• Uso y aplicación de la Geometría.

La geometría es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.). Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).

Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas.

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Aplicaciones De La Geometría:

• Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. • También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el

pantógrafo(es un mecanismo articulado basado en las propiedades de los paralelogramos), el sistema de posicionamiento global.

• Aplicaciones en la Astronomía: Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica,arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías.

• Aplicación en la Topografía: Los mapas topográficos utilizan el sistema de representación de planos acotados, mostrando la elevación del terreno utilizando líneas que conectan los puntos con la misma cota respecto de un plano de referencia.

• Geometría Descriptiva: La geometría descriptiva es un conjunto de técnicas de carácter geométrico que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional

Medición de objetos de gran tamaño usando sombras. (Ejemplo)

Para la medición de objetos de gran altura determinaremos según el Teorema de Tales Tales (o Thales) de Mileto, además de comerciante, científico y estadista, fue un sabio filósofo y matemático griego que vivió entre los siglos VI y V aC. Aunque no se conoce mucho sobre su vida, ya desde los tiempos de Platón su figura aparece enmarcada en la leyenda. Un hecho cierto es que apenas se tiene constancia clara acerca de sus escritos. Por ejemplo, el conocimiento de la filosofía de Tales y su escuela de Mileto, de la que fue fundador, se debe a Aristóteles quien en su obra Metafísica escribió:Tales de Mileto enseñó que “todas las cosas son agua”. Hay que recordar que los primeros filósofos griegos veían en la tierra, el agua, el aire y el fuego a los cuatro elementos a partir de los cuales se generan todos los demás. Sin embargo,Tales afirmaba que el agua es la sustancia universal primaria, el principio material de todas las cosas de donde proceden el resto.

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Algunos autores han dicho de Tales que adquirió parte de sus conocimientos de los sacerdotes durante un viaje que realizó siendo todavía joven a Egipto. Allí fue donde puso en práctica sus logros en matemáticas, en especial en geometría, áreas en las que luego hizo descubrimientos fundamentales. Aunque muchos libros le atribuyen hasta cinco teoremas de geometría elemental. Teorema primero: Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes (sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados son proporcionales entre sí). Este teorema recoge uno de los principios básicos de la geometría, siendo su principal aplicación, y la razón de su fama, el establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, de la cual se obtiene el siguiente corolario*: (es un término que se utiliza en matemáticas y en lógica para designar la evidencia de un teorema o de una definición ya demostrados, sin necesidad de invertir esfuerzo adicional en su demostración): “Si dos triángulos son semejantes sus lados son proporcionales”. O lo que es lo mismo, la razón entre la longitud de dos de ellos se mantiene constante en el otro.

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Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente. Según Herodoto, el propio Tales empleó este corolario para medir en Egipto la altura de la pirámide de Keops. En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente que es su corolario. Ejemplo: La medición de un árbol del colegio Salesianos:

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Para esta medición utilizaremos los siguientes datos:

• X = ? • Sombra de la persona: 518 cm • Altura de la persona: 177cm • Sombra del árbol: 750 cm

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X= 2.41 m

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Eratóstenes Matemático, Astrónomo, Geógrafo.

Eratóstenes fue un sabio griego, matemático, astrónomo y geógrafo, de origen cirenaico.

Eratóstenes era hijo de Aglaos. Estudió en Alejandría y durante algún tiempo en Atenas. Fue discípulo de Aristón de Quíos, de Lisanias de Cirene y del poeta Calímaco y también gran amigo de Arquímedes. En el año 236 a. C., Ptolomeo III le llamó para que se hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandría, puesto que ocupó hasta el fin de sus días. La Suda afirma que, tras perder la vista, se dejó morir de hambre a la edad de 80 años; sin embargo, Luciano afirma que llegó a la edad de 82 años; también Censorino sostiene que falleció cuando tenía 82 años.

Eratóstenes poseía una gran variedad de conocimientos y aptitudes para el estudio. Astrónomo, poeta, geógrafo y filósofo, su apellido fue Pentathlos, nombre que se reservaba al atleta vencedor en las cinco competiciones de los Juegos Olímpicos, y se dice que era muy inteligente, por lo que sus contemporáneos le llamaban Beta, la segunda letra del alfabeto griego, porque era el segundo mejor en todo lo que hacìa, Suidas afirma que también era conocido como el segundo Platón. Eratóstenes tuvo gran influencia sobre la medición de la Tierra ya que se describe con gran logro de la imaginación y de la creatividad científica, que ha sido la base de algunos métodos científicos modernos de la Geografía. Es interesante mencionar que Eratóstenes no fue el único hombre en preguntarse cuál era la circunferencia de la Tierra. En la actualidad, la medición directa o indirecta de muchas de las características de la Tierra se llevan a cabo dentro de disciplinas como la Geodesia, la Geografía, la Geología y la Geofísica.

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Eratóstenes mide el radio de la tierra.

Eratóstenes se basó en la sombra sobre la línea meridiana producida por una estaca vertical en Alejandría, y conociendo la longitud de la estaca halló ese ángulo a la hora antedicha: resultó que el ángulo era de 7 grados (a2 = 7º). Ya sabía el ángulo del arco de meridiano entre Alejandría y Siena. Ahora faltaba conocer la distancia, a lo largo del meridiano, entre ambas ciudades, es decir, la longitud del arco L. Para ello Eratóstenes pagó a un hombre que hizo, a pié, tal medición. Eran, usando la medida usual en la época y en la zona, unos 4900 estadios, que equivaldría hoy ( a unos 6’125 estadios por kilómetro) a unos 800 kms. Con estos datos ya es inmediato el cálculo: Longitud de la circunferencia terrestre:

El principal motivo de su celebridad es sin duda la determinación del tamaño de la Tierra. Para ello inventó y empleó un método trigonométrico, además de las nociones de latitud y longitud, al parecer ya introducidas por Dicearco, por lo que bien merece el título de padre de la geodesia. Por referencias obtenidas de un papiro de su biblioteca, sabía que en Siena (hoy Asuán, en Egipto) el día del solsticio de verano los objetos verticales no proyectaban sombra alguna y la luz alumbraba el fondo de los pozos; esto significaba que la ciudad estaba situada justamente sobre la línea del trópico y su latitud era igual a la de la eclíptica que ya conocía. Eratóstenes, suponiendo que Siena y Alejandría tenían la misma longitud (realmente distan 3º) y que el Sol se encontraba tan alejado de la Tierra que sus rayos podían suponerse paralelos, midió la sombra en Alejandría el mismo día del solsticio de verano al mediodía, demostrando que el cenit de la ciudad distaba 1/50 parte de la circunferencia, es decir, 7º 12' del de Alejandría. Según Cleomedes, para el cálculo de dicha cantidad, Eratóstenes se sirvió del scaphium o gnomon (un proto-‐cuadrante solar). Posteriormente, tomó la distancia estimada por las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades, aunque bien pudo obtener el dato en la propia Biblioteca de Alejandría, fijándose en 5.000 estadios, de donde dedujo que la

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circunferencia de la Tierra era de 250.000 estadios, resultado que posteriormente elevó hasta 252.000 estadios, de modo que a cada grado correspondieran 700 estadios. También se afirma que Eratóstenes, para calcular la distancia entre las dos ciudades, se valió de un regimiento de soldados que diera pasos de tamaño uniforme y los contara.

Admitiendo que Eratóstenes usó el estadio ático-‐italiano de 184.8 m, que era el que se usaba comúnmente por los griegos de Alejandría en aquella época, el error cometido fue de 6.192 kilómetros (un 15 %). Sin embargo, hay quien defiende que usó el estadio egipcio (300 codos de 52,4 cm), en cuyo caso la circunferencia polar calculada hubiera sido de 39.614,4 km, frente a los 40.008 km considerados en la actualidad, es decir, un error de menos del 1%. Ahora bien, es imposible que Eratóstenes diera con la medida exacta de la circunferencia de la tierra debido a errores en los supuestos que calculó. Tuvo que haber tenido un margen de error considerable y por lo tanto no pudo haber usado el estadio egipcio.

Nuestro proyecto de medición de la tierra

• Mediante el experimento realizado por eratóstenes se dedujo que mediante las sombras formadas por las estacas, que la distancia entre las dos era unos 7 grados.

• Si una circunferencia tiene 360º, la cincuentava parte de esta sería siete • La distancia que existía entre las dos ciudades, que era de unos ochocientos

kilómetros • La tierra debía medir aproximadamente cuarenta mil kilómetros.

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El Inti Raymi.

Inti Raymi (en quechua ‘fiesta del Sol’) es una antigua ceremonia religiosa andina en honor al Inti (el padre sol), que se realiza cada solsticio de invierno en los Andes.

Durante la época de los Incas, el Inti Raymi era el más importante de los cuatro festivales celebrados en el Cusco , según relata Garcilaso de la Vega (1539-1616), que significaba el inicio de una nueva etapa, el "tiempo circular inca"(debido no concebían el tiempo como lineal sino como un círculo cronológico) cita requerida así como el origen mítico del Inca,quien fuese enviado por el Sol(como dios ordenador de las acciones de las poblaciones del antiguo mundo). Su celebración duraba 15 días, en los cuales había danzas, ceremonias y sacrificios. El último Inti Raymi con la presencia del Inca fue realizado en 1535. En 1572 el virrey Francisco Álvarez de Toledo (1515-1584) la prohibió por considerarla una ceremonia pagana y contraria a la fe católica. Se siguió realizando de manera clandestina, como protesta a la " extirpación de idolatrías" En 1944, Faustino Espinoza Navarro efectuó una reconstrucción histórica del Inti Raymi. La reconstrucción se basa en la crónica de Garcilaso de la Vega y sólo se refiere a la ceremonia religiosa. Desde esa fecha en adelante, la ceremonia vuelve a ser un evento público y de gran atractivo turístico. Aunque hoy conocemos a esta celebración con su nombre quechua de Inti Raymi, en realidad se trata de una festividad común a muchos pueblos prehispánicos de los Andes, y que seguramente precede con mucho a la formación del Imperio incaico.

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El Inti Raymi aún se celebra como rito sincrético en muchas comunidades andinas. En el callejón interandino septentrional del Ecuador, por ejemplo, el conjunto de festividades relacionadas abarca todo el mes de junio y parte de julio, teniendo cada ciudad sus propios ritos y costumbres, y llegando a paralizarse la vida cotidiana como efecto de las celebraciones, que toman las avenidas noche y día.

Historia En la época de los incas, esta ceremonia se realizaba en la plaza Huacaypata (hoy Plaza Mayor 3 del Cusco), con la asistencia de la totalidad de la población de la urbe, tal vez unas cien mil personas. Con la llegada de los españoles, fue suprimida. Hoy en día comienzan a resurgir. En el solsticio de invierno sucede el día más corto y la noche más larga del año. Durante la época incaica, ese hecho revestía fundamental importancia, pues era el punto de partida del nuevo año, que se asociaba con los orígenes de la propia etnia inca.Inca Garcilaso de la Vega nos dice que era ésta la principal fiesta y a ella concurrían los curacas, señores de vasallos, de todo el imperio con sus mayores galas e invenciones que podían haber. La preparación era estricta, pues en los previos tres días no comían sino un poco de maíz blanco, crudo, y unas pocas de yerbas que llaman chúcam y agua simple. En todo este tiempo no encendían fuego en toda la ciudad y se abstenían de dormir con sus mujeres. Para la ceremonia misma, las vírgenes del Sol preparaban unos panecillos de maíz.

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Ese día, el soberano y sus parientes esperaban descalzos la salida del sol en la plaza. Puestos en cuclillas, con los brazos abiertos y dando besos al aire, recibían al astro rey. Entonces el inca, con dos vasos de madera (el kero era de madera , no de oro , ellos asimilaron este vaso ceremonial de la cultura tiahuanaco), brindaba la chicha de jora : del vaso que mantenía en la mano izquierda bebían sus parientes; el de la derecha era derramado y vertido en un tinajón de oro. Después todos iban al Coricancha y adoraban al sol. Los curacas entregaban las ofrendas que habían traído de sus tierras y luego el cortejo volvía a la plaza, donde se realizaba el masivo sacrificio del ganado ante el fuego nuevo que se encendía utilizando como espejo el brazalete de oro del sacerdote principal. La carne de los animales era repartida entre todos los presentes, así como una gran cantidad de chicha, con la que los festejos continuaban durante los siguientes días.

Los solsticios y los equinoccios Los solsticios son los momentos del año en los que el Sol alcanza su mayor o menor altura aparente en el cielo, y la duración del día o de la noche son las máximas del año, respectivamente. Astronómicamente, los solsticios son los momentos en los que el Sol alcanza la máxima declinación norte o sur con respecto al ecuador terrestre.

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Los equinoccios son los momentos del año en que el Sol está situado en el plano del ecuador terrestre. Ese día y para un observador en el ecuador terrestre, el Sol alcanza el cenit(Cenit o cénit es la intersección de la vertical de un lugar y la esfera celeste, es el punto más alto en el cielo con relación al observador, que se encuentra justo sobre su cabeza) .El paralelo de declinación del Sol y el ecuador celeste entonces coinciden. La palabra equinoccio proviene del latín aequinoctium y significa “noche igual”. Ocurre dos veces por año: el 20 o 21 de marzo y el 22 o 23 de septiembre de cada año,3 épocas en que los dos polos de la Tierra se encuentran a igual distancia del Sol, cayendo la luz solar por igual en ambos hemisferios.

La línea roja representa la posición del Ecuador con respecto a los rayos del sol: en los solsticios los rayos caen por arriba o por abajo de dicha línea; en los equinocccios, caen exactamente sobre

el ecuador (marcados con línea oscura).

Otra forma de graficar cómo inciden los rayos del sol sobre la línea del ecuador tanto en los

solsticios como en los equinoccios.

La colaboración en los proyectos científicos

“La cultura científica cambió. Ahora es: teoría, experimento y simulación. Es multidisciplinaria, la colaboración es remota, es decir, yo le puedo escribir de manera directa al productor del conocimiento, yo puedo interactuar con el autor. Es intensiva en datos, intensiva en cómputo.Se acabó la idea del investigador con una bata blanca en un laboratorio”. "Obrar juntamente con otro u otros para un mismo fin", es decir es una herramienta de la que se vale para establecer una relación entre dos o más agentes para alcanzar unos objetivos comunes, mediante el intercambio, la optimización de recursos y el intercambio de enseñanzas.

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Ejecucio ́n de la medicio ́n y ana ́lisis de

resultados

La medición de un árbol del colegio Salesianos:

Para esta medición utilizaremos los siguientes datos:

• X = ? • Sombra de la persona: 518 cm • Altura de la persona: 177cm

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• Sombra del árbol: 750 cm

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X= 2.41 m

Nuestro proyecto de medición de la tierra

• Mediante el experimento realizado por eratóstenes se dedujo que mediante las sombras formadas por las estacas, que la distancia entre las dos era unos 7 grados.

• Si una circunferencia tiene 360º, la cincuentava parte de esta sería siete

• La distancia que existía entre las dos ciudades, que era de unos ochocientos kilómetros

• La tierra debía medir aproximadamente cuarenta mil kilómetros.

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Conclusiones

• La geometría en sus diversos campos, aprendida durante la elaboración de este trabajo se convierte en una habilidad más para resolver problemas cotidianos.

• Se debe conocer y aprender más a fondo por medio de investigaciones y otros recursos para lograr obtener uso del tema, por lo tanto es de suma importancia el profundizar en esta área.

• Es un tema no complicado de aprender, e interesante cuando se trata de su

aplicación, ya que no encontramos mayores obstáculos o dificultades para su ejecución.

• Se ha logrado con este trabajo conocer a fondo el área de la geometría aunque todavía sea necesario más de su práctica y del conocimiento de su teoría.

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Recomendaciones

• Al realizar este proyecto pudimos darnos cuenta que nos hace falta estar mas

informados acerca de notas científicas realizadas por personas del pasado como Eratóstenes.

• De los pensadores responsables de sus fundaciones, es muy interesante reconocer y estudiar estas diferencias, ya que nos muestran las diversas formas de pensamiento de la mente humana.

• A través de la geometría podemos realizar un sin numero de proyectos de nuestra vida cotidiana.

• Apreciar las antiguas investigaciones que se realizaron a pesar de la falta de tecnología, fueron precisas y muy exactas.

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Bibliografía

• http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_descriptiva • http://www.slideshare.net/edbastidas10/geometra-y-sus-

aplicaciones • http://globedia.com/narracion-tales-mileto • http://eltrasterodepalacio.wordpress.com/2013/01/14/la-altura-de-

la-piramide-de-keops-y-el-teorema-de-tales/ • http://eltrasterodepalacio.wordpress.com/2013/01/14/la-altura-de-

la-piramide-de-keops-y-el-teorema-de-tales/ • http://nl.wikipedia.org/wiki/Eratosthenes • https://www.edmodo.com/home • http://joseluislorente.es/astronomia/radio.htm • http://es.wikipedia.org/wiki/Erat%C3%B3stenes#Medici.C3.B3n_

de_las_dimensiones_de_la_Tierra • http://es.wikipedia.org/wiki/Equinoccio • http://www.profesorenlinea.cl/geografiagral/Solsticioss_Equinocci

os.html • http://www.profesorenlinea.cl/geografiagral/Solsticioss_Equinocci

os.html

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