Como Construir un Polígono Regular de Nueve Lados Utilizando la Regla sin Marcas

y el Compás y su Demostración con el Método de Arquímedes.

Rodolfo A. Nieves Rivas

fesol7luzley@gmail.com

En este artículo se presenta un método para construir un polígono regular de nueve lados o

eneágono regular. Luego se demuestra la exactitud de dicha construcción utilizando el

método de Arquímedes. Concluyendo de esta forma con la trisección de un ángulo de 60º

Palabras claves: Eneágono regular; Método de Arquímedes; Trisección

Introducción:

En este artículo se presenta un método para construir un polígono regular de nueve lados o

Eneágono regular se usa para dicha construcción el Programa Geogebra manteniendo las

condiciones de la Geometría Elemental o Euclidiana la cual exige el uso exclusivo de regla

sin marcas y el compás. Luego para demostrar la exactitud de dicha construcción se utiliza

el método de Arquímedes. Concluyendo de esta forma con la trisección de un ángulo de 60º

Teorema principal: El punto de intercepción del lado común de dos ángulos centrales

suplementarios y el segmento de recta que une el punto medio de la cuerda de uno de ellos

con el punto medio del arco del otro, determina un ángulo trisector inscrito cuyo vértice es

el punto extremo del diámetro de la circunferencia circunscrita, cuyo radio es igual a los

lados del ángulo central trisecado.

Construcción de la figura Nº 1

Primer paso: Con el compás centrado en el punto: A y abertura: AC se construye una

circunferencia de radio: AC y diámetro EC

Segundo paso: Con la regla y el compás se construye una recta perpendicular en el punto:

A determinando en la circunferencia el punto: B

Tercer paso: Con el compás centrado en los puntos: C y E se construyen dos

circunferencias de radio: AC y AE respectivamente determinando los puntos: M y D en la

circunferencia de diámetro: CE

Cuarto paso: Con la regla se traza una recta paralela: DF a la recta: BA quedando de esta

forma determinado el punto: F en el segmento de recta: AC

Quinto paso: Con la regla se trazan los segmentos: ED y DC quedando de esta forma

construido un triángulo rectángulo inscrito. Luego se traza el segmento de recta: DA

quedando de esta forma determinados dos ángulos suplementarios de: 120º y

60º respectivamente. Siendo: EAD = 120º y DAC = 60º con el lado común: DA

Sexto paso: Con la regla y el compás se bisecan los ángulos: EAD = 120º y el ángulo:

DAC= 60º determinando de esta forma los puntos: M y Q respectivamente en la

circunferencia de diámetro: EC y además se obtienen el punto: P en la cuerda: ED

Séptimo paso: Con la regla de traza los segmentos de recta: BF y PQ determinando de esta

forma el punto: G en el lado común: DA de los ángulos suplementarios: EAD = 120º y

DAC = 60º

Octavo paso: Con la regla se traza un segmento de recta desde: el punto: E pasando por el

punto: G y se prolonga hasta obtener el punto: H en la circunferencia de diámetro: EC

luego se unen los puntos: H con el punto: A, quedando determinados los ángulos: DAH

= 20º y el ángulo: HAC = 40º Siendo: DAH + HAC = DAC = 60º

Demostración: Con el Método de Arquímedes:

(Véase las figuras Nº 7; 8; 9 y 10)

Figura Nº 1

Construcción de un Polígono Regular de Nueve Lados:(Véase figuras 2 y 3)

Figura 2

Figura Nº 3

Método Para Trisecar Ángulos Suplementarios:

Basado en el siguiente Teorema: Si dos ángulos suplementarios son trisecados. Entonces

las dos trisectrices adyacentes al lado común de estos dos ángulos suplementarios

determinan un ángulo de 60º.

Ejemplo: 60º y 120º (Véase la figura Nº 4)

Figura Nº 4

Observación: El Triangulo: CAD es Equilatero.

Ejemplo: 30º y 150º (Véase la figura Nº 5)

Figura 5

Observación: El Triangulo: CAD es Equilatero.

Ejemplo: 72º y 108º (Véase la figura Nº 6)

Figura 6

Observación: El Triangulo: CAD es Equilatero.

Método Aplicado a la Construcción de un Angulo de 20º

(Véase figura Nº 7)

Construcción de la Figura Nº 7

Primer paso: Con la regla y el compás se construyen dos rectas perpendiculares con un

punto de intersección: A y luego con el compás centrado en el punto: A y abertura o radio:

AC se construye una circunferencia determinándose de esta forma los puntos: B, D, E y C

con la intersección de la circunferencia y las rectas perpendiculares.

Segundo paso: Con el compás centrado en el punto: C y abertura: CA como radio se

construye otra circunferencia determinando con ambas circunferencias los puntos: F y G.

Luego se unen los puntos: F y G con un segmento de recta perpendicular a el Diámetro:

DC determinando de esta forma el punto: H en el Radio: AC

Tercer paso: Con la regla se unen los Puntos: D con el punto: F y luego el punto: F con el

punto: C obteniendo de esta forma un ángulo inscrito en la circunferencia de radio: AC.

Luego se unen los Puntos: F con el punto: A obteniendo de esta forma dos ángulos

suplementarios: DAF = 120º y FAC = 60º con el lado común: FA

Cuarto paso: Con la regla y el compás se bisecan los ángulos: DAF y FAC

determinando de esta forma el punto: K en la cuerda: DF y el punto: L en el arco: FC

Quinto paso: Con la regla se unen los puntos: K y L determinando de esta forma el punto:

I en el segmento de recta: FA común de los dos ángulos suplementarios: DAF y FAC

y luego se unen los puntos: B con H pasando el segmento de recta: BH por el punto: I

Sexto paso: Con la regla se traza un segmento de recta: DI desde el punto: D hasta el

punto: H prolongándose hasta obtener el punto: J en el arco: FC determinándose de esta

forma un ángulo inscrito: JDC = 20º

Figura Nº 7

Demostración utilizando el Método de Arquímedes:

(Véase figuras Nº 8; 9 y 10)

Figura Nº 8

Figura Nº 9

Figura Nº 10

Conclusión y Discusión

Con los resultados en la construcción y la demostración de un ángulo de veinte grados se

determina una solución real o cero de una ecuación cúbica de la forma:

Si: Cos3x = 4 (cos x) 3 - 3Cosx

Donde: X3-3x = 1

Entonces: X1 = 1.879385242 ... = 2Cos20

Y CUANDO: x3 - 3x = -1

Entonces: X2 = 1.53208886 ... = 2Cos40

Y para: 2x3-6x = 0

Entonces: X3 = Raíz cuadrada de tres

Referencias

[1] Alvis González, Víctor S & R. Álvarez, Los trabajos de Gauss sobre la teoría de las paralelas, In: Víctor S. Albis

(ed.), A C. F. Gauss (1983), Universidad Nacional de Colombia (departamento de Matemáticas y Estadística), Bogotá.

[2] Hemmerling. Edwin M. Geometría Elemental. México. Limusa, 1971. 498 p.

[3] Rich. Barnett. Geometría. México. Mc Grawhill, 1993. 395 p.

[4] Jurgensen, R.C., Donnelly, A. J. and Dolciani, M. P. Th. 42 in Modern Geometry: Structure and Method. Boston, MA:

Houghton-Mifflin, 1963.

[5] Pedoe, D. Circles: A Mathematical View, rev. ed. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. xxi-xxii, 1995.

[6] Erik Oberg, Franklin D. Jones, Holbrook L. Editores Erik Oberg, Franklin D. Jones, Edición 22, Ilustrada Editorial

Industria Press, 1966. Universidad de Michigan. 14 p. 79-80 pp.

[7] H.S.M. Coxeter, Fundamentos de Geometría, Ed. Limusa -Wyley, 1971.

[8] H.S.M. Coxeter & S.L. Greitzer, The Mathematical Association of America. New Mathematical Library. Nº 19. 1967.