11ERER CONCEPTO: CONCEPTO: El concepto de derivación es muy fácil de comprender. Dada una función Y= F(X), la derivación mide la variación de Y, cuando hay una pequeña variación de X, la

definición de la derivada de la función Y = F(X), es:

F( X )=3 X2 . ( X2−2 x )

22DODO CONCEPTO: CONCEPTO: la derivada es uno de los conceptos más importante en matemática. La derivada es el resultado de un límite

y representa la pendiente de la recta tangente a la grafica de la función en un punto.

La definicion de la derivada es la siguiente

F '( X )=limh→ 0

f ( X+h )−f (x )h

33ERER CONCEPTO: CONCEPTO: la derivada de una función en un punto mide el coeficiente por el cual el valor de la función cambia, es decir, nos da una noción del coeficiente de cambio que es equivalente a decir que tan rápido crece o decrece a lo largo del eje X, la función Y= F(X) en un plano cartesiano de dos (2) dimensiones; es decir, la pendiente de

la recta tangente a la función en ese punto.

y

X X1 X2 X3

Tang=∆ y∆ x

=f ( X+∆ X )−F ( X)

∆ X

lim∆ x→ 0

∆ y∆ x

= lim∆ x →0

¿f ( X+∆ X )−F( X )

∆ X=Tg=m ¿

CREADOR: PIMENTEL YENDER

Y3 Y2 Y 1

Tg Tg

Para derivar una función se utiliza cualquier tipo de letra, en este caso utilizaremos las letras Y; U; V, como símbolo de derivación

FUNCIÓN FUNCIÓN DERIVADADERIVADA

Sea: F(X); G(X); Y(X); U(X); V(X); dydx Sea: F’(X); G’(X); Y’(X);U’(X);V’(X);

dydx

PROPIEDADES Ó CARACTERÍSTICAS É TEOREMA DE LA DERIVADA

FUNCIÓN FUNCIÓN DERIVADADERIVADAY(X)= C Y’(X)= 0Y(X)= X Y’(X)= 1Y(X)= Xn Y’(X)= nXn-1

Y(X)= C . F(X) Y’(X)= C . F’(X)

Y(X)= U(X) ± V(X) Y’(X)= U’(X) ± V’(X)

Y(X)= U(X) . V(X) Y’(X)= U’(X) . V(X) +¿ V’(X) . U’(X)

Y(X)= U (X )

V (X )Y’(X)=

U ’ ( X ) .V ( X )−V ’( X ). U ( X)V 2

FUNCIONES POTENCIALESFUNCIÓN FUNCIÓN DERIVADADERIVADA

Y(X)= √U ≡U12 Y’(X)=

U '2√U

Y(X)= Un(X) Y’(X)= nUn-1 . U’

FUNCIONES EXPONENCIALESFUNCIÓN FUNCIÓN DERIVADADERIVADA

Y(X)= ℮U ( X ) Y’(X)= ℮U. U’Y(X)= α U ( X ) Y’(X)= U’ . α U . log(a)

Y(X)= U−n≡

1

U ( X )nY’(X)= - nU−n−1 . U’

Y(X)= U V Y’(X)= vUv-1 . U’ + Uv. V’. Ln(u)

FUNCIONES LOGARÍTMICASFUNCIÓN FUNCIÓN DERIVADADERIVADA

Y(X)= Log(u) Y’(X)= U 'U

. Log (u) . ℮

Y(X)= Ln Y’(X)= U 'U

≡1U

. d

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (CIRCULAR)FUNCIÓN FUNCIÓN DERIVADADERIVADA

CREADOR: PIMENTEL YENDER

Y(X)= sen(U ) Y’(X)= U’ . cos(U )

Y(X)= cos(U ) Y’(X)= - U’ . sen(U )

Y(X)=Tg(U ) Y’(X)= U’ . Sec2(U) ≡(1+Tg2

(u)) . U’Y(X)= Csc(U ) Y’(X)= U’ . -Csc(U ) .Ctg(U )≡−

cos (u)Sen (u)2 . U’

Y(X)= Sec(U ) Y’(X)= U’ . Sec(U ) .Tg(U )≡Sen(u)cos(u)2 . U’

Y(X)= Ctg(U ) Y’(X)= U’ . -Csc2(U) ≡(1+Ctg2

(u)) . U’FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (CICLOMETRICAS O INVERSAS)

FUNCIÓN FUNCIÓN DERIVADADERIVADAY(X)= Arc sen(U ) Y’(X)=

U '

√1−U 2

Y(X)= Arc cos(U ) Y’(X)= −¿ U '

√1−U 2

Y(X)=ArcTg(U ) Y’(X)= U '

1+U 2

Y(X)= ArcCsc (U ) Y’(X)=−¿ U '

U √U 2−1

Y(X)= Arc Sec(U ) Y’(X)= U '

U √U 2−1

Y(X)=Arc Ctg(U ) Y’(X)= −¿ U '

1+U 2

CREADOR: PIMENTEL YENDER

Primer paso para derivar

La formula más usada en la derivada, donde Y(x) es un función dada, quedando como origen Y : Xn →Y ' : N Xn−1 como esto es una formula constante; se realiza en la tabla de derivación sea Y la función e Y’ (prima) dibujada (Y’) la función derivada.

Ejemplo:

Sea: Y : x2

Como Y es la función de X2 entonces X es igual a X (de la formula) y 2 (elevado de X) es igual a n.

Y : x2 Utilizamos la formula de la derivación Y ' : N Xn−1

Sustituyendo la función sin derivar Y : x2 en la función de derivada Y ' : 2 X 2−1 esto es igual a: Y ' : 2 X 1. Se dice que la derivada de:

Y : x2es igual a Y ' :2 X

Nota: F(X) ; Y(X) ; dy(X) son funciones guales y significa lo mismo.

Nosotros trabajaremos con Y(X).

Segundo paso para derivar

CREADOR: PIMENTEL YENDER

COMO DERIVAMOS UNA SUMA O RESTA

Para resolver este sistema, realizamos a igual que lo anterior; solo que los productos los vamos a identificar:

Se la función Y ( X )5 X4+6 X3

Identificamos los productos el 5 X4 comoU , y el 6 X3 comoV .

Resolvemos la derivada de cada producto sea de U y de V; con la formula anterior Y ' : N Xn−1

U=5 X4 su derivada es :U '=20 X4−1 →U '=20 X3

V=6 X3 suderivada es :V '=18 X3−1→ V '=18 X2

Ya tenemos la derivada de los dos productos; ahora la sustituimos en la formula de la derivada de la suma o resta:

Y ' :U ' ± V '

Y ' : 20 X3+18 X2

Este es el resultado de la derivada buscada.

Sea más directa la operación del ejercicio:

Y ( X )5 X4+6 X3

Y ' ( X )20 X3+18 X2

NOTA: las letras U(X), V(X), F(X), G(X) son lo mismo. Ya que el educador utiliza a su comodidad. Nosotros utilizáremos U(X) y V(X)

Tercer paso para derivar

CREADOR: PIMENTEL YENDER

COMO DERIVAMOS UNA MULTIPLICACIÓN

Para derivar una función de este origen se utiliza la formula de Y ' : N Xn−1 de cada producto y se sustituye en la formula de la derivada multiplicativa: Y’: U’.V + V’.U; QUE SE LEEE: Y’ = a la derivada de U’ por V sin derivar + derivada de V’ por U sin derivar.

Ejemplo:

Sea la función: Y ( X )6 X−3 . 2 X4

Volvemos a identificar los productos sea:

U=6 X−3 su derivada es :U '=−18 X−3−1→ U '=−18 X−4

V=2 X 4 su derivada es :V '=8 X 4−1→ V '=8 X3

Una vez derivada los productos U y V sustituimos en la formula antes enunciada: Y’: U’.V + V’.U

Y ' :−18 X−4 . ( 2 X4 )+( 8 X3 ) .6 X−3

U’ V V’ U

Sea más directa la operación del ejercicio:

U=6 X−3 →U '=−18 X−4

Y ( X )6 X−3 . 2 X4 V=2 X 4 →V '=8 X3

Y ' :−18 X−4 . ( 2 X4 )+( 8 X3 ) .6 X−3

Cuarto paso para derivar

COMO DERIVAMOS UNA DIVISIÓN

CREADOR: PIMENTEL YENDER

Para derivar la función divisional se realiza a igual que la multiplicación solo que es dividiendo. Para cada producto se deriva

con lo formula constante y se sustituye en su fórmula de

derivación: Y ' :U ' .V −V ' . U

V 2

Sea la función Y ( X ) :6 X−2

4 X23

Identifiquemos la función, sea:

U=6 X−2 su derivada es :U '=−12 X−2−1→ U '=−12 X−3

V=4 X23 suderivada es :V '=8

3X

23−1

→ V '=83

X−13

Sustituyendo en: Y ' :U ' .V −V ' . U

V 2

Y ' :

(−12 X−3 ). (4 X23 )−[( 8

3X

−13 ). (6 X−2 )]

(4 X23 )2

SEA DIRECTA LA OPERACIÓN DEL EJERCICIO

U=6 X−2 →U '=−12 X−3

Y ( X ) :6 X−2

4 X23 V=4 X

23 → V '=8

3X

−13

Y ' :

(−12 X−3 ). (4 X23 )−[( 8

3X

−13 ). (6 X−2 )]

(4 X23 )2

RECOMENDACIÓN DEL AUTOR:

Ya terminamos lo que son las derivas de suma, resta, multiplicación y división. Como se puede notar que para

CREADOR: PIMENTEL YENDER

derivar es fácil, solo que la enseñanza de la misma, la hace la práctica.

Quinto paso para derivar

COMO DERIVAMOS UNA RAIZ

Para derivar una función de radical se utiliza la formula constante; pero para derivar solo se saca la expresión radical. Sea el caso:

Y ( X ) :√ Xa → Sacamos en el radicando, sea ahora Y ( X ) : X2a ; que es

lo mismo a lo anterior.

Se la función: Y ( X ) :√ X3

Ordenando:Y ( X ): X23

Derivando: Y ' ( X ):23

X−13

Sea más directo la operación del ejercicio:

Y ( X ) :√ X3

Y ' ( X ):23

X−13

Sexto paso para derivar

COMO DERIVAMOS FUNCIONES EXPONENCIALES

Sea el caso de la función eu y una función constante a su exponente au; para derivar dichas funciones se utilizan sus formulas correspondientes:

CREADOR: PIMENTEL YENDER

1er CASO: sea LA FORMULA Y ( X ) :eu→ eu . du o mejor dichoY ' ( X )eu .U '

EJEMPLO: SE LA FUNCION Y ( X ) :e6 X

Sea U = (6X) la derivada es U’= 6

Sustituimos en la formula Y ' ( X )eu .U '

Y ' ( X )eu .6≡ Y ' ( X ) 6 eu

2do CASO: sea LA FORMULA

Y ( X ) :α u→ α u . log(α ) . du o mejor dichoY ' ( X ) αu . log(α ) . U '

Para esta función α esigual a un número cualquier , esdecir , aun númeroconstante .

Sea la función Y ( X ) :24 X

α = 2U= 4x esto aplica que U’= 4

Sustituyendo en la formula: Y ' ( X )αu . log(α ) .U '

Y ' ( X )24 X . log(2) .4 Log( 2) = 0,3010

Y ' ( X )24 X . (0,3010 ) . 4

SEA MÁS DIRECTO PARA EL 1ER CASO:

a¿Y ¿( X ) :e7 X

Y ' ( X )7 e7 x

b¿Y ¿( X ) :−4 e20 X

Y ' ( X )−80 e20 x

CREADOR: PIMENTEL YENDER

SEA MÁS DIRECTO PARA EL 2do CASO:

a¿Y ¿( X ) :420 X

Y ' ( X )420 X . log(4 ) .20

b¿Y ¿( X ) :−122 X

Y ' ( X )−122 X . log(12) .−24

c ¿Y ¿ ( X ) :−3−100 X

Y ' ( X )−3−100 X . log(−3) .300

Séptimo paso para derivar

COMO DERIVAMOS FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Para derivar una función logarítmica utilizamos la regla de la derivación, es decir, para derivar se utiliza los mismos pasos de las

operaciones anteriores con la diferencia del cambio de formula.

Para derivar una FUNCIÓN LOGARÍTMICA se utiliza como derivada

Y ' ( X ) : log (a ) . e .U 'U

Y para derivar una FUNCIÓN DE LOGARITMO NEPERIANO (Ln)

operamos con la formula siguiente: Y ' ( X ) :U 'U ó

1U

. d

CREADOR: PIMENTEL YENDER

1er CASO: LOGARITMO sea LA FORMULA

Y ' ( X ) : log (a ) . e .U 'U

EJEMPLO: SE LA FUNCION Y ( X ) : log (4 ) ¿)

Sea U = (6 X 2) la derivada es U’= 12X

Sea “a” = 4

Sustituimos en la formula Y ' ( X ) : log (a ) . e .U 'U

Y ' ( X ) : log ( 4 ) . e .12 X

6 X2

2do CASO: LOGARITMO NEPERIANO sea LA FORMULA

Y ' ( X ) :U 'U

EJEMPLO: SE LA FUNCION Y ( X ) : ln (4 X2)

Sea U = (4 X2) la derivada es U’= 8X

Sustituimos en la formula Y ' ( X ) :U 'U

Y ' ( X ) :8 X

4 X2 = 2X

CREADOR: PIMENTEL YENDER

SEA MÁS DIRECTO PARA EL 1ER CASO:

Y ( X ) : log (−20 ) ¿)

Y ' ( X ) : log (−20 ) . e .100 X

−50 X−2

SEA MÁS DIRECTO PARA EL 2do CASO:

Y ( X ) : ln (−31 X95)

Y ' ( X ) :

−2795

X45

−31 X95

= 1

−31 X95

. d

Octavo paso para derivar

COMO DERIVAMOS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Para derivar funciones trigonométricas, realizamos los pasos de derivación de los ejercicios anteriores; con la diferenciar que el ángulo (∡) de la función es constante para la sustitución de la formula. Sea así para todas las funciones.

Las funciones trigonométricas representan varias fórmula para su derivación sea el caso de la función a derivar.

Sea la función Y ( X ) : Sen(2 X )

Sea (U) el ángulo interno (∡) = 2x la derivada es U’ = 2

Sustituimos en la formula Y ' ( X ) :U ' .cos (u)

Y ' ( X ) :2. cos(2 X)

CREADOR: PIMENTEL YENDER

NOTA: 2 Cos (2X) no se multiplica, porque (2x) es un ángulo y 2 es un número independiente del (∡).

Cuando la función es potencial se deriva la potencia, se coloca la derivación y se multiplica por la función a derivar sea el caso:

Y ( X ) : Sen34 (4 X )

Derivamos la potencia: Y ' ( X ) :34

sen−14

Derivamos el ángulo Y ( X ) :Sen (4X) Y ' ( X ) = Cos 4

Lo sustituimos en la formula: Y ' ( X ) :U ' .cos (u)

Y ' ( X ) :34

sen−14 . 4 cos (4 X)

Nota: Siempre el ángulo es (U) y la potencia es (V)

Noveno paso para derivar

COMO DERIVAMOS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS(CICLOMÉTRICAS)

Para derivar estos tipos de ejercicios solo basta con derivar el ángulo interno llamado ó simbolizado como (U). Una vez derivada (U) se

sustituye en la formula. Sea así para todas las funciones Ciclométricas.

Sea el caso de la función:

Y ( X ) : ArcSen(6X 3)

Sea U = 6 X3 la derivada esU '=18 X2

Sustituimos en la formula: Y ' ( X ) :U '

√1−(U )2

CREADOR: PIMENTEL YENDER

Y ' ( X ) :18 X2

√1−(6 X3 )2

= 18 X2

√1−(36 X6 )

En este caso hay que resolver el cuadrado que está dentro de la raíz.

SEA MÁS DIRECTO

Y ( X ) :arccos(4 X2 )

Sea U= 4 X2 → U’= 8X

Y ' ( X ) :−8 X

√1−( 16 X4 )

CREADOR: PIMENTEL YENDER