COMBINANDO FUNCIONESCOMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN

UNIDAD IFUNCIONES Y TRANSFORMACIONES

A.PR.11.3.2J. Pomales CeL

INTRODUCCIÓN

En el tema pasado realizamos combinaciones de funciones a través de la suma, resta, multiplicación y división.

Hoy, trabajaremos con una quinta combinación llamada composición. Se realizarán en: expresiones algebraicas, tablas y gráficas.

Luego definiremos y haremos ejercicios de su operación contraria: descomposición.

COMPOSICIÓNDE FUNCIONES

¿QUÉ ES COMPOSICIÓN DE FUNCIONES?

De forma sencilla, la composición de funciones es colocar una función dentro de otra y simplificarla.

Al igual que con las operaciones básicas, al hacer la composición de funciones (concatenación) generamos una nueva función.

¿QUÉ ES COMPOSICIÓN DE FUNCIONES?

Se denota: (f o g)(x) = f [g(x)]Se lee: “ g compuesta con f ”

A g se le llama la función interior, o primera función y a f la función exterior, o segunda función en la composición.

CARACTERÍSTICAS DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Cuando se escribe f o g entendemos que g es la primera función que actúa en la cadena, a pesar de que se escribe a la derecha después de f

CARACTERÍSTICAS DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES?

No necesariamente todos los elementos del dominio de g estarán en el dominio de f o g

La operación de componer funciones no es conmutativa, es decir que en general:

f o g ≠ g o f(aunque puede haber excepciones)

EJEMPLOSDE COMPOSICIÓN DE

FUNCIONES

Si y halla:

HALLA LAS SIGUIENTES

COMPOSICIONES g f o1xf(x) 2

2xg(x)

12

1)(2

)(

)]([ ))( (

2

2

2

o

x

x

xf

xgfxgfSOLUCIÓN

Lo que hicimos fue colocar una función dentro de la otra y simplificar:

12

1) (2

)( 12)(

2

2

x

xxgxxf 2x

Si y halla:

HALLA LAS SIGUIENTES

COMPOSICIONES f g o1xf(x) 2

2xg(x)

144

)12(

)12(

2

2

xx

x

xg

)]([ ))( ( o xfgxfg SOLUCIÓN

Lo que hicimos fue colocar una función dentro de la otra y simplificar:

144

) (

12)( )(

2

2

2

xx

xxfxxg 12 x

CREA LA TABLA DE VALORES DE LA SIGUIENTE COMPOSICIÓN

f g oHalla

x f(x)

1 -3

2 2

3 4

4 6

5 0

6 1

7 -9

x g(x)

2 10

0 3

4 4

-9 -6

1 0

-3 2

6 -5

x (g o f)(x)

Asegúrate de comenzar por la primera función que en este caso es f (x)

CREA LA TABLA DE VALORES DE LA SIGUIENTE COMPOSICIÓN

f g oHalla

x f(x)

1 -3

2 2

3 4

4 6

5 0

6 1

7 -9

x g(x)

2 10

0 3

4 4

-9 -6

1 0

-3 2

6 -5

x (g o f)(x)

1 2

2 10

3 4

4 -5

5 3

6 0

7 -6

CUIDADO: No siempre el dominio de la nueva función será el mismo que el dominio

de la función original.

DIBUJA LA GRÁFICA DE LA SIGUIENTE

COMPOSICIÓNHalla (m o h)(x)

h(x) m(x)

Dato: La composición de dos funciones lineales siempre será otra lineal.

Cuando no se conoce qué tipo de gráfica será la composición entonces necesitas encadenar muchas parejas de puntos.

2.5

1.6

-5 -2 -2 2.5-2 1 1 1.6

El valor del recorrido lo uso como dominio en la otra función

Asegúrate de comenzar por la primera función

DIBUJA LA GRÁFICA DE LA SIGUIENTE

COMPOSICIÓN

Halla (m o h)(x)(m o h)(x)

-5 -2 -2 2.5-2 1 1 1.6

Como sabemos que de dos funciones lineales obtenemos la

composición de otra función lineal, sólo necesitamos dos

puntos para la construcción de la nueva función.

¿Sabes cuáles son estos puntos?

DIBUJA LA GRÁFICA DE LA SIGUIENTE

COMPOSICIÓN

Halla (m o h)(x)(m o h)(x)

-5 -2 -2 2.5-2 1 1 1.6

Utilizo el valor del dominio de la primera función junto al

valor del rango de la segunda función

2.51.6

-5 2.5-2 1.6

¡Y listo!¿Por qué sólo se utilizaron 2 puntos para construir la nueva gráfica?

DESCOMPOSICIÓNDE FUNCIONES

¿QUÉ ES DESCOMPOSICIÓN

DE FUNCIONES?

Es identificar cuáles funciones se componen para formar otra.

Es el proceso opuesto a componer funciones.

Este proceso se estudiará más a fondo en los cursos de Cálculo.

¿QUÉ ES DESCOMPOSICIÓN

DE FUNCIONES?

La descomposición de una función cualquiera no es única, puede incluir dos o más funciones.

Es necesario que se establezca el orden en que se deben componer las funciones para obtener la función original.

EJEMPLOSDE DESCOMPOSICIÓN

DE FUNCIONES

DESCOMPONER h(x) EN 2 FUNCIONES

Recuerda mencionar el orden en que se debe componer la función y comprueba su resultado:

23)()1 x xh

(x)f) o (gh(x) seríaorden El

23)( x (x)fy xxg

COMPROBACIÓN:

23

)23(

)]([))((

x

xg

xfgxf o g

OTRA SOLUCIÓN PODRÍA SER:

323)( x (x)fy xxg

23

33

)(3

)(

)]([))(f (

32

32

32

x

x

x

xg

xfgxog

¿Qué ocurre si cambias el orden?No se genera la función original h(x), a

menos que intercambies el nombre de las funciones en la solución.

REFERENCIAS

PRECÁLCULO. Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas

PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS. Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill

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