Combinación de Programas Lógicos y Redes Bayesianas

y su Aplicación a Música

Eduardo MoralesEnrique Sucar

Roberto Morales

Contenido• Introducción• Redes Bayesianas• Redes Bayesianas + nodos “lógicos”• Mecanismo de razonaminto• Ejemplo musical (1)• Redes Bayesianas dinámicas• Ejemplo musical (2)• Conclusiones y trabajo futuro

Introducción

Las dos áreas más utilizadas para representarconocimiento en una máquina son:

• Lógica: permite representar objetos, sus propiedades, y relaciones con otros objetos

• Probabilidad: permite representar y manejar información con incertidumbre

Propuesta

Este trabajo de investigación plantea comocombinar:

• Cláusulas de Horn: aprovechando su capacidad expresiva

con

• Redes Bayesianas: aprovechando su manejo eficiente de información con incertidumbre

Redes Bayesianas

• RB son una herramienta poderosa para tratar incertidumbre

• Utilizan una representación gráfica de dependencias entre variables aleatorias– Nodos: variables proposicionales

– Arcos: dependencias probabilísticas

Redes Bayesianas (2)

• RB representan relaciones de independencia condicional. Por ejemplo, E es independiente de {A,C,D} dado {B}

Redes Bayesianas (3)

• Mecanismo de Razonamiento: propaga evidencia (variables conocidas) a través de la red hasta obtener probabilidades posteriores (de variables desconocidas)

• Expresividad: RB están limitadas a un formalismo proposicional

Representación Musical

Una representación en música debe de

incluir:

• Relaciones entre notas, voces, métricas, ...

• Preferencias entre notas, métricas, reglas, ...

Representación Musical (2)

Una representación natural es:• Lógica de primer orden para

representar relaciones entre objetos musicales

• Distribuciones de probabilidad para expresar preferencias entre objetos musicales

Propuesta:

Utilizar redes Bayesianas para expresar

preferencias musicales y extenderlas con

lógica de predicados para expresar

relaciones

Propuesta (2):

Z puede ser:• Binario (T ó F): relación(X,Y)• Multivaluado: relación(X,Y,Z)

: Nodo lógico : Nodo con variable aleatoria

Razonamiento

• La distribución de probabilidad de “z” depende de los valores de “x” y “y”, y de que la relación “R” se satisfaga o no para esos valores

x y

dydxxPyPyxRzP )()(),()(

Razonamiento (2)

Considerando variables discretas:

Para obtener P(z) tenemos queevaluar la relación para todos losposibles valores no instanciados de “x” y “y”

x y

yPxPyxRzP )()(),()(

Ejemplo (2)Supongamos: x y

>

6.0)( 4.0)(

:1 Si

6.0)2( 3.0)3(

4.0)0( 7.0)1(

),(

falsezPtruezP

x

yPxP

yPxP

yxyxrelz

Ejemplo (3)

42.0)( 58.0)(

:asdesconocidson y Si

7.0)( 3.0)(

:2 Si

0.0)( 0.1)(

:0 ó 3 Si

falsezPtruezP

yx

falsezPtruezP

y

falsezPtruezP

yx

Razonamiento (3)

Alternativamente, podemos: (i) calcular “fuera de línea” la relación para

todos los posibles valores de las variables involucradas

z=true x=1 x=3

y=0 1 1

y=2 1 0

z=false x=1 x=3

y=0 0 0

y=2 0 1

Razonamiento (4)

(ii) Construir un nodo determinístico

(iii) incluirlo directamente en una RB

Razonamiento (5)

• La estrategia “en línea”:– Evalua solo las filas y columnas de las

variables desconocidas– Puede ser útil cuando el tamaño de la

tabla de probabilidad condicional es “muy grande”

– Se puede utilizar con variables continuas usando técnicas de muestreo sobre distribuciones de probabilidad

Razonamiento (6)

• La estrategia “fuera de línea”:– Está limitada a variables discretas con

tablas de probabilidades condicionales “pequeñas”

– Se calcula solo una vez y puede utilizarse con cualquier herramienta de RB

Aplicación a Música

Aplicación a Música (2)

Para aplicar la representación propuesta

a análisis de contrapunto, necesitamos:

1. Distribuciones de probabilidad (expresando preferencias) sobre:

• Notas de cantus firmus

• Reglas de contrapunto

• Métricas

Aplicación a Música (2)

2. Relaciones entre notas (considerando

métricas) expresando las reglas de

contrapunto

3. Distribuciones de probabilidad sobre

las notas de contrapunto

Algunas Relaciones Musicales

• Consonancia perfecta: quinta, octava, unisono, docena_mayor.

• Consonancia imperfecta: tercera, sexta y decima (mayor y menor)

• Disonancia: el resto.

• Movimientos de pares de notas: contrario, oblicuo y paralelo.

Ejemplo de Mov. Contrario

Reglas de Contrapunto

• Primera: de consonancia perfecta a perfecta en movimiento contrario u oblicuo

• Segunda: de consonancia perfecta a imperfecta en cualquier dirección

• Tercera: de consonancia imperfecta a perfecta en movimiento contrario u oblicuo

• Cuarta: de consonancia imperfecta a imperfecta en cualquier dirección

Posible Pedazo de Nodo Lógico

regla(Int1, Int2, Mov1, Mov2, uno) :-

cons_dis(Int1,cons_perf),

cons_dis(Int2,cons_perf),

movimiento(Mov1,Mov2,Tipo),

member(Tipo,[contrario,oblicuo]).

Aplicación a Música (3)

Aplicación a Música (5)

Esta representación nos permite:• Sugerir las notas de contrapunto y/o de

cantus firmus más probables• Analizar qué regla de contrapunto se usa en

ciertas notas• Sugerir notas y reglas de contrapunto

siguiendo las distribuciones de probabilidad a priori

Representación Temporal

• En música es importante representar relaciones temporales

• En redes Bayesianas dinámicas, los valores de ciertas variables en un tiempo pueden afectar los valores de otras variables en tiempos futuros

Representación Temporal (2)

Ejemplo Musical Din.

En nuestro ejemplo musical necesitamos

ligar nodes de tiempos anteriores y

repetir la misma estructura N-2 veces,

donde N es el número de notas en el

cantus firmus

Ejemplo Musical Din. (2)

Ejemplo Musical Din. (3)

A partir de:

• do, mi (cf)

• sol (cp)

• r1, r2 y r4

Capacidades de la Representación

• La red se puede usar para análisis musical, p.ejem., estimar las reglas de contrapunto más probables

• Conociendo las notas de contrapunto, estimar los valores más probables del cantus firmus y de las reglas utilizadas

Capacidadesa de la Representación (2)

• La red puede usarse para generar música siguiendo las distribuciones de probabilidad y las relaciones expresadas en ella

Conclusiones

• La combinación de redes Bayesianas con lógica es un poderoso formalismo para representar conocimiento y razonar con él

• La representación puede servir para análisis y composición musical y en principio para otros dominios

Trabajo Futuro

• Probar la propuesta con un ejemplo musical “grande” y en otros dominios

• Extender la representación a variables continuas con técnicas de muestreo

• Aprender la red a partir de datos musicales y conocimiento del dominio