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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA

UNEFA-APURE AULA 09S6ICT_A

FACILITADOR: ING. ROBERTO CABELLO

BACHILLERES: DUQUE ELIMAR

C.I. 19815401 GONZÁLEZ FREDERICK

C.I. 18993846 TOVAR GREMIS

C.I. 18993990

SAN FERNANDO DE APURE, NOVIEMBRE DE 2009.-

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INTRODUCCIÓN COLUMNAS

CONCEPTO TIPOS FÓRMULA DE EULER EJERCICIOS

CONCLUSIÓN BIBLIOGRAFÍAS

03

05 06 07 15

19

21

3

La selección de elementos estructurales y de máquinas se basa

en tres características: resistencia, rigidez y estabilidad. Los procedimientos de análisis de esfuerzos y deformaciones en un estado de equilibrio estable fueron vistos con algún detalle en contenidos anteriores. Pero no todos los sistemas estructurales necesariamente estables. Por ejemplo, considere una barra metálica con extremos a escuadra de 10mm de diámetro. Si tal barra fuese de 20mm de largo y actuase como miembro axialmente comprimido, no surgiría la consideración de su inestabilidad y se le podría aplicar una fuerza considerable.

Por otra parte, si otra barra del mismo material fuese de 1000mm

y se hiciese actuar en compresión, entonces, bajo una carga mucho más pequeña que la que podría soportar la pieza corta, la barra larga se pandearía lateralmente y se colapsaría. Una barra de medir, sometida a compresión axial, fallaría de la misma manera. La consideración de la resistencia del material solamente no es suficiente para predecir el comportamiento de tales miembros. Las consideraciones de estabilidad son primordiales en algunos sistemas estructurales.

El fenómeno de la inestabilidad estructural ocurre en numerosas

situaciones en que se encuentran presentes esfuerzos de compresión. Las láminas delgadas, aunque totalmente capaces de soportar cargas de tensión, son muy pobres en su capacidad para transmitir compresión.

Las vigas estrechas, no soportadas lateralmente, pueden

ladearse y fallar bajo una carga aplicada. Los tanques al vacío, así como los cascos de submarinos, a menos que estén apropiadamente

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diseñados, puedes distorsionarse severamente bajo presión externa y asumir formas que difieren drásticamente de su geometría original.

En este trabajo se describirá el comportamiento de las columnas,

su concepto, las clases o los tipos de columnas, la fórmula de Euler y con ello, la teoría del pandeo y en fin algunos contenidos del tema importantes para la fundamentación de Resistencia de los Materiales.

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1. Definición

Una columna es un elemento homogéneo, de sección recta constante, inicialmente perpendicular al eje, y sometido a compresión. Sin embargo, las columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de material y de fabricación, así como una inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la carga. Su comportamiento se limita por la tendencia al pandeo. Para contrarrestarla es necesario usar secciones transversales que tengan grandes momentos de inercia, como las secciones tubulares y materiales de gran resistencia como el acero.

Factores que intervienen en la excentricidad de las cargas en las columnas.

Todo lo dicho anteriormente, se representa de manera exagerada en la figura mostrada. La curvatura inicial de la columna, junto con la posición de la carga, dan lugar a una excentricidad indeterminada e, con respecto al centro de gravedad, en una sección cualquiera m – n. El estado de carga en esta sección es similar al de un poste corto cargado

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excéntricamente, y el esfuerzo resultante está producido por la superposición del esfuerzo directo de compresión y el esfuerzo de flexión.

Si la excentricidad es pequeña y el elemento es corto, la flexión lateral es despreciable, y el esfuerzo de flexión es insignificante comparado con el esfuerzo de compresión directo. Sin embargo, en un elemento largo, que es mucho más flexible ya que las deflexiones son proporcionales al cubo de la longitud, con un valor relativamente pequeño de la carga p puede producirse un esfuerzo de flexión grande, acompañado de un esfuerzo directo de compresión despreciable. Así, pues, en las dos situaciones extremas, una columna corta soporta fundamentalmente el esfuerzo directo de compresión, y una columna larga está sometida principalmente, al esfuerzo de flexión. Cuando aumente la longitud de una columna disminuye la importancia y efectos del esfuerzo directo de compresión y aumenta correlativamente los del esfuerzo de flexión. Por desgracia, en la zona intermedia no es posible determinar exactamente la forma en que varían estos dos tipos de esfuerzos, o la proporción con la que cada una contribuye al esfuerzo total. Es esta indeterminación la que da lugar a la gran variedad de fórmulas para las columnas intermedias.

No se ha dado, hasta aquí, criterio alguno de diferenciación entre columnas largas e intermedias, excepto en su forma de trabajar, es decir, la columna larga está sometida esencialmente a esfuerzos de flexión y la intermedia lo está a esfuerzos de flexión y de compresión directa. La distinción entre ambos tipos de acuerdo con su longitud sólo puede comprenderse después de haber estudiado las columnas largas.

2. Tipos

En la práctica de la ingeniería, en general se clasifican las columnas de acuerdo con las clases de esfuerzo que se desarrollan

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dentro de ellas en el momento en que fallan. De acuerdo al estudiado desarrollo del ítem anterior, se clasifican en:

Las columnas largas y esbeltas se volverán inestables cuando el esfuerzo de compresión permanezca elástico. La falla que presenta se llama inestabilidad elástica.

Las columnas intermedias fallan por inestabilidad inelástica, que quiere decir que el esfuerzo de compresión en el momento de la falla es mayor que el límite de proporcionalidad del material.

Las columnas cortas, que a veces se llaman postes, no se vuelven inestables, más bien el material sólo fluye o se fractura.

3. Fórmula de Euler

En el año 1757, el gran matemático suizo Leonhard Euler realizó un análisis teórico de la carga crítica para columnas esbeltas basado en la

ecuación diferencial de la elástica MdxydEI

22 . Ahora se sabe que este

análisis solamente es válido hasta que los esfuerzos alcanzan el límite de proporcionalidad. En tiempos de Euler no se habían establecido los conceptos de esfuerzo, ni de límite de proporcionalidad, por lo que él no tuvo en cuenta la existencia de un límite superior de la carga crítica.

La figura muestra la línea eje de una columna en equilibrio bajo la acción de la carga crítica P. Se supone que la columna tiene los extremos articulados (mediante rótulas, o pasadores) de manera que no pueden tener desplazamientos laterales. La deflexión máxima es lo suficientemente pequeña para que no exista diferencia apreciable entre la

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longitud inicial de la columna y su proyección sobre un eje vertical. En estas condiciones, la pendiente dy/dx es pequeña y se puede aplicar la ecuación diferencial aproximada de la elástica de una viga:

PyyPMdxydEI )(²

² (a)

El momento M es positivo en la figura, pues, al pandear la columna en el sentido indicado (basta girar la figura 90º en sentido contrario al del reloj), por lo que al ser la y negativa, ha de ir precedida del signo menos. Si la columna se pandeara en sentido contrario, es decir, en la dirección de y positiva, el momento flexionante sería negativo, de acuerdo con el criterio de signos adoptados para los momentos y, por tanto, habría que poner también el signo menos.

La ecuación (a) no se puede integrar directamente, como se hacía, ya que allí M solamente era función de x. Sin embargo, presentamos dos métodos para resolverla. Conociendo algo de dinámica nos damos cuenta que la ecuación (a) es semejante a la ecuación de un cuerpo que vibra simplemente:

kxdtxdm ²

²

Para la cual la solución general es

mktCm

ktsenCx cos21

De aquí, por analogía, la solución de la ecuación (a) viene dada por

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EIPxCEI

PxsenCy cos21 (b)

Al aplicar las condiciones de frontera para x=0, y= 0, lo que da C 2 =0; para x=L, y=0, de la que se obtiene

EIPLsenC10

Ecuación de condición que se cumple para C 1 =0, en cuyo caso no existe flexión en la columna, o para

nEIPL (n=0, 1, 2, 3,…)

De donde

²²² L

EInP (c)

Si se carece de conocimientos de ecuaciones diferenciales podemos resolver la ecuación (a) escribiéndola en la forma

Pydxdy

dxdEI

Que, después de multiplicar por 2 dy para obtener diferenciales exactas da, por integración:

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² CPydxdyEI

(d)

10

Ahora, de acuerdo con la figura mencionada, para dy/dx= 0, y= . Sustituyendo en (d) da C1 =P ², por lo que la ecuación (d) se transforma en

²)²(2

yPdxdyEI

o sea,

²² yEIP

dxdy

Separando variables,

dxEIP

ydy ²²

Cuya integración da

21 CdxEI

Pxysen

Efecto de n en el valor de la carga crítica

Para hallar C 2 se aplica la condición y=0 para x=0, donde C 2 =0. Así pues,

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EIPxysen 1 O

EI

PsenY (e)

Lo que indica que la forma de la elástica es senoidal. Haciendo y=0 para x= L en esta última ecuación se obtiene

0

EIPLsen

O bien,

nEIPL (n= 0, 1, 2, 3,…)

De donde

²²² L

EInP (f)

Que coincide con el valor obtenido en la ecuación (c).

El valor n=0 no tiene sentido, ya que sería P=0. Para los demás valores de n la columna se pandea en la forma indicada en la figura número 2. De estas posibles soluciones, la más importante es la (a). Las otras soluciones ocurren para cargas mayores, pero sólo son posibles físicamente si la columna tiene sujeciones laterales en el punto medio o en los tercios del largo, respectivamente, que la obliguen a tomar precisamente esta forma. La carga crítica, para una columna articulada en sus extremos, es

²²

LEIP

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Para columnas con otras condiciones de sujeción en sus extremos se puede expresar la carga crítica en función de la correspondiente fórmula, que se considera como un caso fundamental. Asó, por ejemplo, en la columna doblemente empotrada de la figura 11-5(a), por simetría, los puntos de inflexión están en los cuartos del largo, y como el momento flexionante es nulo en éstos, los diagramas de cuerpo libre de la figura 11-5(b) indican que la mitad central de la columna doblemente empotrada equivale a una columna articulada en sus extremos de longitud L e =L/2. Introduciendo en la ecuación esta longitud equivalente, la carga crítica que se obtiene para este tipo de columna es:

²²4

2

²²²

2 LEI

LEI

LEIP

e

La columna doblemente empotrada es, pues, cuatro veces más resistente que la doblemente articulada.

La figura 11-5(a), permite determinar también la carga crítica para

una columna empotrada en un extremo y libre en el otro (tipo mástil). Las

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cargas críticas en este tipo, figura 11-5(b), y en la doblemente empotrada, son iguales, pero teniendo en cuenta que esta última es cuatro veces más larga que la primera. En otras palabras, en la ecuación anterior Nº2 hay que poner una longitud L, igual a cuatro veces la longitud real de la columna tipo mástil, con lo que la carga crítica para este tipo de columna viene dada por:

²²

41

²4²4

²²4 L

EIL

EILEIP

e

Que es una cuarta parte de la correspondiente al caso fundamental, doblemente articulada.

Otro tipo de columna que suele presentarse es la empotrada en

un extremo y articulada en el otro, como se indica en la figura 11-6. El punto de inflexión aparece, como puede demostrarse, a 0.7L del extremo articulado, por lo que introduciendo en la primera ecuación del caso fundamental una longitud L e =0.7L, da como valor de la carga crítica

²²2)²7.0(

²²²

LEI

LEI

LEIP

e

El efecto de la condición de sujeción de los extremos en la carga crítica se puede hacer intervenir en la fórmula de la carga crítica para el

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caso fundamental de la columna doblemente articulada de dos formas. Multiplicándola por un factor N que depende de las condiciones de sujeción, como se resume en la tabla que viene a continuación, o mejor, sustituyendo la longitud L de la primera ecuación por los valores tabulados de la longitud modificada o efectiva, es decir,

²²

²²

eLEI

LEINP

CONDICIONES DE SUJECIÓN

N= coeficiente para multiplicar

por Pcrit del caso

fundamental

L e = Longitud efectiva

Ambos extremos empotrados Un extremo empotrado y el otro

articulado. Ambos extremos articulados Un extremo empotrado y el otro libre

4 2 1

1/4

1/2L 0.7L

L 2L

En conclusión, si un elemento unidimensional biarticulado se encuentra bajo la acción de una carga axial de compresión perfectamente situada en su centro de gravedad, ocurren las siguientes fases: Si la carga P es menor que la carga crítica de Euler, el sistema está en equilibrio y de forma completamente recta. En cuanto la carga alcance este valor, el sistema está bajo un equilibrio inestable de pandeo, es decir, si se introduce una pequeña perturbación lateral en el sistema está bajo un equilibrio inestable de pandeo, es decir, si se introduce una pequeña

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perturbación lateral en el sistema el elemento flectará con una deformada que sigue la ecuación:

)(. kxsenAv

Si el valor de la carga P aplicada supera la carga crítica, no se podrá saber cuál será la deformación que alcanzará el sólido, ya que se deberá comenzar el estudio de la elasticidad en grandes deformaciones y la ecuación, no será válida.

Siempre que se pueda se evitará llegar a este punto.

EJEMPLO 1.- Un tubo de acero A-36 de 24 pies de longitud con la sección transversal mostrada en la figura, va a usarse como columna articulada en sus extremos. Determine la carga máxima axial que la columna puede soportar sin pandearse.

Solución: Usando la ecuación para obtener la carga crítica con 29(10³)ksi, obtenemos:

²²LEIP

)]²lg/12(24[lg)75.2(4

1)3(41²]lg/³)10(29²[ 444

piepupiespupukip

= 64.5 kip

Esta fuerza genera un esfuerzo de compresión promedio en la columna de:

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kippukip

APcr 3.14²lg)²]75.2()²3([

5.64

Como =36ksi, la aplicación de la ecuación de Euler es apropiada.

EJEMPLO 2.- El perfil W8*31 de acero A-36 mostrado en la figura se va a usar como columna articulada en sus extremos. Determine la carga axial máxima que podrá soportar antes de pandearse o de que el acero fluya.

Solución: De tablas, el área transversal y los momentos de inercia para la columna son: A=9.13pulg, Ix= 110 pulg 4 e Iy= 37.1 pulg 4 . Por inspección, el pandeo ocurrirá respecto al eje y-y. ¿Por qué? Aplicando la ecuación, tenemos:

kippiepupiespupukip

LEIP 512)]²lg/12(12[

)lg1.37²](lg/³)10(29²[³

² 4

Cuando está totalmente cargada, el esfuerzo de compresión promedio en la columna es:

ksipukip

APcr 1.56²lg13.9

512

Como este esfuerzo es mayor que el esfuerzo de fluencia (36ksi), la carga P se determina por compresión simple, esto es,

²lg13.936 puPksi kipP 329

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En la práctica, se colocaría un factor de seguridad sobre esta carga.

EJEMPLO 3.- Elegir el perfil W más económico para trabajar como columna de 7 m de altura que ha de soportar una carga axial de 450kN con un factor de seguridad igual a 3. Supóngase (a) extremos articulados, y (b) un extremo empotrado y el otro articulado. Emplee MPaPL 200 y E= 200 GPa.

Solución:

(a) Para un acero con límite de proporcionalidad de 200 MPa, la aplicación de la fórmula de Euler para el caso fundamental requiere que la esbeltez L/r sea mayor de 100. Si es menor, se tomará como esfuerzo límite el del límite de proporcionalidad.

La carga de trabajo, multiplicada por el factor de seguridad 3, da una carga crítica de 1350kN. Aplicando la fórmula de Euler y despejando I, se obtiene:

²²

LEIP

46469 10*5.3310*5.33²))(10*200(

)²7³)(10*1350(²² mmmE

PLI

Ahora bien, la esbeltez es L/r 100. Por tanto, el radio de giro mínimo ha de ser

mmLr 0.701007000

100

Así pues, acorde con estos criterios, la sección debe tener un momento de inercia máximo mayor que 33.5*10 6 mm 4 y un radio de giro

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mínimo de 70mm. Se puede elegir un perfil W250*73 que tiene I min= 38.8*10 6 mm 4 y un radio de giro mínimo de 64.6 mm.

(b) La carga crítica de Euler es, como antes, de 1350kN. Con un extremo fijo y el otro articulado, la longitud efectiva de una columna equivalente del tipo fundamental es 0.7L= 4.9 m. Teniendo en cuenta esta longitud efectiva en lugar de la real, los criterios de elección, según la fórmula de Euler, son:

469 10*4.16²)10*200(

)²9.4³)(10*1350(²² mE

PLI

4610*4.16 mm

mmLr 0.491004900

100

El perfil más liviano que cumple estas condiciones es W360*64 con I min= 18.8*10 6 mm 4 y rmin= 48.1 mm

De acuerdo con el criterio del límite de proporcionalidad,

²6750²10*75.610*200³10*1350 3

6 mmmA

mmr 0.49

Se necesitaría un perfil W250*58, con A=7420mm² y r min=50.4 mm. Comparando ambas soluciones se deduce que la más económica es la segunda.

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El estudio general del pandeo ha sido tratado po0r varios

investigadores a lo largo de la historia, el primero en proveer una formulación aplicada fue el matemático Leonard Euler, que dictamina que la columna es un elemento axial sometido a compresión, lo bastante delgado respecto a su longitud, para que bajo la acción gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menor que la necesaria para romperlo por aplastamiento.

Esto se diferencia de un poste corto sometido a compresión, el cual, aunque esté cargado excéntricamente, experimenta una flexión lateral despreciable. Aunque no existe un límite perfectamente definido entre elemento corto y columna, se suele considerar que un elemento a compresión es una columna si su longitud es más de diez veces su dimensión transversal menor.

Las columnas se suelen dividir en dos grupos: largas e intermedias. A veces, los elementos cortos a compresión se consideran como un tercer grupo de columnas. Las diferencias entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento. Las columnas largas se rompen por pandeo o flexión lateral; las intermedias, por una combinación de aplastamiento y pandeo, y los postes cortos, por aplastamiento.

Ahora bien, es interesante destacar que el fenómeno de pandeo ocurre de una forma muy repentina. Es por esto que los fallos debido a inestabilidades son espectaculares y muchas veces peligrosos. Por otro lado, debemos asumir que el tratamiento de perfiles metálicos es muy diferente del que se realiza sobre perfiles constructivos de hormigón, ya que este último material presenta un comportamiento más complejo de modelizar.

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FÓRMULAS DE PANDEO

COLUMNAS

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HIBBELER, R.C. Mecánica de Materiales. Pearson

Educación. Tercera Edición. México, 1997. POPOV, Egor. Mecánica de Sólidos. Pearson Educación.

Segunda Edición. México, 2000. ROMERO, Manuel; MUSEROS, Pedro; MARTÍNEZ, María y

POY, Ana. Resistencia de Materiales. Universitat Jaume. Tercera Edición. Castelló de la plana-España. 2002.

TIMOSHENKO, S. Resistencia de materiales. Escasa-Calpe, S.A. Primera Parte. Madrid-España. 1957.