Vibraciones MecánicasApuntes Dr. José Colín Venegas

Vibración longitudinal de una Barra

Considere una barra de longitud L de sección transversal A ( x ) que es desplazada de su posición de equilibrio por una fuerza distribuida longitudinalmente con una densidad de carga lineal de Q ( x , t ). La deformación de la barra está dada por u ( x , t ).

Realizando la sumatoria de fuerzas en el elemento diferencial se tiene lo siguiente

−P+P+ ∂ P∂ xdx+Q ( x , t )dx=ρA ∙dx ∂

2u∂ t 2

→∂P∂ x

+Q ( x , t )=ρA ∂2u∂ t2

De la teoría de la elasticidad, tenemos que la relacion de una fuerza axial a la deformación, por lo tanto la ecuación de movimiento se expresa de la siguiente manera.

EA∂2u∂x2

−ρA ∂2u∂ t 2

=−Q ( x , t )donde P=EA ∂u∂x

Para normalizar la expresión diferencial, se requiere eliminar la fuerza de exitación, por lo tanto la ecuación de movimiento se puede expresar de la siguiente manera.

EA∂2u∂x2

=ρA ∂2u∂ t 2

Ahora se puede observar que para que la expresión cumpla, se requiere la condición necesaria y suficiente que la ecuación de movimiento en cada término sea una constante en el tiempo, por lo tanto la función de desplazamiento se expresa como u ( x , t )=XT , donde X es una función que solo depende de la variable espacial (Modo) y T es una función que solo depende de la variable temporal.

EA (X ' ' T )=ρA ( X T )→v2X ' '

X= TT

=μdonde v2=[ Eρ ]Por lo tanto se tienen 3 casos de solución de esta ecuación diferencial, cuando μ es menor que cero, igual a cero y mayor que cero. El primer caso tiene una solucion en base a senos y cosenos, el segundo caso tiene como solución una linea recta y el tercer caso

tiene una solución exponencial que puede ser representada por senos y cosenos hiperbólicos.

Para el caso general de vibración tomamos el primer caso de estudio, donde la constante μ toma el valor de −ω2 teniendo la siguiente solución general.

u ( x , t )=XT ; X=C1sin (ωxv )+C2cos (ωxv );T=C3 sin (ωt )+C4 cos (ωt )

Por ejemplo en el caso de una viga empotrada en cantiliever, con las condiciones de frontera del sistema, se puede obtener la respuesta modal X del sistema. Por ejemplo, el modelo de la viga mostrado en esta sección se encuentra empotrado en su lado izquierdo ( x=0 ), por lo tanto en ese punto no hay deformación axial.

u (0 , t )=X (0 )T ( t )=C2T (t )=0∴C2=0

Sustituyendo el valor en la solucion general por lo que se tiene lo siguiente.

u ( x , t )=sin (ωr xv ) [A sin (ωr t )+B cos (ωr t ) ]donde A=C1C3 y B=C1C4

Se puede observar que las constantes C1 y C2 dependen de las condiciones de frontera y las constantes C3 y C4 dependen de las condiciones iniciales del sistema.

Cuando se aplican las condiciones iniciales del sistema, existe un perfil modal u0 ( x ) que cumple el sistema como se ve a continuación.

u ( x ,0 )=u0 ( x )u ( x ,0 )=u0 ( x )

Algunas condiciones de frontera comunes en la viga se muestran a continuación

Modelo CondiciónFrontera

EcuaciónCaracterístic

a

PerfilModal un ( x ) ωn

u (0 , t )=0∂u∂ x

(L , t )=0 cos (ωLv )=0 un=Cn sin( (2n+1 )πx2L ) ωn=

(2n+1 )πv2L

∂u∂ x

(0 ,t )=0

∂u∂ x

(L , t )=0sin(ωLv )=0 un=Cn cos ( nπxL ) ωn=

nπ vL

u (0 , t )=0u (L ,t )=0

sin(ωLv )=0 un=Cn cos ( nπx2L ) ωn=nπvL

Como existen un número infinito de modos y frecuencias.

u ( x , t )=∑n=1

∞ (Bnsin (ωn xv )+An cos(ωn xv )) (Dn sin (ωnt )+Cncos (ωnt ))

Donde Cn y Dn dependen de las condiciones iniciales y se encuentran aplicando las series de Fourier.

Caso de estudio 1. Frecuencia natural de una barra con una masa en el extremo

Considere una barra de longitud L de material isotrópico con una sección transversal constante A, la cual está empotrada en su extremo izquierdo y a la cual se le agrega una masa m en su extremo como se muestra en el diagrama siguiente.

Realizando la sumatoria de fuerzas en el elemento diferencial se tiene lo siguiente

−P+P+ ∂ P∂ xdx= ρA∙dx ∂

2u∂ t2

→∂P∂ x

=ρA ∂2u∂ t2

De la teoría de la elasticidad, tenemos que la relacion de una fuerza axial a la deformación, por lo tanto la ecuación de movimiento se expresa de la siguiente manera.

EA∂2u∂x2

=ρA ∂2u∂ t 2

donde P=EA ∂u∂x

Sew toma la función de deformación como dos funciones independientes u ( x , t )=XT , donde X es una función que solo depende de la variable espacial (Modo) y T es una función que solo depende de la variable temporal.

EA (X ' ' T )=ρA ( X T )→v2X ' '

X= TT

=μdonde v2=[ Eρ ]Para el caso vibratorio, la constante μ toma el valor de −ω2 .

u ( x , t )=XT ; X=C1sin (ωxv )+C2cos (ωxv );T=C3 sin (ωt )+C4 cos (ωt )

Aplicando la condicion de frontera de empotramiento del lado izquierdo u (0 , t )=0, se obtiene la primer constante.

u (0 , t )=X (0 )T ( t )=C2T (t )=0∴C2=0

Sustituyendo el valor en la solucion general por lo que se tiene lo siguiente.

u ( x , t )=sin (ωxv ) [A sin (ωt )+B cos (ωt ) ]donde A=C1C3 y B=C1C4

La segunda condición de frontera es la fuerza ejercida por la masa m en el extremo debido al movimiento longitudinal, por lo tanto.

EA∂u (L , t )∂ x

=−m∂2u (L , t )∂ t 2

→EA X ' (L )T ( t )=−mX (L ) T ( t )

Realizando la división entre T (t ) de la expresión, se tiene la siguiente evaluación para la obtención de la frecuencia.

EA X ' (L )=ω2mX (L )

Se puede observar en la ecuación de movimiento que la constante de X ( x ) fue absorbida por las constantes de T (t ), por lo tanto

EAvcos (ωLv )=ωm sin(ωLv ); X ( x )=sin (ωxv ); X ' (x )=ω

vcos (ωxv )

Si se multiplica la expresión por L y se divide entre v, se obtiene lo siguiente.

EAL

v2cos (ωLv )=ωLv m sin(ωLv )→ρALcos (ωLv )=ωLv m sin(ωLv )donde v2=[ Eρ ]

Como se puede observar, como la barra es de densidad constante y de área transversal constante, el volumen puede ser expresado como AL y al multiplicarlo por la densidad se tiene la masa M de la barra, por lo tanto.

Mm

=γ tan ( γ )donde γ=ωLv

Esta expresión se resuelve mediante métodos numéricos. Por ejemplo, cuando se tiene una barra de acero al carbón (E=20.5×1010N /m2 , ρ=7830kg /m3) de media pulgada de diámetro, una longitud de 40 centímetros y se le instala una masa en su extremo de 5 kilogramos, realizamos una función la cual graficamos y tiene que ser igual a cero para la solución deseada.

f ( γ )=γ tan (γ )−Mmω= γv

L

Graficando esta función en Matlab, se pueden observar los cruces de esta función por el valor cero, los cuales serán los valores de γ para los cálculos de las frecuencias naturales

Se obtienen lo valores aproximados de γ=0.278 para la primera frecuencia natural y γ=3.166 para la segunda frecuencia natural, donde aplicando la relación se tiene.

ω1=3.5125×103 radseg

;ω2=4.0002×104 radseg

Realizando el análisis de la viga en ANSYS con un elemento BEAM3, restringiendo todos los grados de libertad excepto el del eje x, se obtienen las frecuencias de los primeros cuatro modos de vibración que se muestran a continuación.

Como los resultados de ANSYS se encuentran en Hertz, se utiliza ω=2πf , por lo tanto

ω1=3.565×103 radseg

;ω2=4.060×104 radseg

Se puede visualizar que los resultados, se tienen variaciones del 2%, por lo cual se concluye el modelo con masa en el extremo.

Partiendo nuevamente con la primera condición de frontera de empotramiento, se tiene la solución general siguiente

u ( x , t )=sin (ωxv ) [A sin (ωt )+B cos (ωt ) ]

En caso de que no se tuviese masa en el extremo, se puede aplicar la condición de frontera de que no existe variación de deformación en el extremo.

∂u (L , t )∂ x

=0∴ cos(ωLv )=0→ωn=nπv2L

para n=1 ,3 ,6 ,…∞

Por lo tanto sustituyendo los valores para el caso sin masa se tienen las siguientes frecuencias naturales.

ω1=1.984×103 radseg

;ω2=5.954×104 radseg

Realizando el mismo modelo de Ansys sin la masa en el extremo se obtienen las siguientes frecuencias.

ω1=2.014×103 radseg

;ω2=6.043×104 radseg

Comprobando los resultados con un error de 1.5%.Caso de estudio 2. Ortogonalidad de modos

Las eigenfunciones también tienen propiedades de Ortogonalidad en manera análoga a los eigenvectores. Para el caso de la viga.

[ Eρ ] ∂2u ( x ,t )∂ x2

=∂2u ( x , t )∂ t2

para0< x<L

Como se mencionó al principio de este documento, existen parámetros de frontera que permiten la obtención de la solución del sistema. Para derivar las condiciones de ortogonalidad, se toman dos eigenfunciones distintas, es decir.

u ( x , t )=X ( x )T (t )∴E X ' ' ( x )T (t )=ρX ( x )T ( t )

De la sustitución, se separan las variables para obtener la constante deseada ω2 la cual nos permite separar en dos ecuaciones diferenciales independientes como se muestra.

X ' ' ( x )+ω2

v2X (x )=0 ; T (t )+ω2T ( t )=0donde v2=[ Eρ ]

Como existen un número infinito de eigenfunciones y de frecuencias naturales, las expresiones anteriores se deben de escribir de la siguiente manera.

X n' ' ( x )+

ωn2

v2Xn ( x )=0 ; Tn ( t )+ωn

2T n (t )=0 paran=1,2,3 ,…∞

Tomando dos eigenfunciones distintas X r y X s en la ecuación modal

v2X r' '=−ωr

2 X rv2X s

' '=−ωs2 X s

Integrando ambas ecuaciones con respecto a x dentro del intervalo 0<x<L, premultiplicando la primera ecuación por la eigenfunción X s y la segunda ecuación por X r

v2∫0

L

(X s X r' ') dx=−ωr2∫0

L

(X r X s )dxv2∫0

L

(X r X s' ') dx=−ωs2∫0

L

(X r X s )dx

Integrando una vez por partes el lado izquierdo de las ecuaciones

v2[ (X s X r' )|0L−∫0

L

(X r' X s' )dx ]=−ωr

2∫0

L

( X r X s )dxv2[ (X r X s' )|0L−∫

0

L

(X r' X s' )dx ]=−ωs

2∫0

L

( X r X s )dx

Multiplicando las dos expresiones por ρA

EA [ (X s X r' )|0L−∫0

L

(X r' X s' )dx ]=−ωr

2 ρA∫0

L

(X r X s )dx

EA [ (X r X s' )|0L−∫

0

L

(X r' X s' )dx ]=−ωs

2 ρA∫0

L

(X r X s )dx

La condición de frontera la masa m en el extremo de la barra es la siguiente

EA∂u (L , t )∂ x

=−m∂2u (L , t )∂ t 2

→EA X ' (L )T ( t )=−mX (L ) T ( t )

Tomando dos eigenfunciones r y s premultiplicando la primera ecuación por la eigenfunción X s y la segunda ecuación por X r.

EA X s (L ) X r' (L )=mX s (L ) X r (L )ωr

2

EA X r (L ) X s' (L )=mX r (L ) X s (L )ωs

2

Restando la primera ecuación con la primera condición de frontera y así mismo con la segunda se tiene lo siguiente.

EA [ (X s X r' )|0L−∫0

L

(X r' X s' )dx ]−EA X s (L )X r

' (L )=−ωr2ρA∫

0

L

( X r X s )dx−mX s (L ) X r (L )ωr2

EA [ (X r X s' )|0L−∫

0

L

(X r' X s' )dx ]−EA X r (L ) X s

' (L )=−ωs2ρA∫

0

L

( X r X s )dx−mX r (L ) X s (L )ωs2

La condición de empotramiento en el extremo izquierdo de la viga, conlleva a que cualquier modo X evaluado en cero, sea igual a cero, por lo tanto, desarrollando los términos de las ecuaciones anteriores se tiene el siguiente sistema.

EA∫0

L

(X r' X s' ) dx=ωr2[ρA∫

0

L

( X r X s ) dx+mX s (L ) X r (L )]EA∫

0

L

(X r' X s' ) dx=ωs2[ρA∫

0

L

( X r X s ) dx+mX r (L ) X s (L )]

Restando la primera ecuación a la segunda, se tiene la siguiente expresión, que nes la ortogonalidad de las eigenfunciones.

(ωs2−ωr2 )[ ρA∫0

L

( X r X s )dx+m X r (L ) X s (L )]=0En vista que los eigenvalores o las frecuencias naturales son distintas de cero, se concluye que:

ρA∫0

L

( X r X s )dx+m X r (L ) X s (L )=0 parar ≠ s óωr2≠ωs

2 ;r , s=1,2,3 ,…∞

Por lo tanto tomando solo una de las ecuaciones tratadas para r ≠ s.

EA∫0

L

(X r' X s' ) dx=ωr2[ρA∫

0

L

( X r X s ) dx+mX s (L ) X r (L )]∴EA∫0

L

(X r' X s' ) dx=0

Además

EA∫0

L

(X s X r' ') dx=EA[ (X s X r' )|0L−∫

0

L

(X r' X s' ) dx ]=EA X s (L )X r

' (L )

Para los casos donde ωr=ωs o bien r=s

(ωs2−ωs2 )[ ρA∫0

L

X s2dx+m (X s (L ) )2]=0

Como X s no puede ser cero, las eigenfunciones se configuran de tal manera que sea igual a la unidad.

ρA∫0

L

X s2dx+m (X s (L ) )2=1

Por lo tanto

EA∫0

L

(X s' )2dx=ωr

2[ ρA∫0

L

X s2dx+m (X s (L ) )2]∴EA∫

0

L

(X s' )2dx=ωr

2

Se concluye que la normalización de las eigenfunciones es la siguiente.

ρA∫0

L

X s2dx+m (X s (L ) )2=1; EA∫

0

L

(X s' )2dx=ωr

2

Caso de estudio 3. Solución al problema de condiciones iniciales Q ( x , t ) distribuida

Considere que la barra está sometida a las siguientes condiciones iniciales en t=0

u0 ( x )=f 1 ( x ) ; u0 (x )=f 2 ( x )

Como existen un número infinito de frecuencias y de eigenfunciones

u ( x , t )=∑i=1

∞

X iT i∴u (x ,0 )=∑i=1

∞

X iT i (0 )=f 1 ( x ) ; u ( x ,0 )=∑i=1

∞

X i T i (0 )=f 2 ( x )

Si estas expresiones se premultiplican por una eigenfunción X j y por ρA , e integrando con respecto a la variable dimensional x se tienen las siguientes expresiones.

∑i=1

∞

T i (0 ) ρA∫0

L

X j X idx= ρA∫0

L

X j f 1 ( x )dx∑i=1

∞

T i (0 ) ρA∫0

L

X j X idx= ρA∫0

L

X j f 2 ( x )dx

Ahora tomando las primeras expresiones y las evaluamos en la frontera, premultiplicando por una eigenfunción X j (L ) y por la masa m, se tiene las siguientes expresiones.

∑i=1

∞

T i (0 ) X j (L ) X i (L )=mX j (L ) f 1 (L )

∑i=1

∞

T i (0 ) X j (L ) X i (L )=mX j (L ) f 2 (L )

Sumando los dos sistemas de ecuaciones y agrupando se obtiene lo siguiente.

∑i=1

∞

T i (0 )[ ρA∫0

L

X j X idx+X j (L )X i (L )]=ρA∫0

L

X j f 1 ( x )dx+m X j (L ) f 1 (L )

∑i=1

∞

T i (0 )[ ρA∫0

L

X j X idx+X j (L )X i (L )]=ρA∫0

L

X j f 2 ( x )dx+m X j (L ) f 2 (L )

Considerando que las eigenfunciones son iguales i= j, se reduce el sistema por la condición de normalización como se ve a continuación.

T i (0 )=ρA∫0

L

X i f 1 ( x )dx+mX i (L ) f 1 (L )T i (0 )=ρA∫0

L

X i f 2 ( x )dx+mX i (L ) f 2 (L )

Con las condiciones iniciales T i (0 ) y T i (0 ), se encuentran los parámetros para cada T i ( t ).

T i (t )=T i (0 )cos (ωi t )+T i (0 )ωi

cos (ωi t )

Para ello se requiere encontrar X i, el cual se obtiene de la condición de ortogonalidad

ρA∫0

L

X i2dx+m (X i (L ) )2=1donde X i=C2i sin(ωi x

v )Por lo tanto.

ρA∫0

L

(C2 i sin(ωi xv ))2

dx+m(C2 isin (ωiLv ))2

=1

(C2 i )2[ ρA2 ∫

0

L

(1−cos( 2ωi xv ))dx+m(sin(ωi Lv ))2]=1

(C2 i )2[[ ρA2 x− ρAv

4ωisin ( 2ωi x

v )|0

L]+m(sin(ωiLv ))

2]=1(C2 i )

2[[ ρAL2 −ρAv4ωi

sin ( 2ωiLv )|

0

L ]+m(sin(ωiLv ))

2]=1Por lo tanto

C2i=1

√ [M2 − Mv4ωiL

sin (2ωiLv )+m(sin(ωi Lv ))

2]De esta forma, para cada frecuencia ωi, se tendrá el valor de X i. Como se pudo ver en el caso de estudio 1, cuando hay masa en el extremo de la viga las frecuencias no están a una cierta distancia. Si fuese el caso de la viga sola, se tendrían frecuencias solamente dependientes de n y con senos de Fourier sería suficiente para el cálculo de las constantes.Se puede realizar también el cambio de variable para la obtención de la constante por medio del parámetro γ i.

C2i=1

√ [M2 − M4 γ isin (2 γ i )+m (sin (γ i ))

2]dondeγ=ωL

v

La ecuación anterior puede ser reescrita de la siguiente manera.

C2i=1

√ [M2 [1− sin ( γi )cos ( γi )γ i ]+m (sin ( γi ))

2]Como se puede observar en el caso de estudio 1, las frecuencias naturales se encuentran de acuerdo a la siguiente expresión.

Mm

=γ tan ( γ ) ∴M=mγ tan (γ )

Sustituyendo el valor de M en la ecuación de C2i, se obtiene lo siguiente

C2i=1

√ [mγ sin ( γi )2cos ( γ i)

−mγi sin

2 ( γ i)cos (γ i )γ icos ( γ i )

+m (sin ( γi ))2]

= 1

√mγ tan ( γi )2

=√ 2M

Por lo tanto el valor es una constante en todos los modos, por lo tanto.

X i=√ 2M sin(ωi x

v )Finalmente se requiere definir los perfiles de posición inicial f 1 ( x ) y los perfiles de

velocidad f 2 ( x ). Nótese que si la vibración en un tiempo inicial parte con velocidad cero, el

perfil f 2 ( x )=0, por lo tanto la ecuación de movimiento quedaría reducida a:

u ( x , t )=∑i=1

∞

X iT i=√ 2M∑i=1

∞

sin(ωi xv )(T i (0 ) cos (ωi t ))

Dónde:

T i (0 )=ρA∫0

L

X i f 1 ( x )dx+mX i (L ) f 1 (L )