Colegio Secundario “ Manuel Ramón González

Colegio Secundario “ Manuel Ramón González ”

2020

C. S.“M. R. G.”

Autor: Profesor Saúl Enrique Zamaniego - Colegio Secundario “ Manuel Ramón González ”

Año: 2020 Cursos: 3° I y II Localidad: San Lorenzo

e-mail : [email protected] Pág. 2

Números Racionales

Se llama número racional a todo aquel que puede ser expresado como un cociente ( división )

entre dos números enteros.

Ejemplos: los siguientes números (en color azul) son racionales pues pueden ser expresados como

un cociente (división) entre dos números enteros.

3 4

12 = ; 8

5

40 = ; − 6

3

18 −= ; 0,4

5

2 = ; −0,12

25

3 = ; 7,25

4

29 =

y esto significa entonces que los números racionales pueden expresarse mediante una fracción o

una expresión decimal.

El conjunto de los números racionales, que se designa con la letra ℚ, está formado por los

números enteros ( ℤ ) y los números fraccionarios.

Fracciones:

Una fracción es un cociente entre dos números enteros, a y b, llamados numerador y

denominador respectivamente. Es necesario destacar que existe una condición para el

denominador de la fracción… y es la de ser distinto de cero ( b ≠ 0 ).

a numerador

raya fraccionaria

b denominador

En una fracción, el denominador ( b ) indica en cuántas partes iguales se divide el entero

mientras que el numerador de la fracción ( a ) indica cuántas de esas partes debemos tomar o

considerar.

Nos proponemos entonces representar mediante gráficos a los números racionales positivos:

5

3 ;

8

5 ;

4

7 ;

3

3

== 5

3

== 8

5

== 4

7

== 3

3




Clasificación de Números Racionales.

De acuerdo con los valores que formen parte de cada fracción, se puede establecer la

clasificación siguiente de las mismas:

� Fracciones Propias: son todas aquellas en las cuales el numerador es menor que el

denominador.

Las fracciones propias representan a números racionales mayores que

– 1 y menores que 1.

Ejemplos: 8

5 ;

3

2 ;

10

9 ;

5

4 − ;

7

2 − ;

11

8 −

� Fracciones Impropias: son todas aquellas en las cuales el numerador es mayor que el

denominador.

Las fracciones impropias representan a números racionales menores que

– 1 y mayores que 1.

Ejemplos: 4

9 ;

3

10 ;

5

17 ;

2

7 − ;

6

11 − ;

8

21 −

� Fracciones Aparentes: son aquellas fracciones en las cuales el numerador es múltiplo

del denominador.

La gran mayoría de las fracciones aparentes cumplen con la definición de

las fracciones impropias.

Ejemplos: 4

4 ;

2

10 ;

9

36 ;

7

7 − ;

3

21 − ;

6

42 −

� Números Mixtos: son aquellos que están formados por la unión entre un número entero y

una fracción propia.

Ejemplos: 4

1 3 ;

9

8 1 ;

5

3 7 ;

3

1 2− ;

6

5 8− ;

10

7 13−

Todo número mixto puede ser expresado como una fracción impropia…

4

13

4

1 12

4

1 4 . 3

4

1 3 =

+=

+=

9

17

9

8 9

9

8 9 . 1

9

8 1 =

+=

+=

3

7

3

1 6

3

1 3 . 2

3

1 2 −=

+−=

+−=−

6

53

6

5 48

6

5 6 . 8

6

5 8 −=

+−=

+−=−




De igual forma… toda fracción impropia se puede expresar como un número mixto.

4

13 =

4

1 3 13 4

( 1 ) 3

9

17 =

9

8 1 17 9

( 8 ) 1

7 3 ( 1 ) 2

53 6

( 5 ) 8

ACTIVIDADES:

1) Clasificar a cada uno de los siguientes números racionales:

a) 8

7 b)

7

28 − c)

6

11 d)

5

2 4− e)

11

21

2) Escribir la fracción correspondiente de cada uno de los siguientes gráficos:

a)

b)

c)

=

=

=

mixto número

del entera parte

impropia fracción

la de adormindeno

impropia fracción

la de numerador

3

7 =−

3

1 2 −

6

53 =−

6

5 8 −




d)

3) Escribir como fracción impropia cada uno de los siguientes números mixtos…

a) 8

5 4 b)

7

3 6 c)

10

9 9 d)

5

4 3− e)

3

2 11−

4) Obtener el número mixto correspondiente de cada una de las siguientes fracciones impropias.

a) 5

27 b)

9

59 c)

6

79 d)

8

43 − e)

13

80 −

Representación de racionales en la recta numérica.

En los cursos anteriores se han realizado las representaciones de los números naturales ( ℕ )

como la de los números enteros ( ℤ ) en la recta numérica. Ahora vamos a recordar como se

representan en la recta numérica a los números racionales ( ℚ ) y más precisamente a las

fracciones.

Si la fracción fuera positiva se encontrará a la derecha del cero en la recta numérica mientras

que si la fracción fuera negativa estará ubicada a la izquierda del cero. Podemos representar tanto

las fracciones propias, las impropias, las aparentes y también los números mixtos.

En toda fracción el “denominador” indicará en cuantas partes iguales se divide cada entero a

partir del cero (positivo o negativo según el signo de la fracción ) y el “numerador” de la fracción

indicará cuantas de esas partes iguales debemos tomar, contar o considerar ( a partir del cero ).

Ejemplo N° 1: representar en la misma recta numérica los racionales y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Ejemplo N° 2: representar en la misma recta numérica a los racionales 4

11 y

5

17 −

4

3

3

2 −

) propias fracciones (

=




-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Ejemplo N° 3: representar en la misma recta numérica los racionales 5

15 y

6

30 −

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Ejemplo N° 4: representar en la misma recta numérica los racionales y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

ACTIVIDAD:

Representar en una misma recta numérica los siguientes números racionales:

1) ; y

2) ; ;

3) ; ;

) impropias fracciones (

4

3 2 −

5

2 4

) aparentes fracciones (

) mixtos números (

5

4

3

18 −

4

1 5

4

1 −

3

2 3−

5

27

2

1 4−

4

15

12

24 −




4) ; ; ;

Relación de Orden en ℚ

La relación de orden en el conjunto de números racionales ( ℚ ) permite establecer cuando un

número es menor, igual (equivalente ) o mayor que otro número racional.

Existen varias maneras de comparar dos números racionales pero a los efectos de simplificar los

cálculos desarrollaremos el procedimiento más práctico de resolución que recibe el nombre de

“método cruzado”. Se le asigna este nombre al método por el intercambio de productos

(multiplicaciones) entre dos números racionales y esto implica multiplicar el numerador de la

primera fracción con el denominador de la segunda fracción y por otra parte se debe multiplicar el

denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción. Finalmente se

comparan los productos resultantes y se establece el orden correspondiente.

Supongamos que queremos comparar una fracción con otra fracción … el

procedimiento a seguir sería el siguiente:

a) < si a . d < b . c

b) > si a . d > b . c

c) = si a . d = b . c

Ejemplos:

Establecer el orden correspondiente entre cada uno de los siguientes pares de números

racionales…

1)

2)

3)

4)

3

2 5

9

45 −

2

1

5

3 −

b

a

d

c

b

a

d

c

) menor (

) mayor ( b

a

d

c

) eequivalent ( b

a

d

c

6

5

3

10 −

4

3

2

5 −

3

7 −

9

21 −

7

2

13

17 −




5)

6)

7)

Problema N° 1:

Fernando y Francisco pidieron dos pizzas para el almuerzo, una de jamón y la otra de cebollas.

Fernando comió 9

2 de la pizza de jamón y

5

3 de la pizza de cebollas mientras que Francisco

comió 8

3 de la pizza de jamón y

7

2 de la de cebollas.

a) ¿ Quién de los dos comió la mayor cantidad de pizza de jamón ?

b) ¿ Cuál de los dos amigos fue el que comió la mayor cantidad de la pizza de cebollas ?

Dejar un espacio considerable para la resolución …

Problema N° 2:

El edificio donde vive Carlos los ingresos obtenidos se emplean de la siguiente

forma: 9

4 para pagar la electricidad y el agua;

12

5 se destinan a pagar los gastos de arreglos

y mantenimiento del edificio y 36

5 de los fondos se utilizan para comprar elementos de

limpieza.

a) ¿ En cuál de los tres rubros se destina la mayor fracción de los ingresos del edificio ?

b) ¿ En qué rubro se emplea la menor fracción de tales ingresos ?

5

2 3

4

3 3

9

8 7

17

10 6

3

25 − 4

3 8 −




ACTIVIDADES:

1) Aplicar el método cruzado, si es que fuera necesario, para establecer el orden correspondiente

entre cada uno de los siguientes pares de números racionales:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2) Ordenar de mayor a menor los siguientes números racionales:

; ; ; ; ;

3) Resolver cada uno de los siguientes problemas:

* Problema N° 1:

Tres hormigas suben por un poste intentando llegar hasta su nido que está en

la cima del mismo. La primer hormiga subió 8

3 de la longitud del poste ; la segunda hormiga

alcanzó 16

7 de la extensión vertical del parante mientras que la tercer hormiga trepó

5

2 de

la altura del mismo poste.

a) ¿ Cuál de las tres hormigas llegó más cerca de la cima del poste ?

b) ¿ Cuál de ellas quedó más cerca del suelo ?

* Problema N° 2:

Esteban, Ignacio y Ariel obtuvieron los tres primeros puestos en una competencia

de estilo libre de natación. Esteban logró un tiempo de 13

12 del record de la competencia; Ignacio

15

13

52

61

17

9 −

205

108 −

18

29 −

108

174 −

9

7 5

5

2 8 −

9

7 10 −

12

7 9 −

19

85

14

1 6

12

7 7 −

12

5 9 −

8

3 3 −

25

29 −

2

1 4

3

13

5

14

4

7 −

3

1 1 −

7

21 −




empleó un tiempo de 12

11 con respecto al record mientras que Ariel finalizó con un tiempo de

14

13

del record de la competencia acuática.

a) ¿ Cuál de los tres competidores ganó finalmente la competencia de natación ?

b) ¿ Cuál de los jóvenes finalizó en segundo lugar y quién en tercer lugar ?

* Problema N° 3:

Tres alumnos de un mismo curso, Ana, Santiago y Felipe viven exactamente a igual

distancia del colegio pero en distintas direcciones con respecto al mismo. Cada mañana parten desde

sus respectivas casas. Luego de 11 minutos de caminata, Ana recorrió 5

2 del trayecto; Santiago,

en el mismo tiempo, recorre 20

7 del trayecto mientras que Felipe, también en 11 minutos,

transita 11

3 del recorrido hacia el colegio.

a) ¿ Cuál de los tres estudiantes queda más cerca del colegio luego de 11 minutos de caminata ?

b) ¿ Cuál de los tres jóvenes es el que queda más cerca de su propia casa tras los 11 minutos de

haber caminado ?

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