COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA · tanto números naturales como números con expansión...

3

UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

COORDINACIÓN ACADÉMICA

Antología de Matemáticas

Nivel Noveno

Año: 2018

4

Información administrativa

El CONED agradece al Msc. Jorge Alonso Díaz Porras oriundo de Heredia y graduado

de la Universidad Nacional y a la Lic. Annia María Marín Alvarado oriundo de Moravia

y graduada de la Universidad de Costa Rica por la elección y presentación de los

temas del presente material, así como el aporte a la educación secundaria a

distancia.

Las denominaciones empleadas en esta publicación la forma en que aparecen

presentados los datos, no implican de parte del CONED y la UNED juicio alguno

sobre la condición jurídica de personas o países, territorios, ciudades o de

autoridades

MATERIAL SIN FINES COMERCIALES PARA USO EXCLUSIVO DE

ESTUDIANTES DEL COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

CONED

Dirección General: Clara Vila Santo Domingo

Coordinación Académica: Paola Mesén

Coordinador de área: Jorge Díaz Porras

Teléfonos 22-58-22-09 / 22-55-30-42 / 22-21-29-95

Página Web: http//www.coned.ac.cr

© 2018, CONED.

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Tabla de contenido Capítulo 1 Números (nivel 9)

Objetivos generales 7 Lista de conceptos claves 7 Introducción 8 Tema 1 Números Irracionales 5 Ejercicios 22,32,34 Tema 2 Números Reales 37 Ejercicios 43,51,59,62,65,67 Tema 3 Cantidades Grandes y Pequeñas 71 Ejercicios 76 Practica Unidad 1 79

Capítulo 2 Geometría (nivel 9) Objetivos generales 87 Lista de conceptos claves 87 Introducción 88 Tema 1 Teorema de Pitágoras 88 Ejercicios 94, Tema 2 Distancia Entre dos Puntos 105 Ejercicios 111 Tema 3 Trigonometría 115 Ejercicios 119,128,145,156 Tema 4 Visualización Espacial 163 Ejercicios 172,175 Práctica de la Unidad 2 187 Ejercicios 167

Capítulo 3 Relaciones y Algebra (nivel 9) 203 Objetivos Generales 203 Lista de Conceptos Claves 203 Introducción 204 Tema 1 Función Cuadrática 204 Ejercicios 211

Tema 2 Expresiones Algebraicas 217 Ejercicios 222,227,232,236,239,243,248,252,257,266 Tema 3 Ecuaciones Cuadráticas 301 Ejercicios 205,211, 216, 226,332 Tema 4 Funciones Cuadrática 335 Ejercicios 342,349 Práctica de la Unidad 2 349

Capítulo 4 Estadística Y Probabilidad (nivel 9) 363 Objetivos Generales 363 Lista de Conceptos Claves 363 Introducción 363 Tema 1 Variables 364 Ejercicios 383, 385 Tema 2 Probabilidad 401 Ejercicios 410 Practica Unidad 4 420

Bibliografía 430

7

Capítulo I Números

Conceptos clave

1. Irracionales

2. Racionales

3. Recta numérica

4.Cantidades

pequeñas

5.Cantidades Grandes

6.Expancion decimal

7.Reales

8.Operaciones

9.Periodica y no

Periódica

Objetivos

Al finalizar el capítulo el estudiante deberá estar en capacidad de:

1. Comparar números reales en sus diferentes representaciones

2. Seleccionar y aplicar métodos y herramientas para calcular y operar con números reales

3. Utilizar la estimación, el cálculo mental, el papel y lápiz o la calculadora, según sea el

caso, para el cálculo de operaciones con números enteros, racionales y reales.

4. Plantear y resolver problemas en diferentes contextos donde se requiera el uso de las operaciones y representaciones numéricas.

5. Utilizar diferentes representaciones para identificar y representar números

racionales e irracionales

Nuestro primer

desafío matemático,

un paso más para

aprender

8

Introducción

Al ingresar al Tercer ciclo cada estudiante trae la habilidad de comparar y operar tanto números naturales como números con expansión decimal hasta la

diezmilésima. La potenciación se trabaja en 6° Año pero con ejemplos muy básicos, principalmente de cuadrados y

cubos perfectos. Con respecto a las fracciones, domina sus

diferentes representaciones y su operatoria. Conoce algunos conceptos de la teoría de números, como por ejemplo

número primo, compuesto, divisores, múltiplos, entre otros. La conceptualización de los números enteros, racionales,

irracionales y reales junto con su operatoria, son temas fundamentales en este ciclo y en toda la enseñanza Secundaria.

En este ciclo se aborda el cálculo de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potenciación y radicación para los números enteros

Deseamos que este curso pueda resultarles de gran provecho y sobre todo de

motivación para avanzar en los cambios que en la enseñanza y aprendizaje de las

matemáticas requieren nuestros niños y jóvenes.

Situación Problema

Observe los siguientes números

1,217391304347826086695652173913043478260866956521739130434782608

66956521739130434782608669565217391304347826086695652173913043478

26086695652173913043478260866956521739130434782608669565217391304

34782608669565217391304347826086695652173913043478260866956521739

13043478260866956521739130434782608669565217391304347826086695652

17391304347826086695652173913043478260866956521739130434782608669

56521739130434782608669565217391304347826086695652173913043478260

86695652173913043478260866956521739130434782608669565217391304347

82608669565217391304347826086695652173913043478260866956521739130

43478260866956521739130434782608669565217391304347826086695652173

91304347826086695652173913043478260866956521739130434782608669565…

Tema 1 Números Irracionales

9

Caracterice estos números, determinando semejanzas y diferencias entre ellos.

Análisis de la actividad

Esta actividad tiene por objeto comenzar a establecer la existencia de números

irracionales mediante la exploración de su notación decimal. Es claro que después de una minuciosa revisión de las cifras de los tres números anteriores se puede

destacar una característica común a ellas y es que su expansión decimal es infinita. Con respecto a las diferencias se puede observar que los dos últimos números

tienen la particularidad de que su expansión decimal

Uno como tutor no tendrán dificultad en notar que el segundo y el tercer número

son aproximaciones de e y π respectivamente. Es probable que si esta actividad es desarrollada por el estudiante, quizás reconozca el número π.

10

En el contexto estudiantil es importante que la actividad promueva la identificación

de números que son racionales y los que no lo son, apoyados en la experiencia que éstos han adquirido en 8° Año en el tratamiento de los primeros.

Es importante que al identificar el primer número de esta actividad como racional,

hay que tener presente que se puede expresar como el cociente de dos números

enteros. Se puede cuestionar si los otros dos números pueden ser expresados de esa forma.

Esta actividad puede servir como una oportunidad para introducir los números

irracionales por medio del componente histórico.

Todo lo anterior permite sentar una base para que se pueda formalizar con los estudiantes el concepto de número irracional y sus diversas formas de

representación.

Nota: Previamente es importante discutir cómo el nacimiento de nuevos tipos de

números obedece a la necesidad del hombre por representar y modelar situaciones que no se ajustan a la realidad o las formas de representación numérica existentes.

Repaso de conjuntos numéricos:

1) Números Naturales ( IN ): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

11, 12, …..

Ejercicio: Complete los espacios utilizando uno de los símbolos

según corresponda:

a) -10 ____IN b) 884 _____IN c) 7

1 _____IN d) 24,00_____IN

e ) 1

5 _____IN f)

5

8_____IN g)

7

4 ____IN h)

18

6 _____IN

i) 9,25 _____IN

2) Números Enteros ( ):

……. –7 , –6 , –5 , –4 , –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , ……

11

Ejercicio: Complete los espacios utilizando uno de los símbolos ,

según corresponda:

a) 12

1 _____ c) 8,72 _____ e)

2

11 _____ g)

4

5 _____

b) 14, 6 _____ d) 8,727272… _____ f) –24,0 ______

*Nota: Los números naturales son un subconjunto de los números enteros.

Simbólicamente se escribe así: IN

3) Números Racionales ( Q ):

El conjunto de los números racionales está formado por todos los números

naturales, los números enteros, las fracciones, los números con expansión

decimal finita y los números con expansión decimal infinita periódica.

Ejemplos de números racionales:

1

2

8

3 0 1 –7 2,125 –9,6 12,314 5,03

17

5

228

3

12

Ejercicio: Escriba ó según corresponda.

a) –9 _____ g) 2

9 ______ IN

b) 12 _____ – h) 3,75 ______ Q.

c) 8

3 _____ Q + i ) –2,9 ______

d) –3 _____ IN j ) 47,28 _______ IN

e) 1

5 ______ k)

28

5 ______ Q

f) 16 ______ IN l ) –15 ______ Q –

*Nota: El conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de

los números enteros, y los números enteros son un subconjunto del conjunto de

los números racionales. Simbólicamente se escribe así:

IN Q

También se puede representar por medio de un esquema como el siguiente:

Ejercicio: Escriba ó según corresponda.

a) IN h) Q – ____ Q

b) IN _____ Q i ) ____ IN c) Q j ) Q ____

Q+ Q – k) – ____

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La clave

Un número irracional es un número que no se puede escribir como el

cociente indicado de dos números enteros (una fracción). Ejemplo: π es

un número irracional. Su valor aproximado es 3,1415926535897932384626433832795… La expansión decimal no sigue ningún

patrón, por lo que se dice que este tipo de números tiene expansión decimal infinita no periódica.

Números irracionales famosos

Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:

3.1415926535897932384626433832795 (y

sigue...)

El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras

decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:

2.7182818284590452353602874713527 (y

sigue...)

La razón de oro es un número irracional. Sus

primeros dígitos son:

1.61803398874989484820... (y más...)

Varias escuelas celebran el día de Pi el 14 de marzo. Usa la caricatura para

sugerir por qué se usa ese día y a qué hora comienza la celebración. (En inglés el nombre de la letra Pi suena pai.)

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/pi.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/e-euler-numero.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/razon-oro.html

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Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos

3 =1,7320508075688772935274463415059…

99 = 9,9498743710661995473447982100121…

Pero 4 = 2, y 9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales

Los números irracionales son aquellos que tienen expansión decimal infinito y

no periódico.

Ejemplos de números irracionales:

a) –6,712935148862….. c) e = 2,7182818284….

e) 3 = 1,73205080…. b) = 3,1415926535897…..

d) – 2 = –1,41421356…

CRITERIOS PARA IDENTIFICAR Y CONSTRUIR NÚMEROS IRRACIONALES

Son números irracionales:

Ejercicios

1) Escriba ó según corresponda:

a) 4 ____ Q c) 3 9 ______ II e) 4 81 _______ II

b) – 100 _____ Q d) 5 2 ______ Q f) – 20 _______ II

Cualquier

raíz de un

número

primo

La raíz de cualquier

número natural, que no

es la enésima potencia

de otro natural

Algunos números

especiales

Todo

número

cuya

parte

decimal

sea

infinita y

no

periódica.

86 19 ,7 , 5

3106 5 ,2 ,11 , 18

...71828,2 ...141592,3 e

15

2) Clasifique los siguientes números como racionales o irracionales:

a) 5 ______ e) 5 6 4 _______ i) 4, 21 8 ________

b) 3

7 ______ f) 0 _______ j) 3

27

8

_______

c) –7, 5 ______ g) 31

2 _______ k) 4

25

16 _______

d) – 3 12 ______ h) – 529 _______ l) 0, 12434343… _______

Un número irracional es el que tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Además, no se puede expresar como una fracción.

El conjunto de los números irracionales se representa por II.

Ejemplos

¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1 cm?

Aplicamos el Teorema de Pitágoras y calculamos la diagonal del cuadrado:

Los números irracionales son números decimales con un número ilimitado de cifras decimales no periódicas que no se pueden expresar en forma de fracción y,

por lo tanto, no son números racionales.

Puedes comprobar con tu calculadora que 2 tiene infinitas cifras decimales no

periódicas y no se puede expresar como una fracción. Por eso decimos 2 que es

un número irracional.

Al calcular números irracionales en la calculadora, debemos tener en cuenta que lo

que vemos en la pantalla es una aproximación. Observa el resultado de 2

16

Situación Problema Demostrar que √2 es un número irracional.


Este tipo de actividad debe servir como un elemento que permite fomentar

procesos de argumentación matemática. Por otra parte, el incluir elementos de teoría de números permite establecer conexiones con otros temas matemáticos.

Esta demostración se realizará por contradicción, la cual se encuentra en Elementos de Euclides, el texto con un mayor número de ediciones publicadas

después de la biblia. Cabe destacar que existen otras demostraciones de índole geométrica y analítica para esta misma situación.

Supóngase que √2=𝑝 donde el máximo común divisor de 𝑝 y de 𝑞 es 1.

Elevando al cuadrado a ambos miembros, se tiene

22

2

2

2

2 2

2

2

2

p

q

p

q

q p

De lo anterior, 𝑝2 es múltiplo de 2, por lo que 𝑝 es múltiplo de 2 y puede ser

expresado de la forma =2𝑘, k entero. Luego, 2𝑞2= (2𝑘)2=4𝑘2

𝑞2=2𝑘2

Con lo cual, 𝑞2 es múltiplo de 2 y 𝑞 es múltiplo de 2. Así, 𝑝 y 𝑞 son múltiplos de 2,

lo que contradice nuestra suposición inicial. Por lo tanto, √2 tiene que ser irracional.

Nota: Esta demostración clásica permite trabajar algunos elementos de la lógica,

tales como el significado de la demostración por contradicción, donde se parte de un supuesto verdadero hasta llegar a una proposición que contradice dicho

supuesto, así como los métodos de inducción y deducción. Además se utilizan conceptos básicos de teoría de números.

Ejemplos Identifica y clasifica los siguientes números en racionales o irracionales.

a) 4,3235325… Irracional b) 3,010010001… Irracional c) 2,3334545… Racional d) 0,098 Racional e) 9,17173797… Irracional f) 5,9865798657… Racional

¿La expresión (π+ 2) es un número racional o irracional?

17

Ejemplo

De acuerdo con lo estudiado hasta ahora es claro cuáles, de los números que se

muestran a continuación, son racionales o irracionales.

a) 2

0, 45 es un número racional

b) 8,15436 es un número racional

c) -2, 10100100010000… es un número irracional

d) 1312 1,21063... es un número irracional

e) 5, 1616161616… es un número racional

f) - 2 es un número irracional

g) 3e es un número irracional

h) 2sen es un número irracional

Otros números irracionales

En sétimo y octavo año usted calculó la raíz cuadrada de números racionales como:

4, 49, 16

9, 0,25, 0,04, entre otros. Estos números tienen la característica de que se

obtienen al elevar un número racional al cuadrado.

Surge entonces la pregunta, ¿será posible calcular la raíz cuadrada de números

racionales que no son cuadrados perfectos? Considere la siguiente situación:

En la figura 3 se muestra un cuadrado formado por la unión de cuatro triángulos

isósceles rectángulos, cuyos catetos tienen longitud 1:

Vale la pena

recordar

cómo calcular

el área de las

figuras

geométricas

que usen

Recuerde:

La raíz cuadrada de un número

racional positivo a es el único

número positivo b que elevado al

cuadrado es igual a a .

2a a b a

18

Cada uno de estos triángulos tiene un área de: 1 1

0,52

Como el área del cuadrado viene dada por la suma de las áreas de los cuatro

triángulos se tiene que el área del cuadrado es igual a 2:

0,5 0,5 0,5 0,5 2A

Si x representa la medida del lado del cuadrado que se muestra en la figura 3 (que

corresponde a la hipotenusa de cada uno de los triángulos rectángulos) debe

cumplirse entonces que 2 2x . Luego se concluye que debe existir un número cuyo

cuadrado sea igual a 2.

El único número positivo cuyo cuadrado es igual a 2 se representa por 2 .

El concepto de raíz cuadrada era conocido por los sumerios alrededor del año 3 000

a.C. Esta Civilización, por métodos que aún se desconocen, llegó a resolver

problemas prácticos de mucha complejidad para su época. Por la necesidad de

calcular el área de la superficie cuadrada de un terreno, cuando conocían su lado,

construyeron tablas de cuadrados. Crearon tablas de raíces, al darse cuenta de que

si conocían el área de una superficie cuadrada, entonces sabían de inmediato la

longitud de su lado.

Alrededor del siglo V a.C., los griegos habían demostrado que 2 no es racional,

es decir, no es posible expresarlo como el cociente de dos números enteros: 2 es

un número irracional.

Un número irracional es aquel que no se puede expresar como el cociente de dos

números enteros. Su expansión decimal es infinita y no periódica.

Son números racionales por ejemplo: 3 16 1

, 7, ,47 125 2

y también

1,327272727..., 3,01201201 Son números irracionales por ejemplo: 2, , ,3

e

y

también 1,320332033320..., 51,010320425617...

¿Cómo determinar la expansión decimal de 2 ? O sea, ¿cómo resolver la ecuación2 2x ? o al menos ¿cómo encontrar un número racional que se aproxime lo más

posible a la solución de esta ecuación?

Para lograr una aproximación de 2 por números racionales, lo que es lo mismo,

buscar los primeros dígitos de su expansión decimal, se escogen dos números tales

19

que el cuadrado de uno de ellos sea menor que 2 y el cuadrado del otro sea mayor

que 2, como se muestra a continuación:

Si toma 1x se tiene que 21 1 y si toma 2x entonces 22 4 . Como 1< 2 < 4 el

número que se busca debe ser mayor que 1 y menor que 2. Considere ahora

1,1 1,9x y x y realice los cálculos entonces 2 2(1,1) 1,21 (1,9) 3,61y ; luego se puede

concluir que el número está entre 1,1 y 1,9.

De esta manera es posible acercarse más y más al número 2 tomando números

mayores que 1,1 y menores que 1,9 y calculando sus cuadrados. En efecto:

Si 1,4x entonces 2 1,96x








Si se continúa averiguando números cuyos cuadrados se acerquen a 2, jamás se

logrará determinar aquel cuyo cuadrado sea exactamente igual a él, ya que su

expansión decimal es infinita y no periódica. Sin embargo, mediante el método

anterior, se pueden determinar excelentes aproximaciones. Por ejemplo

1,4142135, se llama una aproximación por defecto, pues 2

1,4142135 1,99999998

que es menor que 2. Si 210 m 2 1,4142136 se llama una aproximación por

exceso, dado que 2

1,4142136 2,00000001 y es mayor que 2.

Así x=1,4142135 satisface aproximadamente la ecuación 2 2x . Lo mismo que x =

- 1,4142135, ya que 2

1,4142135 1,99999998 .

20

Para expresar el número cuyo cuadrado es igual a 2, se escribe 2x de lo que se

concluye, que:

2 2x si y solo si 2x ó 2x

Se dice también que la solución x es igual a más (menos) la raíz cuadrada de 2, lo

que se acostumbra escribir como:

2 2x si y solo si 2x

Ahora se sabe que 2 es un número irracional, y por ende su expansión decimal

es infinita y no periódica, a veces usted se podría ver en la necesidad de acercarse

a él mediante un número racional. En la práctica, si al resolver un problema del

entorno aparece un número irracional, es necesario aproximarlo por exceso o por

defecto a un racional. Puesto que no se acostumbra comprar en la ferretería 2

metros de cable o 4 210 m de cerámica.

Así, ya se está en capacidad de decir que el lado del cuadrado de la figura 3 mide

aproximadamente 1,4142135 o que es igual a 2 .

Ejemplo 1

Determine la solución de la ecuación 2 5x .

Solución

Si 2 5x , entonces 5x o bien x≈2,236068 o x≈-2,236068.


Solución

Si 2 17x , entonces 17x o bien x≈4,1231056 o

X≈-4,1231056.

Además de 2 , existen muchas otras raíces cuadradas de números racionales que

son irracionales. En general la raíz cuadrada de un número que no se pueda

expresar como el cuadrado de otro racional es un irracional.

21

Ejemplo:

3 es irracional, porque 3 no es cuadrado perfecto.

5

3 es irracional, porque no existe ningún número racional que elevado al

cuadrado sea igual a5

3.

0,1es irracional porque no existe ningún número racional que elevado al

cuadrado sea igual a 0,

También son números irracionales:

3 6 porque no existe ningún número racional que elevado al cubo sea igual a

6.

5 16 porque 16 no se puede expresar como una

potencia de un número racional de exponente 5.

32

3porque no existe ningún número racional que

elevado a la 3 sea igual a2

3.

7 10 porque no existe ningún número racional que

elevado a la 10 sea igual a 7.

La raíz cúbica de un número que no es el cubo de un

número racional es irracional; la raíz cuarta de un

número que no es una potencia de cuatro de un número

racional es un número irracional, etc. En general la raíz

n-ésima, n a , de un número a , n que no es una

potencia de n de un número racional, es un número

irracional y son llamados números algebraicos.

Ejemplo 2

a) Determine la solución de la ecuación 3 5x .

Solución

b) Si 3 5x , entonces 3 5x , puesto que

33 5 5 .

La raíz n-ésima, ,n n

par, de un número

racional positivo a es el

único número positivo

que elevado a la n es

igual a a .

nn a b b a

La raíz n-ésima, ,n n

impar, de un número

racional a es el único

número que elevado a la

n es igual a a

nn a b b a

22

b) Determine el conjunto solución de la ecuación 4 7x .

Solución

Si 4 7x , entonces 4 7x , puesto que 4

4 7 7 .

c)Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación es:

4 47, 7 .


Solución

Si 15 5x , entonces 15 5x .

Ejemplo 3

Determine la longitud de los lados de un cuadrado cuya área es igual a 15 2cm .

Solución

Recuerde que si la longitud de los lados de un cuadrado es x cm , entonces su área A

es 2A x .Por lo tanto, si el área es igual a 15 2cm , se tiene que 2 15x , entonces la

longitud de cada uno de los lados es 15x .

Observe que 15x también es una solución a la ecuación planteada, pero en

este caso no tiene sentido considerarla, ya que x representa la medida de un lado

del cuadrado y por ende una magnitud positiva.

Ejemplo 4

De acuerdo con lo estudiado hasta ahora es claro cuáles, de los números que se

muestran a continuación, son racionales o irracionales.

a) 2

0, 45 es un número racional

b) 8,15436 es un número racional

c) -2, 10100100010000… es un número irracional

23

d) 1312 1,21063... es un número irracional

e) 5, 1616161616… es un número racional

f) - 2 es un número irracional

g) 3e es un número irracional

h) 2sen es un número irracional

Ejercicios

1) Diga cuáles de los siguientes números son irracionales y explique su respuesta.

a) 3,14 b) 225 c) 2,12122122212222… d) 4 8

e) -4,123123123123… f) e g) 3

h) 2 2

i) -1,4142 j) log5 k) 5 32 l) 2 1e

2) Use la calculadora para encontrar una expansión decimal que aproxime los

siguientes números irracionales:

a) e b) -2 c) 2e d) 3 5 7 e) 3 5

3 f) sen 45°

3) Determine la solución de las siguientes ecuaciones:

a) 3 8x b) 6 2x c) 7 1x d) 5 25x e) 5 32x

El conjunto de los números irracionales, está formado por todos los números

estudiados en esta sección y aquellos que comparten la característica de ser

expresados como una expansión decimal infinito y no periódico.

24

Ejercicios

1) Diga cuáles de los siguientes números son irracionales y explique su

respuesta.

a) 3,14 b) 225 c) 2,12122122212222… d) 4 8

e) -4,123123123123… f) e g) 3

h) 2 2

i) -1,4142 j) log5 k) 5 32 l) 2 1e

2) Use la calculadora para encontrar una expansión decimal que aproxime los siguientes números irracionales:

a) e b) -2 c) 2e d) 3 5 7 e) 3 5

3 f) sen 45°

3) Determine la solución de las siguientes ecuaciones:

a) 3 8x b) 6 2x c) 7 1x d) 5 25x e) 5 32x

4) Determine cuáles de los siguientes números son irracionales

1) 9 6) 6 7 11)1,010010001…

2) 10 7) 3 125 12) e

3) 16 8) 4 100 13) 45sen

4) 22 9) 5log 125 14)

1

7

5) 25 10) 6log 4 15) 0

6) Escribe 5 ejemplos para cada uno de los criterios que sirven en la

identificación de números irracionales.

25

7) Responde:

a. ¿Qué es un número irracional?

b. ¿Cuál es la diferencia entre número racional y número irracional?

c. ¿Por qué afirmamos que el número es irracional?

8) Indica cuáles de las expresiones que siguen representan números racionales y

cuáles números irracionales.

a. 0,37 f. 2,2360679...

b. 0,13666... g.

c. 5/13 h. 2 /3

d. 22/7 i. 2 + 3

e. 2 j. 9

9). Escribe en tu cuaderno falso (F) o verdadero (V) según corresponda. Justifica

tu respuesta.

a. 5 es un número racional. b. 2,5 es un número irracional.

c. 2 es un número racional d. 10 es un número irracional

e. Los números irracionales son racionales. f. Ningún número entero es racional

g. Algún número entero es racional. h. Ningún número irracional es entero

26

i. Todo número natural es entero j. Al menos un número irracional es racional

k. Algún número racional no es irracional l. Ningún número irracional es entero.

10) Copia este diagrama de Venn en tu cuaderno y ubica en la región

correspondiente cada uno de los siguientes números

a. 2,5 d. 18 g. 8/3

b. 6 e. 1,41 h. ¾

c. -3 f. 0 i. 25

11). Indica cuáles de las siguientes cantidades son una representación de número

irracional y cuáles no.

a. 5 e. 3 9

b. 4 f. 4

1

c. 9 g. 04,0

d. 3 4 h.

3 8

Q

Z N

27

Historia

Uno de los pueblos de Mesopotamia, los sumerios, determinó la relación:

3diámetrodellongitud

nciacircunfereladelongitud

Así, si la circunferencia medía 60 codos, el diámetro debía medir 20 codos.

Descubrieron que si usaban otras unidades de medida, por ejemplo, la palma de la

mano, la relación era la misma: si la longitud de la

circunferencia era 150 palmas, entonces el diámetro debía

medir 50 palmas: De esta manera, los sumerios, habían

encontrado un número que miles de años después sería

llamado pi (π) por el gran matemático Suizo Leonard Euler

(1707-1783).

Posteriormente, alrededor del año 3 000 a.C., al aparecer

las fracciones, fue posible efectuar mediciones con mayor

precisión, lo que permitió a los matemáticos babilonios

trabajar este cociente como:

8

13

diámetrodellongitud

nciacircunfereladelongitud o lo que es igual a 3,12..

Paralelamente a la sumeria se desarrolló la civilización

egipcia y alrededor del año 3 000 a.C., en un intento por

determinar el área del círculo sus matemáticos

establecieron que pi (π) era igual a:

1 193 3,16

6 6 .

Según la Biblia, durante el imperio de David y Salomón, los hebreos manejaron el

número pi (π) como 3.

Durante miles de años se creyó erróneamente que el número pi (π) se podía escribir

con una cantidad finita de decimales, es decir, que era un número racional. Esto,

debido a que los métodos de cálculo eran ineficientes y al hecho de que los

matemáticos recientemente estaban descubriendo las diferentes clases de

números.

El codo fue una unidad de

longitud usada en varias

culturas y era la distancia

entre el codo y el final de la

mano abierta. Variaba de

un lugar a otro. La figura

muestra el codo egipcio

(0,45m) del Siglo XIV a.C.

que se encuentra en el

Museo de Louvre. París,

Francia.

28

Debido a problemas económicos, políticos y de migración, estas civilizaciones

desaparecieron y otras crecieron en su lugar. Una de ellas fue la griega y su cultura

se extendió aproximadamente, del año 700 a.C. al año 300 d.C. Pero aún ellos,

continuaron creyendo que pi (π) se podía expresar con una cantidad finita de

decimales. Por ejemplo, Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.) lo calculó como)

14,36

22

7

13 .

Al desaparecer el imperio griego resurge el romano (II a.C.- V d.C.) cuyo aporte al

desarrollo de la matemática fue muy pobre. Sus aportes se dieron en el campo de

las leyes y la administración.

Al surgir el imperio Árabe se enriquece la matemática y en particular el estudio del

número pi (π). Cuando desaparece a fines del Siglo XV florece el Renacimiento en

Europa y durante todo este tiempo los matemáticos continuaban creyendo que pi

(π) era un número racional. Sin embargo, conforme la humanidad iba mejorando

sus métodos de cálculo, los decimales de π iban en aumento y al no hallarse un

periodo en su expansión decimal, se empezó a dudar de su racionalidad. Observe

algunos datos indicando aproximaciones de π

Los Hindúes Siglo I 3,004

Los Chinos Siglo III 3,14159

Los Hindúes Siglo IV 3,141692

Los Chinos Siglo V 3,1415926

Los Árabes Siglo XV 3,1415926535897932

Los

Italianos

Siglo XVI 3,14159265358979323

Los Belgas Siglo XVII 3,14159265.... 35

decimales

Los ingleses Siglo

XVIII

3,14159265.... 127

decimales

El matemático alemán Ferdinand Von Lindeman demostró, en 1882, que: el número

π no era racional, por lo tanto dicho número no podía expresarse como una fracción

y en consecuencia su expansión decimal tenía que ser infinita y no periódica. Es

decir, se estaba en presencia de un número irracional.

Babilonios, (4 000 a.C.), 3

Babilonios, (3 000 a.C.), 3,12

Egipcios, (3 000 a.C.), 3,16

Hebreos, (4 000 a.C.), 3

Griegos, (300 a.C.), 3,14

29

Situación Problema

Determine entre qué par de números naturales se encuentra el

número 33


Este problema tiene por objeto hacer uso de la estimación para realizar

aproximaciones de raíces cuadradas y se espera que el mismo se pueda generalizar

para los casos de raíces cúbicas, cuartas, etc. Aquí sería muy fácil hacer uso de la

calculadora, pero no se debe perder de vista que la estimación es una habilidad

muy importante que se debe ejercitar constantemente para facilitar la resolución

de ciertos ejercicios, por lo que esta actividad constituye una oportunidad para ello.

Se pueden retomar elementos trabajados por el estudiante en años anteriores. Por

ejemplo, la relación que existe entre las potencias y las raíces.

3 37 343 343 7 De ese modo, se puede recurrir a la noción de potencia para

ir realizando aproximaciones

22 4 23 9 24 16 25 25 26 36

25 33 36

25 33 36

con lo que

O sea , 33 se ubica enrtre 5 y 6 Como detalle complementario es interesante

exponer el método utilizado por los babilonios para aproximar una raíz cuadrada.

La clave

Utilice su calculadora para obtener una aproximación racional para los

números √999999999991 y √999999999999

b. ¿Considera usted que los números anteriores son iguales

En algunas ocasiones puede utilizarse la calculadora para obtener aproximaciones

decimales a los números irracionales con el objeto de determinar su posición en la

recta numérica. No obstante, debido a la limitada cantidad de dígitos que pueden

mostrarse en las pantallas de las calculadoras, no siempre es posible utilizarlas

para establecer el orden entre dos o más números.

Por ejemplo, en muchas calculadoras los números√999999999991 y aparecen

aproximados por el mismo número racional, a pesar de que ambas raíces son

30

distintas. Si deseamos saber cuál de las raíces anteriores es mayor, la calculadora

no será de mucha ayuda, por lo que tendremos que emplear un procedimiento

distinto.

En este caso, como los índices de las raíces son iguales, bastara con que

comparemos sus subradicales.

Así √999999999991 y √999999999999 pues 999 999 999 991 < 999 999 999

999.

Algunas veces es conveniente saber que tan buenas son las aproximaciones que

utilizamos. Si tenemos dos aproximaciones racionales de un mismo número,

diremos que la mejor de estas aproximaciones es la que esta más cerca de su

verdadero valor.

Cuando el valor que se utiliza para aproximar una cantidad es menor que su valor

real, se dice que se tiene una aproximación por defecto. Si el valor aproximado es

mayor que su valor real, se dice que se tiene una aproximación por exceso.

Ejemplo

1. Utilice su calculadora para determinar la segunda potencia de cada uno de

los números racionales que se anotaron en la primera fila de la siguiente

tabla. Anote cada resultado en la casilla que se ubica bajo el número

correspondiente

x 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

X2 1 4

2. ¿ entre cuáles de los números racionales del arreglo anterior se ubica 2

3. Explique por qué se puede asegurar 1,4 aproxima por defecto a 2

4. Explique por qué se puede asegurar 1,4 aproxima por exceso a 2

5. Utilice su calculadora para determinar la segunda potencia de cada uno de

los números racionales que se anotaron en la fila en la siguiente tabla. anote

cada resultado en la casilla que se ubica bajo el número correspondiente

x 1,4 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,5

X2 1,96 2,25

¿Entre cuáles de los números racionales del arreglo anterior se ubica el

número√2? Observe

Si se tiene una aproximación por defecto y una por exceso, se puede utilizar su

semisuma para acelerar el procedimiento anterior1,41 1,42

1,4152

31

Dado que 2

1,415 2,002224 2 podemos asegurar que 1,41 2 1,415 . Tenemos

entonces que 1,415 se aproxima por exceso a 2 con dos cifras decimales con

exactitud

Ahora podemos calcular la semisuma de 1,41 y 1,415,

Esta vez 1,41 1,415

1,41252

se aproxima por defecto al valor de 2 ( por

qué?)

Observe que con el conocimiento anterior obtuvimos una mejor

aproximación del valor real de 2 , si embargo , dado que 1,4125 y

1,415 coinciden hasta la segunda cifra decimal , solo tenemos con certeza que las

primeras dos cifras decimales de nuestra aproximaciones coinciden con el valor real

que buscamos

Es claro que este procedimiento puede repetirse tantas veces como sea necesario

a fin de obtener aproximaciones cada vez más cercanas al valor real de 2

Un numero Real puede tener diferentes representaciones , por ejemplo 2

2 y

también 1

2 . También podemos calcular expresiones como 25 3 donde obtenemos

22 . Podemos verificar también que 12 2 3

Analicemos la situación

¿ Entre que par de numeros consecutivos esta 50 ?Podemos ver que 50 es un

numero irracional que esta entre 7 y 8 más cercano a 7

. Determine tres números irracionales que están entre 9 y 10

Es sencillo como 81 es 9 y 100 es 10, todas las raíces cuadradas a partir de

81 y antes de 100 van a estar entre 9 y 10

Ejemplos

1. Determine dos números irracionales entre 12 y 13

Primero 212 144 y 213 169 entonces todas las raíces cuadradas después de

144 y antes de 169 están entre 12 y 13

145 12,0415946......

168 12,9614813968....

Son números que están entre 12 y 13

32

Ejercicios

1) Escriba entre cuáles números enteros consecutivos se encuentra cada una de las siguientes raíces:

a) ______ 21 ______ d) ______ – 5 1000 ______

b) ______ 4 925 ______ e) ______ – 209 ______

c) ______ 3 19 ______ f) ______ 3 254 ______

2) Clasifique los siguientes números como racionales o irracionales:

a) 5 ______ e) 5 6 4 _______ i) 4,21 8 ________

b) 3

7 ______ f) 0 _______ j) 3

27

8

_______

c) –7, 5 ______ g) 31

2 _______ k) 4

25

16 _______

d) – 3 12 ______ h) – 529 _______ l) 0, 12434343… _______

3) Determine 3 numeros irracionales estre los siguinetes numeros

a) 5 y 6

b) 21y 22

c) -3y-4

d) -26y-27

e)

4) Pruebe que 2 5 6 8 3

5) Encuentre dos números consecutivos a y b que cumplan 45a b

6) Determine entre cuales nuemeros enteros se encuntre los suiguientes

numeros irracionales

a. 3 7 b. 15 c. 3 27

d. 5 e. 3 17 f. -e

g. 34

h. 2

e

i. 3

33

7) ¿Cuál es el mayor de los números anteriores?

8) Ordene de forma descendente (de mayor a menor) los números de la parte

6.

9) Ubique los números de la parte 1 en la siguiente recta numérica

periódica. Es decir, se estaba en presencia de un número irracional.

10) Escriba dos números irracionales que estén entre los números dados.

1) 1 ___ , ___ 2 2) 2 ___ , ___ 3 3) 5 ___ , ___ 6 4) 9 ___ , ___ -8

5) 12 ___ , ___- 11 6) 4 16 ___, ___ 12

3 7) 4 ___, ___ 3 125

8) 23 ___, ___ 6 9) 10 ___, ____ 9 10) e ____, ___

11) 5e ____, ___ 2 e 12) -e ____, ___ 6

5

13)

17

2

___, ____ - 2 e

Orden de los números irracionales

Los números irracionales al igual que los números enteros y racionales

mantienen una relación de orden, por lo tanto se puede comparar con

otros números y determinar cuáles son mayores o menores según sea

el caso.

Vamos a ordenar los siguientes números de menor a mayor:10

29 9 2 32

Tenemos que

29 5.385164807.....

105

2

9 3

2 3 3.464101615...

Así podemos ordenar de menor a mayor10

9 2 3 292

34

Recordemos que las cantidades están ordenadas de menor a mayor .Por

lo tanto siempre más a las izquierda van los menores y más a ala derecha

van las mayores

Ejemplos

1) 2 3 2 3 Por eso la misma expresión positiva es mayor que toda la

expresión negativa

64

5 Recordemos que

6

5 en su forma decimal es 1,2 por lo tanto es menor que 4

2 ) Complete con los signos <,>,= según corresponda

2 5 5 2 2 5 4,4721... 5 2 7,071....ya que

Ejercicios

1. Complete utilizando los símbolos , para cada uno de los

siguientes pares de números racionales e irracionales

37

Situación Problema

Observa los números y responde.

-27 3

5 16 1,353535… 7

a) ¿Qué números son naturales? 16

b) ¿Qué números son enteros? -27 16

c) ¿Qué números son racionales? -27 3

5 16 1,353535…

d) ¿Qué números son irracionales? 7

e) ¿Qué números son reales? -27 3

5 16 1,353535… 7

La Clave

El Conjunto de los números reales

En forma paralela a la aparición de las fracciones, surge el concepto de número

irracional, de manera que cientos de años a.C., con excepción de los números

negativos, ya se tenía idea, aunque no completa de lo que actualmente se llaman

números reales. Recuerde que los números negativos aparecen tardíamente en

la historia, pues se cree que los primeros en referirse a ellos fueron los hindúes

alrededor del siglo V d. C. pero no fue sino a finales del siglo XV, que fueron

aceptados como verdaderos números.

A finales del siglo XIX, se tenía una idea bastante precisa de cómo eran todos los

números; así que cuando Georg Cantor creó la teoría de conjuntos se empezó a

hablar del Conjunto de los Números reales.

¿Cómo está conformado entonces el conjunto de los números reales?

Este conjunto está formado por todos los números que se han estudiado desde

sétimo año hasta este momento.

Tema 2 Números Reales

38

El conjunto de los números reales contiene a todos los números estudiados hasta

ahora, es decir:

ℕ ⊂ 𝑍 ⊂ ℚ ⊂ ℝ y I ⊂ R.

La expansión decimal caracteriza a los números racionales y a los irracionales.

Así; un número es irracional si su expansión decimal es infinita y no periódica, por

el contrario la expansión decimal de un racional es infinita periódica o finita.

De manera que, un número no puede ser al mismo tiempo racional e irracional.

Dicho de otra forma, un número puede ser solamente racional o solamente

irracional.

Esto significa que la intersección de ambos conjuntos es vacía, es decir:

ℚ ∩ 𝕀 = ∅.

Se define la unión de ambos conjuntos como el conjunto de los números reales

ℚ ∪ 𝕀 = ℝ.

La unión de los números racionales (Q) con los números irracionales (II) forma un nuevo conjunto que se denomina el conjunto de los números reales (lR).

39

Ejemplos

El Conjunto de los Números Reales Positivos se denota por ℝ+ y se

define como:

ℝ+ = { 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 > 0}.

ℝ+ consiste en aquellos números reales que tienen signo positivo. Son ejemplos

de números reales positivos 𝑒, 2,4

5, √5 .

El Conjunto de los Números Reales Negativos se denota por ℝ− y se define

como:

ℝ− = { 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 < 0}.

ℝ− consiste en aquellos números reales que tienen signo negativo. Son ejemplos

de números reales negativos −𝑒, −2, −4

5, − √5.

Asimismo, se cumple que ℝ = ℝ− ∪ {0} ∪ ℝ+.

Ejemplo

1. Simplifique al máximo cada expresión matemática. Indique a su vez si cada

expresión es un número racional o irracional.

a) √49

Solución

√49 = √72 = 7 ∈ ℚ .

b) √8

Solución

√8 = √22 ⋅ 2 = 2√2 ∈ 𝕀 .

c) √25𝟑

Solución

√25𝟑

= √22𝟑= √25

𝟑∈ 𝕀 .

d) 8 13

Solución

813 = √8

3= √233

= 2 ∈ ℚ .

e) √−25𝟐

Solución

f) 64 12

Solución

40

√−252

∉ ℝ 6412 = √64 = √263

= 4 ∈ ℚ .

g) √32𝟒

Solución

√324

= √254= √25 ⋅ 2

4= 2√2

4∈ 𝕀 .

h) 8− 23 Solución

8− 23 =

1

√823 =1

√(23)23=

1

√263 =1

23

=1

8∈ ℚ .

i) √√6432

Solución

√√6432

= √646

= √266= 2 ∈ ℚ.

j) √144

49

2 Solución

√144

49

2

=√144

√49=

12

7∈ ℚ .

k) √−37 ⋅ 23 ⋅ 5105 Solución

√−37 ⋅ 23 ⋅ 5105= √−35 ⋅ 32 ⋅ 23 ⋅ 5105

= −3 ⋅ 52 √32 ⋅ 23 5= −75 √72

5∈ 𝕀 .

2. Simplifique al máximo √−26⋅59

78

3 e iindique a su vez si la expresión es un

número racional o irracional.

Solución

√−26 ⋅ 59

78

3

= √−26 ⋅ 59

76 ⋅ 72

3

= −22 ⋅ 53

72√

1

72

3

∈ 𝕀, ℚ

−22 ⋅ 53

72 √

1

72⋅

7

7

3

= −22 ⋅ 53

73 √7

𝟑∈ 𝕀.

=500

243 √7

𝟑∈ 𝕀

41

3. Discuta la validez o no validez de la siguiente proposición

√32 + 422= √322

+ √422= 3 + 4 = 7.

Solución La proposición es falsa porque

√32 + 422≠ √322

+ √422 .

4. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón:

a) 0,55555555...

b) 0,125689312... c) 1,3525252...

d) 0,75

Solución:

a) 0,55555555... RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede expresar en forma fraccionaria

b) 0,125689312... IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico. c) 1,3525252... RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede

expresar en forma fraccionaria d) 0,75 RACIONAL porque es un número decimal exacto

5. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón:

a) 1,3030030003...

b) 2,1245124512... c) 4,18325183251...

d) 6,1452453454...

Solución:

a) 1,3030030003... IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico. b) 2,1245124512... RACIONAL porque es un número decimal periódico y se

puede expresar en forma fraccionaria. Su periodo es 1245 c) 4,18325183251... RACIONAL porque es un número decimal periódico y se

puede expresar en forma fraccionaria. Su periodo es 18325 d) 6,1452453454... IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico.

42

7. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica

la razón:

a) 2

b) 23 c)

3

3 d)

1

100001

Solución:

a) 2

IRRACIONAL porque el numerador de la fracción es un número decimal no

periódico.

b) 23 IRRACIONAL, ya que la solución de la raíz tiene ilimitadas cifras decimales

no periódicos.

c) 3

3 IRRACIONAL, ya que el numerador de la fracción tiene ilimitadas cifras

decimales no periódicos.

d) 1

100001

RACIONAL porque el cociente de la fracción es un número decimal

periódico.

8. Utilice los símbolos ∈, ∉, ⊂, según corresponda

a) (1

√2)

−2_____ℚ .

Solución

(1

√2)

−2

= (√2) 2

= 2 ∈ ℚ .

b) (√√64

8)

−2

_____𝕀 .

Solución

(√√64

8)

−2

= (√8

8)

−2

= (1) 2 = 1 ∈ ℚ .

c) (1 +1

𝜋) (1 + 𝑒) _____𝕀 . Solución

∈

d) ℤ+ _____ ℚ . Solución

⊂.

e) 𝕀 _____ ℝ . Solución ⊂. f) 𝕀 _____ ℚ . Solución .

9. Escriba F si la opción es falsa y V si la opción es verdadera dentro del paréntesis.

Justifique su respuesta

a) ( ) Si 𝑥√2 ∈ ℚ entonces 𝑥 es un número irracional.

Solución

Verdadero. 𝑥 = √2 ∈ 𝕀 .

43

b) ( ) La expresión √−1

27

3 representa un número racional entero.

Solución

Falso. √−1

27

3= −

1

3 Representa un número racional no entero.

c) ( ) La expresión √−243

√83 representa un número entero.

Verdadero. √−243

√33 = − √

24

3

3= −√8

3= −2 ∈ ℤ .

d) ( ) La expresión 5,345678489 …., en la cual no se encuentra un periodo, representa

un número racional.

Falso. El número es irracional.

10. Escriba la suma de dos números irracionales cuyo resultado sea un número

racional.

Solución

Una posibilidad es sumar un número con su opuesto. Por ejemplo: 3 3 = 0

5 5 0

11. Encuentre tres números reales que sean mayores que 2 y menores que 3.

Solución

Se pueden dar infinita cantidad de números. Por ejemplo:

475, , , 17, 2,425, 2,734521786432...

3e

44

12. Justifique, si la siguiente afirmación es falsa o verdadera.

73, 4, ,

2 3

.

Solución

La afirmación es falsa pues 2

es un número irracional, en este caso solo aparece

escrito en forma de cociente pero no corresponde a una fracción pues no es el

cociente de dos números enteros.

Ejercicios Resuelve y marca con (✓) si el resultado pertenece al

conjunto indicado.

2. Evalúa las siguientes afirmaciones y escribe (V) verdadera o (F) falsa.

69 Hay números enteros que no son racionales. ( )

70 Existen números irracionales que no son números reales. ( )

71 Todo número real es racional o irracional. ( )

72 Cualquier número decimal es un número real. ( )

45

3. Use los símbolos 𝕀, , , , , y complete las siguientes

expresiones:

II

II II

II

4. Encuentre tres números irracionales entre1

2y 1.

5. Encuentre tres números irracionales entre -2 y-1.

6. Escriba F si es falso o V si es verdadero

( ) 3 93, 3 5, 16,

3

( ) 3 19

3, 16, 25,3

( ) 3 193, 16, 25,

3

𝕝 ( ) 3 193, 16, 17, ,

5

( ) ( )

7. Determine en el siguiente cuadro a que conjuntos pertenece los siguientes

números

II II

3 2 2

0 5log 125

3 125 1

3

1,010010001… 2

46

32 13 5

3 8

4 25

3 8

2

3e e

60sen tan(45)

45 tan 30

cos 30

sen

eIn

Nota la raíz con índice par y el sub radical negativo no es un número real

Ejemplos

4

1

256

8. Escriba “F” o “V” según sea falso o verdadero:

a) 2

3 Z _____ h) – 3 24 IR _____ m) Z II ____

b) 64 IN _____ i) 25 IR _____ n) IR Q _____

c) – 15 II _____ j ) 4 4096 IR _____ o) IR II _____

d) –1

4 Q _____ k ) IN IR _____ p) II Q _____

e) 5 243 IR _____ l ) Z II _____ q) Z IR _____

f) –0,812 II _____ r) Q IR _____

g) Si un número es racional, entonces también puede ser irracional. _____

47

9. Determine la notación decimal de cada uno de los siguientes números reales,

e indique si es racional( Q ) o irracional( II ).

a) –3

8 = _______________ f) 4 3 10 = _________________

b) 2 = _______________ g) –23

4 = _________________

c) – 27 = _________________ h) – + 7 = ________________

d) – 4 625 = _________________ i ) 2

7 = __________________

e) 13

3 = ___________________ j ) –

15

13 = _______________________

Situación Problema

Dadas las coordenadas a, b, c, d, e, y f como se muestra en la

figura:

1. ¿Cuál es el punto más próximo de a ⋅ b?

2. ¿y de 1

d?

3. ¿y de2

f ?

4. ¿Quién es mayor e o |a|?

Análisis de la Actividad

Aunque esta actividad se puede resolver con relativa facilidad sustituyendo por

valores aproximados los números representados, se debe pensar en la justificación

de las conclusiones por medio de argumentos que hagan referencia al uso de las

propiedades de los números.

Por ejemplo, en el caso de la pregunta 1, se pueden considerar propiedades

como el signo de a ⋅ b, y sila magnitud de a ⋅ b es menor o mayor que la de bpara

concluirque el valor más cercano a dicha expresión es d.

48

En el caso de 2, se puede aprovechar que al ser d un valor ubicado entre 0 y 1, 1

d representa una cantidad mayor que uno (inclusive mayor que 2), por lo que f es

el valor más cercano.

En En 3,basta determinar en la representación gráficael punto medio entre 0 y

f, con lo que e es el valor más próximo. En iv se aplica la noción de valor absoluto

para concluir que a está a una mayor distancia que e con respecto al cero. Así que

|a| >e

La clave

Recta numérica La recta numérica siempre va de valores menores a

valores mayores en sentido de izquierda a derecha. Podemos ubicar infinidad de cantidades de ella

Dada una recta cualesquiera se puede establecer una correspondencia biunívoca

entre sus puntos y los números reales, es decir, que a cada punto de la recta se le asocia un número real y a cada número real le corresponde un punto de la recta.

Históricamente este hecho se le atribuye a Richard Dedekind

49

Ejemplo

Trace una recta numérica y ubique en ella, de manera aproximada, los siguientes

números reales: 2,1, 3,0, 1, ,2, 2e .

-e -2 2 -1 0 1 3 2

2) Para localizar estos puntos de la recta se busca una aproximación del número que se desea ubicar.

Trace una recta numérica y ubique en ella, de forma aproximada, los siguientes

números reales: 3 11 , log17 , 2

,

log17 0 1 2

2 3 11

3) Ubique en forma ordenada las letras correspondientes a cada número en la

siguiente recta.

Observación: en estos casos en importante el uso de la calculadora para tener

un valor aproximado en notación decimal de los números que no son enteros.

50

4) Si a= 2 Como 2 = 1,4142135. Se ubicara entre 1 y 2 antes de 1,5

Para representar un número racional 𝑎

𝑏 en la recta numérica se efectúa la operación

𝑎 ÷ 𝑏 y se obtiene la expansión decimal aproximada por medio de la calculadora.

Para representar un número racional o irracional en la recta numérica se obtiene la

expansión decimal aproximada por medio de la calculadora.

Ejemplos

1. Represente en la recta numérica los siguientes números reales

a) 5, 26

Solución

b)

−π

4+ √19

3−

34

4

Solución

−π

4+ √19

3−

34

4≈ −5,04

51

Ejercicios

1. Use aproximaciones para localizar en la recta numérica , de manera

aproximada, los siguientes números: 55 2, , 31,

2 3

ee

2. Dibuje una recta numérica y represente en ella los siguientes números reales:

–8 31

2 –

5

3 – 2 –3 + 12 3 20 e – 7

Sugerencia Se debe hallar la notación decimal que le corresponde a cada número real, y luego se ubican estas cantidades en la recta numérica.

3. Ubique los números en la recta numérica

a) –8 c) –5

3 = –1, 6 e) –3 + 12 = 2,57522203…

g) e – 7 = –4,281718…

b) 31

2 =

7

2 = 3,5 d) – 2 = –1,4142135….. f) 3 20 = 2,714417….

Ahora se ubican las cantidades obtenidas tomando en cuenta solo el primer decimal:

52

4. Ubique en la recta numérica los siguientes números reales

5. Represente en la recta numérica los siguientes números reales

a. 5, 26

b. −π

4+ √19

3−

34

4

c. π + 𝑒2

d. √543

− 5 − π

53

6. Encuentre cuales números enteros se encuentran las siguientes cantidades

a. 2

2

a) 5 h) 32 4

b. 60 b) 2 i) 3log 125

c) 5 50 g) -2e j) 70sen

7.Señales las cantidades anteriores en la recta numérica

7. Represente cada pareja de números irracionales en la recta numérica.

a) 22

y

b) 2 3

4 2y

c) 5

2 3y

54

Uso de los símbolos >, <, ≥, ≤ en ℝ

Es importante que se dominen las siguientes notaciones en ℝ

Concepto Notación Significado

𝑥 es mayor

que 0 o

que 𝑥 es

positivo

𝑥 > 0 𝑥 ∈ ℝ+

𝑥 es menor

que 0 o

que 𝑥 es

negativo

𝑥 < 0 𝑥 ∈ ℝ−

𝑥 es mayor

que 𝑦

𝑥 > 𝑦 𝑥 − 𝑦 ∈ ℝ+

𝑥 es menor

que 𝑦

𝑥 < 𝑦 𝑦 − 𝑥 ∈ ℝ+

𝑥 es mayor

o igual que 𝑦

𝑥 ≥ 𝑦 𝑥 > 𝑦 o 𝑥 = 𝑦

𝑥 es menor

o igual que 𝑦

𝑥 ≤ 𝑦 𝑥 < 𝑦 o 𝑥 = 𝑦

𝑦 está entre

𝑥 y 𝑧.

𝑥 < 𝑦 < 𝑧 𝑥 < 𝑦, o 𝑦 <𝑧

La clave

Ley de Tricotomía en ℝ

La ley de la Tricotomía en ℝ permite comparar dos números reales y afirma que

para todo par de números reales 𝑎 y 𝑏: 𝑎 < 𝑏 ó 𝑎 = 𝑏 o 𝑎 > 𝑏.

Los números positivos están a la derecha del 0 y los números negativos están a

la izquierda del0.

55

Para comparar dos números racionales, se puede aplicar la siguiente propiedad:

Propiedad

Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℚ, 𝑏, 𝑑 > 0 𝑥 < 𝑦. 𝑎

𝑏<

𝑐

𝑑 si y solo sí 𝑎 ⋅ 𝑏 < 𝑏 ⋅ 𝑐.

Para comparar dos números racionales e irracionales se puede obtener la expansión

decimal aproximada por medio de la calculadora y luego se aplica la siguiente

propiedad:

Propiedad

Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. 𝑥 < 𝑦 si y solo si 𝑥

está a la izquierda del punto 𝑦 en

la recta numérica.

Ejemplos

1. Coloque los símbolos > ó < ó = según sea el caso.

a) 5

3 _____

6

5

Solución

25 > 18 ⇒5

3>

6

5 .

b) 1

−8 _____

−2

9

Solución

−9 > −18 ⇒−1

8>

−2

9 .

c) −4√18 _____ −10

𝑒

Solución

−4√18 ≈ −16,97 < −10

𝑒≈ −3,67

d) 16, 26 _____ 16,26

Solución

16, 26 > 16,26.

e) 2π + √62

_____ π + √92

Solución

2π + √62

≈ 8,73 > π + √92

≈ 6,14.

56

2. Escriba F si la opción es falsa y V si la opción es verdadera dentro del paréntesis.

Justifique su respuesta

1. ( ) 5 ≥ 3.

Solución

Verdadera.

2. ( ) 5 < 𝑥 < 7 ⇒ 𝑥 > 5 o 𝑥 < 7.

Solución

Verdadera.

3. ( ) 𝑥 > 5 ⇒ 5 < 𝑥.

Solución

Verdadera.

4. ( ) 𝑥 ≤ 6 ⇒ 6 ≤ 𝑥.

Solución

Falsa. 𝑥 ≤ 6 ⇒ 6 ≥ 𝑥.

.

57

Ejercicios

1. Complete utilizando los símbolos , para cada uno de los

siguientes pares de números Reales

2. Ordena de menor a mayor y representa en la recta real los siguientes números:

a) –0,75 b) 4

9 c) 3 d)

20

23 e)

2

0256,0

3.) Compara y escribe >, < o = según corresponda.

58

4.) Compara y escribe >, < o = según corresponda.

5) Ordena de forma ascendente los siguientes números

Valor absoluto de un número real

Si 𝑥 ∈ ℝ se define el valor absoluto de 𝑥 por

|𝑥| = {𝑥 si 𝑥 ≥ 0

−𝑥 si 𝑥 < 0 .

Propiedades

Si 𝑥 ∈ ℝ entonces

a) |𝑥| ≥ 0

b) |𝑥| = |−𝑥|. c) |𝑥| = 0 si y solo si 𝑥 = 0

d) |𝑥 ⋅ 𝑦| = |𝑥| ⋅ |𝑦|.

e) |𝑥

𝑦| =

|𝑥|

|𝑦| si 𝑦 ≠ 0.

f) |𝑥| = √𝑥𝑛𝑛 si 𝑛 es un número

par.

g) |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|.

Ejemplos

1. Determine a) |−6|

Solución |−6| = 6.

b) |±0| Solución

|±0| = 0.

c) − |− |31

4|| Solución

− |− |31

4|| =

−13

4

d) |1 − √3| Solución

1 − √3 < 0. Luego |1 − √3| = √3 − 1.

e) |−2 − √17| Solución

|−2 − √17| = 2 + √17.

59

2. Determine el valor exacto de

𝑟 = − |−6

7| − |𝑒−1| + |√−8

3| .

Luego, localice el número en la recta numérica e indique si el número es racional

o irracional.

Solución

− |−6

7| − |𝑒−1| + |√−8

3| =

−6

7+

1

𝑒+ 2.

= 8

7+

1

𝑒=

8𝑒 + 7

7𝑒≈ 1,51 ∈ 𝕀 .

3 .Calcule

32 - 57e , 34 - 100 , 34 - 27 , - e .

Solución. Encuentre la expansión decimal de la cantidad que está dentro del

valor absoluto y luego use la definición

3 32 - 57 2 - 57e e puesto que 32 - 57 1,588 0e

3 34 - 100 4 + 100 ya que 34 100 0,6415 0

34 - 27 34 - 27 pues 34 - 27 0

-e e se comprueba que 0e

Ejercicios

1. Calcule

a) 15 - 13 b) 12 - 17 c) 3 - 13

d) 10 - e) 15 + 13 f) 15 13

60

2. Determine el valor absoluto de

1. -5+ 3 =

6. -6 + 2 =

2. -6 - 2 + -5 - 3 - - 13 =

7. - 4 + 16 + -3 - 11 + 6 =

3. 3 2 - 1 - 5 =

8. 4 5 + 7 6 =

4. 5 - 6 + 7 - 8 =

9.

3

4

5

2

4

5

5. 3

1

4

5

2

3

4

1

6

10. 2

3

1

4

5

3

3

4

Situación Problema

De acuerdo a la recta numérica adjunta, ¿Cuál es un posible valor de a ?

( ) √10 ( ) √101 ( ) √95 ( ) √80


( ) 3 10 ( ) 3 6 ( ) 33

2

( ) 3 29

61



( ) √10 ( ) √101 ( x ) √95 ( ) √80


( x ) 3 10 ( ) 3 6 ( ) 33

2

( ) 3 29

La Clave

La raíz n-ésima, ,n n par, de un número racional positivo a es el

único número positivo que elevado a la n es igual a a .

nn a b b a

La raíz n-ésima, ,n n impar, de un número racional a es el único número que

elevado a la n es igual a a .

nn a b b a

Ejemplos

1. Determine la solución de la ecuación 2 5x .

Solución

Si 2 5x , entonces 5x o bien x≈2,236068 o x≈-2,236068.

62


Solución

Si, 2 17x entonces 17x o bien x≈4,1231056 o

x≈-4,1231056.


Solución

4. Si 3 5x , entonces 3 5x , puesto que

33 5 5 .

Determine el conjunto solución de la ecuación 4 7x .

Solución

5. Si 4 7x , entonces 4 7x , puesto que 4

4 7 7 .

Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación es:

4 47, 7 .


Solución

Si 15 5x , entonces 15 5x .

Ejercicios

1) Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

a) 2 0,0036x b) 3 0,001x c) 3 0,001x

d) 3 7x e) 4x 64 f) 4 17x

2) Busque dos objetos cilíndricos (tarros) de diferentes bases. A continuación, mida longitud de la circunferencia de la base y el diámetro de cada uno de ellos.

Tome las medidas lo más precisas posibles y calcule una aproximación al valor de en la misma manera que lo hicieron los sumerios. ¿Cuántos decimales exactos

halló para ?

3) Se construye un jardín circular cuyo radio diámetro mide 16 metros y se desea hacer una cerca con una malla que vale 5000 colones el metro.

Todo número, positivo o

negativo, elevado a una

potencia par es positivo.

Todo número negativo

elevado a una potencia

impar es negativo.

Todo número positivo

elevado a una potencia

impar es positivo.

63

a) Exprese el largo de la malla en términos de .

b) ¿Cuál es el largo de la malla si se considera 3,14 ?

c) ¿Cuántos colones costará la malla si aproxima por exceso a un número con

tres decimales? d) ¿Qué diferencia en colones tendrá que pagar usted si el dueño del almacén usa

una aproximación de con seis decimales?

4. Determine un valor para x en las siguientes ecuaciones. (Use la calculadora)

5. Ubique un número irracional con representación radical entre cada par de

números consecutivos en la siguiente recta numérica.

Operaciones con radicales

Operaciones

Para introducir una expresión radical en la calculadora el elemento más importante

es el índice, pues éste nos determina cuál botón se utiliza. Dependiendo de la

calculadora, los botones se pueden utilizar con raíces en su primera o segunda

función. Algunas tienen hasta una tercera función. El color de la función determina

cuál es el procedimiento para utilizarla:

64

Si aparece en color blanco sobre el botón, se trata de la función principal,

por lo que simplemente éste se presiona y se utiliza con normalidad. Si la función se ve en color amarillo, es la segunda función, por lo que es

necesario oprimir primero SHIFT (ubicado arriba a la izquierda) y luego el botón ubicado debajo de dicha función.

Si la función se presenta en color rojo, se trata de la tercera función, por lo cual es necesario oprimir primero ALPHA (ubicado a la derecha de SHIFT) y

luego el botón ubicado debajo de dicha función.

En la imagen adjunta, se aprecia la calculadora

más reciente. En ésta, la raíz cuadrada (de

índice2) es una función principal. En ese

mismo botón, la raíz cúbica (de índice3) es la

segunda función.

A su derecha, se ubica el botón para elevar al

cuadrado o al cubo (exponente 2 y 3

respectivamente). A la derecha de este botón

se ubica el que permite elevar a cualquier

potencia como función principal y radicar con

cualquier otro índice como segunda función.

De esta manera, se puede comprobar en la

calculadora el resultado de operaciones como

las siguientes:

1. √273

∙ √8 = 6√2

2. √2503

+ √163

= 7√23

3. √2434

− √484

= √34

4. √3

2=

√6

2

5. √274

∙ √813

= 3 √312

6. (5√2 − 4)2

− 2 ∙ (3 − √2)2

= 44 −

28√2

O también se pueden resolver problemas,

como por ejemplo, determinar el valor de 𝑥 tal que 𝑥5 = 30. Como la radicación

corresponde a la operación inversa de la potenciación, se tendría que 𝑥 = √305

=

1.0551130635362276 …

65

Ejemplos

1. Determine el perímetro de la siguiente figura

El resultado de la operación es de 17,4717 aproximadamente

Por lo tanto, el área del polígono es de aproximadamente 17,4717

2. Determine el área del siguiente rectángulo

El perímetro es 72( 7 5) 2 93 19,11

Nota: Hay infinidad de raíces que tienen solución en IR. Las

únicas raíces que no tienen solución son las que tienen de índice un número par y

subradical negativo.

Ejercicio: Halle la solución de los siguientes radicales e indique cuáles no tienen solución.

a) 3 64 = __________

b) 25 = __________

c) 4 1296 = __________

d) 7 2187 = __________

e) 5 7776 = __________

f) 8 256 = ___________

66

Simplificación de Radicales:

Ejemplos: Simplifique al máximo los siguientes radicales.

a) 360 =

Solución:

1) Se factoriza el subradical:

360 180

90

45 9

3

1

2 2

2

5 3

3

En este ejemplo la raíz es cuadrada, es decir, que el índice es 2. Por consiguiente

con los factores se forman potencias elevadas a la 2 para que puedan “salir” de la raíz. Al salir de la raíz el exponente se cancela porque se divide entre el índice.

360 = 2 22 2 5 3 =

2 3 2 5 =

6 10

b) 5 1944 =

Solución:

5 1944 = 5 52 2 2 3 =

3 5 2 2 2 =

3 5 8

1944

972 486

243 81

27 9

3 1

2

2 2

3 3

3 3

3

(En este caso las

potencias deben

ser de

exponente 5 o

múltiplo de 5)

67

Ejercicios Utilice la calculadora para calcular las siguiente

operaciones

1) – 49 =

2) 121 =

3) 81 =

9) 36

81 = 10) 36 =

11) 81 =

4) 64 =

5) – 64 =

6) 3 310 =

12) 3320

343 = 13) 3 320 =

14) 3 343 =

7) 4 4π =

8) – 252 =

15) – 200

169 =

68

2. Simplifique al máximo los siguientes radicales.

a) 6480 = c) 2 63

3 100 =

b) 4 3 5000 = d) 80 4 0,0001 =

3. Resuelva las siguientes operaciones con radicales: a) 2 5 + 7 5 = o) 4 3 54 – 3 250 + 5 3 128 =

b) 5 3 – 9 3 =

p) 31686

2 – 33

24

+ 31250

8 =

c) 4 10 + 2 10 – 5 10 =

q) 3

4 –

2108

3 – 27

16 =

f) 4 3 – 8 2 – 7 2 =

r) – 2

9 + 1 18

3 25 – 2

49 =

j) 3 8 + 2 = g) 2 3 4 – 5 3 3 + 3 3 4 =

k) 6 27 – 5 48 =

69

4. Hallen el perímetro de cada una de las siguientes figuras

5.Utilice la calculadora para calcular las siguientes expresiones:

e) 35

15 f)

5

5

108

216 g)

31

3 h)

23

23

i)

32

32 j)

21

1 k)

210

15 l)

23

1

m)

53

)53.(12 n)

2020

20 p)

35

15.2 q)

3 3

1 r)

19 53

2.38

s) 12 523

32

6. Resuelvan cada uno de los siguientes cálculos combinados

a)

12

3

21

22.

3

1 b)

75

1

7

3

5

4 c)

1

4

51

d)

2

32

2 e)

21

22 f)

3

18

88

g) 2

13

4 18:12.6 h)

3

1

53 25.5

1:5.5

70

7. Halle el valor exacto del área de las siguientes figuras

8. Todas las figuras tiene áreas 1 Hallen las incógnitas indicadas con x .

Expresen todos los resultados sin radicales en el denominador

71

9. Efectúa las siguientes operaciones:

18 50 - 32 2 48 27 - 108 3

3 6 5 6 3 - 5 3 6 3 6 - 6 6

3 6 3 4 - 6 4 18 20 162 180

2

1 3 32

8

9

2

25 8

10. Efectúa las siguientes operaciones:

3333 250 128 - 54 3 16 2 4444 112 567 3 - 9072 4375 2

4444 14256 2 6875 6 891 3 176 5

333 648 3 192 5 - 1029 2

Situación Problema

El sueño de un costarricense por buscar una forma de viajar a Marte más

rápidamente está más cerca que nunca. El 26 de noviembre del 2011 a las 10:25 am, la

NASA envió a dicho planeta el Rover Curiosity de la misión Mars Science Laboratory de la

NASA y después de aproximadamente 563

millones de kilómetros de recorrido liberó un vehículo explorador que tocó suelo marciano el

6 de agosto del año 2012. Su propósito: investigar si alguna vez este planeta ha tenido

condiciones favorables para el desarrollo de la vida2 . El científico costarricense Franklin

Chang Díaz viene desarrollando con su equipo de trabajo desde hace varios años un motor de

plasma que reduciría el tiempo de viaje a 39

Tema 3 Cantidades Grandes o

pequeña

72

días aproximadamente. Esto puede contribuir a que se puedan explorar planetas

distantes en un menor tiempo. Con base en la información anterior, ¿aproximadamente en cuántos metros por segundo permite el motor desarrollado

por el doctor Chang aumentar la velocidad para futuros viajes espaciales tomando

como referencia la desarrollada por el motor de la nave espacial Mars Science Laboratory? Análisis de la actividad

El propósito de este problema es el de introducir el uso de unidades de mayor

rango, que permitan expresar cantidades extremadamente “grandes”, como en

este caso la distancia entre dos puntos diferentes en el universo. De paso, se

podrían implementar actividades con cantidades sumamente pequeñas que

permitan también justificar el empleo de unidades inferiores al milímetro,

relacionadas al tamaño de las células, el radio de un nanotubo de carbono, etc. En

esta oportunidad, dado que los estudiantes trabajarán con cantidades muy grandes

y que la elaboración de una estrategia que permita dar solución al problema debe

ser lo primordial, el docente puede permitir el uso de una calculadora para facilitar

las labores de cálculo y así hacer un uso inteligente de la tecnología. Se pueden

conformar parejas de estudiantes para trabajar dicho problema, pues la idea es

brindar oportunidad al estudiante de intercambiar ideas con su compañero y

argumentar con propiedad su posición respecto a ellas. Esto permite activar los

procesos Comunicar y Razonar y argumentar. Para establecer dicha diferencia, los

estudiantes deben obtener las velocidades que se

desarrollarían con cada uno de los motores. Para el caso

del motor que llevó al Curiosity a Marte, primero hay que

notar que las unidades en las que se pide brindar la

respuesta no corresponden a las mencionadas en los datos

formulados en el problema. Es así como la acción

estudiantil debe ir orientada a realizar las conversiones

necesarias para expresar las unidades en la forma

requerida. Como la nave comenzó su viaje el 26 de

noviembre del 2011 y finalizó el 6 de agosto del 2012, los

estudiantes necesitan considerar primero la cantidad de

días que duró la nave en llegar a Marte. Para una mejor

representación de los procedimientos, se puede usar una

representación tabular como la siguiente: M

73

Luego, se procede a realizar la conversión del tiempo empleado a segundos,

pasando primero por las conversiones a horas y minutos. Dado que un día tiene 24

horas: 254 × 24 = 6 096 horas. Dado que una hora tiene 60 minutos: 6 096 × 60

= 365 760 minutos. Dado que un minuto tiene 60 segundos: 365 760 × 60 = 21

945 600 segundos. De ese modo, con el motor convencional se duraron

aproximadamente 21 945 600 s. Como se recorrieron 563 000 000 km, se realiza

la conversión a metros. Cada kilómetro tiene 1000 metros, con lo que se obtiene

583 000 000 × 1000 = 563 000 000 000 m. Finalmente, la velocidad aproximada

a la que viajó dicha nave se consigue al dividir la distancia por el tiempo, con lo

que 563 000 000 000 ÷ 21 945 600 ≈ 25 654,35 m / s. Ahora, para el motor que

desarrolla el doctor Franklin Chang, se efectúa igualmente la conversión a las

unidades correspondientes. En el caso del tiempo, se realiza la conversión de días

a segundos: 39 × 24 × 60 × 60 = 3 369 600 s. Considerando la conversión

realizada anteriormente para el caso de la distancia entre los planetas, se obtiene

finalmente que la velocidad que desarrollaría el motor del doctor Chang sería

aproximadamente de 563 000 000 000 ÷ 3 369 600 ≈ 167 082,15 m / s. Así, el

motor que implementará el doctor Chang permitiría aumentar la velocidad en 167

082,15 – 25 654,35 = 146 427,8 m / s aproximadamente. Esta actividad puede

complementarse con un problema que trabaje con cantidades muy pequeñas y así

durante las etapas de discusión y comunicación de resultados se pueden establecer

comparaciones y valorar la necesidad de incluir en nuestro sistema de medidas

otras que permitan facilitar la forma de expresar las cantidades que son muy

grandes o muy pequeñas, reflejando otros contextos que necesitan ser conocidos

por el estudiante.

La Clave

Cantidades muy grandes o muy pequeñas

En este apartado se trata de resolver problemas con unidades de medida y sus

múltiplos y submúltiplos. En la escuela se estudiaron tres múltiplos (kilo, hecto y

deca) y tres submúltiplos (deci, centi y mili). Sin embargo, la lista es mucho más

extensa. Para los múltiplos se tienen las siguientes equivalencias:

74

Prefijo Símbolo Equivalencia con la unidad Potencia

yotta 𝑌 1 000 000 000 000 000 000 000 000 1024

zetta 𝑍 1 000 000 000 000 000 000 000 1021

exa 𝑅 1 000 000 000 000 000 000 1018

peta 𝑃 1 000 000 000 000 000 1015

tera 𝑇 1 000 000 000 000 1012

giga 𝐺 1 000 000 000 109

mega 𝑀 1 000 000 106

kilo 𝑘 1 000 103

hecto ℎ 100 102

deca 𝑑𝑎 10 101

Para los submúltiplos se tienen las siguientes equivalencias:

Prefijo Símbolo Equivalencia con la unidad Potencia

deci 𝑑 0,1 10−1

centi 𝑐 0,01 10−2

mili 𝑚 0, 001 10−3

micro 𝜇 0, 000 001 10−6

nano 𝑛 0,000 000 001 10−9

pico 𝑝 0,000 000 000 001 10−12

femto 𝑓 0,000 000 000 000 001 10−15

atto 𝑎 0,000 000 000 000 000 001 10−18

zepto 𝑧 0,000 000 000 000 000 000 001 10−21

yocto 𝑦 0,000 000 000 000 000 000 000 001 10−24

Se debe recordar que al subir en cada tabla se debe dividir la cantidad dada por la

equivalencia y al bajar se multiplica la cantidad dada por la equivalencia.

Ejemplo

1 En un laboratorio de biología se está analizando un tipo de célula sanguínea

que presenta un diámetro de 1 000 000 000 00, a cuantos Gm equivale dicha

cantidad.

75

Primero: Se determina la posición de los prefijos, para determinar el valor que se

utiliza, se cuentan los espacios que hay entre los prefijos a utilizar:

2. Si se convierte de unidades pequeñas a unidades grandes se divide el

número entre el valor obtenido, como sigue a continuación:

3. Se puede resolver el siguiente problema:

Para determinar la respuesta, es necesario tener las dos medidas en la misma

unidad. La forma más fácil de hacerlo sería convertir ambas medidas a metros, que

es la unidad de medida con la que se está trabajando. Así, se tiene que

28 𝜇𝑚 = 28 ∙ 0,000 001 𝑚 = 0,000 028 𝑚

10 𝑐𝑚 = 10 ∙ 0,01 𝑚 = 0,1 𝑚

Los ácaros son causantes de algunas enfermedades como alergias,

sarna y demás. Un ácaro tiene una longitud de 28 𝜇𝑚. Si se hace una

fila con ácaros, ¿cuántos se requieren para abarcar 10 𝑐𝑚?

76

Luego, como la medida de la longitud de un ácaro es menor que la de la fila, se

divide la medida de la fila por la longitud de cada ácaro: 0,1

0,000 028= 3571,42857

Por lo tanto, para cubrir los 10 𝑐𝑚 de la fila con ácaros, se requiere tener 3572 de

ellos

4.Mi servisio de correo electronico gratuito me ofrece una capacidad de

almacenamiento de 10 Gb , sin un disco compacto CD tiene una capacidad de

700MB ¿ cuantos discos compactos equivalesn a al capacidad de almacemamiento

de mi correo?

Un Gigabyte equivale a 302 1073741842 bytes

Un Megabyte a 202 1048576 bytes

10 Gigabyte equivale a 3010 2 bytes

700Megabytes seria 2010 2 bytes

Por lo que dividimos la capacidad del correo por la capacidad de cada CD

30 20(10 2 ) 700 2 14 30 20(10 2 ) 700 2 14 CD´S Aproximadamente

5.Un Cabello tiene 80000 nanometros de diametro ¿ Cual es la medida en metros?

Un Nanometro tiene 10-9 metros . Entonces el diametro de un cabello es

980000 10 0,00008 mts

Ejercicios

A. Realice las siguientes conversiones de unidades

1) Exprese 25 000 000 km a m

2) Convierta230000000000000000000 pm a m

3) Convierta 0,00235 Das a s

4) Convierta 900000000 g a Mg

5) Convierta 4 m a nm

77

6) A cuantos km equivalen 82000000 m

7) Exprese 40000000 s a s

8) Convierta 5000 dm a m ?

9) Convierta 200 Hm a m

10) Convierta 300 Mg a mg

11) Convierta 20 Kg a g

12) Cuantos nm equivalen a 0,000000058 km

2. En la siguiente tabla se muestran las distancias medias al Sol de cada uno de los

planetas del sistema solar

a. Cuál es la distancia en metros entre la Tierra y el Sol?

b. .cuántos ceros consecutivos se ubican al final del número que representa la

distancia en metros entre la Tierra y el Sol?

c. "Justifique la validez de la igualdad 149 600 000 000 m = 1496. 108

m."

d. ¿cuál es el factor de conversión correspondiente a los mega metros (Mm)?

78

3 Realice las siguientes conversiones

4. Resuelva los siguientes problemas

a. Las bacterias son microorganismo que tienen un tamaño tan pequeño que se

mide en micrómetros ( por lo general 0,5 y 5 m de longitud ) Exprese esa

longitud en picometros

b. En un laboratorio en Suiza se coloca un nanotubo de carbono de 50 nanómetros de ancho para derretir el cobre ¿ Cuál es esa medida es micrómetros

c. Mi laptop tiene un disco duro de 500 Gb , si mis archivos aproximadamente ocupa 1000Mb y mis programas ocupan 150 Gb ¿ cuánto espacio libre hay en mi

disco

d. Acabo de comprar una laptop con un disco duro de un Terabyte . ¿ Cuantos

gigas tiene de capacidad de almacenamiento

e. Si mi disco duro tiene una capacidad de 1,5T ¿ cuantas llaves de 32G caben en ese disco duro

79

Práctica de la unida 1

Selección única

1) Considere los siguientes números:

I. 23,534

II. 100,01111...

III. 7,10100100001...

¿Cuáles de ellos corresponden a números con expansión decimal infinito no

periódico?

A) Solo el I C) Solo el III

B) El I y el II D) El II y el III

2) El número 3 11 en notación decimal es aproximadamente:

A) 3,32 C) 9,95

B) 12,00 D) 33,00

3) Considere las siguientes proposiciones:

I. 3 0 es un número racional.

II. 2 es un número racional.

¿Cuáles de ellas son verdaderas?

A) Ambas C) Ninguna

B) Solo la I D)Solo la II


I. 10 1 es un número racional.

II. 2,337445 es un número irracional.


A) Ambas C) Ninguna


80

5) Considere las siguientes relaciones:

I. 3 3 3 es un número racional.

II. 3,121121112... 3 2 es un número irracional.


A) Ambas C)Ninguna

B) Solo la I D) Solo la II


I. 3 5 es un número no real.

II. 3 es un número real.


A) Ambas C)Ninguna

B) Solo la I D) Solo la II

7) Considere la siguiente representación gráfica:

De acuerdo con la representación anterior, un posible valor de “ A ” es:

A) 3 4 C) 3 27

B) 3 50 D) 3 64

8) El resultado de

4 0

2

2 2

2

corresponde a:

A) 1 C) 3

B) 3

4 D)

7

4

9) El resultado de 3

3 69

6 es:

A) 3 2

2 B) 3 9

B) 33 2

2 C) 32 2

81

10) El resultado de 9 32 2 27 2 8 es:

A) 9 2 5 3

B) 32 2 5 3

C) 32 2 6 3

D) 28 2 18 3

11) De acuerdo con el Sistema Internacional de Medidas, 1 nanómetro equivale a:

A) 100 000 000 metros.

B) 1 000 000 000 metros.

C) 0,000 000 001 metros.

D) 0,000 000 000 1 metros.

12) De acuerdo con el Sistema Internacional de Medidas, el número 3 000 000 000

equivale a:

A) 3 gigas.

B) 3 teras.

C) 3 nanos.

D) 3 megas.


I. " 0 " pertenece al conjunto de los números reales.

II. 4 pertenece al conjunto de los números irracionales.

De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

82

14) Un número irracional corresponde a:

A) 1

22

B) 1

24

C) 2

2

D) 2

4


I. 2 representa un número real.

II. 1

34 representa un número irracional.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


I. 8

II. 3 e


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

17) ¿Cuál de los siguientes números es no real?

A) 2

B) 3

C) 3 4

D) 3 5

83

18) ¿Cuál de los siguientes números tiene expansión decimal infinita no periódica?

A) 1

7

B) 3

13

C) 5

D) 25

19) Si " x " representa números irracionales con la condición 2 3x , entonces, un

valor de " x " es:

A) 4

B) 8

C) 9

D) 10

20) El número 3 6 se ubica entre:

A) 0 y 1

B) 1 y 2

C) 2 y 3

D) 3 y 4

21) La expresión 5 289 es equivalente a:

A) 294

B) 17 5

C) 1445

D) 5 17

22) La expresión 17 529 es equivalente a:

A) 512

B) 546

C) 17 23

D) 17 23

84

23) En el siguiente cuadro se presentan algunos dispositivos de memoria o de

almacenamiento de información (unidad de medida byte " b ") y su respectiva

capacidad de almacenamiento:

Nombre del

dispositivo Capacidad de almacenamiento de información

Disco

compacto 700 Mb

Disco duro

externo 1 Tb

Llave maya 16 Gb

Micro SD 8000 Mb

Con base en el contexto dado, considere las siguientes proposiciones:

I. Tiene más capacidad de almacenamiento la llave maya que el disco duro

externo.

II. La capacidad de almacenamiento de la llave maya es mayor que la capacidad

de almacenamiento de la micro SD.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

24) Dos megámetros equivalen a:

A) 32 10x metros

B) 62 10x metros

C) 92 10x metros

D) 122 10x metros

87

Capítulo II Geometría

Conceptos clave

1.Distancia entre dos

puntos

2.Pitágoras

3.Trigonometría

4.Senos

5.Cosenos

6.Tangentes

7.Ley de Senos

8.Piramides

9.Prismas

Habilidades Específicas


1. Utilizar nociones básicas de geometría analítica.

2. Determina las medidas de lados e Hipotenusa de un triángulo rectángulo 3. Aplicar las razones trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente) y las

relaciones entre ellas en diferentes contextos. 4. Determina grados y radianes de un Angulo

5. Visualizar y aplicar características y propiedades de figuras geométricas tridimensionales

Nuestro primer


un paso más para

aprender

88

Introducción

En este ciclo el abordaje de los contenidos conviene realizarse en principio mediante

la experimentación, para pasar posteriormente a la abstracción

y la argumentación matemática. A través de la experimentación

el estudiante podrá realizar conjeturas cuya validez deberá

argumentar apropiadamente y en algunos casos hacer pruebas

usando las propiedades matemáticas (especialmente en el

último año del ciclo).

Con el propósito de reforzar la actitud de confianza en la utilidad

de las matemáticas es importante la contextualización de los

contenidos geométricos y las conexiones con otras disciplinas.

Al finalizar este ciclo el estudiante será capaz de abstraer propiedades geométricas, realizar conjeturas y probar algunas propiedades relacionadas especialmente con

triángulos y cuadrilátero

Situación Problema

En el Libro I de los Elementos de Euclides se consigna el Teorema de Pitágoras de la siguiente manera:

“En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados construidos

sobre los catetos es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa.

Tema 1 Teorema de Pitágoras

89

Sin embargo, se sabe que el conocido Teorema de Pitágoras se desarrolló en otras

culturas a parte de la griega. Por ejemplo, en China se desarrolló con el nombre del teorema de Kouku. Este aparece demostrado en un texto muy antiguo llamado

ChouPei.

Realice los siguientes pasos para realizar la demostración del teorema de KouKu de la cultura China. A este procedimiento se le llama

“apilamiento de rectángulos”. 1. Construya un rectángulo ABCD de dimensiones a y b.

2. Trace la diagonal del rectángulo AC .A esta se le asignará la dimensión c. 3. Sobre la di agonal del rectángulo construya un cuadrado de dimensión c.

4. Construya tres rectángulos que tengan como diagonales los lados del cuadrado de lado c, de modo que se forme un cuadrado mayor de lado a

+ b. El cuadrado sobre la diagonal c consta de cuatro triángulos congruentes con el

triángulo ABC y un cuadrado menor. Exprese la relación que existe entre el área del cuadrado de lado c y los cuatro

triángulos congruentes y el cuadrado menor que están dentro del cuadrado de lado c.


La siguiente secuencia de imágenes muestra las construcciones propuestas.

La longitud del cuadrado mayor es igual a a+b. La última figura muestra que la

longitud del lado del cuadrado pequeño es a – b. Puede encontrarse el área del

90

cuadrado formado por las diagonales de los rectángulos sumando las áreas de los

cuatro triángulos congruentes y el área del cuadrado pequeño. El área de los

triángulos es 1

2 𝑎𝑏. El área del cuadrado es (𝑎 − )2 . Así se tiene la siguiente

relación:

Desarrollando la igualdad se tiene que:

2 2 2

2 2 2

2 2c ab a ab b

c a b

La Clave

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo se diferencia el nombre de sus lados de

acuerdo con su posición con respecto al ángulo recto. De esta manera, en el

triángulo adjunto se tiene:

Figura Nombres de los lados

𝑐 𝑎

𝑏

𝑎 Cateto (uno de los dos lados que

forman el ángulo recto).

𝑏 Cateto (uno de los dos lados que

forman el ángulo recto).

𝑐 Hipotenusa (lado que se ubica

frente al ángulo recto).

De acuerdo con el teorema de Pitágoras, la suma de los cuadrados de los catetos

de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa. Con

la figura anterior, el teorema dice que

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

Para efecto de la resolución de problemas y ejercicios relacionados con el teorema de Pitágoras es importante tener claro lo siguiente.

Características a) Tiene un ángulo recto

b) Los lados que forman el ángulo de 90º se llaman catetos. c) El lado más largo y opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

91

Teorema de Pitágoras y las relaciones que se establecen entre sus lados

Representación geométrica Representación algebraica

Ejemplos

4 1. Determine la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sabe

que sus catetos miden 5cm y 12cm. Solución

Si x es la medida de la hipotenusa entonces 2 2 25 12 x

Luego 2 25 144 169 169 13x x x .

Pero, recuerde que x representa la medida de un segmento por lo tanto es

positiva, así 13x .

La hipotenusa mide 13cm.

2. Calcule la medida de uno de los catetos de un triángulo rectángulo si sabe

que el otro mide 30cm y la hipotenusa 34cm. Solución

Si b es la medida del cateto usando el teorema de Pitágoras se puede afirmar

que 2 2 230 34b , es decir, 2900 1156b Luego 2 21156 900 256 256b b b .

92

Recuerde que b representa la medida de un segmento por lo tanto es positiva,

así 256 16b b .

3. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 16dm y uno de sus

catetos mide 8dm, calcule la medida del otro cateto.

Solución Si a es la medida del cateto desconocido entonces

2 2 2 2 2 28 16 64 256 256 64 192a a a a

Luego 192a por lo tanto 6 3192 2 3 2 3 8 3a .

Pues a debe ser positivo.

Así el otro cateto mide 8 3dm .

4. ¿Si una persona camina 7km hacia el norte, después 3km hacia el oeste y

luego 3km hacia el sur entonces a qué distancia está del punto de partida? Solución

Es más sencillo resolver este problema si se hace un dibujo que ilustre la situación

Observe que se formó un triángulo rectángulo de catetos 3km y 4km use

el teorema de Pitágoras 2 2 2 23 4 9 16 25d d

luego 2 25 25 5d d d

Respuesta

La persona se encuentra a 5km de distancia del punto de partida

5. En cada caso indique si el triángulo es rectángulo

a) Los lados del triángulo miden 5,12 y 13.

Solución Se usa el recíproco del teorema de Pitágoras, la medida del lado mayor es 13

entonces se debe verificar si 2 2 213 12 5

Efectivamente: 2 2 213 12 5 169 144 25 por lo tanto el triángulo es

rectángulo

b) Sea el ABC cuyos lados miden 4, 5 y 6.

Solución

De nuevo se usa el recíproco del teorema de Pitágoras, la medida del lado

mayor es 6 entonces se debe verificar si 2 2 26 4 5 sin embargo se puede

observar que

93

2 2 26 4 5 puesto que 36 16 25 por lo tanto el triángulo no es rectángulo

6. Determine la medida de cada lado faltante en cada figura

a)

Solución

𝑐 = √32 + 42 = 5.

En general, si se conocen las medidas de los catetos 𝑎 y 𝑏 entonces la medida

de la hipotenusa es √𝑎2 + 𝑏2.

b)

Solución

𝑎 = √82 − 42 = √48 = 4√3.

En general, si se conocen: la medida de un cateto 𝑎 y la medida de la

hipotenusa 𝑐 entonces la medida del otro cateto es √ℎ2 − 𝑎2.

4

𝑐

𝐴

𝐵

𝐶

3

4

8

𝐴

𝐵

𝐶

𝑎

94

7. Una escalera de 3 m de longitud se coloca contra la pared para alcanzar

una ventana. Si el pie de la escalera está a 1 m de la base de la pared, ¿a qué altura aproximadamente se encuentra la ventana?

Ya que la escalera está contra la pared, se forma un

triángulo rectángulo que tiene como hipotenusa la escalera, y como catetos la distancia del pie de la

escalera a la base de la pared y la altura de la pared desde el piso hasta donde la escalera toca la pared.

Así, en el triángulo rectángulo la hipotenusa mide 3 m y uno de los catetos mide 1 m. Entonces, se

toma la expresión que indica la relación pitagórica y se remplazan los valores correspondientes a la hipotenusa y

el cateto.

Ejercicios

Hallar la medida del lado que falta en cada uno de los siguientes triángulos

rectángulos:

a) c) 9cm 12cm 25cm x 20cm 40cm 9cm 15cm b) d) 17cm x x

x

95

e) f) x 7cm 26cm 24cm 25cm x

2) Utilice el teorema de Pitágoras para hallar la medida del lado que se le pide en cada una de las siguientes figuras: a) e)

x 14 2

4cm x 6cm b) f) x 15cm 15cm x

8 2 cm

g) 7cm c) x 9cm y 9cm x

10cm

12cm

96

h) 9cm d) 12cm x y 15cm 6cm 20cm

3. El triángulo de la figura adjunta es rectángulo isósceles.

a) Si a = 3 cm entonces c = _______ cm. a c

b) Si c = 22 entonces a = _______ cm.

a

c) Si c = 6 cm entonces a = ________ cm.

d) Si a = 5 cm entonces el perímetro mide ______ cm.

e) Si c = 8 cm entonces el área es _________ cm2 .

4. Conteste las preguntas del cuadro

a) Determine la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sabe que sus catetos miden 8 cm y 12cm.

b) Calcule la medida de uno de los catetos de un triángulo rectángulo si sabe que el otro mide 24cm y la hipotenusa 74cm.

c) Encuentre la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles

cuyos catetos miden 15cm.

d) Encuentre la medida de los catetos de un triángulo rectángulo que están

en la relación 3 : 4 y cuya hipotenusa mide 15cm.

e) ¿A qué distancia se encuentra una persona de su punto de partida si primero camina 5km al norte y luego 3km al este?

f) En cada caso indique si el triángulo es rectángulo

a) Los lados del triángulo miden 10, 14 y 15.


c) Las medidas de los lados del triángulo son: 3, 6 y 3 2 .

x

97

5. Determine el valor de los segmentos señalados con las variables "x" y " y"

98

6. Determina la medida del lado indicado en cada una de los siguientes triángulos

rectángulos.

7. Determina la altura (h) de cada una de las siguientes figuras.

8. Determina la medida de la diagonal (d) en cada una de las siguientes figuras.

99

9. Determina la medida de la pantalla de un televisor si su altura mide 14,2 cm y

su ancho miden 15,4 cm.

10. Halla la medida de los lados indicados en cada una de las siguientes

figuras.

11. Un automóvil recorre 15km hacia el norte, dobla hacia la derecha en ángulo recto y continúa 5km más. Posteriormente dobla hacia el norte y recorre otros

10km, terminando con 14km hacia la izquierda en ángulo recto. ¿A qué distancia se encuentra del punto original? ¿Cuánto camino recorrió?

12. Una persona camina 4km hacia el norte y 3km al oeste. Luego cambia hacia el norte y camina 8km, por ´ultimo camina 6km más hacia el oeste. ¿A qué distancia

se encuentra del origen? ¿Cuánto camino recorrió esa persona?

13. El hueco de una ventana mide 41 pulgadas de ancho y 26 pulgadas de altura.

¿Puede introducirse por la ventana un mesa de ping-pong de 48 pulgadas de ancho?

100

14. Una puerta mide 210cm de altura por 80cm de ancho. ¿Cuál es el ancho mayor

que puede tener un tablero para que quepa por esta puerta?

15. Una escalera de 4.5 metros se coloca contra una pared con la base de la escalera a 2 metros de la pared. ¿A qué altura del suelo está la parte más alta de

la escalera?

16. Una escalera de 6 metros se apoya contra una pared, quedando la parte

superior de la misma a una altura de 5.4metros. ¿A qué distancia está el pie de la escalera de la base de la pared?

17. Una escalera telescópica de 36 metros se apoya sobre un edificio en llamas. La base de la escalera Está a 10 metros del edificio. ¿Qué altura alcanza la

escalera?

18. Las diagonales de un rombo miden 16cm y 10 cm respectivamente. ¿Cuánto

mide cada uno de los lados? Calcule el área del rombo

19.Saber utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el cateto o la hipotenusa

de un triángulo rectángulo en el que conocemos dos de sus lados

101

20. Saber determinar triángulos rectángulos en distintas figuras del plano para

calcular, a través de Pitágoras, ciertas medidas desconocidas, asociadas a las

figuras.

21.Calcula el cuadrado de los tres lados de estos triángulos y comprueba en cuál

de ellos de cumple el teorema de Pitágoras.

22. Una escalera de 65 decímetros se apoya en una pared vertical de modo que

el pie de la escalera está a 25 decímetros de la pared. ¿Qué altura, en decímetros

alcanza la escalera

102

23. La cara frontal de una tienda de campaña es un triángulo isósceles cuya base mide

1,6 metros y cada uno de los lados iguales mide 170 centímetros. Calcula la altura en

centímetros de esa tienda de campaña.

24 .En un triángulo isósceles y rectángulo, los catetos miden 25 milímetros cada

uno, ¿Cuál es la medida de su hipotenusa?

25. La altura de una portería de fútbol reglamentaria es de 2,4 metros y la distancia

desde el punto de penalti hasta la raya de gol es de 10,8 metros. ¿Qué distancia

recorre un balón que se lanza desde el punto de penalti y se estrella en el punto

central del larguero?

105

Situación Problema

Adrián y Fabián salen del colegio para su casa. Adrián camina

3km hacia el Este y 2km hacia el Norte y Fabián camina 1km al Oeste

y 5km al Norte. ¿A qué distancia se encuentra la casa de Adrián de la de Fabián?


Si representamos gráficamente la situación en el plano cartesiano siendo el colegio

el punto de origen o referencia (0,0) entonces la casa de Fabián está ubicada en el

punto B (- 1,5) y la casa de Adrián está ubicada en el punto C(3,2).Luego, al estar

estos puntos ubicados en el sistema de coordenadas se puede encontrar un punto

tal que se forme un triángulo rectángulo en el cual la distancia entre las casas sea

la hipotenusa y el punto encontrado sea el vértice del ángulo recto. Ese punto

puede ser (3,5) (abscisa del punto C y ordenada del punto B) o también podría ser

(-1,2) (abscisa del punto B y ordenada del punto C). Para este caso utilizaremos el

punto (3,5) y le llamaremos A.

Al visualizar la imagen se puede notar que las medidas de los catetos que se forman

son 3 y 4 por lo que entonces la distancia entre las casas de Fabián y Adrián será

5. Como cada unidad equivale a un kilómetro esto quiere decir que la distancia

entre las casas es de 5km. Sin embargo, se quiere utilizar este problema para

institucionalizar la fórmula de distancia entre dos puntos coordenados, por lo que

entonces analizaremos este problema mediante la distancia entre coordenadas.

Como se dijo, el punto B es la casa de Fabián y C la casa de Adrián, entonces la

Tema 2 Distancia Entre Dos Puntos

106

distancia entre las abscisas es 2 2

( , ) 4 1 3 2 10d A B 1 3 y la distancia

entre las ordenadas es 5 2 ; ahora utilizando el teorema de Pitágoras se tiene que:

2 2

1 2 1 2( )d AB x x y y

La clave

Fórmula de la distancia entre dos puntos coordenados

Sean A y B dos puntos en el plano cartesiano cuyas coordenadas son

respectivamente 1 1 2 2, ,x y y x y entonces la distancia entre A y B es igual a:

2 2

1 2 1 2( )d AB x x y y

Justificación: Buscando un punto C, tal que el ángulo ACB sea el ángulo recto del triángulo ABC,

entonces el punto C puede ser: 1 1 2 2, ,x y o x y

Nota Suponga que “a”, “b” y “c” son lados de un triángulo, y que “c” es el lado

mayor. Entonces se cumple lo siguiente:

1) Si c2 = a2 + b2 , entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

(teorema de Pitágoras).

2) Si c2 > a2 + b2 , entonces el triángulo es obtusángulo.

3) Si c2 < a2 + b2 , entonces el triángulo es acutángulo.

Ejemplos

1. En cada caso indique si el triángulo es rectángulo a) Los lados del triángulo miden 5,12 y 13.

Solución Se usa el recíproco del teorema de Pitágoras, la medida del lado mayor es 13

entonces se debe verificar si 2 2 213 12 5

Efectivamente: 2 2 213 12 5 169 144 25 por lo tanto el triángulo es rectángulo


Solución

De nuevo se usa el recíproco del teorema de Pitágoras, la medida del lado mayor es

6 entonces se debe verificar si 2 2 26 4 5 sin embargo se puede observar que 2 2 26 4 5 puesto que 36 16 25 por lo tanto el triángulo no es rectángulo

107

2 Observe el siguiente cuadro

Sea C (x,y) entonces el segmento AC con BC forman un ángulo recto En la

siguiente figura se muestra un caso particular donde A(-1,5), B(3,2) y C(3,5 Determine

los pares ordenados del triangulo

Sea C (x,y) entonces el segmento AC con BC forman un

ángulo recto En la siguiente figura se muestra un caso particular

donde A(-1,5), B(3,2) y C(3,5)

3)Observe el siguiente cuadro

Posibles

medidas

Posible

hipotenusa Comprobación Conclusión

24, 7, 25 25 242 + 72 = 252

625 = 625 El triángulo sí es

rectángulo

7, 4, 6 7 42 + 62 = 72

52 ≠ 49 El triángulo no es

rectángulo

40, 41, 9 41 402 + 92 = 412 1681 = 1681

El triángulo sí es

rectángulo

15, 20, 26 26 152 + 202 = 262

625 ≠ 9 El triángulo no es

rectángulo

108

4)Dadas las siguientes coordenadas de los vértices de un triángulo A(2,1), B(6,5) y

C(9,2), clasifique el triángulo de acuerdo a la medida de sus

ángulos y la medida de sus lados. Argumente su respuesta

Aunque para la resolución del problema no es necesaria la representación gráfica, un primer acercamiento al

problema podría ser ubicar los puntos en el plano cartesiano y unirlos con segmentos para formar un

triángulo

Aparentemente el triángulo de la imagen se visualiza como rectángulo y escaleno,

sin embargo hay que argumentar esta percepción con fundamentos matemáticos. Para esto, se utilizará la fórmula de la distancia entre dos puntos conociendo sus

coordenadas y el teorema de Pitágoras

Con la fórmula de la distancia entre dos puntos se obtiene que

2 2

2 2

2 2

( ) 2 6 1 5 4 2

( ) 9 6 2 5 3 2

( ) 2 9 1 2 5 2

d AB

d BC

d AC

Por lo tanto, como 2 2 2

5 2 4 2 3 2 se concluye que efectivamente el

triángulo es rectángulo y como las medidas de sus lados son diferentes se clasifica

como escaleno

109

5. Demostrar que los puntos: A(3, 8); B(-11, 3) y C(-8, -2) son vértices de un

triángulo isósceles.

221)38()113(d 22

AB

34)23()811(d 22

BC

221)28()83(d 22

AC

Como AB = AC BC; el triángulo es isósceles

7. Hallar la distancia entre:

a) A (-2,3) y B (5,1)

53)13()(-2)-5(d 22

AB

b). C (6, -1) y D (-4, -3)

262))1(3(6)-(-4d 22

CD

110

8. Demostrar que A(7,5), B(2,3) y C(6, -7) son vértices de un

triángulo rectángulo.

29425)53()72(d 22

AB

11610016)37()26(d 22

BC

1451441)57()76(d 22

AC

14511629;ACBCAB 222

El cuadrado de la hipotenusa (AC) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (AB y BC).

8. Calcula la distancia entre los puntos

A (1, 2) y B (4, 3).

2 2

( , ) 4 1 3 2 10d A B

12.Calcula la distancia entre los puntos P 1 (7, 5) y P 2 (4, 1)

13.

111

Ejercicios

1) Hallar la distancia entre:

a) A ( 4,1 ) y B ( 3,-2 )

b) C ( -1,-5 ) y D ( 2,-3)

2) Determinar un punto que equidiste de: A ( 1,7 ); B ( 8,6 ) y C ( 7,-1 )

3) Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son: A( -3,-1 ); B( 0,3 ); C( 3,4 ) y D( 4,-1 )

4) Demostrar que :

a) A (0,1); B (3,5); C (7,2) y D (4,-2) son vértices de un cuadrado.

b) A ( 1,1 ); B ( 3,5 ); C ( 11,6 ) y D ( 9,2 ) son los vértices de

un paralelogramo.

5) Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 13 es

el punto A (-1, -5 ); si la abscisa del otro extremo es 2, hallar su ordenada (

dos soluciones ).

6) Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A (3,1 ) y B ( -

1, 1 ); hallar las coordenadas del tercer vértice ( dos soluciones )

7) Hallar la longitud de las diagonales del paralelogramo que tiene como vértices los puntos: A ( 0,0 ); B ( 3,0 ); C ( 4,2 ) y D ( 1,2 )

8) Demostrar que los puntos A (3,3 ); B ( -3,-3 ) y C ( -3 3 , 3 3 ) son

vértices de un triángulo equilátero.

9) Hallar el perímetro del triángulo cuyos vértices son: A(-2, 5 ), B( 4, 3 ) y

C( 7, -2 ).

10) Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 10 es el punto A (-3, 6 ); si la abscisa del otro extremo es ( 3 ), hallar su

ordenada ( dos soluciones ).

112

11. Halla la distancia entre A y B en cada caso:

a. A(-7, 4), B(6, 4) b. A(3, 4), B(3, 9) c. A(-5, 11), B(0, -1)

12. Calcula el valor de k para que la distancia de A(-1, 4) a B(k, 1) sea igual a 5.

13. Halla las coordenadas de dos puntos tales que la distancia entre ellos sea igual

a 4.

14. Calcula el perímetro de los siguientes triángulos y clasifícalos según la longitud de sus lados:

a. A(-2, 2), B(1, 6), C(6, -6) b. A(-5, -2), B(0, 6), C(5, -2)

15. Usando las cuadrículas proporcionadas, determine la distancia entre los

puntos A y B en cada caso.

A

C) D)

113

16. Utilizando el teorema de Pitágoras resuelva los siguientes problemas, puede

ubicarse en el plano cartesiano para entender mejor algunos problemas.

1) Un automóvil recorre 15 km hacia el norte, dobla hacia la derecha en ángulo

recto y continúa 5km más. Posteriormente dobla hacia el norte y recorre otros

10km, terminando con 14 km hacia la izquierda en ángulo recto. ¿A qué distancia

se encuentra del punto original? ¿Cuánto camino recorrió?

2) Una persona camina 4km hacia el norte y 3km al oeste. Luego cambia hacia el

norte y camina 8km, por último camina 6km más hacia el oeste. ¿A qué distancia

se encuentra del origen? ¿Cuánto camino recorrió esa persona?

3) El hueco de una ventana mide 41 pulgadas de ancho y 26 pulgadas de altura.

¿Se Puede introducir por la ventana una mesa de ping-pong de 48 pulgadas de

ancho?

4) Una puerta mide 210 cm de altura por 80 cm de ancho. ¿Cuál es el ancho mayor

que puede tener una lámina para que pase por esta puerta?

5) Una persona viaja 8km al norte, 3km al oeste, 7 km al norte y 11km al este. ¿A

qué distancia está la persona del punto original? ¿Cuánto camino recorrió en su

totalidad?

115

Situación Problema

Los estudiantes del nuevo gobierno estudiantil del Colegio El Progreso

se dieron cuenta que para trasladarse hacia el Pabellón 2 de su

Institución sólo existían gradas. Ellos tienen claro que de acuerdo a la ley 7600 se

deben construir rampas de acceso para personas con discapacidad. Es por esto que

le solicitan al director del colegio que ponga en regla esta situación para no afectar

los derechos de las personas.

De esta manera se asesoran y encuentran que de acuerdo a las regulaciones

existentes respecto a la construcción de rampas de acceso según la ley 7600 de

Costa Rica la rampa debe de tener una elevación máxima de 15°.

Si cada escalón tiene una altura de 22 cm y una profundidad de 25 cm, y deciden

hacer la rampa con exactamente 15° de elevación, ¿a qué distancia del primer

escalón deberá iniciar la rampa para cumplir con las especificaciones y qué longitud

tendrá


Una estrategia de resolución es la de visualizar la situación como un problema

trigonométrico. Observe la siguiente imagen representativa:

Tema 3 Trigonometría

116

Se conoce que el ángulo de elevación debe ser de 15° y la altura que deberá

alcanzar la rampa es de 66 cm debido a que la altura de cada grada es de 22 cm.

Sea AB la longitud de la rampa, el estudiante puede establecer la siguiente

relación:

6615

66

15

255

senAB

ABsen

AB cm

Por lo tanto, la rampa tendrá una longitud de 255 cm o 2,55 m aproximadamente.

Para saber a qué distancia del primer escalón se debe iniciar la construcción de la

rampa se puede utilizar la siguiente relación:

66tan 15

66

tan 15

246,32

AC

AC

AC m

Ahora bien, como las gradas tienen una profundidad de 25 cm cada una, entonces

la rampa se deberá iniciar a 247 cm – 50 cm = 197 cm o 1,97 m del borde inferior

del primer escalón.

La Clave

Conversiones de medidas de ángulos

Hasta ahora, las medidas de los ángulos sólo se conocen en grados. Sin

embargo, las medidas de los ángulos se pueden expresar en otra unidad llamada

radianes (𝑟𝑎𝑑). La equivalencia se da al decir que 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 180°. Las conversiones se

pueden dar en dos direcciones diferentes: de grados a radianes y de radianes a

grados. Se estudia cada caso por separado.

Si la medida 𝛼 está dada en grados, la medida en radianes se obtiene por

medio de la siguiente fórmula:

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =𝛼° ∙ 𝜋

180 𝑟𝑎

117

Ejemplo, se pueden hacer las siguientes conversiones:

Medida en grados Operación Resultado en radianes

4

𝜋°

4𝜋

∙ 𝜋

180=

4

180=

1

45

1

45 𝑟𝑎𝑑

85° 85 ∙ 𝜋

180=

17𝜋

36

17𝜋

36 𝑟𝑎𝑑

125° 125 ∙ 𝜋

180=

25𝜋

36

25𝜋

36 𝑟𝑎𝑑

Si la medida 𝛼 está dada en radianes, la medida en grados se obtiene por

medio de la siguiente fórmula:

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =𝛼 𝑟𝑎𝑑∙𝜋

180

°

Ejemplo, se pueden hacer las siguientes conversiones:

Medida en radianes Operación Resultado en grados

5𝜋

4 𝑟𝑎𝑑

5𝜋4

∙ 180

𝜋=

900𝜋

4𝜋= 225

225°

3

2 𝑟𝑎𝑑

32

∙ 180

𝜋=

540

2𝜋=

270

𝜋

270

𝜋

°

7𝜋

20 𝑟𝑎𝑑

7𝜋20

∙ 180

𝜋=

1260𝜋

20𝜋

63°

118

Ejemplo

1. Convierta las siguientes medidas a radianes.

a. 30°.

b. 45°.

c. 60°.

d. 250°.

Solución

a. 30° = 30° ⋅𝜋

180°=

𝜋

6 .

b. 45° = 45° ⋅𝜋

180°=

𝜋

4.

c. 60° = 60° ⋅𝜋

180°=

𝜋

3.

2. Convierta las siguientes medidas a grados.

a. 𝜋

4.

b. 𝜋

2.

c. 5𝜋

6.

d. 4 rad.

Solución

a. 𝜋

4=

𝜋

4⋅

180°

𝜋= 45°.

b. 𝜋

2=

𝜋

2⋅

180°

𝜋= 90°.

c. 5𝜋

6=

5𝜋

6⋅

180°

𝜋= 150°.

d. 4 = 4 ⋅180°

𝜋= 229,29°.∎

Ejemplo Para transformar de una unidad a otra, usamos la regla de tres:

º

º180

y

rad

x

ejemplo: 40º a rad

º40

º180

y

rad y =

º180

º40 rad

18

4 rad

9

2 rad

119

Ejercicios

1)Convierta los siguientes ángulos a radianes:

60º _________ 2) 220º _____________ 3) 315º _______________

2) Convierta los siguientes ángulos a grados:

1) 2 ___________ 2) 5

4 ________________

3) 2

3 _______________

3) Realice la conversión a Radianes de los siguientes ángulos

( a ) 45°

( b ) – 132°

( c ) 90°

( d ) 140°

(e) – 570°

( f ) 210°

( g ) – 20°

( h ) 311°

( i ) 360°

( j ) 740°

(k)– 2280°

( l ) 120°

( m ) – 5°

( n ) 8°

( ñ ) 190°

4) Realice la conversión a Grados de los siguientes ángulos

( a ) 5

( b ) – 4

π

( c ) 5

8π

( d ) π

( e ) 7

( f ) 21

( g ) – 2

π

( h ) 4

3π

(i ) 3

17π

( j ) – π5

( k ) 3

5π

(l) –6

7π

(m)–11π

( n ) 3

π

(ñ) –2

9π

120

5) Convierta los siguientes ángulos de grados a radianes o de radianes a grados

según sea el caso.

a) 60º =

b) 3

c) 150º =

d) 6

5

e) 4 =

f) 225º =

g)

2

e) - 600º

6) Transformar el ángulo de grados a rad:

1) 15º 2) 35º 3) 80º 4) 150º

5) 200º 6) 90º 7) 60º 8) 45º 9) 30º

7) Transformar el ángulo de rad a grados:

1) rad5

2) rad

10

3) rad 3

Razones trigonométricas

Para definir adecuadamente las razones trigonométricas de un ángulo, es

necesario determinar, en un triángulo rectángulo, qué nombre recibe cada

lado del triángulo con respecto a los ángulos agudos. Así, se tiene que

121

Figura Medida del lado

Con respecto al ángulo dado

∡𝛼 ∡𝛽

𝑎 Cateto adyacente Cateto opuesto

𝑏 Cateto opuesto Cateto adyacente

𝑐 Hipotenusa Hipotenusa

La diferenciación anterior se debe a que las razones trigonométricas utilizan las

medidas de los lados de un triángulo dependiendo de la posición que éstos ocupan

con respecto a uno de los ángulos agudos.Las razones trigonométricas siempre se

definen para un ángulo determinado. Si el ángulo se denota como ∡𝜃, se tiene:

Razón Abreviatura utilizada Definición

Seno sen(𝜃) = sen 𝜃 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

Coseno cos(𝜃) = cos 𝜃 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

Tangente tan(𝜃) = tan 𝜃 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

Para recordarlo con más claridad, se utiliza la abreviatura

𝑆𝑂

𝐻𝐶

𝐴

𝐻𝑇

𝑂

𝐴, que sirve para recordar la definición de todas las razones.

Ejemplo

Figura Razones

Para cada ángulo dado

∡𝛼 ∡𝛽

Seno 𝑏

𝑐

𝑎

𝑐

Coseno 𝑎

𝑐

𝑏

𝑐

Tangente 𝑏

𝑎

𝑎

𝑏

122

Las razones trigonométricas se utilizan para determinar las medidas faltantes en

un triángulo, tanto de lados como de ángulos.

Ejemplo Si en la figura adjunta 𝑏 = 25 𝑐𝑚 y 𝑚∡𝛽 = 40°, se debe determinar

los valores de 𝑏, 𝑐 y 𝑚∡𝛼:

Utilizando las razones trigonométricas, se tendría que

cos(40°) =25

𝑐

De donde se obtiene: 𝑐 ∙ cos(40°) = 25

𝑐 =25

cos(40°)≈

25

0,7660≈ 32,6370757 ≈ 32,6

Con los datos anteriores, se puede utilizar el teorema de Pitágoras para determinar el valor de 𝑎:

𝑎2 + 252 = 32,62 𝑎2 + 625 = 106,76

𝑎2 = 1062,76 − 625 𝑎2 = 437,76

𝑎 = √437,76 ≈ 20,9227149 ≈ 20,9

De la misma manera, como el ángulo no señalado es recto, su medida es 90°, y,

como la suma de las medidas de los ángulos internos de todo triángulo da como resultado 180°, se tiene que

180° = 90° + 40° + 𝑚∡𝛼 180° = 130° + 𝑚∡𝛼 180° − 130° = 𝑚∡𝛼

50° = 𝑚∡𝛼

De esta manera, se tiene resuelto el triángulo:

Símbolo Medida

∡𝛼 50°

∡𝛽 40°

𝑎 20,9 𝑐𝑚

𝑏 25 𝑐𝑚

𝑐 32,6 𝑐𝑚

123

Al utilizar la calculadora, los botones útiles para resolver problemas con

trigonometría son el que dice 𝑠𝑖𝑛 para seno, el que dice 𝑐𝑜𝑠 para coseno y el que

dice 𝑡𝑎𝑛 para la tangente. Los cálculos se pueden hacer con las medidas de los

ángulos tanto en grados como en radianes.

Para tener la seguridad de que la calculadora está preparada para hacer los cálculos

en grados, unidad más común en la resolución de la mayor parte de los ejercicios

y problemas de trigonometría, en la parte superior de la pantalla debe aparecer

una letra D, inicial del vocablo inglés degree (grado). Si, por el contrario, se observa

una G (gradientes) o una R (radianes), antes de resolver cualquier operación se

debe oprimir el botón SHIFT, seguido del botón MODE (ubicado a la izquierda del

botón de encendido (ON)) y luego el número 3. Además, si se desea trabajar con

las medidas en radianes, se debe oprimir el botón SHIFT, seguido del botón MODE

y luego el número 4.

De igual manera, los tres botones trigonométricos (SIN, COS y TAN) tienen dos

funciones cada uno. La primera función corresponde al caso en el que se tiene la

medida del ángulo y se desea conocer el valor de su razón trigonométrica. Pero,

cuando se tiene el valor de la razón trigonométrica y se desea conocer la medida

del ángulo, se debe oprimir SHIFT antes de cualquiera de estos botones, con lo cual

se verá el resultado como sin−1, cos−1 o tan−1.

Ejemplo Si en la figura adjunta 𝑏 = 24 𝑐𝑚 y 𝑎 = 7 𝑐𝑚, se debe determinar

los valores de 𝑐, 𝑚∡𝛽 y 𝑚∡𝛼:

Utilizando las razones trigonométricas, se tendría que

tan(𝛽) =7

24

De donde se obtiene: tan(𝛽) ≈ 0,2917

𝛽 = tan−1(0,2917) ≈ 16,262°

Con los datos anteriores, se puede utilizar el teorema de Pitágoras para determinar el valor de 𝑐:

72 + 242 = 𝑐2 49 + 576 = 𝑐2

625 = 𝑐2

𝑐 = √625 = 25

De la misma manera, como el ángulo no señalado es recto, su medida es 90°, y,

como la suma de las medidas de los ángulos internos de todo triángulo da como resultado 180°, se tiene que

180° = 90° + 16,262° + 𝑚∡𝛼

124

180° = 106,262° + 𝑚∡𝛼 180° − 106,262° = 𝑚∡𝛼

73,738° = 𝑚∡𝛼

De esta manera, se tiene resuelto el triángulo:

Símbolo Medida

∡𝛼 73,262° ∡𝛽 16,262° 𝑎 7 𝑐𝑚

𝑏 24 𝑐𝑚

𝑐 25 𝑐𝑚

Ejemplo Determine la medida del cateto AB y encuentre las razones

trigonométricas de .

B

x 8

A 2 C

Solución

Utilizando el teorema de Pitágoras para encontrar la medida del cateto x, se tiene: 2 2 2

2

2

2 8

64 4

60

2 15

x

x

x

x

Ahora bien, como x es una distancia, entonces 2 15x .

Por otra parte, las razones trigonométricas de son las siguientes:

2 1

csc 48 4

sen

2 15 15 4 4 15

cos s c8 4 1515

e

Recuerde:

4 15 4 15

1515 15

125

2 1 15

tan cot 15152 15 15

Ejemplo

Determine las medidas aproximadas de AB y AC si 29m ABC y d(B,C)= 9.

A

x y

29

C 9 B

Solución i) ii)

tan 29 9 tan 299

9 0,554

4,99

xx

x

x

Ejemplo

Si la altura de un triángulo isósceles sobre su lado desigual es 10 cm y la

base es 16 cm. Calcule la medida de sus ángulos internos.

C

Solución

10

a) 10

tan 51,38

A 8 8 B

b) Como los ángulos de la base son congruentes 180 2 51,3 77,4m ACB

126

Ejemplos a) Seno de un ángulo:

En cualquier triángulo rectángulo se define el seno del ángulo como el

cociente del cateto opuesto entre la hipotenusa.

sen = cat. op.

hip.

3 3

4 4

sen = 3

5 sen =

4

5

b) Coseno de un ángulo:

En cualquier triángulo rectángulo se define el coseno del ángulo como el

cociente del cateto adyacente entre la hipotenusa.

cos = cat. ady.

hip.

13 5 13 5 4 5 4

cos = 12

13 cos =

5

13 cos =

8

4 5 cos =

4

4 5

5 5

12 12 8

127

C) Tangente de un ángulo:

En cualquier triángulo rectángulo se define la tangente del ángulo como

el cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente.

tan = cat. op.

cat. ady.

Ejemplos:

24 30 24 30 15 3 30

tan = 24

18 tan =

12

13 tan =

5 3

15 tan =

15

5 3

Ejemplos: Con las razones trigonométricas podemos determinar la medida

de los ángulos agudos del triángulo rectángulo conociendo la medida de sus lados

(para este tema es fundamental el uso de la calculadora). Ejemplos De acuerdo

con los datos de las figuras determine la medida de los ángulos q , b y a.

18 18 15

128

Ejercicios

1. Determine las razones trigonométricas de los siguientes triángulos rectángulos

2) Utilice la calculadora y aproxime con tres decimales por exceso el valor de las

seis razones trigonométricas de los ángulos dados en cada caso:

a) 18o b) 73,5o c) 35o d) 85,2o

3) Para cada caso, encuentre el valor del ángulo agudo , aproximando con dos

decimales por exceso, que cumpla con la condición dada:

a) 0,42sen b) cos 0,8 c) tan 8,32

129

4) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 m y 7 m. Halla la hipotenusa y

los ángulos.

[sol] 8,60 m; 35,53º

5) El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 12 m y la hipotenusa 35 m.

Halla el otro cateto y los ángulos.

[sol] 32,88 m; 20,06º

6) En un triángulo rectángulo sabemos que un ángulo mide 37º y el cateto contiguo 15,4 m. Halla los otros dos lados y el otro ángulo agudo.

[sol] 53º, 19,28 m, 11,60 m

7) En las siguientes figuras, utilizando razones trigonométricas determine el valor aproximado

de las variables " x " "y "

130

8) Si se sabe que sen = 7

25, determinar cos . (Sugerencia: dibujar un

triángulo rectángulo)

9) En el triángulo siguiente hallar las medidas de tan y tan . Además hallar

las medidas aproximadas del y del .

10) Si se sabe que cos =

3

3 , determinar sen y tan . (Sugerencia: dibujar

un triángulo rectángulo)

11)De acuerdo con el criterio LLL, los dos triángulos siguientes son semejantes (

ABC JFK ). Complete la información que se le pide.

a) sen 1 = ________ a) sen 2 = _________

b) cos 1 = ________ b) cos 2 = __________

c) tan 1 = ________ c) tan 2 = __________

Conclusión:

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

131

12) En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos es , y tan =

4

3 .

El cateto opuesto al mide 48cm. Hallar las medidas de los otros dos lados

de este triángulo

13) Utilizando razones trigonométricas calcule el valor aproximado de los ángulos

en las siguientes figuras.

14). Dibuje un triángulo que tenga un

ángulo A, y la razón Sen A = 13

5 la

contenga también.

15). Calcule las razones trigonométricas de cada uno de los

ángulos agudos de los siguientes triángulos rectángulos. Tome en

cuenta la información proporcionada en cada figura. a) A m(AB) = 10 cm

m(CB) = 8 cm

C B

b) F D m(DE) = 20 cm

m(DF) = 24 cm

E

17) Resuelva los triángulos rectángulos que tienen las características dadas en

cada caso. Considere que es un ángulo interno del triángulo.

a) = 37° y la hipotenusa 24 cm

b) = 77° y el cateto opuesto al

ángulo

mide 25 cm

c) = 39° y el cateto opuesto al

ángulo mide 34 cm

d) = 18° y el cateto opuesto mide

100 m.

e) = 35° y el cateto opuesto mide 3,8

m.

f) = 70° y el cateto adyacente mide

14 m.

g) = 64° y el cateto adyacente mide

147 m.

132

16). De acuerdo con los datos de la

figura adjunta, escriba en el espacio el nombre del vértice del ángulo que hace

la igualdad resulte verdadera.

a) Cos ______ =17

15 A

b) Sen ______ = 17

8 17cm

c) Tan ______ = 8

15 8cm

d) Tan ______ = 15

8 B 15cm

C

e) Sen ______ = 17

15

f) Cos ______ = 17

8

18. Determine el valor de las otras razones trigonométricas para cada uno de los

siguientes enunciados.

a) Sen = 5

4

b) Cos = 0,6

c) Tan = 1

d) Cos = 0,2

e) Tan = 4

f) Sen = 2

1

g) Tan = 1,5

h) Cos = 2

2

= 68° y el cateto adyacente mide 75 cm

19) Calcule el perímetro y el área de cada uno de los siguientes triángulos

rectángulos A

a)

B 27cm C

b) R

S 176 m P

20)Si la altura de un triángulo isósceles es

de 16 cm y uno de los ángulos congruentes mide 35°, calcule el área del triángulo.

8. Determine cada uno de los valores

desconocidos en cada uno de los siguientes triángulos.

E b D

a) R b)

y

x a

12,3cm

S P

5,20 cm

F

36°

24°

70°

68°

133

21) Utilice la figura de la derecha para calcular la medida de los lados y de los

ángulos faltantes en cada caso. Trabaje con valores exactos y racionalice

denominadores.

a) c = 12; 45om A B

b) a = 8; 30om B

c) 3c ; 60om B c a

d) 2c ; 2b

b

22) Determina cuál es el cateto opuesto y cuál el cateto adyacente para el ángulo

indicado en cada triángulo.

23) Halla las seis razones trigonométricas para el ángulo en cada triángulo

134

25) Completa cada espacio con el ángulo que corresponde a cada razón

trigonométrica

Aplicaciones y angulos de elevacion y de deprecion

Ángulos de elevación y de depresión

Estos ángulos se definen cuando hay un objeto observado y un observador

que se encuentran distanciados tanto en altura como a nivel del suelo. Siempre se

definen entre la línea de la vista (distancia entre el objeto y el observador) y la

horizontal (suelo o línea paralela al suelo). La siguiente figura ejemplifica de mejor

manera el dibujo útil para resolver estos ejercicios:

La distancia vertical generalmente se da con referencia a un edificio (torre, faro,

edificio sin especificaciones,…) o alturas (vuelo de un avión o un papalote a una

altura determinada, altura de la ventana, estatura de una persona,…).

Si un observador en un punto 𝑋 ve un objeto, entonces el ángulo que forma la

visual con la horizontal 𝑙 es un ángulo de elevación del objeto, si está arriba del

la horizontal o el ángulo de depresión del mismo, si el objeto que ve está debajo

135

de la horizontal. En la figura adjunta el ángulo de elevación es 𝛼 y el ángulo de

depresión es 𝛽.

Algunas situaciones que se resuelven con triángulos rectángulos, involucran

ángulos de elevación o ángulos de depresión. Cuando un objeto es observado, la

recta imaginaria que se forma entre el observador y el objeto, se denomina línea

visual. La línea visual forma con la horizontal imaginaria, un ángulo cuyo nombre

depende de la ubicación del objeto con respecto al observador:

• Si el objeto está a un nivel más alto que el

observador, el ángulo se denomina ángulo de elevación.

• Si el objeto está a un nivel más bajo que el

observador, el ángulo se denomina ángulo de depresión.

𝛼

𝛽

136

Ejemplos Carlos quiere saber la medida del ancho de un río sin tener que

desplazarse a la otra orilla. Midiendo sus pasos llega a la siguiente situación:

¿Cuánto mide el río de ancho? Primero, como ABC es un triángulo rectángulo del

que se conocen sus catetos, se debe calcular

la tangente de a. Así: 3

tan 0,65

Segundo,

como DCE es un triángulo rectángulo del

que se conoce uno de sus catetos y un

ángulo a, entonces se determina a a partir

de la ecuación

tan25

0,625

15

a

a

a m

n:

Ejemplo Una colina forma un ángulo de 30° con la base. Si una persona

recorre 2.500 m para llegar a la cima de la colina, ¿cuál es la altura de la colina?

En este problema se conocen la hipotenusa y un ángulo de un triángulo rectángulo,

hay que hallar un cateto. Primero, se plantea una ecuación con la razón que

relaciona la hipotenusa, el ángulo y su cateto opuesto, así:

302500

2500. 30 1.250

hsen

h sen m

Luego, se responde la pregunta del problema: la altura

de la colina es 1.250 m.

137

Ejemplo Una escalera de 2,13 m está apoyada contra una pared. La base

de la escalera está a 1,5 m de la pared. ¿Cuál es la medida del ángulo que forma

la escalera con el piso? ¿Cuál es la altura de la pared?

Primero, se encuentra la medida del ángulo a partir de la razón

01,5cos 0,7075 ; cos0,7075 45

2,12ar

Luego, se halla la altura de la pared, así: 0 0tan 45 1,5 tan 45 1,51,5

hh mts

La medida del ángulo que forma la escalera con el piso es 45° y la altura de la

pared es 1,5 m

Ejemplo Si deseamos calcular la altura aproximada del Fortín de Heredia,

teniendo algunos datos podemos lograrlo

Del triángulo rectángulo formado, podemos

extraer diversa información: El cateto

correspondiente a la altura del Fortín, es

opuesto al ángulo de 50°. El cateto

horizontal, que mide 11 metros, es

adyacente al ángulo de 50°. Con estos

datos, podemos establecer la siguiente

relación

0 0tan 50 11 tan 50 13,511

hh mts

138

Ejemplo Desde un punto en un plano, se observa, con un ángulo de

elevación un objeto en la parte más alta de un edificio, la distancia del punto de

observación a la base del edificio es de 40m

¿Cuál es la altura aproximada del edificio?

Primero: Construimos una figura que ilustre

lo planteado en el problema. Segundo:

Aplicamos una razón trigonométrica que

satisfaga el problema, en este caso tenemos

que averiguar el segmento AB, por lo que

aplicamos tangente. Tercero: Concluimos

que altura aproximada del edificio es de

64,01m

Ejemplo Desde el punto más alto de una antena, que mide 20m de altura,

se observa, con un ángulo de depresión de 42º un objeto ¿Cuál es la distancia

aproximada entre el punto de observación y el objeto?

Primero: Construimos una figura que ilustre

lo planteado en el problema. Segundo:

Aplicamos una razón trigonométrica que

satisfaga el problema, en este caso tenemos

que averiguar el segmento BC, por lo que

aplicamos seno. Tercero: Concluimos que la

distancia entre el punto de observación y el

objeto es aproximadamente de 29,88m.

Ejemplo

Un alambre de soporte debe ser colocado en la punta de un

poste telefónico de 6 𝑚 de altura y fijado en la tierra. ¿Qué

cantidad de alambre se necesitará para que haga un ángulo de

46° con el nivel del suelo?

139

Al buscar la respuesta, se debe plantear primero la figura que modela la situación:

Al analizar la figura, con respecto al ángulo formado entre el alambre y el suelo, se

tiene que el poste es el cateto opuesto al ángulo y el alambre es la hipotenusa del

triángulo.

Así, recordando las definiciones de las

razones trigonométricas, es claro que la

aplicable es seno, por lo cual:

sen(46°) =6

𝑥

De donde se obtiene:

𝑥 ∙ sen(46°) = 6

𝑥 =6

sen(46°)≈

6

0,7193≈ 8,341444307 ≈ 8,34

Así, aproximadamente se requieren 8,34 𝑚 de alambre para colocar el poste en el

lugar deseado.

Ejemplo

Al buscar la respuesta, se debe plantear primero la figura que modela la situación:

En el análisis de la figura, con

respecto al ángulo de depresión,

se tiene que la estatura del

observador es el cateto opuesto

al ángulo de 15°, mientras que el

ancho del río corresponde al

cateto adyacente, por lo cual los

cálculos se deben hacer utilizando la razón trigonométrica tangente:

tan(15°) =1,8

𝑥

Desde la orilla del río, un observador de 1,8 𝑚 de altura observa

una piedra rojiza en la otra orilla del río. Con un ángulo de

depresión de 15° ¿Cuál es, en metros, la medida aproximada

del ancho del río?

140

De donde se obtiene:

𝑥 ∙ tan(15°) = 1,8

𝑥 =1,8

sen(15°)≈

1,8

0,2679≈ 6,78611422 ≈ 6,79

Así, aproximadamente el ancho del río es de 6,79 𝑚.

Ejemplo Un faro construido al nivel del mar tiene su observatorio a 16m

de alto. Si desde él se observa una boya con un ángulo de depresión de 49o, ¿cuál

es la distancia entre la boya y la base del faro?

Un faro construido al nivel del mar tiene su observatorio a 16m de alto. Si desde

él se observa una boya con un ángulo de depresión de 49o, ¿cuál es la distancia entre la boya y la base del faro?

Solución

Como primer paso conviene hacer un esquema que ilustre la situación. A

49o

16m

(faro)

B x C (boya)

Sea x la distancia entre la boya y la base del faro. Observe que la medida del ángulo BAC es 41o, ya que es el complemento de 49o.

Y el ángulo BCA es congruente con el de depresión, por ser ángulos alterno internos. También se puede ver que BCA y BAC son complementarios.

Se tiene entonces que se puede trabajar con cualquiera de los dos ángulos

agudos del triángulo rectángulo ABC.

Usando la información del BCA se tiene:

16 16tan 49

tan 4916

13,911,15

o

ox

x

x

Por lo tanto la distancia entre la boya y la base del faro es de aproximadamente

13,91m.

141

Ejemplo

Juan desea estimar la altura del campanario de una iglesia pero, por razones

que no se exponen, no hay manera de llegar directamente a él.

Para lograr su objetivo Juan realiza el siguiente plan: marca un punto B en

el suelo exactamente debajo del campanario y otro punto A a 13m de

distancia, también en el suelo, como se muestra en el dibujo de arriba. El

punto más alto en el campanario lo llama D y C es un punto elegido en la

base del campanario del segmento BD.

Luego desde A mide los ángulos de elevación DAB y CAB y obtiene los

siguientes resultados: 42om DAB y 34om CAB . Llama x la altura del

campanario y y la distancia desde el suelo a la base del campanario.

Primero calcula el valor aproximado de y:

tan 34 13 tan 3413

13 0,67 8,71

o oyy

y

142

Usando que 8,71y establece esta otra relación:

8,71tan 42

13

13 tan 42 8,71

13 0,9 8,71 2,99

o

o

x

x

x

Juan establece que la altura del campanario es aproximadamente 2,99m.

Ejemplo Desde un punto en el suelo, el ángulo de elevación a la parte

superior de una torre es de 30o. Si un observador ubicado en dicho punto avanza

100 m hacia la torre y vuelve a observar la cima de ésta, encuentra que ahora el

ángulo de elevación es de 60o. Encuentre la altura de la torre.

Solución

Para resolver este problema se puede hacer un esquema como el siguiente:

h

60o 30o

A y B 100

Se va a llamar h la altura de la torre y y la medida del segmento AB. Usando el esquema anterior se deducen las siguientes relaciones:

tan60 tan60 3o ohh y y

y (1)

Por otro lado:

tan 30 100100 tan 30

o

o

h hy

y

Como 3h y , sustituyendo se tiene

3100 100 3

1

3

2 100 50

yy y y

y y

143

Así la altura de la torre es 50m.

Ejemplo La medida del ángulo de depresión desde lo alto de una torre de

34 mide altura hasta un punto K en el suelo es de 800. Calcule la distancia

aproximada del punto K a la base de la torre

Solución

Se dibuja una figura representativa de

la situación.

Se plantea la razón trigonométrica

tangente del ángulo que mide 100

para encontrar el valor de x.

Se da respuesta al problema

planteado.

La distancia aproximada desde el

punto K a la base de la torre es de 6m.

Ejemplo Un turista observa la parte más alta de un edificio de 15m de

altura, con un ángulo de elevación de 240. Si realiza la observación con unos

binoculares que sostiene a 1,75m del suelo, calcule la distancia aproximada entre

el turista y la parte más alta del edificio.


la situación, dividiendo en dos partes la

altura del edificio según el dato de la

altura a la cual se ubican los

binoculares del turista.

144

Se plantea la razón trigonométrica seno

del ángulo que mide 240 para

encontrar el valor de x.

Se da respuesta al problema planteado. La distancia aproximada entre el turista

y la parte más alta del edificio es de

32,6 m

Ejemplo Cuando un avión pasa sobre un punto M ubicado en el suelo, una

estación de observación que está situada a 4kmde M lo observa con un ángulo de

elevación de 190. Calcule la altura aproximada a la que se encuentra el avión en

ese momento.


la situación.


tangente del ángulo que mide 190 para

encontrar el valor de x.

Se da respuesta al problema planteado. La altura aproximada del avión en ese

momento es de 1,4km.

145

Ejemplo Una mujer con una estatura de 1,64m proyecta su sombra en

el suelo. Si el ángulo de elevación que se forma desde la punta de la sombra hasta

la mujer es de 420, entonces, calcule la longitud aproximada de la sombra


la situación.


tangente del ángulo que mide 420 para

encontrar el valor de x

Se da respuesta al problema

planteado.

La longitud aproximada de la sombra

es de 1,8m

Ejercicios

1. Un ingeniero coloca un cable desde la parte más alta de una torre

de 45m de altura hasta un punto A en el suelo. Si el ángulo de

elevación que se forma en el punto A es de 380, calcule la longitud aproximada del

cable.

2. Dos edificios A y B están ubicados uno en frente del otro. El edificio A tiene 48

m de altura y el ángulo de depresión que se forma desde su parte más alta hasta

la base del edificio B es de 650. Calcule la distancia aproximada entre ambos

edificios.

146

3. La sombra de un edificio tiene una longitud de 0,15km. Si el ángulo de elevación

que se forma en la punta de la sombra hacia la parte más alta del edificio es de

320, calcule la altura aproximada del edificio.

4. Un avión despega de un punto K en el aeropuerto y asciende con un ángulo

constante de 380con la horizontal. Calcule la altura aproximada del avión después

de volar 1800m.

5. En el suelo se encuentra el objetivo de rescate de un helicóptero que está

volando sobre él, mientras se ubica a 600m de un puesto de observación en tierra,

desde donde es observado con un ángulo de elevación de 550. Calcule la distancia

aproximada entre el objetivo del helicóptero y el puesto de observación.

6. Desde la parte más alta de un faro, con un ángulo de depresión de 540, se

observa un barco en el mar a una distancia de 117m de su base. Calcule la altura

aproximada del faro.

147

5. Resuelva los siguientes problemas

A. Desde la cúspide de una torre de 30m de alto se observa, con un ángulo de

depresión de 29º , un objeto ubicado en el mismo plano horizontal que la base de

la torre. ¿A qué distancia aproximada se encuentra el objeto de la base de la torre?

B. Desde la orilla de un río, un observador de 1,70m de altura observa una piedra

en la otra orilla del río, con un ángulo de depresión de 17º. ¿Cuál es en metros, la

medida aproximada del ancho del río?

C. Un guardabosques ve un fuego con un ángulo de depresión de 7º mientras vigila,

de una torre que mide 825m ¿A qué distancia de la torre, aproximadamente está

el fuego?

D. El ángulo de depresión medido desde lo alto de un faro hasta una embarcación

en el mar es de 15º. Si la altura del faro es 30m entonces ¿Cuál es la distancia

aproximada en metros de la embarcación a la base del faro?

E. Desde un punto ubicado en una torre vertical y con un ángulo de depresión de

37º se observa un objeto en el plano de la base de la torre a 15m de distancia de

la dicha base. ¿A qué altura aproximada se encuentra el punto de observación

ubicado en la torre?

F. ¿Aproximadamente a qué altura en metros se encuentra el punto más alto de

una bandera con respecto al suelo, si el ángulo de elevación a dicho punto es 55º

y la distancia de la base de la bandera y el punto de observación es de 25m?

G. Un árbol de 6m de altura forma con los rayos del sol, un ángulo de 47º ¿Qué

longitud aproximada en metros tendrá la sombra del árbol?

H. Desde el suelo, Juan observa un avión en el cielo con un ángulo de elevación de

50º. Si la distancia entre el avión y Juan es de 800m, entonces ¿Cuál es la altura

aproximada en metros entre el suelo y el avión?

I. ¿Cuál es aproximadamente la altura, en metros, de un edificio si el ángulo de

elevación a la parte más alta del edificio es 37º y la distancia del punto de

observación a la base del edificio es 30m?

J. El ángulo de depresión determinado desde una torre de observación hasta un

auto es de 37º. Si la altura de la torre es de 40m. ¿Cuál es la distancia aproximada,

en metros, del auto a la base de la torre

148

6. Plantea y resuelve las siguientes situaciones:

a) Una persona de 1,60 m observa el asta de una bandera con un ángulo de

elevación de 30º, si se encuentra a 3 m del pie del asta ¿Qué altura tiene

el asta de la bandera?

b) Desde una determinada posición en un camino, una persona observa la parte más alta de una torre de alta tensión con un ángulo de elevación de 25º. Si

avanza 45 m en línea recta hacia la base de la torre, divisa ahora su parte más alta con un ángulo de elevación de 55º. Considerando que la vista del observador está

a 1,70 metros del suelo. ¡Cuál es la altura de la torre?

7. Desde un avión que se encuentra a 4500 m de altura se observan dos autos corriendo en la misma dirección y sentido con un ángulo de

depresión de 62º y 35º. Determina la distancia en que se encuentran los dos autos.

8. Marca la alternativa correcta:

1) La cumbre de un cerro se ve desde un punto P del llano bajo un ángulo de elevación de 35º . Al acercarse horizontalmente 2700 m, el ángulo de elevación es

58º. Entonces la altura del cerro es:

A) 3360 m B) 821,7 m C) 2100 m D) 210 m E) 336 m

2) Desde una distancia de 48 metros de una pared se encuentra apoyada una escala con un ángulo de 30º con respecto al pie de la escalera. A que altura se

encuentra la escalera del suelo.

A) 48m B) 48 m3 C) 16 m D) 16 3 m E) 3

16 m

9. Se desea calcular la altura de un árbol, del cual no se puede alcanzar su cima. Con ayuda de instrumentos de medición de ángulo, se obtienen las medidas

indicadas en la figura.

149

10.Suponiendo que se disponen de dispositivos para medir distancias y ángulos

pero no se puede cruzar el río. ¿Cómo calcular el ancho del río?

11. Calcular la altura de la torre con las medidas que muestran la figura:

12. Se sugiere dibujar todas las situaciones que se presentan a continuación.

a) Una escalera de 6,5 m se apoya contra una pared. Cuando el pie de la escalera

dista 1,5 m de la pared. ¿A qué altura llega la escalera?

b) La torre de control del aeropuerto visualiza un avión con un ángulo de elevación de 15°. Si el avión está a una altura de 2000 metros ¿A qué distancia está de la

torre de control?

c) Se desea construir una rampa para alcanzar una altura de 0,75 metros. Si el ángulo de inclinación es de 5°. ¿A qué distancia de la entrada debe comenzar la

rampa?

d) Dos amigos remontan barriletes soltando 85 m. de hilo. Uno forma 45° con la horizontal y el otro 40°. ¿A qué altura está cada barrilete?

150

e) El radar de un barco indica que un objeto buscado se encuentra a 30 metros de

profundidad y que el ángulo de depresión es de 15°. ¿Qué distancia debe recorrer un buzo hasta alcanzarlo?

f) Desde un edificio de 60 metros de altura se tira un cable hacia otro de 30 metros de altura. La distancia entre ellos es de 40 metros. ¿Cuántos metros de cable hay

que comprar, como mínimo, para hacerlo?

g) Un avión recorre en línea recta hacia el norte 250 km., luego al este recorre 600 km. ¿A qué distancia se encuentra del punto de partida?

h) La diagonal de un terreno con forma de cuadrado mide 112 metros. ¿Cuánto

cuesta el terreno si el metro cuadrado de tierra vale $ 25?

i) Un barco se encuentra a 800 km. del destino a donde se dirige. Luego de recorrer 200 km hacia el este, sigue su trayectoria hacia el norte. ¿Cuánto recorre en esa

dirección para llegar a destino?

j) Matías maneja un avión a control remoto que él mismo construyó. Parado a 30

metros de su casa, hace volar el avioncito hasta la terraza que está a 16 metros de altura. ¿A qué distancia está Matías de su avioncito?

13. Para llevar con la carretilla los escombros y tirarlos en un volquete, los albañiles

colocaron un tablón de 3,50 metros formando un ángulo de 25° con la vereda. ¿Cuál es la altura del volquete?

14. Una tormenta en la ciudad quebró un ciprés de la plaza. La punta cayó a 6

metros del tronco formando un ángulo de 27° con el piso. ¿A qué altura se quebró el árbol? ¿Cuál era la altura del árbol?

151

14. Con un teodolito situado a 54 metros de un edificio, se observa la parte más

alta del mismo con un ángulo de elevación de 25°. El teodolito está colocado sobre un trípode a 1,50 metros de altura. Calcular la altura del edificio. Dibujar la

situación.

El teodolito es un instrumento óptico de precisión utilizado en geodesia y

topografía. Sirve para medir ángulos. El taquímetro es un teodolito que además mide distancias.

15. Un observador se encuentra al nivel del suelo a 200 m de la base de una torre

de TV. Desde ahí observa la punta de la torre bajo un ángulo de depresión de 26º ¿A qué altura se encuentra la torre sobre el nivel de los ojos del observador?

16. ¿Cuál es el ángulo de elevación del Sol cuando un objeto de 6 m proyecta una

sombra de 10,3 m? Respuesta: 30º 10´.

17. Un observador visualiza la parte superior de un edificio a 173 m por encima del nivel de sus ojos a un ángulo de elevación de 27º 50´. ¿A que distancia se

encuentra el observador del edificio? Respuesta: 328 m.

18. Una torre de 40 m. de altura está situada a la orilla de un lago. Desde la punta de la torre el ángulo de depresión de un objeto en la orilla opuesta del lago es de

30º. ¿Cuál es el ancho del lago? Respuesta: 69,28 m.

19 Un árbol proyecta una sombra de 16,75 metros cuando el ángulo de elevación

es de 32º. Calcular la altura del árbol. Desde un faro colocado a 40 metros sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de un barco es de 55º. ¿A qué distancia

del faro se halla el barco? Respuesta: 28 m.

20. Un topógrafo determina que desde el punto A en el suelo el ángulo de elevación

hasta la cima de la montaña mide 25º. Cuando él se encuentra en un punto a 200

152

metros más cerca de la base de la montaña, el ángulo de elevación es de 42º.

¿Cuál es la altura de la montaña? Suponer que la base de la montaña y los dos puntos de observación están sobre la misma recta. Respuesta: 193,44 m.

Ley de Senos Ya hemos visto como resolver triángulos rectángulos ahora veremos todas

las técnicas para resolver triángulos generales.

Este es un triángulo ABC el ángulo α se escribe en el vértice de A, el ángulo β se escribe en el vértice de

B y el ángulo γ se escribe en el vértice de C. Los lados que están opuestos a los vértices ABC y los

escribimos con una letra minúscula abc.

Este tipo de triángulos los podemos resolver utilizando la ley de senos o la ley de

cosenos.

La fórmula para la ley de senos es:

cba

sinsinsin no hay diferencia si la tomas así:

sinsinsin

cba pero no

las puedes mezclar.

Ejemplos

1. El primer caso es de dos ángulos y un lado.

Determina las partes restantes del triángulo si 20 , 130 y b = 6.

Procedimiento: ordena los datos del problema como se te indica a continuación.

A

C B

α

β γ b

c

a

130° a = 13.44

20° b = 6

30° c = 8.77

B C

A c b = 6

a

130°

20°

153

La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo = 180°

3020130180

1. Observamos que tenemos los valores de y b por lo que las colocamos en

nuestra fórmula y buscamos el lado a.

6

20sin130sin

a despejamos a

a

20sin

6130sin

a 44.13

Tomamos de nuevo los datos que tenemos seguros del problema que son y b, porque pude haberme equivocado en la respuesta anterior y tener esta mala

también.

6

20sin30sin

c

c

20sin

630sin

c 77.8

2. Determine los lados y ángulos faltantes del triángulo ABC, si

16, 35 y 65o oa m BAC m ABC .

B

a=16 65o

c

C

b 35o

Solución A Como la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180o,

para calcular la medida del ángulo faltante

se procede así: 180 (35 65 ) 80o o o o . De donde 80om ACB .

154

Luego utilizando la ley senos dos veces se despejan las medidas desconocidas de

los lados.

35 65 65 16 0,91 1625,54

16 35 0,57

o o o

o

sen sen senb

b sen

80 35 80 16 0,98 1627,51

16 35 0,57

o o o

o

sen sen senc

c sen

3. Determine y BC m ABC en el triángulo ABC, si

10, 37 y 45o oAB m BAC m BCA .

B

Solución

10

37o 45o

A C

Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180o,

180 (37 45 ) 98o o o om ABC .

Hasta este momento no se conoce el significado de 98osen , aunque usted podría

usar una calculadora para determinar este valor. Por esta razón no se usará este ángulo en la ley de senos para calcular BC.

Se tiene entonces:

37 45 10 37 10 0,6

8,5710 45 0,7

o o o

o

sen sen senBC

BC sen

Así BC es aproximadamente 8,57 y 98om ABC .

4. Para determinar la distancia entre dos puntos, A y B, en lados opuestos de un

lago, Raquel ubicó un punto C a una distancia de 28m, al mismo lado donde está

marcado el punto A. Luego obtuvo que 85 y 69o om BAC m ACB . Como el

triángulo que formó en su estrategia resultó acutángulo decidió utilizar la ley de

senos para despejar la distancia buscada.

155

Primero tuvo que calcular la medida del ángulo ABC:

180 (85 69 ) 26o o o o

Luego planteó y resolvió la ecuación:

69 23 28 69

28 23

28 0,9366,77

0,39

o o o

o

sen sen senx

x sen

x

Raquel obtiene que la distancia entre los puntos A y B es de aproximadamente

66,77m.

5. Un poste telegráfico que está inclinado formando un ángulo de 11o con la vertical, emite una sombra de 8m de largo sobre el suelo horizontal cuando el ángulo de

elevación al sol es de 23o. Determine la longitud del poste.

Solución

Dado que la medida del ángulo ABC es: 90 11 79o o om ABC ,

180 (79 23 ) 78o o o om BAC .

Suponga que x es la longitud del poste y utilizando la ley de senos se despeja:

78 23 11 23

11 78

11 0,394,38

0,98

o o o

o

sen sen senx

x sen

x

Finalmente se obtiene que la longitud del poste es aproximadamente 4,38m.

6. Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Berto hay 25

metros, y entre Berto y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de

156

Camilo es de 20º. Calcula la distancia entre Alberto

y Camilo. El esquema de la situación sería algo así: tenemos al menos una pareja ángulo-lado opuesto.

Para hallar la medida del lado que nos falta, nos

basta recurrir al teorema del seno. El problema es que el ángulo opuesto al lado AC tampoco lo

sabemos, algo que tiene fácil solución si primero aplicamos el teorema del seno para hallar el ángulo

A y después deducir la medida de B. 25/sen20º = 12/senA 73,10 = 12/senA senA = 12/73,10 sen A = 0,16 A = 9,45º

Como los tres ángulos deben sumar 180º, B debe valer 150,55º. Ahora ya tenemos todo lo necesario para volver a usar el teorema del seno y hallar la distancia AC:

25/sen20º = AC/sen150, 55º 73,10 = AC/0,49 AC = 73,10·0,49 = 35,94m

Ejercicios 1. Determine en cada caso el valor de la variable " x" y el m q

utilizando la ley de senos.

157

2) PROBLEMAS

1) Dos piedras se encuentran a la orilla de una playa a una distancia uno de otro

de 1.8 Km. en los puntos A y B, y se encuentra una boya situada en un punto

C. Si la piedra A mide un ángulo CAB igual a 79.3° y el que está en B mide un ángulo CBA igual a 43.6°, ¿a qué distancia está la bolla de la costa?

2) Un poste forma un ángulo de 79° con el piso. El ángulo de elevación del sol

desde el piso es de 69°. Encuentre la longitud del poste si su sombra es de 5.9 m.

3) Si medimos los ángulos de elevación de una montaña desde lo más alto y

desde la base de una torre de 20 metros de alto y éstos son 38.5° y 40.2° respectivamente ¿Cuál es la altura de la montaña?

4) Un hombre de 5 pies 9 pulgadas de altura se para en un andén que se inclina hacia abajo con un ángulo constante. Un poste vertical de luz situado

directamente detrás de él proyecta una sombra de 18 pies de largo. El ángulo de depresión desde la mayor altura del hombre, hasta la punta de su sobra

es de 31° encuentre el ángulo , como se muestra en la figura, formado por

el andén y la horizontal. Sombra

5) Si el hombre del problema anterior esta a 22 pies del poste de luz sobre el

andén, encuentre la altura del poste.

35°

158

6) En cada caso determine el valor que se le solicita.

7) Problemas

1. Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Si el segmento AB mide 20 cm. y el ángulo

, opuesto a ese lado, mide 42º. Calcula:

a) el lado AC

b) el lado BC

c) el ángulo

159

2. Si ABC es un triángulo rectángulo en A y los segmentos AB y AC miden 2 m. y 4

m., respectivamente. Calcula:

a) el lado BC b) el ángulo ABC

c) el ángulo ACB

3. Si MNO es un triángulo rectángulo en M y los lados NO y MO miden 8 m. y 6 m.,

respectivamente. Calcula:

a) el lado MN b) el ángulo MNO

c) el ángulo MON

4. La sombra que proyecta un árbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m.

¿Cuál es la medida del ángulo que hace la horizontal con la línea que une los dos puntos extremos, de la sombra y del árbol?

5. Un avión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ángulo constante de

10º hasta que logra una altura de 6 km. Determina a qué distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento.

6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a

8 metros del suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ángulo de elevación de 35º y la parte inferior, con un ángulo de

depresión de 43º. Determina la altura del edificio de enfrente.

8) Considere el Δ 𝐴𝐵𝐶.

De acuerdo con los datos de la figura, determine la medida de 𝐶𝐵

𝐴 𝐶

𝐵

40°

72°

35

160


Determine 𝐵𝐶


De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es aproximadamente la medida de 𝐶𝐷?

11. Considere el Δ 𝑃𝑄𝑅.

De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es aproximadamente la medida de 𝑄𝑅?

12) En un Δ 𝐴𝐵𝐶. Si 𝑚 ∡ 𝐴𝐶𝐵 = 108°, 𝑚 ∡𝐶𝐴𝐵 = 22° y 𝐴𝐵 = 12, entonces, determine

la medida de 𝐴𝐶

58° 54°

8 𝐴

𝐵

𝐶

45°

95°

12

𝐵

𝐷

𝐶 𝐴

𝑄

𝑃

𝑅

14

35° 68°

161

13) Sea él Δ 𝐴𝐵𝐶. Si 𝑚 ∡𝐴𝐶𝐵 = 80°, 𝑚 ∡𝐶𝐴𝐵 = 42° y 𝐴𝐵 = 10, entonces

determine la medida de 𝐴𝐶

14) Calcule la distancia d de la luz proyectada en el suelo según la imagen

15) Para determinar la distancia entre dos puntos 𝐴 y 𝐵 que se encuentran en las

orillas opuestas de un río, se traza un segmento de recta desde 𝐴 hasta un punto

𝐶 de longitud 240m y se determina que 𝑚 ∡𝐵𝐴𝐶 = 58° y 𝑚 ∡𝐴𝐶𝐵 = 54°. ¿Cuál es

aproximadamente la distancia entre 𝐴 y 𝐵?

16) Para construir un puente sobre un río, es necesario conocer la distancia entre

los puntos 𝐴 y 𝐶 que se encuentran en las orillas opuestas de un río, para ello se

ubica un punto 𝐵 a 25 𝑐𝑚 de 𝐴 de tal manera que 𝑚 ∡ 𝐵𝐴𝐶 = 59° y 𝑚 ∡ 𝐴𝐶𝐵 = 43°. ¿Cuál es aproximadamente la distancia entre 𝐴 y 𝐶?

163

Situación Problema

La siguiente imagen representa una tienda de campaña, que cuando

está cerrada, tiene forma de pirámide regular de base cuadrada.

Si la tienda tiene 1,5 m de alto y el lado

de la base mide 1,5 m, entonces, ¿cuánto mide aproximadamente, en

metros cuadrados, la superficie total de la tienda (incluyendo la base)?

La Clave

Visualización espacial

Pirámides rectas

Sus elementos son: Vértice o cúspide: el punto más alto de

la pirámide. Arista: es el segmento en el que se

unen dos caras laterales (las

triangulares). Altura: es la distancia vertical desde la

base hasta la cúspide. Apotema: es la altura del triángulo

formado en cada cara lateral. Se va a trabajar únicamente con dos casos

de pirámides: con la base cuadrada o cuando la base es un triángulo equilátero. Pero,

como ambos casos son diferentes, se estudian por separado:

Tema 4 Visualización Espacial

164

1) Con base cuadrada

Si la medida del lado de un lado de la base se representa por 𝑙 y la medida de la

altura se representa con ℎ, para calcular la apotema de la pirámide se tiene la

siguiente figura:

De esta manera, se puede aplicar el teorema de

Pitágoras para determinar la medida de la apotema:

ℎ2 + (𝑙

2)

2

= (𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎)2

Así, con las medidas del lado de la base y de la apotema de la pirámide se pueden calcular el área

basal, el área lateral y el área total de la pirámide. Para el área basal, basta con calcular el área del

cuadrado: 𝐴𝐵 = 𝑙2

El área lateral se obtiene al calcular el área de los cuatro triángulos formados en cada uno de los lados

del cuadrado, donde la base corresponde a la medida del lado de la base y la altura corresponde a la medida de la apotema de

la pirámide:

𝐴𝐿 = 4 ∙𝑙 ∙ 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎

2=

4 ∙ 𝑙 ∙ 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎

2= 2 ∙ 𝑙 ∙ 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎

El área total se calcula sumando el área basal con el área lateral: 𝐴𝑇 = 𝑙2 + 2 ∙ 𝑙 ∙ 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎

Ejemplo, se puede resolver el siguiente problema:

Como el problema se trata sobre la cartulina necesaria para la envoltura del regalo, se debe determinar el área total de la pirámide. Para esto se tiene que la

medida del lado de la base es 5 y la de la altura es 6, por lo que se tiene:

62 + (5

2)

2


𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 = √42,25 = 6,5

Así, ya se pueden calcular las áreas solicitadas: 𝐴𝐵 = 52 = 25

𝐴𝐿 = 2 ∙ 𝑙 ∙ 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 = 2 ∙ 5 ∙ 6,5 = 65 𝐴𝑇 = 25 + 65 = 90

Finalmente, la respuesta solicitada es 90 centímetros cuadrados.

Ana le obsequió a su tía un regalo en una envoltura con forma de

pirámide recta de base cuadrada. Si el lado de la base es 5 𝑐𝑚 y la

altura de la pirámide mide 6 𝑐𝑚, entonces, ¿cuál es, en centímetros

cuadrados la cantidad mínima de cartulina que contiene esa

envoltura?

165

2)Con base triangular

Si la medida del lado de un lado de la base se representa por 𝑙 y la medida de la

altura se representa con ℎ, para calcular la apotema de la pirámide se tiene la

siguiente figura:

De esta manera, se puede aplicar el teorema de

Pitágoras para determinar la medida de la apotema:

ℎ2 + (𝑙√3

6)

2


Así, con las medidas del lado de la base y de la apotema de la pirámide se pueden calcular el área

basal, el área lateral y el área total de la pirámide. Para el área basal, basta con calcular el área del

triángulo:

𝐴𝐵 =𝑙2√3

4

El área lateral se obtiene al calcular el área de los tres triángulos formados en cada uno de los lados del triángulo equilátero, donde

la base corresponde a la medida del lado de la base y la altura corresponde a la

medida de la apotema de la pirámide:

𝐴𝐿 = 3 ∙𝑙 ∙ 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎

2=


2

El área total se calcula sumando el área basal con el área lateral:

𝐴𝑇 =𝑙2√3

4+


2


Como se tiene que la medida del lado de la base es 6 y la medida de la altura es

2√6, se obtiene que:

(2√6)2

+ (6√3

6)

2


24 + 3 = (𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎)2 27 = (𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎)2

𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 = √27 = 3√3

¿Cuál es el área total de una pirámide de base triangular si la

medida del lado de su base es 6 y la medida de su altura es 2√6?

166

Así, ya se pueden calcular las áreas solicitadas:

𝐴𝐵 =62√3

4=

36√3

4= 9√3

𝐴𝐿 ==3 ∙ 6 ∙ 3√3

2=

54√3

2= 27√3

𝐴𝑇 = 9√3 + 27√3 = 36√3

Finalmente, la respuesta solicitada es 36√3.

En la Pirámide es importante considerar la siguiente información

Nótese que internamente se forman dos triángulos rectángulos

Con este triángulo se pueden obtener

cualquiera de los datos indicados. Obsérvese

que la arista lateral corresponde a la

hipotenusa.

Con este triángulo se pueden obtener cualquiera de los

datos indicados. Obsérvese que la altura de la cara

corresponde a la hipotenusa.

167

Ejemplos

1. Calcule la apotema de una pirámide de base cuadrada si la altura de la pirámide mide y el lado de la base mide 12cm

Recordar

Se tiene

2. Calcula el área lateral, total de una pirámide cuadrangular de 10 cm de

arista básica y 12 cm de altura.

168

Nota

Área Total Área lateral Área Basal

AT = AB + AL

Se averigua el área

de uno de los triángulos que

forman la pirámide, y se multiplica por

la cantidad de triángulos que hay.

AB = l. l

(cuando la base es un polígono de 5 o más lados

(en esta fórmula la “a” es la apotema de la base, no

de la pirámide)

3. Hallar el área total de una pirámide cuadrangular cuya arista de la base mide 10, la altura de 12 cm y un Apotema del poliedro de 13 cm.

Nos enfocamos en la forma de la base de la pirámide para despejar estas fórmulas.

El problema indica que es una pirámide cuadrangular con las siguientes medidas

169

Área de la base es Área Lateral

2

10

100b

A

A cm

2

10 134

2

260

lA

Al cm

Área total 100 + 260 = 360cm

4.Hallar el área total y de una pirámide regular triangular cuyas medidas son las

siguientes:

Obtengamos primero el área lateral (el de las tres caras triangulares, sin la base),

coloreadas en la figura de abajo. Recuerda que en una pirámide regular la altura de cada uno de los triángulos

laterales (caras), llamada apotema del poliedro (Ap.), es igual a la altura del

triángulo lateral.

2

32

6 123 108

2

l

l

lado de la base apotemaA

A cm

170

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos a sustituir por

la fórmula para obtener el área de un triángulo, ya que la base es un triángulo equilátero.

2

2

2

3

4

6 315,57

4

lAb

Ab cm

Área del triángulo Equilátero

A total = 15,57 + 108 =123,57

Ejemplos

171

Tipos de pirámide rectangular

Existen dos tipos de pirámide rectangular:

Pirámide rectangular recta: la pirámide es recta cuando todas sus caras

laterales son triángulos isósceles. En este caso, la altura o recta perpendicular al plano de la base que pasa por el vértice (o ápice) de la

pirámide corta a la base por el centro del rectángulo. Pirámide rectangular oblicua: la pirámide es oblicua cuando no todos

los triángulos laterales son isósceles y la altura o recta perpendicular al plano de la base no corta por el centro del rectángulo.

Área de la pirámide rectangular El cálculo del área de la pirámide rectangular cambia según si la pirámide

es recta u oblicua. Área de la pirámide rectangular recta

puede calcularse sabiendo los lados diferentes de la base (a y b) y la altura de

la pirámide (h). Su fórmula es:

http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/triangulo-isosceles/

http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/rectangulo/

http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/triangulo/


http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/area-piramide-rectangular/

http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/piramide-rectangular/#recta-oblicua

http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/area-piramide-rectangular/#recta

http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/piramide/

172

Ejercicios

1) Si la altura de una pirámide es de 20 𝑐𝑚 y su base es un cuadrado de 18 𝑐𝑚

de lado, entonces determine el área lateral de la pirámide.

2) La base de una pirámide es un cuadrado cuyo lado mide 10m y la altura de la pirámide es 21m ¿Cuál es el área total de la pirámide?

3) ¿Cuál es el área lateral de una pirámide recta de base cuadrada, si el lado de

la base mide 20cm y la altura de la pirámide es 24cm?

4) De acuerdo con los datos de la figura, determine el área lateral (en cm2) de

la pirámide cuadrangular.

173

5) Hallar el área total de una pirámide cuadrangular regular cuyo lado de la base

mide 4 cm. y cuya altura tiene 10 cm.

6) Calcula la superficie total de una pirámide cuadrangular recta, sabiendo que el

lado de la base es 4 m y la altura es 6 m.

7) La Pirámide de Keops tiene base cuadrada con un lado de 232,805 m y altura

148,208 m. Quedándote sólo con las unidades en metros, calcula su superficie

lateral.

174

8) Determine el área total ( área de la base más área lateral) de una pirámide, si

la base es un triángulo equilátero cuyo lado mide 10cm y la apotema de la pirámide mide 8cm

9) Calcule el área total de una pirámide de base, un triángulo equilátero, si la

apotema de la pirámide mide 12cm y el lado de la base mide 8cm

10) Calcule el área total de una pirámide, si la base es un triángulo equilátero cuyo lado mide 18cm, la apotema de la base mide 3 3cm y la altura de la

pirámide 12cm

11) Identifique la base, las caras laterales, la altura, las apotemas y el

ápice o cúspide de las siguientes pirámides rectas

175

12)Una pirámide triangular cuya base es un triángulo equilátero de lado 1.5 cm,

tiene una altura de 3.6 cm y la apotema de la base mide 0.43 cm. Calcula el área de dicha pirámide redondeando a dos cifras decimales.

Situación Problema

Considere los datos de la siguiente figura, que

representa la caja en la que se empacan pequeños frascos de tinta negra:

De acuerdo con los datos de la figura anterior, si la caja tiene forma de prisma

recto de base cuadrada, entonces, ¿cuánto mide la superficie lateral de la caja, en centímetros cuadrados?

Tinta

negra

6 cm

4 cm

176

La Clave

Prismas rectos

Sus elementos son:

Dos bases iguales que no necesariamente son cuadriláteros.

Caras laterales: rectángulos que se forman en cada uno de los lados de

cualquier base. Arista: segmento en el que se unen

dos caras laterales. Altura: distancia vertical u horizontal

que separa las dos bases. Se va a trabajar con tres tipos de prismas: cuadrados, rectangulares y cuando las

bases son triángulos equiláteros.

1) Prismas cuadrados

Estos prismas se caracterizan porque cada una de sus bases es cuadrada. El área

basal, a diferencia de las pirámides, considera las dos bases, por lo cual se

diferencia el área de una base (𝐴𝑏) del área basal (𝐴𝐵), que incluye el área de las

dos bases.

Así, se tiene que:

𝐴𝑏 = 𝑙2

𝐴𝐵 = 2 ∙ 𝐴𝑏 = 2 ∙ 𝑙2

Para el área lateral, se tienen cuatro rectángulos cuya base corresponde a un lado

del cuadrado y cuya altura corresponde a la altura del prisma, por lo que:

𝐴𝐿 = 4 ∙ 𝑙 ∙ ℎ

Y así, el área total del prisma corresponde a la suma del área basal y el área lateral:

𝐴𝑇 = 2 ∙ 𝑙2 + 4 ∙ 𝑙 ∙ ℎ

177


Antes de presentar la respuesta, es necesario aclarar que 32 𝑐𝑚2 corresponde al

área de una de las bases, es decir, 𝐴𝑏. Así, se debe despejar la medida del lado de

la base:

𝐴𝑏 = 𝑙2 = 32

𝑙 = √32 = 4√2

De igual manera, es necesario calcular la medida de la diagonal del cuadrado. Pero,

para calcularla, se tiene la siguiente figura:

Aplicando el teorema de Pitágoras, se obtiene que

(4√2)2

+ (4√2)2

= (𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙)2

32 + 32 = (𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙)2

64 = (𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙)2

𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 = √64 = 8

Y, como la altura del prisma mide el doble de la

diagonal de la base,

ℎ = 2 ∙ 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 = 2 ∙ 8 = 16

De esta manera, se pueden sacar las áreas faltantes:

𝐴𝐵 = 2 ∙ 𝐴𝑏 = 2 ∙ 32 = 64

𝐴𝐿 = 4 ∙ 4√2 ∙ 16 = 256√2

𝐴𝑇 = 64 + 256√2

En un prisma recto de base cuadrada, el área de una de sus bases es

32 𝑐𝑚2, y la medida de la altura del prisma es el doble de la longitud

de la diagonal de la base, entonces, ¿cuál es el área total del prisma?

178

2) Prismas rectangulares

Como su nombre lo indica, cada base de este tipo de prismas corresponde a un

rectángulo. Como sus lados son diferentes (largo 𝑙 y ancho 𝑎), esto se debe

considerar a la hora de calcular las áreas. Así:

𝐴𝑏 = 𝑙 ∙ 𝑎

𝐴𝐵 = 2 ∙ 𝐴𝑏 = 2 ∙ 𝑙 ∙ 𝑎

Para el área lateral, se tienen dos rectángulos cuya base es el largo del rectángulo

basal y dos rectángulos cuya base corresponde al ancho del rectángulo basal, y los

cuatro rectángulos laterales tienen como altura a la altura del prisma, por lo que:

𝐴𝐿 = 2 ∙ 𝑙 ∙ ℎ + 2 ∙ 𝑎 ∙ ℎ


𝐴𝑇 = 2 ∙ 𝑙 ∙ 𝑎 + (2 ∙ 𝑙 ∙ ℎ + 2 ∙ 𝑎 ∙ ℎ)

Ejemplo, se tiene el siguiente problema:

Como las medidas de las dimensiones están claramente dadas en el problema, se

puede hacer el cálculo directo de las áreas:

𝐴𝑏 = 4 ∙ 2 = 8

𝐴𝐵 = 2 ∙ 𝐴𝑏 = 2 ∙ 8 = 16

𝐴𝐿 = 2 ∙ 4 ∙ 6 + 2 ∙ 2 ∙ 6 = 48 + 24 = 72

𝐴𝑇 = 16 + 72 = 88

Así, se tiene que, en total, se necesita 88 𝑐𝑚2 de plástico para cubrir la candela.

3) Prismas triangulares

Este tipo de prismas tiene en cada base un triángulo equilátero. Así, se tiene que:

𝐴𝑏 =𝑙2√3

4

𝐴𝐵 = 2 ∙ 𝐴𝑏 = 2 ∙𝑙2√3

4=

𝑙2√3

2

Determine la cantidad de plástico, en centímetros cuadrados, necesaria para

envolver una candela en forma de prisma rectangular con las siguientes

dimensiones: 2 𝑐𝑚 de ancho, 4 𝑐𝑚 de largo y 6 𝑐𝑚 de altura.

179

Para el área lateral, se tienen tres rectángulos cuya base corresponde a un lado

del triángulo equilátero y cuya altura corresponde a la altura del prisma, por lo

que:

𝐴𝐿 = 3 ∙ 𝑙 ∙ ℎ


𝐴𝑇 =𝑙2√3

2+ 3 ∙ 𝑙 ∙ ℎ

Ejemplos, se tiene el siguiente problema:

Aplicando las fórmulas, se tiene que:

𝐴𝑏 =22√3

4=

4√3

4= √3

𝐴𝐵 = 2 ∙ 𝐴𝑏 = 2 ∙ √3 = 2√3

𝐴𝐿 = 3 ∙ 2 ∙ 30 = 180

𝐴𝑇 = 2√3 + 180 ≈ 183,464102 ≈ 183,5

De esta manera, es claro que, aproximadamente, se necesita un total de 183,5 𝑐𝑚2

de cartón para envolver el chocolate.

Determine la cantidad de cartón, en centímetros cuadrados, necesaria para

elaborar la envoltura de un chocolate, que tiene forma de prisma triangular

en el que la medida del lado de la base es de 2 𝑐𝑚 y que tiene 30 𝑐𝑚 de altura.

180

1) Paralelepípedo (Prisma recto de base rectangular)

Área Total Área lateral Área Basal Área de una base

Se suman las

áreas de los 6 rectángulos

que forman el paralelepípedo

Se obtiene

el área de los 4

rectángulos que están a

los lados del prisma.

Luego se suman

Se suman

las áreas de los

rectángulos de la base

inferior y la base

superior (ambas son

iguales)

Se averigua

el área del rectángulo

de la base.

Ejemplos

1. De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es el área del prisma rectangular

recto?

Solución

𝐴𝑇 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐿 = 2 ∙ 3 ∙ 3 + 4 ∙ 3 ∙ 6 = 90. Luego, el área total mide 90. ∎

2. El área de un prisma rectangular se calcula sabiendo los lados de la

base rectangular (a y b) y su altura (h). Un prisma rectangular (u ortoedro) es un poliedro cuya superficie está

formada por dos rectángulos iguales y paralelos llamados bases y por cuatro caras laterales que son también rectángulos paralelos e iguales dos a dos.

Su área se calcula por la siguiente fórmula:

6

3

3

http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/prisma-rectangular/


http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/poliedro/



181

Sea un prisma rectangular de dimensiones conocidas, siendo los lados contiguos de la base a=3 cm y b=1,5 cm y la altura h=4 cm.

¿Cuál es su área?

Su área se calcula mediante la suma de los seis rectángulos de su superficie, que al seria guales dos a dos,

será el doble de la suma de los tres rectángulos diferentes. Ejemplo del cálculo del área del prisma rectangular

Y se obtiene que el área de este prisma rectangular es de 45 cm2.

La fórmula del área del prisma rectangular se obtiene como resultado de

sumar el área de los seis rectángulos de la superficie del prisma. És decir, el área del prisma rectangular es el sumatorio del área de las dos

bases B (rectángulos PTWR y QUZS),los dos rectángulos laterales R1 (PQSR y TUZW) y los dos R2 (RSZW y PQUT).



http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/prisma/




182

Aplicando la fórmula del área del rectángulo, el área de

los rectángulos B, R1 y R2son:

El área del prisma rectangular es la suma del área de los seis rectángulos (dos

bases B, dos R1 y dos R2). Por tanto, será la suma del área de los tres rectángulos multiplicada por dos, obteniendo la fórmula.

3. Hallar el área total de un prisma triangular cuya base mide 10 x 43 y con una altura de 42 cm; si la altura el prisma mide 60 cm.

Nos enfocamos en la forma de las bases del prisma para despejar estas fórmulas.

El problema indica que es un prisma triangular con las siguientes medidas.

http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/area-rectangulo/





183

Obtengamos primero el área lateral (el de las tres caras) (para recordar cómo se

obtiene el área de un rectángulo).

2

(10 43 43) 60

96 60

5760

Al perimetro de la base altura

Al

Al

Al cm

Y ahora el área de las bases. Para ello en la fórmula general vamos a sustituir por la fórmula para obtener el área de un triángulo, ya que la base

es triangular; y después el resultado se multiplicará por 2 (ya que el prisma tiene dos bases iguales, en este caso, triángulos isósceles). Es el área coloreada. (Para

recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).

2

2

22

10 422

2

4202 420

2

5760 420

6180

base alturaAB

AB

AB cm

AT AL AB

AT

At cm

4. Calcula el área lateral y el área total de un paralelepípedo de 25 cm de alto, 15 cm de ancho y 10 cm de largo. Área lateral:

Hay dos rectángulos de 25 por 15: A=25·15=375 cm2 Hay dos rectángulos de 25

por 10: A=25·10=250 cm2 El área lateral es: Al = 2 · 375 + 2 · 250 = 1250 cm2

Área total: Las bases son dos rectángulos de 15 por 10: A = 25 · 15 = 375 cm2 El área total es: At = 1250 + 2 · 150 = 1550 cm2

184

5. Para calcular el área total o parcial de un prisma se puede realizar calculando

por separado cada área de las figuras que forman el prisma o utilizar fórmulas como se indica a continuación.

6. Calcular el área lateral y el área total de un prisma triangular de 40

centímetros de altura y 25 centímetros de arista de la base. Área lateral: hay tres rectángulos iguales:

Al = 3 · 40 · 25 = 3000 cm2

Área de la base: un triángulo equilátero. Se aplica el Teorema de Pitágoras

185

Ejercicios

1. Halla el área de un prisma triangular de altura 6 cm y base

un triángulo equilátero de lado 5 cm. Redondea a dos cifras decimales.

2) María regala a su padre un best seller por su cumpleaños. Elige la

encuadernación de tapas duras que tiene forma de prisma rectangular, siendo sus medidas 18 cm de largo, 12 cm de ancho y 6 cm de grosor. Si sabemos que al

envolverlo un 10% del envoltorio queda oculto por sí mismo, ¿cuál es la cantidad de papel de regalo gastada?

2 2

2

2

25 12,5 21,65

25 21,65270,63

2

3000 2 270,63 3541,27

h

Ab cm

At cm

186

3) De acuerdo con los datos de la figura ¿Cuál es el área total del prisma rectangular recto?

3cm 8cm 4cm

4) Una madre compra a su hija una caja de sus bombones favoritos. La caja

tiene forma de prisma triangular de 21 cm de larga y 12 cm de lado de la base. ¿Cuál es la cantidad de papel mínima que se necesita para envolverla?

5) Estoy construyendo una piscina de 5,7 metros de largo, 4 metros de ancho y 1,9

metros de alto. Quiero cubrir las paredes y el fondo con azulejos de forma cuadrada de 20 cm de lado. ¿Cuántos azulejos necesitaré si aproximadamente se desperdicia

un 10%?

6) Calcula el área total de un prisma triangular de 55 metros de altura y 30

metros de arista de la base

7)Determine el área de la base, el área basal, el área lateral y el área total de un prisma, si la base es un triángulo equilátero cuyo lado mide 7cm y la altura 11cm

187

8)Determine el área de la base, el área basal, el área lateral y el área total de un

prisma, si la base es un cuadrado cuyo lado mide 13cm y la altura 17cm

9) Calcule el área de la base, el área basal, el área lateral y el área total de un prisma, si la base es un rectángulo que mide de ancho 15cm, de largo 32cm y la

altura 12cm

10) Determine el área de la base, el área basal, el área lateral y el área total de un

prisma, si la base es un rectángulo que mide de ancho 17cm,de largo 36cm y de altura 10c

11) Hallar el área total de un prisma triangular regular cuya base tiene 8 pulgadas

de lado y la altura del prisma es igual a 17 pulgadas.

Ejercicios de la Unidad II Geometría

Selección Única

1). De acuerdo con los datos de la figura, si el ABCE es un cuadrado,

entonces el perímetro del trapecio ABDE es:

A) 36 C) 42

B) 26 2 7 D) 32 2 7

188

2) De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es la distancia del punto “ A ” al

punto “ B ”?

Cada representa un cuadrado de 1 cm de lado.

A) 4 cm C)8 cm

B) 4 2 cm D) 2 10 cm

3) Una persona camina 6 km hacia el este y 8 km hacia el norte, de manera

consecutiva. ¿A qué distancia está la persona del punto de partida?

A) 2 km C)10 km

B) 2 7 km D) 2 19 km

189

4) Considere el siguiente contexto:

La casa de Pedro

Pedro desea construir una casa cuyas dimensiones se muestran en la

figura. Para construir el techo utilizará láminas de zinc de 3,66 m de

largo AD , de manera que el punto más alto del techo esté centrado

con respecto al frente de la casa.

Si Pedro desea que el sobrante CD del techo tenga una longitud de 0,45 m , entonces,

¿cuál debe ser aproximadamente la medida de la altura AB ?

A) 1,14 m C)1,25 m

B) 1,30 m D) 2,10 m

5) La cantidad 2

3

radianes equivale a:

A) 60 C)120

B) 240 D) 270

190

6) De acuerdo con los datos de la figura, el valor de sen es:

A) 3

5cm

B) 4

5cm

C) 5

4cm

D) 4

3cm

7) Considere las siguientes proposiciones referidas a los ángulos agudos y

de un triángulo rectángulo escaleno:

I. sen cos

II. 1

tantan


A) Ambas C)Ninguna

B) Solo la I C)Solo la II

8) De acuerdo con los datos de la figura, la medida aproximada del AB es:

A) 6,8 cm

B) 8,3 cm

C) 9,8 cm

D) 17,1 cm

191

9) De acuerdo con los datos de la figuras, si la 100m AD m , entonces, ¿cuál es

aproximadamente la medida del DC ?

A) 160,00 m

B) 260,00 m

C) 276,98 m

D) 376,98 m

10) En un rombo, la medida de uno de los ángulos internos es 80 , y la

medida de cada lado es 10 cm , ¿cuál es aproximadamente la medida de la

diagonal menor del rombo?

A) 7,66 cm c) 9,84 cm

B) 12,86 cm D)19,70 cm

11) Una escalera de 4 m de longitud está apoyada a una pared de tal manera

que forma con el suelo un ángulo de 60 . ¿Cuál es aproximadamente la altura

que alcanza la escalera con respecto al suelo?

A) 15 m C) 2,31 m

B) 36,46 m D) 4,62 m

192

12) De acuerdo con los datos de la figura, si el ángulo de elevación con que

observa la persona el punto más alto del árbol es de 60 y el ángulo de

depresión con que observa la base del árbol es de 25 , entonces la altura del

árbol es aproximadamente:

A) 1,10 m

B) 2,58 m

C) 2,81 m

D) 4,40 m

13) En la siguiente figura se muestra el recorrido que realiza un teleférico

para transportar personas desde el punto A hasta la cima de una montaña

en el punto C . De acuerdo con los datos de la figura, la distancia que recorre

el teleférico es aproximadamente:

A) 663,1 m

B) 993,0 m

C) 1358,8 m

D) 1844,3 m

14) Sea una pirámide recta de base cuadrada, si el área de su base es 29 cm

y cada cara lateral posee un área de 27,5 cm , entonces, ¿cuál es la medida de

la apotema de la pirámide?

A) 1,50 cm C) 4,00 cm

B) 5,00 cm D) 5,22 cm

193

15) Sea una pirámide recta cuya base es un triángulo equilátero. Si la

medida del lado de la base es 12 cm y la medida de la apotema de la pirámide

es 2 5 cm , entonces, ¿cuál es el área lateral de la pirámide?

A) 212 5 cm C) 236 2 cm

B) 236 3 cm D) 236 5 cm

16) En una pirámide recta de base rectangular, la medida del largo de la

base es 8 m , la medida del ancho de la base es 6 m . la medida de la apotema

de la pirámide que corresponde al ancho de la base es 41 m , la medida de la

apotema de la pirámide que corresponde al largo de la base es 34 m y la

medida de cada arista lateral es 5 2 m . ¿Cuál es el área total de esa pirámide?

A) 248 34 41 m C) 248 15 2 20 2 m

B) 248 8 34 6 41 m D) 248 30 2 40 2 m

17) ¿Cuál es el área lateral de un prisma recto de base cuadrada, si la

medida de cada lado de la base es 14 cm y la medida de la altura del prisma

es 16 cm?

A) 2224 cm C) 2448 cm

B) 2896 cm D) 21344 cm

18) Feliciano quiere forrar con papel de regalo la parte externa de una caja

con forma de cubo. Si la medida de cada arista es 8 cm , entonces, ¿cuánto

papel necesitará Feliciano?

A) 280 cm B) 2128 cm

B) 2320 cm D) 2384 cm

194

19) De acuerdo con los datos del DEF , el área “ A ” del triángulo en términos

de “ x ” corresponde a:

A) 2 2A x

B) 2 2A x x

C) 2 2

2

xA

D) 2 2

2

x xA

20) Considere los datos de la siguiente figura:

¿Cuál es la distancia entre los puntos A y B ?

A) 3,60

B) 5,38

C) 8,54

D) 9, 43

21) Dados los puntos 2,3A , 4,6B y 0, 1C ubicados en un plano

cartesiano. ¿Cuál es la medida del BC ?

A) 22

B) 33

C) 41

D) 65

195

22) Considere la siguiente figura que ilustra una escalera apoyada en una

pared ¿Cuántos metros de largo mide la escalera?

A) 5

B) 7

C) 12

D) 16

23) Considere los datos de la siguiente figura, en la cual ABCD corresponde

a un cuadrado:

Si 8BC y 14DE , entonces, el perímetro del cuadrilátero ABED corresponde a:

A) 38 C) 40

B) 44 D) 48

24) Si la medida de un ángulo es 2

3 radianes, entonces, la medida en grados

de dicho ángulo corresponde a:

A) 120

B) 120

C) 1

270

D) 270

196


I. sen30 cos 90 30

II. Si 45m , entonces, sen cos


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

25)Si 3

sen5

y 4

cos5

entonces, el valor de tan corresponde a:

A) 3

4

B) 4

3

C) 5

3

D) 7

10

197

Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 26 y 27;

Un niño amarra su cometa, a nivel del suelo (punto A ), con una cuerda. La cuerda

mide 50 metros desde el punto A hasta la cometa y " x " representa la altura a la

que se encuentra la cometa, tal y como se ¡lustra en la siguiente imagen:

26)La longitud desde el punto A al B , corresponde aproximadamente a:

A) 25,00

B) 30,14

C) 37,68

D) 39,93

27)La altura a la que se encuentra la cometa, corresponde aproximadamente a:

A) 23,96

B) 24,07

C) 30,09

D) 31,94

198

28) Considere la siguiente figura sobre un triángulo ABC :

¿Cuál es aproximadamente la medida de AC ?

A) 7,00

B) 7, 20

C) 7,93

D) 8,17

Considere la siguiente figura para responder las preguntas 28 y 29:

28)¿Cuál es, aproximadamente, la medida de AB ?

E) 9, 27

F) 10,00

G) 10,39

H) 12,00

199

29)¿Cuál es aproximadamente la medida de BC ?

I) 9,00

J) 9, 27

K) 15,59

L) 18,54

29) Desde la cúspide de una torre de 10 metros de altura se observa con

un ángulo de depresión de 23 , a un joven a nivel del plano de la base de

dicha torre. ¿A qué distancia está el joven de la base de la torre?

a. 4, 24

b. 9,21

c. 23,56

d. 25,59

30) La altura de un prisma recto de base cuadrada es 10 . Si el lado de la base es 6

, entonces, el área lateral de ese prisma es:

a. 112

b. 120

c. 240

d. 276

31) La altura de un prisma recto de base rectangular es 8 . Si las dimensiones de la

base son 4 de ancho y 5 de largo, entonces, ¿cuál es el área total de dicho prisma?

a. 146

b. 160

c. 184

d. 200

200

Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 28 y 29:

La altura de cada cara lateral de una pirámide recta de base cuadrada es 5 , y la

longitud del lado de la base es 6 .

32) La longitud de la apotema de la pirámide corresponde a:

a. 3

b. 4

c. 5

d. 7

33) El área total de la pirámide corresponde a:

a. 44

b. 96

c. 156

d. 180

34) La base de una pirámide recta es un triángulo equilátero. Si la altura de cada

una de las tres caras laterales de la pirámide es 3 y la longitud del lado de la base

es 8 , entonces, ¿cuál es el área lateral de la pirámide?

a. 24

b. 36

c. 72

d. 73

203

Capítulo III

Relaciones Y Algebra

Conceptos clave

1. Función Cuadrática

2. Ecuaciones

Cuadrática

3. Factorización

4.Discriminante

5.Racionalizacion

6.Fracciones

algebraicas

7.Vertice

8.Eje de simetría

9.Intersecciones



1. Identifica casos en la que se aplica función cuadrática

2. Efectuar operaciones con expresiones algebraicas

3... Utilizar distintas representaciones para las funciones cuadráticas

4. Utilizar las ecuaciones de primer y segundo grado para resolver problemas

5. Plantear problemas a partir de una situación dada

Nuestro primer


un paso más para

aprender

204

Introducción

Al ingresar a este ciclo cada estudiante tiene la habilidad para resolver ecuaciones

sencillas de primer grado, reconocer relaciones de dependencia

entre dos cantidades variables, aplicar la regla de tres,

porcentajes y proporcionalidad directa con el fin de solucionar

problemas, calcular la distancia entre puntos ubicados en un

mapa con escala y realizar operaciones que involucran suma,

resta, multiplicación y división. También, puede comprender el

concepto de variable e identificar cuantitativamente cambios en

la variable. El Tercer ciclo ampliará estas habilidades e incluirá

otras que tienen que ver con el estudio de relaciones de diversos tipos (lineal,

cuadrática, proporcionalidad inversa), así como el uso de distintas representaciones

para las relaciones mencionadas (verbal, tabular, algebraica, gráfica). Las

funciones cuadráticas, que también son casos particulares de relaciones, se

introducen en 9º Año. El enfoque con el que se abordan las funciones lineales y

cuadráticas privilegia la relación entre variables (dependientes e independientes) y

sus distintas representaciones por medio de tablas, expresiones algebraicas y

gráficas. Es un enfoque consistente con toda la preparación recibida desde la

educación Primaria.

Situación Problema

Después de varias mediciones e intentos, una estudiante encontró una fórmula para averiguar a qué altura (h), en metros, se encuentra

una bola cuando ha transcurrido una determinada cantidad de

segundos (t) después de haberla lanzado al aire con cierta fuerza. F(x) = –3t2 + 30 t

Calcule la altura (h), en metros, según la cantidad de segundos indicada.

t = 0

t = 1

t = 2

t = 3

t = 4

h =

h =

h =

h =

h =

Tema 1 Función Cuadrática

205

Escriba en dónde está la bola cuando han transcurrido 5 segundos.

R/ _________________________

Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como, por

ejemplo, Física, Economía, Biología, Arquitectura. Son útiles para describir

movimientos con aceleración constante, trayectoria de proyectiles, ganancias y

costos de empresas, variación de la población de una determinada especie que

responde a este tipo de función, y obtener así información sin necesidad de recurrir

a la experimentación.

Haciendo clic en la imagen podrás evidenciar

algunas aplicaciones de la función cuadrática en el

deporte, en la naturaleza, en el espectáculo y en

creaciones de hombre.

http://1.bp.blogspot.com/-YjO9x_1rC7s/T8ulUYhAqXI/AAAAAAAAAB4/zs3Nw6ZH9XU/s1600/funcion_c.png

http://www.youtube.com/watch?v=uqPhX1b_5rA

206

Es con el físico y astrónomo italiano Galileo Galilei (1564-1642) que el concepto de

función cuadrática adquiere relevancia

cuando el descubrió la trayectoria que

describían los cuerpos en caída libre y

demostró que la velocidad aumentaba

en razón al cuadrado del tiempo, es

decir, V = k . t2. Sus ideas fueron tan

avanza- das para su tiempo que fue

perseguido por la Inquisición, ya que

estas iban en contra de lo establecido

por la Iglesia Católica. Gracias a

Galileo se pudo analizar el recorrido

que describe el lanzamiento de un

proyectil, pues debido a la fuerza de

gravedad, estos no se desplazan en

forma rectilínea, sino que su

movimiento lo que describe es una

parábola. Muchos son los fenómenos

de la naturaleza y de la vida cotidiana

donde las funciones cuadráticas están

presentes, por ejemplo, la trayectoria

que describe el balón cuando un

jugador de voleibol hace un saque, el

movimiento de un conejo cuando este

se desplaza de un lugar a otro, el nado

de los delfines y el salto de un motociclista en un deporte extremo, representan

tras- rectorías parabólicas.

LA Clave

Función cuadrática

La función cuadrática tiene como forma general 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, con

𝑎, 𝑏, 𝑐 números reales y con la condición de que 𝑎 ≠ 0.

Ejemplo, 𝑚(𝑥) = (2𝑥 − 5) + 𝑥2 + 3 = 2𝑥 − 5 + 𝑥2 + 3 = 𝑥2 + 2𝑥 − 2 tiene la forma 𝑚(𝑥) =

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, por lo que se cataloga como cuadrática.

𝑝(𝑥) = (𝑡2 − 5)2 = 𝑡4 − 10𝑡2 + 25 no tiene la forma 𝑝(𝑡) = 𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐, por lo que

no es una función cuadrática.

207

Situaciones modeladas con funciones cuadráticas

Las ganancias de una empresa están modeladas por la fórmula 𝑔(𝑥) = −𝑥2 +4𝑥 − 1, donde 𝑥 corresponde a la cantidad de unidades producidas de cien mil en

cien mil y 𝑔(𝑥) son las ganancias que van de un millón de colones en un millón.

Represente la función cuadrática presentada en el ejemplo.

Ejemplo

1. Como 𝑥 representa unidades producidas, solo se pueden representar valores

naturales, para lo cual se elabora la siguiente tabla: Valor de 𝒙 Cálculo para 𝒈(𝒙) Par ordenado

0 𝑔(0) = −(0)2 + 4 ∙ 0 − 1 = −1 (0, −1)

1 𝑔(1) = −(1)2 + 4 ∙ 1 − 1 = 2 (1,2)

2 𝑔(2) = −(2)2 + 4 ∙ 2 − 1 = 3 (2,3)

3 𝑔(3) = −(3)2 + 4 ∙ 3 − 1 = 2 (3,2)

4 𝑔(4) = −(4)2 + 4 ∙ 4 − 1 = −1 (4, −1)

5 𝑔(5) = −(5)2 + 4 ∙ 5 − 1 = −6 (5, −6)

Representación tabular de 𝑔(𝑥):

𝑥 0 1 2 3 4 5

𝑔(𝑥) −1 2 3 2 −1 −6

Con estos valores, se puede graficar la función dada, por medio de la figura

adjunta:

208

Interprete Bajo ciertas condiciones la distancia d en metros a la que se

encuentra un objeto por encima del suelo viene dada por la fórmula d (t) = –2t2 + 20t, donde t es el tiempo en segundos.

2) Sea 2 4 3f x x x .

Una representación tabular de esta función es la siguiente:

x f(x)

-1 -8

0 -3

1 0

2 1

3 0

4 -3

5 -8

3) Supongamos una ecuación de 2º grado (el exponente de x debe ser 2): y=x2

Vamos a dar valores a la variable independiente x y conseguiremos que la variable dependiente y tome los suyos:

En primer lugar damos a x el valor 3, luego 2, después 0, seguidamente – 2 y por fin, – 3. La variable dependiente y recibirá los valores: 9, 4,0, 4 y 9

Podemos escribir:

Colocamos en el eje de coordenadas los puntos:

y luego, unimos esos puntos tal como lo ves en la figura siguiente:

209

4) Representa gráficamente la ecuación de 2º grado: y=2x2

Respuesta:

Solución

Dando valores a x: 2, 1, 0, -1 y -2 obtenemos los de y en la ecuación de 2º

grado: 22y x

Fijados los puntos, los unimos y obtendremos la parábola

210

5) Graficar f(x) = −2x2 + 3x – 3.

Crea la tabla de valores. Observa que en esta tabla, los valores de x aumentan.

Los valores de y aumentan y luego comienzan a disminuir. Esto indica una parábola

Usa la tabla de pares para graficar los puntos

Conecta los puntos lo mejor que puedas, usando una curva suave. Recuerda que

la parábola está compuesta de dos imágenes como en un espejo, entonces si tus

puntos no tienen pares con el mismo valor, querrás incluir puntos adicionales

211

EjerciciosComplete la información que se le pide y trace la gráfica

para la función f(x) = x2 – 2x – 8

Y X | | | | | | | | x

2. Complete la información que se le pide y trace la gráfica para la función

f(x) = 4x2 + 12x + 9 y | | | | | | | | x

1) Tabla de valores:

x f(x)


x f(x)

212

3: Complete la información que se le pide y trace la gráfica para la función

f(x) = x2 – 4x + 7

y | | | | | | | | x

4: Complete la información que se le pide y trace la gráfica para la función f(x) = –4x2 – 8x + 5 y | | | | | | | | x


x f(x)


x f(x)

213

5: Complete la información que se le pide y trace la gráfica para la función

f(x) = –x2 + 4x – 4 y | | | | | | | | x

6Complete la información que se le pide y trace la gráfica para la función

f(x) = –x2 – 6x – 10 y | | | | | | | | x


x f(x)


x f(x)

214

6) Interprete

Bajo ciertas condiciones la distancia d en metros a la que se encuentra un objeto

por encima del suelo viene dada por la fórmula d (t) = –2t2 + 20t, donde t es el

tiempo en segundos.

¿Que relación observa entre el tiempo y la distancia?

______________________________

¿Cuál es la razón por la que los valores correspondientes a la distancia se

repiten?

_________________________________________________________________

¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto? ¿En que tiempo se da?

_________________________________________________________________

215

8) En la figura adjunta se muestra la representación gráfica de los valores

obtenidos en la tabla anterior utilizando el software Graph.

¿Sera posible con la gráfica determinar

la altura del objeto a los 3,5 segundos?

¿Cuál será la altura máxima? Si su

respuesta es afirmativa, entonces

determine la

altura.____________________

¿Cuál es el tiempo que tarda el objeto

en el aire? ¿Se podrá determinar la

altura del objeto a los 20 segundos?

Justifique su

respuesta._______________________

_

¿Cuál de las dos representaciones

brinda más información sobre la

situación planteada, la tabla de valores

o la gráfica? Justifique su respuesta.

217

Situación Problema

Calcule el área de las siguientes figuras

Análisis de problema

La Clave

FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un

producto. El objetivo de este método es aplicar la siguiente propiedad:

∀𝐚, 𝐛, 𝐜 ∈ ℝ, 𝐚𝐛 + 𝐚𝐜 = 𝐚(𝐛 + 𝐜).

Este método se aplica cuando los términos de un polinomio poseen letras en común

o cuando los números de cada término no son coprimos (máximo común divisor

diferente de1).

Cuando realizamos las multiplicaciones:

1. 2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x 2. (x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35

entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la

derecha son las expresiones a factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.

Tema 2 Expresiones algebraicas

218

La factorización es de extrema importancia en la Matemática, así es que debes

tratar de entender lo más que puedas sobre lo que vamos a trabajar.

Existen varios casos de factorización:

1. FACTOR COMUN MONOMIO:

Factor común monomio: es el factor que está presente en cada término del polinomio

Ejemplos

1) ¿cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z?

Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y - 6· 4z = 6(2x + 3y - 4z)

2) ¿Cuál es el factor común monomio en: 5a2 - 15ab - 10 ac

El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto

5a2 - 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c)

3) ¿Cuál es el factor común en 6x2y - 30xy2 + 12x2y2

El factor común es “6xy “porque 6x2y - 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x - 5y + 2xy)

4) Factorizar 225 baa

a) Me pregunto ¿qué letra tiene igual? a

b) ¿Cuál es el exponente más pequeño de la a? 2

c) Entonces escojo el 2a

d) Coloco la 2a y abro un paréntesis

225 baa 2a (

e) Divido cada término entre 2a

2

22

2

5

a

ba

a

a 2a (

f) Coloco la respuesta dentro del paréntesis restando los exponentes así: “No se te olvide que para dividir se copia la base igual y se restan los

219

exponentes”

“No se te olvide cualquier base elevada a la cero es igual a 1.”

2

22

2

5

a

ba

a

a 222252

baaa = 2032

baaa = 232baa

5) Factorice 10𝑥2𝑦4 − 15𝑥7𝑦3.

Solución

10𝑥2𝑦4 − 15𝑥7𝑦3

= 5𝑥2𝑦3(2𝑦 − 3𝑥5).

6) Por ejemplo, al buscar la factorización de 4𝑦𝑧3 + 6𝑦𝑧 − 8𝑦, se debe proceder de la

siguiente manera:

1. El máximo común divisor de4, 6 y 8 es 2, por lo que este es el valor del

coeficiente numérico del factor común.

2. Para cada variable, se debe tomar el menor de sus exponentes y éste será el

exponente de la variable en el factor común:

Variable Exponente de la variable en cada término

Primero Segundo Tercero Factor común 𝒚 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏

𝒛 𝟑 𝟏 𝟎 𝟎

Por lo tanto, el factor común es 2𝑦1𝑧0 = 2𝑦

3. Se escribe el factor común y a su lado un paréntesis con el otro factor. Cada

término del otro factor corresponde a dividir el original por el factor común.

Se debe recordar que los números se dividen, mientras que los exponentes

se restan, por lo que la factorización del ejemplo que da de la siguiente

manera:

4𝑦𝑧3 + 6𝑦𝑧 − 8𝑦 = 2𝑦(4 ÷ 2𝑦1−1𝑧3−0 + 6 ÷ 2𝑦1−1𝑧1−0 − 8 ÷ 2𝑦1−1𝑧0−0) =

2𝑦(2𝑦0𝑧3 + 3𝑦0𝑧1 − 4𝑦0𝑧0) = 2𝑦(2𝑧3 + 3𝑧 − 4)

7. Otros ejemplos:

Se copia el signo

220

Expresión Factor común Factorización

𝟐𝟒𝒙𝟐𝒚𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟐𝒚 + 𝟏𝟎𝟎𝒙 𝟐𝒙 𝟐𝒙(𝟏𝟐𝒙𝒚𝟒 + 𝟓𝒙𝒚 + 𝟓𝟎)

𝟐𝟓𝒙𝟓𝒚𝟒 − 𝟑𝟓𝒙𝟐𝒚𝟑 − 𝟏𝟎𝒚𝟑𝒙𝟑 𝟓𝒙𝟐𝒚𝟑 𝟓𝒙𝟐𝒚𝟑(𝟓𝒙𝟑𝒚 − 𝟕 − 𝟐𝒙)

𝒑(𝒛 − 𝟏)

𝟏𝟓−

(𝒛 − 𝟏)

𝟐𝟓

(𝒛 − 𝟏)

𝟓 (𝒛 − 𝟏) (

𝒑

𝟑−

𝟏

𝟓)

10. Determine un factor común para . 2 3 2 4 34 2 7, y

3 3 3x y z x y x y

8. Determine el máximo factor común de 3 2 5 2 440 y 100x y z x y .

Solución

El mayor divisor común entre 40 y 100 es 20. El exponente menor de x es 2, el de y es 2 y z no es un factor común en los monomios. Luego el

máximo factor común es 2 220x y .

9. Determine el máximo factor común de 2 3 225 , 15xy z xy z 2 3y 50x y z .

Solución

El mayor divisor común entre 25, 15 y 50 es 5. La potencia menor de x es

1, la de y es 2 y la de z es 1. Luego el máximo factor común es 25xy .

Recuerde:

El mayor divisor común de 25, 15 y 50.

15 25 50 5

3 5 10

es 5

221

Solución

El coeficiente numérico del factor común podría ser o bien cualquiera de los

números . Por otro lado, la potencia menor de es 2, la de y es 1 y

la variable z no es común en lo monomios, luego son factores en común o

0 , etc. Aunque también lo son o .

Determine un factor común para .

Solución El coeficiente numérico del factor común podría ser cualquiera de los números

entre otros. La potencia menor de es 2, la de y es 3 y la

variable b no es común en lo monomios. Son factores en común o o

o .

11. Determine un factor común para .

Solución

Como

Un factor numérico en común es o . Por otro lado, la potencia menor de

a es 1 y las variables b y c no son comunes en lo monomios, luego son factores en

común o entre otros.

Ejercicios

1) Factorice 2446 nmnm

1

34 2 7

,3 3 3

o x

21

3x y

24

3x y 27

3x y

1

3xy

2

3x

2 3 3 3 5 4 31 1, y 5

3 2x y b x y x y

1 1 1, , 5

3 2 6o x

2 31

3x y 2 31

2x y

2 35x y 2 31

6x y

28 2 , 8a b abc 2 5y 6 32a c

3 5 28= 2 =2 2 y 6 32 6 2 6 2 2 24 2

2 2 -2 2

2 2a 2 2a

222

a) Me pregunto ¿qué letras tiene igual? _________________ .

b) De las letras que escogí ¿Cuáles son los exponentes más pequeños? _____________.

c) Entonces escojo las letras con exponentes más pequeños y abro paréntesis.

2446 nmnm _________ (

d) Divido cada término entre las letras con menor exponente:

_________

2446nmnm

_________ (

e) Divido y coloco la respuesta dentro del paréntesis.

_________

2446nmnm

_________

2) Halla el factor común de los siguientes ejercicios:

1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y =

3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x2 =

5. 14m2n + 7mn = 6. 4m2 -20 am =

7. 8a3 - 6a2 = 8. ax + bx + cx =

9. b4-b3 = 10. 4a3bx - 4bx =

11. 14a - 21b + 35 = 12. 3ab + 6ac - 9ad =

13. 20x - 12xy + 4xz = 14. 6x4 - 30x3 + 2x2 =

15. 10x2y - 15xy2 + 25xy =

16. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =

17. 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 =

18. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3

- 16p5q4 =

19. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =

20. 22

9

8

4

3xyyx

21. 24524332

16

1

8

1

4

1

2

1babababa

22. babaabba 3322

25

16

15

8

5

12

35

4

3)Factoriza:

1) yx 84

2) xxx 23 4

3) 23 105 xx

4) 23 32 xx

5) yxxyx 25105

6) yxyyxyx 3393 3245

223

7) 4322 155 xyyxxy

8) 36322 2796 xyyxyx

9) 2 13

2a a

10) 56

2xx

11) 12

1

6

x

12) 2

1

4

3

8

1 2xx

13) zyx 12168

14) 4334 2 yxyx

15) 423 352 xxx

16) 34 126 bb

17) bcdabcdbcabc 2753

18) 43548732 1135 zyxzyxzyx

19) 352735423 21714 zyxzyxzyx

20) 375364 271854 mnmnmn

4. Determine el máximo factor común de:

a) 2 , 10xy x b) 3 2 26 , 12 , 3m n m n m

c) 3 2 7 5 3 137 , 35 , 21m n m n m n d) 2 5 2 36 , 18 , 32a b abc b c

5. Determine un factor común para:

a) 2 2 31 1,

2 2b x ab x b) 2 2 5 4 64 3 7

, ,5 5 5

r s t r s rst

224

b) factor común polinomio

1. Se identifica el factor común

2 Se divide cada término del polinomio por el factor común 3. Se abren dos paréntesis, en el primero se escribe el factor común y

en el segundo los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno con su respectivo signo)

Ejemplos Factorar o descomponer en dos factores: 1

2

3

225

4

5

6

226

7

17 8. Factorice5𝑥(𝑥 − 𝑦) − 7𝑎(𝑥 − 𝑦).

Solución

5𝑥(𝑥 − 𝑦) − 7𝑎(𝑥 − 𝑦)

= (𝑥 − 𝑦)(5𝑥 − 7𝑎).

9) Factorice5𝑥(𝑥 − 𝑦) − 7𝑎(𝑦 − 𝑥).

Solución

5𝑥(𝑥 − 𝑦) − 7𝑎(𝑦 − 𝑥)

= 5𝑥(𝑥 − 𝑦) + 7𝑎(𝑥 − 𝑦)

= (𝑥 − 𝑦)(5𝑥 + 7𝑎).

227

10)Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) =

Existe un factor común que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b ) =

= ( a + b )( x + y )

11)Factoriza 2a(m - 2n) - b (m - 2n) = 2a(m - 2n) - b (m - 2n)

= (m - 2n )( 2a - b )

Ejercicios

1) Factorizar las siguientes expresiones algebraicas por el método de factor común.

1) x(a + b) + m(a + b) 2) 2x(a – 1) – y(a – 1)

3) m(x + 2) + m + 2 4) a(x + 1) – x – 1

5) 2x(x + y+ z) – x – y – z 6) (x – a)(y + 2) + b(y + 2)

7) (x + 2)(x – 1) – (x – 1)(x – 3) 8) x(a – 1) + y(a – 1) – a + 1

228

2) Factorizar las siguientes expresiones algebraicas por el método de factor

común

FACTOR COMUN POR AGRUPACION

P r o c e d i m i e n t o: 1. Se agrupan los términos convenientemente, utilizando paréntesis

2. Se saca factor común de cada uno de los paréntesis 3. Se realiza una segunda factorización (el factor común será, en este caso, el

paréntesis). Características:

- Tienen más de tres términos Forma de factorizar: byaybxax

Primero:

Observa cuidadosamente y notaras que los dos primero términos tienen factor común x y los dos últimos términos tienen factor común y ahora lo

operamos:

Los paréntesis me deben de quedar iguales si no es así entonces busco otras parejas o tríos.

Segundo:

Observamos que nos queda como factor común el paréntesis ba

Factorizamos

Es el factor común para saber cuál es el otro paréntesis

tapa con tu dedo los paréntesis ba lo que te queda

es el otro paréntesis

1. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 2. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =

3. x2( p + q ) + y2( p + q ) = 4. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =

5. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 6. a(2 + x ) - ( 2 + x ) =

7. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =

8. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =

9. (a( a + b ) - b ( a + b ) = 10. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =

baybax

byaybxax

ba

baybax

byaybxax

229

Lo que te queda al tapar los paréntesis ba es

x + y esto lo colocas en el otro paréntesis y

terminaste.

Ejemplos

1. Determinar la factorización completa del polinomio −12𝑥2 + 10𝑤 − 15 +

8𝑥2𝑤, se recurre directamente a agrupar los términos, pues no hay un factor común

que se pueda obtener. Un posible criterio para agrupar es ubicar juntos los términos

con coeficientes numéricos pares y, por otro lado, los de coeficientes impares. Así,

al resolver la factorización se tiene:

−12𝑥2 + 10𝑤 − 15 + 8𝑥2𝑤 = (−12𝑥2 + 8𝑥2𝑤) + (10𝑤 − 15) =

4𝑥2(−3 + 2𝑤) + 5(2𝑤 − 3) = 4𝑥2(2𝑤 − 3) + 5(2𝑤 − 3) = (2𝑤 − 3)(4𝑥2 + 5)

Por lo tanto, se tiene que −12𝑥2 + 10𝑤 − 15 + 8𝑥2𝑤 = (2𝑤 − 3)(4𝑥2 + 5)

2.No obstante, en este método a veces sucede que se debe incluir un signo negativo

en el factor común para poder hacer un cambio de signos. Por ejemplo, al factorizar

7𝑏 − 𝑎 − 49𝑏𝑎2 + 7𝑎3, se podría colocar juntos a los términos que contienen a la

variable 𝑏 y a los que no la tienen. En este caso, se tendría que

7𝑏 − 𝑎 − 49𝑏𝑎2 + 7𝑎3 = (7𝑏 − 49𝑏𝑎2) + (−𝑎 + 7𝑎3) =

7𝑏(1 − 7𝑎2) + 𝑎(−1 + 7𝑎2) = 7𝑏(1 − 7𝑎2) − 𝒂(𝟏 − 𝟕𝒂𝟐) = (1 − 7𝑎2)(7𝑏 − 𝑎)

Por lo tanto, 7𝑏 − 𝑎 − 49𝑏𝑎2 + 7𝑎3 = (1 − 7𝑎2)(7𝑏 − 𝑎).

baybax

baybax

yxba

baybax

baybax

230

3. Factorice

2𝑥 − 3𝑥𝑦 − 4𝑦 + 6𝑦2 = (2𝑥 − 4𝑦) + (−3𝑥𝑦 + 6𝑦2) = 2(𝑥 − 2𝑦) + 3𝑦(−𝑥 + 2𝑦) =

2(𝑥 − 2𝑦) − 𝟑𝒚(𝒙 − 𝟐𝒚) = (𝑥 − 2𝑦)(2 − 3𝑦)

Por lo tanto, 2𝑥 − 3𝑥𝑦 − 4𝑦 + 6𝑦2 = (𝑥 − 2𝑦)(2 − 3𝑦).

4. Factorice𝑏𝑥 − 𝑏𝑦 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦.

Solución

𝑏𝑥 − 𝑏𝑦 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦

= 𝑏(𝑥 − 𝑦) + 𝑎(𝑥 − 𝑦)

= (𝑥 − 𝑦)(𝑏 + 𝑎).

5.Factorice 𝑝𝑥 − 𝑞𝑥 − 𝑝𝑦 + 𝑞𝑦.

Solución

𝑝𝑥 − 𝑞𝑥 − 𝑝𝑦 + 𝑞𝑦

= 𝑝𝑥 − 𝑝𝑦 − 𝑞𝑥 + 𝑞𝑦

= 𝑝(𝑥 − 𝑦) − 𝑞(𝑥 − 𝑦)

= (𝑥 − 𝑦)(𝑝 − 𝑞).

6. Factorice 𝑥4 − 𝑥 + 2𝑥3 − 2.

Solución

= 𝑥4 − 𝑥 + 2𝑥3 − 2.

= 𝑥4 + 2𝑥3 − 𝑥 − 2.

= 𝑥3(𝑥 + 2) − (𝑥 + 2)

= (𝑥 + 2)(𝑥3 − 1)

7. Factorice el polinomio usando el método de agrupación.

Solución

Observe que, entre los cuatro monomios que forman el polinomio, no hay un

factor común. Sin embargo, si se agrupa como , en el primer

grupo hay un 3 de común y en el segundo una a. Al factorizar cada uno de estos

factores, se obtiene: . La expresión que resulta aún no está

factorizada ya que es una suma con dos sumandos. Pero entre ellos hay un factor

común: .

Luego la factorización pedida es

3 3x y ax ay

3 3x y ax ay

3 x y a x y

x y

3x y a

Recuerde:

Usando la distributivita

10 5 10 5m n m n

5 2 10 5m n m n

5 2 10 5m n m n

231

9. Factorice el polinomio usando el método de agrupación.

Solución

Para este polinomio, entre los cuatro monomios que lo forman, tampoco hay un

factor común. Sin embargo, si se agrupa como , en el

primer grupo hay una b de común y en el segundo un 5. Al factorizar cada uno de

estos factores, se obtiene: . La expresión que resulta aún

no está factorizada ya que es una suma con dos sumandos. Pero no se puede

seguir con el proceso de factorización ya que no hay factores en común entre éstos sumandos.

Observe que en el segundo sumando también se puede factorizar un -5 y se

obtiene: , con lo que se logra un factor común entre los

sumandos.

Luego la factorización es:

10.Factorice el polinomio usando el método de

agrupación.

Solución

Para este polinomio tampoco hay un factor común a todos los monomios. Usando las propiedades conmutativa y asociativa de la adición se obtiene la agrupación:

. En el primer grupo hay 4x de factor común y

en el segundo 3z. Al factorizar cada uno de estos términos, se obtiene:

y es un factor común. La factorización es

2 10 5mb nb m n

2 10 5mb nb m n

2 5 2b m n m n

2 5 2b m n m n

2 5m n b

2 24 3 4 3 4 3xy zp x z xp zy

2 24 4 4 3 3 3xy x xp zp z zy

2 24 1 3 1x y p z p y 2 1y p

2 1 4 3y p x z

Recuerde:

2 21 1y p p y

232

Ejercicios

1Factorizar por agrupamiento

1. a2 + ab + ax + bx = 2. ab + 3a + 2b + 6 =

3. ab - 2a - 5b + 10 = 4. 2ab + 2a - b - 1 =

5. am - bm + an - bn = 6. 3x3 - 9ax2 - x + 3a =

7. 3x2 - 3bx + xy - by = 8. 6ab + 4a - 15b - 10 =

9. 3a - b2 + 2b2x - 6ax = 10. a3 + a2 + a + 1 =

11. ac - a - bc + b + c2 - c =

12. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =

13. ax - ay - bx + by - cx + cy =

14. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =

15. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =

16. zxyzxyxzx 753

143

3

10

4

21

4

15 2

17. bnbmamam5

16

5

4

3

8

3

2

2) Factorice cada uno de los siguientes polinomios utilizando el método de

agrupación.

a) b)

c) d)

e) f)

3) Factorizar las siguientes expresiones algebraicas por el método agrupamiento.

1) ax + bx + ay + by 2) 3m2 – 6mn + 4m – 8n

3) 2x2 – 3xy – 4x + 6y 4) x + z – 2ax – 2az2

5) 3ax – 3x + 4y – 4ay 6) ax – ay + az + x – y + z

7) a2x – ax2 – 2a2y + 2axy + x3 – 2x2y

8 4 14 7xz xy z y 3 23 9 27y y y

2 7 3 21a ab ac bc 2 6 6x xy x y

2 2z x y y x y 9 10 10x x x

233

III Método Trinomio Cuadrado Perfecto

Definición: Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el

producto de multiplicar dos factores iguales.

P r o c e d i m i e n t o :

1. Se ordena el trinomio 2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos

3. Se halla el doble producto de las raíces obtenidas en el paso anterior 4. Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo término del

trinomio y si el primero y tercer términos tienen igual signo, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal.

5. Se escribe dentro de un paréntesis las raíces cuadradas del primero y tercer términos, separadas por el signo del segundo término, y el paréntesis elevado al

cuadrado. Características:

- Tienen tres términos (ordenarlo en forma descendente) - El primer término y el tercero tienen raíz cuadrada exacta.

- El segundo término es la multiplicación de la raíz cuadrada del primer término

por la raíz cuadrada del tercer término multiplicada siempre por 2, si da como resultado el segundo término entonces es un trinomio cuadrado perfecto.

Forma de factorizar:

Primero: ordeno el trinomio en forma descendente

Segundo: saco raíz cuadrada del primer término tanto a al número como la letra.

24 414 yy

144

214

24

24

yy

yy

2

24

24

24

2

2

144

414

y

y

yy

yy

234

Tercero: saco raíz cuadrada del segundo término tanto a al

número como la letra.

Cuarto: realizo la prueba para ver si es un trinomio cuadrado perfecto.

Multiplico el primer término ( 22y ) de mi respuesta con el segundo ( 1 )y

luego multiplico siempre por 2 para ver si me da el segundo término ( 24y )

Quinto: opero los signos del ejercicio y lo coloco al centro

Sexto: lo encierro entre paréntesis y lo elevo al cuadrado.

1 2

1 2

144

414

2

24

24

24

y

y

yy

yy

22

24

42 1 2

1 4 4

yy

yy

Siempre se

multiplica por 2

Como son iguales si es

un trinomio cuadrado

perfecto

1 2

1 2

144

2

24

24

y

y

yy

22

24

24

1 2

1 2

144

y

y

yy

235

Ejemplos

1. Factorice el trinomio .

Solución

Observe que este trinomio contiene dos términos que son cuadrados perfectos:

; cuyas raíces cuadradas son x y 4 respectivamente. El doble producto de

estas raíces es que coincide con el término restante del trinomio dado.

Luego la factorización es


Solución

En este trinomio se reconoce que es un cuadrado. Por otro lado, recuerde que

, luego el doble producto de las raíces cuadradas de estas expresiones es

, que coincide con el término restante del trinomio dado. Como este

término tiene signo negativo, la factorización es .


Solución

Este trinomio no responde exactamente al patrón de las fórmulas dadas para el

cuadrado de un binomio, pero observe que se puede factorizar un -1, o sea un

signo negativo.


Solución Nuevamente este trinomio no responde exactamente al patrón de las fórmulas

dadas para el cuadrado de un binomio, pero se procede:

2 8 16x x

2 y 16x

2 4 8x x

22 8 16 4x x x

2 2 3 3a a

2a

2

3 3

2 3 2 3a a

2

2 2 3 3 3a a a

2 10 25x x

2 2

2

10 25 1 10 25

5

x x x x

x

2 26 169x x

2 2

2

26 169 1 26 169

13

x x x x

x

236

Ejercicios

1. Factorizar por medio de trinomios cuadrados perfectos

2. b2 - 12b + 36 = 3. 25x2 + 70xy + 49y2 =

4. m2 - 2m + 1 = 5. x2 + 10x + 25 =

6. 16m2 - 40mn + 25n2 = 7. 49x2 - 14x + 1 =

8. 36x2 - 84xy + 49y2 = 9. 4a2 + 4a + 1 =

10.1 + 6ª + 9a2 = 11.25m2 - 70 mn + 49n2 =

12.25a2c2 + 20acd + 4d2 = 13.289a2 + 68abc + 4b2c2 =

14.16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =

2. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas por el método trinomio cuadrado perfecto. 1) m2 + 2m + 1 2) 4x2 + 25y2 – 20xy 3) 1 – 16ax2 + 64a2x4

4) 4

22 b

bxx 5) 934

1 2bb

IV Método Diferencia de cuadrados

P r o c e d i m i e n t o :

1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo 2. Se abren dos paréntesis

3. En el primer paréntesis se escribe la suma y en el segundo la diferencia de las raíces halladas en el paso 1

Características:

- Tienen dos términos ( es un binomio = bi significa 2) - El signo que los separa siempre es menos

- Las potencias de letras están elevadas con números pares 2, 4, 6… - Tiene raíz cuadrada exacta el primer término

- Tiene raíz cuadrada exacta el segundo término

237

Forma de factorizar:

Primero abro paréntesis

Segundo saco raíz cuadrada al número si no la se, le saco los factores primos al

número así:

Coloco la respuesta así:

Tercero saco la raíz cuadrada de la letra asi:

a dos entre potencia la siempre divido 22

2 aa

y la respuesta es la raíz de la letra.

Coloco la respuesta así

Cuarto copio el signo.

Coloco así

Quinto saco la raíz cuadrada del segundo término siguiendo los pasos segundo y tercero.

Coloco la respuesta así

Sexto cierro paréntesis.

así

Séptimo copio el primer paréntesis solamente que le cambio el signo a +. Así

16 2 8 2 4 2 2 2

1

Multiplico los números

circulados

2

2

2 x 2 = 4 y esta

es la raíz

cuadrada 16

(

a4(

4( a

b 4( a

b) 4( a

b) 4(b) 4( aa

3)

Por cada pareja de 2

sale un dos

4(

238

Ejemplos

1. Factorice 4𝑥2 − 9𝑦2.

Solución

Siguiendo el esquema

4𝑥2 − 9𝑦2 2𝑥 −3𝑦 2𝑥 +3𝑦

se obtiene que 4𝑥2 − 9𝑦2 = (2𝑥 − 3𝑦)(2𝑥 + 3𝑦).

2. Factorice el binomio .

Solución

Como , 2 36x se expresa como , luego utilizando la fórmula anterior

.


Solución

Como , el binomio se puede expresar como:

.

Ya que son cuadrados, la diferencia se escribe como

. Por otro lado, observe que es una suma de cuadrados y

no responde al patrón de la fórmula dada anteriormente. En cursos posteriores se

va a justificar que no hay manera de expresar una suma de la forma como

el producto de polinomios.

Por lo tanto la factorización completa de es:

2 36x

236 6 2 26x

2 26 6 6x x x

4 416a b

2 24 2 4 2y 16 4a a b b 4 416a b

2 24 4 2 2 2 2 2 216 4 4 4a b a b a b a b

22 2y 4 2a b b 2 24a b

2 2a b a b 2 24a b

2 2a b

4 416a b

4 4 2 216 2 2 4a b a b a b a b

239


Solución

Aunque pareciera que el binomio dado no se puede expresar como una diferencia de cuadrados, ya que 5 no es un cuadrado perfecto, se puede hacer lo siguiente:


Solución

Como , se tiene:

.


Solución Observe que , luego

Ejercicios

a. Factorizar por medio de diferencia de cuadrados

1. 9a2 - 25b2 = 2. 16x2 - 100 =

3. 4x2 - 1 = 4. 9p2 - 40q2 =

5. 36m2n2 - 25 = 6. 49x2 - 64t2 =

7. 169m2 - 196 n2 = 8. 121 x2 - 144 k2 =

9. 22 b36

49a

25

9 10. 44 y16

9x

25

1

11. 3x2 - 12 = 12. 5 - 180f2 =

13. 8y2 - 18 = 14. 3x2 - 75y2 =

15. 45m3n - 20mn = 16. 2a5 - 162 a3 =

2 5x

2

2 25 5 5 5x x x x

210,49

4x

221 1

y 0,49 0,74 2

2221 1 1 1

0,49 - 0,7 0,7 0,74 2 2 2

x x x x

1 7 1 7

2 10 2 10x x

6 29m nx y

2 26 3 2y 9 3m m n nx x y y

2 26 2 3

3 3

9 3

3 3

m n m n

m n m n

x y x y

x y x y

240

b.Factorizar las siguientes expresiones algebraicas por el método diferencia de

cuadrados.

1) 1 – a2 2) 16x2 – 25y2 3) 49x2y6z10 – a12

4) 94

42 ba 5) a2n – 9b4m

V Método Combinación de los métodos anteriores

En esta sección, se aplicará una combinación de métodos para factorizar

polinomios.

Ejemplos

1. Factorice (𝑥 − 2) − (𝑥2 − 4𝑥 + 4).

Solución (𝑥 − 2) − (𝑥2 − 4𝑥 + 4)

= (𝑥 − 2) − (𝑥 − 2)2

= (𝑥 − 2)[1 − (𝑥 − 2)]

= (𝑥 − 2)(3 − 𝑥).

2. Factorice𝑥2(2 − 𝑦) − 2𝑥(2 − 𝑦) + 2 − 𝑦.

Solución

𝑥2(2 − 𝑦) − 2𝑥(2 − 𝑦) + 2 − 𝑦

= (2 − 𝑦)(𝑥2 − 2𝑥 + 1)

= (2 − 𝑦)(𝑥 − 1)2.

3. Factorice2𝑥2(𝑥 − 3) + 𝑥2 − 6𝑥 + 9.

Solución

2𝑥2(𝑥 − 3) + 𝑥2 − 6𝑥 + 9

= 2𝑥2(𝑥 − 3) + (𝑥 − 3)2

= (𝑥 − 3)(2𝑥2 + 𝑥 − 3)

= (𝑥 − 3)(2𝑥 − 3)(𝑥 − 1).

241

4. Factorice 2𝑥 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 − 1

Solución

2𝑥 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 − 1

= −2𝑥(𝑦 − 1) + (𝑦 − 1)(𝑦 + 1)

= (𝑦 − 1)(−2𝑥 + 𝑦 + 1).

5. Factorice 𝑥2 − 16𝑦2 + 10𝑥 + 25.

Solución

𝑥2 − 16𝑦2 + 10𝑥 + 25

= 𝑥2 + 10𝑥 + 25 − 16𝑦2

= (𝑥 + 5)2 − 16𝑦2

= (𝑥 + 5 − 4𝑦)(𝑥 + 5 + 4𝑦)

6. Factorice 16𝑥2 − 𝑦2 − 8𝑥 + 1.

Solución

16𝑥2 − 𝑦2 − 8𝑥 + 1

= 16𝑥2 − 8𝑥 + 1 − 𝑦2

= (4𝑥 − 1)2 − 𝑦2

= (4𝑥 − 1 + 𝑦)(4𝑥 − 1 − 𝑦).

7. Factorice 𝑎(𝑎 − 1) − 𝑏(𝑏 + 1)

Solución

𝑎(𝑎 − 1) − 𝑏(𝑏 + 1)

= 𝑎2 − 𝑎 − 𝑏2 − 𝑏

= 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑎 − 𝑏

= (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) − (𝑎 + 𝑏)

= (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏 − 1).


Solución

El binomio dado no responde al patrón de una diferencia de cuadrados, pero se

reconoce un factor común. Entonces:

5 35 80x x

5 3 3 2

diferencia decuadrados

3

5 80 5 16

5 4 4

x x x x

x x x

242

9. factorice la expresión .

Solución

Observe que la expresión no está factorizada, es una suma con dos sumandos,

que tienen como factor común a , así:

10. Factorice el polinomio .

Solución

En esta expresión no hay un factor común para todos lo monomios ni tampoco

responde a la fórmula de diferencia de dos cuadrados, pero agrupando se logra

factorizar. Entonces:

11. Factorice el polinomio .

Solución

Observe que la forma de este polinomio no responde a las fórmulas dadas

anteriormente, pero si se acomoda usando la conmutatividad de la adición y se

agrupa usando la asociatividad, se logra factorizar.

2 2 29 25 9a a a

2 9a

2 2 2 2 2

diferencia de diferencia decuadrados cuadrados

9 25 9 25 9

5 5 3 3

a a a a a

a a a a

2 2 6 6b a a b

2 2 2 2

el 6 es un factordiferencia de comúncuadrados

6 6 6 6

6

1 6

1 6

6

b a a b b a a b

b a b a a b

a b b a a b

a b b a

a b b a

2 2 8 16y x y

243

12. Factorice el polinomio

Solución

Este polinomio tampoco responde al patrón de las fórmulas, pero acomodando y

agrupando, se tiene

.

Ejercicios

A) Factorice por medio de combinación de métodos

1. 2ab + 4a2b - 6ab2 = 2. 2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =

3. b2 - 3b - 28 = 4. a2 + 6a + 8 =

5. 5a + 25ab = 6. bx - ab + x2 - ax =

7. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab = 8. ax + ay + x + y =

9. 8x2 - 128 = 10.4 - 12y + 9y2 =

11.x4 - y2 = 12.x2 + 2x + 1 - y2 =

13.(a + b )2 - ( c + d)2 = 14.a2 + 12ab + 36b2 =

15.36m2 - 12mn + n2 = 16.x16 - y16 =

2 2 2 2

cuadrado perfecto

2 2

diferencia de cuadrados

8 16 8 16

4

4 4

y x y y y x

y x

y x y x

2 22 6 9x y y

2 2 2 2

cuadrado perfecto

2 2

diferencia de cuadrados

2 6 9 6 9 2

3 2

3 2 3 2

x y y y y x

y x

y x y x

244

B) Descomponga en varios factores las siguientes expresiones algebraicas.

1. 5a2 – 5 2. 3x3 – 18x2y + 27xy2

3. x4 – y4 4. 6ax2 + 12ax – 90x

5. 3x4 – 26x2 – 9 6. x3 – 4x – x2 + 4

7. 2x4 – 32 8. x4 – 13x2 + 36

VI Método por Inspección

Este método se aplica para factorizar polinomios cuadráticos donde ∆ es

un número cuadrado perfecto. Se presentan dos casos, donde el polinomio es mónico (tiene coeficiente principal igual a 1) o si no es mónico.

Caso 1

Este caso se aplica cuando el polinomio es mónico, esto es, cuando tiene la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Para factorizar dicho polinomio, se deben buscar dos números reales

𝑚 y 𝑛 tales que 𝑚 ⋅ 𝑛 = 𝑐 y 𝑚 + 𝑛 = 𝑏, con lo que se obtiene que:

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛).

Si 𝑐 > 0, 𝑏 > 0 los dos números 𝑚, 𝑛 son positivos.

Si 𝑐 > 0, 𝑏 < 0 los dos números 𝑚, 𝑛 son negativos.

Si 𝑐 < 0, los dos números 𝑚, 𝑛 tienen signos opuestos.

Como nemotecnia, a veces se ponen los números 𝑚 y 𝑛 como lo muestra el

siguiente esquema

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑥 𝑚

𝑥 𝑛

245

entendiendo que se deben buscar dos números 𝑚 y 𝑛, tales que multiplicados den

𝑐 y sumados resulten igual a 𝑏. Luego, se copian los factores en línea recta por lo

que se obtiene:

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛).

Caso 2

Este caso se aplica cuando el polinomio no es mónico, esto es, cuando tiene la

forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Para factorizar dicho polinomio, se deben buscar cuatro

números reales 𝑚, 𝑛, 𝑝 y 𝑞 tales que 𝑚 ⋅ 𝑛 = 𝑐, 𝑝 ⋅ 𝑞 = 𝑎 y que cumpla 𝑝 ⋅ 𝑛 + 𝑞 ⋅ 𝑚 =

𝑏, con lo que se obtiene que:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑝𝑥 + 𝑚)(𝑞𝑥 + 𝑛).

Si 𝑐 > 0, 𝑏 > 0 los dos números 𝑚, 𝑛 son positivos.

Si 𝑐 > 0, 𝑏 < 0 los dos números 𝑚, 𝑛 son negativos.

Si 𝑐 < 0, los dos números 𝑚, 𝑛 tienen signos opuestos.

Como nemotecnia, a veces se ponen los números 𝑚, 𝑛, 𝑝 y 𝑞 como lo muestra el

siguiente esquema

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑝𝑥 𝑚

𝑞𝑥 𝑛

entendiendo que se deben buscar dos números 𝑚 y 𝑛, tales que multiplicados den

𝑐; además que se deben buscar dos números 𝑝 y 𝑞 tales que 𝑝 ⋅ 𝑞 = 𝑎, y también

que al multiplicar los números 𝑝, 𝑛 y 𝑚, 𝑞 en cruz y luego sumarlos se obtenga 𝑏, ie

𝑝 ⋅ 𝑛 + 𝑞 ⋅ 𝑚 = 𝑏.

Luego, se copian los factores en línea recta por lo que se obtiene

Ejemplos

1. Factorice 2𝑥2 − 11𝑥 + 5.

Solución

El discriminante del trinomio 2𝑥2 − 11𝑥 + 5 es ∆= (−11)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 5 = 81, por lo que el

trinomio se puede factorizar por inspección. Siguiendo el esquema de esta sección,

con −5 ∙ −1 = −5, 2 ∙ 1 = 2 y 2 ∙ −5 + −1 ∙ 1 = −11

2𝑥2 − 11𝑥 + 5 2 𝑥 −1 1 𝑥 −5

246

se obtiene que 2𝑥2 − 11𝑥 + 5 = (2𝑥 − 1)(𝑥 − 5).

2. Factorice −6𝑥2 + 7𝑥 − 2.

Solución

El discriminante del trinomio −6𝑥2 + 7𝑥 − 2 es ∆= (7)2 − 4 ⋅ −6 ⋅ −2 = 1, por lo que el

trinomio se puede factorizar por inspección. Se debe observar que

−6𝑥2 + 7𝑥 − 2 = −(6𝑥2 − 7𝑥 + 2).

Siguiendo el esquema de esta sección, con 3 ∙ 2 = 6, −2 ∙ −1 = 2 y 3 ∙ −1 + 2 ∙ −2 = −7

6𝑥2 − 7𝑥 + 2

3 𝑥 −2

2 𝑥 −1

se obtiene que −6𝑥2 + 7𝑥 − 2 = −(3𝑥 − 2)(2𝑥 − 1) = (2 − 3𝑥)(2𝑥 − 1) .

3. Factorice el polinomio 26 23 10x x

Solución Se buscan los factores para -6 y - 10

Se expresa la factorización

4. Factorice el polinomio 22 5 3x x

Se buscan los factores para 2 y - 3

Se expresa la factorización

247

5. Factorice en forma completa 𝑥2 + 6𝑥 + 5.

Solución

El discriminante del trinomio 𝑥2 + 6𝑥 + 5 es ∆= 62 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 16, por lo que el


con 5 ∙ 1 = 5 y 5 + 1 = 6

𝑥2 + 6𝑥 + 5

𝑥 5

𝑥 1

se tiene que 𝑥2 + 6𝑥 + 5 = (𝑥 + 5)(𝑥 + 1) .

6. Factorice en forma completa 𝑥2 − 𝑥 − 6.

Solución El discriminante del trinomio 𝑥2 − 𝑥 − 6 es ∆= (−1)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ −6 = 25, por

lo que el trinomio se puede factorizar por inspección. Siguiendo el esquema de

esta sección, con −3 ∙ 2 = −6 y −3 + 2 = −1

𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥 2

𝑥 −3

se tiene que 𝑥2 − 𝑥 − 6 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 2).

7. Factorice en forma completa 𝑥2 − 6𝑥 + 9.

Solución

El discriminante del trinomio 𝑥2 − 6𝑥 + 9 es ∆= (−6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 0, por lo que el


con −3 ∙ −3 = 9 y −3 − 3 = −6

𝑥2 − 6𝑥 + 9

𝑥 −3

𝑥 −3

se tiene que 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3)2

248

Ejercicios

Factorice los siguientes polinomios cuadráticos:

a. 𝑥2 + 2𝑥 + 1

b. 𝑥2 − 4𝑥 + 4

c. 𝑥2 + 4

d. 𝑥2 − 4

e. 𝑥2 − 3𝑥 + 10

f. 𝑥2 + 𝑥 + 1

g. 𝑥2 + 𝑥 − 1

h. 𝑥2 + 4𝑥 + 4

i. 3𝑥2 − 𝑥 − 2

j. 𝑥2 − 9𝑥 + 8

k. 2𝑥2 − 5𝑥 + 3

l. 3𝑥(𝑥 − 2) + 3

m. 3𝑥2 − 13𝑥 − 10

n. −9𝑥2 + 3𝑥 −1

4

o. 2𝑥2 − 3𝑥 − 1

p. 𝑥2 +𝑥

2−

1

2

q. −6+𝑥2 − 𝑥

r. −𝑦2 + 2𝑦 − 15

s. 𝑥2 − 𝑥𝑦 − 30𝑦2

t. 6𝑥2 − 11𝑥𝑦 + 4𝑦2

u. 25

36𝑥4 +

1

3𝑥2 +

1

25

VII Completar cuadrados

Completar cuadrados en una expresión algebraica

Como se mencionó anteriormente, los primeros dos productos notables son

(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑦2 y (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏2. Pero, cualquier trinomio de la

forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 se puede transformar en una expresión de la forma 𝑥2 + 2ℎ𝑥 + ℎ2 +

𝑐 − ℎ2 = (𝑥 + ℎ)2 + 𝑘. Para lograrlo, se debe asumir que 𝑏𝑥 corresponde al término

del medio del producto notable, es decir, 𝑏𝑥 = 2ℎ𝑥. Al resolver esta ecuación, se

249

obtiene el valor de ℎ, para luego sumar y restar su cuadrado. Finalmente, el valor

de 𝑘 se obtiene al resolver 𝑐 − ℎ2.

Por ejemplo, al completar los cuadrados de 𝑥2 + 8𝑥 + 14, se tendría que

8𝑥 = 2ℎ𝑥 ⟹8𝑥

2𝑥= ℎ ⟹ 4 = ℎ

De esta manera, se tiene que ℎ2 = 42 = 16, con lo que

𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 𝑥2 + 8𝑥 + 16 + 14 − 16 = (𝑥 + 4)2 − 2

Otro ejemplo es completar los cuadrados de 𝑥2 + 6𝑥 + 7, donde

6𝑥 = 2ℎ𝑥 ⟹6𝑥

2𝑥= ℎ ⟹ 3 = ℎ

De esta manera, se tiene que ℎ2 = 32 = 9, con lo que

𝑥2 + 6𝑥 + 7 = 𝑥2 + 8𝑥 + 9 + 7 − 9 = (𝑥 + 3)2 − 2

Como último ejemplo, se tiene completar los cuadrados de la expresión 𝑥2 + 3𝑥 + 2,

donde

3𝑥 = 2ℎ𝑥 ⟹3𝑥

2𝑥= ℎ ⟹

3

2= ℎ

De esta manera, se tiene que ℎ2 = (3

2)

2

=9

4, con lo que la respuesta es

𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 𝑥2 + 3𝑥 +9

4+ 2 −

9

4= (𝑥 +

3

2)

2

−1

4

250

Ejemplos

1 Exprese de la forma (x+h)2 + k la expresión 2 10 28x x

2

2 2

2

2

2

10 28

10 1010 28

2 2

10 25 25 28

5 3

x x

x x

x x

x

2. Expresar el trinomio 2 6 10x x de la forma (x+h)2 + k

a. Se identifican los valores de p y q donde p= 6 y q=10

b. Se busca una expresión algebraica de la forma

a. Se sustituye y obtenemos

b. Se concluye que

251

3.Expresar el trinomio 2 5 1y y de la forma (x+h)2 + k

a. Se identifican los valores de p y q, p=-5 y q=1

b. Se busca una expresión algebraica de la forma

c. Se sustituye y obtenemos

c. Se concluye que

4. Factorizar 2 4 5x x se procede de la siguiente manera:

https://4.bp.blogspot.com/-0Ld1sJnLd5o/TWFA0oyeU6I/AAAAAAAAAIE/tOHr1lUMBrU/s1600/e3.gif

https://1.bp.blogspot.com/-3h12PrQSGA0/TWFA0whqJJI/AAAAAAAAAIM/HVibuBAyRy4/s1600/e4.gif

https://4.bp.blogspot.com/-R7L31JyFaxs/TWFQz3bN8pI/AAAAAAAAAIU/AUDAOmwV6l0/s1600/e5.gif

https://1.bp.blogspot.com/-7ywQbNs6yQc/TWFRPuZjMiI/AAAAAAAAAIc/iM1ZxylkpHY/s1600/e6.gif

252

Ejercicios

1. Exprese los siguientes trinomios de la forma (x+h)2 + k

253

División de polinomios

Para dividir polinomios, dependiendo de la forma de cada polinomio, se

trabaja de dos maneras, cada una será explicada por separado. Se debe

recordar que los exponentes de las variables se restan y el resultado se deja en el

numerador o en el denominador, dependiendo de la posición en la que se encuentre

originalmente el exponente mayor; mientras que los coeficientes numéricos se

dividen.

Se puede decir que hay 3 reglas básicas usadas para simplificar fracciones o

cocientes de monomios. La primera de ellas es la propiedad para multiplicar

fracciones. Esta propiedad permite expresar una fracción como un producto.

Propiedad para multiplicar fracciones

Si , , ,a b x y son números reales con 0 y 0b y , entonces

ax a x

by b y

Ejemplos

1. Utilice la propiedad anterior para expresar cada una de las

expresiones como un producto de fracciones

15 3 5 3 5

28 4 7 4 7 o bien

15 5 3 5 3

28 4 7 4 7 o bien

15 3 5 3 5

28 2 14 2 14

Si se asume x y en la propiedad para multiplicar fracciones, se obtiene una regla

para simplificar fracciones.

Recuerde:

Si , , ,a b c d son números

reales con 0 y 0b d

a c a c

b d b d

Recuerde:

Si a es un número real

0a 1a

a

254

Propiedad de cancelación, conocida como ley de cancelación.

Si , ,a b x son números reales con 0 y 0b x , entonces

1ax a x a a

bx b x b b

Esta propiedad permite dividir el numerador y el denominador de una fracción por

cualquier número diferente de 0.

Como usted observó siempre que se trabaja con fracciones se hace énfasis en que los denominadores deben ser diferentes de 0. De aquí en adelante, en esta lección,

se asumirá que todo denominador es distinto de cero

Ejemplos

1) Utilizando la propiedad de cancelación y los axiomas de campo, se simplifican fracciones o lo que es equivalente se efectúa la división de monomios.

a)

2

porque la multiplicación es con-mutativa y asociaciativa en

9 3 3 33 3 3 31 1

15 3 5 3 5 5 5 5

xy x y y y y yx

x x x x x x x x

b)

8 2 5 3 353 3

5 5 5

porque la multiplicación es conmutativay asociativa en

1 11

x y x x y y y x yxx y x y

x y x y x y

c)

2 2 2

7 2 5 2 5 5 5

1 1 11

a a a

a a a a a a a

255

2) Utilice las propiedades de cancelación y de división de potencias, y los axiomas de campo

para efectuar la división de monomios. Asuma que los denominadores son distintos de 0.

Solución.

a)

6 2 4 4 4

2 2 2 2 2 2


27 3 9 9 9

6 3 2 2 2

x z x x z x z x z

x y x y y y

b)

12 1212 9

7 9 7 9 7 1

42 7 6 7 6 1 1

49 7 7 7 7

ab abb

a b c a b c a c

3

3

6 6

6 1 1 61

7 7

bb

a c a c

Observe que al dividir un monomio por un monomio el resultado no siempre es un

monomio.

3) Utilice las propiedades de cancelación y de división de potencias, y los axiomas

de campo para efectuar la división de monomios. Asuma que los denominadores

son distintos de 0.

Solución.

a)

6 2 4 4 4

2 2 2 2 2 2


27 3 9 9 9

6 3 2 2 2

x z x x z x z x z

x y x y y y

256

b)

12 1212 9

7 9 7 9 7 1

42 7 6 7 6 1 1

49 7 7 7 7

ab abb

a b c a b c a c

3

3

6 6

6 1 1 61

7 7

bb

a c a c

Observe que al dividir un monomio por un monomio el resultado no siempre es

un monomio.

5) Simplifique la siguiente fracción

5

10

a b

a b.

Solución

Observe que las expresiones del numerador y el denominador no son monomios,

sin embargo se usa la propiedad de división de potencias.

5

10 10 5 5

1 1a b

a b a b a b

También se puede realizar de la siguiente manera

En este caso, se divide cada monomio del polinomio por el monomio dado como

divisor y el resultado es la suma o resta de estas divisiones.

Como ejemplos se tienen los siguientes:

257

(25𝑝7𝑞3 − 30𝑝𝑞) ÷ (15𝑝3𝑞4) =

25𝑝7𝑞3 − 30𝑝𝑞

15𝑝3𝑞4=

25𝑝7𝑞3

15𝑝3𝑞4−

30𝑝𝑞

15𝑝3𝑞4=

5𝑝4

3𝑞−

2

𝑝2𝑞3

(−5𝑥3𝑦3 − 10𝑥2𝑦4 + 15𝑥𝑦2) ÷ (−5𝑥𝑦3) =

−5𝑥3𝑦3 − 10𝑥2𝑦4 + 15𝑥𝑦2

−5𝑥𝑦3=

−5𝑥3𝑦3

−5𝑥𝑦3−

10𝑥2𝑦4

−5𝑥𝑦3+

15𝑥𝑦2

−5𝑥𝑦3=

𝑥2 + 2𝑥𝑦 −3

𝑦

(10𝑡4𝑤5 − 8𝑡3𝑤3) ÷ (12𝑡2𝑤2) =

10𝑡4𝑤5 − 8𝑡3𝑤3

12𝑡2𝑤2=

10𝑡4𝑤5

12𝑡2𝑤2−

8𝑡3𝑤3

12𝑡2𝑤2=

5𝑡2𝑤3

6−

2𝑡𝑤

3

(6𝑎8𝑏8 − 3𝑎6𝑏6 − 𝑎2𝑏3) ÷ (3𝑎3𝑏2) =

6𝑎8𝑏8 − 3𝑎6𝑏6 − 𝑎3𝑏2

3𝑎2𝑏3=

6𝑎8𝑏8

3𝑎2𝑏3−

3𝑎6𝑏6

3𝑎2𝑏3−

𝑎3𝑏2

3𝑎2𝑏3=

2𝑎6𝑏5 − 𝑎4𝑏3 −𝑎

3𝑏

Ejercicios Simplifique cada expresión. Asuma que los denominadores son

distintos de 0.

a) 28

2

a

a b)

6

5

10

bc

b c)

7

5

st

st d)

3

12

a b

a b

e)

15

3

a b

a b f)

5

2

2,4 10

4,8 10 g)

5 4

23

3 2

6

a a

a

h)

24

32

13

26

c d

cd i)

42

52

8

4

x y

x y

258

División de un polinomio por un monomio

Para efectuar la división de un polinomio por un monomio se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición y se

convierte el procedimiento en una división de monomios.

Ejemplo

Para dividir el binomio 5 33x x por el monomio 23x se puede expresar como una

fracción y se utiliza la distributividad de la multiplicación respecto de la adición:

5 35 3

2 2

5 3

2 2

5 3 3

2 2

3 13

3 3

1 1 3

3 1 3 1

3

3 3 3

x xx x

x x

x x

x x

x x xx

x x

Ejemplo

Para dividir el polinomio 5 2 3 4 3 24 6 2 3x y x yz xyz y

por 24x yz se procede de manera similar:

5 2 3 4 3 2

2

5 2 3 4 3 2

2

5 2 3 4

2 2

3 2

2 2

5 2 3 4 3 2

2 2 2 2

3 3 2

2

4 6 2 3

4

14 6 2 3

4

1 14 6

4 4

1 12 3

4 4

4 6 2 3

4 4 4 4

33

2 2 4

x y x yz xyz y

x yz

x y x yz xyz yx yz

x y x yzx yz x yz

xyz yx yz x yz

x y x yz xyz y

x yz x yz x yz x yz

x y yxz z

z x x z

259

Ejercicios

1) Efectúe cada una de las siguientes divisiones:

a) 5 3 3 2 3(8 12 16 3 ) 4x y x yz xyz y x y

b) 4 2 2 4 6 8 2 2(32 96 48 ) 16x z x y x y x y

c) 4 2 3 4 2(45 75 30 ) 15a b a b a a

División de un polinomio entre polinomio

En este caso se utiliza el algoritmo de la división, tal como se conoce con

los números enteros. Para recordar, se resuelve el siguiente ejemplo:

𝟏 𝟐 𝟕 5 45 Operaciones

− 9 0 𝟐𝟖 45 ∙ 2 = 90

3 7 𝟓

− 3 6 0 45 ∙ 8 = 360

𝟏 𝟓

Como ya se sabe, en el dividendo (1275) se busca la cifra más pequeña que sea

divisible por el divisor (45). Luego, se realiza la división, cuyo resultado se anota

debajo del divisor. Cada vez que esto se repite, se multiplica el último número

anotado por el divisor y este producto se resta al número que se utilizó como

dividendo. La división termina cuando el posible dividendo es menor que el divisor.

A ese último dividendo se le llama residuo (15) y al número que se escribió debajo

del divisor se le llama cociente (28).

Y, recordando, en el sistema de numeración decimal, cuando en una casilla no se

tiene un valor determinado, se coloca un 0. De manera similar se trabaja la división

de polinomios. Para realizar esta operación es necesario que, tanto, el divisor como

el dividendo, estén ordenados por el exponente de la variable, de mayor a menor.

La diferencia es que se divide el término de mayor grado (exponente) del dividendo

por el término de mayor grado del divisor. Se anota el resultado y, de acuerdo con

el algoritmo, se multiplica y se resta para obtener un nuevo dividendo. El final de

260

la división se da cuando el mayor grado del dividendo es menor que el mayor del

divisor.

Ejemplos

Para explicar con más claridad el proceso, se resuelven con detalle los siguientes

ejemplos:

1. La división de polinomios 26 8 8 3 1x x x se realiza de la siguiente

manera:

Paso1: En este caso tanto el dividendo como el divisor son polinomios en una

variable. Se debe verificar que estén ordenados, de acuerdo con el grado de la

variable, de mayor a menor. Si no lo están se ordenan.

Paso 2. Se busca un monomio que al multiplicarlo por 3x resulte 26x , esto es, 2x .

Ya que 23 2 6x x x

26 8 8 3 1

2

x x x

x

Paso3. Se multiplica el divisor por 2x y se coloca el resultado debajo del dividendo

y luego se resta.

2

2

6 8 8 3 1

6 2 2

0 6 8

x x x

x x x

x

Paso 4. Se busca un monomio que al multiplicarlo por 3x resulte 6x y se procede

como en el paso 3.

2

2

6 8 8 3 1

6 2 2 2

0 6 8

6 2

0 6

x x x

x x x

x

x

Paso 5. Se continúa el proceso hasta que en el residuo se tiene un polinomio cuyo grado es estrictamente menor que el grado del polinomio divisor. En este caso el

grado del divisor es 1 y el grado del residuo es 0, por lo que se termina la división.

Se tiene entonces que el cociente de la división es 3 1x y el residuo es 6.

261

De este procedimiento se desprende que:

26 8 8 3 1 2 2 6x x x x

o también se escribe:

26 8 8 62 2

3 1 3 1

x xx

x x.

En este caso, como el residuo es diferente de 0, el trinomio 26 8 8x x no es

dividido en forma exacta por el binomio 3 1x . Es decir el trinomio 26 8 8x x

no es divisible por el binomio 3 1x .

Cuando se efectúa una división, es posible expresar

dividendo = cociente divisor + residuo

o bien

dividendo residuo

cocientedivisor divisor

.

2. La división de polinomios, 212 19 21 3 7x x x se realiza de la siguiente

manera:

Paso 1: Primero se verifica que estén ordenados en potencias decrecientes. Si no lo están se ordenan.

Paso 2. Se busca un monomio que al multiplicarlo por 3x resulte 212x .

212 19 21 3 7

4

x x x

x

Paso 3. Se multiplica el divisor por 4x , se coloca el resultado debajo del dividendo

y se resta.

2

2

12 19 21 3 7

12 28 4

0 9 21

x x x

x x x

x

Paso 4. Se busca un monomio que al multiplicarlo por 3x resulte 9x y se procede

como en el paso 3.

262

2

2

12 19 21 3 7

12 28 4 3

0 9 21

9 21

0

x x x

x x x

x

x

Se tiene entonces:

212 19 21 3 7 4 3 0 3 7 4 3x x x x x x .

Se desprende que:

212 19 21 04 3 4 3

3 7 3 1

x xx x

x x.

En este caso, como el residuo es 0, el trinomio 212 19 21x x es dividido en forma

exacta por el binomio 3 7x .

Cuando el residuo es igual a 0 se dice que el divisor divide al dividendo en forma exacta y tanto el cociente como el divisor son factores del dividendo, esto es, el

polinomio 212 19 21x x es divisible por 3x + 7. Así 4 3x y 3 7x son factores

de 212 19 21x x y una factorización de 212 19 21x x es 4 3 (3 7)x x .

3. Enseguida se hace la división de polinomios 3 5 4 24 10 3 4 5x x x x x :

Paso 1: Primero verificar que estén ordenados en potencias decrecientes de x. Si no lo están se ordenan.

5 4 3 210 3 4 5 4x x x x x

Paso 2. Se busca un monomio que al multiplicarlo por 25x resulte 510x .

5 4 3 2

3

10 3 4 5 4

2

x x x x x

x


y se restan los polinomios.

Recuerde:

53

2

102

5

xx

x

Recuerde:

42

2

5

5

xx

x

263

5 4 3 2

5 4 3

4 3

10 3 4 5 4

10 8 2

0 5 4

x x x x x

x x x

x x

Paso 4. Se busca un monomio que al multiplicarlo por 25x resulte 45x y se

procede como en el paso 3.

5 4 3 2

5 4 3 2

4 3

4 3

10 3 4 5 4

10 8 2

0 5 4

5 4

0

x x x x x

x x x x

x x

x x

Se tiene entonces:

5 4 3 2 3 2 2 3 210 3 4 5 4 2 0 5 4 2x x x x x x x x x x x

de donde:

5 4 33 2

2

10 3 42

5 4

x x xx x

x x

En este caso, como el residuo es 0, el trinomio 5 4 310 3 4x x x es dividido en

forma exacta por el binomio 25 4x x y tanto 25 4x x como 3 22x x son factores

de 5 4 310 3 4x x x . El trinomio 5 4 310 3 4x x x es divisible por 25 4x x .

División de polinomios cuando hay más de una variable

4. Se va a realizar la división: 2 22 11 3 2x y xy x y

Paso 1: Se ordena el dividendo y el divisor respecto de una de las variables, según

potencias decrecientes. En este caso se elige respecto de x .

2 22 3 11 2x xy y x y

Paso 2. Se busca un monomio que al multiplicarlo por x resulte 22x : 22

2x

xx

2 22 3 11 2

2

x xy y x y

x

264


y se resta.

2 2

2

2

2 3 11 2

2 4 2

0 7 11

x xy y x y

x xy x

xy y

Paso 4. Se busca un monomio que al multiplicarlo por x resulte 7xy y se procede

como en el paso 3.

2 2

2

2

2

2

2 3 11 2

2 4 2 7

0 7 11

7 14

0 3

x xy y x y

x xy x y

xy y

xy y

y

Paso 5. El grado de la variable x en el divisor es 1 y en el residuo es 0

( 00 0 1 0x ), por lo que se termina la división.

Se tiene así que:

2 2 22 3 11 2 2 7 3x xy y x y x y y

de donde:

2 2 22 3 11 32 7

2 2

x xy y yx y

x y x y

Si para realizar esta misma división se ordena el dividendo y divisor según

potencias decrecientes de la variable y se obtiene:

Paso 1:

2 211 3 2 2y xy x y x

Paso 2. Se busca un monomio que al multiplicarlo por 2y resulte 211y :

211 11

2 2

yy

y.

Recuerde:

7

7xy

yx

265

2 211 3 2 2

11

2

y xy x y x

y

Paso 3. Se multiplica el divisor por 11

2y , se coloca el resultado debajo del dividendo

y se restan los polinomios.

2 2

2

2

11 3 2 2

11 1111

2 2

50 2

2

y xy x y x

y xy y

xy x

Paso 4. Se busca un monomio que al multiplicarlo por 2y resulte 5

2xy y se

procede como en el paso 3:

5 55 1 5 52 2

22 2 2 1 4 41

xy xy x xx

y y.

2 2

2

2

2

2

11 3 2 2

11 11 511

2 2 4

50 2

2

5 5

2 4

30

4

y xy x y x

y xy y x

xy x

xy x

x

Paso 5. El grado de la variable y en el divisor es 1 y en el residuo es 0, por lo que se termina la división.

Se tiene entonces:

2 2 211 5 311 3 2 2

2 4 4y xy x y x y x x de donde:

266

22 2

311 3 2 11 5 4

2 2 4 2

xy xy xy x

y x y x

5) (3𝑥2 + 2𝑥 − 8) ÷ (𝑥 + 2)

3𝑥2 +2𝑥 −8 𝑥 + 2

−3𝑥2 −6𝑥 3𝑥 − 4

−4𝑥 −8

+4𝑥 +8

0

Así se tiene que 3𝑥2 + 2𝑥 − 8 = (𝑥 + 2)(3𝑥 − 4) + 0, además de que el cociente es 𝑥 +

2 y el residuo es0.

6) (𝑥3 − 125) ÷ (𝑥 − 5) = (𝑥3 + 0𝑥2 + 0𝑥 − 25) ÷ (𝑥 − 5)

𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 −25 𝑥 − 5

−𝑥3 +5𝑥2 𝑥2 + 5𝑥 + 25

+5𝑥2 +0𝑥 −25

−5𝑥2 +25𝑥

25𝑥 −25

−25𝑥 +25

0

Así se tiene que 𝑥3 − 125 = (𝑥 − 5)(𝑥2 + 5𝑥 + 25) + 0, además de que el cociente es

𝑥2 + 5𝑥 + 25 y el residuo es0.

267

7) (5𝑥3 + 3𝑥2 + 2) ÷ (𝑥 + 𝑥2 + 3) = (5𝑥3 + 3𝑥2 + 0𝑥 + 2) ÷ (𝑥2 + 𝑥 + 3)

5𝑥3 +3𝑥2 +0𝑥 +2 𝑥2 + 𝑥 + 3

−5𝑥3 −5𝑥2 −15𝑥 5𝑥 − 2

−2𝑥2 −15𝑥 +2

+2𝑥2 +2𝑥 +6

−13𝑥 +8

Así se tiene que 5𝑥3 + 3𝑥2 + 2 = (𝑥2 + 𝑥 + 3)(5𝑥 − 2) + (−13𝑥 + 8), además de que el

cociente es 5𝑥 − 2 y el residuo es −13𝑥 + 8.

Ejercicios

1) Compruebe que:

a) 2 2 22 3 11 2 2 7 3x xy y x y x y y

b)

2 2 211 5 32 11 3 2

2 4 4y x y x x y xy x

2.) Efectúe las divisiones.

a) 2 9 20 5x x x

b) 3 22 3 5 3a a a a

c) 2 23 6 8 3x y xy x y

d) 3 2 22 3 4 3x x x x

3) ¿Es 3x un factor de 2 12x x ? Justifique su respuesta.

4.División de monomio entre monomio

1. ab

ba

2

4 23

3)

ba

cba2

345

268

2)

3

32

4

20

xy

ymx 4)

6

7

3

9

d

d

5)

a

a 25 8)

43

43

ba

cba

6)

ab

ba 2

9)

32

322

6

54

zxy

zyx

7)

32

32

8

8

xa

xa 10)

y

xy

2

2

12)

yx

yx4

54

6

5 11)

7

46

5

16

n

nm

13)

85

837

20

108

cb

cba 14)

65

32

3

2

nm

nm

269

15)

cba

cba nm

436

5

5.División polinomio entre monomio

1)

a

aba 2

2)

a

baaba

2

653 3223

3)

a

abbaa

3

963 223

4)

m

mnnmm

2

2086 223

5)

2

34

7

1428

x

xx

6)

2

23

10

10520

x

xxx

7)

5

510 yx

270

8)

2

23

4

16328

y

yyy

9) 1

2

6

810

x

xx

10)

2

23

5

1015

x

xx

8. División entre polinomio entre polinomio

1) Dividir x2 + 2x – 3 entre x + 3

2) Dividir x2 – 20 + x entre x + 5

3) Dividir m2 – 11m + 30 entre m – 6

4) Dividir x2 + 15 – 8x entre 3 – x

5) Dividir x2 + 2x – 17 entre x – 3

6) Dividir 2x3 – 2 – 4x entre 2 + 2x

271

7) Dividir x4 + x3 – 3x2 + 1 entre x2 – 3

8) Dividir 3x2 + 2x – 8 entre x + 2

9) Dividir x4 – x2 – 2x + 2 entre x2 – x – 1

10) Dividir x5 – x4 + 6x2 – 5x + 3 entre x2 – 2x + 3

Operaciones con Expresiones algebraicas en ℝ

Se llama expresión algebraica al número real que resulta al operar números y letras

que representan números reales, por medio de las operaciones fundamentales (suma, la resta, la multiplicación, la división, las potencias y las raíces).

A los números se les llama constantes y a las letras se les llama variables. Las expresiones algebraicas separadas por el signo más o el signo menos se llaman

términos algebraicos.

Un monomio es una expresión algebraica constituida por un solo término donde: 1. No aparecen letras en el denominador.

2. Los exponentes de las variables del numerador son números naturales o números enteros positivos.

Una expresión algebraica formada por la suma o resta de monomios con diferentes factores literales se llama polinomio o expresión algebraica polinómica. Los

polinomios se clasifican en: 1. monomio.

2. binomio: Consiste en la suma o resta de dos monomios. 3. trinomio: Consiste en la suma o resta de tres monomios.

4. polinomio de más de tres términos: Consiste en la suma o resta de cuatro o

más monomios.

272

Se llama expresión algebraica polinómica fraccionaria a aquella donde el numerador

y el denominador son polinomios. Las fracciones algebraicas son aquellas en las que tanto el numerador como el

denominador son polinomios. El proceso de simplificarlas implica factorizar por

separado cada polinomio y “cancelar” únicamente aquellos factores que se repiten

tanto en el numerador como en el denominador.

Simplificación de expresiones algebraicas polinómicas Para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias polinómicas se factoriza el

numerador y el denominador y luego se aplica la ley de la cancelación de la

multiplicación que expresa lo siguiente:

∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ,

𝑎 ≠ 0 𝑎𝑏

𝑎𝑐=

𝑏

𝑐.1

Ejemplos

1. Simplifique al máximo 2(𝑥−7)

4(𝑥−7)(3𝑥−2).

Solución

2(𝑥 − 7)

4(𝑥 − 7)(3𝑥 − 2)

=1

2(3𝑥 − 2).

2. Simplifique al máximo 𝑥2+3𝑥−10

2𝑥2−3𝑥−2.

Solución

Se factoriza tanto el numerador como el denominador 𝑥2 + 3𝑥 − 10

2𝑥2 − 3𝑥 − 2

=(𝑥 − 2)(𝑥 + 5)

(2𝑥 + 1)(𝑥 − 2)

=𝑥 + 5

2𝑥 + 1.

273

3. Simplifique al máximo 𝑥−𝑥3

𝑥2−4𝑥+3.

Solución

𝑥 − 𝑥3

𝑥2 − 4𝑥 + 3

=𝑥(1 + 𝑥)(1 − 𝑥)

(𝑥 − 3)(𝑥 − 1)

= −𝑥(1 + 𝑥)(𝑥 − 1)

(𝑥 − 3)(𝑥 − 1)

= −𝑥(1 + 𝑥)

(𝑥 − 3).

4. Simplifique al máximo 𝑥(2−3𝑥)−4+6𝑥

3𝑥𝑦−2𝑦+6𝑥−4.

Solución

𝑥(2 − 3𝑥) − 4 + 6𝑥

3𝑥𝑦 − 2𝑦 + 6𝑥 − 4

=𝑥(2 − 3𝑥) − 2(2 − 3𝑥)

3𝑥(𝑦 + 2) − 2(𝑦 + 2)

=(2 − 3𝑥)(𝑥 − 2)

(𝑦 + 2)(3𝑥 − 2)

=−𝑥 + 2

𝑦 + 2.

5. Simplifique

𝑥2 − 1

𝑥2 + 2𝑥 + 1=

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

(𝑥 + 1)2=

𝑥 − 1

𝑥 + 1

2𝑚2 − 4𝑚

𝑚2 − 4=

2𝑚(𝑚 − 2)

(𝑚 + 2)(𝑚 − 2)=

2𝑚

𝑚 + 2

𝑎𝑏 − 2𝑎𝑐 − 2𝑑𝑐 + 𝑑𝑏

2𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 − 𝑑𝑐 + 2𝑑𝑏=

(𝑎 + 𝑑)(𝑏 − 2𝑐)

(2𝑏 − 𝑐)(𝑎 + 𝑑)=

𝑏 − 2𝑐

2𝑏 − 𝑐

274

𝑎2𝑛2 − 36𝑎2

𝑎𝑛2 + 𝑎𝑛 − 30𝑎=

𝑎2(𝑛 + 6)(𝑛 − 6)

𝑎(𝑛 + 6)(𝑛 − 5)=

𝑎(𝑛 − 6)

𝑛 − 5

𝑥2 − 𝑥 − 20

𝑥2 − 10𝑥 + 25=

(𝑥 − 5)(𝑥 + 4)

(𝑥 − 5)2=

𝑥 + 4

𝑥 − 5

2𝑥3 − 6𝑥2 − 36𝑥

𝑥2 − 13𝑥 + 42=

2𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 6)

(𝑥 − 6)(𝑥 − 7)=

2𝑥(𝑥 + 3)

𝑥 − 7

Ejercicios

1. Simplifique al máximo:

a. 𝑥2−1

𝑥2−2𝑥+1

b. 4𝑥2𝑦−9𝑦

4𝑥2+12𝑥+9

c. 𝑥2−4

𝑥−2

d. 𝑎2−𝑏2

𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2

e. 3𝑥2−5𝑥−2

𝑥2−4

f. 2−𝑥−3𝑥2

6𝑥2−𝑥−2

g. 𝑥2−25

𝑥2−8𝑥+15

h. 4𝑥2𝑦−9𝑦

4𝑥2+12𝑥+9

275

i. 12𝑥2+3𝑥

20𝑥2+9𝑥+1

j. 6𝑥−3𝑥𝑦−6𝑦+3𝑦3

6𝑥−3𝑥𝑦+6𝑦−3𝑦3

Operaciones con expresiones algebraicas polinómicas

Suma y resta de expresiones algebraicas polinómicas

Para sumar y restar expresiones algebraicas polinómicas se debe aplicar la

siguiente propiedad:

Antes de resolver estas operaciones, es necesario calcular el mínimo común

múltiplo de los denominadores. Por ejemplo, con números enteros se tiene que

30 = 2 ∙ 3 ∙ 5 y que 24 = 23 ∙ 3 y el resultado que se obtiene es 23 ∙ 3 ∙ 5 = 120. Como se

puede observar en el ejemplo, se toma de cada factor su máxima potencia.

De la misma manera se trabaja con polinomios. Por ejemplo, al determinar el

mínimo común múltiplo de los polinomios 12𝑡3 + 12𝑡2𝑠 + 3𝑡𝑠2 y 4𝑡4 − 𝑠2𝑡2,

se tiene que sus factorizaciones son:

12𝑡3 + 12𝑡2𝑠 + 3𝑡𝑠2 = 3𝑡(2𝑡 + 𝑠)2

4𝑡4 − 𝑠2𝑡2 = 𝑡2(2𝑡 + 𝑠)(2𝑡 − 𝑠)

Finalmente, el mínimo común múltiplo corresponde a 3𝑡2(2𝑡 + 𝑠)2(2𝑡 − 𝑠).

Para resolver las sumas y restas con fracciones algebraicas se debe hacer el

procedimiento de homogeneizarlas, es decir, conseguir que tengan un denominador

común, para lo cual se debe determinar el mínimo común múltiplo de sus

denominadores. Luego, con cada fracción por separado, se divide el nuevo

denominador por el anterior y ese resultado se multiplica por el numerador que

tenía la fracción originalmente. Finalmente, se resuelve la suma o resta y, de ser

posible, se simplifica el resultado final.

∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑏𝑑 ≠ 0 𝑎

𝑏±

𝑐

𝑑=

𝑎⋅𝑑±𝑏⋅𝑐

𝑏⋅𝑑.

276

Ejemplos

1. Simplifique al máximo 𝑥

𝑥+1+

2

𝑥−1.

Solución 𝑥

𝑥 + 1+

2

𝑥 − 1

=𝑥(𝑥 − 1) + 2(𝑥 + 1)

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

=𝑥2 − 𝑥 + 2𝑥 + 2

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

=𝑥2 + 𝑥 + 2

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1).

2. Simplifique al máximo 3𝑥2

𝑥2−4+

6𝑥

4−𝑥2

Solución

3𝑥2

𝑥2 − 4+

6𝑥

4 − 𝑥2

=3𝑥2

𝑥2 − 4−

6𝑥

𝑥2 − 4

=3𝑥2 − 6𝑥

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

=3𝑥(𝑥 − 2)

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

=3𝑥

𝑥 + 2.

3. Simplifique al máximo 2

𝑥 − 2−

𝑥 + 4

𝑥2 − 𝑥 − 2

Solución

2

𝑥 − 2−

𝑥 + 4

𝑥2 − 𝑥 − 2

=2

𝑥 − 2−

𝑥 + 4

(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

=2(𝑥 + 1) − (𝑥 + 4)

(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

=2𝑥 + 2 − 𝑥 − 4

(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

277

=𝑥 − 2

(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

=1

𝑥 + 1.

4. Simplifique al máximo 2

𝑥2−4−

1

2𝑥−4

Solución

2

𝑥2 − 4−

1

2𝑥 − 4

=2

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)−

1

2(𝑥 − 2)

=2 ⋅ 2 − (𝑥 + 2)

2(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

=4 − 𝑥 − 2

2(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

=2 − 𝑥

2(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

=−1

2(𝑥 + 2)

=−1

2𝑥 + 4.

5. Simplifique al máximo 2𝑥2−6𝑥+1

2𝑥2−7𝑥−4−

2𝑥

2𝑥+1.

Solución 2𝑥2 − 6𝑥 + 1

2𝑥2 − 7𝑥 − 4−

2𝑥

2𝑥 + 1

=2𝑥2 − 6𝑥 + 1

(2𝑥 + 1)(𝑥 − 4)−

2𝑥

2𝑥 + 1

=2𝑥2 − 6𝑥 + 1 − 2𝑥(𝑥 − 4)

(2𝑥 + 1)(𝑥 − 4)

=2𝑥2 − 6𝑥 + 1 − 2𝑥2 + 8𝑥

(2𝑥 + 1)(𝑥 − 4)

=2𝑥 + 1

(2𝑥 + 1)(𝑥 − 4)

=1

(𝑥 − 4).

278

6. Simplifique

20

𝑎3 − 25𝑎−

15𝑎

𝑎2 + 2𝑎 − 15=

20

𝑎(𝑎 + 5)(𝑎 − 5)−

15𝑎

(𝑎 + 5)(𝑎 − 3)

El mínimo común múltiplo de los denominadores es 𝑎(𝑎 + 5)(𝑎 − 5)(𝑎 − 3).

Al dividir el nuevo denominador por cada uno de los originales se tiene:

𝑎(𝑎 + 5)(𝑎 − 5)(𝑎 − 3)

𝑎(𝑎 + 5)(𝑎 − 5)= 𝑎 − 3

𝑎(𝑎 + 5)(𝑎 − 5)(𝑎 − 3)

(𝑎 + 5)(𝑎 − 3)= (𝑎 − 5)(𝑎 − 3)

Así, se tiene que

20

𝑎3 − 25𝑎−

15𝑎

𝑎2 + 2𝑎 − 15=

20

𝑎(𝑎 + 5)(𝑎 − 5)−

15𝑎

(𝑎 + 5)(𝑎 − 3)=

20(𝑎 − 3) − 15𝑎(𝑎 − 5)(𝑎 − 3)

𝑎(𝑎 + 5)(𝑎 − 5)(𝑎 − 3)=

20𝑎 − 60 − 15𝑎(𝑎2 + 2𝑎 − 15)

𝑎(𝑎 + 5)(𝑎 − 5)(𝑎 − 3)=

20𝑎 − 60 − 15𝑎3 − 30𝑎2 + 225𝑎

𝑎(𝑎 + 5)(𝑎 − 5)(𝑎 − 3)=

−15𝑎3 − 30𝑎2 + 245𝑎 − 60

𝑎(𝑎 + 5)(𝑎 − 5)(𝑎 − 3)=

−5(𝑎 − 3)(3𝑎2 + 15𝑎 − 4)

𝑎(𝑎 + 5)(𝑎 − 5)(𝑎 − 3)=

−5(3𝑎2 + 15𝑎 − 4)

𝑎(𝑎 + 5)(𝑎 − 5)

Así, el resultado final es

20

𝑎3 − 25𝑎−

15𝑎

𝑎2 + 2𝑎 − 15=

−5(3𝑎2 + 15𝑎 − 4)

𝑎(𝑎 + 5)(𝑎 − 5)

7. Como ejemplo, se puede resolver la siguiente operación:

𝑚 + 1

𝑚2 − 𝑚+

2

𝑚 + 1=

(𝑚 + 1)2 + 2(𝑚2 − 𝑚)

𝑚(𝑚 − 1)(𝑚 + 1)=

𝑚2 + 2𝑚 + 1 + 2𝑚2 − 2𝑚

𝑚(𝑚 − 1)(𝑚 + 1)=

3𝑚2 + 1

𝑚(𝑚 − 1)(𝑚 + 1)

8. Otro ejemplo consiste en resolver la operación 3𝑥 − 1

𝑥2 − 10𝑥 − 24−

2𝑥

𝑥2 + 8𝑥 + 12=

3𝑥 − 1

(𝑥 − 12)(𝑥 + 2)−

2𝑥

(𝑥 + 2)(𝑥 + 6)=

(3𝑥 − 1)(𝑥 + 6) − 2𝑥(𝑥 − 12)

(𝑥 + 6)(𝑥 − 12)(𝑥 + 2)=

(3𝑥2 + 17𝑥 − 6) − (2𝑥2 − 24𝑥)

(𝑥 + 6)(𝑥 − 12)(𝑥 + 2)=

279

𝑥2 + 41𝑥 − 6

(𝑥 + 6)(𝑥 − 12)(𝑥 + 2)

9. Como ejemplo, se puede resolver la siguiente operación:

3𝑥 − 12

𝑥2 + 𝑥 − 2+

2

𝑥 + 2=

(3𝑥 − 12) + 2(𝑥 − 1)

(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)=

3𝑥 − 12 + 2𝑥 − 2

(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)=

5𝑥 − 14

(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)

10. ejemplo es la siguiente operación:

𝑎 − 2

𝑎 + 2− 7 =

𝑎 − 2

𝑎 + 2−

7

1=

(𝑎 − 2) − 7 ∙ (𝑎 + 2)

𝑎 + 2+

𝑎 − 2 − 7𝑎 − 14

𝑎 + 2=

−6𝑎 − 16

𝑎 + 2=

−2(3𝑎 + 8)

𝑎 + 2

11. Un último ejemplo es la siguiente operación:

1

3𝑥 − 2𝑦+

𝑥 − 𝑦

9𝑥2 − 4𝑦2=

1

3𝑥 − 2𝑦+

𝑥 − 𝑦

(3𝑥 + 2𝑦)(3𝑥 − 2𝑦)=

1 ∙ (3𝑥 + 2𝑦) + (𝑥 − 𝑦)

(3𝑥 + 2𝑦)(3𝑥 − 2𝑦)=

3𝑥 + 2𝑦 + 𝑥 − 𝑦

(3𝑥 + 2𝑦)(3𝑥 − 2𝑦)=

4𝑥 + 𝑦

(3𝑥 + 2𝑦)(3𝑥 − 2𝑦)

Ejercicios


a. 4𝑥+5

2𝑥−1−

1−3𝑥

2𝑥−1

b. 𝑥−1

𝑥2−4−

𝑥

𝑥2+4𝑥+4

c. 1

𝑥+1−

𝑥+3

𝑥2−2𝑥+1

d. 𝑥

𝑥−2−

𝑥+1

𝑥2−3𝑥+2

280

e. 2

𝑥+3−

𝑥−4

𝑥2−9

f. 𝑎

𝑥−𝑎−

𝑎𝑥+𝑥2

𝑥2−𝑎2

g. 𝑎

𝑥−

𝑎

𝑥2+𝑥

h. 2

3𝑥+1−

9

9𝑥2+6𝑥+1

i. 1

𝑥−

𝑥+2

𝑥2 +3

𝑥3

j. 5

𝑥−1−

8

(𝑥−1)2 −3

(𝑥−1)3

k. 3𝑥

𝑥2−9+

3

3−𝑥

l. 𝑥

𝑥2−1−

1

𝑥+1

m. 𝑥−2𝑦

𝑥+2𝑦−

2𝑥−𝑦

2𝑥+𝑦

n. 𝑚−𝑛

𝑚+𝑛+

𝑚2+6𝑚𝑛+𝑛2

𝑚2−𝑛2

281

2. Resuelva en su cuaderno las siguientes operaciones y simplifique el resultado si es

posible:

1) a b 2a b b 4a

12 15 30

4) x 2 y xy

15x 2xy

2) 4x 2 2x 3

8x 4x

5) 2

2 3

2 3y 1 y 2y

y y y

3) 2 2

2 2

x 3y x y 4xy

3xy 5x y

6) 2

2 4y 7 1

y 3 y 2y y 6

7) 2 2

a b a b 4ab

a b b a a b

12) 2 2

a b b a 2b

ab a ab ab b

8) x 3 4x 1 2x 6

20x 10 60x 30 40x 20

13) 2 2

2 2

a b a b

a b a b a b

9) 2

a 1

bab b

14) 2

x 1 1

y xy xy

10) 2

5 10y

y 5 y 25

15) 2 2

x y x 2y 1

y xx x xy

11) 2 2

6 3 3

x 1x 1 x x

16)

1 a 1 1

(a 1)(a 2) (a 1)(a 2)(a 3) a 1

282

Respuestas:

1) 5a b

60

7) 2(a b)

a b

12) 0

2) 1

2x

3) 8x 3y

15xy

4) 13x 11

30x o

11 13x

30x

5) 2

4y 3

y

6) 3y

(y 3)(y 2) o

3y

(3 y)(y 2)

8) 1

30

9) 1

a b

10) 5

y 5

11) 3

x

13) 2b

a b o

2b

b a

14) y

x(y x)

15) 2

(y x)

x

16) a 5

(a 1)(a 3)

283

Multiplicación de expresiones algebraicas polinómicas

Para multiplicar expresiones algebraicas polinómicas se debe aplicar la


∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑏𝑑 ≠ 0 𝑎

𝑏⋅

𝑐

𝑑=

𝑎⋅𝑐

𝑏⋅𝑑.

El procedimiento para resolver las multiplicaciones de fracciones algebraicas

consiste en factorizar el numerador y el denominador de cada fracción y, de ser

posible, simplificar cada una de ellas. Luego, se multiplican entre sí los

numeradores para obtener el numerador del resultado y, de la misma forma, se

multiplican entre sí los denominadores. Finalmente, se simplifica el resultado al

máximo.

Ejemplos

1. Simplifique al máximo 𝑥2−6𝑥+9

𝑥2−1⋅

−2𝑥+2

𝑥−3.

Solución

𝑥2 − 6𝑥 + 9

𝑥2 − 1⋅

−2𝑥 + 2

𝑥 − 3

= −(𝑥 − 3)(𝑥 − 3)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)⋅

−2(𝑥 − 1)

(𝑥 − 3)

=−2(𝑥 − 3)

𝑥 + 1.

2. Simplifique al máximo 𝑥2−3𝑥

𝑥2−9⋅

3−2𝑥−𝑥2

𝑥2−𝑥

Solución 𝑥2 − 3𝑥

𝑥2 − 9⋅

3 − 2𝑥 − 𝑥2

𝑥2 − 𝑥

=𝑥(𝑥 − 3)

(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)⋅

−(𝑥2 + 2𝑥 − 3)

𝑥(𝑥 − 1)

=𝑥(𝑥 − 3)

(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)⋅

−(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)

𝑥(𝑥 − 1)

= −1.

284

3. Simplifique al máximo 𝑥2−𝑦2

𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2 ∙𝑥−𝑦

3𝑥+3𝑦.

Solución

𝑥2 − 𝑦2

𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2∙

𝑥 − 𝑦

3𝑥 + 3𝑦

=(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)

(𝑥 − 𝑦)2⋅

(𝑥 − 𝑦)

3(𝑥 + 𝑦)

=1

3.


𝑥3+3𝑥2 ⋅𝑥2−𝑥−12

5𝑥2−20𝑥

Solución

5𝑥2

𝑥3 + 3𝑥2⋅

𝑥2 − 𝑥 − 12

5𝑥2 − 20𝑥

=5𝑥2

𝑥2(𝑥 + 3)⋅

(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)

5𝑥(𝑥 − 4)

=1

𝑥.

4. Por ejemplo, se puede resolver la siguiente operación:

𝑦2

𝑦2 + 2∙

𝑦3 − 2𝑦2 − 8𝑦

𝑦2 − 4=

𝑦2

𝑦2 + 2∙

𝑦(𝑦 − 4)(𝑦 + 2)

(𝑦 + 2)(𝑦 − 2)=

𝑦3(𝑦 − 4)(𝑦 + 2)

(𝑦2 + 2)(𝑦 + 2)(𝑦 − 2)=

𝑦3(𝑦 − 4)

(𝑦2 + 2)(𝑦 + 2)

5. El ejemplo consiste en resolver la operación

𝑘3 − 3𝑘2 + 2𝑘

4𝑘2 − 6𝑘∙

𝑘2 + 𝑘 − 12

𝑘2 − 5𝑘 + 6=

𝑘(𝑘 − 2)(𝑘 − 1)

2𝑘(2𝑘 − 3)∙

(𝑘 + 4)(𝑘 − 3)

(𝑘 − 3)(𝑘 − 2)=

(𝑘 − 2)(𝑘 − 1)

2(2𝑘 − 3)∙

(𝑘 + 4)

(𝑘 − 2)=

(𝑘 − 2)(𝑘 − 1)(𝑘 + 4)

2(2𝑘 − 3)(𝑘 − 2)=

(𝑘 − 1)(𝑘 + 4)

2(2𝑘 − 3)

285

6. Como último ejemplo consiste en resolver la operación

𝑎 + 𝑏

𝑥 − 2𝑦∙

2𝑦 − 𝑥

2𝑏 + 2𝑎=

𝑎 + 𝑏

𝑥 − 2𝑦∙

−(𝑥 − 2𝑦)

2(𝑎 + 𝑏)=

−(𝑎 + 𝑏)(𝑥 − 2𝑦)

2(𝑥 − 2𝑦)(𝑎 + 𝑏)=

−1

2

División de expresiones algebraicas polinómicas

Para dividir expresiones algebraicas polinómicas se debe aplicar la


El algoritmo es parecido al de las multiplicaciones, con la diferencia de que se debe

invertir la segunda fracción antes de iniciar

∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑏𝑑 ≠ 0 𝑎

𝑏÷

𝑐

𝑑=

𝑎

𝑏𝑐

𝑑

=𝑎⋅𝑑

𝑏⋅𝑐.

Ejemplos

1. Simplifique al máximo 𝑥−1

𝑥+1÷

2𝑥−2

𝑥2+2𝑥+1.

Solución 𝑥 − 1

𝑥 + 1÷

2𝑥 − 2

𝑥2 + 2𝑥 + 1

=𝑥 − 1

𝑥 + 1⋅

𝑥2 + 2𝑥 + 1

2𝑥 − 2

=(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)2

(𝑥 + 1)2(𝑥 − 1)

=𝑥 + 1

2.


𝑥3+3𝑥2 ÷5𝑥2−20𝑥

𝑥2−𝑥−12.

Solución

5𝑥2

𝑥3 + 3𝑥2÷

5𝑥2 − 20𝑥

𝑥2 − 𝑥 − 12

=5𝑥2

𝑥2(𝑥 + 3)⋅

(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)

5𝑥(𝑥 − 4)

=1

𝑥.

286

3. Simplifique al máximo 𝑥+𝑦

𝑥2 ÷𝑥2+𝑥𝑦

𝑥2−𝑦2.

Solución

𝑥 + 𝑦

𝑥2÷

𝑥2 + 𝑥𝑦

𝑥2 − 𝑦2

=𝑥2

𝑥 + 𝑦⋅

(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)

𝑥(𝑥 + 𝑦)

=𝑥(𝑥 − 𝑦)

𝑥 + 𝑦.

4. Por ejemplo:

𝑎𝑥2 + 5

4𝑎2 − 1÷

𝑎2𝑥2 + 5𝑎

2𝑎 − 1=

𝑎𝑥2 + 5

4𝑎2 − 1∙

2𝑎 − 1

𝑎2𝑥2 + 5𝑎=

𝑎𝑥2 + 5

(2𝑎 + 1)(2𝑎 − 1)∙

2𝑎 − 1

𝑎(𝑎𝑥2 + 5)=

(𝑎𝑥2 + 5)(2𝑎 − 1)

(2𝑎 + 1)(2𝑎 − 1) ∙ 𝑎(𝑎𝑥2 + 5)=

1

𝑎(2𝑎 + 1)

5. El ejemplo consiste en resolver la operación

𝑦2 − 121

𝑦2 + 22𝑦 + 120÷

𝑦2 − 𝑦 − 132

𝑦2 − 144=

𝑦2 − 121

𝑦2 + 22𝑦 + 120∙

𝑦2 − 144

𝑦2 − 𝑦 − 132=

(𝑦 − 11)(𝑦 + 11)

(𝑦 + 12)(𝑦 + 10)∙

(𝑦 + 12)(𝑦 − 12)

(𝑦 + 11)(𝑦 − 12)=

(𝑦 − 11)(𝑦 + 11)

(𝑦 + 12)(𝑦 + 10)∙

(𝑦 + 12)

(𝑦 + 11)=

(𝑦 − 11)(𝑦 + 11)(𝑦 + 12)

(𝑦 + 12)(𝑦 + 10)(𝑦 + 11)=

𝑦 − 11

𝑦 + 10

6. Como último ejemplo se resuelve la operación

𝑥2 − 5𝑥 − 24

𝑥2 − 𝑥 − 12÷

𝑥2 + 𝑥 − 6

𝑥2 − 10𝑥 + 16=

𝑥2 − 5𝑥 − 24

𝑥2 − 𝑥 − 12∙

𝑥2 − 10𝑥 + 16

𝑥2 + 𝑥 − 6=

(𝑥 − 8)(𝑥 + 3)

(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)∙

(𝑥 − 2)(𝑥 − 8)

(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)=

(𝑥 − 8)

(𝑥 − 4)∙

(𝑥 − 8)

(𝑥 + 3)=

(𝑥 − 8)(𝑥 − 8)

(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)=

(𝑥 − 8)2

(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)

287

Ejercicios


a. (𝑥−5)2

9∙

3𝑥+15

𝑥2−25

b. −3𝑥2+4𝑥−1

2−𝑥∙

𝑥2−4

𝑥2+𝑥−2

c. 𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2

𝑎2−𝑏2 ⋅6𝑎

3𝑎+3𝑏

d. 4𝑥2+8

𝑥2−2𝑥+1⋅

𝑥2−1

𝑥2+2

e. 𝑥−1

2𝑥2+4𝑥+2⋅

(𝑥+1)2

𝑥−1

f. 𝑥2−6𝑥+9

𝑥2−1⋅

2𝑥−2

𝑥−3

g. 2𝑦−1

2𝑥𝑦+2𝑦⋅

𝑦

𝑥3+𝑥2

h. 𝑥2+2𝑥−3

2𝑥⋅

2𝑥2+6𝑥

𝑥2+6𝑥+9

i. 𝑥2+𝑥−2

4−𝑥2 ⋅2𝑥−𝑥2

𝑥2−2𝑥+1

j. 𝑥𝑦−2𝑦

𝑥2𝑦2−4𝑦2 ⋅𝑥2𝑦+4𝑥𝑦+4𝑦

𝑥𝑦+2𝑦

288

k. −3𝑥2−9𝑥+30

𝑥2−4𝑥+4⋅

−8𝑥+2𝑥2+8

𝑥2−4


a. 𝑥−2

𝑥2+4𝑥+4÷

1

𝑥2−4

b. 2𝑥−1

𝑥3+3𝑥÷

𝑥+1

𝑥2+3

c. 𝑥3−4𝑥2+3𝑥

𝑥+2÷ (𝑥 − 3)

d. 6𝑥+12

6𝑥2+6𝑥−24÷

8𝑥−12

15𝑥−20

e. 𝑥2−𝑥−12

𝑥2+𝑥−2÷

𝑥2+4𝑥+3

𝑥2−1

f. 𝑥2−𝑥−12

𝑥2+𝑥−2÷

𝑥2+4𝑥+3

𝑥2−1

g. 3𝑥3−75𝑥

𝑥3 ÷𝑥2−10𝑥+25

𝑥2

h. 𝑚+3

𝑚÷

𝑚

𝑚−3

i. 𝑥3+𝑥

𝑥2−𝑥÷

𝑥3−𝑥2

𝑥2−2𝑥+1

j. 𝑥4−𝑎4

𝑥2+2𝑎𝑥+𝑎2 ÷𝑥−𝑎

𝑥2+𝑎𝑥

289

k. 𝑥2−𝑦2

𝑦2−𝑥𝑦÷ (𝑥 − 𝑦)2

l. 2𝑥2−18

𝑥÷

(𝑥−3)2

𝑥2

m. (𝑥−5

𝑥) ÷ (

𝑥+5

5(𝑥+5)−25)

n. (𝑥−𝑦

𝑥) ÷ (

𝑥+𝑦

𝑦(𝑦+𝑥)−𝑦2)

3. Resuelva en su cuaderno las siguientes operaciones y simplifique el

resultado si es posible:

1) 2 2

2

6y 2x

4x 3y =

2) 12abc

33

ab

66 =

3) 6x2y3 2x y

5 =

4) 2

2

3x y

5z –x2y3 =

5) 5x

y

2 2

2x 5z

y 4x=

6) 2

2

2x 2 x 4x 5

3x 350 2x =

7) 2 2 2

2 2

2b ab a 2ab b

a ab a 2ab =

8) 4 3 2 2

2 4

9y 6y 4y 4 9y

3y 5y 2 27y 8y =

290

9) 2 2

3 3 2 2

16a 24ab 9b 16a 12b

64a 27b 32a 24ab 18b =

10) 2

2

a a 12

a 49

2 2

2

a 5a 24 a a 56

a 5 a a 20 =

11) 2

3

9y 30y 25

y 1

2

2

9y 25

14 14y

2

21y 35

y y 1 =

12) 2x 1

3x 6

3

2

x x 4x 8

6x 12 x 4 =

13) 2 2

2 2

a 4b

49a 28ab 4b

2 2

2 2 2 2

7a 15ab 2b 42a 12b

49a 4b 7a 13ab 2b =

Respuestas:

1) x

2) –24c

6) (x 1)

3(5 x) o

1 x

3(5 x) 10)

1

a 7 o

1

7 a

3) 30y2

4) 2 2

3

5z y

5) 22x y

z

7) 2

b(a b)

a

8) y

y 1 o

y

1 y

9) 1

2

11) 2

2(1 y)(3y 5)

(3y 5) o

2

2(1 y)(5 3y)

(3y 5)

12) x 2

2x

13) 2(a 2b)

6(2b 7a) o

2(a 2b)

6(7a 2b)

291

)3(

3

32

²3

32

33

32

3

2

poramplificase

Racionalización

Expresiones como …, tienen en común que sus

denominadores son irracionales o al menos aparecen en ellos alguna raíz.

La operatoria con tales expresiones no es sencilla y resulta muy práctico transformar los denominadores en expresiones racionales. En otras palabras, se

trata de ‘’hacer que desaparezcan’’ las raíces que hayan en el denominador. El procedimiento a emplear consiste en amplificar por un factor adecuado. Es decir,

se multiplica el numerador y el denominador por una misma cantidad, con lo cual la expresión original no cambia.

I. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA:

¿Cómo racionalizar la fracción ? En los casos como éste, el factor adecuado para

amplificar es la raíz que aparece en el denominador, o sea .

Ejemplo:

Se puede observar que el denominador original (irracional) se ha transformado

en 3 (racional). Además si bien la expresión inicial ha cambiado su ‘’forma’’, sigue siendo la misma,

ya que al amplificar una fracción su valor no se altera.

Por lo tanto

Denominador Denominador Irracional Racional

En general, cuando el denominador es una raíz cuadrada, ella misma es el factor

de amplificación.

32

5,

2,

32

1,

2

3

x

a

a

A

3

2

3

3

3

32

3

2

292

2

43

³2

43

²22

43

²22

²23

2

3

3

3

3

3

3

33

3

3

Ejercicios: Racionaliza los denominadores. (Desarrolla en tu cuaderno)

II. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA:

Para racionalizar, por ejemplo, la fracción es necesario amplificar por , por

lo cual se consigue que el radicando sea 2³

Ejemplo:

En general, si en el denominador aparece es necesario amplificar por

con el objeto de igualar el índice de la raíz con el exponente del radicando.

Ejercicios: Racionaliza los denominadores. (En tu cuaderno)

n a

A

3 2

3 3 ²2

n kan kna

293

III. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA:

Si el denominador es un binomio, se amplifica la fracción por su conjugado. Si se

trata, por ejemplo, de se amplifica por . La idea es formar el

producto de la suma por la diferencia que es igual a la diferencia de los cuadrados, con lo cual se consigue eliminar las raíces.

Ejemplo

Ejercicios: Racionaliza los denominadores

.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

ba

A

23 23

23331

2333

23

2333

²2²3

2333

2323

233

23

3

25

2

35

7

27

10

57

12

23

3

26

2

211

23

27

25

310

107

232

3

225

9

3223

3

325

23

294

14.

15.

16.

17.

18.

19.

. Racionalizar los siguientes denominadores

2372

32

23

32

35

51

232

26

3263

13

125

23

295

En resumen

Racionalización

Consiste en eliminar las expresiones radicales en uno de los términos de

una fracción, puede ser del numerador o del denominador. Se trabajan dos casos

diferentes: raíz de un monomio y sumas o restas con al menos una expresión con

una raíz cuadrada.

Raíces de monomios

En este caso, únicamente se trabaja con la racionalización de los denominadores.

La esencia del procedimiento es extraer cada uno de los elementos del radical,

multiplicando tanto el numerador como el denominador por una expresión radical,

donde cada número y cada variable tengan como exponente la resta del índice del

radical menos el exponente original que tiene dentro del radical. Por ejemplo:

Expresión Factor

racionalizador Multiplicación Simplificación

2𝑥√3𝑦

3𝑦√2𝑥 √22−1𝑥2−1 = √2𝑥

2𝑥√3𝑦

3𝑦√2𝑥∙

√2𝑥

√2𝑥

2𝑥√3𝑦 ∙ √2𝑥

3𝑦√2𝑥 ∙ √2𝑥=

2𝑥√6𝑥𝑦

3𝑦√22𝑥2=

2𝑥√6𝑥𝑦

3𝑦 ∙ 2𝑥=

√6𝑥𝑦

3𝑦

3𝑥2

√32𝑥45 =3𝑥2

2√𝑥45 √𝑥5−45= √𝑥

5

3𝑥2

2√𝑥45 ∙√𝑥5

√𝑥5

3𝑥2 ∙ √𝑥5

2√𝑥45∙ √𝑥

5=

3𝑥2 √𝑥5

2√𝑥55 =

3𝑥2 √𝑥5

2𝑥=

3𝑥 √𝑥5

2

21

√493 =

21

√723 √73−23= √7

3

21

√723 ∙√73

√73

21 ∙ √73

√723∙ √7

3=

21√73

√733 =

21√73

7= 3√7

3

10𝑥2

√25𝑥34 =10𝑥2

√52𝑥34 √54−2𝑥4−34= √52𝑥

4

10𝑥2

√52𝑥34 ∙√52𝑥4

√52𝑥4

10𝑥2 ∙ √52𝑥4

√52𝑥34∙ √52𝑥

4 =10𝑥2 √52𝑥

4

√54𝑥44 =

10𝑥2 √52𝑥4

5𝑥= 2𝑥 √52𝑥

4=

2𝑥 √25𝑥4

296

Expresión Factor

racionalizador Multiplicación Simplificación

√𝑥 − √𝑦

√𝑥𝑦 √𝑥2−1𝑦2−1 = √𝑥𝑦

√𝑥 − √𝑦

√𝑥𝑦∙

√𝑥𝑦

√𝑥𝑦

(√𝑥 − √𝑦) ∙ √𝑥𝑦

√𝑥𝑦 ∙ √𝑥𝑦=

√𝑥 ∙ 𝑥𝑦 − √𝑦 ∙ 𝑥𝑦

√𝑥2𝑦2=

√𝑥2𝑦 − √𝑥𝑦2

𝑥𝑦=

𝑥√𝑦 − 𝑦√𝑥

𝑥𝑦

√𝑥3 − √𝑥7

√𝑥=

𝑥√𝑥 − 𝑥3√𝑥

√𝑥

√𝑥2−1 = √𝑥 𝑥√𝑥 − 𝑥3√𝑥

√𝑥∙

√𝑥

√𝑥

(𝑥√𝑥 − 𝑥3√𝑥) ∙ √𝑥

√𝑥 ∙ √𝑥=

𝑥√𝑥 ∙ 𝑥 − 𝑥3√𝑥 ∙ 𝑥

√𝑥2=

𝑥 ∙ 𝑥 − 𝑥3 ∙ 𝑥

𝑥=

𝑥2 − 𝑥4

𝑥=

𝑥 − 𝑥3

Sumas o restas con al menos una expresión con una raíz cuadrada

En este caso se debe indicar si la racionalización se hace en el numerador o en el

denominador. En ambos casos se trabaja igual. Se busca que en el término

racionalizado se obtenga la tercera fórmula notable, para eliminar las expresiones

radicales. La fórmula utilizada es (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2, por lo que el término para

racionalizar se deduce de la siguiente manera:

Término a racionalizar

Factor racionalizador

Fórmula obtenida

𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 𝑎2 − 𝑏2

𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑏2

297

Expresión Término a

racionalizar Factor

racionalizador Resultado

√𝑥 − √𝑦

𝑥√𝑦 − 𝑦√𝑥 Numerador √𝑥 + √𝑦

(√𝑥 − √𝑦)(√𝑥 + √𝑦)

(𝑥√𝑦 − 𝑦√𝑥)(√𝑥 + √𝑦)=

√𝑥2 − √𝑦2

(𝑥√𝑦 − 𝑦√𝑥)(√𝑥 + √𝑦)=

𝑥 − 𝑦

(𝑥√𝑦 − 𝑦√𝑥)(√𝑥 + √𝑦)

√𝑥 + √𝑦

2√𝑥 + √𝑦 Denominador 2√𝑥 − √𝑦

(√𝑥 + √𝑦)(2√𝑥 − √𝑦)

(2√𝑥 + √𝑦)(2√𝑥 − √𝑦)=

(√𝑥 + √𝑦)(2√𝑥 − √𝑦)

(2√𝑥)2

− √𝑦2=

(√𝑥 + √𝑦)(2√𝑥 − √𝑦)

4𝑥 − 𝑦

√𝑎 − √3

√𝑎 + √3 Denominador √𝑎 − √3

(√𝑎 − √3)(√𝑎 − √3)

(√𝑎 + √3)(√𝑎 − √3)=

(√𝑎 − √3)2

√𝑎2 − √32=

(√𝑎 − √3)2

𝑎 − 3

298

Expresión Término a

racionalizar Factor

racionalizador Resultado

√ℎ + 9 − 3

ℎ Numerador √ℎ + 9 + 3

(√ℎ + 9 − 3)(√ℎ + 9 + 3)

ℎ(√ℎ + 9 + 3)=

√(ℎ + 9)2 − 32

ℎ(√ℎ + 9 + 3)=

ℎ + 9 − 9

ℎ(√ℎ + 9 + 3)=

ℎ + 9 − 9

ℎ(√ℎ + 9 + 3)=

1

√ℎ + 9 + 3

√𝑥 − √𝑥 − 1

√𝑥 Numerador √𝑥 + √𝑥 − 1

(√𝑥 − √𝑥 − 1)(√𝑥 + √𝑥 − 1)

√𝑥(√𝑥 + √𝑥 − 1)=

√𝑥2 − √(𝑥 − 1)2

√𝑥(√𝑥 + √𝑥 − 1)=

𝑥 − (𝑥 − 1)

√𝑥(√𝑥 + √𝑥 − 1)=

𝑥 − 𝑥 + 1

√𝑥(√𝑥 + √𝑥 − 1)=

1

√𝑥(√𝑥 + √𝑥 − 1)

299

Ejercicios

1. Racionaliza las siguientes expresiones:

1

3

1

2

2

3 2

3

2 3

a

a

a

b a

2. Racionaliza las siguientes expresiones:

a

m

a

a b

a b

a b

a b

b a

a

a

m

q m

a x

x a

x y

y x

5

3

2

3 1

2

5 3

5 3

5 3

2

2

3

5 3

2 2

2 2

4

5 1

3

3 6

3

4 13

5

2 5

3

2 3

7

3 7

3

2 3

3

6

2

5

2

2 1

2

2 1

3 2

3 2

1

37 37

25 2

3 3 4

5

2

5

4 6

8

3

1 3

2

5

b35

a b

a b

301

Situación Problema

Se cortan las esquinas de una lámina de cartón que mide 20 cm de

largo por 10 cm de ancho, para hacer una caja rectangular sin tapa.

¿Cuáles son los valores posibles para la altura x de la caja para que

su volumen sea igual a 24?

Análisis de la actividad En este caso tenemos

V = x(10 – 2x) (20 – 2x) = 24x.

Al multiplicar se obtiene la ecuación 4x2 – 60x + 200 = 24, que simplificada

queda x2–15x + 44 = 0.

La Clave

Ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones de segundo grado son del tipo: ax2 + bx + c = 0 con a

0.

Ejemplos:

1. 6x5x2 =0 2. 1x4x4 2 =0 3. 4x3x2 =0 4. 21 3

1 02 4

x x

Tema 3 Ecuaciones Cuadráticas

302

2. Determine los valores de a, b,c, de la ecuación 3x2 + 3x - 18 = 0

Resolución: Como todos los coeficientes son múltiplos de 3, dividiendo todos

los términos entre este número, se obtiene una ecuación equivalente más

sencilla: x2 + x - 6 = 0 a = 1; b = 1; c = -6

3. Determine los valores de a,b,c x2 + 2x + 1 = 0 a = 1, b = 2, c = 1

Ejercicios

1. Indica el valor de los coeficientes a, b y c de las siguientes ecuaciones

de segundo grado.

a b c

a) 3x2 + 2x – 3 = 0

b) x2 + x = 0

c) 2

3x – x2 + 5 = 0

d) 6 – x2 = 0

e) 2x – 3 = x2

f) 3 + 5x2 = 2

3

2. Reconoce el tipo de ecuación de 2º grado, indicando los valores de los

coeficientes a, b y c:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

Ecuación de segundo grado incompleta

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b

o c, o ambos, son cero. (Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c

= 0, que no es una ecuación de segundo grado.)

02x3x5 2 01x9 2 01x4x4 2

0x2x3 2 09x6x12 2 025x36 2

x110x11 2 9x24x16 2 2x49

15x45x121 2 2x4x23 87x50 2

303

La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:

ax2 = 0; si b = 0 y c = 0.

I Caso Ecuación de la forma 2 0ax c

Para resolver ecuaciones incompletas en las que falta el término en x, esto es,

cuando b = 0, se procede de la siguiente manera:

1. Se escribe la ecuación en la forma

2 0ax c

2. Se identifican los valores numéricos de los coeficientes a y c

3. Se sustituyen los valores numéricos de los coeficientes en la fórmula

Deducción de la fórmula (*):

304

Ejemplos

306

Ejercicios

1. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas,

explicando el proceso seguido.

a) x2 - 16 = 0

b) 3x2 - 147 = 0

c) x2 - 144 = 0

d) 7x2 = 343

e) 3x2 = 243

f) x2 - 24 = 120

g) 3x2 + 12 = 0

h) 7x2 - 28 = 0

II Caso Ecuación de la forma 2 0ax bx

P r o c e d i m i e n t o

Para resolver ecuaciones incompletas en las que falta el término c, esto es, cuando

c = 0, se procede de la siguiente manera:

1. Se escribe la ecuación en la forma

2. Se factoriza la ecuación anterior obteniendo la ecuación equivalente

3. Se iguala cada uno de los factores anteriores a cero

307

4. Como se puede deducir una de las soluciones siempre es cero; la otra

solución se calcula sustituyendo los valores numéricos de los coeficientes a y b

en (*)

Ejemplos Resolver las ecuaciones:

a) 2x2 + 4x = 0; b) -3x2 + 2x = 0; c) x2 - x = 0

Resolución:

a) 2x2 + 4x = 0

Sacando factor común x, resulta:

22

4x04x2

ó

0x

0)4x2(x

La ecuación tiene dos soluciones: x = 0 y x = -2.

b) -3x2 + 2x = 0


3

2

3

2x02x3

ó

0x

0)2x3(x

La ecuación tiene dos soluciones 3

2x0x 21

308

c) x2 - x = 0


1x01x

ó

0x

0)1x(x

La ecuación tiene dos soluciones: x = 0 y x = 1.

Ejercicios

1. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas, explicando el

proceso seguido:

a) 2x2 + 7x = 0

b) x2 - 64x = 0

c) 5x2 - 40x = 0

d) 4x2 – 9x = 0

e) = x

f) 3x2 + 27x = 0

g) 7x2 = 3x

h) 6x2 + 2x = 0

2. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones de segundo grado son incompletas? ¿Por qué?

a) 6x2 + 3x - 1 = 0 d) 2x - 4x2 = 0

b) 4x - x2 = 0 e) 3 - x = x2

c) 2x - 1 = x2 f) x2 - 3 + x = 0

5

2x

309

3. Comprueba si los siguientes valores de x son las soluciones de las siguientes

ecuaciones de segundo grado:

a) x = 1, x = -1 de x2- 1 = 0

b) x = 4, x = -4 de 80 = 20x2

c) x = 9, x = -9 de 3x2 - 27 = 0

d) x = 1, x = -1 de -x2 + 1 = 0

4Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas, explicando el

proceso seguido.

a) x2 - 16 = 0

b) 3x2 - 147 = 0

c) x2 - 144 = 0

d) 7x2 = 343

e) 3x2 = 243

f) x2 - 24 = 120

g) 3x2 + 12 = 0

h) 7x2 - 28 = 0

5. Comprueba si los siguientes valores de x son las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) x = 1, x = -1 de x - x2 = 0

b) x = 0, x = 1 de x2 = x

c) x = 1, x = -10 de 3x2 = 30x

d) x = 0, x = 12 de 3x2 - 39x = 0

e) x = 0, x = -5 de 4x2 + 20x = 0

f) x = 0, x = 1 de 6x2 - 6x = 0

310

Ecuación de segundo grado completa

Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres

coeficientes a, b, y c son distintos de cero. La expresión de una

ecuación de segundo grado completa es: ax2 + bx + c = 0. ax2 + bx

= 0; si c = 0. ax2 + c = 0; si b = 0.

Las ecuaciones cuadráticas tienen la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Si la ecuación no tiene

esta forma, se debe manipular algebraicamente para reducirla. A partir de los

valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐 se pueden obtener los valores de 𝑥 que satisfacen la ecuación.

Primero es necesario calcular el discriminante de la ecuación (∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐) para

saber cuántas soluciones reales (llamadas raíces) tiene:

Signo del discriminante Cantidad de

soluciones reales Conjunto solución

∆> 0 2 𝑆 = {𝑥1, 𝑥2}

∆= 0 1 𝑆 = {𝑥1}

∆< 0 0 𝑆 = ∅ o 𝑆 = { }

De igual manera, se tienen dos fórmulas definidas para calcular el valor exacto de

cada raíz:

𝒙𝟏 =−𝒃 + √∆

𝟐𝒂 𝒙𝟐 =

−𝒃 − √∆

𝟐𝒂

Ejemplos

1. Sea la ecuación 𝑥2 + 2𝑥 = −1. Determine si 1 es una solución de dicha

ecuación.

Solución

12 + 2 ∙ 1 = 3 ≠ −1. Por tanto, 1 no es solución de tal ecuación. ∎

2. Determine el número de soluciones de la ecuación 2𝑥2 − 𝑥 = 6 sin necesidad

de resolverla.

Solución

La ecuación 2𝑥2 − 𝑥 = 6 se transforma en 2𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0. Además, ∆= (−1)2 − 4 ∙ 2 ∙

−6 = 49, por lo que tal ecuación posee dos soluciones

311

3. Determine el conjunto solución de 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0.

Solución

𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0

𝑥 =−2+ √22−4∙1∙−3

2⋅1 o 𝑥 =

−2− √22−4∙1∙−3

2⋅1

𝑥 = 1 o 𝑥 = −3

Por lo tanto, 𝑆 = {1, −3}. ∎

4.Determine el conjunto solución de 2𝑥 − 6𝑥2 = −1 + 3𝑥

Solución

2𝑥 − 6𝑥2 = −1 + 3𝑥

−6𝑥2 + 2𝑥 − 3𝑥 + 1 = 0

−6𝑥2 − 𝑥 + 1 = 0

𝑥 =1+√(−1)2−4⋅−6⋅1

2⋅−6 o 𝑥 =

1−√(−1)2−4⋅−6⋅1

2⋅−6

𝑥 = −1

2 o 𝑥 =

1

3.

Luego, 𝑆 = {−1

2,

1

3} . ∎

5. Determine el conjunto solución de 3𝑥2 − 9𝑥 = (𝑥 − 3)2.

Solución

3𝑥2 − 9𝑥 = (𝑥 − 3)2

3𝑥2 − 9𝑥 = 𝑥2 − 2 ∙ 𝑥 ∙ 3 + 32

3𝑥2 − 9𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9

3𝑥2 − 9𝑥 − 𝑥2 + 6𝑥 − 9 = 0

2𝑥2 − 3𝑥 − 9 = 0

𝑥 =3+√(−3)2−4⋅2⋅−9

2⋅2 o 𝑥 =

3−√(−3)2−4⋅2⋅−9

2⋅2

312

𝑥 = −3

2 o 𝑥 = 3.

Luego, 𝑆 = {−3

2, 3} . ∎

6. Determine el conjunto solución de 𝑥(𝑥 − 1) − 2(𝑥 − 1) = 1.

Solución

𝑥(𝑥 − 1) − 2(𝑥 − 1) = 1

𝑥2 − 𝑥 − 2𝑥 + 2 = 1

𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0

𝑥 =3+√(−3)2−4⋅1⋅1

2⋅1 o 𝑥 =

3−√(−3)2−4⋅1⋅1

2⋅1

𝑥 =3+√5

2 O 𝑥 =

3−√5

2.

Por tanto, 𝑆 = {3+√5

2,

3−√5

2}.

7. Resuelva 𝑥(𝑥 − 2) − 4(𝑥 − 3) = 2

Solución

𝑥(𝑥 − 2) − 4(𝑥 − 3) = 2

𝑥2 − 2𝑥 − 4𝑥 + 12 = 2

𝑥2 − 2𝑥 − 4𝑥 + 12 − 2 = 0

𝑥2 − 6𝑥 + 10 = 0.

Asimismo, ∆= (−6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 10 = −4. Luego, 𝑆 = { }. ∎

313

8. Determine el conjunto solución de 2 +𝑥

2= (𝑥 + 1)(𝑥 − 1).

Solución

2 +𝑥

2= (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

4 + 𝑥

2=

2(𝑥2 − 1)

2

4 + 𝑥 = 2(𝑥2 − 1)

4 + 𝑥 = 2𝑥2 − 2

4 + 𝑥 − 2𝑥2 + 2 = 0

−2𝑥2 + 𝑥 + 6 = 0

𝑥 =−1+√12−4⋅−2⋅6

2⋅−2 O 𝑥 =

−1−√12−4⋅−2⋅6

2⋅−2

𝑥 = 2 o 𝑥 =−3

2.

Por tanto, 𝑆 = {2, −3

2}. ∎

9. Determine el conjunto solución de 3+𝑥

2−

𝑥(𝑥−1)

3= 1.

Solución

3 + 𝑥

2−

𝑥(𝑥 − 1)

3= 1

3(3 + 𝑥) − 2𝑥(𝑥 − 1)

6=

6

6

3(3 + 𝑥) − 2𝑥(𝑥 − 1) = 6

9 + 3𝑥 − 2𝑥2 + 2𝑥 = 6

−2𝑥2 + 3𝑥 + 2𝑥 + 9 − 6 = 0

−2𝑥2 + 5𝑥 + 3 = 0

𝑥 =−5+√52−4⋅−2⋅3

2⋅−2 o 𝑥 =

−5−√52−4⋅−2⋅3

2⋅−2

𝑥 =−1

2 o 𝑥 = 3.

314

Por lo tanto, 𝑆 = {−1

2, 3}. ∎

10. Resolver la ecuación x2 - 5x + 6 = 0.

Resolución:

a = 1; b = -5; c = 6.

2

15

2

15

2

24255

12

614)5()5(

a2

ac4bbx

22

22

4

2

15xy3

2

6

2

15x 21

La ecuación tiene dos soluciones: x = 3 y x = 2.

11. Resolver la ecuación 3x2 + 3x - 18 = 0

Resolución:

Como todos los coeficientes son múltiplos de 3, dividiendo todos los términos

entre este número, se obtiene una ecuación equivalente más sencilla:

x2 + x - 6 = 0

a = 1; b = 1; c = -6

2

51

2

251

12

)6(1411x

2

Las soluciones son: 32

6

2

51xy2

2

4

2

51x 21

11. Resolver la ecuación x2 + x + 1 = 0

Resolución:

En esta ecuación a = 1; b = 1; c = 1.

Aplicando la fórmula:

2

31

2

411

12

11411x

La ecuación no tiene solución, ya que el discriminante es negativo.

12. Por ejemplo, para determinar el conjunto solución de la ecuación 6 + (𝑦 + 1)2 −

𝑦2 = −(𝑦 + 2)2, se debe reducir a la forma general. Así:

315

6 + (𝑦 + 1)2 − 𝑦2 = −(𝑦 + 2)2

6 + (𝑦2 + 2𝑦 + 1) − 𝑦2 = −(𝑦2 + 4𝑦 + 4)

6 + 𝑦2 + 2𝑦 + 1 − 𝑦2 = −𝑦2 − 4𝑦 − 4

6 + 𝑦2 + 2𝑦 + 1 − 𝑦2 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 = 0

𝑦2 + 6𝑦 + 11 = 0

∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (6)2 − 4(1)(11) = 36 − 44 = −8

Como ∆< 0 , entonces la ecuación no tiene soluciones reales, por lo que 𝑆 = ∅.

13. Otro ejemplo es determinar el conjunto solución de la ecuación

𝑥(3𝑥 − 1) + 2𝑥2 − 3𝑥 − 1 = (𝑥 + 1)2

3𝑥2 − 𝑥 + 2𝑥2 − 3𝑥 − 1 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1

3𝑥2 − 𝑥 + 2𝑥2 − 3𝑥 − 1 − 𝑥2 − 2𝑥 − 1 = 0

4𝑥2 − 6𝑥 − 2 = 0

∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−6)2 − 4(4)(−2) = 36 + 32 = 68

Como ∆> 0 , entonces la ecuación tiene dos soluciones reales, por lo que

𝑥1 =−𝑏 + √∆

2𝑎=

−(−6) + √68

2(4)=

6 + 2√17

8=

2(3 + √17)

8=

3 + √17

4

𝑥2 =−𝑏 − √∆

2𝑎=

−(−6) − √68

2(4)=

6 − 2√17

8=

2(3 − √17)

8=

3 − √17

4

𝑆 = {3 + √17

4,3 − √17

4}

316

14. Otro ejemplo es determinar el conjunto solución de la ecuación

3𝑥2 − 12𝑥 + 12 = 0

∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−12)2 − 4(3)(12) = 144 − 144 = 0

Como ∆= 0 , entonces la ecuación tiene una solución real, por lo que

𝑥 =−𝑏 + √∆

2𝑎=

−(−12) + √0

2(3)=

12

6= 2 ⟹ 𝑆 = {2}

15. El último ejemplo es determinar el conjunto solución de la ecuación

(2𝑥)2 + (2𝑥 + 2)2 = (2𝑥 + 4)2

4𝑥2 + 4𝑥2 + 8𝑥 + 4 = 4𝑥2 + 16𝑥 + 16

4𝑥2 + 4𝑥2 + 8𝑥 + 4 − 4𝑥2 − 16𝑥 − 16 = 0

4𝑥2 − 8𝑥 − 12 = 0

∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−8)2 − 4(4)(−12) = 64 + 192 = 256


𝑥1 =−𝑏 + √∆

2𝑎=

−(−8) + √256

2(4)=

8 + 16

8=

24

8= 3

𝑥2 =−𝑏 − √∆

2𝑎=

−(−8) − √256

2(4)=

8 − 16

8=

−8

8= −1

𝑆 = {3, −1}

Ejercicios

1. Determinar el discriminante y cuantas soluciones reales posee las

siguientes ecuaciones cuadráticas

1) x2 + 3x + 2 = 0 2) 4x2 + 4x + 1 = 0 3) x2 + 4x + 5 = 0

4) – x2 + 9 = 0 5) 7x2 – 6x = 0 6) 5x2 – 10x + 5 = 0

317

2. Comprueba si los siguientes valores de x son las soluciones de las siguientes

ecuaciones de segundo grado:

a) x = 1, x = -1 de 2x2 - x - 1 = 0

b) x = 3, x = 4 de x2 - 7x + 12 = 0

c) x = -6, x = 0 de x2 + 5x - 6 = 0

d) x = -2, x = 4 de x2 - 2x - 8 = 0

e) x = 0, x = 1 de x2 - 2x - 3 = 0

3. .Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas:

a) x2 - 5x + 6 = 0 g) 12 = x2 + x m) x2 - 6x + 10 = 0

b) x2 + 5x + 6 = 0 h) 3x + 10 = x2 n) x2 + 2

5x + 1 = 0

c) x2 – x - 6 = 0 i) x2 - 4x + 4 = 0 ñ) x2 + 3x + 4

9 = 0

d) x2 + x - 6 = 0 j) 9x2 - 6x + 1 = 0 o) -2x2 - x - 1 = 0

e) 8x2 - 10x + 3 = 0 k) 100x2 + 20x = -1 p) -x2 + 2x - 3 = 0

f) 4x + 1 = -4x2 l) x2 + x + 1 = 0

318

4. ¿Cuánto vale el discriminante en las siguientes ecuaciones?

a) 3x2 + 2x - 9 = 0 = c) x - 1 = 3x2 =

b) 5x - 6x2 + 10 = 0 = d) x2 = 2x – 8 =

5. Indica cuáles de las siguientes ecuaciones de segundo grado tienen dos

soluciones distintas, cuáles dos soluciones iguales y las que no tienen solución,

además grafica 2 de las ecuaciones dadas, marcando en el plano vértice y eje de

simetría.

a) x2 - 2x + 1 = 0 = d) x2 + 4x + 4 = 0 =

b) 3x2 - 2x + 1 = 0 = e) 2x2 - x + 3 = 0 =

6. Sea la ecuación 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0. Determine las soluciones de la ecuación y

explique el significado del conjunto solución de tal ecuación. 7. Sea la ecuación 𝑥2 − 3 = 0. Determine las soluciones de la ecuación y explique

el significado del conjunto solución de tal ecuación.

8. Sea la ecuación 2𝑥2 − 1 = 0. Determine si 3 es una solución de tal ecuación.

9. Sea la ecuación 𝑥2 − 25 = 0. Determine si 5 es una solución de tal ecuación.

10. Determine el número de soluciones de la ecuación 2𝑥2 − 𝑥 = 6 sin

necesidad de resolverla.

11. Determine el número de soluciones de la ecuación 𝑥2 + 6 = 0 sin

necesidad de resolverla.

12. Determine el número de soluciones de la ecuación 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0 sin

necesidad de resolverla. 13. Una raíz de la ecuación 3𝑥2 − 10𝑥 + 𝑘 = 0 es3. Determinar la otra raíz y

hallar el valor de 𝑘.

14. Resolver las siguientes ecuaciones en ℝ:

I. 𝑥2 = 100

II. 𝑥2 − 64 = 0

III. 𝑥2 + 100 = 0

IV. 3𝑥2 = 9

V. 𝑥2 − 9 = 160

VI. 𝑥2 − 25 = 0

VII. 2𝑥2 − 3 = 5

VIII. 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0

319

IX. 2𝑥2 − 𝑥 = 6

X. 9𝑥2 − 6𝑥 + 1 = 0

XI. 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0

XII. 𝑥2 − 6𝑥 + 12 = 2

XIII. 𝑥(10 − 𝑥) = 54

XIV. 𝑥2 = 𝑥(1 − 3𝑥) XV. 2𝑥 − 6𝑥2 = −1 + 3𝑥

XVI. 𝑥(𝑥 + 4) = 2𝑥(𝑥 − 4) XVII. 6(𝑥 − 5) − (25 − 𝑥2) = 0

XVIII. (𝑥 − 1)2 + (𝑥 − 32)2 = 𝑥2

XIX. (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = −(3𝑥 − 2)2

XX. 𝑥(𝑥 − 1) − 2(𝑥 − 1) = 1

XXI. 𝑥(2 − 3𝑥) = 𝑥2

XXII. (4𝑥 − 1)(2𝑥 + 3) = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) XXIII. 2(𝑥 − 4)2 = 338

XXIV. (2𝑥 + 1)2 = −6𝑥 + 2

XXV. 10𝑥(𝑥 − 2) + 3(𝑥 + 1) = 0 15. Resolver las siguientes ecuaciones en ℝ:

1) 𝑥 (𝑥

5+ 6) = 80

2) (𝑥−1)2

2= (𝑥 − 1)

3) (𝑥−1

2)

2= 𝑥 − 1

4) (𝑥 − 1)2 = 3 −𝑥+1

2

5) 𝑥

3(3𝑥 − 1) = 1

6) (𝑥

4)

2+ (5 −

𝑥

4)

2= 13

7) (4𝑥+1)

2− (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) =

−1

2

8) 2𝑥2 = 4 −𝑥(𝑥+3)

2

9) 𝑥2

4−

𝑥−4

2= 2

10) 𝑥2−1

2−

𝑥+1

8=

3𝑥−5

8

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Para resolver un problema mediante una ecuación de 20 grado con una

incógnita, conviene seguir las siguientes fases:

320

A) Leer el problema.

1) Lea con atención el enunciado del problema. Hágalo primero en forma general, y luego parte por parte.

B) Identificar datos.

1) Escriba los datos conocidos. 2) Seleccione una letra para representar los datos desconocidos. Si hay

varios, represente uno de ellos con una letra. Exprese los demás términos con la misma letra.

3) Reconozca y anote la pregunta o las preguntas. C) Planear una estrategia.

1) Establezca, en el enunciado, una relación entre los datos que se conoce y los que no se conoce.

2) Escriba la ecuación que representa la relación planteada en el punto anterior.

D) Aplicar la estrategia. 1) Resuelva la ecuación para obtener el valor numérico de la incógnita.

2) Verifique el resultado responda a la pregunta o las preguntas del problema.

3) Anote la respuesta o las respuestas.

E) Comprobar el resultado. 1) Compruebe si la solución es la correcta.

2) Verifique si el resultado sea coherente con el enunciado del problema.

Ejemplos

1. La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Hallar dichos

números.

Solución

Sea 𝑥 un número y 5 − 𝑥 el otro número. De acuerdo con las condiciones del

problema se construye la siguiente ecuación: 𝑥(5 − 𝑥) = −84. Al resolverla se

obtiene:

𝑥(5 − 𝑥) = −84

5𝑥 − 𝑥2 = −84

−𝑥2 + 5𝑥 + 84 = 0.

𝑥 = −7 o 𝑥 = 12.

Luego, los números son 12 y −7

321

2. La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos

números.

Solución

Sea 𝑥 un número y 10 − 𝑥 el otro número. De acuerdo con las condiciones del

problema se construye la siguiente ecuación: 𝑥2 + (10 − 𝑥)2 = 58. Al resolverla se

obtiene:

𝑥2 + (10 − 𝑥)2 = 58

𝑥2 + 100 − 20𝑥 + 𝑥2 = 58

𝑥2 + 100 − 20𝑥 + 𝑥2 − 58 = 0

2𝑥2 − 20𝑥 + 42 = 0

𝑥2 − 10𝑥 + 21 = 0.

𝑥 = 7 o 𝑥 = 3 .

Luego, los números son 7 y3. ∎

3. El producto de dos naturales consecutivos equivale a la suma de esos números

aumentada en 19. De ellos, ¿cuál es el número mayor? Solución

Sea 𝑥 el número natural menor. De acuerdo con las condiciones del problema se

construye la siguiente ecuación: 𝑥(𝑥 + 1) = 𝑥 + 𝑥 + 1 + 19. Al resolverla se obtiene:

𝑥(𝑥 + 1) = 𝑥 + 𝑥 + 1 + 19

𝑥2 + 𝑥 = 2𝑥 + 20

𝑥2 + 𝑥 − 2𝑥 − 20 = 0

𝑥2 − 𝑥 − 20 = 0

𝑥 = −4 o 𝑥 = 5.

La solución 𝑥 = −4 se descarta por ser 𝑥 un número natural. Así, el número mayor

es6.

4. El perímetro de un jardín rectangular es de 30 𝑐𝑚 y su área es de 54 𝑐𝑚2.

¿Cuáles son sus dimensiones?

Solución

Sea 𝑥 la medida del ancho y 15 − 𝑥 la medida del largo. De acuerdo con las

condiciones del problema se construye la siguiente ecuación 𝑥(15 − 𝑥) = 54. Al

resolverla se obtiene:

322

𝑥(15 − 𝑥) = 54

15𝑥 − 𝑥2 = 54

−𝑥2 + 15𝑥 − 54 = 0.

𝑥 = 6 o 𝑥 = 9.

Por lo tanto, la medida del ancho es 6 y la medida del largo es9.

5. El producto de dos números negativos es 80. El número mayor excede en seis a la

quinta parte del número menor. ¿Cuál es el número menor?

Solución

Sea 𝑥 el número menor. Luego si 𝑦 representa el número mayor entonces 𝑦 = 6 +𝑥

5. De acuerdo con las condiciones del problema se construye la siguiente ecuación:

𝑥 (6 +𝑥

5) = 80. Al resolverla se obtiene:

𝑥 (6 +𝑥

5) = 80

6𝑥 +𝑥2

5= 80

𝑥2

5+ 6𝑥 − 80 = 0

𝑥2 + 30𝑥 − 400

5= 0

𝑥 = 10 o 𝑥 = −40.

La solución 𝑥 = 10 se descarta por ser 𝑥 un número negativo. Así, el número menor

es −40.

6. La medida del largo de un rectángulo excede en 4 a la medida del ancho. Si

la medida del ancho y la del largo se aumentan en4, entonces el área

resultante es el doble que el área del rectángulo original. ¿Cuál es la medida

del largo del rectángulo original?

Solución

Sea 𝑥 la medida del largo y 𝑥 − 4 la medida del ancho del rectángulo original.

Entonces, por las condiciones del problema se forma la ecuación (𝑥 + 4)(𝑥 − 4 + 4) =

2𝑥(𝑥 − 4). Al resolverla se obtiene:

323

(𝑥 + 4)(𝑥 − 4 + 4) = 2𝑥(𝑥 − 4)

𝑥(𝑥 + 4) = 2𝑥(𝑥 − 4)

𝑥2 + 4𝑥 = 2𝑥2 − 8𝑥

𝑥2 + 4𝑥 − 2𝑥2 + 8𝑥 = 0

−𝑥2 + 12𝑥 = 0

𝑥 = 0 o 𝑥 = 12 .

La solución 𝑥 = 0 se desecha porque el largo es mayor que0. Por lo tanto, la medida

del largo del rectángulo original es 12.

7. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es una unidad más larga que uno

de los catetos y 32 unidades más larga que el otro ¿cuánto mide el cateto

menor?

Solución

Sea 𝑥: la longitud de la hipotenusa; 𝑥 − 1: la longitud de un cateto mayor y 𝑥 − 32:

la longitud del cateto menor. Luego, por el teorema de Pitágoras se forma la

ecuación (𝑥 − 1)2 + (𝑥 − 32)2 = 𝑥2. Al resolverla se obtiene:

(𝑥 − 1)2 + (𝑥 − 32)2 = 𝑥2

𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑥2 − 64𝑥 + 1024 = 𝑥2

𝑥2 − 66𝑥 + 1025 = 0.

𝑥 = 25 o 𝑥 = 41 .

La solución 25 se desecha porque al sustituir 𝑥 = 25 en la medida del cateto menor

se obtiene 25 − 32 = −7 < 0. Por lo tanto, la medida del cateto menor es 41 − 32 =

9.

8. Un padre tiene 54 años y Su hijo 12años. ¿Cuántos años hace que la edad

del padre fue el cuadrado de la edad del hijo?

Solución: Llamemos X a la pregunta ¿Cuántos años hace? Luego planteamos que

la edad del padre hace X años era de 54 - X, pero entonces el hijo tenía 12 - X. Por

tanto el modelo según la condición que da el problema es:

324

52

132318

2

36

2

1323

2

1323

2

16923

2

36052923

12

90142323

9023109023

241445424144541221254

mod1254

21

2

2

2222

2

xxsaberaxparavaloresdostenemos

x

cbaquetenemosxxdondede

xxxxxxxxx

fórmulaporresolvamossoluciónlabuscamoseloesteconxx

Si nos remitimos a Las condiciones del problema, la primera solución de la ecuación que es 18 no nos cumpliría, pues 12-18 da -6 años lo que no sería posible en esta

solución, pues tendríamos una edad negativa, por tanto la solución para este problema es X=5 años, es decir hace 5 años el padre tenía el cuadrado de la edad

del hijo o sea edad del padre hace cinco años igual 49 años y edad del hijo hace también cinco años igual a 7, lo que nos satisface Las condiciones del problema.

9. Descomponer el número 20 en dos partes tales que al efectuar el producto,

sea 96.

Solución:

Llamemos X a uno de los número, por lo tanto el otro número será 20 - X

Condición que el producto de los dos sea igual a 96

Modelo matemático X (20 - X) = 96. De donde

812080120812

096209620 22

xóxxóxxx

iónfactorizacporresolvamosxxxx

Observemos que los dos valores de la solución cuadrática cumplen La condición,

pues al escoger alguno de ellos inmediatamente aparece el otro, cuando lo llevamos

a la condición pedida. Los dos números suman veinte y Su producto da 96.

10. Hallar los números que sumados consigo mismo, sea igual al producto

de él por sí mismo.

Solución: Llamemos a ese número X, por lo tanto podemos formar el modelo

matemático con la condición que no da el problema.

Modelo a resolver: 2002

022 22

xóxxx

iónfactorizacporresolvemosxxxxdondedexxxx

Solución, el 0 y el 2 cumplen la condición dada por el problema.

325

Nota: Cuando se invierten p pesos a UN interés compuesto del r por ciento anual,

al final de n años el capital C será: nrpC 1 Teniendo en cuenta esta nota

resolver el siguiente problema:

11. ¿A qué interés $ 100.000 aumentará a $ 144.000, después de dos

años?

Solución:

C = 144.000. p = 100.000. r =?

Modelo a resolver:

5

11

5

11

5

6

5

61

10

121

100

1441

000.100

000.14411000.100000.144

222

rórrr

rrrr

Escogemos el interés como 1/5 por 100 igual al 20% anual.

12. El ingreso mensual de una compañía está dado por el modelo 27800 ppI

Donde p es el precio del producto en pesos del, producto que fabrica.

¿ A qué precio el ingreso será de $10.000, sí el precio debe ser mayor de $ 50 ?

Solución:

.29.1414

200

14

600800100

14

1400

14

600800

14

600800

14

360000800

14

280000640000800

72

000.1074800800:

0000.1080077800000.10

2

22

ppde

pcuadráticafórmulapor

ppararesolvamospppp

En

este problema escogemos el valor 100, puesto que este valor cumple la condición

que dá el problema, el cual dice que el valor debe ser mayor de $ 50.

Lo que podemos observar pues al resolver `problemas con modelos de segundo

grado, es que no siempre los dos valores sirven para solucionar un problema, es

decir la solución de

UN modelo no siempre conduce a la solución del problema, sino, que hay que

escoger cual es la solución que me resuelve el problema, a continuación

encontrarás una serie de problemas para construyas el modelo matemático, del

cual puedes obtener la solución.

326

13. Si, por ejemplo, se debe resolver el siguiente problema:

Para determinar la ecuación, se debe diferenciar los dos rectángulos de los que

habla el enunciado:

Característica Primero Segundo

Ancho 𝑥 𝑥 + 4

Largo 𝑥 + 4 𝑥 + 4 + 4 = 𝑥 + 8

Área (ancho por largo) 𝑥(𝑥 + 4) (𝑥 + 4)(𝑥 + 8)

Área según el problema 𝑥(𝑥 + 4) 2 ∙ 𝑥(𝑥 + 4)

De esta manera, para plantear la ecuación se toman las dos formas de representar

el área del segundo, teniendo siempre presente que el resultado que se obtiene es

el ancho del primer rectángulo. Así:

(𝑥 + 4)(𝑥 + 8) = 2 ∙ 𝑥(𝑥 + 4)

𝑥2 + 12𝑥 + 32 = 2𝑥2 + 8𝑥

𝑥2 + 12𝑥 + 32 − 2𝑥2 − 8𝑥 = 0

−𝑥2 + 4𝑥 + 32 = 0

∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (4)2 − 4(−1)(32) = 16 + 128 = 144


𝑥1 =−𝑏 + √∆

2𝑎=

−(4) + √144

2(−1)=

−4 + 12

−2=

8

−2= −4

𝑥2 =−𝑏 − √∆

2𝑎=

−(4) − √144

2(−1)=

−4 − 12

−2=

−16

−2= 8

𝑆 = {−4,8}

La medida del largo de un rectángulo excede en 4 a la medida del

ancho. Si tanto la medida del ancho como la del largo se aumentan en

4, se obtiene otro rectángulo con un área equivalente al doble del área

del rectángulo original. ¿Cuál es la medida del largo del rectángulo

original?

327

Luego, como el ancho del rectángulo original debe ser positivo, su medida es8. Sin

embargo, esta no es la respuesta solicitada, pues se pregunta por el largo. Así, la

respuesta final, que corresponde a la medida del largo es 𝑥 + 4 = 8 + 4 = 12.

14. Como ejemplo, se resuelve el siguiente problema:

Para determinar la ecuación, se debe diferenciar los dos números naturales de los

que habla el enunciado:

Número Representación

Menor 𝑥

Mayor 𝑥 + 1

Luego, el cuadrado se refiere a la segunda potencia y el triple hace referencia a la

multiplicación por3. De este modo, para plantear la ecuación se toma la redacción

del enunciado. Así:

(𝑥 + 1)2 = 3𝑥 + 57

𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 3𝑥 + 57

𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 3𝑥 − 57 = 0

𝑥2 − 𝑥 − 56 = 0

∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−1)2 − 4(1)(−56) = 1 + 224 = 225


𝑥1 =−𝑏 + √∆

2𝑎=

−(−1) + √225

2(1)=

1 + 15

2=

16

2= 8

𝑥2 =−𝑏 − √∆

2𝑎=

−(−1) − √225

2(1)=

1 − 15

2=

−14

2= −7

𝑆 = {8, −7}

El cuadrado del mayor de dos números naturales consecutivos excede

en 57 al triple del menor. ¿Cuál es el número mayor?

328

Luego, como todo número natural debe ser positivo, el número menor es8. Sin

embargo, esta no es la respuesta solicitada, pues se pregunta por el número mayor.

Así, la respuesta final, que corresponde al valor del número mayor es 𝑥 + 1 = 8 +

1 = 9.

15. Como ejemplo, se presenta el siguiente problema:

Para determinar la ecuación, se debe diferenciar las tres edades de las que habla

el enunciado:

Edad Representación

Hace 6 años 𝑥 − 6

Actual 𝑥

Dentro de 6 años 𝑥 + 6

Luego, el cuadrado se refiere a la segunda potencia. De este modo, para plantear

la ecuación se toma la redacción del enunciado. Así:

(𝑥 − 6)2 = 𝑥 + 6

𝑥2 − 12𝑥 + 36 = 𝑥 + 6

𝑥2 − 12𝑥 + 36 − 𝑥 − 6 = 0

𝑥2 − 13 + 30 = 0

∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−13)2 − 4(1)(30) = 169 − 120 = 49

Como ∆> 0 , entonces la ecuación tiene dos soluciones reales, que corresponden a

𝑥1 =−𝑏 + √∆

2𝑎=

−(−13) + √49

2(1)=

13 + 7

2=

20

2= 10

𝑥2 =−𝑏 − √∆

2𝑎=

−(−13) − √49

2(1)=

13 − 7

2=

6

2= 3

𝑆 = {3,10}

El cuadrado de la edad de A hace 6 años es igual a la edad que

tendrá dentro de 6 años. ¿Cuál es la edad actual de A?

329

Luego, como ambas soluciones son positivas, se deben comprobar las edades, para

ver cuál es la edad actual:

Edad 𝒙 = 𝟑 𝒙 = 𝟏𝟎

Hace 6 años 𝑥 − 6 = 3 − 6 = −3 𝑥 − 6 = 10 − 6 = 4

Cuadrado de 6 años No se puede determinar para

la edad negativa 42 = 16

Actual No se puede determinar para

la edad negativa 𝑥 = 10

Dentro de 6 años No se puede determinar para

la edad negativa 𝑥 + 6 = 10 + 6 = 16

Así, la respuesta final, que corresponde a la edad actual de 𝐴, es 𝑥 = 10 años.

16. Como ejemplo, se resuelve el siguiente problema:

Para determinar la ecuación, se debe diferenciar los tres lados del triángulo

rectángulo del que habla el enunciado:

Lado Representación de su medida

Hipotenusa 𝑥

Primer cateto 𝑥 − 1

Segundo cateto 𝑥 − 32

Luego, como el problema se refiere a un triángulo rectángulo, se debe aplicar el

teorema de Pitágoras:

(𝑥 − 1)2 + (𝑥 − 32)2 = 𝑥2

𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑥2 − 64𝑥 + 1024 = 𝑥2

𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑥2 − 64𝑥 + 1024 − 𝑥2 = 0

𝑥2 − 66𝑥 + 1025 = 0

∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−66)2 − 4(1)(1025) = 4356 − 4100 = 256

La hipotenusa de un triángulo rectángulo es una unidad más larga que

uno de los catetos y 32 unidades más larga que el otro ¿cuánto mide

el cateto menor?

330


𝑥1 =−𝑏 + √∆

2𝑎=

−(−66) + √256

2(1)=

66 + 16

2=

82

2= 41

𝑥2 =−𝑏 − √∆

2𝑎=

−(−66) − √256

2(1)=

66 − 16

2=

50

2= 25

𝑆 = {25,41}

Luego, como ambas soluciones son positivas, se deben comprobar las medidas

para determinar cuál corresponde a la medida de la hipotenusa del triángulo

rectángulo:

Edad 𝒙 = 𝟐𝟓 𝒙 = 𝟒𝟏

Hipotenusa 𝑥 = 25 𝑥 = 41

Primer cateto 𝑥 − 1 = 25 − 1 = 24 𝑥 − 1 = 41 − 1 = 40

Segundo cateto 𝑥 − 32 = 25 − 32 = −7 𝑥 − 32 = 41 − 32 = 9

Así, como con 𝑥 = 25 la medida de un cateto da negativa, la respuesta final es que

la medida del cateto menor es9.

Ejercicios

1) Hallar el valor de la constante 𝑘 de tal manera que las raíces de la ecuación

3𝑥2 − 4𝑥 + 𝑘 = 0 sean iguales.

2) Determine el valor de 𝑘 de tal manera que 3 sea una raíz de la ecuación 𝑥2 −

2𝑥 + 𝑘 = 0 .

3) Determinar el valor de 𝑘 de tal forma que la ecuación 𝑥2 + 𝑥 + 𝑘 = 0 tenga una

raíz nula.

4) Determinar el intervalo al que pertenece 𝑘 de tal forma que la ecuación 𝑘𝑥2 −

6𝑥 + 5 = 0 tenga sus raíces reales.

5) Determinar el valor de la constante 𝑘 de tal manera que las raíces de la

ecuación 3𝑥2 − 3𝑥 + 𝑘 = 0 no sean reales.

6) Determinar el intervalo al que pertenece 𝑘 de tal forma que la ecuación 𝑥2 +

5𝑥 + 𝑘 = 0 no tenga sus raíces reales.

331

7) Toda ecuación cuadrática se puede expresar en la forma 𝑥2 − 𝑠𝑥 + 𝑝 = 0,

donde 𝑠 es la suma de las raíces y 𝑝 es el producto de ellas. Determine, sin

resolver la ecuación 2𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 el valor del producto de las raíces.

8) Determine el producto y la suma de las raíces de la ecuación 4𝑥2 + 𝑥 − 3 = 0,

sin necesidad de resolverla.

9) La suma de dos números es 23 y el producto es 102. ¿Cuáles son esos

números?

10) El producto de dos números negativos es 90. El número mayor excede

en 7 a un tercio del número menor. ¿Cuál es el número menor?

11) El cuadrado del mayor de dos números positivos y consecutivos excede

en 100 al cuádruplo del mayor de ellos. ¿Cuál es el menor de esos números?

12) El producto de dos números positivos es 2. Si el número mayor excede

en 17

11 al menor, entonces, ¿cuál es el número mayor?

13) La diferencia de dos números es 1

3. Si el doble del número menor

excede en 3 al número mayor, entonces determine el número menor.

14) Divida 40 en dos partes de modo que la suma de los cuadrados de estas

partes sea igual a 800.

15) La suma de los cuadrados de tres números es 549. Si el segundo es

dos tercios del primero y el tercero es la mitad del primero, entonces ¿cuáles

son los números? Si 𝑥 denota al primer número, determine una ecuación que

permite resolver el problema.

16) El producto de dos números enteros positivos es 2160 y el número

menor es las tres quintas partes del número mayor. ¿Cuál es el número

mayor?

17) Si la medida del radio de un círculo se aumente en 3

4, entonces su área

es 361𝜋

16. ¿Cuál es la medida del radio del círculo original?

18) Las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son 6 − 𝑥, 13 − 𝑥

y 14 − 𝑥. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?

19) Si la edad de 𝑀 excede en 6 años a la edad de 𝑁 y la suma de los

cuadrados de ambas es 260 años, entonces ¿Cuál es la edad en años de 𝑀?

20) El perímetro de un rectángulo es 76 y su área es de 360. ¿Cuál es la

medida del ancho del rectángulo?

21) La diferencia entre el largo y el ancho de un rectángulo es 7. Si el área

del rectángulo es 78, entonces, ¿cuál es la medida del largo?

22) El área de un rectángulo es 15. Si la medida del largo es igual a 4

aumentado en el triple de la medida del ancho, entonces ¿cuál es la medida

del largo del rectángulo?

23) La medida del ancho de un rectángulo equivale a las tres cuartas partes

de la medida del largo. Si el área es 108, entonces, ¿cuál es la medida del

ancho del rectángulo?

332

24) La medida del largo de un rectángulo excede a la medida del ancho en

seis unidades. Si la medida del ancho se aumente en dos unidades y la del

largo se disminuye en tres unidades, el área será de 30 unidades cuadradas.

¿Cuál es la medida del largo del rectángulo original?

25) Un trozo de alambre de 20 𝑚 de largo se corta en dos y cada pedazo se

dobla para que tome la forma de un cuadrado. Si la suma de las áreas

formadas por los cuadrados es de 13 𝑚2. ¿Cuánto mide cada pedazo?

26) Un trozo de alambre de 100 𝑐𝑚 de largo se corta en dos y cada pedazo

se dobla para que uno forme un cuadrado y otro forme un círculo. Si la suma

de las áreas formadas es 397 𝑐𝑚2, entonces, ¿Cuánto mide cada pedazo?

27) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 6, entonces

el área del cuadrado que se forma es cuatro veces el área del cuadrado

original. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado original?

28) Si cada una de las longitudes de dos lados opuestos de un cuadrado se

duplica y cada una de las longitudes de los otros lados se disminuye en 2 𝑐𝑚,

entonces el área del rectángulo resultante es de 32 𝑐𝑚2 mayor que el área del

cuadrado original.

29) Si la longitud de cada lado de un cuadrado aumenta en 12, y se obtiene

otro cuadrado con un área igual, nueve veces al área del cuadrado inicial,

entonces, ¿cuál es el área del cuadrado inicial?

30) Un terreno rectangular de 50 𝑚 por 24 𝑚 se cubre completamente de

zacate y se rodea por una acera de cemento de ancho uniforme. Si el área

cubierta por dicha acera es de 480 𝑚2, entonces ¿cuál es la medida del ancho

de la acera?

31. Resuelva los siguientes problemas de ecuaciones cuadráticas

1) A es dos años mayor que B y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 años. Hallar ambas edades.

Datos Planteo y Operación Respuesta

333

2) La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. Hallar los

números


3) Si el perímetro de un rectángulo es 40cm. y su área 96cm2, entones hallar la

medida del largo del rectángulo.


4) La medida de la base de un triángulo es tres unidades mayor que la medida de la altura. Si el área del triángulo es 119, entonces ¿Cuáles son las dimensiones del

triángulo?


5) El producto de dos números enteros negativos es 90. El número mayor excede

en siete a un tercio del número menor. ¿Cuál es el número menor?


335

Situación Problema

Un lanzador de peso puede ser modelado usando la

ecuación20,0241 5.5y x x , donde x es la

distancia recorrida (en pies) y yes la altura (también

en pies). ¿Qué tan largo es el tiro?


El lanzamiento termina cuando el tiro cae a tierra. La altura y en esa posición es 0,

entonces igualamos la ecuación a 0. 20 0,0241 5.5x x Esta ecuación es difícil de

factorizar o de completar el cuadrado, por lo que la resolveremos usando la fórmula

cuadrática ¿Tienen sentido las raíces? La parábola descrita por la función cuadrática tiene dos

intersecciones en x. Pero el tiro sólo viajó sobre parte de esa curva.

Una solución, -4.9, no puede ser la distancia recorrida porque es un número negativo La otra solución, 46.4 pies, debe ser la distancia del lanzamiento

La Clave

Se llama función cuadrática o parábola a la función 𝑓 tal que

𝑓: 𝐴 ⟶ ℝ

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ , 𝑎 ≠ 0 y 𝑥 es una variable.

Para graficar una parábola se necesitan tres elementos: la(s) intersección(es) con

el eje 𝑥, la intersección con el eje 𝑦 y el vértice.

Una parábola es cóncava hacia arriba (tiene la forma⨄) si 𝑎 > 0. Una parábola

es cóncava hacia abajo (tiene la forma⋂) si 𝑎 < 0.

La intersección con el eje 𝒙 se determina resolviendo la ecuación 𝑓(𝑥) = 0. (0, 𝑐)

es el punto de intersección con el eje 𝒚.

Toda parábola tiene o un punto máximo o un punto mínimo. Este punto

corresponde al vértice:

Tema 4 Funciones Cuadráticas

336

𝑉 = (−𝑏

2𝑎,

−Δ

4𝑎) , con Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐.

Si 𝒂 < 𝟎 el vértice es un punto máximo y si 𝒂 > 𝟎 el vértice es un punto

mínimo.

La recta 𝑥 =−𝑏

2𝑎 se llama eje de simetría

. Ejemplos

25465 22 xxhxxxf

22 2 xxgxxxk

Se Tiene que f(x) = ax2 + bx + c , donde f:

Caso I: Cuando a > 0. La parábola será cóncava

hacia arriba. y

x

b

2a

4a

Vértice (punto

mínimo)

x1 x2

c

Características:

1) Discriminante: = b2 – 4ac

2) Eje de Simetría: x = b

2a

3) Vértice: b

,2a 4a

4) Intersecciones con el eje “x”: Se

obtienen por medio de la calculadora.

(Mode 5- 3

5) Intersección con el eje “y”: (0, c)

Eje de

Simetría

337

x Notas: y x y x

Caso II: Cuando a < 0. La parábola será cóncava

hacia abajo. y

Vértice (punto máximo)

4a

x

b

2a

1) Si > 0 la función intersecará al eje “x” dos veces.

2) Si = 0 la función intersecará al eje “x” solo una

vez.

3) Si < 0 la función NO intersecará al eje “x”.

x1 x2

c

Características:

1) Discriminante: = b2 – 4ac

6) Eje de Simetría: x = b

2a

7) Vértice: b

,2a 4a

8) Intersecciones con el eje “x”: Se

obtienen por medio de la calculadora.

9) Intersección con el eje “y”: ( 0 , c )

Eje de

simetría

338

Notas: y x

Ejemplos

1. Efectúe la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 +1.

Solución

Intersección con el eje 𝑥: (−1,0). Intersección con el eje 𝑦: (0,1).

Vertices: (−𝑏

2𝑎,

−Δ

4𝑎) = (

−2

2,

0

4) = (−1,0).

La gráfica de la función 𝑓 es:

2. Efectúe la gráfica de 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 +2𝑥 − 4.

Solución 2𝑥2 + 2𝑥 − 4 = 2(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)

y Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 4 − 4 ⋅ 2 ⋅ −4 = 36 .

Intersección con el eje 𝑥: (−2,0) y (1,0). Intersección con el eje 𝑦: (0, −4).

Vertices: (−𝑏

2𝑎,

−Δ

4𝑎) = (

−2

4,

−36

8) =

(−0.5, −4.5) La gráfica de la función 𝑓 es:

3. Efectúe la gráfica de 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 𝑥 + 6.

Solución

−𝑥2 − 𝑥 + 6 = −(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) y Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 1 − 4 ⋅ −1 ⋅ 6 = 25 .

Intersección con el eje 𝑥: (2,0) y (−3,0). Intersección con el eje 𝑦: (0,6).

1) Si > 0 la función intersecará al eje “x” dos veces.

2) Si = 0 la función intersecará al eje “x” solo una vez.

3) Si < 0 la función NO intersecará al eje “x”.

𝑥

𝑦

1

−1 𝑥

𝑦

−4

−2 1 −0.5

−4.5

339

Vertices: (−𝑏

2𝑎,

−Δ

4𝑎) = (

1

−2,

−25

−4) = (−0.5,6.25)


4. Efectúe la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 +1.

Solución

Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 1 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = −3 .

Intersección con el eje 𝑥: No tiene.

Intersección con el eje 𝑦: (0,1).

Vértice: (−𝑏

2𝑎,

−Δ

4𝑎) = (

−1

2,

3

4) = (−0.5,0.75)


5.Determine la intersección con el eje 𝑥

para 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 12

Solución

Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 1 − 4 ⋅ 1 ⋅ 12 = −47 Por lo

que la gráfica de 𝑓 no corta al eje 𝑥.

6. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con 𝑎 ≠ 0. Si

𝑓(0) = −1 y el vértice de la gráfica de 𝑓

es (1,0), determine el valor de 𝑎 y

concluya si la gráfica es cóncava hacia

abajo o hacia arriba.

Solución

𝑉 = (−𝑏

2𝑎,

−Δ

4𝑎) = (4,0). Luego ,

−Δ

4𝑎= 0 ⇒ Δ =

0. −𝑏

2𝑎= 1 ⇒ 𝑏 = −2𝑎.

𝑓(0) = −1 ⇒ 𝑐 = −1. Así 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 −2𝑎𝑥 − 1 y Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 4𝑎2 + 4𝑎 = 0 ⇒𝑎 = 0 o 𝑎 = −1. Puesto que 𝑎 ≠ 0

entonces 𝑎 = −1 y la gráfica es cóncava

hacia abajo

7. Determine el vértice de la función 𝑓(𝑥) = −3(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) y concluya si la

función posee un máximo o un mínimo.

Solución

𝑓(𝑥) = −3𝑥2 − 3𝑥 + 18.

𝑉 = (−𝑏

2𝑎,−Δ

4𝑎) = (

3

−6,−225

−12) = (

−1

2,225

12)

= (−1

2,75

4).

𝑥

𝑦

−3 2 −0.5

6 6.25

𝑥

𝑦

1

−0.5

0.75

340

Como la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia abajo entonces la función posee un

máximo absoluto

8. Determine la intersección con el eje 𝑦 para 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 𝑥 + 5.

Solución

La intersección con el eje 𝑦 es (0,5). ∎

9.Por ejemplo, se puede analizar y graficar las siguientes funciones:

Característica 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝟎 𝒈(𝒙) = −𝟓𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟑𝟎

Valor de 𝑎 3 −5

Valor de 𝑏 30 −5

Valor de 𝑐 100 30

Concavidad Hacia arriba Hacia abajo

Discriminante ∆= 302 − 4 ∙ 3 ∙ 100 =

−300 ∆= (−5)2 − 4 ∙ −5 ∙ 30 =

625

Vértice (

−30

2 ∙ 3,−(−300)

4 ∙ 3) =

(−5, 25)

(−(−5)

2 ∙ −5,

−625

4 ∙ −5) =

(−1

2,125

4)

Eje de simetría 𝑥 = −5 𝑥 =−1

2

Intersecciones con el eje X No hay (𝑆 = ∅) (2,0) y (−3,0)

Intersección con el eje Y (0,100) (0,30)

341

10. Sea 2 4 3f x x x .

Una representación tabular de esta función es la siguiente:

x f(x)

-1 -8

0 -3

1 0

2 1

3 0

4 -3

5 -8

En este caso las constantes son: a = -1, b = 4, c = -3. Esta parábola abre hacia

abajo dado que 1a ; su vértice es el punto máximo, cuya coordenada x es:

4 4

22 2 1 2

x

bV

a

En la representación tabular vemos que a este valor de x le corresponde

2

2 2 4 2 3

4 8 3 1

f

Por lo que el vértice de la parábola es el punto ( 2, 1 ).

Al igual que en la recta, el término independiente indica el punto donde la parábola

intersecta al eje y. En esta función es el punto (0,-3).

La representación gráfica de esta función, obtenida de la tabla es:

342

Como se puede ver en la figura, esta parábola cruza el eje x en dos puntos, esto

es, tiene dos raíces. Al igual que con la función lineal, para encontrar las raíces

se resuelve la ecuación ( ) 0f x :

2

2

4 3

0 4 3

f x x x

x x

A diferencia de las funciones lineales, no se puede despejar directamente; por lo

tanto, se factoriza cuando es posible, o se utiliza la fórmula general

2 4

2

b b acx

a

En este caso:

24 4 4 1 3

2 1

4 21

24 16 12 4 2

2 24 2

32

x

Las raíces son x = 1 y x = 3. Note que 2 24 (4) 4( 1)( 3) 16 12 4 0b ac

, conocido como discriminante, en este caso es positivo.

Ejercicios

1. En las siguientes funciones identificar la concavidad e indicar el número

de intersecciones que hay con el eje X.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

352 xxy 452 2 xxy

422 xxy 32 xxy

43 2 xy 132 2 xxy

343

2) En las siguientes funciones determinar las intersecciones con ambos ejes, e

indicar el eje de simetría en cada una de ellas.

1) 342 xxy 2) 94 2 xy

3) xxy 52 4) 452 2 xxy

5) 653 2 xxy 6) 2422 xxy

3. Complete y realice la grafica

54) 2 xxxfa

56) 2 xxxfb

x

y

x

y

344

4. Realice el análisis para las siguientes funciones cuadráticas

a) f(x) = x2 – 2x – 8 b) f(x) = 4x2 + 12x + 9

c) f(x) = –4x2 – 8x + 5 d) f(x) = –x2 + 4x – 4

5. Ejercicios Relacionados con Funciones Cuadráticas

a) El eje de simetría para la función f(x) = 9x2 – 18x + 3 corresponde a:

_______________

b) El punto máximo de la función f(x) = x – x2 – 12 corresponde a:

_________________

c) El vértice de la parábola dada por f(x) = 2x 2x

2 es: __________________

d) La función f(x) = –3x2 + 4x – 5 interseca al eje “y” en el punto: _______________

e) La función f(x) = 4x2 + 5x – 6 interseca al eje “x” en los puntos: ____________ y ____________

f) La función f(x) = –9x2 + 25 interseca al eje “x” en los puntos: ____________ y ____________

g) La función f(x) = –6x2 – 30x interseca al eje “x” en los puntos: ___________

y ____________.

h) La función f(x) = 36x2 – 12x + 1 interseca al eje “x” en el punto:

______________

345

i) Para la función f(x) = 3x2 + 6x + 5 se cumple que:

( ) interseca dos veces el eje “x” ( ) no interseca el eje “x”

( ) interseca el eje “x” una vez

Análisis de los elementos y características de la función cuadrática

Recuerde que una función f definida por IRIRf : con ,2 cbxaxxf

con IRcba ,, , 0a recibe el nombre de función cuadrática, entonces:

o Signo de a:

0a 0a

o Signo de :

0

No toca al eje x

0

Toca 1 vez al eje x

0

Toca dos veces al eje x

o Signo de c:

0c 0c 0c

o Signo de 2

b

a

:

02

b

a

0

2

b

a

0

2

b

a

346

o Signo de 4a

:

04a

0

4a

0

4a

o Signo de b: Se resuelve la inecuación formada al analizar el eje de simetría 2

b

a

ó bien se puede

aplicar el siguiente cuadro de signos:

Si 0

2

b

a

0

2

b

a

0

2

b

a

0a 0b 0b 0b

0a 0b 0b 0b

Ejercicios: De acuerdo a las gráficas adjuntas de funciones cuadráticas, complete en

el espacio indicado el símbolo >, < ó =, según corresponda.

347

Aplicaciones de la función cuadrática

Se trata de problemas en los que hay que utilizar características de la

función cuadrática para determinar las respuestas.

Ejemplo

Para resolver este problema, se debe identificar a qué aspecto se refiere cada

pregunta:

a) Primera coordenada del vértice

b) Segunda coordenada del vértice

c) Altura cuando 𝑡 = 0

d) Eje de simetría

e) Solución de la ecuación 0,34 + 5,36𝑡 − 1,5𝑡2 = 5,005

f) Altura cuando 𝑡 = 1

Un ambientalista descubre que cierto tipo de árbol después de ser

plantado crece de tal forma que después de 𝑡 años su altura ℎ(𝑡) está

dada por ℎ(𝑡) = 0,34 + 5,36𝑡 − 1,5𝑡2 en metros

a) ¿Con cuántos años de plantado el árbol alcanza la máxima altura?

b) ¿Cuál es la máxima altura del árbol?

c) ¿En el momento de ser plantado cuánto medía el árbol?

d) ¿Cuántos años después de plantado el árbol deja de crecer?

e) ¿Cuántos años deben pasar para que el árbol alcance una altura de

5,005 metros?

f) ¿Cuál es la altura del árbol después de un año de plantado?

348

Para responder cada una de las preguntas, es necesario determinar que como

ℎ(𝑡) = 0,34 + 5,36𝑡 − 1,5𝑡2, entonces ℎ(𝑡) = −1,5𝑡2 + 5,36𝑡 + 0,34, por lo que 𝑎 = −1,5,

𝑏 = 5,36 y 𝑐 = 0,34.

Pregunta Proceso Solución

a 𝑡 =−𝑏

2𝑎=

−(5,36)

2 ∙ −1,5≈ 1,787 1,787 años

b 𝑡 =−∆

4𝑎=

−(30,7696)

4 ∙ −1,5≈ 5,12827 5,12827 metros

c ℎ(0) = −1,5 ∙ (0)2 + 5,36 ∙ 0 + 0,34 = 0,34 0,34 metros

d 𝑡 =−𝑏

2𝑎=

−(5,36)

2 ∙ −1,5≈ 1,787 1,787 años

e 0,34 + 5,36𝑡 − 1,5𝑡2 = 5,005

𝑆 = {3.64,0.06}

0,06 años, por ser la

solución menor a 1,787.

f ℎ(1) = −1,5 ∙ (1)2 + 5,36 ∙ 1 + 0,34 = 4,2 4,2 metros

Para resolver otros problemas similares es necesario recordar que:

Un objeto lanzado al aire toca el suelo cuando la altura equivale a 0.

Cuando en la pregunta se incluyan las palabras máximo o mínimo, se hace

referencia a las coordenadas del vértice.

La altura desde la que es lanzado un objeto se obtiene cuando el tiempo

equivale a 0.

Cuando en una empresa o en un negocio no se obtienen ganancias es por

una de dos razones: las ganancias son iguales a los costos o las ganancias

son iguales a 0.

Ejemplos

1. Un objeto se lanza desde un edificio de 15 𝑚 de altura a una velocidad de 10 𝑚 ⁄

𝑠. La altura del nivel del suelo en un instante 𝑡 viene dada por:

ℎ(𝑡) = −5𝑡2 + 10𝑡 + 15

a. Determinar la altura máxima.

b. Determine el número de segundos t para que el objeto choque contra el suelo.

349

Solución

a. 𝑉 = (−𝑏

2𝑎,

−△

4𝑎) = (

−10

−10,

−400

−20) = (1,20) . Luego, la altura máxima es de 20 𝑚.

b.

0 = −5𝑡2 + 10𝑡 + 15

0 = −5𝑡2 + 10𝑡 + 15

(𝑡 + 1)(𝑡 − 3) = 0

𝑡 = 3 o 𝑡 = −1.

Luego, objeto chocará contra el suelo en 3 𝑠

2. Sea 𝐴(𝑥) = 𝑥2 − 10𝑥 + 50 el área de un cuadrado donde 𝑥 es la medida de uno de

los lados. Determine el valor del área mínima.

Solución

𝑉 = (−𝑏

2𝑎, 𝑓 (

−𝑏

2𝑎)) = (

10

2, 25) = (5,25).

El valor mínimo es 𝐴 = 25

Ejercicios

Marque con x

1) En una tienda donde se venden calculadoras se ha encontrado que

cuando las calculadoras se venden a un precio “𝑥” dólares por unidad,

el ingreso “𝑟” como una función del precio está dada por 𝑟(𝑥) = −750𝑥2 +15000𝑥. ¿Cuál debe ser el precio unitario en dólares para que el ingreso

sea máximo?

a. 5

b. 10

c. 20

d. 80

350

2) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función 𝑓 dada por

𝑓(𝑥) = −4,9𝑥2 + 20𝑥 + 30, que describe la trayectoria a los "𝑥" segundos

de haberse lanzado un proyectil hacia arriba, desde el techo de un edificio:

I. La altura del edificio desde donde se lanza el proyectil es de 20.

II. En su trayectoria, la altura máxima que alcanza el proyectil, respecto al plano

de donde se lanzó es de aproximadamente 50,41.

De ellas, ¿cuáles son verdaderas?

a. Ambas

b. Ninguna c. Solo la I

d. Solo la II

3. Si la productividad "𝑝" de una empresa con "𝑥" cantidad de empleados está

dada por 𝑝(𝑥) = −𝑥2 + 160𝑥 entonces, ¿cuántos empleados garantizan la

productividad máxima de la empresa?

a. 40

b. 80

c. 160

d. 6400

4. La producción “𝑃” en kilogramos de manzanas de una finca está dada por

𝑃(𝑥) = 500𝑥 − 5𝑥2, donde “𝑥” es el número de árboles por hectárea. ¿Cuál es

el número de árboles por hectárea que hace que la producción total sea

máxima?

a. 50

b. 100

c.9375

d.12500

5. El fabricante de un artículo ha determinado que el ingreso en dólares "𝐼" en

términos del precio de venta "𝑥" está dado por𝐼(𝑥) =−𝑥2

2+ 190𝑥. ¿Cuál es el ingreso

máximo que puede obtener el fabricante?

a. 95

b. 190

c. 18 050

d. 36 100

351

6. Se tiene 60 𝑚 de alambre para hacer una cerca de una sola vuelta de un

jardín rectangular sin que sobre alambre. Si la cerca se debe colocar

únicamente en tres lados porque el otro lado limita con una pared, entonces ¿cuál es el área máxima que se puede cercar?

a. 225 𝑚2

b. 300 𝑚2

c. 450 𝑚2

d. 3600 𝑚2

7. Sea 𝑓 una función dada por 𝑓(𝑡) = 20𝑡 − 4,9𝑡2 + 50 que describe la trayectoria a

los "𝑡" segundos de una piedra lanzada hacia arriba desde el techo de un edificio.

¿Cuál es aproximadamente el tiempo en segundos necesario para que la piedra

alcance su máxima altura con respecto al suelo?

a. 0,12

b. 0,25

c. 2,04

d. 4,08

Práctica de la Unidad III

1) De acuerdo con los datos del DEF , el área “ A ” del triángulo en

términos de “ x ” corresponde a:

A) 2 2A x

B) 2 2A x x

C)

2 2

2

xA

D)

2 2

2

x xA

352

2) De acuerdo con los datos de la gráfica de la función cuadrática f , ¿cuál es un posible criterio de f ?

A) 2 4 3f x x x

B) 2 4 3f x x x

C) 2 4 3f x x x

D) 2 4 3f x x x

3) Considere el siguiente contexto:

La altura de un objeto

En la clase de Matemáticas, el profesor junto con sus estudiantes realizan un experimento que consiste en

lanzar un objeto hacia arriba en forma vertical y medir la altura " "h , en metros, que alcanza en un

determinado tiempo " "t en segundos. Con la ayuda de un celular graban el experimento y logran obtener

los datos que se presentan en la siguiente tabla:

t 1

2 1

3

2 2

5

2 3

h 5

4 2

9

4 2

5

4 0

¿Cuál criterio corresponde a una función cuadrática que relaciona la altura del

objeto en términos del tiempo?

A) 23h t t t

B) 2 3h t t t

C) 23t h h h

D) 2 3t h h h

353

4) La factorización completa de la expresión 38 8x x es:

A) 8 1 1x x x

B) 8 1 1x x x

C) 28 1 1x x x

D) 28 1 1x x x

5) Un factor de la expresión 2 2 3x x es:

A) 3x

B) 3x

C) 2x

D) 2x

6) La expresión 3 6 2 2 26 2 2b a b a b es equivalente a:

A) 53ab b

B) 58 4ab b

C) 5 2 23 2ab a b

D) 5 7 4 33 ba a b

7) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la operación 2 6 7 1x x x :

I. El cociente es 5x .

II. El residuo es 0 .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

354

8) La expresión 2 5 2

3 1 3 1

x x

x x

es equivalente a:

A) 7 2

6

x

x

B)

2

2

10 4

9 1

x

x

C)

2

2

21 3 2

9 1

x x

x

D)

2

2

21 3 2

9 1

x x

x

9) ¿Cuál es una solución de la ecuación 218 21 5 0x x ?

A) 3

B) 1

3

C) 6

5

D) 5

6

10) El conjunto solución de la ecuación 2

5 2 5x x es:

A) 7

B) 5,7

C) 3,5

D) 6 6,6 6

11) Considere las Siguientes ecuaciones:

I. 2 10 25 0x x

II. 2 4 0x

¿Cuáles de ellas tienen discriminante igual a cero?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

355

12) Considere el siguiente enunciado:

Doña Marta tiene un lote en forma de rectángulo cuyo largo es el doble

del ancho y su área es de 2242 m . Ella desea construir un muro de 1 m de

alto en el borde del lote y dejar una entrada al lote de 3 m de ancho. De

acuerdo con los materiales que requiere, más la mano de obra, cada

metro cuadrado del muro tendrá un costo de ¢15 000 .

De acuerdo con la información anterior, si la entrada al lote no lleva muro,

entonces, ¿cuál es el costo total de muro?

A) ¢450 000

B) ¢945 000

C) ¢990 000

D) ¢3 630 000

Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 13, 14 y 15:

El lanzador de pelotas

Pedro lanza una pelota hacia arriba. La altura “ h t ” en metros que

alcanza la pelota está dada por 2

04,9h t t v t , donde “ t ” es el tiempo en

segundos y “ 0v ” es la velocidad inicial, en metros por segundo, con que

lanza la pelota.

13) Si 0 29,4 /v m s , entonces, ¿cuánto tiempo tarda la pelota en caer al

suelo?

A) 3 s

B) 6 s

C) 24,5 s

D) 34,3 s

356

14) Si 0 29,4 /v m s , entonces, ¿cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?

A) 3,0 m

B) 44,1 m

C) 58,8 m

D) 88,2 m

15) Si la pelota cae al suelo a los 10 s , entonces, ¿cuál fue la velocidad inicial con

que Pedro lanzó la pelota?

A) 4,90 /m s

B) 9,51 /m s

C) 9,80 /m s

D) 49,00 /m s


La siguiente tabla proporciona algunos datos sobre cierto medicamento, el cual

varía su nivel de efectividad al transcurrir el tiempo de suministrado al paciente.

Esta relación está modelada por 2 6C t t t , donde " C t " representa el nivel de

efectividad del medicamento a las " t " horas de aplicado:

t 0 2 4 6

C t 0 8 8 0

16) A las tres horas exactas de aplicado el medicamento, el nivel de

efectividad corresponde a:

a. 5

b. 6

c. 8

d. 9

357

17) Si se le suministra el medicamento al paciente a la 5: 00 . .a m , entonces,

inmediatamente después de desaparecido el efecto de este. ¿A qué hora debe

aplicarse la siguiente dosis?

a. 7 : 00 . .a m

b. 9: 00 . .a m

c. 10: 00 . .a m

d.11: 00 . .a m

18) En la siguiente tabla se representa algunos pares ordenados que

pertenecen al gráfico de la función cuadrática h :

.x -1 0 1 3

h x 0 -3 -4 0

De acuerdo con la información anterior, la representación gráfica de la función h

corresponde a:

a. b.

c. d.

358

19) Al racionalizar 5 3

1

x n se obtiene como resultado:

A) 2

xn

x n

B) n xn

x

C) x xn

n

D) 3 2

xn

x n

20) Si 2 6 10x x se expresa de la forma 2

x h k , entonces, k corresponde

a:

a. 1

b. 3

c. 6

d. 10

21) Al factorizar completamente 102 100 2x x y , uno de los factores corresponde a:

a. 100x

b. 102x

c. 2x y

d. 2x y

22) El residuo de 2 2 1x x , corresponde a:

a. 1

b. 2

c. 1

d. 2

359

23) Al efectuar y simplificar al máximo 3

2 3 6

x

x x

, el numerador de la expresión

resultante corresponde a:

a. 1x

b. 1x

c. 3x

d. 3x

24) Al efectuar y simplificar al máximo 2

1 2 4

2

x x

xx x

, el denominador de la

expresión resultante corresponde a:

a. x

b. x

c. 1x

d. 2x


I. La ecuación 2 4x tiene una única solución real.

II. La ecuación 2 5 4x x tiene dos soluciones reales distintas.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

360

26) La siguiente figura representa el cuadrado ABCD :

Una ecuación que permite calcular la longitud " x " del lado del cuadrado,

corresponde a:

a. 2 5x

b. 22 5x

c. 2 25x

d. 22 25x

27) La siguiente figura representa el rectángulo ABCD , donde " x " es la

longitud del ancho:

Si el área del rectángulo es 15 , entonces, el perímetro corresponde a:

a. 13

b. 16

c. 17

d. 30

361

28) La siguiente figura representa el triángulo rectángulo ABC :

¿Cuál es el área de ABC ?

a. 6

b. 9

c. 10

d. 20

Considere el siguiente contexto, para contestar las preguntas 29 y 30:

La función f dada por 25 20f x t t , describe el recorrido de un objeto a los " t "

segundos de haberse lanzado hacia arriba desde el suelo (la altura que alcanza el

objeto se mide en metros y el roce de este con el aire no se considera).

29) ¿Cuántos segundos transcurren desde el momento en que se lanza el

objeto hasta que este regresa al suelo?

a. 4

b. 5

c. 15

d. 20

30) ¿Cuál es la altura máxima, en metros, que alcanza el objeto?

a. 20

b. 25

c. 35

d. 45

363

Capítulo III Estadística

Y Probabilidad

Conceptos clave

1.Cualitativas

2.Cuantitativas

3. Discreta

4.Continua

5.Poligono de

Frecuencia

6.Histograma

7.Distribuciones de

frecuencia

8.Muestras aleatorias

9.Ley de los grandes

números



1. Identifica variables cuantitativas y cualitativas (continuas y discretas)

2. Interpreta la información proporcionada por una tabla de distribución de frecuencia

3. Interpreta Histogramas y polígonos de distribuciones.

4. utiliza el concepto de frecuencia relativa como concepto de aproximación de la

probabilidad.

5. Introduce la ley de los grandes números

Nuestro primer


un paso más para

aprender

364

Introducción

Los diversos medios de comunicación juegan un rol cada vez más importante en la sociedad, aquel ciudadano que posea dominio sobre la información que le

rodea tendrá una mejor oportunidad de desarrollarse dentro de la misma. Los temas de Estadística y Probabilidad se

incluyen desde hace varios años en el currículo tanto de

primaria como de secundaria de muchos países. Debido al carácter instrumental de la Estadística para otras disciplinas

y la importancia de su razonamiento dentro de una sociedad caracterizada por la disposición de información, la necesidad

de analizarla y tomar decisiones basadas en un conjunto de datos, es que se le ha dado importancia a su enseñanza. Este material está

dirigido a docentes de Matemática de secundaria, pretende ser un apoyo para el educador en cuanto a conceptos y tipos de actividades que puede realizar al

abordar el tema de Estadística y Probabilidad

Situación Problema

El director requiere recopilar información del nivel socioeconómico de

las familias que tienen a sus hijos en la institución que él dirige.

Sabemos que en dicha actividad se estableció que las características

del estudio son:

• Número de personas asalariadas pertenecientes al núcleo familiar.

• El salario neto mensual de las personas que conforman el núcleo familiar.

• El nivel de escolaridad que tiene el padre, la madre o el encargado del estudiante.

• El número de personas en primaria, secundaria o en educación superior que

habitan en la vivienda.

• La condición de si la vivienda donde habitan es alquilada, prestada o propia.

• Área de construcción de la vivienda.

• El número de personas que viven en la vivienda.

1. Para cada una de estas variables determine si los datos obtenidos son cantidades

o cualidades. 2. En relación con las variables numéricas, indique si los datos

correspondientes se obtienen por conteo o por medición. 3. En relación con las

variables cualitativas indique si los datos correspondientes pueden ser ordenados

siguiendo algún patrón u orden natural entre ellos

Tema 1 Variables

365


En el cuadro 2 se encuentra la clasificación de las variables según la condición de

numéricas y de cualidad

Cuadro 2. Clasificación de las variables según el tipo de datos que se obtuvieron

En el cuadro 3 se encuentra la clasificación de las variables numéricas.

Cuadro 3. Clasificación de las variables numéricas

366

En el cuadro 4 se encuentra la clasificación de las variables cualitativas.

Cuadro 4. Clasificación de las variables cualitativas

Repaso

Estadística

Es la disciplina que permite recopilar, organizar, sintetizar y analizar datos o hacer

inferencias de ellos.

Población y muestra

La población de un estudio corresponde a la totalidad de los individuos que se

pretende estudiar. Cuando la población es muy grande como para trabajar con

todos sus miembros, se selecciona una parte de ella para hacer el estudio. Esa

selección recibe el nombre de muestra.

Unidad estadística

La unidad estadística es cada uno de los individuos que participan en el estudio.

La Clave

Variables estadísticas

Son las características estudiadas en un trabajo estadístico. Se clasifican

de la siguiente manera:

Tipo de variable estadística Concepto

Cualitativas

Son atributos que no se pueden expresar

con cantidades numéricas. Por ejemplo:

color de cabello, materia abarcada en un

libro, etc.

Cuantitativas

Discretas

Los valores de un intervalo real que se le

pueden asignar son determinados. Por

ejemplo: la talla de los zapatos o la

cantidad de hijos de una persona.

Continuas

Pueden tomar cualquiera de los valores

de un intervalo real. Por ejemplo: la

estatura en metros, el tiempo en

minutos, la masa en kilogramos, etc.

367

Nota Variables cualitativas nominales y ordinales En relación con las características

no numéricas de las unidades estadísticas, se presentan las variables cualitativas,

que también se pueden su clasificar en relación con el tipo de dato que generan.

Como puede notarse, en la variable sexo del jefe del núcleo familiar, los datos

pueden variar en dos categorías: hombre o mujer; pero estas dos categorías

pueden ser colocadas en cualquier orden debido a que no existe prioridad clara

entre ellas, a estas variables se les denomina variables cualitativas nominales.

Por otro lado, cuando se analiza la variable nivel de escolaridad de la persona

encargada del estudiante, se tiene claro que las categorías de escolaridad aunque

son cualidades pueden ser ordenadas naturalmente de menos escolaridad a más

escolaridad o viceversa. En los casos en que se presenta esta situación se dice que

la característica es una variable cualitativa ordinal. Algunos ejemplos de

variables cualitativas nominales son: color de los ojos, religión, preferencia política,

entre otros. Por su parte, algunos ejemplos de variables cualitativas ordinales son:

tallas de las camisas (S, M, L), condición socioeconómica (baja, media, alta), entre

otras.

Nota: A las variables cualitativas se les acostumbra llamar variables categóricas, pues los

datos que generan pertenecen a diferentes categorías. Entonces cuando una variable

cuantitativa se agrupa en clases puede ser analizada como una variable categórica

Ejemplo 1

Clasificar las variables indicadas en cada caso:

Variable

1 Calidad de un producto (bueno, regular o malo)

2 Número de años laborados en una empres

3 Cantidad de artículos diarios vendidos en un negocio

4 Tipo de programa televisivo favorito (noticieros, telenovelas, reality

show, etc)

5 Cantidad de habitantes de una casa

6 Cantidad de litros de gasolina vendidos por un pisteros

368

Solución

Variable Tipo

1 Cualitativa

2 Cuantitativa continua

3 Cuantitativa discreta

4 Cualitativa

5 Cuantitativa discreta

6 Cuantitativa continua

Ejemplo 2

Se desea estudiar, entre otras variables, el peso y la estatura de los

estudiantes de un colegio, con el propósito de evaluar su condición de salud. Una

vez recolectada la información, con los datos se calculó el Índice de Masa Corporal

(IMC) que viene dado por la fórmula:

( )

( )

Peso kgIMC

Estatura m

Una vez determinados los valores numéricos de este índice, tomando en cuenta la

edad y el sexo de los estudiantes, se realizó la siguiente clasificación:

• Peso insuficiente

• Peso normal

• Sobrepeso

• Preobesidad

• Obesidad I

• Obesidad II

• Obesidad extrema

En este caso se puede notar que la variable IMC que originalmente es numérica

se reclasifica en una variable categórica; pero no pierde su sentido pues la

condición de que un estudiante pertenezca a una categoría está en función del

valor numérico de su IMC.

A manera de resumen, el concepto de característica o variable es lo que deseamos

medir o evaluar de la unidad estadística, se puede entonces realizar una

clasificación de las mismas como se presenta en el siguiente esquema:

369

Ejemplo 3 Determine para cada variable contextualizada su clasificación,

a saber: cualitativa (nominal u ordinal) y cuantitativa (continua y discreta).

Variable contextualizada Clasificación de la variable

Estaturas de los integrantes del

equipo de baloncesto de un colegio.

Número de hermanos de cada uno de

los estudiantes de sétimo grado de un

colegio en particular.

Deporte preferido de los estudiantes

de undécimo año.

Color de zapatos de los asistentes a

una fiesta

Nivel de escolaridad de los padres de

familia de los estudiantes de un grupo

guía del docente.

Longitud que hay entre el dedo anular

y el codo de los alumnos del aula.

Cantidad de padres de familia

asistentes a la primera reunión del

año lectivo por nivel, en una

institución en particular.

Temperatura de una persona o su

estado febril utilizando la clasificación

Subfebril o febrícula: Menos de

370

37,5ºC; fiebre ligera: Menos de 38ºC;

fiebre moderada: 38 – 39ºC; fiebre

alta: 40ºC y hiperpirexia: 41ºC.

Solución

Variable contextualizada Clasificación de la variable

Estaturas de los integrantes del

equipo de baloncesto de un colegio.

Cuantitativa continua

Número de hermanos de cada uno de

los estudiantes de sétimo grado de un

colegio en particular.

Cuantitativa discreta

Deporte preferido de los estudiantes

de undécimo año.

Cualitativa nominal

Color de zapatos de los asistentes a

una fiesta

Cualitativa nominal

Nivel de escolaridad de los padres de

familia de los estudiantes de un grupo

guía del docente.

Cualitativa ordinal

Longitud que hay entre el dedo anular

y el codo de los alumnos del aula.

Cuantitativa continua

Cantidad de padres de familia

asistentes a la primera reunión del

año lectivo por nivel, en una

institución en particular.

Cuantitativa discreta

Temperatura de una persona o su

estado febril utilizando la clasificación

Subfebril o febrícula: Menos de

37,5ºC; fiebre ligera: Menos de 38ºC;

fiebre moderada: 38 – 39ºC; fiebre

alta: 40ºC y hiperpirexia: 41ºC.

Cualitativa ordinal

371

Ejemplos

1) Salario: ¢100 000, ¢85 000,...

2) Edad: 21 años, 14 años,...

3) Sexo: Masculino, Femenino.

4) Estado Civil: soltero(a), casado(a),...

Ejemplo

1) Estatura: 1,70m; 1,64m; 5m...

2) Peso: 64,5Kg, 60Kg, 72,8Kg,...

3) Edad: 20 años, 18 años,...

4) Cantidad de estudiantes por sección: 30, 34, 28,...

Ejemplo Clasifique las siguientes variables en cualitativa, cuantitativa

discreta o cuantitativa continua

Cuantitativa

Característica Cualitativa Discreta Continua

Raza de perros X

Gastos semanales de una

compañía (excesivos, moderados, bajos)

X

La temperatura de un

estudiante

X

La condición socioeconómica

de una familia (alta, regular, baja)

X

Duración de una llamada

telefónica

X

Extensión, en 𝑚2 de un terreno X

Sueldo mensual de una persona

X

Clases de insectos X

Variables cuantitativas

Variables cualitativas

Variables cuantitativas continuas

Variables cuantitativas discretas

372

Cantidad de personas de una familia

X

El número de camisas de un armario

X

El mes en que cumple años

los estudiantes de un grupo de noveno

X

El equipo de fútbol preferido de un grupo

X

Especies de árboles X

Distancia recorrida por un carro

X

Velocidad de un avión X

Número de perros en una familia

X

Edad de una persona(niño, joven, adulto, anciano)

X

Cantidad de materias que

aprueba un joven en un trimestre

X

Ingresos recibidos anualmente por una empresa

X

Religión que se profesa X

Ejercicios 1.Clasifique las variables estadísticas siguientes en

cualitativas y cuantitativas

a) Llamadas telefónicas de una familia en un día.

b) Duración de llamadas telefónicas.

c) Precios de los libros que se venden en una librería.

d) Saques de esquina de los partidos de fútbol.

e) Intención del voto en las próximas elecciones.

f) Personas que conviven en un domicilio.

g) Longitud de las palabras en un texto.

373

h) Número de estaciones de radio.

i) Categorías profesionales.

j) Áreas territoriales.

k) Clases de insectos.

l) Calidad del producto.

2. Clasifique las variables estadísticas siguientes en discretas y continuas

a) El número de tomates producidos por cada planta en un invernadero de 100

m2 de superficie.

b) Las temperaturas registradas cada 12 horas en un invernadero.

c) El número de goles marcados cada semana en primera división.

d) La presión atmosférica registrada cada día en le observatorio del volcán Irazú.

e) La velocidad de un automóvil durante un viaje.

f) Los tamaños de los recién nacidos registrados en la sección maternidad del

Hospital De La Mujer.

g) Los puntos obtenidos en la tirada de un par de dados.

h) El número de litros de gasolina en el tanque de su carro.

i) El número de pantalones de su armario.

j) El peso de un niño durante el primer año de su vida.

374

k) La longitud de cable eléctrico producidos por una fábrica

3. Clasifique la siguiente lista de características como variables cualitativa o

cuantitativa ya sea discreta o continua.

Características Cualitativa Cuantitativa

1) Razas de perros

2) Gastos semanales de una compañía

(excesivos, moderados o bajos)

3) La temperatura de un estudiante.

4) El color de los ojos de una mujer.

5) Puesto que desempeña un trabajador.

6) La condición socioeconómica de un trabajador (alta, baja, regular).

7) Edad de una persona (niño, joven, adulto,

anciano).

8) Duración de una llamada telefónica.

9) Estado civil de los profesores.

10) Clases de insectos.

11) Religión que profesa.

12) Cantidad de gasolina requerida por un

automóvil (en litros).

13) El número de camisas que hay en un

armario.

14) Consumo de electricidad por vivienda.

15) El área del cantón de Escazú.

16) Peso de los estudiantes.

17) Estatura de un jugador de baloncesto.

18) La velocidad que viaja un avión.

19) Tipos de papel.

20) La altitud de un cerro.

21) Cantidad de carros que posee una

familia.

22) Ingresos familiares en colones.

23) Distancia recorrida por un automóvil.

24) Estatura de una persona en

centímetros.

25) Densidad poblacional de Costa Rica.

26) La escolaridad de una persona.

27) Salario de un trabajador.

28) Número de hijos de una familia.

29) Edad de una persona en años.

30) Mi equipo de fútbol preferido.

375

31) El número de años trabajados por los empleados de una empresa.

32) El mes en que cumplo años.

33) El número de turistas que vienen al país cada año.

34) Especies de árboles.

35) El número de personas que van de

romería a Cartago.

36) El consumo de agua por vivienda en m3.

37) Calidad de un producto.

38) La longitud de una faja.

39) La cantidad de pintura necesaria para pintar una casa.

40) El número de lapiceros que hay en una

cartuchera.

Distribuciones de frecuencias

La frecuencia de una variable estadística se refiere a cuántas veces se

repite cada valor en una lista. Se pueden identificar tres tipos:

Tipo de frecuencia Concepto

Absoluta Cantidad exacta de veces que se repite el valor o de

valores del intervalo.

Relativa Corresponde a la frecuencia absoluta dividida por el

total de datos.

Relativa porcentual Es la frecuencia relativa multiplicada por 100. Se

expresa con la notación de porcentaje.

Frecuencias acumuladas

Se trata de sumar las frecuencias indicadas (cualquiera de los tres tipos existentes)

hacia arriba (más de) y hacia abajo (menos de). Si el cálculo ha sido correcto, los

resultados de la última frecuencia acumulada deben ser los siguientes:

Frecuencia absoluta: el total de los datos obtenidos.

Frecuencia relativa: 1.

Frecuencia relativa porcentual: 100%.

Dependiendo del tipo de variable, este tipo de distribuciones se trabaja de forma

diferente.

376

Ejemplo

De acuerdo con los datos que se le presentan, correspondientes a las

edades de los empleados de un Call Center, en años cumplidos, elabore una

distribución de frecuencias:

Solución

Ejemplo 2

En un grupo 25 niños de kínder se le preguntó a cada niño por la cantidad de

mascotas que hay en su casa. Las respuestas obtenidas fueron las siguientes:

Elabore una

distribución de frecuencias simple y otras dos incluyendo las frecuencias

acumuladas más de y menos de.

24 23 21 24 23 21 23 24 25 23

22 22 24 25 23 21 22 21 23 24

21 21 21 23 22 22 22 24 21 22

24 25 23 22 21 23 24 25 23 21

22 23 24 21 22 22 24 23 25 21

Dato Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

Frecuencia

relativa

porcentual

21 12 0,24 24%

22 11 0,22 22%

23 12 0,24 24%

24 10 0,20 20%

25 5 0,10 10%

Total 50 1 100%

1 0 2 3 4 0 4 3 1 1 0 4 3 4 2

1 2 3 1 2 2 3 2 1 1

377

Solución

La distribución con las frecuencias simples es la siguiente:

Calculando las frecuencias acumuladas con los datos anteriores, se obtienen las

siguientes distribuciones de frecuencias:

Más de (hacia arriba):

Dato Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

Frecuencia

relativa

porcentual

0 3 0,12 12%

1 7 0,28 28%

2 6 0,24 24%

3 5 0,20 20%

4 4 0,16 16%

Total 25 1 100%

Dato Frecuencia

absoluta

Más

de

Frecuencia

relativa

Más

de

Frecuencia

relativa

porcentual

Más

de

0 3 25 0,12 1 12% 100%

1 7 22 0,28 0,88 28% 88%

2 6 15 0,24 0,60 24% 60%

3 5 9 0,20 0,36 20% 36%

4 4 4 0,16 0,16 16% 16%

378

Menos de(hacia abajo):

Como se puede ver en las dos distribuciones, la última frecuencia acumulada

cumple las condiciones dadas para la última en calcularse. En este caso, por ser 25

niños, la última frecuencia absoluta acumulada da 25, la última relativa acumulada

da como resultado 1 y la última relativa porcentual acumulada da como resultado

100%.

La frecuencia absoluta para las variables cuantitativas continuas se trabaja por

intervalos, pues todos los valores son diferentes. Antes de introducir cómo se

trabajan, es necesario aclarar algunos conceptos:

Concepto Descripción

Amplitud general, rango

o recorrido

Es la diferencia entre el mayor valor y el

valor menor que toma la variable. Para

poder determinarlo, es necesario ordenar los

datos.

Clase o intervalo Es un conjunto que contiene al menos un

dato estadístico. Se sugiere calcular la

cantidad de clases como √𝑛, donde 𝑛

corresponde a la totalidad de datos. Siempre

se redondea. Se recomienda que sean entre

5 y 10.

Amplitud de clase Es el tamaño de cada clase. Se obtiene al

dividir el rango por la cantidad de clases.

Siempre se redondea.

Dato Frecuencia

absoluta

Menos

de

Frecuencia

relativa

Menos

de

Frecuencia

relativa

porcentual

Menos

de

0 3 3 0,12 0,12 12% 12%

1 7 10 0,28 0,40 28% 40%

2 6 16 0,24 0,64 24% 64%

3 5 21 0,20 0,84 20% 84%

4 4 25 0,16 1 16% 100%

379


Límites de clase Son los valores que delimitan las clases. El

límite menor (o inferior) es el mínimo valor

de la clase, mientras que el límite mayor (o

superior) corresponde al máximo valor de la

clase. Generalmente se utiliza una menor

unidad para determinarlos. Por ejemplo, si

los datos son números enteros, los límites se

determinan con números que contengan una

posición decimal (décimas), tales que el

primer límite menor sea más pequeño que el

menor dato y que el último límite superior

sea más grande que el dato mayor. De ser

necesario, se agrega una clase adicional, de

modo que todos los datos estén dentro de

una.

Marca de clase Es el valor medio de la clase se obtiene al

sumar el límite superior y el límite inferior y

luego dividir ese resultado por 2.

Frecuencia absoluta de

la clase

Corresponde a la cantidad de datos que

pertenecen a la clase, por lo que éstos

pueden ser diferentes.

Frecuencia relativa de la

clase

Corresponde a la frecuencia absoluta de la

clase dividida por el total de datos.

Frecuencia relativa

porcentual

Es la frecuencia relativa multiplicada por 100.

Se expresa con la notación de porcentaje.

Ejemplo

Elabore una tabla de frecuencias que permita agrupar los datos del

siguiente contexto:

380

SoluciónPrimero se debe determinar el dato mayor (96) y el dato menor (13).

Así, se tienen los siguientes cálculos:


Amplitud general, rango

o recorrido 96 − 13 = 83

Clase o intervalo La cantidad de clases es √40 ≈ 6.

Amplitud de clase 83 ÷ 6 ≈ 14

Límites de clase

Como el menor valor es 13, se comenzará la primera clase en 13 −

0,5 = 12,5. Los siguientes límites son:

12,5 + 14 = 26,5

26,5 + 14 = 40,5

40,5 + 14 = 54,5

54,5 + 14 = 68,5

68,5 + 14 = 82,5

82,5 + 14 = 96,5

Marca de clase

Las marcas de las seis clases son:

(12,5 + 26,5) ÷ 2 = 19,5

(26,5 + 40,5) ÷ 2 = 33,5

(40,5 + 54,5) ÷ 2 = 47,5

(54,5 + 68,5) ÷ 2 = 61,5

(68,5 + 82,5) ÷ 2 = 75,5

(82,5 + 96,5) ÷ 2 = 89,5

Las notas de 40 estudiantes en un examen de Francés fueron las siguientes:

84 70 81 63 90 91 81 35 85 84

89 73 48 73 56 79 78 43 86 74

93 63 59 96 76 13 75 86 95 30

73 31 79 53 71 68 55 83 81 18

381

De esta manera, la distribución de frecuencias solicitada quedaría como sigue:

Clase Marca de

la clase

Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

Frecuencia relativa

porcentual

[12.5,26.5[ 19,5 2 0,05 5%

[26.5,40.5[ 33,5 3 0,075 7,5%

[40.5,54.5[ 47,5 3 0,075 7,5%

[54.5,68.5[ 61,5 6 0,15 15%

[68.5,82.5[ 75,5 14 0,35 35%

[82.5,96.5[ 89,5 12 0,30 30%

Total 40 1 100%

Ejemplo

Elabore una tabla de frecuencias que permita agrupar los datos del siguiente

contexto:

Se efectúa un estudio de acuerdo a una muestra de 50 automóviles de una

determinada marca, con respecto al consumo de combustible en litros

redondeados a la unidad más próxima, cuando el vehículo abarca una

distancia de 350 kilómetros:

27 34 31 29 27 24 23 36 37 31

38 36 36 36 34 32 38 25 38 26

22 32 36 27 27 32 28 31 28 39

18 20 25 27 33 37 40 37 26 36

20 26 40 21 35 35 22 24 28 19

382

Solución

Primero se debe determinar el dato mayor (40) y el dato menor (18). Así, se tienen

los siguientes cálculos:


Amplitud general, rango o recorrido 40 − 18 = 22

Clase o intervalo La cantidad de clases es √50 ≈ 7.

Amplitud de clase 22 ÷ 7 ≈ 3

Límites de clase Como el menor valor es 18, se comenzará la

primera clase en 18 − 0,5 = 17,5.

Los siguientes límites son: 17,5 + 3 = 20,5

20,5 + 3 = 23,5

23,5 + 3 = 26,5

26,5 + 3 = 29,5

29,5 + 3 = 32,5

32,5 + 3 = 35,5

35,5 + 3 = 38,5

38,5 + 3 = 41,5

Debido a que la sétima clase no llega al

máximo valor, se añade una clase más.

383


Marca de clase Las marcas de las ocho clases son:

(17,5 + 20,5) ÷ 2 = 19

(20,5 + 23,5) ÷ 2 = 22

(23,5 + 26,5) ÷ 2 = 25

(26,5 + 29,5) ÷ 2 = 28

(29,5 + 32,5) ÷ 2 = 31

(32,5 + 35,5) ÷ 2 = 34

(35,5 + 38,5) ÷ 2 = 37

(38,5 + 41,5) ÷ 2 = 40

De esta manera, la distribución de frecuencias solicitada quedaría como sigue:

Clase Marca de

la clase

Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

Frecuencia relativa

porcentual

[17.5,20.5[ 19 4 0,08 8%

[20.5,23.5[ 22 4 0,08 8%

[23.5,26.5[ 25 7 0,14 14%

[26.5,29.5[ 28 9 0,18 18%

[29.5,32.5[ 31 6 0,12 12%

[32.5,35.5[ 34 5 0,10 10%

[35.5,38.5[ 37 12 0,24 24%

[38.5,41.5[ 40 3 0,06 6%

Total 50 1 100%

384

Ejercicios

A) Don David, por su experiencia en Mercadeo y por conocer algo de

Psicología del Consumidor le piden que evalué la aceptación de un Perfume en cada dama el lo realiza a través de une encuesta de 40

damas, donde mide la opinión de éstas con punteos de una a cien.

El cuadro siguiente registra la información obtenida.

PUNTEOS SOBRE LA OPINIÓN DEL PERFUME

68 73 62 66 96 79 65 86 84 79

65 78 78 62 80 67 75 88 75 82

89 67 73 74 82 73 87 75 61 97

57 81 68 60 74 94 75 78 88 72

Punteos Mujeres Frecuencia Frecuencia

Absoluta

Frecuencia

Relativa

Frecuencia

Acumulada

Frecuencia

Acumulada

Relativa

56 – 60

61 – 65

66 – 70

71 – 75

76 – 80

81 – 85

86 – 90

91 – 95

96 – 100

385

2Estaturas en centímetros de una muestra de 35 varones adultos

156 166 173 178 183 159 168

160 170 174 179 185 163 171

164 175 175 181 187 165 172

165 172 177 182 188 178 173

187 185 184 182 180 176 175

Punteos Mujeres Frecuencia Frecuencia

Absoluta

Frecuencia

Relativa

Frecuencia

Acumulada

Frecuencia

Acumulada

Relativa

156 – 163

164 – 171

172 – 179

180 – 187

188 – 195

3. Construya una tabla de frecuencias absolutas y frecuencias relativas para cada

uno de los siguientes problemas. (Sugerencia: para aquellos estudiantes que

tengan acceso a una computadora, utilizar Microsoft Excel para la construcción de

las distribuciones de frecuencia)

a) Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes calificaciones.

3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26,

20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13

b) Los miembros de una comunidad pequeña tienen las siguientes edades:

42 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 45 35 30 35 47 53 49 50 49 38 45 28 41

47 42 53 32 54 38 40 63 48 33 35 61 47 41 55 53 27 20 21 42 21 39 39 34 45 39

28 54 33 35 43 48 48 27 53 30 29 53 38 52 54 27 27 43 28 63 41 23 58 56 59 60

40 24

386

c) Investigados los precios de un mismo artículo en diferentes locales comerciales

de una ciudad se han obtenido los siguientes resultados

700 300 500 400 500 700 400 750 800 500 500 750 300 700 1000 1500 500 750

1200 800 400 500 300 500 1000 300 400 500 700 500 300 400 700 400 700 500

400 700 1000 750 700 800 750 700 750 800 700 700 1200 800

d) Puntajes obtenidos por los 100 candidatos que se presentaron a un concurso:

38 51 32 65 25 28 34 12 29 43 71 62 50 37 8 24 19 47 81 53 16 62 50 37 4 17

75 94 6 25 55 38 46 16 72 64 61 33 59 21 13 92 37 43 58 52 88 27 74 66 63 28

36 19 56 84 38 6 42 50 98 51 62 3 17 43 47 54 58 26 12 42 34 68 77 45 60 31

72 23 18 22 70 34 5 59 20 68 55 49 33 52 14 40 38 54 50 11 41 76

4. Considere la siguiente tabla de frecuencias y determine

a) ¿Cuántos estudiantes tiene una nota

menor a 60?

b) ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene

una nota menor a 70?

c) ¿Cuál es el intervalo de clase que tiene

mayor frecuencia?

d) ¿Cuál es el intervalo de clase que tiene

menor frecuencia?

e) ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene

una nota de 75o más?

f) ¿Cuál es el límite inferior de la primera

clase?

g) ¿Cuál es el límite superior de la última

clase?

387

5. Considere la siguiente tabla de frecuencias y determine

1) ¿Cuántos empleados tiene una edad menor a 40?

2) ¿Qué porcentaje de empleados tiene una edad menor a 60?

3) ¿Cuál es el intervalo de clase que tiene mayor frecuencia?

4) ¿Cuál es el intervalo de clase que tiene menor frecuencia?

5) ¿Qué porcentaje de empleados tiene una edad de 50o más?

6) ¿Cuál es el límite inferior de la segunda clase?

7) ¿Cuál es el límite superior de la cuarta clase

Gráficos estadísticos

Con los datos ordenados en distribuciones de frecuencias, y utilizando

para rotular las clases los límites o las marcas, es posible resumir los

resultados por medio de la elaboración de dos tipos de gráficos:

histogramas y polígonos de frecuencias. Como cada uno tiene sus características

particulares, se presentan por separado.

Histograma: es un gráfico de barras verticales que representa las frecuencias

absolutas o relativas de cada clase, donde cada clase se representa con sus

límites o con su marca. Las barras, a diferencia de los gráficas para variables

cuantitativas discretas, no tiene separaciones entre la barras.

Para el ejemplo anterior, si se elabora un histograma que represente los datos

obtenidos, rotulando las clases con sus límites, se tendría el siguiente:

388

Al rotular las clases con la marca de cada una, se resumen los datos en el siguiente

histograma:

Polígono de frecuencias: es un gráfico en el que se representa las frecuencias

absolutas o relativas de cada clase, donde cada clase se representa con su

marca. Para establecer una conexión se ubica un punto que una cada marca

o representación con los límites de la clase con su frecuencia (absoluta o

relativa). Y, finalmente, se unen los puntos, de dos en dos, con una línea

recta.

389

Así, si para el ejemplo anterior, si se elabora un polígono de frecuencias que

represente los datos obtenidos, se tendría el siguiente:

Al rotular las clases con los límites de cada una, se resumen los datos en el siguiente

polígono de frecuencias:

390

Interpretación de distribuciones de frecuencias y gráficos estadísticos con

variables cuantitativas continuas

Siendo realistas, se debe admitir que todos los días interpretamos distribuciones

de frecuencias y gráficos estadísticos, aunque no necesariamente somos

conscientes de ello. Constantemente vemos resultados de elecciones en algún país

del mundo, resultados de aprobación en bachillerato, tablas de posiciones de los

equipos de alguna competencia deportiva, entre otros. Sin embargo, en ocasiones

se interpretan los datos de forma errónea.

Ejemplo

Se tiene los datos del Censo realizado en el 2011 en Costa Rica, relativos a la

asistencia a la educación regular en Costa Rica, de acuerdo con la edad de los

costarricenses mayores de 5 años:

Grupo de

edad

Población

de 5 años y

más

Total que

asiste a la

educación

regular

Kínder o

preparatoria,

escuela o

colegio

Parauniversitaria

o universidad

Enseñanza

especial

Total 3 962 995 1 194 587 891 100 300 447 3 040

5 a 9 años 342 057 308 936 307 972 - 964

10 a 14 años 387 056 352 522 351 424 - 1 098

15 a 19 años 405 176 239 722 187 654 51 304 764

20 a 24 años 410 480 136 999 20 958 115 827 214

25 a 29 años 378 424 69 624 8 244 61 380 -

30 a 34 años 332 897 35 426 4 750 30 676 -

35 a 39 años 288 071 18 183 3 036 15 147 -

40 a 44 años 282 914 11 850 2 096 9 754 -

45 a 49 años 267 747 8 648 1 463 7 185 -

50 a 54 años 235 256 5 549 1 103 4 446 -

55 a 59 años 183 581 3 246 793 2 453 -

60 a 64 años 137 624 1 934 640 1 294 -

65 a 69 años 103 528 872 353 519 -

70 a 74 años 78 054 502 262 240 -

75 años y más 130 130 574 352 222 -

Fuente: http://www.inec.go.cr/Web/Home/GeneradorPagina.aspx

391

De acuerdo con este cuadro, responda las siguientes preguntas:

Solución

Para responder, se deben considerar ciertos parámetros. Así:

1. El total de personas inscritas en el sistema educativo regular que tenían entre

20 y 24 años era de 136 999, mientras que el total de habitantes con esas

edades era de 410 480, por lo que el porcentaje se obtiene al resolver

(136 999 ÷ 410 480) × 100 ≈ 33,4%.

2. El total de personas inscritas en las instituciones universitarias o

parauniversitarias era de 300 447, mientras que, de ese grupo, 7185 tenían

entre 45 y 49 años. De esta manera, el porcentaje se obtiene al resolver la

operación (7185 ÷ 300 447) × 100 ≈ 2,4%.

3. Entre los datos de las instituciones de enseñanza especial, el mayor es 10989

personas, que corresponde a las personas que tenían entre 10 y 14 años.

4. Para la educación regular en general se tienen los siguientes datos: de 50 a

54 años, habían 5549 personas inscritas, de 55 a 59 años, 3246 personas,

de 60 a 64 años, 1934 personas, de 65 a 69 años, habían 872 personas, de

70 a 74 años, 502 personas y mayores de 75 se tenía un total de 574

personas estudiando en el sistema educativo regular. Así, el total de personas

mayores de 50 años que estaban inscritas en el sistema educativo regular

corresponde a la frecuencia acumulada más de hasta la clase que inicia en

50, es decir, 5549 + 3246 + 1934 + 872 + 502 + 574 = 12677.

5. Para las personas que tenían entre 25 y 29 años, el total era de 8244.

a. ¿Qué porcentaje de las personas que tenían entre 20 y 24 años se

encontraban inscritas en el sistema educativo regular?

b. ¿Qué porcentaje de las personas que asistían a las instituciones

parauniversitarias o universitarias tenían entre 45 y 49 años?

c. ¿Cuál es el grupo de edad que tenía más personas inscritas en los

centros de enseñanza especial?

d. ¿Cuántas personas mayores de 50 años asistían a la educación

regular?

e. ¿Cuántas personas que estudiaban en kínder, escuela o colegio

tienen entre 25 y 29 años?

392

Ejemplo

Con respecto al histograma adjunto, responda las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es la clase con la mayor frecuencia de longitudes de los caminos

asfaltados?

2. ¿Cuál es el porcentaje de los caminos asfaltados cuya longitud está entre los

5,5 y los 7,5 kilómetros?

3. ¿Cuántos caminos asfaltados tienen su longitud entre los 7,5 y los 11,5

kilómetros?

Solución

Respetando los parámetros a utilizar, las respuestas son las siguientes:

1. Como la columna de la primera clase es la más alta, entonces la clase con

la mayor frecuencia es la de las longitudes entre 2,5 y 3,5 kilómetros.

2. El total de caminos corresponde a 6 + 3 + 4 + 2 = 15 y los caminos cuya

longitud está entre 5,5 y 7,5 kilómetros son 4, por lo que el porcentaje se

calcula al resolver (4 ÷ 15) × 100 ≈ 26,7%.

3. La respuesta corresponde a la frecuencia absoluta de esa clase, que

corresponde a 2 caminos asfaltados.

393

Ejemplo 10

Interprete la información del siguiente polígono de frecuencias:

1. ¿Cuál es la clase donde se ubican los kilogramos rebajados por la mayor

cantidad de personas?

2. ¿Cuántas personas rebajaron entre 1,5 y 4,5 kilogramos?

3. ¿Qué porcentaje de las personas perdió entre 4,5 y 5,5 kilogramos?

Solución

1. La respuesta corresponde a la clase con la mayor frecuencia absoluta, que es

la tercera, es decir la clase que va de 3,5 a 4,5 kilogramos.

2. Para responder a esta pregunta, es necesario identificar las clases

involucradas: de 1,5 a 2,5, hay un total de 6 personas. De 2,5 a 3,5, hay un

total de 8 personas y, finalmente, de 3,5 a 4,5 hay un total de 10 personas.

Así, el total de personas que perdieron entre 1,5 y 4,5 kilogramos

corresponde a 6 + 8 + 10 = 24.

3. El título del gráfico indica que el total de personas fue 30. Y, de acuerdo con

los datos del gráfico, un total de 6 personas perdió entre 4,5 y 5,5 kilogramos.

Así, el porcentaje se obtiene al resolver (6 ÷ 30) × 100 = 20%.

394

Muestras aleatorias

La muestra en un trabajo estadístico se utiliza cuando la población es muy

grande como para estudiar a todos sus miembros uno por uno. El

muestreo es la técnica utilizada para determinar la muestra a partir de una

población. Existen tres tipos de muestreo, que determinan los tres tipos de muestra

utilizados:

Aleatoria: se determina la muestra utilizando el azar.

Determinista: la muestra se determina a conveniencia de las personas que

llevan a cabo el estudio, por ejemplo, por facilidad de acceso a los

informantes, entre otras razones.

Censo: la población no es muy grande, por lo que se realiza el estudio con la

totalidad de los individuos que la conforman.

Ejemplo

Clasifique el muestreo de las siguientes situaciones, definiendo si la muestra

utilizada es aleatoria, determinista o si corresponde a un censo:

1. En un grupo de estudio hay 8 miembros y se quiere saber cuál es su color

favorito, se les pregunta uno por uno.

2. Para estudiar la ingesta de frutas en los estudiantes de primaria, se estudia

a todos los estudiantes de un grupo en varias escuelas cercanas a la casa de

los que realizan el estudio.

3. Se hace una encuesta para saber cuál emisora de radio es la más escuchada,

para ello se escoge una parte de la población y se le consulta por medio de

una llamada telefónica.

4. Al repartir los premios de una rifa, se asigna un número a cada participante

y se van seleccionando números al sacarlos de una tómbola.

5. En un equipo de fútbol se toma las medidas a cada uno de los jugadores para

elaborar el nuevo uniforme.

6. Para estudiar la presencia de las caries en los estudiantes de secundaria, se

estudia a todos los estudiantes de un solo cantón.

Solución

1. En el estudio se utiliza un censo.

2. En el estudio se utiliza una muestra determinista.

3. En el estudio se utiliza una muestra aleatoria.

4. En el estudio se utiliza una muestra aleatoria.

5. En el estudio se utiliza un censo.

6. En el estudio se utiliza una muestra determinista.

395

Ejercicios

1. Clasifique las siguientes variables como cualitativas o

cuantitativas (discretas o continuas):

a) Estado civil de una persona

b) Estatura en centímetros

c) Estatura en metros

d) Edad en años cumplidos

e) Color de ojos

f) Precio de un producto en dólares

g) Cantidad de masa en kilogramos

h) Altura de un edificio en metros

i) Temperatura en grados Celsius

j) Equipo favorito de fútbol

2. Elabore una distribución de frecuencias, incluyendo las acumuladas “más de”,

para las calificaciones obtenidas por un grupo de 33 estudiantes en un

examen de Filosofía:

85 53 83 83 100 100 98 98 75 17 67

83 90 67 100 82 58 98 67 98 100 68

98 100 77 100 90 82 84 100 95 62 22

3. En una tarea de Química, 32 estudiantes obtuvieron las siguientes

calificaciones:

91 85 59 79 91 79 96 94

46 59 91 75 60 96 79 78

75 79 93 91 98 83 51 98

59 79 83 83 90 91 36 93

Elabore una distribución de frecuencias simples (absoluta, relativa y relativa

porcentual) y responda las siguientes preguntas:

a) Si se aprueba con 70 como nota mínima, ¿cuántas personas aprobaron?

b) ¿Cuál es la clase donde se ubica la mayor cantidad de estudiantes?

396

4. El histograma adjunto representa la distribución de las calificaciones de un

grupo de estudiantes en un examen de Psicología. Con base en sus datos,

responda las siguientes preguntas:

Fuente: https://lauracaleroncaballero.files.wordpress.com/2010/03/dibujo.jpg

a) ¿Cuántos estudiantes tiene el grupo?

b) Si para aprobar la prueba la nota mínima es 70, ¿cuántos estudiantes

reprobaron?

c) ¿En cuál clase hubo menos estudiantes?

d) ¿Cuáles son las dos clases donde hubo más estudiantes?

e) ¿Cuál es el límite superior de la tercera clase?

f) ¿Cuál es el límite inferior de la sétima clase?

g) ¿Cuántas clases hay?

5. Considere los datos del polígono de frecuencias adjunto, donde se presentan

las masas, en kilogramos, de los niños de una escuela, para responder las

siguientes preguntas:

397

Fuente: https://sites.google.com/site/excelestadistico1/unidades/continuacion-unidad-iv

a) ¿Cuántas clases hay?

b) ¿Cuántos niños hay en la escuela?

c) ¿Cuántos niños tienen una masa de más de 50 kg?

d) ¿Cuántos niños tienen una masa de menos de 48 kg?

e) ¿Cuál es el límite superior de la sexta clase?

f) ¿Cuál es el límite inferior de la tercera clase?

g) ¿Cuál es la clase que representa más niños?

6. Determine el tipo de muestreo que se utiliza en cada caso (censo, aleatorio

o determinista):

a) Se pregunta a los estudiantes de sétimo año por su bebida favorita. El estudio

se hace para ver las preferencias de los estudiantes de todo el colegio.

b) Se elige a los representantes de una sección para una competencia deportiva

asignando un número a cada estudiante y se saca de una bolsa cinco papeles

con los números de los elegidos.

c) Se hace un estudio donde se quiere saber el programa favorito de los

seguidores de una emisora. Se hace la pregunta a cada aficionado que llama

a sus líneas durante un día.

d) Se utilizan los números de tres páginas de un directorio telefónico para

investigar si una marca nueva de chocolates es conocida por los

consumidores.

e) De cada cinco llamadas que ingresan a un programa televisivo en vivo se

elige una para que el televidente interactúe con los presentadores.

f) Para determinar la estatura promedio de un grupo de niños de primer grado,

la maestra mide la estatura de todos los niños.

g) Para determinar la materia favorita de los estudiantes de noveno año, se le

hace la pregunta a los estudiantes del 9-1.

398

7. El histograma adjunto, rotulado con las marcas de cada clase, representa las

masas, en kilogramos, de los miembros de una familia. Responda con base

en sus datos las siguientes preguntas:

Fuente: http://cbpacedi1.blogspot.com/2011/03/

a) ¿Cuántos intervalos de clase hay?

b) ¿Cuál es la marca de la cuarta clase?

c) ¿En cuál clase hay más miembros de la familia?

d) ¿En cuál clase hay menos miembros de la familia?

e) ¿Cuál es la marca de la primera clase?

f) ¿Cuál es la marca de la última clase?

8. Elabore un histograma y un polígono de frecuencias para la siguiente

distribución de frecuencias:

Edades de los integrantes de un grupo de baile

Edades Integrantes

[14.5, 19.5[ 7

[19.5, 24.5[ 9

[24.5, 29.5[ 10

[29.5, 34.5[ 5

[34.5, 39.5[ 3

[39.5, 44.5[ 6

Total 40

401

Situación Problema

a) Nos presentamos a un supermercado a comprar un litro de aceite, y

aunque el contenido del recipiente dice 1000 ml, tenemos la duda de

si efectivamente estos recipientes contienen esta cantidad, por lo que estamos

interesados en determinar la probabilidad que el recipiente tenga menos de un litro

tal como dice la etiqueta. ¿Cómo se podría enfrentar este problema? b) Existe la

creencia entre la población que en un embarazo cualquiera es igualmente probable

que la criatura sea niño o niña; no obstante, los datos indican que en una población

hay más mujeres que hombres. ¿Cómo comprobar si son igualmente probables? c)

Se ha afirmado que la probabilidad de que una persona fumadora muera de una

enfermedad asociada con el consumo del cigarrillo es aproximadamente de un

medio. ¿Cómo creen que ha sido posible estimar esta relación?

Análisis del Problema

En relación con las interrogantes, queda claro que es imposible conocer el espacio

muestral, por ello se requiere un análisis particular para cada caso:

a) Ante la imposibilidad de analizar todos los recipientes con aceite que se

producen, si se toma una muestra aleatoria de 50 de éstos y se mide su contenido

se puede tener una aproximación a la probabilidad de que un recipiente contenga

menos de un litro, por medio de la frecuencia relativa del subconjunto de la muestra

que contiene menos de un litro de aceite.

b) Del mismo modo, para estimar la probabilidad de que nazca un niño como

producto de un embarazo cualquiera, se puede tomar una muestra aleatoria de

varios nacimientos y determinar la frecuencia relativa de nacimientos varones con

respecto al total de nacimientos considerados.

c) Finalmente, haciendo un análisis de defunciones para las cuales se sabe que en

vida la persona era fumadora y determinando la causa de la muerte, sería posible

aproximar la probabilidad de que una persona fumadora muera por causa de una

enfermedad vinculada con el fumado.

Tema 2 Probabilidad

402

La Clave

Probabilidad

Dentro del estudio de la probabilidad se utilizan los siguientes conceptos:

1) Espacio muestral: Corresponde al conjunto de resultados que se puede

obtener al realizar un experimento.

2) Punto muestral: Es cada uno de los elementos del espacio muestral.

3) Casos favorables: Puntos muestrales que satisfacen la o las características

que indica un evento.

4) Probabilidad clásica o laplaciana:

Se utiliza cuando el espacio muestral es relativamente pequeño.

Debe su nombre a Pierre-Simon Laplace

Corresponde a dividir el total de casos favorables por el total de casos

posibles:

𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 =𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

Reglas:

1. La probabilidad de un evento imposible es igual a 0.

2. La probabilidad de un evento probable corresponde a un número

decimal, ubicado entre 0 y 1.

3. La probabilidad de un evento seguro es 1.

5) Evento: conjunto de puntos muéstrales de un experimento.

6) Tipos de eventos:

Clasificación por la cantidad de casos favorables:

a. Simple: solo tiene un caso favorable.

b. Compuesto: tiene más de un caso favorable.

c. Imposible o improbable: no tiene casos favorables.

d. Posible o probable: tiene al menos un caso favorable y uno no

favorable.

e. Seguro: todos los puntos muéstrales son casos favorables.

Clasificación por comparación de dos eventos A y B:

a. Más probable: A es más probable que B si tiene más casos favorables.

b. Menos probable: A es menos probable que B si tiene menos casos

favorables.

c. Igualmente probable: A es igualmente probable que B si tienen la

misma cantidad de casos favorables.

d. Mutuamente excluyentes: un evento es probable o seguro mientras

que el otro es imposible

403

Ejemplo

Determinar la probabilidad de obtener un escudo al lanzar una moneda.

Solución

Se tiene un total de dos eventos posibles: se obtiene un escudo o se obtiene una

corona. Sin embargo, solo se tiene un evento favorable: obtener un escudo. La

probabilidad en este caso sería el resultado de 1 ÷ 2 = 0,5.

Ejemplo

Determinar la probabilidad de obtener un número mayor que 4 cuando se lanza un

dado.

Solución

El total de eventos posibles es de seis: obtener un 1, un 2, un 3, un 4, un 5 o un

6. No obstante, el total de eventos favorables es de dos: se obtiene un 5 o se

obtiene un 6. La probabilidad en este caso corresponde a 2 ÷ 6 = 0,33.

La Clave

Probabilidad frecuencial Se utiliza cuando el espacio muestral es

muy grande. En este tipo de casos, se elige una muestra y frecuencia

relativa porcentual de los casos favorables de esa muestra se utilizan

como la probabilidad dada.

Ejemplo

Una fábrica de llantas en Costa Rica produce como promedio diario 11 000 llantas.

En el departamento de control de calidad realizan un muestreo de los lotes

producidos para determinarlos defectos. Según algunos registros, tomando en

cuenta 33 000 llantas de tres días diferentes, se dieron los siguientes resultados

de las llantas que presentaron defectos:

Defecto Cantidad de llantas

Separación de banda rodadora 207

Bombas o erupciones 170

Pérdida de presión 130

Otros 142

Total 649

404

Determine:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una llanta presente como defecto la existencia

de erupciones?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una llanta en perfecto estado presente

pérdida de presión?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que una llanta presente algún defecto?

Solución

Para determinar la primera respuesta, es necesario considerar que el total de

eventos posibles es de 649, pues esa es la cantidad de llantas defectuosas que se

obtuvo en la muestra. Así, la frecuencia relativa corresponde a 170 ÷ 649 ≈ 0,26 y

este valor se asigna a la probabilidad solicitada.

Para responder a la segunda preguntase debe considerar que el total de eventos

posibles corresponde a las 33 000 llantas que se produjeron en los tres días. De la

misma forma, es necesario notar que el total de eventos favorables es de 130, por

lo que la probabilidad solicitada correspondería a la frecuencia relativa, calculada

por 130 ÷ 33 000 ≈ 0,0039.

Finalmente, en la tercera pregunta se toma como total de eventos posibles las 33

000 llantas producidas y como total de eventos favorables las 649 llantas

defectuosas. Así, la frecuencia relativa correspondiente a la probabilidad solicitada

es 649 ÷ 33 000 ≈ 0,0197.

Ejemplo

Al lanzar una tachuela existen dos eventos posibles: A: que la tachuela caiga

sobre su cabeza (con la punta hacia arriba) B: que la tachuela caiga acostada

Debido a que no se conoce con exactitud la probabilidad de que la tachuela caiga

con la punta hacia arriba, proponga una estrategia que permita aproximar esta

probabilidad.

Solución

Se podría pensar que la probabilidad de ambos eventos es 1/ 2 (un caso favorable

entre dos posibles). Sin embargo, la forma irregular de la tachuela afecta el

resultado de forma incierta, lo que hace dudar que los eventos tengan la misma

405

posibilidad de ocurrir. Por lo que al dudar de una de las premisas de la definición

clásica de probabilidad (eventos simples equiprobables), no se debería aplicar esta

definición. Entonces, ¿cómo se podría encontrar la probabilidad de que la tachuela

caiga con la punta hacia arriba? Esta situación presenta una dificultad adicional a

la implementación de la definición clásica o laplaciana, ya que no todos los puntos

muestrales son equiprobables o por lo menos no se está seguro de que esto ocurra.

Ante esta situación, se puede aproximar la probabilidad del evento A por medio de

una muestra aleatoria, estrategia que se utilizó anteriormente y que también es

válida para enfrentar el problema. Es decir se puede repetir el experimento una

cantidad grande de veces y determinar la proporción de veces en que la tachuela

cae con la punta hacia arriba. Evidentemente es apenas una aproximación, pues el

valor encontrado podría estar muy lejos del valor real, entre más repeticiones se

realicen mejor será la estimación. Por ejemplo, suponga que se lanza 100 veces de

las cuales en 35 la tachuela cayó con la punta hacia arriba, entonces una

aproximación de la probabilidad de este evento es 35/ 100 = 0,35.

Tipos de eventos

Existen tres tipos de eventos: seguros, probables e imposibles.

Un evento seguro es aquel cuya probabilidad de ocurrencia es igual a 1. Es

decir, sin importar las condiciones que se presenten, siempre va a suceder

este evento.

Un evento probable es aquel que tiene casos favorables y casos no

favorables. Por esto, siempre su probabilidad va a dar un número decimal

ubicado entre 0 y el 1.

Un evento imposible es un evento que no tiene ningún caso favorable en todo

el espacio muestral. Debido a esto, su probabilidad corresponde a 0.

Ejemplo

Una empresa de venta de vehículos en Costa Rica desea realizar un estudio con

respecto al grado de conformidad que tienen sus clientes, de acuerdo con su

género, luego de 6 meses de tener el vehículo, para tomar medidas que acerquen

más a los clientes a la compañía. Los resultados, luego de entrevistar por teléfono

a 2 540 clientes, fueron:

406

Grado de conformidad Hombres Mujeres Total

Muy conforme 288 658 946

Conforme 320 422 742

Poco conforme 256 225 481

Nada conforme 156 215 371

Total 1020 1520 2540

Para cada uno de los siguientes eventos, determine la probabilidad e indique su

clasificación:

1) Que un cliente entrevistado sea hombre o mujer.

2) Que la persona entrevistada no haya comprado un vehículo en la

empresa.

3) Que un cliente se sienta poco conforme con el vehículo adquirido.

Solución

En el primer caso, todos los clientes entrevistados eran hombres o mujeres, por lo

que la probabilidad de este evento se obtiene al resolver 2540 ÷ 2540 = 1. Como la

probabilidad obtenida es 1, el evento se clasifica como seguro.

En el segundo caso, se aclara en el enunciado que se entrevistó únicamente a

personas que eran clientes de la empresa, por lo que los eventos favorables son 0

y la probabilidad del evento es 0 ÷ 2540 = 0. Así, este evento se clasifica como

imposible.

Finalmente, en el último caso se tiene un total de 481 clientes poco conformes con

el vehículo, por lo que la probabilidad de este evento se obtiene al resolver 481 ÷

2540 ≈ 0,19. Como la probabilidad es un número entre 0 y 1, el evento se clasifica

como probable.

La ley de los grandes números

Esta ley indica que, al aumentar la cantidad de veces que se realiza un

experimento, la probabilidad frecuencial de los eventos tiende a acercarse a la

probabilidad clásica o Laplaciana.

Ejemplo

Al lanzar una moneda al aire y anotar si se obtuvo escudo o corona en cada

lanzamiento, se obtuvo el siguiente resultado:

407

Número de

lanzamientos

Cara

Escudo Corona

60 28 32

100 47 53

400 195 205

1000 499 501

¿Se cumple la probabilidad clásica?

Solución

Al determinar las frecuencias relativas, se puede completar la tabla de la siguiente

manera:

Número de

lanzamientos

Cara Frecuencia relativa

Escudo Corona Escudo Corona

60 28 32 0,4667 0,5333

100 47 53 0,4700 0,5300

400 195 205 0,4875 0,5125

1000 499 501 0,4990 0,5010

Al comparar las frecuencias relativas, se puede observar cómo la probabilidad de

obtener una corona va disminuyendo al mismo tiempo que va aumentando la

probabilidad de obtener un escudo. Al llegar a los mil lanzamientos, las

probabilidades de obtener escudo o corona son casi iguales.

Si se comparan estos resultados con la probabilidad de obtener escudo o corona al

lanzar una vez una moneda, se tiene que hay un evento favorable para cada caso

y en total son dos casos posibles, por lo que ambas probabilidades obtenidas

serían: 1 ÷ 2 = 0,5.

Como se puede observar, ambos casos se cumple la ley de los grandes números,

pues ambas probabilidades tienden a acercarse a 0,5.

408

Ejemplo

Un grupo de estudiantes afirma que el candidato A obtendrá cerca de un 60% de

los votos en las próximas elecciones. Para probarlo, cada uno realizó una encuesta

a diferente cantidad de personas, preguntando por quién votaría. Luego

presentaron los datos en una tabla como la siguiente:

Número de encuestados Votos por el candidato A

100 56

150 89

200 123

250 142

300 178

¿Es posible llegar a la conclusión de los estudiantes a partir de la información que

recolectaron?, ¿cómo?

Solución

De acuerdo con los datos de la tabla, se podría completar una tercera columna que

contenga la frecuencia relativa de los votos por el candidato A en cada encuesta:

Número de

encuestados

Votos por el

candidato A

Frecuencia

relativa

100 56 0,560

150 89 0,593

200 123 0,615

250 142 0,568

300 178 0,593

De acuerdo con las frecuencias relativas calculadas, la respuesta sería que sí es

posible concluir que el candidato obtendrá cerca del 60% de los votos, pues la

409

frecuencia relativa es cada vez más cercana a 0,60, que sería la probabilidad

correspondiente a ese 60%.

Ejemplo

Durante un juego de mesa, se lanzó un dado legal, de seis caras, un total

de 1500 veces. Se fueron haciendo anotaciones de los resultados cada 300

lanzamientos, de manera que los datos obtenidos se resumieron en la siguiente

tabla:

Lanzamientos 1 2 3 4 5 6

300 47 58 42 52 53 48

600 97 105 99 102 98 99

900 138 155 143 157 149 158

1200 195 201 204 197 201 202

1500 249 253 248 251 247 252

Determine:

1. La probabilidad de obtener un número par en cada caso.

2. La probabilidad de obtener un 5 en cada caso.

3. Marco afirmó que no importa la cantidad de veces que se lance el dado, pues

siempre se va a obtener la probabilidad que existe si se lanzara una única

vez. ¿Es esto cierto? Justifique su respuesta.

Solución

Para responder cada punto, se hace uso de la probabilidad frecuencial, por ser

tantos lanzamientos en cada caso.

1. Las probabilidades se obtienen sumando, en cada caso, las probabilidades de

obtener un 2, un 4 o un 6, de modo que se obtiene la siguiente tabla:

Lanzamientos 2 4 6 Probabilidad

300 58 52 48 158/300=0,5267

600 105 102 99 306/600=0,5100

410

900 155 157 158 470/900=0,5222

1200 201 197 202 600/1200=0,5000

1500 253 251 252 756/1500=0,5040

2. La probabilidad de obtener un 5 en cada caso, se puede construir una tabla

como la siguiente

3. Para responder la pregunta, hay que calcular la probabilidad de cada número

en cada cantidad de lanzamientos y comparar esos resultados con la

probabilidad de un solo lanzamiento:

Lanzamientos Probabilidades

1 2 3 4 5 6

300 0,1567 0,1933 0,1400 0,1733 0,1767 0,1600

600 0,1617 0,1750 0,1650 0,1700 0,1633 0,1650

900 0,1533 0,1722 0,1589 0,1744 0,1656 0,1756

1200 0,1625 0,1675 0,1700 0,1642 0,1675 0,1683

1500 0,1660 0,1687 0,1653 0,1673 0,1647 0,1680

Al calcular la probabilidad de cada resultado en un solo lanzamiento, se utiliza la

probabilidad Laplaciana, por lo que para cada uno de los seis posibles resultados

se tiene como probabilidad 1/6=0,1667. Analizando los resultados obtenidos, todos

Lanzamientos 5 Probabilidad

300 53 53/300=0,1767

600 98 98/600=0,1633

900 149 149/900=0,1656

1200 201 201/1200=0,1675

1500 247 247/1500=0,1647

411

tienen cercanía con ese valor, por lo cual, aplicando la Ley de los grandes números,

la afirmación de Marco es correcta.

Práctica

1. Determine en cuáles casos se utiliza la probabilidad

frecuencial y en cuáles se puede utilizar la probabilidad

frecuencial:

a) Se lanza un dado de seis caras 5 veces.

b) Se lanzan cinco monedas al aire.

c) Se busca saber la probabilidad de que una llanta se produzca con defectos.

La producción diaria es de 2500 llantas.

d) Se hace una encuesta sobre la preferencia televisiva de los adultos mayores.

Se entrevistó a 1500 personas.

e) Se lanza una moneda tres veces.

f) Se lanza un dado de 20 caras 10 veces.

g) Se sacan 5 bolas de color de una urna que contiene 40 bolas de diferentes

colores.

2. Resolver los siguientes problemas vinculados con fenómenos aleatorios

en diversos contextos: a) Calcula la probabilidad de aprobar un examen de matemáticas si se sabe

que hay una probabilidad de 0, 4 de no aprobar.

b) Se lanza un dado 400 veces y 60 veces ha salido 3. ¿Cuál es la frecuencia relativa de este suceso?

c) Se lanza una moneda 200 veces y 98 veces ha salido corona. ¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso corona?

d) Se ha lanzado una moneda 1461 veces y en 817 ocasiones ha salido

escudo. ¿cuál es la probabilidad de que en el lanzamiento 1462 salga

escudo?

e) En una urna hay 3 bolas blancas, 2 rojas y 4 azules. Calcula la probabilidad de que al extraer una bola al azar, salga roja.

f) Un dado está trucado para que el 6 tenga una probabilidad de salir de 0,25. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un 6?

412

3. Si se elige una persona de forma aleatoria, dada la siguiente tabla:

Determinar la probabilidad de que la persona elegida tenga las

siguientes ocupaciones: Ama de casa

Obrero Ejecutivo

Profesional

Determinar la probabilidad de que el ingreso familiar de la persona elegida sea:

Bajo

Medio Alto

Determinar la probabilidad de que la persona elegida se clasifique dentro

del grupo: ejecutivo con ingreso alto.

ama de casa con ingreso bajo. profesional con ingreso medio.

4. La probabilidad a priori de que exista petróleo en una determinada zona se

estima en 0, 2. Antes de decidir la perforación se realiza un estudio del terreno. El 70 % de las veces en que el informe fue positivo se encontró

petróleo, mientras que el 95 % de las veces en que el informe fue negativo el terreno no tenía petróleo. Determinar la probabilidad de que se

encuentre petróleo si el resultado del informe es positivo.

5. La Sociedad Mundial de Gemelos ha observado que de cada mil

personas con antecedentes familiares de gemelos, 58 tienen descendencia de gemelos ¿Cuál es la probabilidad de que una persona

que tiene antecedentes familiares de gemelos, tenga descendencia de gemelos?

Ocupación Bajo Medio Alto Total

Ama de casa 8 26 6 40

Obreros 16 40 14 70

Ejecutivos 6 62 12 80

Profesionales 0 2 8 10

Total 30 130 40 200

413

6. Se lanza un dado de ocho caras, en total 200 veces. Determine para

cada evento si se clasifica como seguro, probable o imposible, basado en la siguiente tabla:

Resultado 1 2 3 4 5 6 7 8

Repeticiones 23 27 24 26 25 22 29 24

Obtener un 10 en el lanzamiento.

Obtener un número menor que 4.

Obtener un 0 en alguno de los lanzamientos.

Obtener un número mayor o igual que 7.

Obtener un número menor o igual que 8.

7. La división de control de calidad de una empresa que se dedica a la

producción de calculadoras realiza un muestreo para determinar la

probabilidad de que una calculadora falle. Se estudia una producción de

1000 calculadoras empacadas en cajas de 100. Clasifique cada muestra

como aleatoria, censo o determinista:

a) Se toma una calculadora al azar de cada caja.

b) Se verifica la calidad de las calculadoras que los clientes reportaron con algún

problema.

c) Se verifica cada calculadora de cada pedido de una sola librería.

d) De cada 100 calculadoras se revisa una al azar.

e) Se enumeran las calculadoras del 000 al 999. Se verifica la calculadora cuyo

número coincide con la serie del premio mayor de la lotería nacional.

f) En cada caja se enumeran las calculadoras del 00 al 99. Se verifica en cada

caja la calculadora que tiene el número del premio mayor de la lotería

nacional.

g) Se revisan las primeras diez calculadoras de la producción.

h) De cada cinco calculadoras, se escoge una al azar.

i) De cada cinco calculadoras, se revisa la segunda.

j) Se verifica la calidad de todas las calculadoras.

414

8. Considere que un dado legal se lanzó 1000 veces y se obtuvo los siguientes

resultados:

Cara Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

1 125

2 166

3 171

4 0,18

5 164

6

a) Complete la distribución de frecuencias.

b) Determine la probabilidad de obtener un 2.

c) Determine la probabilidad de obtener un número menor que 3.

d) Determine la probabilidad de obtener un número mayor que 4.

9. Determine la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos, con base en la

tabla adjunta:

Total de galletas Vainilla Chocolate Naranja Limón

50 12 13 11 14

100 22 27 30 21

150 35 40 37 38

200 45 44 52 49

250 65 64 60 61

a) Al fabricar 100 galletas, ¿cuál es la probabilidad de que una galleta sea de

chocolate?

b) Al fabricar 250 galletas, ¿cuál es la probabilidad de que una galleta sea de

limón?

c) Al fabricar 50 galletas, ¿cuál es la probabilidad de que una galleta sea de

vainilla?

415

d) Al fabricar 150 galletas, ¿cuál es la probabilidad de que una galleta sea de

naranja?

e) ¿Cuál es la probabilidad de fabricar una galleta de vainilla cuando se producen

200 galletas?

f) Sin importar la cantidad de galletas producidas, ¿cuál es la probabilidad de

que una galleta sea de naranja? Justifique su respuesta.

10.Durante el mes de marzo, las temperaturas en grados Celsius registradas en el cantón de Goicoechea fueron: 30, 25, 23, 31, 28, 32, 32, 26, 27, 24, 23, 22,

29, 30, 21, 19, 24, 29, 31, 33, 32, 30, 27, 26, 28, 31, 20, 24, 25, 21 y 24. Con base en esta información, construya una tabla de distribución de frecuencias, un

histograma y un polígono de frecuencias.

11.En un laboratorio se midió la longitud de veinte hojas de una planta. Las

longitudes obtenidas fueron las siguientes:

13,9 12,3 10,8 13,1 10,6

12,9 12,3 12,5 14,2 10,9

12,7 14,6 12,7 12,6 14,2

11,5 12,5 13,1 14,1 13,8

a) Complete la siguiente tabla de frecuencias:

Clase Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

Frecuencia

relativa

porcentual

De 10 a 11

De 11 a 12

De 12 a 13

De 13 a 14

De 14 a 15

b) Determine la probabilidad de que la medida de la hoja sea entre 10 y 13 cm.

c) Determine la probabilidad de que la medida de la hoja sea entre 12 y 14 cm.

416

d) Determine la probabilidad de que la medida de la hoja sea menor a 11 cm.

e) Determine la probabilidad de que la medida de la hoja sea menor a 14 cm.

12. Determine para cada situación si es conveniente resolverla utilizando

probabilidad clásica o probabilidad frecuencial:

a) Se busca la probabilidad de elegir un estudiante con el cabello negro en el 9-

1.

b) En una empresa envasan refresco en cajas de 254 ml. En ocasiones el

empaque lleva un poco menos del contenido. Se busca determinar la

probabilidad de que un envase tenga menos de 253 ml de refresco.

c) En una encuesta nacional se busca determinar la probabilidad de que un

votante se abstenga de hacerlo.

d) Se busca determinar si la moneda con la que el profesor hace elecciones al

azar es justa o no.

e) En un banco se busca determinar la probabilidad de que un cliente que gana

menos de ₡200000 mantenga al día los pagos de sus deudas.

f) Se tiene 10 bolas de igual tamaño en una bolsa. De ellas, 4 son blancas y el

resto son negras. Se pretende calcular la probabilidad de sacar una bola de

la bolsa y que ésta sea blanca.

g) Se busca la probabilidad de obtener un múltiplo de 7 al lanzar un dado.

h) Se busca la probabilidad de obtener un divisor de 60 al lanzar un dado.

13.La siguiente tabla muestra las edades de 1362 conductores que portan su

licencia de conducir. Determine para cada afirmación si es verdadera o falsa:

Edad Frecuencia absoluta

De 18 a menos de 38 200







417

a) 251 conductores tienen más de 58 años.

b) No existe ningún conductor de 88 años. c) 505 conductores son menores de 38 años.

d) 46 conductores tienen 68 años.

e) La amplitud de las clases es 10.

14. Complete los datos faltantes en la siguiente tabla:

Masa corporal de 40 estudiantes que participaron en un seminario

Masa corporal Frecuencia absoluta Porcentaje

[40,47[ 21

[47,54[ 5 12,5

[54,61[ 20

[61,68[ 4

6 15

[75,82[ 5 12,5

15.En el siguiente cuadro se resume la cantidad de nacimientos en un hospital de acuerdo con la edad de las madres:

Edad Nacimientos

[15,24[ 8

[24,33[ 35

[33,42[ 9

[42,51[ 2

a) ¿Cuántas mujeres menores de 33 años dieron a luz en ese hospital?

b) ¿Cuántas madres tienen al menos 33 años? c) ¿Cuántas clases tiene la tabla?

d) ¿Cuál es la amplitud de cada clase?

418

16. Para cada una de las siguientes situaciones determine la probabilidad como

frecuencia relativa: a) Al lanzar 1 000veces un dado se obtienen los resultados de la tabla:

¿Cuál es la frecuencia absoluta del 4?

Calcula las frecuencias relativas de cada suceso. Estima la probabilidad de obtener un 4 con ese dado.

Número Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

1 2

2 166

3 171

4 160

5 157

6 171

18. Al extraer al azar 1000 veces una bola de una caja donde hay 10 bolas numeradas del 0 al 9, se obtienen los resultados de la tabla:

¿Cuál es la frecuencia absoluta de 6? Calcula las frecuencias relativas de cada suceso.

Estima la probabilidad de sacar un 4.


0 96

1 102

2 93

3 101

4 105

5 101

6 102

7 103

8 98

419

9 99

19.Al extraer al azar 1 000 veces una bola de una caja, en la que hay 4 bolas

verdes, 4 bolas azules y 4 bolas rojas, se obtienen los resultados de la tabla: ¿Cuál es la frecuencia absoluta de la bola roja?

Calcula las frecuencias relativas de cada suceso.

Estima la probabilidad de extraer una bola roja.

Bola Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Verde 341

Roja 332

Azul 327

20.Al lanzar 1 000 veces un dado, se obtienen los resultados de la tabla:

¿Cuál es la frecuencia absoluta de 2? Calcula las frecuencias relativas de cada suceso.

Estima la probabilidad de obtener un 3 con ese dado.


1 169

2 165

3 166

4 172

5 160

6 168

420

Práctica de la Unidad 4


El cuestionario

La profesora de Matemáticas de un colegio pide a sus estudiantes completar el

siguiente cuestionario para elaborar un expediente por cada estudiante:

Cuestionario individual

Complete el cuestionario en forma individual. La información es confidencial y será

parte del expediente de cada uno de ustedes.

Nombre completo:

Dirección del

hogar:

Edad (años

cumplidos]:

Números

telefónicos (casa y

celular):

Fecha de

nacimiento: Número de cédula:

¿Con quién vive? Papá ( ) Mamá ( ) Abuelo(a) ( ) Otros ( )

Cantidad de

hermanos:

Asignatura

preferida:

Estatura: Masa (peso):

Enfermedades,

¿cuáles?

421

1) Un ejemplo de variable cuantitativa discreta corresponde a:

A) la estatura.

B) las enfermedades.

C) la asignatura preferida.

D) la cantidad de hermanos.

2) Un ejemplo de variable cuantitativa continua es la:

A) masa.

B) fecha de nacimiento.

C) edad en años cumplidos.

D) cantidad de personas con las que vive.

3) Considere las siguientes situaciones:

I. Un estudiante necesita comprar un cuaderno de 100 hojas (según se indica en la

portada del cuaderno) y desea conocer la probabilidad de que el cuaderno que

compre tenga más de 100 hojas.

II. Un grupo está conformado por 35 estudiantes y se desea conocer la

probabilidad de que al elegir uno de ellos, su edad sea igual o mayor a 15 años.

¿Cuáles de ellas corresponden a eventos para los cuales su probabilidad

únicamente puede ser estimada mediante el empleo de la frecuencia relativa

(probabilidad frecuencial)?

A) Ambas C)Ninguna


422

Considere el siguiente contexto y responda las preguntas 4, 5 y 6:

Características de las viviendas

Por medio del Censo 2011 realizado por el Instituto Nacional de Estadística y Censos (INÉC), se

realizó un estudio sobre las características de las viviendas, en particular se obtuvo información

sobre si la persona posee o no vivienda y en caso afirmativo si esta es de uso colectivo o

individual. Los resultados por provincia se muestran en el siguiente cuadro:

Costa Rica: Población total por tipo de vivienda,

según provincia

Provincia

Población

total de

la

provincia

Con vivienda

Sin

Vivienda Individual Colectiva

San José 1 404

242

1 393

082 4800 360

Alajuela 848 146 843 023 5044 79

Cartago 490 903 488 671 2198 34

Heredia 433 677 432 427 1215 35

Guanacaste 326 953 325 772 1157 24

Puntarenas 410 929 409 525 1337 67

Limón 386 862 384 563 2267 32

Total 4 301

712

4 233

063 18 018 631

Adaptado de: http://www inec.go.cr

423

4) De la población total del país, ¿cuál es aproximadamente la frecuencia

porcentual que corresponde a la población total del país con vivienda

colectiva?

A) 0,34%

B) 0,42%

C) 2,39%

D) 4,19%

5) De la población total con vivienda individual, ¿cuál es la provincia que posee la

menor frecuencia relativa?

A) Limón

B) Alajuela

C) Heredia

D) Guanacaste


I. A menor población total de una provincia, menor es la población sin vivienda.

II. Más del 75% de la población sin vivienda se encuentra en las provincias de

San José, Alajuela, Cartago o Heredia.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

424

Considere el siguiente contexto y responda las preguntas 7 y 8:

Los dados

Un estudiante de un colegio realiza un experimento que consiste en lanzar 10 veces un dado legal y registrar

el número que aparece en la cara superior. En el siguiente cuadro se muestra el resultado del experimento,

en donde la “ X ” indica el número que sale en cada lanzamiento.

N

Número de la cara superior del dado

1 2 3 4 5 6

1 X

2 X

3 X

4 X

5 X

6 X

7 X

8 X

9 X

10 X

N: El lanzamiento

425

7) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de que salga un 5?

A) 0,10%

B) 0,17%

C) 0,30%

D) 0,50%

8) ¿Cuántas veces más probable es que salga el número 6 respecto a que salga el

número 1 ?

A) Dos veces.

B) Tres veces.

C) Cinco veces.

D) Seis veces

9) Considere las siguientes variables cuantitativas:

I. La edad, en años cumplidos, de las mascotas del barrio.

II. La estatura, en centímetros, de las estudiantes de sétimo año del colegio.

De ellas, ¿cuál o cuáles son variables discretas?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

10)¿Cuál de las siguientes proposiciones representa una variable cuantitativa

continua?

a. Cantidad de estudiantes que les gusta jugar voleibol.

b. Cantidad de tiempo que se dura en una llamada telefónica.

c. Cantidad de vehículos parqueados en las afueras de un supermercado.

d. Cantidad de teléfonos inteligentes que se venden en una tienda durante una

semana.

426

11) ¿Cuál de las siguientes variables corresponde a una variable cuantitativa

discreta?

a. La cantidad de masa de una persona.

b. El área de construcción de una vivienda.

c. El ingreso mensual en colones de un empleado.

d. La suma de los puntos obtenidos al lanzar dos dados.

Considere la información que se representa en la siguiente tabla, para contestar

las preguntas 12, 13 y 14:

Distribución del total de personas

que asistieron a un centro médico

en Costa Rica, según la edad en

años cumplidos, durante el mes de

agosto del año 2016

Edad Frecuencia absoluta

0,9 18

9,18 36

18,27 39

27,36 12

36,45 9

45,54 15

54,63 21

TOTAL 150

427

12) La frecuencia relativa de la clase 27,36 corresponde a:

a. 0,06

b. 0,08

c. 0,18

d. 0, 24

13) El porcentaje de personas que asistieron al centro médico con edades, igual o

superior a los 45 años, corresponde a:

a. 24

b. 30

c. 36

d. 42

14) De los diferentes grupos que asistieron al centro médico en el mes de

agosto de 2016 , la clase que presentó mayor frecuencia corresponde a:

a. 9,18

b. 18,27

c. 36,45

d. 54,63

Considere el siguiente contexto, para responder las preguntas 15, 16 y 17:

428

Personal con o sin experiencia laboral en el

puesto, contratado en diferentes departamentos

en una empresa comercial

DEPARTAMENTO

CON

EXPERIENCIA

EN EL

PUESTO

SIN

EXPERIENCIA

EN EL

PUESTO

TOTAL

Bodega 9 3 12

Informática 1 2 3

Contabilidad 12 4 16

Secretariado 8 6 14

TOTAL 30 15 45

15) Si del total de personas contratadas sin experiencia en el puesto, se

elige una al azar, entonces hay mayor probabilidad de que esta pertenezca

al departamento de:

a. bodega.

b. informática.

c. secretariado.

d. contabilidad


I. Si del total de personas contratadas se elige una al azar, entonces, hay mayor

probabilidad de que esta tenga experiencia en el puesto.

II. Si de las personas contratadas en informática, se elige una al azar, entonces

hay menor probabilidad de que sea con experiencia en esa área.

¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

429

17) Si de las personas contratadas en el departamento de contabilidad, se

elige una al azar, entonces, la probabilidad de que esta tuviera experiencia,

corresponde a:

A) 4

15

B) 4

16

C) 12

16

D) 12

30

430

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EUCR.

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