1

Durante el recorrido del hombre, él ha inventado muchas cosas por las necesidades que se han venido encontrando, una de ellas la más antiguas es la de contar y comparar el número de elementos de ciertas colecciones de objetos (es considerada como la expresiones intelectuales más antigua).

Esta característica nos diferencia de los demás animales, a pesar de que algunos de ellos poseen “cierto sentido” para diferenciar conjuntos de hasta 3 ó 4 elementos. Además, la historia de la matemática nos enseña que cualquier grupo humano, llámese pueblo, civilización, tribu, entre otras, por más primitivo que sea posee sus propias palabras y símbolos, al igual que ciertas reglas de formación, para representar las ideas que sobre números ellos poseen. Así por ejemplo en nuestro país tribus como los Ticunas en el Amazonas, los Motilones en el Norte de Santander, poseen solo palabras para expresar los números, en cambio los Mayas en Centroamérica, además de palabras tienen símbolos para representar números. Con el transcurrir del tiempo se fueron estableciendo símbolos y reglas de formación, fue así como a partir del siglo XVI, el sistema de numeración indo-arábigo o decimal terminó por imponerse en la mayoría de los países del mundo. El término indo-arábigo obedece a dos razones: la primera que se originó en la India y la segunda, el haber sido los árabes quienes durante su hegemonía expansionista lo trajeron de allí y lo impusieron en todos los pueblos que conquistaron. De esta manera, a través de España, el sistema se introdujo en Europa y se extendió por toda la tierra. A este sistema se le llama decimal porque su “base” es diez. Sin embargo existen sistemas en otras bases como por ejemplo el sistema binario o de base 2, que es el que usan los computadores en su memoria. Este sistema hace uso de dos números solamente: 0 y 1. y sus tablas para la suma y la multiplicación son muy sencillas.

I M P O R T A N T E

Un sistema de numeración es una colección de símbolos junto

a unas reglas de formación de nuevos símbolos, los cuales

nos sirven para representar números.

S I S T E M A S D E N U M E R A C I Ó N

Busque en la siguiente sopa de letras los nombres de los

sistemas de numeración.

BABILÓNICO

INDO-ARÁBIGO

EGIPCIO

GRIEGO

MAYA

ROMANO

CHINO

HINDÚ

MALAYALAM

BINARIO

TAILANDÉS

OCCIDENTAL

ÁRABE

HINDI

S I S T E M A S D E N U M E R A C I Ó N G R I E GO

Te invito a conocer el sistema de Numeración Griego y

sobretodo el alfabeto que se utiliza en clase de matemáticas

(por ejemplo para nombrar los ángulos):

Ahora conozcamos más de la numeración China

COLEGIO MIGUEL DE CERVANTES SAAVEDRA I.E.D.

PEI” habilidades comunicativas para la excelencia, el emprendimiento y la transformación de la comunidad” ¡LA EXCELENCIA ORGULLO CERVANTINO!

AREA GRADO PERIODO CUESTIONARIO N° FECHA

Matemáticas 6° Primero

DOCENTE Mercelena Hernández Sierra ESTUDIANTE: TIEMPO

TOPICO GENERATIVO: El diario de un aventurero

METAS DE COMPRENSION Los estudiantes comprenderán…

Las características de un sistema numérico posicional y aditivo. Las características de los polígonos regulares. Como formular y resolver problemas aplicando la teoría de los números. La importancia de aplicar acuerdos que le permitan una convivencia adecuada.

APLICACIÓN: EJERCITACIÓN Y REFUERZO

2

Escriba las siguientes fechas importantes de la Historia

de nuestro País con el sistema numeración señalada.

El año que Colombia perdió a Panamá (S. Romano)

La independencia de Colombia (S. Binario).

El día de los cumpleaños de Bogotá (S. Babilónico)

El primer mundial de futbol sub 20 que se celebró en Colombia (S. Chino)

N Ú M E R O S N A T U R A L E S

El conj unto de l os núm er os na tur a les es t á f o rm ado po r :

* +

C o n l o s nú m e r o s n a t u r a le s p o d e m o s:

1 Contar los elementos de un

conjunto (número cardi nal ) . Ejemplo: 8 es el número de planetas del Sistema Solar.

2 Expresar la posición u orden que

ocupa un elemento en un conjunto (número o rdi nal ) . Ejemplo: El pez señalado es el segundo (2º ) de

los tres peces.

3 Identificar y diferenciar los

distintos elementos de un conjunto. Ejemplo: Mi número de socio en el carnet del Club de vela es 40257 .

Los números natura les están ordenados , lo que nos permite comparar dos números natura les

entre sí:

E je mplo :

5 > 3 5 es mayor que 3 .

3 < 5 3 es menor que 5 .

Ade más, s i un número es mayor que o tro es tá ubi cado a l a derecha , de l o con t ra r i o es ta rá a la i zquie rda .

Los números natura les son i l imi tados , s i a

un número na tu ral le suma mos 1 , ob tenemos o t ro número natura l .

Completa los siguientes enunciados usando <, >, = y

la palabra que corresponda.

4______3 entonces 3 está ubicado a la

____________________de 4.

7______9 entonces 7 está ubicado a la

____________________de 9.

8______10______15, luego 15 es _________que 8

y _____________ que 10

En cada una de las siguientes igualdades, indica qué

propiedades de la suma y la multiplicación se usaron:

( )

__________________________________________

__________________________________________

( ) ( )

__________________________________________

__________________________________________

Los números naturales se pueden representar en

una recta ordenados de menor a mayor.

Sobre una recta señalamos un punto, que

marcamos con el número cero (0).

A la derecha del cero, y con las mismas

separaciones, situamos de menor a mayor los

siguientes números naturales: 1, 2, 3...

3

Recuerde: Polinomios Aritméticos es una expresión en

la que aparecen indicadas varias operaciones. Si tiene

signos de agrupación, se debe resolver primero las

operaciones de adentro hacia afuera. Pero si no tiene

primero se resuelve las adiciones y luego los productos

según el orden de aparición.

Ejemplo:

, ( )- , - , -

Realiza las siguientes operaciones teniendo en cuenta

lo que indica el paréntesis:

* ,( ) ( )-+ __________________

___________________________________________

___________________________________________

* , ( )-+ _______________

___________________________________________

___________________________________________

Con los números naturales podemos resolver problemas

de nuestro entorno.

TE INVITO A RESOLVERLOS

1. En una bolsa tengo 100 canicas. Por la mañana gano 18 y por la tarde pierdo 27. ¿Cuántas me quedan?

_________________________________________

2. Suma el doble de 5 con el triple de 6 con el cuádruplo de 7 y con el quíntuplo de 8. ¿Cuánto da?

_________________________________________

3. ¿Cuántas patas tienen 267 gallinas y 333 conejos?

_________________________________________

4. ¿A qué número tengo que restarle 27 para que el resultado sea 58?

_________________________________________

5. Compro 45 peras, 26 plátanos y 38 manzanas. Se estropean 9 manzanas y 12 peras. ¿Cuántas piezas de fruta me quedan?

_________________________________________

6. ¿Cuántos palillos necesito para formar 18 triángulos, 29 cuadrados y 7 pentágonos? (para cada lado necesito un palillo).

_________________________________________

7. El corazón humano late unas 75 veces cada minuto. ¿Cuántos latidos dará en un día, aproximadamente?

_________________________________________

8. En mi habitación tengo tres estanterías. Cada estantería tiene 4 niveles o pisos. En cada nivel caben 28 libros. ¿Cuántos libros puedo colocar?

_________________________________________

9. Mi vecino corre 8 km. diariamente. Calcula cuanto recorrerá en 1 mes, 3 semanas y 6 días.

_________________________________________

10. Un tren sale con 764 pasajeros. En una parada bajan 59 y suben 36; y en otra parada suben 7 y bajan 84. ¿Cuántos pasajeros quedan en el tren?

_________________________________________

11. Un autobús va a 90 km/h durante 3 horas y a 80 km/h durante 4 horas. ¿Cuántos Km ha recorrido en total?

_________________________________________

12. En un campo hay 11 hileras de cerezos. Cada hilera tiene 28 árboles y cada árbol produce 175 Kg de cerezas. ¿Cuántos kg. recogeremos?

_________________________________________

13. Después de llenar 67 cajas con una docena de botellas cada una, me han sobrado 9 botellas. ¿Cuántas botellas tenia?

_____________________________

____________

14. Un globo ascendió 340 m, luego bajo 70, volvió a subir 298 m y, finalmente descendió 188 m. ¿A qué altitud se encuentra ahora?

_________________________________________

15. Quiero repartir 378 cromos a partes iguales entre mis 6 mejores amigos. ¿Cuántos cromos tengo que dar a cada uno?

_________________________________________

16. Yo tengo 12 años, mi hermana tiene el doble y mi hermano la mitad. Mi padre y mi madre tienen 22 años más que mi hermana mayor. ¿Cuántos años tenemos entre todos?

_________________________________________

4

17. En un incendio forestal se han quemado la tercera parte de los 187.374 pinos que había. Al año siguiente se repobló con 75.000 nuevos pinos. ¿Cuántos pinos hay ahora?

_________________________________________

18. En una bolsa hay 100 bolas de colores. Calcula cuántas hay de cada color sabiendo que 20 son azules, las rojas son la mitad de las verdes, las blancas son el triple de las rojas, hay seis bolas verdes más que azules y el resto son negras.

_________________________________________

19. Para realizar una representación teatral es necesario colocar 403 sillas repartidas en 13 filas. ¿Cuántas sillas tendremos que colocar en cada fila? ¿Sobran sillas?

_________________________________________

20. Una herencia se reparte entre 6 herederos y cada uno percibe 15.368 euros. ¿Cuánto percibirían si fueran solo 4 herederos?

_________________________________________

Cuando al dividir dos números entre sí la división resulta exacta, decimos que entre ambos números existe una relación de divisibilidad.

Ejemplos: 20 |5 20 y 5 son divisibles 0 4

23 |5 23 y 5 no son divisibles

3 4

Cuando dos números son divisibles, al mayor de ellos le

llamamos múltiplo y al menor divisor.

Ejemplos: 20 es múltiplo de 5 → se escribe 20 = M(5)

5 es divisor de 20 → se escribe 5 = D(20)

Múltiplos de un número: Los múltiplos de un número se obtienen al multiplicar dicho número por cualquier otro número natural. Ejemplos: 32 es múltiplo de 16 porque

16.2 = 32 → 32 = M(16)

75 es múltiplo de 25 porque 25.3 = 75 → 75 = M(25) 35 no es múltiplo de 6, porque no hay ningún número natural que multiplicado por 6 nos de 35 a . k es un múltiplo de a → M (a)

Todo número a es múltiplo de sí mismo y de la unidad

Escribe cinco múltiplos de 17

_____________________________________

Escribe cuatro múltiplos de 21

_____________________________________

Di cuáles de estos números son múltiplos de 3: 21,

9, 16, 32, 15, 90, 80, 123, 60

_____________________________________

Divisores de un número: Son otros que caben en él

una cantidad exacta de veces. La letra D significa divisor

Ejemplos: 2 es divisor de 8 porque 2+2+2+2 = 2.4

= 8 → 2 = DIVISOR (8)

Como consecuencia de ello 8 ÷ 2 = 4 (un nº exacto de

veces) a = D(b) cuando a . n = b

Todo número es divisor de sí mismo.

Ejemplo: 7=D (7) porque 7 ÷ 7 = 1. El 1 es divisor de

cualquier número.

Ejemplo: 1=D (63) porque 63 ÷ 1 = 63

Escribe todos los divisores de 4 y de 10

_____________________________________

Escribe todos los divisores de 4, 8, 10, 50 y 24

_____________________________________

Escribe todos los divisores de 20, de 12 y de 25

_____________________________________

Escribe 5 divisores de 100, 200, 80 y 300

_____________________________________

Escribe 3 divisores comunes de 24, 84 y 36

_____________________________________

ALGUNOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2

cuando la cifra de las unidades es 0, 2 ó múltiplo de 2.

Ejemplos: 124 358 1456 20

Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3

cuando la suma de todas sus cifras es 3 ó múltiplo de

3.

5

Ejemplos: 24 = M(3) → 2 + 4 = 6 y 6 = M(3)

1455 = M(3) → 1 + 4 + 5 + 5 = 15 y 15 = M(3)

Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5

cuando la cifra de las unidades es 0 ó 5. Ejemplos:

25 30 1250 2465

De los siguientes números di cuales son múltiplos de 2, de 3 y de 5:

240 321 52 69 250 390

NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS

Los números que pueden descomponerse en factores (divisores, excepto la unidad y él mismo), se llaman números compuestos. Ejemplos: 20 = 4.5 = 2.2.5

8 = 2.2.2 12 = 3.4 = 3.2.2

Los números que no pueden descomponerse en factores se llaman números primos.

Ejemplos:

7 = 7.1 no existen dos números naturales (salvo el 7 y

el 1) que multiplicados nos den 7.

5 = 5.1 no existen dos números naturales (salvo el 5 y

el 1) que multiplicados nos den 5.

23 = 23.1 no existen dos números naturales (salvo el 23

y el 1) que multiplicados nos den 23

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN

PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS

Ejemplo: 360 | 2 Se expresa así: 180 | 2 90 | 2 360 = 2³. 3². 5 45 | 3 15 | 3 5 | 5 1 |

También se puede hacer así:

360 | 2_ 00 180 | 2_ 00 90 | 2_ 00 45 | 3_ 0 15 | 3_ 0 5 | 5 0 1

Descompón en producto de factores primos y lo

escribo como producto de primos:

a) 150 :______________________________

b) 245 :______________________________

c) 2500 :______________________________

d) 423 :______________________________

e) 3550 :______________________________

MÁXIMO COMUN DIVISOR (m.c.d.) DE DOS O MÁS

NÚMEROS

Es el mayor de los divisores comunes de dos o más

números.

Ejemplo: m.c.d (20, 40, 60)

D(20) = 20,10, 5, 4, 2, 1

D(40) = 40, 20, 10, 8, 5, 4, 2, 1

Divisores comunes = 20, 10, 5, 4, 2, 1

D(60) = 60, 30, 20, 15,12, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1

m.c.d (20, 40, 60) = 20

A los números se le descomponen en factores primos:

Forma práctica:

20 40 60 2

10 20 30 2

5 10 15 5 Como todos tienen

quinta les saco a todos quinta y ahí finalizo, ya que no

hay un número que divida a los 3 números al mismo

tiempo.

Se concluye que 20, 40 y 60 tienen como es el M.C.D.

a 5.

Calcular el m.c.d. de 30, 45 y 60: _____________

Calcular el m.c.d. de 12, 24 y 36: _____________

Calcular el m.c.d. de 56, 112 y 84: ____________

Calcular el m.c.d. de 50, 200, 150 y 300: _______

6

El m.c.m. se obtiene al

multiplicar todos los factores.

m.c.m, (5, 15, 10) = 235 = 30

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) DE DOS O MÁS

NÚMEROS

Es el menor de los múltiplos comunes de dos o más

números.

Ejemplo: m.c.m. de 10, 15 y 20

M(10) = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, ...

M(15) = 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, ... M(20) = 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, ... m.c.m (10, 15, 20) = 60

Forma práctica:

A los números se le descomponen en factores primos:

5 15 10 2

5 15 5 3

5 5 5 5

1 1 1

Calcular el m.c.m. de 20, 30 y 40:_______________

Calcular el m.c.m. de 30, 45, 60 y 90:____________

Calcular el m.c.m. de 70, 14, 35 y 105:___________

A CONTINUACIÓN TE DOY UN RETO QUE CONSISTE EN RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS CON LOS TEMAS MCD Y MCM. 1) Un autobús de la línea A pasa por cierta parada

cada 9 minutos y el de la línea B cada 12 minutos. Si acaban de salir ambos a la vez, ¿cuánto tardarán en volver a coincidir? __________________________________________

2) Se desean repartir 180 libros, 240 juguetes y 360

chocolatines entre un cierto número de niños, de tal

modo que cada uno reciba un número exacto de

cada uno de esos elementos. ¿Cuál es el mayor

número de niños que puede beneficiarse así y qué

cantidad recibe cada uno?

__________________________________________

3) Un jardinero desea colocar 720 plantas de violetas,

240 de pensamientos, 360 de jacintos y 480 de

claveles en el menor número posible de canteros

que contengan el mismo número de plantas, sin

mezclar las mismas. ¿Qué cantidad de plantas debe

contener cada cantero y cuántos hay.

__________________________________________

4) Se tienen tres tubos de 84, 270 y 330 cm3. ¿Cuál es

el mayor volumen en cm3 que cabe un número

exacto de veces en cada uno de ellos?

__________________________________________

5) Se tienen 160 y 168 cl de extractos distintos. Se

quieren envasar en el menor número posible de

frascos iguales sin mezclar los extractos. ¿Cuál es

el número de frascos de cada clase?

__________________________________________

6) ¿Cuál es el menor número posible que dividido por

132, 450 y 342 da en cada caso un resto de 5?

__________________________________________

7) Cuatro buques parten para el mismo destino: el

primero, cada 10 días; el segundo, cada 8; el

tercero,. Cada 9 y el cuarto cada 15. ¿Cuántos días

transcurren entre dos salidas simultáneas

consecutivas?

__________________________________________

8) Dos letreros luminosos se encienden con

intermitencias de 42 y 54 segundos. A las 20 h 15 m

se encienden simultáneamente. ¿a qué hora

vuelven a encenderse juntos?

__________________________________________

9) Se quiere alambrar un terreno de forma trapezoidal

tal que sus lados miden 320, 104, 396 y 84 m,

deseando que los postes resulten equidistantes y

que en cada esquina haya uno. ¿Cuál es la máxima

distancia a que pueden colocarse y cuántos postes

se necesitan?

__________________________________________

10) Dos reglas de 2 m largo cada una se colocan

superpuestas, haciendo coincidir las trazas de

división cero. Si las divisiones de la primera son

cada 78 mm y del otro cada 90 mm ¿cuáles son las

otras trazas de división que coinciden?

__________________________________________

7

En matemáticas, una fracción, número fraccionario, o quebrado (del vocablo latín frāctus, fractĭo -ōnis, roto, o quebrado)

1 es la expresión de una cantidad dividida

entre otra cantidad; es decir que representa un cociente (división) no efectuado de números.

Por razones históricas también se les llama fracción común, fracción vulgar o fracción decimal. El conjunto matemático que contiene a las fracciones es el conjunto

de los números racionales, denotado .

De manera más general, se puede extender el concepto de fracción a un cociente cualquiera de expresiones matemáticas (no necesariamente números).

Numerador y denominador

Las fracciones se componen de: numerador, denominador y línea divisoria entre ambos (barra

horizontal u oblicua). En una fracción común el denominador b representa la cantidad de partes iguales en que se ha fraccionado la unidad, y el numerador a es el entero.

Representación de los Números Fraccionarios:

Las fracciones se representar por círculos, rectángulos u

otras figuras en donde se visualice que todas las partes

son iguales, por ejemplo:

Escribe la fracción que representa la parte coloreada en

cada figura:

g) h) i)

j) k) l)

El perímetro y el área son magnitudes fundamentales en la determinación de un polígono o una figura geométrica; se utiliza para calcular la frontera de un objeto, tal como una valla. El área se utiliza cuando podemos obtener la superficie interior de un perímetro que se desea cubrir con algo, tal como césped o fertilizantes. El perímetro de un polígono o figura geométrica es igual a la suma de las longitudes de sus lados. El área de un polígono es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono.

Calcula el perímetro de las siguientes figuras (utiliza la

regla para medir sus lados):

A) B)

Perímetro: _____mm Perímetro: _____mm

C) D)

Perímetro: _____mm Perímetro: _____mm

6

15

17

8

9

6

8

Identifica la fórmula para calcular el área de las

siguientes figuras:

9

Calcula el perímetro y área de las siguientes figuras

por descomposición

Se realizó una encuesta a grupo de personas sobre

el número de teléfonos móviles que hay en las casas, las respuestas son: 4, 6, 10, 8, 4, 5, 8, 9, 4, 6, 8, 10, 4, 6, 10, 8, 4, 5, 8, 9, 4, 6, 4, 4, 6, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 8, 6, 5, 4, 6, 8, 10, 9.

LA MODA ES:

__________________________

__________________________

LA MEDIA ARITMÉTICA ES:

:_________________________

__________________________

LA MEDIANA ES:

__________________________

________-_________________

Teniendo en cuenta el siguiente gráfico, diseñe un

problema que se adecue al diagrama. _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________

Además realice la tabla de frecuencia absoluto del

problema diseñado

0

1

2

3

4

5

6

Categoría1

Categoría2

Categoría3

Categoría4

Serie 1

Serie 2

Serie 3

Frecuencias Absoluta

# de móviles

# de veces

1

8

c

m

40 cm

20 cm

8

c

12

8

c

4

c4

c

18

c

1

2

c

8

c

14

cm

6

c

1

5

1

7

8

c

9

c

6

cm