Colegio La Magdalena · - Cuadrantes: El primer cuadrante esta formado por todos los ángulos...

Colegio La Magdalena

APUNTES DE MATEMÁTICAS

4º ESO

2º Trimestre

Autor: Vicente Adsuara Ucedo

INDICE Tema 9: Trigonometría y Geometría…………………………………1 Ejercicios Tema 9……………………………………………………..18 Tema 10: Ampliación de Trigonometría…………………………….22 Ejercicios Tema 10……………………………………………………34 Tema 11: Resolución de Triángulos………………………………...37 Ejercicios Tema 11…………………………………………………….45 Tema 12: Ecuaciones trigonométricas………………………………49 Tema 13: Los Números. Potencias y Radicales……………………54 Tema 14: Los Números Complejos………………………………….57 Tema 15: Ampliación de Números Complejos……………………..66 Tema 16: Polinomios…………………………………………………..69 PROBLEMAS DE INGENIO…………………………………………..79 SUDOKUS……………………………………………………………....84

Apuntes de matemáticas 4º ESO Colegio La Magdalena 2º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría

1

TEMA 9: TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA 9.1 Introducción Según sabemos, el triángulo es el polígono más sencillo y en el intervienen tres lados y tres ángulos. Sabemos también que la geometría estudia las diversas relaciones existentes entre los lados de un triángulo y también las existentes entre los ángulos del mismo.

Así por ejemplo, la propiedad: En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos, es una relación en la que intervienen exclusivamente los lados del mismo.

Por otra parte, la propiedad: La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º, es una relación en la que intervienen exclusivamente los ángulos.

Ahora bien, cuando se quiere relacionar los lados de un triángulo con los ángulos del mismo, es preciso recurrir a otra rama de las matemáticas que recibe el nombre de: TRIGONOMETRIA.

La palabra trigonometría proviene del griego “ trigonos “ que significa triángulo y de “ metros “ que significa medida.

Los egipcios utilizaron ya la trigonometría para resolver entre otros los problemas derivados de la construcción de pirámides.

Con objeto de estructurar el estudio de la trigonometría es conveniente considerar primeramente las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo , para pasar después al estudio de las relaciones en un triángulo cualquiera.

9.2 Razones trigonométricas de un ángulo agudo Consideremos un triángulo rectángulo y en él uno cualquiera de sus ángulos agudos, por ejemplo el B. A partir de este ángulo se pueden definir seis números, obtenidos dividiendo las longitudes de dos lados del triángulo, números a los que llamaremos “razones trigonométricas “ del ángulo.


2

Seno: Es el cociente entre el lado opuesto y la hipotenusa. Se representa por sen o sin.

sen B = Hipotenusa

opuestoCateto = ab

Coseno: Es el cociente entre el cateto contiguo y la hipotenusa. Se representa por cos.

cos B = Hipotenusa

contiguoCateto = ac

Tangente: Es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo. Se representa por tag o tg.

tag B = contiguoCatetoopuestoCateto =

cb

Cotangente: Es el cociente entre el cateto contiguo y el cateto opuesto. Se representa por ctg.

ctg B = opuestoCatetocontiguoCateto =

bc

Secante: Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto contiguo. Se representa por sec.

sec B = contiguoCateto

Hipotenusa = ca

Cosecante: Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto. Se representa por cosec.


3

cosec B = opuestoCateto

Hipotenusa = ba

Ejemplo: Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm. y 5 cm. Calcular las seis razones trigonométricas del más pequeño de los ángulos agudos. Por Pitágoras calculemos la hipotenusa:

a 2 = b 2 + c 2 = 12 2 + 5 2 = 144 + 25 = 169 ⇒ a = 13 cm. El ángulo agudo más pequeño tendrá como cateto opuesto el más pequeño:

sen B = 5/13 ; cos B = 12/13; tag B = 5/12; ctg B = 12/5; sec B = 13/12; cosec B = 13/5 9.3 Sistema trigonométrico de referencia Las definiciones de las seis razones trigonométricas, que acabamos de considerar, únicamente son validas para ángulos agudos, ya que en un triángulo rectángulo no existen ángulos obtusos.

Pues bien, vamos a definir, para un ángulo cualquiera, unas características del mismo llamadas “ líneas trigonométricas “, que reciben los mismos nombres que las razones trigonométricas debido a que cuando se trata de ángulos agudos, sus valores coinciden.

Para ello vamos a establecer un sistema trigonométrico de referencia que consta de los elementos que vamos a relacionar:


4

- Circunferencia trigonométrica: Es una circunferencia cuyo radio se toma como unidad

- Ejes de coordenadas: Son dos rectas, una horizontal y otra vertical que se cortan en el centro de la circunferencia, constituyendo un sistema de coordenadas cartesianas.

- Origen de ángulos: Es el semieje horizontal positivo. Todos los ángulos se miden a partir de esta semirecta. Los ángulos tomados en sentido directo o antihorario se consideran positivos y los contrarios, negativos.

- Cuadrantes: El primer cuadrante esta formado por todos los ángulos comprendidos entre 0º y 90º. - El segundo cuadrante está formado por los ángulos entre 90º y

180º - El tercer cuadrante está formado por los ángulos entre 180º y

270º. - El cuarto cuadrante está formado por los ángulos entre 270º y

360º. 9.4 Líneas trigonométricas de un ángulo cualquiera Una vez establecido el sistema trigonométrico de referencia, vamos a utilizarlo para definir las líneas trigonométricas de un ángulo α, que en principio supondremos que esta en el primer cuadrante.

sen α = Hipotenusa

opuestoCateto = OBAB =

1AB = AB

cos α = Hipotenusa

contiguoCateto = OBOA =

1OA = OA


5

tg α = contiguoCatetoopuestoCateto =

OAAB =

OCCD =

1CD = CD

sec α = contiguoCateto

Hipotenusa = OAOB =

OCOD =

1OD = OD

Consideremos ahora el triángulo: OEF en el que el ángulo OFE también mide α y en el que se cumplirá:

ctg α = opuestoCatetocontiguoCateto =

OEEF =

1EF = EF

cosec α = opuestoCateto

Hipotenusa = OEOF =

1OF = OF

De este modo las seis líneas trigonométricas han quedado definidas como longitudes de seis segmentos determinados por la semirecta OF que delimita el ángulo.

Según que esta semirecta se encuentre en cada cuadrante, las líneas trigonométricas tienen diferentes representaciones.

9.5 Relaciones fundamentales Las líneas trigonométricas de un ángulo no son seis valores independientes entre sí, sino que entre ellas existen ciertas relaciones, de las cuales, las más importantes reciben el nombre de: “ relaciones fundamentales”. Vamos a enunciarlas y a demostrarlas:

A) La suma de los cuadrados del seno y del coseno de un mismo ángulo es igual a la unidad.

Demostración: Según el dibujo anterior, por el teorema de Pitágoras:


6

222 OBOAAB =+ , y teniendo en cuenta que:

sen α = AB cos α = OA OB = 1

1cos22 =+ ααsen

B) La tangente de un ángulo es igual al cociente que resulta de dividir

el seno entre el coseno del mismo ángulo.

Demostración:

tg α = contiguoCatetoopuestoCateto =

OAAB =

αα

cossen

ααα

cossentg =

C) La cotangente de un ángulo es igual al cociente que resulta de dividir el coseno entre el seno del mismo ángulo.

Demostración:

ctg α = opuestoCatetocontiguoCateto =

ABOA =

αα

sencos

ααα

senctg cos

=

D) La cotangente de un ángulo es la inversa de la tangente del mismo.

ctg α = αα

sencos =

αα

cos

1sen

= αtg

1


7

E) La secante de un ángulo es la inversa del coseno del mismo.

α

αcos

1sec =

F) La cosecante de un ángulo es la inversa del seno del mismo.

αα

senec 1cos =

9.6 Signos de las líneas trigonométricas De los seis segmentos que representan a las líneas trigonométricas, el seno y la tangente son verticales por lo que su signo será positivo si se encuentran por encima del eje horizontal y negativo si se encuentran por debajo.

El coseno y la cotangente son segmentos horizontales, por lo que su signo será positivo si se encuentra a la derecha del eje vertical y negativo si se encuentra a la izquierda.

En cuanto a la secante, su signo coincide siempre con el del coseno, ya que ambas líneas trigonométricas son inversas. Por la misma razón el signo de la cosecante coincide siempre con el del seno.

PRIMER CUADRANTE

SEGUNDO CUADRANTE

TERCER CUADRANTE

CUARTO CUADRANTE

Seno y Cosecante

+

+

-

-

Coseno y Secante

+

-

-

+

Tangente y Cotangente

+

-

+

-


8

9.7 Calculo de una línea en función de las demás Las seis líneas trigonométricas de un ángulo están relacionadas entre sí de tal modo que, si se conoce una de ellas, es posible determinar cualquiera de las otras cinco, siempre que se sepa en que cuadrante se encuentra el ángulo, con objeto de poder determinar el signo de la correspondiente línea.

a) Calculo del coseno y de la tangente en función del seno A través de la ecuación fundamental de la trigonometría:

sen 2 α + cos 2 α = 1 conoceremos el coseno y una vez conozcamos seno y coseno sabremos la tangente.

b) Calculo del seno y de la tangente en función del coseno Procederemos del mismo modo que en apartado anterior.

c) Calculo del seno y el coseno en función de la tangente A través de la ecuación fundamental de la trigonometría:

sen 2 α + cos 2 α = 1

Si dividimos toda la ecuación por sen 2 α :

αα

2

2

sensen +

αα

2

2cossen

= α2

1sen

αα 22 cos1 ecctg =+

Y si en la ecuación fundamental de la trigonometría, dividimos por cos2 α :

αα

2

2

cossen +

αα

2

2

coscos =

α2cos1

αα 22 sec1 =+ tg


9

De manera que conociendo la tangente podemos conocer la secante y a continuación el coseno, y conociendo la cotangente podemos conocer la cosecante y a continuación el seno. 9.8 Líneas trigonométricas de ángulos relacionados Cuando dos ángulos tienen alguna relación entre sí, también sus líneas trigonométricas están relacionadas, de tal modo que si se conocen las de uno de ellos es posible calcular las del otro. a) Ángulos Complementarios

Los triángulos OAB y OCD son iguales ya que tienen los tres ángulos iguales y la hipotenusa igual, por tanto los otros dos catetos serán también iguales, es decir:

OA = CD ⇒ sen ( 90º - α ) = cos α

OC = AB ⇒ cos ( 90º - α ) = sen α Dividiendo miembro a miembro ambas igualdades resulta la expresión de la tangente:

tg ( 90º - α ) = ctg α


10

Invirtiendo las tres desigualdades obtenidas, resultan las otras tres líneas trigonométricas.

)90(

1α−sen

= αcos

1 ⇒ cosec ( 90º - α ) = sec α

)90(cos

1α−

= αsen

1 ⇒ sec ( 90º - α ) = cosec α

)90(

1α−tg

αctg

1 ⇒ ctg ( 90º - α ) = tg α

b) Ángulos suplementarios

Los triángulos OAB y OCD son iguales, ya que tienen la hipotenusa igual y los ángulos también iguales. Igualando los catetos de ambos triángulos obtenemos las expresiones del seno y del coseno.

CD = AB ⇒ sen ( 180º - α ) = sen α

OC = - OA ⇒ cos ( 180º - α ) = - cos α Dividiendo miembro a miembro ambas igualdades:


11

tag ( 180º - α ) = - tag α E invirtiendo las tres igualdades obtenidas resultan las otras tres lineas trigonométricas:

ctag ( 180º - α ) = - ctag α sec ( 180º - α ) = - sec α

cosec ( 180º - α ) = cosec α c) Ángulos que se diferencian en 180º:

Los triángulos OAB y OCD son iguales, ya que tienen la hipotenusa igual y los ángulos agudos también iguales. Igualando los catetos de ambos triángulos:

CD = - AB ⇒ sen ( 180º + α ) = - sen α

OC = - OA ⇒ cos( 180º + α ) = - cos α


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Dividiendo: tag ( 180º + α ) = tag α Invirtiendo: ctag ( 180º + α ) = ctag α sec ( 180º + α ) = - sec α

cosec ( 180º + α ) = - cosec α

d) Ángulos opuestos:

Los triángulos OAB y OCD son iguales ya que tienen la hipotenusa igual y los ángulos agudos también iguales. Igualando los catetos:

CD = - AB ⇒ sen ( - α ) = - sen ( α ) OC = OA ⇒ cos ( - α ) = cos ( α ) Dividiendo:

tag ( - α ) = - tag ( α )


13

Invirtiendo:

ctag ( - α ) = - ctag ( α ) sec ( - α ) = sec ( α ) cosec ( - α ) = - cosec ( α )

9.9 Reducción de un ángulo al primer cuadrante En la circunferencia trigonométrica no solamente tienen cabida los ángulos comprendidos entre 0º y 360º , sino que se pueden considerar ángulos superiores a 360º , así como también valores negativos.

Sin embargo, cuando un ángulo es menor de 0º o mayor de 360º, se puede reducir al primer giro, lo que supone encontrar un ángulo comprendido entre 0º y 360º, cuyas líneas trigonométricas coincidan con las del ángulo considerado.

Para reducir un ángulo al primer giro, basta sumarle o restarle el número exacto de vueltas.

Ejemplo: Reducir al primer giro el ángulo: 978º.

Este ángulo está comprendido entre 720º y 1080º o lo que es lo mismo entre 2 y 3 vueltas.

978º - 720 º = 258º ⇒ α = 258º

Una vez que el ángulo ha sido reducido al primer giro, se hallará en el primero, segundo, tercero o cuarto cuadrante según que su valor este comprendido entre 0º y 90º, entre 90º y 180º, entre 180º y 270º o entre 270º y 360º.

Pues bien si el ángulo se halla en el segundo, tercero o cuarto cuadrante, siempre se puede encontrar un ángulo del primer cuadrante cuyas líneas trigonométricas coincidan con las del ángulo dado, a excepción de los signos.

Para reducir un ángulo al primer cuadrante se procede de diferente manera según cual sea el cuadrante en el que inicialmente se encuentra.

- Si el ángulo se encuentra en 2º cuadrante de halla el suplementario - Si el ángulo se encuentra en el 3º cuadrante se le restan 180º - Si el ángulo se encuentra en el 4º cuadrante se expresa

primeramente como un ángulo negativo y a continuación se halla el opuesto.


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Ejemplos: 1.- Reducir al primer cuadrante el ángulo de 113º.

α = 113º - 180º = 67º 2.- Reducir al primer cuadrante el ángulo de 259º

α = 259º - 180º = 79º 9.10 Líneas trigonométricas de algunos ángulos

a) Líneas trigonométricas del ángulo 0º.-

sen 0º = AB = 0 sen 0º = 0 cos 0º = OA = 1 cos 0º = 1

tg 0º = º0cosº0sen =

10 = 0 → tg 0º = 0

ctg 0º = 1 / 0 ⇒ El ángulo de 0º no tiene cotangente, ya que el 0 carece de inverso.


15

sec 0º = 1 / cos 0º = 1/1 = 1 sec 0º = 1 cosec 0º = 1 / 0 ⇒ El ángulo de 0º no tiene cosecante.

b) Líneas trigonométricas del ángulo de 30º.-

OB = BC = OC ⇒ sen 30º = AB = 2CB =

21 → sen 30º =

21

cos 30º = º30sen1 2− = 2)2/1(1 − = 4/11 − = 4/3

cos 30º = 23 ;

2330cos =

3330=tag 330=ctg

c) Líneas trigonométricas del ángulo de 45º


16

AB = OA ⇒ sen 45º = cos 45º

sen 2 45º + cos 2 45º = 1 ⇒ 2 sen 2 45º = 1 ⇒ sen 2 45º = 21

sen 45º = 21 ⇒

22

2145 ==sen

2245cos = 145=tg

d) Líneas trigonométricas del ángulo de 60º

OA = AC ⇒ cos 60º = OCOA =

21 ⇒ sen 60º = 2)

21(1 − =

23

tg 60º = 3

e) Líneas trigonométricas del ángulo de 90º.-

Sen 90º = 1 ⇒ cos 90º = 0 ⇒ El ángulo de 90º no tiene tangente


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RESUMEN Seno Coseno Tangente Cotang. Secante Cosec.

0º

0

1

0

No existe

1

No existe

30º

21

23

33 3

332

2

45º 2

2 22

1

1

2 2

60º 2

3 21 3

33

2 3

32

90º

1

0

No existe

0

No existe

1

La tabla anterior nos permite también determinar las líneas trigonométricas de los ángulos de 120º , 135º, 150º, 180º, 210º, 225º, 240º, 270º, 300º, 315º, 330º y 360º, ya que cualquiera de estos ángulos, reducido al primer cuadrante, coincide con alguno de los que figuran en la tabla.


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EJERCICIOS: 1.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12 cm. Dibújalo y determina las razones trigonométricas del menor de sus ángulos. 2.- Comprueba que las soluciones del ejercicio anterior verifican todas las relaciones fundamentales.

3.- Determina las razones trigonométricas del ángulo α

4.- Utilizando papel cuadriculado dibuja un ángulo del primer cuadrante cuya tangente sea 2. 5.- Determina las otras 5 razones trigonométricas del ángulo del ejercicio anterior, expresando los resultados con cuatro cifras decimales 6.- Utilizando papel cuadriculado, dibuja un ángulo agudo cuya cotangente sea 5/4. 7.- Utilizando papel milimetrado, dibuja una circunferencia trigonométrica y toma sobre ella un ángulo agudo cuya tangente mida 1.5. Después, dibuja cuidadosamente las otras cinco líneas trigonométricas de este ángulo y expresa con la precisión que puedas, los valores de las mismas. 8.- El coseno de un ángulo situado en el 2º cuadrante es – 0.27. Determina las otras 5 líneas trigonométricas expresando los resultados con cuatro cifras decimales. 9.- Demuestra las siguientes igualdades entre expresiones trigonométricas.

a) ( sen α + cos α ) 2 = 1 + 2 sen α cos α


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b) 1 + tag 2 α = sec 2 α

c) ctg α sen α = cos α

d) cos 4 α - sen 4 α = 1 – 2 sen 2 α

e) αα

sencos1+ =

αα

cos1sen−

f) αα

sen1sen1

−+ =

αα

cossen1+

10.- El seno de un ángulo situado en el primer cuadrante es 2/5 . Determina las otras cinco líneas trigonométricas. 11.- La tangente de un ángulo situado en el tercer cuadrante es 2/3. Determina el seno, el coseno y la cotangente. 12.- La cotangente de un ángulo situado en el cuarto cuadrante es –4. Determina las otras cinco líneas trigonométricas expresando los resultados con tres cifras decimales. 13.- La secante de un ángulo situado en el primer cuadrante es 7/3. Determina las otras cinco líneas trigonométricas. 14.- La cosecante de un ángulo situado en el primer cuadrante es 9 . Determina las otras cinco líneas trigonométricas expresando los resultados con dos cifras decimales. 15.- ¿Cuál es el mínimo valor que puede tener la secante de un ángulo del primer cuadrante? 16.- ¿Entre que valores puede oscilar el seno de un ángulo? 17.- ¿Cuáles son el mínimo y el máximo valor que puede tener el coseno de un ángulo? 18.- ¿Es posible que la cosecante de un ángulo sea igual a 0.7?


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19.- ¿Es posible que la cosecante de un ángulo sea igual a la cotangente del mismo ángulo? 20.- Es posible que la cosecante de un ángulo sea igual a la secante del mismo ángulo? 21.- Dibuja un ángulo del primer cuadrante cuya tangente sea igual a la cotangente. 22.- Deduce la relación que existe entre las líneas trigonométricas de dos ángulos tales que el segundo se obtiene sumando 90º al primero. 23.- Deduce la relación que existe entre las líneas trigonométricas de dos ángulos tales que el segundo se obtiene restando 180º al primero. 24.- Construye una tabla que exprese las líneas trigonométricas de los ángulos de 0º , 30º , 45º , 60º , 90º , 120º , 135º , 150º , 180º , 210º , 225º , 240º , 270º , 300º , 315º y 330º. 25.- Reduce al primer giro y al primer cuadrante el ángulo de 998º. 26.- Completa el cuadro que figura a continuación, expresando las cinco líneas trigonométricas que faltan , suponiendo que corresponden a ángulos del primer cuadrante.

Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

1/5

2/7

5

3 / 4

3

4

27.- Reduce al primer giro y al primer cuadrante el ángulo: 26.791º. 28.- Utilizando regla y compás, construye un ángulo del primer cuadrante cuya secante sea 3.


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29.- Utilizando un transportador de ángulos, comprueba que el ángulo que has dibujado en el ejercicio anterior mide aproximadamente 70º. 30.- Utilizando un compás y un transportador de ángulos dibuja un ángulo de 22º sobre una circunferencia trigonométrica de 10 cm. de radio. A continuación representa las seis líneas trigonométricas de este ángulo. 31.- Utilizando una regla milimétrica, determina con la precisión que puedas, las seis líneas trigonométricas del ángulo de 22º que has dibujado en el ejercicio anterior. 32.- Utilizando la calculadora, comprueba los valores obtenidos en el ejercicio anterior. 33.- Determina por medio de la calculadora, expresando el resultado con cinco cifras decimales: a) sen 27º b) cos 62º c) tag 59º d) ctg 35º e) sec 28º f) cosec 12º 34.- Determina, por medio de la calculadora, las líneas trigonométricas de los ángulos que se indican, expresando el resultado con siete cifras decimales. a) sen 27º 2’ b) cos 62º 3’’ c) tag 59º 2’ 1’’ d) ctg 35º 1º e) sec 28º 12’ 13’’

Apuntes de matemáticas 4º ESO Colegio La Magdalena 2º Trimestre Tema 10: Ampliación de Trigonometría

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TEMA 10: AMPLIACIÓN DE TRIGONOMETRIA Uno de los problemas técnicos con el que se tenían que enfrentar los arquitectos egipcios al construir las pirámides era conseguir que la pendiente de una cara se mantuviese constante y que esta pendiente fuese la misma para las cuatro caras.

Para controlar esta magnitud utilizaban una medida que se llamaba el SEGT. El segt de cada cara de una pirámide era el número de unidades horizontales que había que avanzar hacia el eje de la pirámide para subir una longitud vertical. Es lo que hoy llamamos cotangente del ángulo.

Los egipcios utilizaban la mano como unidad de longitud horizontal y el codo equivalente a siete manos, como unidad de longitud vertical. Por tanto, el segt era la inclinación correspondiente a un plano en el que para subir un codo era necesario avanzar una mano.

Cuantos más segts tiene la cara de una pirámide menor es su inclinación. El segt de la pirámide de Keops, en la que la mitad del lado de la base mide 1540 manos y la altura mide 280 codos, es 5.5, ya que por cada codo de subida es preciso avanzar 5.5, manos.

10.1 Líneas trigonométricas de una suma de ángulos

Supongamos que conocidas las líneas trigonométricas principales: seno, coseno y tangente de dos ángulos a y b, queremos determinar las del ángulo a+b.

Para ello dibujamos los dos ángulos en una circunferencia trigonométrica, pero colocándolos uno a continuación del otro, con objeto de que el ángulo a + b este situado a partir del origen de ángulos.

Sí dibujamos el seno y el coseno de a y de b , así como también los del ángulo suma a + b , observamos que:

sen a = AB cos a = OA sen b = CD cos b = OC

sen ( a + b ) = ED cos ( a + b ) = OE

Además los ángulos CDE ˆ y BOA ˆ son iguales ya que sus lados son respectivamente perpendiculares , por lo tanto la medida del ángulo CDE ˆ es: a


23

Por otra parte a partir del punto C trazamos los segmentos CF y CG. De este modo quedan definidos una serie de triángulos que nos van a servir para relacionar las líneas trigonométricas de los tres ángulos que intervienen en el proceso

Seno de una suma de ángulos: El seno del ángulo suma a + b es el segmento ED que, tal como se observa en la figura, puede descomponerse en dos sumandos, los cuales, según veremos, se expresan en función de las líneas trigonométricas de a y b. sen ( a + b ) = ED = EG + GD = FC + GD Sí en el triángulo OFC consideramos el seno del ángulo agudo a, tenemos:

sen a = OCFC ⇒ FC = sen a · OC = sen a · cos b

Por otra parte , si en el triángulo CGD consideramos el coseno del ángulo agudo a, tenemos:


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cos a = DCGD ⇒ GD = cos a · DC = cos a · sen b

Finalmente nos queda: sen ( a + b ) = sen a cos b + cos a sen b Ejemplo: Determinar el seno del ángulo de 75º.

sen 75º = sen ( 45º + 30º ) = sen 45º cos 30º + cos 45º sen 30º = 22 ·

23 +

22 .

21

Coseno de una suma de ángulos: El coseno del ángulo suma es el segmento OE que según la figura: cos ( a + b ) = OE = OF - EF = OF - GC Sí en el triángulo OFC consideramos el coseno del ángulo agudo a, tenemos:

cos a = OCOF ⇒ OF = cos a · OC = cos a · cos b

Por otra parte, si en el triángulo CGD consideramos el seno del ángulo agudo a:

sen a = DCGC ⇒ GC = sen a · DC = sen a · sen b

426º75 +

=sen


25

Finalmente nos queda: cos ( a + b ) = cos a cos b – sen a sen b Ejemplo: Determinar el coseno del ángulo de 75º.-

cos 75º = cos ( 45º + 30º ) = cos 45º cos 30º - sen 45º sen 30º = 22

23 -

22

21

Tangente de una suma de ángulos.- Si dividimos las formulas del seno y del coseno:

tag ( a + b ) = )(cos)(babasen

++ =

bsenasenbabsenabasen

−+

coscoscoscos =

=

basenasenb

baba

baasenb

babsena

coscoscoscoscoscos

coscoscos

coscoscos

−

+ =

basenasenb

bsenb

asena

coscos1

coscos−

+ =

tgbtgatgbtga

−+

1

tgatgbtgbtgabatg

−+

=+1

)(

Ejemplo: Determinar la tangente del ángulo de 75º

4

26º75cos

−=


26

tg 75º = tg ( 45º + 30º ) = ºtgºtgºtgºtg

304513045

−+ =

3111

311

.−

+ =

1313

−

+ =

= )()()()(

13131313

+−++ =

131323

2

2

−

++

)(.)(

= 2 + 3

10.2 Líneas trigonométricas de una diferencia de ángulos Supongamos que, conocidas las líneas trigonométricas principales: seno, coseno y tangente, de dos ángulos a y b , queremos determinar las del ángulo a – b . Seno de una diferencia de ángulos: sen ( a – b ) = sen [ a + ( -b ) ] sen a cos ( -b ) + cos a sen ( -b ) y sabemos que: sen ( -b ) = - sen b y cos ( -b ) = cos b, por tanto: sen ( a – b ) = sen a cos b – cos a sen b Ejemplo: Dados dos ángulos del primer cuadrante, cuyos senos son 1/3 y 1/4 respectivamente, determinar el seno del ángulo a – b:

cos a = asen21− = 2

311 )(− =

911 − =

322

cos b = bsen 21− = 2

411 )(− =

1611 − =

415

y sustituyendo en la fórmula:

sen ( a – b ) = 31 .

415 -

322 .

41 =

1215 -

1222 =

122215 −


27

Coseno de una diferencia de ángulos: cos ( a – b ) = cos [ a + ( -b ) ] = cos a cos ( -b ) – sen a sen ( -b ) =

cos a cos b + sen a sen b Ejemplo: Dados dos ángulos a y b del primer cuadrante en los que se verifica que:

sen a = cos b = 109

Determinar el coseno del ángulo a – b, expresando el resultado en forma de número decimal, con sis cifras decimales.

cos a = asen21− = 2

1091 )(− =

1019 = sen b

cos ( a – b ) = cos a cos b + sen a sen b = 1019 .

109 +

109 .

1019 =

50199 =

0.784602 Tangente de la diferencia de ángulos:

tg ( a – b ) = tg [ a + ( -b ) ] = )(1)(btgatgbtagtga

−−−+ =

tgatgbtgbtga

+−

1

Ejemplo: Dados los ángulos a y b del primer cuadrante, cuyas tangentes son 3 y 2 , respectivamente, determinar la tangente del ángulo diferencia a – b. 10.3 Líneas trigonométricas del ángulo doble Supongamos que conocidas las líneas trigonométricas principales de un ángulo a, queremos determinar las del ángulo 2ª, doble del primero. Seno del ángulo doble: sen 2 a = sen ( a + a ) = sen a cos a + cos a sen a = 2 sen a cos a


28

Ejemplo: Sabiendo que el seno de un ángulo del segundo cuadrante es 1/5 , determinar el seno de su ángulo doble. Coseno del ángulo doble: cos 2 a = cos ( a + a ) = cos a cos a – sen a sen a = cos2 a – sen2 a Ejemplo.- Sabiendo que el seno de un ángulo del primer cuadrante es 7/12 , determinar el coseno de su ángulo doble. Tangente del ángulo doble:

tg 2a = tg ( a + a ) = tgatgatgatga

−+

1 =

atgatg21

2−

Ejemplo: Sabiendo que la tangente de un ángulo es 3, determinar la tangente de su ángulo doble. 10.4 Líneas trigonométricas del ángulo mitad Seno del ángulo mitad:

Sabemos que: cos 2 2a + sen 2

2a = 1

Y si consideramos la formula del coseno del ángulo doble, referida al ángulo

2a :

cos a = cos 2 2a - sen 2

2a ⇒ cos 2

2a = sen 2

2a + cos a

y sustituyendo en la ecuación anterior:

sen 2 2a + cos a + sen 2

2a = 1 ⇒ sen

2a = ±

2cos1 a−


29

Al utilizar la fórmula es preciso elegir adecuadamente el signo, dependiendo del

cuadrante en el que se encuentre el ángulo 2a

Ejemplo.- Sabiendo que el coseno de un ángulo del primer cuadrante es 0.36, determinar el seno de su ángulo mitad. Coseno del ángulo mitad: Consideremos las mismas dos fórmulas de antes:

cos 2 2a + sen 2

2a = 1

cos 2 2a - sen 2

2a = cos a

Sumando miembro a miembro:

2 cos 2 2a = 1 + cos a

cos 2a = ±

2cos1 a+

Ejemplo: Sabiendo que el coseno de un ángulo del primer cuadrante es 0.36, determinar el coseno del ángulo mitad. Tangente del ángulo mitad:

tg 2a =

2cos

2a

asen =

2cos12cos1

a

a

+

−

= aa

cos1cos1

+−

Si multiplicamos en la fracción de dentro de la raíz arriba y abajo por : 1 – cosa:

tg 2a =

)cos1)(cos1()cos1)(cos1(aaaa

−+−− =

aa

2

2

cos1)cos1(

−− =

asenacos1 −


30

Y si hubiéramos multiplicado en la fracción por 1 + cos a:

tg 2a =

aasen

cos1 +

Ejemplo: Sabiendo que el coseno de un ángulo del primer cuadrante es 0.36, determinar la tangente del ángulo mitad 10.5 Formulas de transformación de productos en sumas Transformación en suma del producto de un seno por un coseno: sen ( a + b ) = sen a cos b + cos a sen b sen ( a – b ) = sen a cos b – cos a sen b Sumando miembro a miembro ambas igualdades: sen ( a + b ) + sen ( a – b ) = 2 sen a cos b

sen a cos b = 21 [ sen ( a + b ) + sen ( a – b ) ]

Ejemplo: Transformar en suma el producto: sen 40º . cos 25º Transformación en suma de un producto de senos: cos ( a – b ) = cos a cos b + sen a sen b cos ( a + b ) = cos a cos b – sen a sen b Restando miembro a miembro ambas igualdades: cos ( a – b ) – cos ( a + b ) = 2 sen a sen b


31

sen a sen b = 21 [ cos ( a – b ) – cos ( a + b ) ]

Ejemplo: Transformar en suma el producto sen 3x . sen x Transformación en suma de un producto de cosenos: cos ( a – b ) = cos a cos b + sen a sen b cos ( a + b ) = cos a cos b – sen a sen b Sumando miembro a miembro ambas igualdades: cos ( a – b ) + cos ( a + b ) = 2 cos a cos b

cos a cos b = 21 [ cos ( a – b ) + cos ( a + b ) ]

Ejemplo: Transformar en suma el producto cos 80º . cos 20º 10.6 Fórmulas de transformación de sumas en productos Transformación en producto de una suma de senos: sen ( a + b ) = sen a cos b + cos a sen b sen ( a – b ) = sen a cos b – cos a sen b Sumando miembro a miembro ambas igualdades: sen ( a + b ) + sen ( a – b ) = 2 sen a cos b


32

Si llamamos A = a + b y B = a – b ⇒ a = 2BA + y b =

2BA −

sen A + sen B = 2 sen 2BA + . cos

2BA −

Ejemplo.- Transformar en producto: sen 72º + sen 10º Transformación en producto de una diferencia de senos: sen ( a + b ) = sen a cos b + cos a sen b sen ( a – b ) = sen a cos b – cos a sen b Restando miembro a miembro ambas igualdades: sen ( a + b ) – sen ( a – b ) = 2 cos a sen b Y volviendo a hacer el mismo cambio de variable que antes:

sen A – sen B = 2 cos 2BA + . sen

2BA −

Ejemplo: Transformar en producto la diferencia sen 5x – sen 3x Transformación en producto de una suma de cosenos: cos ( a – b ) = cos a cos b + sen a sen b cos ( a + b ) = cos a cos b – sen a sen b Sumando miembro a miembro ambas igualdades: cos ( a + b ) + cos ( a – b ) = 2 cos a cos b Y volviendo a hacer el mismo cambio de variable:


33

cos A + cos B = 2 cos 2BA + . cos

2BA −

Ejemplo: Transformar en producto la suma: cos 70º + cos 20º Transformación en producto de una diferencia de cosenos: cos ( a + b ) = cos a cos b – sen a sen b cos ( a – b ) = cos a cos b + sen a sen b Restando miembro a miembro ambas igualdades: cos ( a + b ) - cos ( a – b ) = - 2 sen a sen b Y volviendo a hacer el mismo cambio de variable:

cos A – cos B = - 2 sen 2BA + . sen

2BA −

Ejemplos: 1.- Transformar en producto la diferencia: cos 0º - cos 20º 2.- Transformar en producto la diferencia: cos 20º - sen 40º


34

EJERCICIOS: 1.- Los senos de dos ángulos del primer cuadrante son 0.2 y 0.1. Determina en forma decimal, apreciando hasta la cienmilésima, el seno y el coseno de la suma de ambos. 2.- Determina en forma decimal, el seno y el coseno de la diferencia de los dos ángulos del ejercicio anterior.

3.- Los senos de dos ángulos del primer cuadrante son 21 y

31 . Determina en

forma exacta, el seno y el coseno de la suma de ambos. 4.- Determina el seno y el coseno de la diferencia de los ángulos del ejercicio anterior. 5.- Determina el seno, el coseno y la tangente de 90º, considerando que este ángulo se puede obtener sumando los ángulos de 60º y 30º. 6.- Determina el seno, el coseno y la tangente de 105º, considerando que este ángulo se puede obtener sumando los ángulos de 60º y 45º 7.- Determina el seno, el coseno y la tangente de 0º, considerando que este ángulo se puede obtener restando a un ángulo cualquiera el mismo ángulo. 8.- Determina el seno, el coseno y la tangente de 15º, considerando que este ángulo se puede obtener restando los ángulos de 60º y de 45º. 9.- Las tangentes de dos ángulos del primer cuadrante son 0.99 y 0.98. Determina, en forma decimal, la tangente de su suma y de su diferencia. 10.- Las tangentes de dos ángulos del primer cuadrante son 7 y 6. Determina, en forma exacta, la tangente de su suma y de su diferencia. 11.- Deduce el seno y el coseno del ángulo a + 90º en función de las líneas trigonométricas del ángulo a 12.- Deduce el seno y el coseno del ángulo a + 45º en función de las líneas trigonométricas del ángulo a.


35

13.- Deduce la tangente del ángulo a + 45º en función de las líneas trigonométricas del ángulo a. 14.- Determina el seno de 15º, considerando que este ángulo es la diferencia entre 45º y 30º. 15.- Determina el seno de 15º, considerando que este ángulo es la mitad del de 30º. 16.- Comprueba que las soluciones de los dos ejercicios anteriores son equivalentes. 17.- Determina la tangente de 15º, considerando que este ángulo es la diferencia entre 45º y 30º. 18.- Determina la tangente de 15º, considerando que este ángulo es la mitad de 30º. 19.- Determina las líneas trigonométricas del ángulo de 120º, considerando que este ángulo es el doble de 60º. 20.- Determina el seno del ángulo de 22º 30´, considerando que este ángulo es la mitad de 45º 21.- Determina la tangente del ángulo de 22º y 30´. 22.- Deduce una formula que nos de el seno del ángulo 2 a en función de la tangente de a. 23.- Deduce una formula que nos de el seno de 3 a en función del seno de a. 24.- Deduce una formula que nos de el coseno de 3 a en función del coseno de a. 25.- Deduce una formula que nos de la tangente de 3 a en función de la tangente de a. 26.- Sabiendo que el seno de un ángulo a del primer cuadrante es 1/3. Determina el seno, el coseno y la tangente del ángulo 3 a .


36

27.- Deduce una formula que nos de el seno de 4 a en función de las líneas trigonométricas de a. 28.- Deduce una fórmula que nos de el coseno de 4 a en función del seno de a. 29.- Deduce una formula que nos de la tangente de 4 a en función de la tangente de a. 30.- Sabiendo que el seno de un ángulo a del primer cuadrante es 3/5. Determina el seno el coseno y la tangente del ángulo 4 a . 31.- Los senos de dos ángulos a y b del primer cuadrante son 0.2 y 0.1 . Detremina en forma decimal el seno y el coseno del ángulo 2 a + b. 32.- Transforma en sumas los siguientes productos de líneas trigonométricas. a) sen 10º . cos 40º b) sen 23º . sen 71º c) cos 17º . cos 54º d) sen 3x cos 5x e) sen 2x . sen 4x f) cos 2x . cos 3x 33.- Transforma en producto las siguientes sumas de líneas trigonométricas. a) sen 48º + sen 52º b) sen 80º - sen 20º c) sen 17º + cos 57º d) cos 3x – cos 5x e) sen 4x + sen 2x f) cos 3º + cos 5º

Apuntes de matemáticas 4º ESO Colegio La Magdalena 2º Trimestre Tema 11: Resolución de Triángulos

37

TEMA 11: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 11.1 Introducción Resolver un triángulo es calcular todos sus lados y ángulos a partir de un mínimo número determinado de ellos que sirvan para determinarlo.

En el caso del triángulo rectángulo, el problema es especialmente sencillo, ya que el teorema de Pitágoras relaciona sus lados, y las propias definiciones de las razones trigonométricas relacionan sus lados con sus ángulos.

11.2 Resolución de triángulos rectángulos Los elementos de un triángulo rectángulo que se pueden tomar como datos para, a partir de ellos, determinar todos los demás, son los siguientes:

- La hipotenusa y un cateto - Los dos catetos - La hipotenusa y un ángulo agudo - Un cateto y un ángulo agudo

Resolución de un triángulo rectángulo a partir de la hipotenusa y un cateto:

sen B = Hipotenusa

opuestoCateto = ab

cos C = Hipotenusa

contiguoCateto = ab

A continuación, calculamos el cateto c por medio del teorema de Pitágoras.


38

Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 cm. Y un cateto mide 3 cm. Calcula los dos ángulos agudos y el otro cateto. Resolución de un triángulo rectángulo a partir de los dos catetos:

tg B = contiguoCatetoopuestoCateto =

cb

tg C = contiguoCatetoopuestoCateto =

bc

A continuación calculamos la hipotenusa a por medio del teorema de Pitágoras. Ejemplo: Los catetos b y c de un triángulo rectángulo miden 5 y 9 m. Respectivamente. Determinar los dos ángulos agudos y la hipotenusa. Resolución de un triángulo rectángulo a partir de la hipotenusa y un ángulo agudo:


39

sen B = Hipotenusa

opuestoCateto = ab ⇒ b = a sen B

cos B = Hipotenusa

contiguoCateto = ac ⇒ c = a cos B

A continuación, calculamos el ángulo agudo C, considerando que es el complementario de B. C = 90º - B Ejemplo.- La hipotenusa del triángulo de la figura mide 1 Km. Y el ángulo agudo B mide 1º. Determinar los dos catetos del mismo. Resolución de un triángulo rectángulo a partir de un cateto y un ángulo agudo:

sen B = Hipotenusa

opuestoCateto = ab ⇒ a =

Bsenb

tg B = contiguoCatetoopuestoCateto =

cb ⇒ c =

Btgb

A continuación, calculamos el ángulo C, considerando que es el complementario de B. C = 90º - B Ejemplo.- El cateto vertical b de la figura anterior mide 15 cm. Y el ángulo agudo B, opuesto al mismo, mide 0.9 radianes. Determinar la hipotenusa y el otro cateto.


40

11.3 Teorema del seno La trigonometría nos permite determinar la relación numérica que existe entre cada ángulo y su correspondiente lado opuesto.

Si trazamos la altura CD se forman dos triángulos rectángulos, ADC y BDC. En cada uno de ellos podemos deducir el valor del cateto DC en función de la hipotenusa y del ángulo opuesto.

sen A = -ACDC =

bDC ⇒ DC = b sen A

sen B = BCDC =

aDC ⇒ DC = a sen B

Igualando las dos expresiones :

b sen A = a sen B ⇒ Asen

a = Bsenb

Del mismo modo, trazando la altura correspondiente al vértice B, podíamos haber demostrado que:

Asen

a = Csenc

De donde:

Csenc

Bsenb

Asena

==


41

En todo triángulo, las longitudes de los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. 11.4 Teorema del coseno

Este teorema nos va a permitir calcular un lado de un triángulo cualquiera cuando se conocen los otros dos y el ángulo que forman.

La altura CD determina dos triángulos rectángulos: ACD y BCD: a 2 = h 2 + ( c – n ) 2 = h 2 + c 2 - 2 c n + n 2 b 2 = h2 + n 2 restando miembro a miembro ambas igualdades se obtiene: a 2 - b 2 = c 2 - 2 c n Despejando a 2 : a 2 = b 2 + c 2 - 2 c n En el triángulo rectángulo de la izquierda ADC:

cos A = ACAD =

bn ⇒ n = b cos A

Y sustituyendo en la expresión anterior:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos A


42

En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de estos por el coseno del ángulo que forman. 11.5 Resolución de triángulos oblicuángulos Los elementos de un triángulo oblicuángulo que se pueden tomar como datos para, a partir de ellos determinar todos los demás son los siguientes:

- Los tres lados - Dos lados y el ángulo comprendido entre ambos - Dos lados y un ángulo no comprendido entre ambos - Un lado y dos ángulos

Resolución de un triángulo a partir de sus lados: Aplicando el teorema del coseno a cada uno de los lados iremos conociendo los tres ángulos.

Sí en la formula el coseno nos sale negativo se tratará de un ángulo obtuso y si es positivo será un ángulo agudo.

Es interesante considerar que los tres lados de un triángulo no pueden ser valores cualesquiera, ya que tienen que cumplir el requisito de que un lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos y mayor que la diferencia.

Por ello si al resolver un triángulo nos encontramos con que un coseno es mayor que la unidad, lo cual es imposible, esto significa que los datos son incompatibles.

Ejemplo: Los lados a, b y c de un triángulo miden 3, 6 y 7 cm respectivamente. Determinar el valor de los tres ángulos.

Resolución de un triángulo a partir de dos de sus lados y del ángulo comprendido entre ambos: Bastará aplicar el teorema del coseno y posteriormente el del seno. Ejemplo: Los lados a y b de un triángulo miden 3 y 5 cm. respectivamente y el ángulo C comprendido entre ambos es de 70º. Determinar el lado c, así como los otros dos ángulos. Resolución de un triángulo a partir de dos de sus lados y de un ángulo no comprendido entre ambos: Estos ejercicios se resuelven por aplicación del teorema del seno.


43

Ejemplo: Los lados a y b de un triángulo miden 4 y 3 cm, respectivamente y el ángulo A opuesto al primero de ellos es de 38º. Determinar el lado c y los otros dos ángulos. Resolución de u triángulo a partir de un lado y dos ángulos: Si se conocen dos ángulos, se conoce el tercero restando a 180º la suma de ambos y conocidos los tres ángulos y un lado, aplicando el teorema del seno, conoceremos los otros dos lados.

Ejemplo: El lado a de un triángulo mide 9 cm. y los ángulos B y C miden 51º y 74º respectivamente. Determinar el ángulo A, saí como los otros dos lados.

11.6 Área de un triángulo

Área = 21 Base . Altura =

21 b . h

DB = AB . sen A ⇒ h = c sen A El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo que forman. Ejemplo: Dos de los lados de un triángulo miden 5.73 y 6.28 m y estos dos lados forman un ángulo de 38º. Calcular su área.

AsencbS21

=


44

11.7 Aplicaciones practicas La resolución de triángulos posee numerosas aplicaciones practicas en problemas técnicos que surgen en el ámbito de la Geometría, la Física, la Topografía, la Astronomía,…..y en muchos campos de la Ciencia y de la Técnica. Ejemplos: 1.- Determinar el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 3 cm de radio. 2.- Con objeto de averiguar la altura que tiene una estatua, se coloca un teodolito a 80 metros del pedestal de la misma. Con este aparato que sirve para medir ángulos, se lanza una visual a los pies de la estatua, resultando que esta visual forma un ángulo de 12º 36´ con el plano horizontal. Otra visual lanzada a la cabeza de la estatua tiene una inclinación de 19º 13´ con respecto al mismo plano. ¿Cuál es la altura de la estatua? 3.- Calcular la longitud de la diagonal de un pentágono regular de 5 cm de lado. 4.- Con objeto de llevar a cabo el proyecto de un puente, un ingeniero desea saber la distancia entre el punto A en el que se encuentra y el punto B, situado en un lugar inaccesible de la otra orilla. Para ello toma como referencia un punto C situado a 100 m de A, construye el triángulo ABC y, utilizando un teodolito mide los ángulos A y C, cuyos valores son A = 66º 47´ y C = 51º 33´. ¿Que distancia hay entre A y B? 5.- Dos fuerzas de 60 y 100 Kgf actúan sobre un mismo punto formando un ángulo de 80º. ¿Cuál es la intensidad de la resultante?


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EJERCICIOS DE RESOLUCION DE TRIANGULOS CUALESQUIERA 1.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 17 cm y un cateto del mismo mide 2 cm. Determina el otro cateto y los dos ángulos agudos. 2.- Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 13 y 17 cm. Determina la hipotenusa y los dos ángulos agudos. 3.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 11 cm y uno de los ángulos agudos 19º . Determina los dos catetos y el otro ángulo agudo. 4.- Un cateto de un triángulo rectángulo mide 5 cm y el ángulo opuesto al mismo 26º. Determina el otro cateto, la hipotenusa y el otro ángulo agudo. 5.- Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 7 cm y el ángulo contiguo al mismo 31º. Determina el otro cateto, la hipotenusa y el otro ángulo agudo. 6.- Los lados de u triángulo isósceles miden 4 , 7 y 7 cm. Determina sus tres ángulos. 7.- El lado desigual de un triángulo isósceles mide 18.4 cm y el ángulo desigual 54º 20´. Determina el valor de cada uno de los lados iguales y de cada uno de los ángulos iguales. 8.- Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 14 cm y cada uno de los ángulos iguales 12º. Determina el valor del lado desigual y del ángulo desigual. 9.- Determina el lado y los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 6 cm y 7 cm. 10.- Determina el radio de un pentágono regular de 1 cm de lado. 11.- Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 22 cm y el ángulo desigual 48º. Determina el valor del lado desigual y de cada uno de los ángulos iguales. 12.- Cada uno de los lados de un rombo mide 10 cm y uno de sus ángulos 65º. Determina las diagonales.


46

13.- La gran Pirámide de Keops tiene una altura de 138 metros y su base es un cuadrado de 227 metros de lado. Determina el ángulo de inclinación de cada una de las aristas. 14.- Desde un barco situado cerca de la costa guipuzcoana se ve el Monte Igueldo bajo un ángulo de 12º 17´. Sabiendo que la altura de este monte es de 181 metros. ¿A que distancia de su base se encuentra el barco? 15.- Los tres lados de un triángulo miden 3 , 5 y 7 cm. Determina el valor de sus tres ángulos. 16.- Dos lados de un triángulo miden 4 y 6 cm y el ángulo comprendido entre ambos 29º . Determina los otros dos ángulos así como también el tercer lado. 17.- Un lado de un triángulo mide 12 cm y los dos ángulos adyacentes al mismo, 28º y 85º. Determina los otros dos lados. 18.- Calcula el área de un triángulo cuyos lados miden 3 , 4 y 5 cm. 19.- Calcula el área de un triángulo sabiendo que dos de sus lados miden 4 y 6 cm y el ángulo comprendido entre ambos 30º. 20.- Un avión cuya velocidad propia en ausencia de viento, es de 200 km/h se ve empujado por una corriente de aire de 20 km/h cuya dirección forma 40º con el eje del aparato. ¿Cuál es la velocidad real del mismo? 21.- ¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de 6 y 7 kgf para que su resultante sea igual a la mayor de ellas? 22.- Los lados de un triángulo miden 21 , 18 y 5 cm. Calcula la altura correspondiente al lado mayor. 23.- Desde un punto situado a 100 metros de una torre se ve esta bajo un ángulo de 38º 47´. ¿Bajo que ángulo se verá esta misma torre desde una distancia de 200 metros?


47

24.- Un paralelogramo cuyos lados miden 12 y 20 cm tiene una superficie de 200 cm2. Determina el ángulo que forman sus lados. 25.- Demuestra que un triángulo isósceles , cuyos lados iguales son b y c, se verifica:

B

acos2

= b

26.- Demuestra que en un triángulo isósceles cuyos lados iguales son a y c se verifica:

b = a )cos1(2 B−


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Ejercicio sobre una aplicación practica de trigonometría: Encontrándonos en una de las orillas de una ría, deseamos averiguar la distancia existente entre dos faros A y B situados en la orilla opuesta. Para ello, tomamos en nuestra orilla, dos puntos C y D separados por una distancia conocida, por ejemplo 500 metros y construimos el cuadrilátero formado por los puntos: A, B, C y D. Por medio de un teodolito medimos los ángulos ACD, BCD, ADC y BDC cuyos valores resultan ser: 83º 12´, 79º56´, 88º 11´ y 93º 58´. A partir de estos datos, determinar la distancia entre los dos faros.

Apuntes de matemáticas 4º ESO Colegio La Magdalena 2º Trimestre Tema 12: Ecuaciones Trigonométricas

49

TEMA 12: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 12.1 Comprobar que son ciertas las siguientes igualdades sustituyendo las

razones que aparecen por sus valores numéricos. a).- tg 60º . cotg 240º = 1 b).- cos 30º . sec 330º = 1

c).- tg 45º = º315cosº45sen

d).- sen 120º = 2 sen 60º cos 60º

e).- cos 150º = - 2

º300cos1+

12.2 Demostrar que se cumplen las siguientes relaciones trigonométricas

a) sen 2 α + 1 = 2 - cos 2 α

b) cos 2 α - sen 2 α = 2 cos 2 α - 1

c) ( 1 – ctg α ) 2 = cosec 2 α - 2 cotg α d) ( tg α + cotg α ) 2 = sec 2 α + cosec 2 α

e) sec α - cos α = tg α . sen α

f) αα

cos1cos 2 −ec = cotg α . cosec α

g) α

α2

2 1secsen

− = sec 2 α


50

h) sen α ( cosec α - sen α ) = cos 2 α

i) tg α ( sen α + cotg α . cos α ) = sec α

j) αα

sen

2cos + sen α = cosec α

k) αα cos.

1sen

- αα

sencos = tg α

l) αα

sentg +

αα

tgeccos = cosec 2 α sec α

m) αα

sensec -

αα

cossen = ctg α

12.3 Demostrar que las ecuaciones siguientes son identidades

a) α

αsec1+tg -

αα

sec1−tg =

αsen2

b) α

αααcos

cos tgsen + = 2 tg α

c) αα

αsen−cos

cos = ααααα

cos21)cos(cos

sensen

−−

d) sen 2α - cos 2α = sen 4α - cos 4α

e) α

ααgsenec

cotcos − -

ααecg

coscot = 0


51

f) α

αcos1

sec−

= α

α2

1secsen

+

g) ( sec α - tg α ) ( cosec α + 1 ) = cotg α

h) α

αsen−1

cos - αα

cos1 sen+ = 0

i) βα

βαgg

tgtgcotcot +

+ = tg α · tg β

12.4 Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas

a) sen 2 α - cos 2 α = 21

b) 3 tg 2α = 1 + 2 tg α

c) tg α = 5 sen α

d) 3 tg α = 2 cos α

e) cotg 2 α - cosec α = 1

f) sen α + cosec α = 25

g) 5 sec α - 4 cos α = 8

h) sen 2 α - 2 cos 2 α = 1

i) 3 sec 2 α - 7 tg 2 α = tg α

j) cos 2 α - sen 2 α + 3 sen α = 2


52

12.5 Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas

a) cos α = sen 2 α

b) cos 2 α + 3 sen α = 2

c) tg 2 α = cotg α

12.6 Demostrar

a) ( cos α + sen α ) 2 = sen 2 α + 1

b) sec 2 α = αααα

tggtgg

−+

cotcot

12.7 Resolver

a) 10 sen α + 3 tg α + 8 sen α cos α = 0

b) cos 2 α + sen α = 4 sen 2 α

c) sen 2 α cos α = 6 sen 3 α

d) tg ( 45º + α ) + tg ( 45º - α ) = 4

e) 2 cos 2 α + cos 2 α . cos α = 0

12.8 Demostrar

a) )()()cos()(cosyxsenyxsenyxyx

−+++−− = tg y

b) tg ( 45º + α ) - tg ( 45º - α ) = 2 tg 2 α


53

c) cos 2 α = αα 2.1

1tgtg+

d) sen A = sen B . cos ( A – B ) + cos B sen ( A – B )

Apuntes de matemáticas 4º ESO Colegio La Magdalena 2º Trimestre Tema 14: Los Números Complejos

54

TEMA 13: LOS NÚMEROS. POTENCIAS Y RADICALES

El Conjunto de los Números Naturales Cuando contamos los elementos de un conjunto, asociamos a cada elemento del conjunto un elemento de la sucesión de los números naturales, que arrancando de cero serían: 0 , 1 , 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , …………………………………….. El conjunto de los números naturales se designa con la letra N. El conjunto N se representa gráficamente en una semirrecta. Entre los números naturales se puede establecer un criterio de comparación: a > b o a < b. La suma y el producto son operaciones internas dentro del conjunto N. El hecho de no poder resolver cualquier tipo de restas trabajando con números naturales, nos hace pensar en la existencia de otro conjunto de números que supere esta dificultad: El conjunto Z de los números enteros: Z = { …… -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ………… } El conjunto Z se representa gráficamente en una recta. El conjunto Z es un conjunto ordenado, ya que dados dos números enteros distintos o a > b o a < b . La suma , la resta y el producto de números enteros son operaciones enteras dentro del conjunto Z. ( Z , + , . ) tiene estructura algebraica de anillo unitario y conmutativo. El hecho de no poder resolver cualquier tipo de divisiones trabajando con números enteros, nos hace pensar en la existencia de otro conjunto de números que supere esta dificultad: El conjunto Q de los números racionales. Se dice que a/b es una fracción de números enteros, si y solo si a y b son dos números enteros cualesquiera y b es distinto de cero. El conjunto de las fracciones de números enteros da origen al conjunto de los números racionales: Q. El conjunto Q se representa gráficamente en una recta. El Conjunto Q es un conjunto ordenado ya que siempre se puede establecer una comparación entre dos fracciones de números enteros, es decir o a/b > c/d o a/b < c/d siempre que no se trate de fracciones equivalentes. No todos los números decimales se pueden expresar en forma de fracción. Se pueden representar los números decimales limitados, también se pueden representar en forma de fracción los números decimales periódicos, pero no se pueden representar en forma de fracción los números decimales ilimitados no-periódicos, y por tanto no son números racionales. A estos números se les


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llama números irracionales. El conjunto de los números irracionales se representa por I. Su representación gráfica cabe en la recta de los números racionales y la unión de los números racionales con los irracionales constituye el conjunto de los números Reales: R. R = Q U I . 13.2 Potencias y Radicales an = a .a . a. a . …… n veces am . an = am+n am : an = am-n ( am )n = am.n ( a . b ) n = a n . b n ( a : b ) n = a n : a n

a 0 = 1 ( excepto para a = 0 )

a –n = na

1

(ba ) –n = (

ab ) n

a qp

= qp

a

13.3 Radicales cuadráticos

a b

Los radicales cuadráticos se pueden sumar y restar cuando son semejantes, es decir, cuando tienen el mismo radicando.


56

Los radicales cuadráticos siempre se pueden multiplicar y dividir a excepción de la división por cero Todos los números reales se pueden expresar como radicales cuadráticos, de modo que el conjunto R es un subconjunto de los radicales cuadráticos. Para expresar bien un radical cuadrático hay que darle la forma de la definición a b . En muchos ejercicios habrá que racionalizar para darle al resultado la forma de radical cuadrático. 13.4 Intervalos Pueden ser: ] a , b [ abierto [ a , b ] cerrado [ a , b [ abierto por la derecha y cerrado por la izquierda ] a , b ] abierto por la izquierda y cerrado por la derecha. Podemos trabajar con la unión e intersección de intervalos. 13.5 Valor absoluto I a I es la distancia del punto “a” al origen.


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TEMA 14: LOS NÚMEROS COMPLEJOS 14.1 Ampliaciones del campo numérico

X 2 + 4 = 0

no tiene solución en el conjunto R. Para encontrar las soluciones de esta ecuación es necesario ampliar el conjunto de los números reales en el conjunto C de los Números Complejos. 14.2 Números imaginarios puros Partiendo de la ecuación

X2 + 1 = 0

X2 = - 1 → =−= 1X i

Es decir, tendría que existir un elemento i tal que:

i2 = - 1 este nuevo número se llama unidad imaginaria, y permite resolver las ecuaciones del tipo:

X 2 + K = 0, con K > 0.

Ejemplos:

X2 + 4 = 0 ⇒ X2 = - 4 ⇒ X = ± ( )4− = ± ( )14 −⋅ = ± 2 i

X2 + 9 = 0 ⇒ X2 = - 9 ⇒ X = ± ( )9− = ± ( )19 −⋅ = ± 3 i

14.3 Partes de un número complejo Como los números imaginarios permiten calcular las raíces cuadradas de los números negativos, podemos resolver ecuaciones como la siguiente:

X 2 – 6 X + 13 = 0

( ) ( )iiiX 23

246

2166

2166

252366

±=±

=⋅±

=−±

=−±

=

Las soluciones de esta ecuación son: X1 = 3 + 2i , X2 = 3 – 2i


58

A los números de la forma a + bi se les llama números complejos. El número real a es la parte real del número complejo a + bi , y el número real b, la parte imaginaria o componente imaginaria. El conjunto de los números complejos se representa por C.

C = { a + bi / a , b ∈ R } Sí b = 0, el número complejo solo tiene parte real, luego R ⊂ C. Sí a = 0, solo tiene parte imaginaria, es decir, los números reales y los imaginarios puros están contenidos en el conjunto de los números complejos.

Así , - 6, 3/2 , 2 , . . . son números reales y también son números complejos. 2i, -5/3 i, . . . son números imaginarios puros y también son números complejos.

14.4 Representación gráfica de los números complejos Sí sobre el eje de abcisas se representa la parte real a del número complejo a + bi, y sobre el eje de ordenadas la parte imaginaria b, el numero complejo a + bi puede representarse por el punto P del plano de coordenadas ( a , b )

( a , b ) = a + bi ( )22 bar +=


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Es decir, a cada número complejo a + bi corresponde un punto P que se llama su afijo, y , recíprocamente, a cada punto corresponde un número complejo, es decir existe una aplicación biyectiva entre los puntos del plano y el conjunto de los números complejos.

El origen de coordenadas O y el punto P determinan un vector OP , que se puede considerar la representación vectorial del número complejo a +bi = r cos α + i r sen α

La longitud r del vector OP se llama módulo del número complejo a + bi.

Módulo del número complejo a + bi es 22 ba + = r.

Por ejemplo el número complejo 3 + 4i se representa por el punto A = ( 3 , 4 ) y por el vector OA , cuyo módulo será:

r = 516943 22 =+=+

Un número complejo se puede representar en forma binómica : a + bi, y en forma cartesiana ( a , b ). El número complejo 0 = 0 + 0i = ( 0 , 0 ), se representa por O (origen). 14.5 Complejos conjugados Dos números complejos son conjugados si tienen igual la primera componente y de distinto signo la segunda. Ejemplo: 3 + 2i y 3 – 2i. 14.6 Complejos opuestos Dos números complejos son opuestos si son opuestas sus dos componentes. Ejemplo: 3 + 2i y -3 – 2i 14.7 Suma y Resta de números complejos Ejemplos: ( 1 + 3i ) + ( 6 – 4i ) = 7 – i ; ( 5 + 3i ) + ( 5 – 3i ) = 10 ( 4 – 3i ) + ( -4 + 3i ) = 0.


60

Los dos últimos ejemplos indican que la suma de dos números complejos conjugados es un número real y la suma de dos números complejos opuestos es cero. 14.8 Multiplicación de números complejos

(2 + 3i ) . ( 4 – 5i ) = 8 – 10i + 12i – 15 i 2 = 23 + 2i

(4 + 3i ) . ( 4 – 3i ) = 16 – 12i + 12i – 9 i2 = 16 + 9 = 25

3 . ( 2 – 3i ) = 6 – 9i

( a + bi ) . ( a – bi ) = a 2 + b 2

El último ejemplo demuestra que el producto de dos números complejos conjugados es un número real. 14.9 Interpretación geométrica de la multiplicación por i Vamos a multiplicar un determinado número de números complejos por i y veremos las consecuencias de su vector asociado: a) El número complejo 4 al multiplicarlo por i se convierte en 4i. El vector asociado al número complejo 4 reposa sobre el eje Real y el vector asociado al número complejo 4i reposa sobre el eje imaginario, es decir el vector ha girado 90º en sentido directo.


61

b) El número complejo 3i , al multiplicarlo por i , se convierte en 3 i2 es decir en -3, que geométricamente, también supone un giro de 90º en sentido directo de su vector asociado. c) En general cualquier complejo como 3 + 2i al multiplicarlo por i :

( 3 + 2i ) . i = 3i + 2 i 2 = -2 + 3i que geométricamente se comprueba que: Multiplicar un número complejo por i equivale a girar su vector asociado 90º, en sentido contrario al de las agujas del reloj:

14.10 División de números complejos

( ) ( )( ) ( ) 17

51714

16112382

41414132

4132 2 iiii

iiii

ii

−=+

−+−=

−⋅+−⋅+

=++

- Calcular x + yi sabiendo que: iyixi 246=

++

( )=

−+−

=−+

=⋅+

=+

=+

=+1

321232323

246 2

2

iiii

iiii

iiyix 2 – 3i

- Calcula a + bi, sabiendo que: ( a + bi ) . ( 2 – 5i ) = 19 – 4i

( ) ( )( ) ( ) =+=

+−−+

=+⋅−+⋅−

=−+

=+2987

2958

2542089538

525252419

52419 2 iiii

iiii

iibia 2 + 3i


62

luego a + bi = 2 + 3i. 14.11 Potencia de la unidad imaginaria i = ( -1 )

i2 = - 1

i3 = i2 . i = -1 . i = -i

i4 = i3 . i = -i . i = - i2 = 1

i5 = i4 . i = 1 . i = i

i6 = i5 . i = i . i = i2 = -1

i7 = i6 . i = -1 . i = -i

i8 = i7 . i = -i . i = - i2 = 1

i9 = i8 . i = 1 . i = i Vemos que los resultados de las potencias de i se van repitiendo en ciclos de 4 en 4 es decir van repitiendo los valores : i , -1 , -i y 1.

Sea in , donde n ∈Ν . Dividiendo n por 4:

Por la regla de la división:

N = 4.c + r, con 0 ≤ r < 4


63

Entonces:

i n = i 4c + r = i 4c . i r = ( i4 ) c . i r = 1c . i r = i r

Nos interesa pues tener muy presente que: i n = i r

Ejemplo: Calcular i 71

Por tanto: i 71 = i 3 = - i

Lo cual nos permite conocer todas las potencias de i solo sabiendo las 4 primeras. 14.12 Cuadrado de un número complejo

( a + bi ) 2 = a2 + 2 a b i + b2 i 2 = a2 - b2 + 2 a b i

Ejemplo:

( 3 + 2i ) 2 = 9 + 12i + 4 i2 = 9 – 4 + 12i = 5 + 12i

14.13 Cubo de un número complejo Ejemplo:

( 4 + i ) 3 = 4 3 + 3 . 4 2 . i + 3 . 4 . i 2 + i 3 = 64 + 48i - 12 – i =

= 52 – 13i .

En general ( a + bi ) n , donde n es un número natural cualquiera, se calcula aplicando el binomio de Newton.


64

14.14 Raíz cuadrada de un número complejo Supongamos que queremos calcular la raíz cuadrada del número complejo a + bi. Si x + yi es el resultado, entonces:

( x + yi ) 2 = a + bi

a + bi = x2 - y2 + 2xyi

Y si estos dos últimos números complejos son iguales, deberán serlo sus partes reales y sus partes imaginarias, igualando:

x2 - y2 = a

2 x y = b Ejemplo: Calcular la raíz cuadrada de: 9 + 40i:

SQR( 9 + 40i ) = x + yi 9 + 40i = ( x + yi ) 2

9 + 40i = x2 + 2xyi - y2

Igualando las partes reales y las partes imaginarias:

9 = x2 – y2

40 = 2xy yy

x 20240

== , sustituyendo:

4222

4009209 yyyy

−=→−

=

0400904009 2224 =−+⇒=⇒=−+ zzzyyy


65

2419

216819

21600819 ±−

=±−

=+±−

=z

250

1−

=z = -25 2

322 =z = 16

16,16,25,25 4321 −=+=−−=−+= yyyy

Las dos primeras soluciones y 1 e y 2 no son posibles ya que hemos llamado x e y a las partes real e imaginaria del número complejo solución que por definición son números reales; por tanto las posibles soluciones de y son:

y 3 = 4 ; y 4 = - 4

Si y3 = 4 ⇒ x3 = = 5 ⇒ x + yi = 5 + 4i;

Si y4 = - 4 ⇒ x4 = 4

20−

= - 5 ⇒ x + yi = -5 -4i

Por tanto: 5 + 4i 9 + 40i = -5 –4i

Apuntes de matemáticas 4º ESO Colegio La Magdalena 2º Trimestre Tema 15: Ampliación de Números Complejos

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TEMA 15: AMPLIACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

15.1 Forma Polar de un número complejo Las coordenadas cartesianas no son el único modo de localizar puntos en el plano, ya que dado el número complejo a + bi:

Es decir, sabiendo el módulo y el ángulo que forma con el eje x ( argumento ), también nos queda determinado el número complejo. Ejemplo: Expresa en forma cartesiana el número complejo que tiene de módulo

2 y cuyo argumento es 315º

2 315º = 2 cos 315 + 2 i sen 315º = 2 22

+ i 2 ( - 22

) = 1–i

Ejercicios: 1.-Escribe en notación polar los siguientes números complejos:

a) 3 + 4 i b) 3 - i c) 4i

2.- Escribe en forma cartesiana los siguiente números complejos: a) 2 45º b) 1 120º c) 5 240º


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15.2 Operaciones de números complejos en forma polar Para la suma y la resta recurriremos siempre a la forma cartesiana, pero las demás operaciones entre complejos son mas sencillas: Producto:

Ejemplo: 2 45º . 4 180º = 8 225º Demostración: rα . s β = ( r cos α + i r sen α ) . ( s cos β + i s sen β ) = r . s . cos α . cos β + i . r . s cos α . sen β + i . r . s . sen α . cos β + i 2. r . s . sen α .sen β = r . s [ ( cos α cos β – sen α sen β ) + ( cos α sen β + sen α cos β ) i ] = = r . s [ cos ( α + β ) + i sen ( α + β ) = r . s cos ( α + β ) + i r . s .sen ( α + β ) = r.s α + β Cociente:

Ejemplo: 6 90º : 3 120º = 2 – 30º = 2 330º

βαβ

α−= )(

sr

sr

r α . s β = ( r . s ) α + β


68

Demostración: β

α

sr

= ββ

βα

−

−

sssr..

= º0

2

).(ssr βα− =

2

)(...)(cos..s

sensrisr βαβα −+− = sr . ( cos ( α – β ) + i sen ( α – β ) ) = (

sr )

α – β

Apuntes de matemáticas 4º ESO Colegio La Magdalena 2º Trimestre Tema 16: Polinomios

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TEMA 16: POLINOMIOS 16.1 Monomios

2xy , 5 x2 y , -3 x y 3 z 4 , etc....

El coeficiente de los monomios anteriores es: 2 , 5 y –3 A la parte del monomio que acompaña al coeficiente se le llama PARTE LITERAL del monomio. Llamaremos grado de un monomio a la suma de los exponentes de sus letras y llamaremos grado de un monomio respecto de una letra al exponente de dicha letra Se llaman monomios semejantes a los que tienen la misma parte literal. Para hacer una suma algebraica de monomios semejantes se hace la suma algebraica de sus coeficientes y se deja la misma parte literal Ejemplo:

-3x2 y3 + 5 x2 y3 = 2 x2 y3

16.2 Polinomios Un Polinomio es una suma de monomios. Cada monomio se dice que es un término del polinomio. Cuando un polinomio esta compuesto de dos monomios se le llama: Binomio, si lo esta de tres: Trinomio, etc.. Grado de un polinomio es el grado del monomio que tenga mayor grado. Grado de un polinomio con respecto de una letra es el mayor exponente de esa letra en el polinomio.

Ejemplo: 2 x 2 y - 4 x 5 y 2 + 3 y 3 Grado del Polinomio: 7 y con respecto a x: 5


70

Polinomio completo respecto de una letra, es el que contiene todas las potencias, desde la de mayor grado hasta la de grado cero ( constante).

Ejemplo: 6 x 3 y - 2 x 2 + 3 x y 2 + 8 ( Poli. Completo respecto de x )

16.3 Polinomio en una indeterminada Un polinomio en la indeterminada x es una expresión de la forma: a n x n + a n – 1 x n – 1 + . . . . . . . . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ( con n natural) donde a n , a n – 1 , ........ , a 1 , a 0 son números reales llamados coeficientes y a la letra x se le llama la indeterminada del polinomio. El polinomio que tiene todos sus coeficientes cero se llama polinomio cero o polinomio nulo. El coeficiente a0 es un término de grado cero y se llama término independiente Dos polinomios del mismo grado se dice que son iguales si los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales. 16.4 Valor numérico de un polinomio Dado un polinomio P(x) y un número a, se llama valor numérico de P(x) para x = a , y se escribe P(a), al número que se obtiene al sustituir x por a y efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo: Sea P(x) = 6 x 2 – 5 x – 3 Calculemos el valor numérico de P(x) para x = -1 P(-1) = 6 ( -1 ) 2 - 5 ( -1 ) – 3 = 6 . 1 + 5 – 3 = 6 + 5 –3 = 8 16.5 Suma y resta de polinomios Para sumar dos polinomios, se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.


71

Ejemplo: P (x ) = 6 x 2 – 5 x – 3 y Q ( x ) = 3 x 2 + 4 x – 1 P ( x ) = 6 x 2 – 5 x – 3 Q ( x ) = 3 x 2 + 4 x – 1 P ( x ) + Q ( x ) = 9 x 2 - x – 4 P ( x ) – Q ( x ) = P ( x ) + ( - Q ( x ) ) P ( x ) = 6 x 2 – 5 x – 3

- Q ( x ) = - 3 x 2 - 4 x + 1 P ( x ) – Q ( x ) = 3 x 2 - 9 x - 2 16.6 Producto de monomios El producto de dos monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y de parte literal el producto de las partes literales. a x p . b x q = a . b x p + q 16.7 Producto de un Polinomio por un monomio Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada término del polinomio por el monomio. Ejemplo: ( - 2 x 3 + 3 x 2 - 2 x + 5 ) . ( - 3 x ) = 6 x 4 - 9 x 3 + 6 x 2 – 15 x 16.8 Producto de polinomios El producto de dos polinomios se obtiene multiplicando cada término de un polinomio por todos los del otro. Ejemplo: P (x ) = 6 x 2 – 5 x – 3 y Q ( x ) = 3 x + 2


72

6 x 2 – 5 x – 3 3 x + 2 12 x 2 - 10 x - 6 18 x 3 – 15 x 2 - 9 x 18 x 3 – 3 x 2 - 19 x - 6 Se observa que:

a) El grado del producto ( 3 ) es igual a la suma de los grados de los factores.

b) El término independiente del producto ( -6) es igual al producto de los términos independientes de los factores.

R ( x ) = 2 x 3 - x 2 + x , calcula:

a) P ( x ) + Q ( x ) b) P ( x ) + Q ( x ) + R ( x ) c) P ( x ) + Q ( x ) - R ( x ) d) P ( x ) – Q ( x ) – R ( x ) e) P ( 2 ) f) Q ( 1 ) g)R ( -1 ) h) P ( -1 ) + Q ( -1 ) 16.9 Potencia de un monomio Para elevar un monomio a una potencia se eleva el coeficiente a dicha potencia y los exponentes de los factores literales se multiplican por el exponente de la potencia

Ejemplo: ( - 2 x 2 y 3 z ) 3 = -8 x 6 y 9 z 3

16.10 Cociente de dos monomios Para dividir dos monomios se dividen los coeficientes y se dividen las partes literales de ambos monomios.

Ejemplo: ( 12 x 4 ) : ( 6 x 3 ) = 2 x


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16.11 Cociente de un polinomio por un monomio Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada término del polinomio por el monomio. 16.12 División de polinomios

1º .- Se ordenan los polinomios ( Dividendo y divisor) según las potencias decrecientes de x. 2º .- Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. 3º .- El término del cociente hallado ( 2 x ) se multiplica por el divisor y el producto se resta del dividendo, y así se obtiene el primer resto parcial ( - 5 x 2 + 13 x )

4º .- Se baja el siguiente término del dividendo ( 3 ) y se divide el primer término del dividendo parcial ( - 5 x 2 ) entre el primer término del divisor : - 5 x 2 : x 2 = - 5, y se continua el proceso hasta llegar a un resto cuyo grado sea menor que el divisor.

2 x 3 – 9 x 2 + 15 x + 3 x 2 – 2 x + 1

- 2 x 3 + 4 x 2 - 2 x 2 x – 5

- 5 x 2 + 13 x + 3

+ 5 x 2 - 10 x + 5

3 x + 8 = r ( x ) 16.13 División de un polinomio por el binomio ( x – a ). Regla de Ruffini Las divisiones de polinomios en las que el divisor es de la forma expuesta en el enunciado se pueden hacer muy rápidamente por un método muy sencillo obra de: Paolo Ruffini ( matemático y médico italiano 1765-1822 , estudioso del álgebra que obtuvo importantes resultados en la teoría de ecuaciones.)


74

Ejemplo, la división:

( x 4 - 8 x 2 + 2 x - 5 ) : ( x – 2 )

1 0 -8 2 -5 2 2 4 -8 -12 1 2 -4 -6 -17 resto 16.14 Raíces de un polinomio Se dice que el número a es una raíz del polinomio P (x) si el valor numérico de P(x) para x =a es cero es decir si P(a) =0. Ejemplo:

P (x) = x 3 – 4 x 2 + x + 6

P (2) = 2 3 – 4 . 2 2 + 2 + 6 = 8 – 4 . 4 + 2 + 6 = 0

Es decir 2 es una raíz de P(x), porque P(2) = 0. 16.15 Raíces enteras de un polinomio Las posibles raíces enteras de un polinomio de coeficientes enteros son divisores del término independiente Un polinomio de coeficientes enteros puede tener raíces no enteras. Ejemplo:

P ( x ) = 2 x 3 – x 2 – 2 x + 1, sus raíces son 1 , -1, y ½ 16.16 Teorema del resto. Condición de divisibilidad El teorema del resto tiene la misma restricción respecto del divisor que tiene el teorema de Ruffini es decir necesariamente el divisor debe ser de la forma x – a y dice: El resto de la división de un polinomio P(x) por x-a es igual al valor numérico del polinomio para x = a.


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Consecuencia fundamental: Sí en la división P(x) : x-a , P(a) =0, entonces: 1º.- a es raíz de P(x) 2º.- x-a es factor de P(x) Ejercicio: Sabiendo que 4 es una raíz del polinomio P(x) = x 2 + mx + 8, calcula el valor de m. 16.17 Factorizacion de polinomios TEOREMA: Si un polinomio de grado n :

P(x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + . . . . . . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

Tiene n raíces reales: α1 , α2 , α3 , . . . . . . αn , se puede descomponer en forma única en el producto de su coeficiente principal a n por n factores que resultan de restar a x cada una de las n raíces.

P(x) = a n ( x – α1 ) ( x - α2 ) ( x - α3 ) . . . . . . . ( x - αn )

Ejemplo: Factorizar el polinomio: P(x) = 2 x 4 + 9 x 3 + 8 x 2 – 9 x – 10

P(1) = 2 + 9 + 8 – 9 – 10 = 0 ⇒ 1 es raíz y ( x – 1 ) es factor 2 9 8 -9 -10 1 2 11 19 10 2 11 19 10 0

P(x) = ( x – 1 ) ( 2 x 3 + 11 x 2 + 19 x + 10 )

Seguimos probando con P 1 (x) = 2 x 3 + 11 x 2 + 19 x + 10 y P 1 (-1) = 0

2 11 19 10 - 1 -2 -9 -10 2 9 10 0


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P 1 (x) = ( x + 1 ) ( 2 x 2 + 9 x + 10 )

Probamos ahora con P 2 (x) = 2 x 2 + 9 x + 10 y P 2 (-2) = 0

2 9 10 -2 -4 -10 2 5 0 Finalmente quedará: P (x ) = ( x – 1 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( 2x + 5 ) El último factor ( 2x + 5 ) se puede escribir como 2 ( x + 5/2 ) Por tanto se cumple el teorema anterior y nos queda: P (x ) = 2 ( x – 1 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5/2 ) 16.18 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo Se llama máximo común divisor ( mcd ) de dos polinomios P (x ) y Q ( x ) a todo polinomio de grado máximo que sea divisor de ambos. Se llama mínimo común múltiplo ( mcm ) de dos polinomios P ( x ) y Q ( x ) a todo polinomio de grado mínimo que sea múltiplo de ambos. El calculo del mcd y mcm de dos polinomios se puede hacer por descomposición factorial o por el Algoritmo de Euclides.


77

a) Por descomposición factorial

P(x) = x 4 - 9 x 2 Q(x) = x 3 + x 2 - 12 x

Descomponiendo en producto de factores:

P(x) = x 4 - 9 x 2 = x 2 (x 2 – 9 ) = x 2 ( x + 3 ) ( x – 3 )

Q(x) = x 3 + x 2 - 12 x = x ( x 2 + x – 12 ) = x ( x + 4 ) ( x – 3 )

Por la definición de mcd ( comunes a menores exponentes)

Mcd ( P(x) y Q(x) ) = x ( x – 3 ) = x 2 – 3x Por la definición de mcm ( comunes y no comunes con mayor exponente)

Mcm ( P(x) y Q(x) ) = x 2 ( x + 3 ) ( x – 3 ) ( x + 4 ) = x 5 + 4 x 4 – 9 x 3 – 36 x 2

b) Por el algoritmo de Euclides El Máximo común divisor de dos polinomios P(x) y Q(x) es igual al máximo común divisor de Q(x) y del resto r 1 (x) de la división P(x) : Q(x).

r1 (x)= resto de Q(x) : r1 (x), se tiene:

Mcd( P(x) , Q(x) ) = Mcd( Q(x) , r1 (x) ) = Mcd (r1 (x) , r2 (x) )

Esta propiedad se reitera las veces necesarias hasta encontrar un resto cero. El último polinomio divisor utilizado es el mcd. Para calcular el mcm aplicaremos la propiedad: A . B = Mcd ( A , B ) . Mcm ( A , B )


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Ejemplo: Calcular, aplicando el algoritmo de Euclides el mcd y el mcm de:

P(x) = x 4 - 9 x 2 Q(x) = x 3 + x 2 - 12 x

x 4 - 9 x 2 x 3 + x 2 - 12 x

-x 4 -x 3 +12 x 2

x - 1

-x 3 + 3 x 2

x 3 + x 2 - 12 x

+ 4 x 2 – 12 x : 4 x 2 - 3 x

x 3 + x 2 - 12 x x 2 – 3 x

-x 3 + 3 x 2 x + 4

4 x 2 - 12 x

- 4 x 2 + 12 x

0

Conviene observar que antes de pasar el resto 4 x 2 – 12 x a ser divisor, se ha dividido por 4 y el polinomio resultante es el que se ha utilizado como segundo y último divisor..

Apuntes de matemáticas 4º ESO Colegio La Magdalena 2º Trimestre Problemas de Ingenio

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PROBLEMAS DE INGENIO Problema 1 El nuevo teléfono móvil es ergonómico, personalizable, digital, ultraligero y multimedia. El precio esta escrito en una tarjeta con nítidas, contundentes, implacables cifras. Caracortada, siempre atento a nuevas formas de estafar al prójimo, aumenta ese precio en 21 euros simplemente poniendo la tarjeta cabeza a bajo. ¿A cuanto salía originalmente el teléfono móvil? ¿Cuál es el nuevo precio? Problema 2 Groucho, Harpo y Chico, los hermanos Marx, tienen que cruzar un rio. Disponen de un bote que no soporta mas de 130 kilos. Ellos pesan 80, 65 y 60 kilos respectivamente, por lo que la tarea se complica. ¿Cómo hacen para cruzar el rio? Problema 3 Dentro de dos años, Astarté tendrá el doble de la edad que tenía hace dos años. Dentro de tres años, Berenice tendrá el triple de la edad que tenía hace tres años. ¿Cuál de los dos es mayor? Problema 4 Harpo, Groucho y Chico se encuentran siempre en el mismo bar, donde solo sirven vino y cerveza. Para elegir que beber, siguen un extraño procedimiento. - Si Harpo pide cerveza, Groucho pide lo mismo que Chico - Si Groucho pide cerveza, Harpo pide lo que no pidió Chico - Si Chico pide vino, harpo pide lo mismo que Groucho Problema 5 La fiesta duró tres días consecutivos. La suma de los números de esos días es 62. ¿Que días fueron? Problema 6 Coloca las cifras del 1 al 6 formando un número tal que las dos primeras cifras formen un número divisible por dos, las tres primeras otro divisible por tres, las cuatro primeras por cuatro etc.¿Que número hay que formar? Problema 7 Elige cinco números naturales que sumados den 50. Problema 8 Todas las damas la tienen, pero ningún caballero. Aparece desde el comienzo, en el desayuno, pero no en la mañana, solamente en el mediodía, en la tarde y en la medianoche. Es inútil buscarla en la mano, más bien habría que buscarla en el codo y en la rodilla. Esta metida en la madera y en las paredes. ¿Qué es?


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Problema 9 Hay dos cuerdas y varios fósforos. Si se prende una cuerda desde un extremo, como si fuera una mecha, tarda exactamente una hora en quemarse por completo. Ambas cuerdas se queman de forma irregular e impredecible, quizá unas partes arden mas rápidamente que otras. En otras palabras, no puedes estar seguro de que si una cuerda tarda una hora en quemarse, la mitad tardará media hora. ¿Cómo se pueden usar esas dos cuerdas para medir exactamente 45 minutos? Problema 10 En el aniversario de su boda, la esposa de Maverik, le dice que ella estuvo casada tres quintas partes de su vida, pero el estuvo casado apenas la mitad de su vida. Eso es obvio dice él porque yo te llevo 10 años. ¿Qué edades tenían al casarse? ¿Cuánto tiempo llevan casados? Problema 11 Coloca las cifras del 1 al 6 de tal manera que las dos primeras formen un número divisible por dos, las tres primeras uno divisible por tres, las cuatro primeras uno divisible por cuatro, etc. ¿Qué número es ese? Problema 12 El mueble tiene cinco cajones. Uno está vacío, otro tiene una bufanda roja, otro una tijera, otro un libro y otro un manojo de llaves. Pero ¿en que orden están colocados?. Inmediatamente debajo de la tijera está el libro. Inmediatamente encima de las llaves está la bufanda. El cajón de arriba del todo no está vacío. Inmediatamente debajo del cajón vacío está la bufanda. ¿En que cajón están las llaves? Problema 13 Todas las damas lo tienen, pero ningún caballero. Aparece desde el comienzo, en el desayuno, pero no en la mañana, solamente en el mediodía, en la tarde y en la medianoche. Es inútil buscarla en la mano, mas bien habría que buscarla en el codo y en la rodilla. Esta metida en la madera y en las paredes. ¿Qué es? Problema 14 Pitagorín, un niño prodigio, multiplica 1 por 2 por 3 por 4 por 5 …. Hasta 100. Después divide por 7. ¿Cuál es el resto de esta división? Problema 15 Robinson, Crusoe y Viernes han pasado la mañana recolectando cocos. Respetando las leyes de solidaridad entre los náufragos, el que mas cocos tiene divide su montón en dos partes exactamente iguales, y le da una mitad a cada uno de los otros dos. Una vez hecho esto, el que mas tiene ahora divide su montón en dos y reparte una mitad para cada uno de los otros dos. Así repiten el procedimiento. Después de hacerlo cuatro veces, Robinson se queda con 15 cocos, Crusoe con 7 y Viernes sin ningún coco. ¿Cuántos cocos tenía cada uno al principio?


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Problema 16 Intercala entre estas cifras signos + o signos = para lograr una igualdad. 1 2 3 4 5 6 7 8 Problema 17 Manuela viaja a Roma y decide imitar lo que hacen los romanos. Cada dos días come tallarines. Cada tres días aprende italiano. Cada cinco días toma clases de baile. Nos acaba de llamar por teléfono, y esto es lo que nos ha dicho: - Estoy agotada. Hoy he comido tallarines, ayer fui a mis clases de italiano, anteayer bailé la tarantela hasta morirme. ¿Cuándo será su próximo día libre? Problema 18 Caracortada es un dandy. Tiene un bastón de bambú, escribe poesía simbolista y colecciona discos de vinilo. Un día toma emocionado entre sus manos un long play de Harry Belafonte. En cada cara del disco hay seis canciones. ¿Cuántos surcos tiene el disco en total? Problema 19 Corto una hoja en cinco trocitos. Vienen mis hijos y cortan algunos de estos trozos (tal vez todos) en cinco trocitos cada uno. Vienen mis nietos y cortan algunos de estos (tal vez todos) en cinco trocitos cada uno. ¿Podremos llegar a tener exactamente 99 trocitos de papel entre todos? Problema 20 El gran Tahúr Maverik ensaya un extraño juego. Sobre la mesa pone 10 monedas, 5 que muestran cara y el resto cruces, luego toma dos monedas una con cada mano y al mismo tiempo les da la vuelta. Si repite este procedimiento varias veces, ¿podría lograr que todas las monedas muestren lo mismo, sea la cara o la cruz? Problema 21 Después de tres años de ayuno, el santón abre la boca y dice: Acabo de tener una revelación¡ “ Todos los números están entre catorce y veintiuno”. ¿Cómo se explica? Problema 22 ¡Excelente¡ dice Maverik, “El doble de esta cantidad de caramelos supera a la mitad en 99 caramelos” ¿Cuántos caramelos había? Problema 23 Caracortada recibe por correo las cifras del 1 al 9 con instrucciones muy precisas: tiene que formar con ellas números y multiplicarlos entre sí. Como es mezquino tacaño y miserable, quiere que el resultado sea el más bajo posible. ¿Qué números debe formar?


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Problema 24 Maverik el tramposo le dice a un colega: mido 90 cm. más que la mitad de mi altura. ¿Cuánto mide? Problema 25 Quince días después del cumpleaños de mi abuelo, cumplió años mi padre. Quince días después del cumpleaños de mi padre, cumplí años yo. Los tres cumplimos años en días impares del mes. ¿Qué día cumplí yo años? Problema 26 Maverik tira un dado blanco sobre el tapete verde. Sin moverse de su silla puede ver tres números. Con gran esfuerzo mental los suma, el resultado es 11. ¿Es posible que uno de esos tres números sea el 1? Problema 27 Una suma con tres cifras iguales da 24, sin embargo el 8 no aparece en esa suma. ¿Cómo se explica? Problema 28 Dibuja cinco círculos en fila que sean tangentes y en la fila de abajo 4 círculos que sean tangentes a los anteriores y entre sí. La prueba consiste en colocar seis fichas blancas y tres negras en los círculos de manera que cada ficha sea del color que sea toque a dos fichas blancas. Problema 29 Dos coches empiezan a andar al mismo tiempo por un circuito de automovilismo de 5000 metros de longitud. El primero tarda un minuto en dar una vuelta completa, mientras el segundo tarda un minuto y dos segundos. ¿Al cabo de cuantas vueltas el segundo alcanzará al 1º? Problema 30 Mario compró una caja con 99 bombones. Le duraron 6 días. Cada día comió 3 bombones mas que el día anterior. ¿Cuántos bombones comió el primer día? Problema 31 Harpo, Groucho y Chico viajan en tren. Leen a Proust, Joyce y Beckett, mientras fuman un habano, una pipa y cigarrillos. Pero entre tanto humo no puedo distinguir cual es cual. Solo sé que Harpo lee a Proust, que Groucho fuma en pipa y que quien fuma cigarrillos lee a Beckett. ¿Qué lee y que fuma cada uno? Problema 32 Con las seis cifras siguientes: 8, 6, 1, 4, 5, y 2, forma tres números que cada uno sea la mitad o el doble de alguno de los otros dos.


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Problema 33 Cambia una sola cifra de lugar para verificar la igualdad: 6 2 - 35 = 1 Problema 34 Intercambia dos cifras o signos para encontrar una expresión correcta: 5 + 3 = 6 – 4 Problema 35 Maverik tiene 4 naipes, tres son de bastos, dos son sotas y uno es un siete. ¿Cuál es el valor y el palo de dos de esos naipes? Problema 36 En el Test de inteligencia que se hace para entrar en la academia de ciencias, a cada aspirante le piden que en 5 segundos escriba los dígitos del 9 al 1 de atrás para adelante. Haz la prueba a toda velocidad. ¿Qué número te sale? Problema 37 ¿Qué es mayor, la mitad de un campo de un metro cuadrado o un campo de medio metro de lado? Problema 38 Maverick tiene cuatro naipes. Tres son de bastos. Dos son sotas. Uno es un siete. ¿Cuál es el valor y el palo de dos de esos naipes? Problema 39 En una bolsa hay cien números. El profesor Numenius mete la mano, saca exactamente cincuenta y, tras una concienzuda inspección, descubre que no hay ninguno que sea el doble de otro que haya sacado. ¿Qué números ha sacado?

Apuntes de matemáticas 4º ESO Colegio La Magdalena 2º Trimestre SUDOKUS

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SUDOKUS. Nivel Fácil


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SUDOKUS. Nivel Medio


86

SUDOKUS. Nivel Difícil


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SUDOKUS. Nivel Diabólico

Colegio La Magdalena · - Cuadrantes: El primer cuadrante esta formado por todos los ángulos...

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