COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN...

COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN GEMELLI

AREA MATEMATICAS

“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”.

Galileo Galilei

GEOMETRIA GRADO OCTAVO

2012

MATEMATICAS – Geometría 8 2

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PRESENTACIÓN

Cualquier objeto puede describirse mediante sus elementos geométricos más simples: puntos, líneas, superficies, ángulos, …. Por tanto a través del estudio de la Geometría, haremos que el estudiante domine y exprese estos conceptos en forma correcta, razón por la cual se inicia el presente módulo abordando este tema, en el cual se describen en forma simple los conceptos geométricos básicos de mayor uso en el estudio de la Geometría. Para favorecer la ejercitación práctica del estudiante, se incluirán también procedimientos básicos de trazado y manejo de escuadras, transportador y compás, incluyendo una breve descripción del concepto de escala.


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Contenido UNIDAD 1 ................................................................................................................................. 4

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO ................................................................................... 4

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO ................................................................................ 5

TRASLACIONES EN EL PLANO ........................................................................................ 5

ROTACIÓN DE UN POLIGONO EN EL PLANO ................................................................ 8

ROTACIÓN ............................................................................................................................ 9

COMPOSICION DE ROTACIONES .................................................................................... 11

REFLEXIÓN ........................................................................................................................... 14

UNIDAD II COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES ....................................................... 20

UNIDAD III SOLIDOS ............................................................................................................. 25

EL ESPACIO GEOMÉTRICO Y LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES .............................. 26

DEFINICIÓN DE POLIEDRO ............................................................................................... 26

ELEMENTOS DE UN POLIEDRO .................................................................................... 26

TIPOS DE POLIEDROS ...................................................................................................... 27

POLIEDRO CONVEXO ....................................................................................................... 27

POLIEDRO CÓNCAVO ....................................................................................................... 28

POLIEDROS REGULARES ................................................................................................. 28

POLIEDROS IRREGULARES ............................................................................................. 28

UNIDAD IV .............................................................................................................................. 29

POLIEDROS REGULARES .................................................................................................... 29

POLIEDROS REGULARES .................................................................................................... 30

DEFINICIÓN DE TETRAEDRO ........................................................................................... 30

DEFINICIÓN DE DODECAEDRO ....................................................................................... 32

DEFINICIÓN DE ICOSAEDRO ............................................................................................ 33

LA GEOMETRIA Y LA VIDA COTIDIANA. .......................................................................... 34

BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................... 43

WEBGRAFIA .......................................................................................................................... 43


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UNIDAD 1

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

PROPOSITO Reconocer y realizar diferentes tipos de transformaciones gráficas, en el plano, identificando las que no cambian las medidas de la figura geométrica trabajada, sino solamente su posiciòn en el plano, de las que cambian la medida.


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TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

TRASLACIONES EN EL PLANO Asi como en la aritmrtica y algebra se realizan operaciones entre elementos como la suma, resta, multiplicacion y division, en geometria tambien se realizan operaciones entre sus elementos como son las rectas, los segmentos, las figuras geometricas y los solidos. Una de estas operaciones es la traslacion. Se llama traslacion de una figura a la operación que consiste en desplazarla cierta magnitud, la direccion y el sentido. La traslacion de una figura queda determinada por tre elementos: la magnitud, la direccion, y el sentido. Los tres elementos dela traslacion se representan en un segmento orientado llamado VECTOR.

1. Proposiciona el texto anterior y con sus propias palabras saca la idea principal (no copiar un parrafo)

TRASLACIÓN Una traslación de un polígono en el plano es el desplazamiento que consiste en llevar dicho polígono desde una posición a otra.


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Cuando se va a trasladar un polígono es necesario tener claro la dirección, sentido y la magnitud. Dirección: Es la direccion de la recta que contiene al vector. La direcciuon de las traslaciones se mide respecto al semieje positivo de las equis. Sentido: Se determina con la plunta de la flecha o vector Magnitud: Se determina con la longitud del segmento orientado. MODELACION. 1. Representar en el plano el triangulo de coordenas (-5,-2), (-1, -2) y (-3,2) 2. Aplicar sobre el triangulo ABC D la traslacion T determinada por el vector u de 7 unidades de magnitud, en la direccion10º. Solución Primero trazamos el triangulo en el plano cartesiano


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Luego trazamos lineas con cada vertice del triangulo y que sean paralelas al vector u (cada vector con la misma medida de u).

Ahora unimos los puntos resultantes y que realizada la traslacuon


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EJERCITACIÓN

1 – Trasladar el cuadrilátero de ABCD con vértices A(1,1), B(1,5), C(4,1), D(7,5), determina por el vector w de medida 4 unidades en la direccion 150º . 2 - Trasladar el cuadrilátero de ABCD con vértices A(1,1), B(3,4), C(6,2), D(7,4) en dirección 120º con un vector de magnitud 2,5 unidades. 3 – Dibuja la figura con las siguientes coordenadas, A(1,1), B(4,1), C(1,3), D(4,3)

a. Unir los puntos, A con B, B con C, C con D, D con A. b. Trasladar la figura con estas coordenadas con un vector de 4 unidades y una direccion

de 250º. 4 – Representa en el plano el triangulo de coordenadas (-2,-2) (-6,-2) (-4,5) y realiza las traslaciones determinadas por los isguinetes vectores.

a. U: magnitud 3 unidades; direccion 30º b. V: magnitud 6 unidades; direccion 110º c. W: magnitud 9 unidades; direccion 245º d. T: magnitud 5 unidades; direccion 310º

ROTACIÓN DE UN POLIGONO EN EL PLANO La rotacion es la operación que consiste en girar alrededor de un punto fijo, llamado centro o eje de rotacion. El centro de rotacion puede estar dentro, fuera o en el borde de la figura. Para rotar una figura se debe conocer el angulo y el eje de rotacion. La rotacion de una figura alrededor de un eje tiene dos posibles sentidos. “”el sentido contrario a las mancellas del reloj“ y el “ el sentido a las mancllas del reloj” el cual se conoce como sentido positivo y sentido negativo respectivamente. La magnitud del angullo siempre esta dada respecto al semieje positivo de las x. 1. Proposiciona el txto anterior y con sus propias palabras saca la idea principal (no

copiar un parrafo)


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ROTACIÓN 1. Rotar un polígono en el mismo plano es girar alrededor de un punto fijo. 2. en la rotación de una figura hay que tener en cuenta: Amplitud del ángulo de rotación, la orientación (lo cual puede ser en sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario), y centro de rotación. MODELACION Rotar el triangulo ABC cuyos vertices estan dadoas por las coordenadas (-3 -1) (4,0)(4,6), 150º en sentido contrario a las manecillas del reloj y alrededor del punto P = (2,2)

Solución 1. Primero ubicamos el punto (2,2) y trazamos segemntos a cada uno de sus vertices asi:


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2. Ahora se mide el angulo de 150º desde cada recta punteada en el sentido indicado y se trazan rectas punteadas nuevamente asi:

3. Ahora estas ultimas linea punteadas deben tener la misma longitud que las linea que van del punto (2,2) a cada uno de los vetrices y unimos los pontos resultantes asi:

4. Esta ultima figura trazada es el triangulo ABC original pero rotado 150º sobre el punto (2,2)


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COMPOSICION DE ROTACIONES

Si las rotaciones que se van a realizar sobre sierta figura, se realiza sobre el mismo eje de rotacion o ponto, con el miismo sentido de rotacion y con difrentes o igual grados, se puede ralizar una sola rotacion y sumar los grados, por ejemplo: MODELACION Sobre el triangulo ABC de vertice (5,3) (-4,0) (2,-3), se aplicara las rotaciones R1 de 60º y R2 de 210º sobre el punto (-1,2), las dos rotaciones estan dadas en sentido contrario a las menecillas del reloj. Encntrar la composicion de las dos rotaciones. Solución

DEMOSTRACIÓN 1 – Dado el segmento cuyos puntos extremos son A y B, rotarlo 45º con centro en O (0,0), en sentido contrario a las manecillas del reloj (o sea positivo).


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2 – Analiza el esquema de una rotación y determinar:

a. ¿Cuánto se roto la figura ABCDE? b. ¿En que sentido? c. ¿Cuál es el centro de rotación?

3 – Completa la secuencia y completa los cuadros en blanco


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4 – Rota la figura ABCD, 45º con respecto al punto P= () en sentido de las manecillas del reloj.

5 – Si sobre una figura Geometrica se produce primero la rotacion R1 y luego lla rotacion R2 ¿Sera posible reemplazarlas por una unica rotacion? ¿Por que?

6 – si sobre una figura geometrica se a plicado una rotacion R1 ¿Cómo puedo regresar la figura a la posicion original ?. 7 - Cual sera la magnitud de rotacion que deja intacta a una figura geometrica. 8 – Si sobre un poligono se aplica una rotacion R1 y luego la rotacion R2 , ¿Qué pasa al aplicar primero la rotacion R2 y luego R1? 9 – Dado el siguiente poligono ABCD realizar las siguientes traslaciones tomando como centro de rotacion el punto (1,1)


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a. 160º en sentido contrario a las manecellas del reloj b. 250º en sentido contrario al as manecillas del reloj c. 54º en centido de las mancellas del reloj d. 90º en sentodo de las manecillas del reloj

REFLEXIÓN

1. Una figura respecto de una línea llamada eje de simetría o de reflexión. 2. Es una transformación, caracterizada por que a cada punto de la figura se le asigna su simetría respecto de la recta. 3. La reflexion de figuras en el plano es un atrasnformacion que matine inalterables su forma y tamaños EJEMPLO Refleja el poligono ABCD sobre el eje vertical.


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Solución Para efectuar la reflexión de una figura se debe tener en cuenta que:

a. Se necesita un eje de simetría o reflexión. b. El segmento que une cada vértice con su imagen es perpendicular al eje de reflexión. c. La distancia de un punto al eje de reflexión es igual a la distancia de su imagen o

dicho eje. 1 – tomamos la medida con un compas o regla de cada un de los vertices del poligono al eje de simetria


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Esa misma medida debe quedar del otro lado del eje vertical para formar la otra figura que sera el reflejo de la orijinal, asi

Ahora unimo los puntos entoncesla figuara queda:

La figura reflejada no debe cambiar de forma ni tamaño.


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DEMOSTRACIÓN

En el centro vacacional hay un salón de fiestas llamada salón de los espejos. Allí algunos huéspedes se ponen a jugar con diversas figuras, observando la imagen que se forma. 1. Encuentra el eje de reflexión o simetría que permite obtener cada una de las transformaciones del pentágono ABCDE a.

b.

c.


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2 – Realizar la reflexión de la figura dada mediante el eje que se le indique: a. b.

c.

2 - Halle la imagen de la figura dada respecto al eje indicado


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5 - Halle la imagen simétrica de la figura dada respecto al eje X y luego respecto al eje Y ( en el mismo gráfico )


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UNIDAD II

COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES

PROPOSITO Realizar transformaciones simultáneas a una figura geométrica sobre un mismo plano y a partir de una composición, identicar cuáles fueron las transformaciones efectuadas.


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COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES 1 La composición de transformaciones corresponde a la aplicación sucesiva de estas. MODELACION

Trasladar la figura M, 2 unidades horizontalmente hacia la derecha, luego girar -90º alrededor de (0,0). Solución 2. Primero realizamos la traslación, en un capitulo anterior estudiamos la traslación de figuras en el plano, entonces debemos trasladar la figura anterior, con la dirección, sentido y magnitud que nos indican.


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3. Ahora realizamos la rotación que nos indica -90 (no olvidar que el menos viene por que es en sentido contrario a las manecillas del reloj)

4. La composición de dos trasformaciones producen una figura congruente con la figura inicial.

EJERCITACIÓN 1 – Trasladar la figura 2 unidades a derecha horizontalmente, luego traslada la figura que queda 2 unidades hacia arriba verticalmente


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2 - Rota la figura con respecto al punto O (0,0); -60º, luego rota la figura que queda -90º.

3 – Observa la composición de transformaciones del triangulo ABC.

a. Compara el polígono inicial con el final. b. ¿Qué composición de transformaciones se realizo?


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4 – Dado el polígono ABCDE, efectúa la composición de tres trasformaciones y consigue la figura final.

a. Refleja sobre el eje vertical b. Rota alrededor de , 180º c. Traslada la figura 4 unidades horizontalmente hacia la derecha

EJERCITACION

1. Dado el triángulo de vértices A=(1,3), B=(5,6), C=(7,2), halla las coordenadas de los vértices del triángulo simétrico:

a) En una simetría respecto del origen. b) En una simetría respecto del eje OX. c) En una simetría respecto del eje OY.

2. Una traslación viene definida por un par de puntos homólogos A=(1,2) y A´=(3,4). Halla:

a) El vector guía b) El transformado del punto B=(2,5).

3. Enumera cinco situaciones de tu vida cotidiana en las que se realicen giros, indicando en cada

una de ellas el centro y el ángulo aproximado de giro.


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UNIDAD III SÓLIDOS

PROPOSITO Definir con claridad sólido geométrico, dibujarlos, clasificarlos y realizar su construcción a partir del uso de planos.


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SÓLIDOS

EL ESPACIO GEOMÉTRICO Y LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES El espacio geométrico puede considerarse como el conjunto de todos los puntos del universo físico. Así, todo punto, recta y plano está en el espacio. La definición de sólidos geométricos es un tema complicado. Una definición posible es la siguiente: Un sólido geométrico es una región cerrada del espacio limitada por ciertas superficies que pueden ser planas o curvas. Recurriremos a algunos casos bien conocidos para introducir el concepto así como estudiar los conceptos de superficie y volumen de un sólido.

DEFINICIÓN DE POLIEDRO Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.

ELEMENTOS DE UN POLIEDRO

CARAS Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro ARISTAS Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.


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VÉRTICES Los vértices de un poliedro son los vertices de cad una de las caras del poliedro. Tres caras coincien en un mismo vértice. ÁNGULOS DIEDROS Los angulos diedros estan formados por cada dos caras y tienen una arista en común ÁNGULOS POLIÉDRICOS Los ángulos poliédricos estan formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice en común DIAGONALES

Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

RELACIÓN DE EULER En todos los poliedros convexos se verifica siempre que:

Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2.

TIPOS DE POLIEDROS

POLIEDRO CONVEXO

En un poliedro convexo una recta sólo pueda cortar a su superficie en dos puntos.


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POLIEDRO CÓNCAVO

En un poliedro cóncavo una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante.

POLIEDROS REGULARES Un poliedro regular tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y sus caras son polígonos regulares iguales. Sólo existen cinco poliedros regulares: Tetraedro, Hexaedro o cubo, Octaedro, Dodecaedro, Icosaedro

POLIEDROS IRREGULARES Un poliedro irregular está definido por polígonos que no son todos iguales. Tipos de poliedros según el número de caras Tetraedro: Poliedro de 4 caras. Pentaedro: Poliedro de 5 caras. Hexaedro: Poliedro de 6 caras. Heptaedro:Poliedro de 7 caras. Octaedro: Poliedro de 8 caras. Eneaedro: Poliedro de 9 caras. Decaedro: Poliedro de 10 caras. Endecaedro: Poliedro de 11 caras. Dodecaedro: Poliedro de 12 caras. Tridecaedro: Poliedro de 13 caras. Tetradecaedro: Poliedro de 14 caras. Pentacaedro: Poliedro de 15 caras. Icosaedro: Poliedro de 20 caras.


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UNIDAD IV POLIEDROS REGULARES

PROPOSITO Aplicar modelos matemáticos para el cálculo de áreas y volúmenes de sólidos.


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POLIEDROS REGULARES

DEFINICIÓN DE TETRAEDRO Un tetraedro regular es un poliedro regular formado por 4 triángulos equiláteros iguales.

Desarrollod del tetaraedro

Propiedades del teatraedro Número de caras: 4. Número de vértices: 4. Número de aristas: 6. Nº de aristas concurrentes en un vértice: 3.


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Área del tetraedro

Volumen del tetraedro

DEFINICIÓN DE OCTAEDRO Un octaedro es un poliedro regular formado por 8 triángulos equiláteros iguales.

Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos pirámides cuadrangulares regulares iguales. Desarrollo del octaedro

Propiedades del octaedro Número de caras: 8. Número de vértices: 6. Número de aristas: 12. Nº de aristas concurrentes en un vértice: 4.


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Área del octaedro

Volumen del octaedro

DEFINICIÓN DE DODECAEDRO Un dodecaedro regular es un poliedro regular formado por 12 pentágonos regulares iguales.

Desarrollo del dodecaedro

Propiedades del dodecaedro Número de caras: 12. Número de vértices: 20. Número de aristas: 30. Nº de aristas concurrentes en un vértice: 3


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Área del dodecaedro

Volumen del dodecaedro

DEFINICIÓN DE ICOSAEDRO Un icosaedro regular es un poliedro regular formado por 20 triángulos equiláteros iguales.

Desarrollo del icosaedro

Propiedades del icosaedro Número de caras: 20. Número de vértices: 12. Número de aristas: 30. Nº de aristas concurrentes en un vértice: 5.


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Área del icosaedro

Volumen del icosaedro

PARA INVESTIGAR: El siguiente material es extraido de Cartillas Escuela Nueva.

LA GEOMETRIA Y LA VIDA COTIDIANA.

Argumenta tus razonamientos.


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Investiga ahora sobre:

Analicemos regularidades de los sólidos.


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EJERCITACIÓN

Realizar los siguientes ejercicios y representarlos en sus dibujos respectivos

1. El área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista.

2. Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista

3. Calcula el área y el volumen de un octaedro de 5 cm de arista.

4. Calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 10 cm de arista, sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 6.88 cm.

5. Calcula el área y el volumen de un icosaedro de 5 cm de arista. A. el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40

dm de ancho y 2500 mm de alto. B. Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad.

6. Se pinta la piscina a razón de 6 € el metro cuadrado.

A. Cuánto costará pintarla. B. Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.

7. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar?

8. ¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad?

POLIEDROS IRREGULARES Poliedro Irregular Poliedro definido por polígonos que no son todos iguales. Clasificación de los Poliedros Irregulares Los poliedros irregulares se clasifican básicamente en:

http://www.vitutor.net/2/2/12.html






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Según el número de caras: tetraedro,pentaedro, hexaedro, heptaedro, octaedro

pirámide prisma

Poliedros irregulares, según el número de sus caras

Pirámide Poliedro definido por un polígono base y cuyas caras laterales son triángulos que poseen un vértice común (V), denominado vértice de la pirámide, que no está contenido en el plano base. La recta que pasa por el vértice de la pirámide y el centro geométrico de la base se denomina eje de la pirámide (e). Las pirámides se clasifican en:

pirámide recta: el eje es perpendicular al polígono base, pirámide oblicua: el eje no es perpendicular al polígono base, pirámide regular: la base es un poligono regular,

o pirámide regular recta: la base es un poligono regular y el eje es perpendicular al polígono base.

o pirámide regular oblicua: la base es un poligono regular y el eje no es perpendicular al polígono base.

http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/06a-solido-poliedro.htm#dprsc

http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/06a-solido-poliedro.htm#pipir

http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/06a-solido-poliedro.htm#piori

http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/cap_01a-imagenes/poliedros.swf


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pirámides

Prisma Poliedro definido por dos polígonos iguales y paralelos (bases) y cuyas caras laterales, en consecuencia, son paralelogramos. La recta que une los centros geométricos de las bases se denomina eje del prisma (e). Los prismas se clasifican en:

prisma recto: el eje es perpendicular a los polígonos base, prisma oblicuo: el eje no es perpendicular a los polígonos base, prisma regular: las bases son poligonos regulares,

o prisma regular recto: las bases son poligonos regulares y el eje es perpendicular a los polígonos base.

o prisma regular oblicuo: las bases son poligonos regulares y el eje no es perpendicular a los polígonos base.

paralelepipedo: prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser a su vez rectos u oblicuos

http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/cap_01a-imagenes/piramide.swf


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prismas

http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/cap_01a-imagenes/prisma.swf


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BIBLIOGRAFÍA

AYRES. Frank. Álgebra Moderna. Editorial: Mc Graw Hill. 1.991 BARRAZA, William. Estrategias Matemáticas 7. Editorial: Educar editores. Bogotá, Colombia:. 2.003.

CARREÑO,Lucila. Matemáticas 6 . Editorial: Mc Graw Hill. Santa Fé de Bogotá, Colombia:., Colombia:., 1.005 CONTRERAS, Héctor. Logros matemáticos 6. Editorial: Mc Graw Hill. Santa Fé de Bogotá, Colombia:., Colombia:., 1.999 GÓMEZ, Darío. Matemática Moderna Estructurada 1. Editorial: Norma. Bogotá, Colombia:., 1.985 GORDON, Berchie. Matemáticas 6, Aplicaciones y Conexiones. Editorial: Mc Graw Hill. Bogotá, Colombia:., 2.000 LONDOÑO, Nelson. Matemática progresiva 6. Editorial: Norma. Santa Fé de Bogotá, Colombia:., Colombia:., 1.992 RODRÍGUEZ, Gilma. Estructuras matemáticas 6. Editorial: Rei. Santa Fé de Bogotá, Colombia:., Colombia:., 2.002. RODRÍGUEZ,Benjamín. Matemáticas Prentice Hall 6. Editorial: P.H. Santa Fé de Bogotá, Colombia:., Colombia:., 2.000 VILLEGAS, Mauricio. Matemáticas 2.000 6°. Editorial: Voluntad. Santa Fé de Bogotá, Colombia:., Colombia:., 1.991

WEBGRAFIA http://segdaes.wikispaces.com/POLIEDROS+IRREGULARES

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