COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y · PDF fileMaterial recortable que se...

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS

DEL ESTADO DE SONORA

Módulo de aprendizaje

ÁLGEBRA

Hermosillo, Sonora; agosto de 2009

Registro ISBN:

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA

DIRECCIÓN ACADÉMICA

Departamento de Desarrollo Curricular

Calle La Escondida #34, Col. Santa Fe,

Hermosillo, Sonora, México. CP. 83249

Álgebra


Copyright ©, 2009 por Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora

Todos los derechos reservados

Primera edición 2009. Impreso en México

DIRECTORIO

MDO. Roberto Lagarda Lagarda

Director General

Mtro. Martín Antonio Yépiz Robles

Director Académico

C.P. Dora Luz López

Directora de Administración y Finanzas

Mtro. Juan Antonio Tristán Muñiz

Director de Planeación

Lic. Carlos Quinto Mendívil Montiel

Director de Vinculación

C.P. Rafael Pablos Tavares

Director del Órgano de Control y Desarrollo Administrativo

Álgebra

Datos del alumno

Nombre ________________________________________________________

Plantel _______________________Grupo ______________Turno _________

Domicilio _______________________________________________________

___________________________________ Teléfono ___________________

Celular _____________________ e-mail _____________________________

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA

DIRECCIÓN ACADÉMICA

Departamento de Desarrollo Curricular

Calle La Escondida #34, Col. Santa Fe,

Hermosillo, Sonora, México. CP. 83249

Álgebra


Primer semestre

Elaboradores

Marisela Armenta Castro

Luis Armando Cadena Montaño

Francisco Javier Cruz Barra

Jorge Luis Figueroa Arce

Silvia Elena Ibarra Olmos

Ramón Alberto Maldonado Córdova

Norma Guadalupe Martínez Maldonado

Martha Valencia Acosta

Corrección de estilo

Héctor A. de la Rosa Quintero

Supervisión académica

María Asunción Santana Rojas

Eneida Esmeralda Montaño Martínez

Jesús Enrique Córdova Bustamante

Edición y diseño

Rogelio Villa García

Elisa Sofía Valdez Alcorn

Coordinación técnica

Laura Isabel Quiroz Colossio

Coordinación general

Martín Antonio Yépiz Robles

UBICACIÓN CURRICULAR

COMPONENTE:

de Formación Básica

CAMPO DE CONOCIMIENTO:

Matemáticas

HORAS SEMANALES: 4 CRÉDITOS: 8

ASIGNATURA

ANTECEDENTE:

Ninguna

ASIGNATURA

CONSECUENTE:

Geometría y trigonometría

8

ESTRUCTURA GENERAL DE LA MATERIA DE ÁLGEBRA

Álgebra

Ecuaciones

Lenguaje Algebraico

Operaciones

fundamentales

Ecuaciones

lineales

Expresión

algebraica

Ecuaciones

cuadráticas

Sistemas de

ecuaciones

Terminología

Lenguaje común

Lenguaje algebraico

Cálculos de valor Numérico

Suma y resta de polinomios

Leyes de los exponentes y radicales

Multiplicación y división de polinomios

Productos notables

Factorización

Igualdades

Ecuaciones de primer grado

Despeje de fórmulas

Definición de sistemas

Sistemas de ecuaciones con 2 y 3 incógnitas de primer grado

Métodos de solución

Métodos de solución - Factorización - Completar trinomio

cuadrado perfecto - Fórmula general

9

ÍNDICE

Presentación……………………….……………………………………………………………...... 11

Recomendaciones para el alumno ……………………………………………………………..... 12

Competencias………………………………………………………………………………………. 14

Unidad 1. Expresiones algebraicas y operaciones fundamentales 17

Evaluación diagnóstica……………………………………………………………………………. 19

1.1. Expresiones algebraicas 20

1.1.1. Terminología………………………………………………………………….…………… 20

1.1.2. Lenguaje común………………………………………………………………………….. 22

1.1.3. Lenguaje algebraico………………………………………………………………………. 24

1.1.4. Cálculo de valor numérico………………………………………………………………... 26

1.2. Operaciones fundamentales 28

1.2.1. Suma y resta de polinomios…………………………………………………………… 28

1.2.2. Leyes de los exponentes…..…………………………………………………………… 33

1.2.3. Leyes de los radicales……..……………………………………………………………. 39

1.2.4. Multiplicación y división de polinomios…………………………………..……………. 42

Autoevaluación…………………………………………………………………………………… 54

Instrumentos de evaluación…………………………………………………………………….. 59

Unidad 2. Productos notables, factorización y ecuaciones lineales 61

Evaluación diagnóstica……………………………………………………………………………. 63

2.1. Productos notables 64

2.1.1. Binomio al cuadrado……………………………………………………………………. 64

2.1.2. Binomios con término común……………………… …………………………………. 68

2.1.3. Binomios conjugados ………………………………………………………………….. 72

2.1.4. Binomios al cubo…………..……………………… …………………………………… 75

10

2.2. Factorización 80

2.2.1. Factorización por término común.……………………………………………………. 80

2.2.2. Factorización de diferencia de cuadrados…………………………………….……… 83

2.2.3. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto……………………………….……. 85

2.2.4. Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c………..………………..…… 88

2.3. Ecuaciones lineales 92

2.3.1. Igualdades………………………………………………………………………………… 92

2.3.2. Ecuaciones de primer grado..…………………………………………………………... 94

2.3.3. Despeje de fórmulas……………………………….……………………………………. 106

Autoevaluación………………………………………………………………………………….. 109

Instrumentos de evaluación…………………………………………………………………….. 114

Unidad 3. Sistemas de ecuaciones y ecuaciones cuadráticas 117

Evaluación diagnóstica…………………………………………………………………………… 119

3.1. Sistemas de ecuaciones 120

3.1.1. Definición………………………………………………..…………………………….… 120

3.1.2. Sistemas de ecuaciones lineales con 2 y 3 incógnitas……………………………… 122

3.1.3. Métodos de solución..………………………………………………………………….. 125

3.2. Ecuaciones cuadráticas 134

3.2.1. Métodos de solución por factorización..………………………………………….…… 160

3.2.2. Método de solución por completar trinomio cuadrado perfecto……………….……. 164

3.2.3. Método de solución por fórmula general.….………………………………….………. 170

Autoevaluación…………………………………………………………………………………… 175

Instrumentos de evaluación…………………………………………..………………………... 180

Claves de respuestas de las autoevaluaciones.……………………………………………… 182

Glosario………………………………………………...…………………………………………. 183

Referencias………………………………………………………………………………………. 185

11

PRESENTACIÓN

El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, comprometido con la calidad educativa, ha implementado acciones que apoyan tu desarrollo académico, siendo una de estas, la elaboración del presente módulo de aprendizaje, el cual pertenece a la asignatura de Álgebra, que cursarás durante este tu primer semestre. La asignatura de Álgebra, tiene como propósito desarrollar la capacidad del razonamiento matemático haciendo uso del lenguaje algebraico, a partir de la resolución de problemas de la vida cotidiana dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos donde se aplican conocimientos y conceptos algebraicos, en un clima de colaboración y respeto. Para lograr lo anterior, éste módulo de aprendizaje se conforma de tres unidades, descritas a continuación:

UNIDAD I. Expresiones algebraicas y operaciones fundamentales.

UNIDAD II. Productos notables, factorización y ecuaciones lineales.

UNIDAD III. Sistemas de ecuaciones y ecuaciones cuadráticas.

En el contenido de estas unidades, se relaciona la teoría con la práctica, a través de

ejercicios, encaminados a apoyarte en el desarrollo de las competencias requeridas para

los alumnos que cursan esta asignatura.

Seguros de que harás de este material, una herramienta de aprendizaje, te invitamos a

realizar siempre tu mayor esfuerzo y dedicación para que logres adquirir las bases

necesarias, para tu éxito académico.

12

RECOMENDACIONES PARA EL ALUMNO

El presente módulo de aprendizaje, representa un importante esfuerzo que el Colegio de

Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, ha realizado, para brindarte los

contenidos que se abordarán en la asignatura de Álgebra.

Los contenidos de Álgebra, serán abordados a través de diversos textos, ejercicios,

evaluaciones, entre otras actividades. Cabe mencionar, que algunas de las actividades

propuestas las deberás realizar de manera individual mientras que en algunas otras,

colaborarás con otros compañeros formando equipos de trabajo bajo la guía de tu

profesor.

Para lograr un óptimo uso de este módulo de aprendizaje, deberás:

Considerarlo como el texto rector de la asignatura, que requiere sin embargo, ser

enriquecido consultando otras fuentes de información.

Consultar los contenidos, antes de abordarlos en clase, de tal manera que tengas

conocimientos previos de lo que se estudiará.

Participar y llevar a cabo cada una de las actividades y ejercicios de aprendizaje,

propuestos.

Es muy importante que cada una de las ideas propuestas en los equipos de

trabajo, sean respetadas, para enriquecer las aportaciones y lograr aprendizajes

significativos.

Considerarlo como un documento que presenta información relevante en el área

de las Matemáticas, a ser utilizado incluso después de concluir esta asignatura.

Identificar las imágenes que te encontrarás en los textos que maneja el módulo de

aprendizaje, mismas que tienen un significado particular:

13

Esperando que este material de apoyo, sea de gran utilidad en tu proceso de aprendizaje,

y así mismo despierte el interés por conocer y aprender más sobre esta ciencia, te

deseamos el mayor de los éxitos.

Evaluación diagnóstica que cada estudiante debe responder al inicio de cada unidad para saber su grado de conocimiento.

Ejercicio que se elaborará en equipo.

Ejercicio que se elaborará de manera individual.

Ejemplo del tema tratado en clase.

Tarea que se elaborará en casa, relacionada con el tema visto en clase.

Tarea de investigación.

Material recortable que se utilizará para resolver algunas de las tareas a elaborar en casa.

Ejercicios que se elaborarán para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana.

Examen de autoevaluación que se resolverá al final de cada unidad.

Aprendizajes a lograr al inicio de cada subtema.

14

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA

Utiliza símbolos algebraicos en la representación de problemas cotidianos por medio de ecuaciones de primer y segundo grado.

Resuelve sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y factorizaciones de expresiones algebraicas.

Resuelve problemas cotidianos utilizando operaciones algebraicas.

15

COMPETENCIAS

Genéricas

Disciplinarias

Son conocimientos, habilidades y actitudes asociados con las disciplinas en las que tradicionalmente se ha organizado el saber y que todo bachiller debe adquirir.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos

matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos,

gráficos, analíticos o de variación, mediante lenguaje verbal, matemático y el

uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural

para determinar o estimar su comportamiento.

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las

magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

Describen, fundamentalmente conocimientos, habilidades, actitudes y valores indispensables en la formación de los alumnos.

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos

mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos

establecidos.

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

16

Unidad I Expresiones

algebraicas y

operaciones

fundamentales

17

Competencias de la unidad

Al término de esta unidad, el alumno:

Resuelve sumas, restas, multiplicaciones, divisiones de expresiones algebraicas.

Aplica las operaciones algebraicas en la resolución de problemas cotidianos.

Temario

1.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1.1. Terminología

1.1.2. Lenguaje común

1.1.3. Lenguaje algebraico

1.1.4. Cálculo del valor numérico

1.2. OPERACIONES FUNDAMENTALES

1.2.1. Suma y resta de polinomios

1.2.2. Leyes de los exponentes

1.2.3. Leyes de los radicales

1.2.4. Multiplicación y división de polinomios

18

1.- El resultado de la operación (6-2) + (1+3) – 3 corresponde a:

a) 9 b) 3 c) 8 d) 5 e) 11

2.- El resultado de la operación 2(3)2 - 4 corresponde a:

a)2 b) 14 c)8 d) 16 e) 10

3.- Al realizar las operaciones resulta:

a) 2 b)3 c) 1 d) 1 e) 0

4.- Al realizar las operaciones 6 -2-4-3 resulta:

a) -3 b)3 c) -15 d) -2 e) 15

5.- De acuerdo al número de elementos o términos que contiene, la expresión 2a+b recibe

el nombre de:

a) Polinomio b) Monomio c) Trinomio d) Binomio e) Fórmula

6.- El valor que corresponde a la operación 2(3)2 +2(2)-4 es:

a) 4 b) 12 c) 18 d) 10 e)8

7.- La simplificación de la expresión 3x-2x

a) 6x b) 5x2 c) x d) –x e) -5x2

8.- El producto de (2ab)(4ab2) equivale a :

a) 6ab2 b)8ab2 c) 8a2b2 d)8a2b3 e)6a2b3

9.- El cociente equivale a:

a) 4x6 b) 4x14 c) 12x14 d) 4x e)4x40

A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción

múltiple relacionadas con operaciones básicas y algunos temas

de álgebra que profundizarás con más detalle a lo largo a las

actividades del cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas

subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás

encontrarlas al final del cuaderno de trabajo.

Evaluación diagnóstica

19

1.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1.1. Terminología

El propósito del tema es que comprendas, interpretes y apliques de forma correcta el lenguaje algebraico. Como podrás recordar el Álgebra es la rama de las matemáticas encargada de hacer generalizaciones a partir de situaciones particulares, su principal característica es la utilización de letras, números y símbolos aritméticos a los que quizás ya estás acostumbrado. Los ejercicios que se involucran en esta actividad te ayudarán a entender y aplicar su terminología en el mundo que te rodea.

¡Ánimo! Y a cumplir con las actividades, recuerda que todo éxito requiere de un esfuerzo.

Términos algebraicos: 2a, b, 3x2, -2x3, 3x, 2m Expresiones algebraicas: 2a + b, 3x2 + 2a – b, -2x3 - 3x + 2m – 4

EJEMPLO

Expresión Términos

3x2

+ 3x

2a + b

- 3x3y – x + 5

Definir los términos algebraicos. Definir las expresiones algebraicas. Identificar los elementos de los términos algebraicos. Diferenciar entre términos algebraicos y numéricos. Identificar diferentes sinónimos de las operaciones aritméticas. Trabajar de manera colaborativa. Actuar con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunicarse en forma oral y escrita.

Aprendizajes a lograr

Ejercicio no. 1

Reúnete en pareja, identifica los términos de las siguientes

expresiones algebraicas y completa la tabla.

Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra

en la página 60.

Grupo

20

Término Signo Coeficiente Literal(es) Exponente

o grado

3x2

2a

- b

- 3x3 y

Expresión algebraica Nombre

3x2 + 3x

2a + b

- 3x3y – x + 5

3ab

1/2ab + 2

Investiga los elementos de los términos algebraicos e identifica el

signo, coeficiente, literal y exponente o grado de cada uno de los

términos siguientes y completa la tabla.


en la página 60.

Individual Ejercicio no. 2

Investiga la clasificación de las expresiones algebraicas de

acuerdo al número de sus términos y completa la tabla.


en la página 59.

Tarea de investigación no. 1

21

1.1.2. Lenguaje común

El lenguaje común o cotidiano, es el lenguaje que utilizamos en nuestra vida diaria y corresponde a la manera como nombramos algunos símbolos o expresiones matemáticas. El símbolo “+” es más nombrado comúnmente como “suma”, “más”, “adición”, etc.

Así mismo otros símbolos operacionales que iremos practicando a medida que nos

adentremos en el tema. Comenta algunos casos con tus compañeros y profesor.

En Álgebra para representar cantidades desconocidas se utilizan las letras del

abecedario. Las cantidades conocidas son representadas por sus magnitudes

equivalentes a los números arábigos.

Problema:

La expresión algebraica 2a+3, en lenguaje común se

expresa:

Respuesta:

El doble de un número cualquiera aumentado en tres.

EJEMPLO

Expresar en lenguaje común una expresión algebraica. Trabajar de manera colaborativa. Actuar con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escuchar, interpretar y emitir mensajes pertinentes en distintos

contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Expresar ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.


22

1. abc ______________________________________________

2. 10

ba

______________________________________________

3. 23a ______________________________________________

4. 2

)( 2ba

______________________________________________

5. 3

3x

______________________________________________

6. yx 43 2 ______________________________________________

De manera individual, escribe en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 60.


Grupo Ejercicio no. 3

En equipos de tres integrantes, escribir en lenguaje común las

siguientes expresiones algebraicas y comentar las respuestas

ante el grupo. Se evaluará con la lista de cotejo de la página 60.

1.- x3

2.- ba 42

3.- )(3 ba

4.- 2)( ba

5.- 2

ba

23

1.1.3. Lenguaje algebraico

La suma de tres números

cualesquiera.

El cubo de un número menos

el cuadrado de otro.

El producto de dos números

cualesquiera.

3 ba

El lenguaje algebraico nace en la civilización

musulmana y consta principalmente de las letras del

alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal

función de lenguaje algebraico es estructurar un

idioma que ayude a generalizar las diferentes

operaciones que se desarrollan dentro de la

aritmética, El enunciado, “La raíz cúbica de la

suma de dos números, en lenguaje algebraico se

expresa:


Expresar en lenguaje algebraico un enunciado dado en lenguaje común.

Trabajar de manera colaborativa. Actuar con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escuchar, interpretar y emitir mensajes pertinentes en distintos

contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Expresar ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

EJEMPLO

Grupo

En equipos de tres integrantes expresa en lenguaje algebraico los

siguientes enunciados.

Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la

página 60.

Ejercicio no. 5

24

La suma de la tercera parte de

un número y la mitad de otro.

El cubo de la suma de dos

números.

El cuadrado de la mitad de la

suma de dos números.

El cociente de la suma de dos

números entre su diferencia.

La cuarta parte de la suma de

dos números.

El cuádruple de la suma de

dos números.

Si tenías $a, cobras $b y te

regalan $m., ¿cuánto tienes

ahora?

Si vas a la tienda y compras x

lápices por 75 pesos; ¿cuánto

cuesta un lápiz?

Un terreno rectangular de 23

m. de largo mide x m. de

ancho. Expresa su superficie.

La cuarta parte de un número

más la tercera parte del

mismo.

25

1.1.4. Cálculo del valor numérico

Ejercicio no. 6

Grupo

Reúnete en pareja y resuelve los ejercicios, determinando el valor

numérico de cada una de las expresiones, si x = 3.

Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en

la página 60.

1.- 2x + 3 = _______

2.- x2 - 3 = _______

3.- 3x2 + 2x - 3 = _______


Realizar operaciones con números reales. Jerarquizar operaciones. Identificar símbolos de agrupación. Trabajar de manera colaborativa. Escuchar, interpretar y emitir mensajes pertinentes en distintos

contextos. Interpretar información contenida en un texto.

Para calcular el valor numérico de una expresión algebraica

basta con sustituir las letras por sus valores indicados y

realizar las operaciones.

2(2) + 3 = 4 + 3 = 7

Al sustituir en la expresión los números 2 y 3 por

letras a y b respectivamente, esta expresión se

expresa como: 2a + b

El 7 recibe el nombre de valor numérico de la expresión.

EJEMPLO

26

1.- El perímetro de una circunferencia se determina por la fórmula P = 2r. Construirán

jardineras circulares para plantar flores. Determina el perímetro de las jardineras si

tendrán un radio de 2.5 m.

a) 2.5m. b) 5m. c) 9m. d) 4.5m. e) 6m.

2.- El área de un triangulo se determina por la fórmula A = bh / 2. Determina el área de

una pared triangular de base b = 4 m. y altura h = 3 m.

a) 3 m2 b) 6 m2 c) 12 m2 d) 9 m2 e) 8 m2

Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 59.

De forma individual determina el valor numérico de las siguientes

expresiones si a = 2 y b = 3


la página 60.

1. - 2ab + 4 = __________

2. - 3a2 - 2b = __________


Nombre ____________________________________________________

Grupo ________________________ Turno _____________________

Fecha _____________________________________________________

Instrumento de evaluación _____________________ Página _________

Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida

cotidiana

27

1.2. OPERACIONES FUNDAMENTALES

1.2.1. Suma y resta de polinomios

Problemas geométricos y algebraicos:

1. Cálculo de perímetros

a) ¿Cuánto mide el perímetro de la siguiente figura? b) ¿Cuál es la medida del perímetro del trapecio mostrado?

2.5n

n

6n

t

t+1.5

t+2


Identificar términos semejantes. Realizar operaciones con números reales. Sumar y restar polinomios. Trabajar de manera colaborativa. Actuar con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escuchar, interpretar y emitir mensajes pertinentes en distintos


Con la ayuda de tu profesor, reúnete en equipo y contesta cada una de las siguientes actividades. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra

en la página 60.


28

c) ¿Cuánto suman los perímetros de todas las figuras que se muestran, de acuerdo con la

medida de los lados que se proporcionan?

f) Si al perímetro del rectángulo le restas el del cuadrado, ¿qué obtienes?

g) Si tuviésemos cinco hexágonos como los del inciso anterior, ¿cuánto mediría la suma

de sus correspondientes perímetros?

h) Si al perímetro del hexágono le restas el del triángulo, ¿qué obtienes?

t t

n 2m m

m

29

2. Cálculo de volúmenes

a) ¿Cuánto vale la suma del volumen de los cubos mostrados? La arista mide x unidades

de longitud en cada cubo.

Volumen cubo 1 =

Volumen cubo 2 =

Volumen cubo 3 =

Volumen total =

Problemas geométricos y algebraicos:

1. Cálculo de áreas

a) Asumiendo que la medida de los tres cuadrados que se muestran son congruentes, y

que su lado mide n unidades, ¿cuánto vale la suma de las tres áreas?

Cubo 1 Cubo 2 Cubo 3

Individual

De manera individual realiza cada una de las siguientes actividades.


la página 60.

Ejercicio no. 9

30

b) En el caso que te mostramos ahora, te pedimos que calcules la suma de las áreas del

cuadrado y del rectángulo. Los datos son: el lado del cuadrado mide n; el rectángulo mide

n unidades de ancho y de largo mide el doble de lo que mide el ancho.

c) ¿Qué encontramos si al área del rectángulo le restamos el área del cuadrado?

d) Calcula el área de la siguiente figura, atendiendo a las medidas de los lados que se

proporcionan:

e) Si ahora el área solicitada fuese la suma de las áreas de las figuras, ¿qué

contestarías, si el lado del cuadrado mide n unidades y en el caso del triángulo, su base

mide n y su altura mide h unidades?

3n

8n

n

31

a) ¿Qué tipo de expresiones algebraicas aparecieron en tus cálculos?

b) ¿Qué características comunes tienen?

c) ¿Por qué se podían sumar y/o restar?

d) Intenta sintetizar tus observaciones, mediante el establecimiento de una conjetura para

la suma y resta de este tipo de expresiones algebraicas.

e) ¿Para qué tipo de expresiones algebraicas crees que tenga validez tu conjetura?

f) Verifica si tu conjetura funciona en los casos que siguen, en donde se trata de encontrar

los términos que ocuparían el lugar del espacio en blanco:

_______16______)2145.1()8______3( zwzywy

wzywzy 10_____________________)145.1()82(

)465.0()92()2( bababa

bzzztbt 316752

mmnmn 6________)104(____)5(


Tarea no. 2

Regresa a repasar los cálculos que has venido realizando en esta

actividad y contesta las interrogantes que se formulan en las líneas que

siguen:

32

1.2.2. Leyes de los exponentes

Recuperando ideas: las leyes de los exponentes

Caso 1. El producto de potencias que tienen la misma base.

a) Llena la tabla siguiente:

¿Cuántas veces aparece la literal como

factor?

Notación empleando exponentes

Relación entre los

exponentes

a

1 1a

)(aa

2 112 aaa 2=1+1

)(aaaaaa

3 )( 213 aaa 3 = 1 + 2

)())(( aaaaaaaaaaaa

4 43122 )()( aaaaa

))(())(( aaaaaaaaaaaaaaa

5 )()( 3245 aaaaa

))((

))(()(

aaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

Reúnete en equipo y, con ayuda de tu profesor, realicen cada una

de las siguientes actividades, después comenten sus resultados

ante el grupo.

Grupo Ejercicio no.

10

Realizar operaciones con números reales. Aplicar las diferentes leyes de los exponentes. Trabajar de manera colaborativa. Actuar con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escuchar, interpretar y emitir mensajes pertinentes en distintos

contextos. Interpretar información contenida en un texto. Expresar en forma algebraica el producto de potencias con la

misma base.



la página 60.

Reúnete en equipo y, con ayuda de tu profesor, realicen cada una

de las siguientes actividades, después comenten sus resultados

ante el grupo.


33

b) Escribe cuál crees que será la regla para calcular el producto de potencias que tienen la misma base c) Representa algebraicamente la regla que enunciaste en el caso anterior. Compárala con la que enunciaron tus compañeros. Argumenten sus propuestas hasta que lleguen a un acuerdo.

Caso 2. La potencia de un producto

a) Llena la siguiente tabla, a partir de la información proporcionada:

Producto de potencias propuesto Notación empleando exponentes

ab 11ba

))(())(( bbaaabab 222)( baab

))(())()(( bbbaaaababab )()( 333 baab

))(())()()(( bbbbaaaaabababab 444)( baab

))()()()(( ababababab

(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)=

))()()()()()()()(( ababababababababab

))...()()(( abababab

(aparece veinte veces el factor ab )

))...()()(( abababab

(aparece n veces el factor ab )

b) Escribe cuál crees que será la regla general que te permita calcular la potencia de un producto: c) Representa algebraicamente la regla que enunciaste en el caso anterior. Compárala con la que enunciaron tus compañeros. Argumenten sus propuestas hasta que lleguen a un acuerdo.

34

Caso 3. La potencia de una potencia

Notación desarrollada

Forma compacta

22 )(a ))(( 22 aa

32 )(a ))()(( 222 aaa 6a

42 )(a ))()()(( 2222 aaaa 8a

52 )(a

62 )(a

na )( 2

na )( 3

na4

na150

mna )(

b) Escribe la regla general que te permita calcular la potencia de una potencia: c) Representa algebraicamente la regla que enunciaste en el caso anterior. Compárala con la que enunciaron tus compañeros. Argumenten sus propuestas hasta que lleguen a un acuerdo Caso 4. La potencia de un cociente a) Llena los espacios faltantes en la tabla que sigue:

Potencia de un

cociente

Forma desarrollada

Otra expresión

para el cociente

2

3

2

2

2

3

2

3

2

3

2

9

4

3

3

2

3

3

3

2

3

2

3

2

3

2

27

8

5

3

2

5

5

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

m

3

2

35

b) ¿Qué regla de carácter general puedes desprender de la información de la tabla anterior? Escríbela retórica y algebraicamente. c) Intenta generalizar el proceso anterior, planteando ahora la potencia de un cociente cualquiera

Potencia de un

cociente

Forma desarrollada

Otra expresión

para el cociente

2

b

a

3

b

a

16

b

a

m

b

a

f) Escribe cuál crees que será la regla general que te permita calcular la potencia de una potencia: g) Representa algebraicamente la regla que enunciaste en el caso anterior. Compárala con la que enunciaron tus compañeros. Argumenten sus propuestas hasta que lleguen a un acuerdo.

36

1. Caso 5. División de potencias que tienen la misma base a) ¿A qué tipo de cálculo nos estaremos refiriendo con la expresión “división de potencias que tienen la misma base”? b) ¿Cuál crees que sea la regla a utilizar en este caso? Exprésala verbal y algebraicamente. c) ¿Cómo podrías justificarla? 2. De manera individual, simplifica las siguientes expresiones algebraicas,

aplicando las leyes de los exponentes:

1.- )()( 35 aa __________________________________________________

2.- )()( 2nmmn ________________________________________________

3.- 4

6

x

x_______________________________________________________

4.-

2

3

x

x______________________________________________________

5.- 322 )( x __________________________________________________

6. )()( xyyx 22

_______________________________________________

7. 63 aa _____________________________________________________

8.

7

5

y

y_______________________________________________________

9.

n

nm

5

10 2

____________________________________________________

10. 43223 )( zyx ______________________________________________

Ejercicio no. 11

Con base a la experiencia adquirida en el trabajo de equipo,

realiza las siguientes actividades.


en la página 60.

Individual

37

Resuelve los siguientes problemas de aplicación donde se utilizan las leyes de los exponentes: 1.- Se quiere construir una pila, de forma cúbica, para almacenar agua que mida x metros por lado, ¿cómo quedaría expresado el volumen de dicha pila? 2.- Determinar el área de un terreno cuadrado que mide L metros por lado.


V = ___ *____*____=_______

A=________________

Nombre ____________________________________________________

Grupo _________________________ Turno __ __________________

Fecha _____________________________________________________

Instrumento de evaluación __________________ Página ___________


cotidiana.

38

1.2.3. Leyes de los radicales

Un radical puede expresarse como una potencia

donde el exponente es fraccionario. A continuación se

presentan algunas expresiones equivalentes.

44

1

3 53

5

3

2

3 2

2

1

d)

c)

)

x a)

xx

xx

xxb

x

En equipos de tres integrantes, utilizando las leyes de los radicales,

expresar en forma exponencial y viceversa.

Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la

página 60.

1.- 5

2

y _______________________________________________________

2.- 2

3

m _______________________________________________________

3.- 7 2x ______________________________________________________

4.- 3 9x ______________________________________________________


Realizar operaciones con números reales. Convierte potencias con exponentes racionales a la forma de

radical. Convertir radicales a potencias con exponentes racionales. Trabajar de manera colaborativa. Actuar con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escuchar, interpretar y emitir mensajes pertinentes en distintos



EJEMPLO

39

1. 3

1

y _____________________________________________________________

2. 6

4

z ___________________________________________________________

3. 5 y ___________________________________________________________

4. 6 7n __________________________________________________________

5. 9x __________________________________________________________

6. 4 5x __________________________________________________________

7. 8 3y __________________________________________________________

8. 9

2

x __________________________________________________________

9. 10

1

z __________________________________________________________

Ejercicio no. 13

De manera individual, utilizando las leyes de los radicales, expresa

en forma exponencial y viceversa.


en la página 60.

Individual

40

1.- Se tiene una pila, de forma cúbica, con una capacidad de “x” m3¿cuál es la medida de

sus lados?

2.- La habitación de una vivienda es cuadrada y tiene una superficie de 25 m2. ¿Cuál será

la medida del lado y su perímetro?


V= x L = ______

Nombre ___________________________________________________

Grupo __________________________ Turno ___________________

Fecha _____________________________________________________

Instrumento de evaluación ____________________ Página __________


cotidiana.

41

1.2.4. Multiplicación y división de polinomios

Cálculo de áreas y multiplicación de expresiones algebraicas

a) ¿Qué opciones tienes para calcular el área del cuadrilátero que se muestra a

continuación, tomando en cuenta las medidas de los lados que se proporcionan? Haz los

cálculos necesarios de acuerdo con las opciones que hayas planteado y compara los

resultados de cada una de las opciones que consideraste.

x

x 1


Interpretar información contenida en un texto. Realizar operaciones con números reales. Aplicar leyes de los exponentes. Reducir términos semejantes. Multiplicar y dividir expresiones algebraicas. Trabajar de manera colaborativa. Actuar con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escuchar, interpretar y emitir mensajes pertinentes en distintos

contextos.

Ejercicio no.14

Con ayuda de tu profesor reúnete en equipo y desarrollen cada una de las siguientes actividades y después comparen respuestas ante el grupo. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra

en la página 60.

Grupo

42

b) Si ahora la figura considerada fuera la que sigue, ¿qué opciones tienes para el cálculo

de su área?

c) ¿Y en ésta?

d) Concentra los resultados de todos los incisos previos en la tabla proporcionada:

Figura del

inciso.

Expresión algebraica

para la forma de cada

área.

Expresión algebraica formada por la suma

de las áreas.

a)

b)

c)

a

a

2

x

x

y

43

e) A partir del análisis del contenido de la tabla previa, ¿encuentras algún aspecto

relevante que puedas destacar sobre la multiplicación de este tipo de expresiones

algebraicas? Escribe a continuación lo que te parezca interesante sobre el particular. Te

sugerimos pongas especial atención sobre los siguientes elementos:

1. ¿Qué pasa con los coeficientes de los diferentes términos?

2. ¿Qué sucede con los exponentes de las literales involucradas?

3. ¿Cuántos términos se obtienen al multiplicar?

Multiplicando monomios

En las actividades “cálculo de áreas y multiplicación de expresiones algebraicas” y

“cálculo de volúmenes y multiplicación de expresiones algebraicas”, estuviste trabajando

con multiplicaciones de expresiones algebraicas donde únicamente aparecía una literal, y

los exponentes a los que estaba elevada eran cero, uno, dos o tres. Nos interesa abordar

ahora una situación más general, en donde abandonaremos el referente de la geometría,

y nos quedaremos solamente en el campo del álgebra.

Las multiplicaciones que proponemos ahora están planteadas para expresiones

algebraicas en donde puede aparecer más de una literal, elevadas a diferentes

exponentes.

a) )2)(5( 24 mm

b) )4)(2

1( 2tt

c) ( ) ( ) = 6 88x y

d) (3t )( ) = 5429 yxt

e) (-xy) (-4 ) = tyx 3312

f) ))(( nm aa

g) mm aa 2)(_____)( i) ¿Cómo hiciste para multiplicarlas?

Ejercicio no.15

Tomando como experiencia las actividades resueltas en

equipo, realiza las siguientes operaciones.

Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se

encuentra en la página 60.

Individual

44

Multiplicando polinomios

En las operaciones que siguen, te darás cuenta cómo se recuperan e integran los

procedimientos que has venido utilizando hasta el momento, nos referimos a la

multiplicación de monomios, de binomios, a la multiplicación de potencias que tienen la

misma base, así como a la reducción de términos semejantes.

a) Para el producto siguiente:

)243)(5( 232 mmmm

¿En qué subproductos se puede descomponer? Escribe tu propuesta y realiza los

productos que hayas indicado.

b) Haz lo mismo para el caso siguiente:

)243)(65( 232 mmmmm

¿En qué subproductos se puede descomponer? Escribe tu propuesta y haz los productos

que hayas indicado.

c) Intenta ahora los siguientes productos, sistematizando el proceso de descomposición

que planteaste en los dos incisos anteriores.

d) )243)(365( 232 mmmmm

e) )8

3

5)(18

3

4( 24 xyxxyx

=

45

f) )1210)(642( 33223 baababa

En esta actividad, vamos a calcular el volumen de algunos cuerpos geométricos y a

relacionar estos cálculos con el producto de expresiones algebraicas, tal y como lo

hicimos en la actividad inmediata anterior.

a) Iniciamos solicitándote el cálculo del volumen de este prisma de base cuadrada. Tal y

como se señala en la figura, el lado de la base es m + 1 unidades, en tanto que la altura

mide m + 5 unidades de longitud.

b) En cambio, en este cilindro, el radio mide t+5 unidades, mientras que la altura mide el

doble de lo que mide el radio. ¿Cuál es entonces su volumen?

m+1

m+5

Nombre ___________________________________________________

Grupo __________________________ Turno ___________________

Fecha _____________________________________________________

Instrumento de evaluación ____________________ Página __________


cotidiana.

46

c) En el cubo que sigue, la arista mide m+5 unidades, ¿cuál es su volumen?

e) Concentremos la información de los cálculos previos en la tabla que sigue:

Cuerpo

geométrico.

Expresión algebraica que

se obtiene a partir de la

fórmula para calcular el

volumen, de acuerdo con

los datos que se dan,

pero sin hacer

operaciones.

Resultado que se obtiene

después de realizar

operaciones.


47

División de expresiones algebraicas

La división de las expresiones algebraicas, puede simplificarse en tres casos: División entre monomios, un polinomio entre un monomio y polinomio entre polinomio.

Para los dos primeros casos, solo es necesaria recordar la ley del cociente de dos

potencias de la misma base y aplicar las reglas de división de los números reales.

En este caso:

= 2x5−2 − x4−2 + 3x2−2

a): Resolver

Procedimiento de solución:

=

= 4x9 - 3 Dividir coeficientes numéricos y restar exponentes.

= 4x6

b) Resolver el cociente

Procedimiento de solución:

= El denominador 2x2, divide a cada término del

numerador

= Dividir coeficientes numéricos y restar exponentes.

= 2𝑥3 − 𝑥4−22 + 3

EJEMPLO

48

Con lo que hemos aprendido sobre las divisiones de un monomio entre otro, vamos a

abordar el problema de dividir un polinomio entre un monomio.

a) La división siguiente:

)()243( 34 mmmm

¿En qué “divisiones parciales” se puede descomponer? Escribe tu propuesta y realiza los

cocientes que hayas indicado.

b) Haz lo mismo para el caso siguiente:

)5()25204030( 22345 ttttt

¿En qué subproductos se puede descomponer? Escribe tu propuesta y haz los productos

que hayas indicado.

Ejercicio no. 16

Con ayuda de tu profesor reúnete en equipo y desarrollen cada una de las siguientes actividades y después comparen respuestas ante el grupo. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra

en la página 60.

Grupo

49

c) Intenta ahora los siguientes cocientes, sistematizando el proceso de descomposición

que planteaste en los dos incisos anteriores.

1. )2

1()243( 446 mmmm

2. )8()816( 3322 xyyxyx

3. )4()210( 23333 babaabba

4. )9()812718( 333222 abccbacbaabc

5. )()32( 2245 btbtbt

d) Transforma estos productos a las divisiones equivalentes:

31510___)__________)(________5(

826____)__________)(________2(

45____)__________)(________(

2____)__________)(________(

3

23

2

4

mmm

xxxx

aaa

tt

50

División entre polinomios:

EJEMPLO

43

8232 2

x

xxx

Resolver

Se ordena el dividendo y el divisor en términos de una sola letra.

x

xxx

3

8232 2

x

xxx

3

8232 2

xxx

4063 2

43

8232 2

x

xxx

84063 2

x

xx

84063 2

x

xx

084 x

Solución: 432

823 2

xx

xx

Se divide el primer término del

dividendo entre el primer término del

divisor = 3x, y se obtiene el

primer término del cociente.

Este primer término 3x se

multiplica por todo el divisor

(3x)(x + 2) = 3x2 + 6x y el

resultado se resta al dividendo,

por eso cambia de signo.

Se divide el primer término del

resto entre el primer término del

divisor = -4 y se obtiene el

segundo término del cociente.

Este segundo término -4 se

multiplica por todo el divisor (-4)

(x + 2) = -4x - 8 y el resultado

se resta al dividendo, por eso

cambia de signo.

x + 2 3x2 + 2x – 8

51


Resuelve los siguientes problemas:

a) El cilindro que sigue tiene por volumen 3r ; si su altura mide r, ¿cuánto mide su radio?

¿Cuál fue tu razonamiento para encontrar lo que se pidió?

Ejercicio no.17

a) a2 + 2a - 3 entre a + 3

b) a2 - 2a - 3 entre a + 1

c) x2 + x – 20 entre x + 5

d) m2 – 11m + 30 entre m – 6

e) a4 – a2 – 2a – 1 entre a2 + a + 1

f) x3 + 12x2 – 5x entre x2 – 2x + 5

g) x4 – x2 – 2x – 1 entre x2 – x - 1

Individual

Utilizando las propiedades de los números reales y las propiedades de los exponentes, resuelve tres reactivos sobre división de polinomios con diferente número de términos asignados por el maestro, en su cuaderno de trabajo. Por ejemplo los siguientes.

Nombre ___________________________________________________

Grupo _____________ Turno _________Fecha _________________

Instrumento de evaluación _lista de cotejo Página _59_______

Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana

52

b) En este prisma rectangular, su volumen mide ttt 23 2 unidades; si la altura mide t,

¿cuánto mide el área de la base? ¿Cómo hiciste para encontrarla?

c) Si en este rectángulo el área mide nn 55 2 unidades de área, y la altura mide n

unidades de longitud, ¿cuánto mide la base? ¿Cómo encontraste la respuesta?

d) En el rectángulo que resulta de sumar las áreas del cuadrado lila y del rectángulo

blanco, el área mide xx 112 unidades; si en el cuadrado sombreado el lado mide x

unidades, ¿cuánto mide el lado faltante del rectángulo original? ¿Cuál fue el

procedimiento que empleaste para llegar a tu resultado?

t

x

X

53

Selecciona la respuesta correcta en cada caso:

1.- Nombre que recibe una expresión algebraica que consta de un solo término. a) Binomio b) Monomio c) Trinomio d) Polinomio e) Exponente 2.- El grado absoluto del término - 4x2y3 corresponde a: a) 3 b) 2 c) 5 d) 6 e) – 4 3.- El número de términos de la expresión 4x2 - 3x + 1 corresponde a a) 3 b) 4 c) 5 d) 1 e) 2 4.- Es el primer elemento que contiene un término algebraico. a) Exponente b) Variable c) Literales d) Signo e) Constante

Nombre _________________________________________________

Grupo _________________________ Turno __________________

Fecha __________________________________________________

Autoevaluación

54

5.- Son aquellas partes que están separadas por los símbolos de sumas o restas en una expresión algebraica. a) Exponentes b) Términos c) Literales d) Variables e) Constantes

6.- La edad actual de Juan es “x” años. ¿Cuál era su edad hace once años?

añosx

a11

)

añosxb 11)

añosxc 11)

añosxd 11)

añosxe 11) 7.- El recíproco del producto de dos números.

ab

a1

)

abb)

bac

1)

bad

1)

bae

/

1)

8.- La expresión 2

ba , traducida a lenguaje común es:

a) La mitad de un número más otro número b) El doble de dos números c) La mitad de la suma de dos números d) El doble de la suma de dos números e) La mitad de dos números

55

9.- La expresión

3

2

x, traducida a lenguaje común es:

a) La mitad del cubo de un número b) El doble del cubo de un número c) La mitad de un número d) El cubo de un número e) El cubo de la mitad de un número 10.- Una expresión está determinada por v +at, determina su valor cuando a = 3, t = 3 y v = 4. a) 21 b) 6 c) 12 d) 11 e) 13 11.- El valor de la expresión (x - 3)(y + 4) , cuando x =1 , y = 2 , corresponde a : a) -4 b) 12 c) 8 d) -12 e) 14

12.- Al simplificar la expresión: 2

1

y

y, obtenemos:

3) ya 3) yb 2) yc

yd) 1) ye

13.- La expresión )5()4( 422 yxxy simplificada es igual a: 6320) yxa

639) yxb 220) xyc

4320) yxd 63) yxe

56

14.- Expresar en forma exponencial 4 6z

a) 2z

b) 3

2

z

c) 2

3

z

d) 3z

e) 3

4

z

15.- Expresar en forma radical 5

12

x

a) 6 5x

b) 5 12x

c) 12 5x

d)5 6x

e)5 3x

16.- Al sumar 2a - 3c y 5a + c se obtiene: a) 10a – 2 c b) 7a – 2c c) 3a – 3c d) 7a + 4c e) 6a – 3c 17.- Al restar 10x + 5y de 25x – 8y

a) 30x – 3y b) 35 x + 13y c) 15x + 13y d) 15x – 13y e) 35x – 3y

18.- Resolver el producto algebraico de 2xy(x + 3x – x2)

a) 2xy – 6 xy – 2x2 b) x2 y - 6x2 y + 2x3 y c) 2x2 y + 6x2 y – 2x3 y d) 2x2 + 6x2 – 2x3 e) 2y + 6xy2 – 2x3y2

57

19.- Resolver el cociente

a) 6x – 2x2 b) 8x5 – 2x3 c) 2x2 – 2x3 d) x2 – 2x e) 2x3 – x

20.- Resolver el cociente ab

abba 32

a) 2ba

b) ba 2

c) 22 ba

d) aba 2

e) 2bab

58

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

Evaluación de productos (tareas aplicadas a la vida cotidiana)

No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones

Sí No Ponderación Calif.

1 Resolvió el total de los ejercicios

0.21

2 Resolvió correctamente los ejercicios

0.30

3 Entregó en tiempo y forma indicada los ejercicios.

0.20

4 Realizó correctamente las operaciones.

0.50

Calificación de esta evaluación 1.21

Tabla de ponderación

1 = sí cumplió 0 = no cumplió

Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación

Evaluación de productos (investigaciones)


Sí No Ponderación Calif. 1 Entregó en tiempo y

forma 0.1

2 La información fue clara y acorde al tema

0.3

3 Presentación del trabajo 0.1





59

Evaluación del desempeño (ejercicios)

En equipo



1 Se integró al equipo. 0.3

2 Mostró interés por el tema.

0.3

3 Mostró conocer los conceptos que utilizó

0.3

4 Mostró habilidad para responder a los ejercicios

0.4

5 Aplicó correctamente el procedimiento

0.4


Individual



1 Mostró interés por el tema.

0.40


0.60


0.60


0.60





60

Unidad 2 Productos notables,

factorización y

ecuaciones lineales

61


Al término de esta unidad el estudiante:

Aplica las reglas de multiplicación de binomios.

Realiza diversas factorizaciones de expresiones algebraicas.

Utiliza las operaciones algebraicas para resolver problemas cotidianos que generen ecuaciones de

primer grado.

Temario

2.1. PRODUCTOS NOTABLES

2.1.1. Binomio al cuadrado

2.1.2. Binomios con término común

2.1.3. Binomios conjugados

2.1.4. Binomio al cubo

2.2. FACTORIZACIÓN

2.2.1. Factorización por término común

2.2.2. Factorización de diferencia de cuadrados

2.2.3. Factorización de trinomios

2.3. ECUACIONES LINEALES

2.3.1. Igualdades

2.3.2. Ecuaciones de primer grado

2.3.3. Despeje de fórmulas

62

1.- Explica qué es un producto notable

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

2.- ¿Qué es un factor?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

3.- Explica lo que es una igualdad.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

4.- Explica lo que es una ecuación.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

5.- Escribe dos ecuaciones de primer grado.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

6.- ¿Qué significa resolver una ecuación?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

7.- Resuelve la siguiente ecuación: 64 x

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8.- Si t

dv , entonces d es igual a:

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Escribe la respuesta correcta en cada caso:


63

2.1. PRODUCTOS NOTABLES

2.1.1. Binomio al cuadrado

En las actividades que siguen, estudiaremos algunos productos de expresiones algebraicas que tienen características interesantes. Seguiremos un recurso que hemos utilizado anteriormente, es decir, emplearemos como referencia el cálculo de áreas, para encontrar un camino para el cálculo algebraico de dichos productos. Tal y como lo enunciamos en el título, reciben el nombre de “productos notables”.

ñ

El cuadrado de la suma de dos cantidades puede representarse geométricamente cuando los valores son positivos. Observe los siguientes pasos:

EJEMPLO

Al término de la sesión el estudiante será capaz de a aplicar el binomio al cuadrado de los productos notables en la solución de problemas.


Construimos un cuadrado de x unidades de lado, es decir, de lado :

Construimos un cuadrado de unidades de lado:

Construimos dos rectángulos de largo y de ancho :

𝑥𝑦

64

Uniendo las 4 figuras anteriores formaremos un cuadrado de yx unidades de lado. El

área de este cuadrado es yx yx = 2yx , y como puede verse en la figura

siguiente, esta área está formada por un cuadrado de área 2x , un cuadrado de área 2y y

dos rectángulos de área xy; es decir, 2xy. Entonces el área total es la suma de todas.

Consideremos la figura que se muestra:

a) Calcula el área del cuadrado, primero utilizando la fórmula ya conocida para el

área de un cuadrado, y después como la suma de las áreas. ________________________________________________________________________

b) Medida del lado del cuadrado integrador:

a

b

a b

22 yxyxyx

222

22

2

2

yxyxyx

yxyx

Ejercicio no.1

Reunidos en equipos de tres integrantes responder lo que se indica en la siguiente actividad. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra

en la página 114.

Grupo

65

________________________________________________________________________

c) Área de dicho cuadrado de acuerdo con la fórmula para el área de un cuadrado arbitrario:

________________________________________________________________________

d) ¿Cuántos términos tiene esta expresión? ________________________________________________________________________

e) ¿A qué potencia está elevada? ________________________________________________________________________

f) Área del cuadrado como suma de áreas. ________________________________________________________________________

g) ¿Cuántos términos tiene esta última expresión? ________________________________________________________________________

h) Explica cuál sería la regla que se utiliza para desarrollar un binomio al cuadrado.

________________________________________________________________________

i) ¿Qué sucede en el caso en el que b sea un número negativo? ¿Pierde generalidad tu regla? Explica tu respuesta.

________________________________________________________________________

66

a) 2)1( x __________________________________________________________

b) 2)57( yx _______________________________________________________

c) 2)32( cab _______________________________________________________

d) 2)84( mn _______________________________________________________

e) 22 )3( zyx _______________________________________________________

f) 223 )32( yx _____________________________________________________

g) 2)15( x _________________________________________________________

h) 2)1( x __________________________________________________________


Resultado ___________

Recomendaciones y observaciones ______ _______________________________

__________________________________________________________________

______________________________________________________

Tarea no. 1

Resuelve los siguientes binomios al cuadrado

67

2.1.2. Binomios con término común

Uniendo las cuatro figuras anteriores formaremos un rectángulo de ancho 2x y de

largo mide 3x , como se muestra en la siguiente figura, en donde el área de este

rectángulo se obtiene multiplicando largo por ancho: 2x 3x , y como puede verse

esta área está formada por un cuadrado de área 2x , tres rectángulos de áreas

6,3,2 xx .

EJEMPLO

Entonces:

2x 3x = 6322 xxx

Agrupando términos semejantes

2x 3x = 652 xx

Al término de la sesión el estudiante será capaz de efectuar

productos notables de binomios con término común en la

multiplicación de expresiones algebraicas.


Construimos tres rectángulos con las siguientes medidas:

Construimos un cuadrado que mide por lado unidades:

68

a) Para el siguiente rectángulo calculen el área.

c

a

a b

Primero utilicen la fórmula ya conocida para el área de un rectángulo, y después emplea

la suma de las áreas. Cuando lo hayan hecho, contesten lo siguiente:

Medida de los lados del rectángulo: ___________________________________________

Área del rectángulo de acuerdo con la fórmula acostumbrada: ______________________

¿Qué características tiene esta última expresión? ________________________________

Área del rectángulo como suma de áreas:______________________________________

¿Cuántos términos tiene esta última expresión?__________________________________

b) Expliquen cuál sería la regla que se utiliza para desarrollar estos binomios con

un término común.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Ejercicio no. 2

En grupos de tres integrantes, comentar y responder la siguiente actividad: Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra

en la página 114.

Grupo

69


a) Escribe cinco expresiones algebraicas similares y calcúlalas con

la relación que encontraste. Si todavía fuese necesario, construye

la figura correspondiente para que te ayude a visualizar.

b) Intercambia tus propuestas con las de algún compañero y luego

comparen sus resultados. Si hay diferencias, coméntenlas hasta

que lleguen a un resultado único.


70

a) )5)(3( xx _______________________________________________________

b) )10)(2( xx ______________________________________________________

c) )7)(5( aa ______________________________________________________________

d) )4)(1( aa _____________________________________________________

e) )4)(3( xyzxy ____________________________________________________



Recomendaciones y observaciones _____________________________

___________________________________________________________

__________________________________________________

___________________________________________________________

___

Tarea no. 2

Desarrolla los siguientes binomios con un término común

71

2.1.3. Productos de dos binomios conjugados

a + 1

a) Si nos interesa conocer el área del rectángulo que tiene por lados (a + 1) y (a - 1),

¿cómo podemos calcularla, a partir de la figura mostrada?

________________________________________________________________________

b) Determina al área de la región sombreada de acuerdo con la fórmula acostumbrada:

________________________________________________________________________

1

a-1

a

a

1

b

Al término de la sesión el estudiante será capaz de efectuar

productos de binomios conjugados en la multiplicación de

expresiones algebraicas.


Ejercicio no. 4

En grupos de tres integrantes, comentar y responder la siguiente actividad. Se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 114.

Grupo

72

c) ¿Qué características tiene la expresión (a + 1) (a - 1)?

________________________________________________________________________

d) Tomando como referencia el resultado de esta actividad, desarrollar (a + b) (a – b).

________________________________________________________________________

e) A este tipo de productos, en el álgebra se le conoce como productos de binomios

conjugados por las características descritas en el inciso c, de acuerdo a esto explica

cuál sería la regla que se utiliza para desarrollar estos productos.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________


Individual

d) Escribe cinco expresiones algebraicas similares y calcúlalas con la relación que encontraste. Si todavía fuese necesario, construye el cuadrado correspondiente para que te ayude a visualizar.

e) Intercambia tus propuestas con las de algún compañero y

luego comparen sus resultados. Si hay diferencias,

coméntenlas hasta que lleguen a un resultado único.

Ejercicio no. 5

73

a) )5)(5( xx _______________________________________________________

b) )23)(23( xx _____________________________________________________

c) )7)(7( 22 zxyzxy __________________________________________________

d) )8)(8( zz ________________________________________________________

e) )95)(95( cc ______________________________________________________

f) )10)(10( yy ______________________________________________________



Recomendaciones y observaciones ______________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___

Tarea no. 3

Resuelve los siguientes binomios conjugados

74

2.1.4. Binomio al cubo

Hasta el momento has desarrollado competencias para la multiplicación de expresiones algebraicas, así como para la identificación y cálculo de productos de algunas expresiones que tienen características especiales, tal y como sucedió con los tres casos previos. Lo que vamos a plantearte ahora, te permitirá retomar varias de las reglas y

razonamientos previamente estudiados, con la intención de usarlos para el último de los

productos notables que serán tratados en este cuaderno de trabajo.

3223

322223

22222

23

33

22

)2()2())((

)(

babbaa

babbaabbaa

bababbabaababa

bababa

EJEMPLO

El desarrollo de 3)( ba es:

Al término de la sesión el estudiante será capaz de aplicar

la regla del binomio al cubo en la multiplicación de

expresiones algebraicas.


75

a) Calcula 3)( yx

__________________________________

_______________________________________________________

_________)(__________)__________(_________))((

)(

______)__)(______(_________)(

2

2

3

yxyxyx

yx

yx

b) ¿Cuántos términos aparecieron en el producto solicitado? _______________________

c) ¿Cuáles son esos términos? Escríbelos en renglones separados. _________________

d) ¿Qué relación tienen esos términos con x y con y?_____________________________

________________________________________________________________________

e) A partir de lo que escribiste en el inciso d), ¿enuncia la regla para el cálculo de un

binomio al cubo? _________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

f) Expresa la regla anterior mediante el uso del lenguaje algebraico. Usa la tabla que

sigue:

3)( yx

g) ¿En qué se modifica tu regla si en lugar de tener 3)( yx tuvieses ?)( 3yx

________________________________________________________________________

Realiza la siguiente actividad integrado en equipos de tres personas. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en

la página 114.


76

Usa la regla que encontraste para el cálculo de los siguientes binomios al cubo:

____________________________________________________________)32(

_____________________________________________________________)1.0(

____________________________________________________________)7

3

5

2(

_____________________________________________________________)45(

______________________________________________________________)3(

_____________________________________________________________)22(

_______________________________________________________________)(

332

3

3

3

3

3

3

ba

zw

wt

yx

nm

yx

yx

Individual

De manera individual desarrolla los siguientes binomios al cubo


en la página 114.

Ejercicio no.

7

77

a) 3)1( x _________________________________________________________

b) 3)32( yx _______________________________________________________

c) 3)25( x ________________________________________________________

d) 3)( yx ________________________________________________________

e) 333 )( yx _______________________________________________________



Recomendaciones y observaciones ______________________________

___________________________________________________________

_

___________________________________________________________

___

Tarea no. 4

Resuelve los siguientes binomios al cubo

78

En esta actividad, vamos a calcular el volumen de algunos cuerpos geométricos y a

relacionar estos cálculos con el producto de expresiones algebraicas, tal y como lo

hicimos en las actividades anteriores.

a) Un terreno de forma rectangular tiene de largo 2x-3 y de ancho 2x-5. Determine su área

b) Un terreno cuadrado tiene de lado 2x+5. ¿Cuánto mide de área?

c) Si un terreno rectangular tiene de largo 3m + n y de ancho 3m- n. ¿Cuánto vale su

área?

d) Se tiene un recipiente cúbico cuyas dimensiones son m + 5 de lado. Determina la

expresión algebraica que determina su volumen.

Tema 2.2: Factorización


Nombre __________________________________________________

Grupo _______________________ Turno _____________________

Fecha ___________________________________________________

Instrumento de evaluación _____________________ Página _______


cotidiana.

79

2.2. FACTORIZACIÓN

2.2.1. Factorización por término común

En el álgebra factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión. El procedimiento para la factorización de polinomios cuando sus términos tienen un factor común consiste en representar los términos del polinomio como producto de dos factores, uno de ellos es el factor común y el otro es aquella expresión cuyos términos son los que multiplicados por el factor común dan como resultado el polinomio a factorizar.

Factorizar el polinomio: xx 36 2

Primero hay que buscar el factor común entre los coeficientes 6 y 3 el cual es 3.

Después se busca el factor común entre x2 y x el cual es x.

El factor común es 3x

Enseguida éste factor común se multiplica por lo que resulta de dividir cada término del

polinomio entre el factor común:

12x3x

EJEMPLO

Al término de la sesión el estudiante será capaz de

identificará la factorización por un término común en la

resolución problemas.


80

Ejercicio no. 9 Individual

De manera individual, factorizar los siguientes polinomios:

1. xxx 333 23 = ___________________________________

2. aa 22 = _________________________________________

3. xyx = __________________________________________

4. 23 1612 aa = _____________________________________



En equipos de tres integrantes factorizar los siguientes polinomios:

Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo de la página 114.

1.- bb 52 2 =__________________________________________

2.- ababba 9123 22 =__________________________________

3.- yzxzxy 826 =_____________________________________

4.- yx 22 =___________________________________________


81

1.- 2xyxyxz = ___________________________________________________

2.- 32 155 mm = ____________________________________________________

3.- 284 2 xx = ____________________________________________________

4.- nmnmm 234 9156 = _____________________________________________

5.- 22 69 xyyx = ____________________________________________________


Tarea no. 5

Factorizar los siguientes polinomios


Recomendaciones y observaciones ______________________________

___________________________________________________________

__

___________________________________________________________

___

82

2.2.2. Factorización de diferencia de cuadrados

Como recordarás, en la actividad de productos

notables y factorización estudiamos el producto de

binomios conjugados, ahí se prueba geométricamente

que 22 bababa , se obtuvo a partir de

observar la descomposición de un cuadrado y

relacionar el área de los cuadrados involucrados, esto

es:

b

a - b

a

a

b

EJEMPLO

Al término de la sesión el estudiante será capaz de identificar

y factorizar una diferencia de cuadrados en la resolución de

problemas.


83

Ahora retomaremos el problema inverso, es decir, si tienes la diferencia de cuadrados, ¿cuáles son los binomios conjugados a los que corresponde? En cada caso, justifica geométricamente.

1. ______________12 x

2. ______________92 x

3. ______________

4

12 x

4. ______________

9

42 x

5. ______________04.02 x

A partir de lo que hiciste, ¿Cuál sería el procedimiento a seguir para factorizar una diferencia de cuadrados? ___________________________________________________ ________________________________________________________________________

a. ______________492 x

b. ______________94 2 x

c. ______________16100 2 x

d. ______________

81

64

9

2

x

Ejercicio no. 10

Integrados en equipos de tres personas, realiza la actividad que se

te indica.


en la página 114.

Grupo


De manera individual factorizar las siguientes expresiones:


en la página 114.

84

1.- 821 ba = _______________________________________________________

2.- 210 49ba = _____________________________________________________

3.- 282 cba = ______________________________________________________

4.- 2100 x = _______________________________________________________

5.- 44 ba = ________________________________________________________

2.2.3. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

A partir de lo estudiado en actividades anteriores, te percatarás de la igualdad entre las expresiones correspondientes al cálculo del área de la figura y su descomposición, donde se supone que:

Área del cuadrado: 2111 uuu

=

2362424 uuu 216u +

28u + 28u +

24u

EJEMPLO

Al término de la sesión el estudiante será capaz de identificar y

factorizar trinomios.


+ + +

Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados.

La actividad se evaluará con la lista de cotejo de la

página 114.

Tarea no. 6

85

Si prescindimos del término que nos indica las unidades y utilizamos la notación exponencial, puede expresarse como:

48216242424622 esto es: 222

2)24(2424

Esta última expresión se identifica como el cuadrado de un binomio y al resultado como

un trinomio cuadrado perfecto.

=

x + 2

____________2222

xxx

Enseguida, se plantea el problema inverso, a partir de la descomposición y los datos

correspondientes, dibuja el cuadrado asociado a esa descomposición:

2_________________________________

x

3 3

Ejercicio no. 12

Considera la siguiente descomposición y establece la relación

algebraica que resulta de la descomposición que se hace enseguida.


la página 114.

Grupo

86

Para cada trinomio, completa:

Expresa por escrito el procedimiento que utilizaste para encontrar el cuadrado al que

corresponde cada trinomio cuadrado perfecto, estudiado en esta actividad.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Expresa simbólicamente el procedimiento antes descrito. __________________________

1. 22 _____________________4914 xx

2. 22 _____________________12122 xx

3. 22 _____________________22530 xx

4. 22 _____________________

4

93 xx

5. 22 _____________________

4

1 xx

1. 22 _____________________4914 xx

2. 22 _____________________10020 xx

3. 22 13 169 _______ ________ ____ ____x x

4. 22 _____________________

4

255 xx

5. 22 _____________________

4

1 xx


Aplica el procedimiento anterior en los siguientes casos. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se


87

1.- 962 xx = _____________________________________________________

2.- 9124 2 xx = ___________________________________________________

3.- 22 168 yxyx = _________________________________________________

4.- 25309 2 xx = __________________________________________________

2.2.3. Factorización de un trinomio de la forma cbxax 2

Integrando dos actividades

Al factorizar el trinomio 342 xx obtenemos:

342 xx 1442 xx Lo que tenemos en el primer miembro es exactamente

igual a lo que tenemos en el segundo miembro de la igualdad.

1)2(144 22 xxx Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto y lo que

nos queda en el segundo miembro es una diferencia de cuadrados.

)12)(12(1)2( 2 xxx Se factoriza la diferencia de cuadrados.

)1)(3()12)(12( xxxx Se agrupan los términos semejantes en cada factor.

Por lo tanto

EJEMPLO

Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos



Tarea no. 7

88

a) Utiliza lo del ejemplo anterior para completar la factorización:

49656 22 xxxx

4___)(___496 22 xx

)_________)(________(4)______( 2

)______)(______()_________)(________(

¿Hay alguna relación entre los términos de la expresión original y los de su factorización?

_______ ¿Cuál?__________________________________________________________

________________________________________________________________________

b) Ahora, factoriza las expresiones siguientes:

1. 1582 xx _______________________________________________________

2. 782 xx ________________________________________________________

3. 2 10 22x x _______________________________________________________

Ejercicio no.14

En equipos de tres integrantes resolver la siguiente actividad. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la

página 114.

Grupo

89

a)

Completa la factorización de 1082 2 xx , utilizando el procedimiento estudiado en

la actividad anterior:

5421082 22 xxxx

9______2542 22 xxx

_________)________)((29______2 2 x

______2_________)________)((2 xx

Al igual que se planteó antes, ¿hay alguna relación entre los términos de la expresión

original y los de su factorización? _______ ¿Cuál? _______________________________

________________________________________________________________________ Factoriza los siguientes trinomios

1.- 88192 aa =_____________________________________________________

2.- 22 xx =________________________________________________________

3.- 40132 nn =_____________________________________________________

4.- 26 2 xx =_______________________________________________________

1462 2 xx

1252 2 xx

1572 2 aa


De manera individual desarrolla las siguientes actividades.


en la página 114.

Factorizar los siguientes trinomios.

Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo

que se encuentra en la página 114.

Tarea no. 8

90

1.- La expresión 652 xx representa el área de un terreno rectangular, obtener el largo

y el ancho de dicho terreno.

2.- La expresión 122 mm representa el área de una parcela cuadrada, calcular la

medida de sus lados.


Nombre __________________________________________________

Grupo _____________________ Turno _______________________

Fecha ___________________________________________________

Instrumento de evaluación ___________________ Página _________


cotidiana.

91

2.3. ECUACIONES LINEALES

2.3.1. Igualdades


Investigar de manera individual lo que se indica a continuación

sobre igualdades:

- Definición

- Propiedades

- Elementos que la forman


Al término de la sesión el estudiante será capaz de Identificar y describir una igualdad algebraica.

Identificar los elementos de igualdades algebraicas.


Una de las características importantes de la matemática es que resulta de suma utilidad

para construir modelos de fenómenos de la naturaleza. Un mismo fenómeno puede ser

estudiado desde el punto de vista de la Química, la Física, la Sociología, la Ecología, etc.;

sin embargo, para todas ellas, la construcción del modelo matemático, o más

específicamente, algebraico, brinda la oportunidad de que sintetiza una relación que se ha

establecido entre dos o más cantidades.

Esa relación puede ser de muchos tipos; en esta sección estudiaremos modelos que nos

están mostrando una relación lineal presente, como ya decíamos, entre dos o más

variables. Tales modelos se abordarán a partir de una serie de situaciones problemáticas

que esperamos resulten atractivas e interesantes para ti.

92

Responde las siguientes cuestiones en base a lo que investigaste:

1. Es una expresión cuyo miembro izquierdo es exactamente igual al miembro derecho

______________________________________________________________________

2. Consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro al otro cambiándole

de signo.________________________________________________________________

3. Son los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación.

______________________________________________________________________

4. Identifica el número de términos en la igualdad 5x – x = 3x – 35.

______________________________________________________________________

5. Escribe las propiedades de la igualdad.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________


De manera individual realiza la siguiente actividad:


en la página 114.

93

2.3.2. Ecuaciones de primer grado

La herencia del minero

Una anécdota que se cuenta por los pueblos de Sonora, trata de la herencia que un viejo

minero, al sentirse ya muy enfermo, quiso repartir entre sus cuatro hijos, varones todo.

Dicen que los reunió a todos junto a su lecho de enfermo, y así les habló:

-“Hijos míos, ya pronto tendré que rendir mi tributo a la madre Tierra. No pasarán muchos

días para que abandone este mundo. Pero quiero marchar con la certeza de que los

asuntos terrenales han quedo arreglados a mi entera satisfacción, pues no quiero dejar

pendientes a mis familiares. Así es que, en vista de que su madre ya murió, y yo no tengo

más por quién preocuparme que no sea por ustedes, mañana les repartiré la única

herencia que les voy a dejar. En el cuarto de al lado, en la cómoda que era de su abuela,

tengo un costal de pepitas de oro que nunca vendí, guardándolas siempre con la idea de

entregárselas antes de mi muerte. Vengan por favor mañana, a esta misma hora, para

hacer la repartición justa y equitativa.”

Los hijos, atribulados, se despiden del padre, prometiendo que al otro día regresarían. Sin

embargo, el hijo mayor se retira del lugar pensado que no es justo que a todos se les

entregue lo mismo, él es el hijo mayor y le tocó acompañar a su padre muchos años,

mientras sus hermanos menores quedaban en casa. Así es que pasada la medianoche

regresa a la casa del padre, entra sigilosamente, cuenta las pepitas, y se lleva la cuarta

parte de ellas.

El segundo de los hijos razona de manera semejante, preguntándose por qué les debe de

tocar lo mismo, si él siempre se ocupó de ayudar a su madre a cuidar a los hermanos

menores mientras el mayor andaba con el padre en las minas. Así es que decide regresar

a la casa del papá, busca la bolsa de pepitas, las cuenta y se lleva la cuarta parte sin que

nadie se de cuenta de su acción.


Al término de la sesión el estudiante será capaz de utilizar las operaciones algebraicas para resolver problemas cotidianos que generen ecuaciones de primer grado.

EJEMPLO

94

No es de extrañar que el tercero de los hijos tampoco piense que sea justo recibir la

misma cantidad que los hermanos, puesto que a él le tocaba ir siempre por todos los

mandados y de cuando en cuando cuidar al hermano menor. Convencido de su

argumento, regresa a casa de su padre entrada la madrugada, encuentra la bolsa de

pepitas, las cuenta y se lleva a su casa la cuarta parte de las pepitas de oro que encontró.

Finalmente, el hermano menor, llega a la conclusión de que él, precisamente por el hecho

de ser el menor, debe de quedar mejor protegido que sus hermanos mayores, que ya

tienen sus entradas de dinero seguras. Vuelve entonces a casa de su padre, y sin que

nadie lo vea, toma la bolsa de pepitas, las cuenta, y se lleva la cuarta parte a su casa.

Al otro día, a la otra estipulada, llegan los cuatro hijos al cuarto del padre, quien

trabajosamente se dirige al cuarto vecino, trae la bolsa de pepitas, la abre, cuenta las

pepitas y hace cuatro montoncitos de 81 pepitas de reluciente oro, entregando la parte

correspondiente a cada uno de sus hijos, los cuales las reciben con lágrimas en los ojos.

a) ¿Cuántas pepitas había originalmente en la bolsa del viejo minero? 1024

b) ¿Cuántas pepitas les tocaron en realidad a cada uno de los hijos?

Primer hijo Segundo hijo Tercer hijo Cuarto hijo

337 273 225 189

c) Si tratamos de organizar nuestros razonamientos en la siguiente tabla:

Cantidad original de

pepitas

X

El primero hijo

Toma x4

1 pepitas

Restamos xx4

1 y nos queda:

Deja x4

3 pepitas

Segundo hijo

Toma

x

4

3

4

1 pepitas

Deja x16

9 pepitas

Tercer hijo

Toma

x

16

9

4

1 pepitas

Deja x64

27 pepitas

Cuarto hijo

Toma

x

64

27

4

1 pepitas

Deja x256

81 pepitas

El padre

Reparte esta cantidad de pepitas

Toma x256

81 pepitas

Entrega ___81_________ pepitas a cada uno de los hijos

95

Cantidad original de

pepitas

X

El primero hijo

Toma ______________ pepitas

Deja _______________ pepitas

Segundo hijo


Deja _______________ pepitas

Tercer hijo


Deja _______________ pepitas

Cuarto hijo


Deja _______________ pepitas

Quinto hijo


Deja _______________ pepitas

El padre

Reparte esta cantidad de pepitas


Entrega ______________ pepitas

a cada uno de los hijos

¿Qué puedes comentar respecto a lo que acabas de hacer?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Utilizando los razonamientos del ejemplo anterior para rehacer el

problema, suponiendo que el número de hijos es 5, y que cada

uno va actuando de la misma manera que lo hicieron los hijos del

caso anterior (ejemplo), tendríamos los datos que siguen:


en la página 114.


96

Actividad 1

Los aguadores

Aarón se dedica a la venta de agua a los habitantes de las granjas que no cuentan con

servicio de agua potable en la población de La Tinajera, cercana a Ciudad Obregón,

Sonora. Para ello utiliza un camión cisterna que todos los días llena antes de empezar su

recorrido.

El pasado jueves tuvo que salir del pueblo por un problema familiar, así es que le pidió a

su amigo Juan Carlos que se hiciera cargo del camión, encomienda que éste aceptó por

ayudar a su amigo, aunque no tiene la menor idea de cómo funciona el reparto. Aarón

solamente le dice que en el tablero del carro hay un indicador que le irá mostrando el nivel

de agua de su cisterna, dándole además la lista de clientes que debe visitar.

La primera entrega de Juan Carlos la realiza en la granja de Jorge, quien le pide le llene

las dos pilas que tiene en el patio, y que al otro día pagará su importe. Juan Carlos

acepta, cumple su cometido y continúa su recorrido, no sin antes echar un ojo al indicador

del tablero, que le muestra que se encuentra a ¾ de su capacidad.

a) ¿Con cuánta agua se quedó Jorge?

________________________________________________________________________

Continúa su recorrido, llegando ahora a la casa de Víctor, quien se queda con la mitad de

agua que traía la cisterna, prometiendo también pagar su adeudo al día siguiente.

b) ¿Con cuánta agua se quedó Víctor?

________________________________________________________________________

c) ¿Qué le marca el indicador a Aarón, después de salir de la granja de Víctor?

________________________________________________________________________

Individual

Ejercicio no. 18

Resuelve las siguientes actividades de manera individual.



97

d) Finalmente, termina la jornada llegando a la granja de Rosario, quien se queda con

toda el agua que quedaba en la cisterna, pagando a Juan Carlos $9000.00. Con esta

información, el joven hace algunas cuentas y exclama, “Ah, ya sé cuánto cuesta toda el

agua de la cisterna”. ¿Cómo razonó para saber este dato?

________________________________________________________________________

e) ¿Cuál es el adeudo de Víctor y cuál el de Juan Carlos?

________________________________________________________________________

f) De acuerdo con la información anterior, ¿Es posible saber cuál es el precio del litro de

agua?

________________________________________________________________________

a) Resolver la ecuación 5 + 4x = 3x + 7

Solución: Trasponemos el término x3 al primer miembro y se reducen los términos semejantes. 5 + 4x = 3x + 7 5 + 4x - 3x =3x – 3x + 7 5 + x = 7 A continuación trasponemos el término 5 al segundo miembro y se reducen términos semejantes. 5 +x -5 = 7 -5 x = 2 Comprobemos que x = 2 satisface la ecuación dada. 5 +4(2) = 3(2) +7 5 +8 = 6 +7 13 = 13, tal como queríamos comprobar

EJEMPLO

98

b) Resolver la ecuación 2(x+1) +3(x-2) = x +3 Solución: Se suprimen los paréntesis mediante una multiplicación y sumamos términos semejantes. 2x +2+3x-6= x +3 5x -4 –x = x –x +3 trasponemos la x y se reducen términos semejantes O sea, 4x -4 = 3 trasponemos el término -4 tendremos y se reducen los términos semejantes: 4x -4 +4 = 3 +4 O sea 4x = 7. Dividamos ambos miembros entre cuatro

4

7

4

4

x

Es decir x = 7/4 es la solución de la ecuación.

Comprobemos que 7/4, satisface la ecuación dada al sustituir en la ecuación

2(x+1) +3(x-2) = x +3

4

19

4

19

4

19

4

3

4

22

4

19

4

13

4

112

34

72

4

731

4

72

EJEMPLO

99

Cada una de las ecuaciones tenía exactamente una solución. Cuando se da una ecuación que puede escribirse como ax + b=c, existen tres posibilidades para la solución:

1) La ecuación tiene una sola solución. Se trata de una ecuación condicional.

2) La ecuación no tiene solución. Es una ecuación contradictoria.

3) La ecuación tiene un número infinito de soluciones. Es una identidad.

c) Resuelve la ecuación 8x +7 = 9x +3 Solución La ecuación ya está simplificada: 8x +7 = 9x +3 Se resta 7 de ambos lados. 8x + 7 – 7 = 9x + 3 – 7 8x = 9x – 4 Resta 9x de ambos lados. 8x – 9x = 9x – 9x – 4 -x = - 4 Multiplicar por -1 ambos miembros. (- 1)(- x) = (- 1)( - 4) entonces x = 4, y la solución es 4 Comprobación

3939

336732

3)4(97)4(8

3978

xx

EJEMPLO

100

1. Solución de una ecuación contradictoria.

d) Resuelva 3 +8(x+1) = 5 +8x Solución: Simplificar aplicando la propiedad distributiva y reduciendo términos semejantes. 3 + 8(x + 1) = 5 + 8x 3 + 8x + 8 = 5 + 8x 11 + 8x = 5 + 8x Restar 5 de ambos términos. 6 – 5 + 8x = 5 – 5 + 8x 6 + 8x = 8x Restar 8x de ambos lados 6 + 8x – 8x = 8x – 8x 6 = 0 La proposición 6=0 es una proposición falsa. Cuando esto ocurre, indica que la ecuación no tiene solución, es decir, es una ecuación contradictoria y escribimos “no hay solución”.

2. Solución de una ecuación con un número infinito de soluciones.

e) Resolver 7+2(x+1) = 9+2x Solución: Simplificamos usando la propiedad distributiva y reduciendo términos semejantes. 7+2(x+1) = 9+2x 7 + 2x + 2 = 9 + 2x 9 + 2x = 9 + 2x Nos podríamos detener aquí. Puesto que ambos lados son idénticos, la ecuación es una identidad. Todo número real es una solución. Pero ¿Qué pasa si continúanos? Veamos 9 + 2x = 9 + 2x Restar 9 de ambos lados 9 - 9 + 2x = 9 - 9 + 2x 2x = 2x Restar 2x de ambos lados. 2x – 2x = 2x – 2x 0 = 0 La proposición 0=0 es una proposición verdadera y cuando esto ocurre:

Indica que cualquier número real es una solución.

La ecuación tiene un número infinito de soluciones y escribimos “todos los números reales” para la solución.

EJEMPLO

101

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i )

Reunidos en equipos de cuatro integrantes resolver las siguientes

ecuaciones de primer grado.


en la página 114.


102

a) 8x + 9 = 5 + 3(2x – 1) + x

b) 5 + t = – 15 – 3t.

c) 6x = 2x – 3

d) 4x + 1 = 2

e) 3x + 101 – 4x – 33 = 108 – 16x – 100


Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado.


en la página 114.

103

De manera individual, determine el valor de la incógnita en cada ecuación:

a) 5p – 8 = 3(p – 2) + p.

b) x + ½ (4x – 7) = 2x + 4.

c) 6x = 2x – 3

d) 4x + 1 = 2

e) 8x – 4 + 3x = 7x + x + 14

f) 3x + 101 – 4x – 33 = 108 – 16x – 100



Recomendaciones y observaciones ______________________________ ___________________________________________________________

Nombre _______________________________________________

Grupo _________________ Turno ________________________

Fecha ________________________________________________

Tarea no. 9

104

Resolver los siguientes problemas, contestando a lo que se indica.

1. Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6

da 55. ¿Cuál es el número?

2. ¿Qué número se debe restar de p + 2 para obtener 5?

3. El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5.

¿Cuál es el número?

4. Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?

5. El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de

éste es 147. Hallar el número.

6. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103.

¿Cuáles son los números?


Nombre __________________________________________________

Grupo _____________________ Turno _______________________

Fecha ___________________________________________________

Instrumento de evaluación __________________ Página __________


cotidiana.

105

2.3.3. Despeje de fórmulas

En la formula ghv 2 despejando h obtenemos:

Primeramente elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad para eliminar el

radical.

22 2ghv

ghv 22

Utilizando la transposición de términos, 2g pasaría dividiendo ya que están multiplicando a

h.

hg

v

2

2


Al término de la sesión el estudiante será capaz de utilizar las

operaciones algebraicas para despejar variables.

EJEMPLO

106

Expresión

Variables

a despejar Procedimiento

4P a a

2

bhA

b, h

180o ,,

34

3V r

r

3V a a

o 9F 32

5

OC

Co

2A r r

ppP 15.0 p

5( 32)

9

o oC F Fo

2 2 2c a b C, a , b

V abh a, b, h

P a b c d e a, b, e

Reunidos en equipos de tres integrantes realiza lo que se te indica

en la siguiente actividad.


en la página “No”.

Ahora, lo que haremos será utilizar lo que ya aprendimos sobre

ecuaciones para despejar las variables que se piden en cada una

de las siguientes fórmulas. Esta actividad se evaluará con la lista de

cotejo que se encuentra en la página 114.


107

Expresión Variables a despejar Procedimiento

hrV 2 R

A

FP

A

FdT D

AvQ V

Resolver el siguiente problema

1.- Se cuenta con un tinaco de forma esférica cuya capacidad es de 2 m3, determina su

radio, sabiendo que el volumen de la esfera está dado por: 3

3

4rV


Nombre __________________________________________________

Grupo _____________________ Turno _______________________

Fecha ___________________________________________________

Instrumento de Evaluación __________________ Página __________


cotidiana.

De manera individual, despeja la variable que se indica

en cada fórmula:



Tarea no. 11

108

Selecciona la respuesta correcta en cada caso

1.- Al factorizar la expresión aa 22 obtenemos:

a) 2aa

b) aaa 2

c) 2aa

d) 22 aa

e) 22 aa

2.- La factorización de xyyx 20254 22 equivale a:

a) 252 yx

b) 252 yx

c) 25yx

d) 25yx

e) 252 x

Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno__________________

Fecha_________________________________________________

Autoevaluación

109

3.- 42 2516 yx factorizado equivale a:

a) yxyx 5454

b) yy 5454

c) 22 5454 yxyx

d) 5454 xx

e) 33 5454 yxyx

4.- Al factorizar el trinomio 1272 xx obtenemos:

a) 43 xx

b) 43 xx

c) 43 xx

d) 43 xx

e) 43 xx

5.- Al factorizar el trinomio 376 2 xx se obtiene:

a) 1332 xx

b) 1332 xx

c) 1332 xx

d) 1332 xx

e) 1313 xx

110

6.- Al resolver la ecuación 9 3 5 1x x obtenemos:

a) -1

b) 1

c) 2

d)-2

e) 0

7.- Determina el valor de x en la ecuación 6(2x – 5) + 2 = 20.

a) -2

b) -4

c) 2

d) 4

e) 1

8.- Mateo trabaja en el almacén de una tienda, cada mes se reciben 48 costales, estos

son de fríjol y de arroz, si sabemos que de arroz son el triple de costales en comparación

con los de fríjol ¿cuántos costales de fríjol se reciben?

a) 15 costales de fríjol

b) 12 costales de fríjol

c) 14 costales de fríjol

d) 16 costales de frijol

e) 24 costales de frijol

111

9.- En la cocina "La comida de Mamá" se preparan comidas corridas para llevar, uno de

sus clientes, en sábado les solicita una tercera parte más de comidas porque su familia lo

visita ese día, por lo que se le envían 12 órdenes ¿cuántas comidas pide entre semana?

a) 7 comidas

b) 5 comidas

c) 9 comidas

d) 8 comidas

e) 11 comidas

10.- El binomio (a+7)2 equivale a:

a) 49142 aa

b) 49142 aa

c) 1472 aa

d) 4972 aa

e) 4972 aa

11.- Al desarrollar el binomio 31x obtenemos:

a) 133 23 xxx

b) 133 23 xxx

c) 169 23 xxx

d) 133 23 xxx

e) 133 23 xxx

12.- 22 22 aa es igual a:

a) 42 a

b) 22 a

c) 24 a

d) 44 a

e) 42 a

112

13.- El desarrollo de 21 mm equivale a:

a) 22 mm

b) 22 mm

c) 22 mm

d) 32 mm

e) 32 mm

14.- Despejar h de la fórmula de presión hidrostática ghP :

a) hPh

b)g

Ph

c)P

gh

d)g

Ph

e)

Pgh

15.- Al despejar r de la fórmula de fuerza eléctrica 2

21

r

qKqF obtenemos:

a) F

qKqr 21

b) F

qKqr 21

c) 21qKq

Fr

d) KF

qqr 21

e) 21qq

KFr

113






0.10


0.28


0.10


0.50








1 Entregó en tiempo y forma 0.1


0.1






114



En equipo




2 Mostró interés por el tema. 0.25


0.5


0.5


0.5

Calificación de esta evaluación 2

Individual





0.20


0.40


0.40



1 = sí cumplió 0 = No cumplió


116

.

Unidad 3 Sistemas de

ecuaciones y

ecuaciones

cuadráticas

117

Al término de esta unidad el estudiante:

Representa en forma algebraica problemas de la vida cotidiana por medio de sistemas de ecuaciones y

ecuaciones de segundo grado.

Utiliza las operaciones algebraicas para resolver problemas cotidianos que generen sistemas de ecuaciones

y ecuaciones de segundo grado.

Temario

3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES

3.1.1. Definición

3.1.2. Sistema de ecuaciones con 2 y 3 incógnitas de primer grado

3.1.3. Métodos de solución

3.2. ECUACIONES CUADRÁTICAS

3.2.1. Métodos de solución por factorización

3.2.2. Método por completar trinomio cuadrado perfecto

3.2.3. Fórmula general

3.2.4. Aplicación de los métodos en la solución de problemas


118

1. ¿Qué es una ecuación lineal? ________________________________________

2. ¿Qué significa resolver una ecuación? ________________________________

3. ¿Qué es un sistema de ecuaciones? _________________________________

__________________________________________________________________

4. Menciona algún método para resolver un sistema de ecuaciones lineales:

__________________________________________________________________

5. ¿Qué es una ecuación de cuadrática? ________________________________

__________________________________________________________________

6. Escribe la fórmula general: _________________________________________

Escribe la respuesta correcta en cada uno de los espacios en

blanco:


119

3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES

3.1.1. Definición

Como una extensión para describir más ampliamente ciertos comportamientos, aparecen

la incorporación de más variables en el estudio una situación dada, a manera de ejemplo,

podemos mencionar los cobros del servicio telefónico, en donde el costo total mensual del

servicio depende del total de llamadas a teléfonos de casa, llamadas a teléfonos

celulares, largas distancias, etc. Si sólo consideramos las variables mencionadas,

tenemos una relación entre cuatro variables y este simple hecho amerita incluir nuevos

recursos para su estudio. A esto hay que agregarle la forma en que estas variables se

relacionan, así, no únicamente se trata de averiguar cuántas variables están involucradas

en una situación dada, interesa además la forma en cómo éstas se relacionan.

Es en esta unidad, precisamente, en la que nos adentraremos al análisis de situaciones

cuya modelación incluye la relación entre de dos o más variables, pero nos restringiremos

al caso de comportamientos lineales. Las actividades están orientadas al análisis de estas

relaciones lineales sujetas a determinadas condiciones. Por ejemplo, si se sabe el monto

total del recibo telefónico, es posible responder a la pregunta ¿cuántas llamadas de cada

tipo se hicieron?, pero no solamente eso, también responder preguntas tales como ¿se

puede determinar el número de llamadas de cada tipo, si se conoce los montos del

servicio telefónico de los últimos tres meses? Para dar respuesta a estas interrogantes y a

otras equivalente incursionaremos en la presente unidad al estudio de los Sistemas de

Ecuaciones Lineales.

Las actividades que aquí te proponemos, se presentan a partir de situaciones que

esperamos te sean familiares y cercanas a tus experiencias. Desde luego, la dinámica de

trabajo que te hemos propuesto a lo largo del Cuaderno de Trabajo no debe

abandonarse, es a partir de ella que se espera surjan las estrategias de resolución, que

se discuta alrededor de ellas y que se valoren como recursos valiosos para desarrollar

los procedimientos y métodos del álgebra.


Al término de la sesión el estudiante será capaz de identificar un

sistema de ecuaciones y la consistencia en relación a la

solución de cada uno de ellos.

120


1.- Se le llama a la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.

2.- Nombre que recibe el sistema de ecuaciones que tiene una solución

3.- Nombre que recibe un sistema de ecuaciones que no tiene solución

Investigar de manera individual lo que se indica a continuación:

- Definición de sistemas de ecuaciones lineales.

- Clasificación de sistemas de ecuaciones.



Reunidos en equipo de tres respondan los siguientes ejercicios. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.

121

3.1.2. Sistemas de ecuaciones con dos y tres incógnitas de primer grado

En un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de la forma: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑞

Resolver el sistema implica encontrar los valores de “x” e “y” tales que hagan verdadera

las ecuaciones.

En un sistema se presentan siempre uno de los tres casos siguientes:

a) Que exista una solución. Cuando el sistema 𝑎𝑒 − 𝑏𝑑 ≠ 0

b) Que no exista solución. Cuando en el sistema 𝑎𝑒 − 𝑏𝑑 = 0, pero c y d no son

múltiplos.

c) Tiene una infinidad de soluciones. Cuando en el sistema a, b y c son múltiplos a

d, e y g respectivamente.

a) Si consideramos el sistema:

Se tiene que (2)(-1) - (3)(3) ≠ 0, entonces el sistema tiene una única

solución.

2x + 3y = 1

3x – y = - 1

EJEMPLO

Al término de la sesión el estudiante será capaz definir los

sistemas consistentes e inconsistentes.

Interpretar las raíces o soluciones de un sistema de

ecuaciones simultáneas.


122

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, implica encontrar los

valores que hacen verdadera las ecuaciones, gráficamente representan las coordenadas

del punto de intersección de las gráficas de las ecuaciones, es decir el punto de

intersección de las rectas generadas.

En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, de la forma:

ax + by + cz = d

ex + fy + gz = h

ix + jy + kz = m

La solución corresponde a los valores de x, y y z que hacen verdadera las tres

ecuaciones, que corresponderían a las coordenadas de un punto en el espacio, es decir la

intersección de tres planos (tercera dimensión).

b) Si consideramos el sistema:

Se tiene que el (2)(12) – (4)(6) = 0 (son múltiplos del 3) pero el 1 y el 5 no

lo son, entonces el sistema no tiene solución.

2x + 4y = 1

6x+12y=5

6x + 12y = 5

EJEMPLO

c) Si consideramos el sistema:

Se tiene que la primera ecuación es el triple de la segunda, entonces el

1,3 y 4 son múltiplos del 2, 6 y 12 respectivamente, entonces el sistema

no tiene solución.

x + 3y = 4

2x+6y =2

2

2x + 6y = 12

EJEMPLO

123

a) 3x + 2y = 1

5x – y = 2

b) -2x + y = 0

2x – y = 1

c) 4x + 2y = 12

2x + y = 6

d) x – 2y = 3

4x + 3y = 6

Individual

Indicar si los siguientes sistemas de ecuaciones tienen una, ninguna o una infinidad de soluciones. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.

Ejercicio no. 2

124

3.1.3. Métodos de solución

Reducción o suma y resta.

En el método de reducción, en un sistema de la forma: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓

Primero se trata de que de los coeficientes a y d, o bien b y e sean iguales y de

diferentes signos; de lo contrario se busca un número que al multiplicarlo por alguna

ecuación se obtengan coeficientes numéricos iguales pero de diferente signo.

Después se suman las ecuaciones reduciendo términos semejantes, para que al resolver

la ecuación se encuentre uno de los valores, el de x o el de y.

Por último este valor se utiliza sustituyéndolo en una de las ecuaciones del sistema para

poder encontrar el otro valor utilizando el método de despejes.

Resolver el sistema por reducción:

2𝑥 + 4𝑦 = 63𝑥 − 4𝑦 = −1

Solución: Se observa que tiene coeficientes

numéricos iguales con diferente signo; 4𝑦, −4𝑦, por lo

que se procede a sumar las expresiones:

2𝑥 + 4𝑦 = 63𝑥 − 4𝑦 = −1

Sumar y despejar x 5𝑥 + 0 = 6𝑥 = 1

Sustituir en una ecuación y despejar 𝑦

Usando 2𝑥 + 4𝑦 = 6; tenemos 2 1 + 4𝑦 = 6 despejando

𝑦 =6 − 2

4= 1

Solución 𝑥 = 1, 𝑦 = 1

EJEMPLO

Al término de la sesión el estudiante será capaz de aplicar la

regla del método de sustitución en la resolución de un

sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.


125

Resolver utilizando el método de sustitución para resolver el siguiente sistema: 4x + 2y = -8 2x – 6y = 12 Solución: 4x + 2y = -8 ecuación (1) 2x – 6y = 12 ecuación (2) Despejar “y” de la primera ecuación. 4x + 2y = -8 transponer 4x al segundo miembro 4x – 4x + 2y = -8 – 4x sumar términos semejantes 2y = -8 – 4x dividir ambos miembros entre 2 Y = -4 – 2x Sustituir Y = -4 – 2x en la ecuación (2) 2x – 6y = 12 2x – 6(-4 – 2x) = 12 resolver la multiplicación 2x + 24 + 12x = 12 transponer el término -24 al segundo miembro 2x + 24 - 24 + 12x = 12 - 24 sumar términos semejantes 14x = -12 dividir entre 14 a ambos miembros X= -12/14 X = -6/7 Sustituir x =-6/7 en la ecuación (2) 2x – 6y = 12 2(-6/7) – 6y = 12 resolver el producto -12/7 - 6y = 12 transponer la fracción al segundo miembro -12/7 + 12/7 – 6y = 12 + 12/7 sumar términos semejantes -6y = 96/7 dividir entre -6 a ambos miembros para obtener “y” Y = 16/7 La solución del sistema es x = -6/7 y y = 16/7

EJEMPLO

Método de sustitución:

Utilizado en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas como el siguiente:

ax + by = c

dx + ey = f

Consiste primeramente en despejar una de las variables “x” o “y” de una de las

ecuaciones para después sustituirla en la otra, y así poder resolver por el método de

despejes encontrando uno de los valores utilizándolo para encontrar el otro utilizando la

otra ecuación.

126

Sustituyendo en cualquiera de la dos ecuaciones, de preferencia en el despeje de

“y” , es decir y = - 4 - 2x.

Tendremos: y =

La solución del sistema está formada por la pareja de valores x= , y =

Método de determinantes:

Un determinante se representa por:

el cual se resuelve como ∆ = ad – bc

Para un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

ax + by = c

dx + ey = f

Los valores de “x” y de “y” se obtendrían de la siguiente manera:

ed

ba

ef

bc

x

ed

ba

fd

ca

y

a b

c d

127

Sistemas de ecuaciones 3x3

Resolvamos el sistema de ecuaciones siguiente por reducción:

3x – y = -1 ecuación (1) x + 2z = 1 ecuación (2)

y – 3z = -7 ecuación (3)

EJEMPLO

Resolver el sistema:

414

56

620

54110

52

34

518

322

ed

ba

ef

bc

x

214

28

14

4472

14

182

224

ed

ba

fd

ca

y

La solución del sistema es x = 4 y y = 2, es decir el punto de intersección de las rectas generadas por las ecuaciones en el plano x e y está dada por (4, 2)

EJEMPLO

128

Consideremos las ecuaciones (1) y (2) y eliminemos la “x” multiplicando por -3 a la

segunda ecuación.

3x – y = -1

x + 2z = 1 (-3)

3x – y = -1

-3x – 6z = -3 Sumar las ecuaciones para reducir términos semejantes.

-y – 6z = -4 Siendo esta nuestra ecuación (4).

Ahora tomando la ecuación (4) y la que aún no hemos ocupado, es decir la ecuación (3).

2y – 3z = -7 ecuación (3)

-y – 6z = -4 ecuación (4) Eliminemos la “y” multiplicando por 2 a la cuarta ecuación.

2y – 3z = -7

-y – 6z = -4 (2)

2y – 3z = -7

-2y – 12z = -8 Sumar y para reducir términos semejantes.

-15z = -15 Dividir entre -15 en ambos miembros de la igualdad.

z = 1

129

Sustituyendo z =1 en la ecuación (3) obtenemos el valor de y:

2y – 3z = - 7

2y – 3(1) = - 7

2y – 3 = - 7

2y – 3 + 3 = - 7 + 3

2y = - 4 y = - 2

Sustituyendo z = 1 en la ecuación (2) obtenemos el valor de x:

x + 2z = 1

x + 2(1) = 1

x + 2 = 1

x + 2 – 2 = 1 – 2

x = -1

Entonces la solución del sistema es x = -1, y = - 2 y z = 1.

130

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por

los métodos de:

Sustitución, reducción y determinantes

a ) 3.x - 2.y = -16

5.x + 4.y = 10

b ) 4.x - y = 12 2.x + 3.y = -5


Reunidos en equipo de tres integrantes resolver las siguientes ecuaciones de primer grado. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que

se encuentra en la página 181.

131

a ) x + y = 5

-x + y = -2

b ) 2.x - 3.y = 0

4.x + y = 14

c ) 4.x - 8.y = 44

2.x + 4.y = 22

d ) 3.x - 4.y = 1

2.x - 3.y = 0


Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, por los métodos de reducción, sustitución y determinantes. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.

132

Resolver los sistemas de ecuaciones por el método que más se adecue.

x - y = 4

2x - y = 0

b)

x - 2.y -1 = 0

y - 2.x + 2 = 0

x +

2y – 5z = 4

3x – 2y + z = 4

2x – y = 3

x – y = 2

2x - z = 1

2y + 2z = 6

a) 3x + y = 5

x - 2z = 6

+ 2y – z = 0


Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, por el método de reducción. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.


Tarea no. 1

5“No”

133

Resolver los siguientes problemas

1) Calcula dos números cuya suma sea 8 y su diferencia sea 12.

2) La suma de dos números es 65 y su diferencia 23. Halla los números.

3) La diferencia de dos números es 1/6. El triple del mayor menos el doble del menor

es 1. Halla dichos números.


Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno __________________

Fecha _________________________________________________

Instrumento de evaluación __________________ Página _______


cotidiana.

134

3.2. ECUACIONES CUADRÁTICAS

Continuamos en esta unidad con el estudio de ecuaciones, pero ahora nos

concentraremos en el estudio de las ecuaciones de segundo grado y en una introducción

al estudio de las inecuaciones.

Las actividades que integran esta unidad, desde luego, buscan favorecer el desarrollo de

las habilidades del pensamiento algebraico al que hemos hecho alusión a lo largo de este

cuaderno de trabajo, en esta ocasión al intentar que vivas de nuevo otras experiencias

para propiciar el surgimiento de herramientas apropiadas para la resolución de las

mismas.

En estas actividades te darás cuenta de los variados contextos, desde luego, incluyendo

el matemático, en los que una relación cuadrática surge, estudiar los ingresos recabados

por la venta de un determinado producto, analizar el comportamiento de las utilidades,

calcular las dimensiones de una caja con ciertas características, analizar la producción de

un cultivo, etc., son situaciones concretas de modelos ampliamente utilizados en las áreas

de Economía, de Ingenierías o en Física, particularmente, en el estudio del movimiento

rectilíneo uniformemente acelerado., por mencionar algunas.

Esperamos, nuevamente, que las actividades te resulten atractivas e interesantes.


Al término de la sesión el estudiante será capaz resolver una ecuación cuadrática

135

a) El diseño de un texto

b) Utiliza la información anterior para completar la siguiente tabla:

Ancho del

margen 0.5 cm 1.0 cm 1.5 cm 2.0 cm 2.5 cm 3.0 cm

Largo

Ancho

Área de la

región

impresa


Reunidos en equipos de cuatro integrantes resolver los siguientes

problemas.


Para el diseño de un libro de

texto, se requieren hojas de

tamaño 25 cm por 18 cm. El área

impresa debe tener un margen

igual de ancho en los cuatro

lados.

a) Considerando que ""a

representa el ancho del margen

en cada lado, ¿Cuál sería una

expresión algebraica para el

largo de la región impresa? ¿Y

para el ancho de la región

impresa?

136

c) Si el ancho del margen es de 1cm, ¿cuáles son las medidas del área impresa?

d) Si se requiere que el área de la región impresa sea de 2294cm , ¿cuál debe ser el

ancho del margen?

e) Si se requiere que el área de la región impresa sea de 2424cm , ¿cuál sería la medida

de sus longitudes?

f) Y para un área de la región impresa de 2370cm , ¿cuál sería la medida de sus

longitudes?

1) La construcción de una bodega

Individual

Resolver los siguientes problemas contestando de manera

correcta a cada indicación descrita, los cuales deberán ser

revisados de manera grupal.


Ejercicio no. 7

Don Rodrigo va a construir una

bodega en un solar de una casa

derrumbada, donde queda en pie

una pared que se desea

aprovechar en esta nueva

construcción. El costo de mano

de obra es de $1,750.00 por cada

metro lineal de construcción. Con

base en esta información,

responda a lo siguiente:

137

a) ¿Cuál sería el costo total por la construcción de una bodega de 5 metros de largo por

4 metros de ancho?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

b) Si se quiere invertir un total de $70,000.00 en mano de obra, ¿qué dimensiones puede

tener la bodega?

Largo

Ancho

c) Para cada una de las posibles dimensiones del inciso anterior, calcula el área de la

bodega

Largo

Ancho

Área de la bodega

d) ¿Con el presupuesto anterior, se puede construir una bodega de 75 metros cuadrados

de área?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

e) ¿Cuáles serían las dimensiones de esa bodega que cubra una superficie de 100

metros cuadrados?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

138

2) La cosecha de manzanas

Los administradores del huerto “San

Arnulfo”, empresa productora de

manzana en Yécora, Sonora, están

revisando los registros de la producción,

con la finalidad de estimar las ventas

para los próximos años. Debido a un

problema en su computadora, solo

disponen de la información gráfica que

se muestra a lo largo de esta actividad y

a partir de la misma, preparan el informe

que entregarán a “San Arnulfo”. En cada

caso, justifica su análisis argumentando

la validez de sus planteamientos y

ayúdales a complementar su informe.

139

a) Como puede observarse, de la gráfica 1, la producción de manzanas por árbol (en

kgs.) está relacionada con la cantidad de árboles plantados por unidad de superficie1

(densidad), esta relación puede expresarse mediante la ecuación lineal

03005 yx , donde x es la densidad e y los kilogramos producidos por árbol. Su

lectura nos indica que, por ejemplo, si la densidad es de 20 árboles por unidad de

superficie, se cosechan un total de 200 kilogramos de manzana por árbol. De lo

anterior, puede entonces concluirse que la densidad más conveniente en términos de

producción total (cosecha) es plantar 30 árboles por unidad de superficie. A

continuación, argumenta numérica y gráficamente la validez de esta última afirmación.

Argumentos numéricos:

Densidad

Producción por árbol

Cosecha (Producción total)

Argumentos gráficos:

1 La unidad de superficie a la que se refiere en la presente actividad es una fracción de hectárea.

140

b) Para analizar el ingreso total por la producción, se dispone de la siguiente gráfica:

De la que se puede extraer la siguiente información numérica:

Densidad

(Número

de árboles

por unidad

de

superficie)

30 34

Valor de

la

producción

por árbol

180 174 159

141

Y que expresan verbalmente: “Cuando la densidad del huerto es de 30 árboles, la

producción puede venderse en $180 por árbol. Por cada árbol en que se incrementa la

densidad, el valor de la producción por árbol disminuye en $3”

c) El valor de la producción total puede calcularse multiplicando la densidad por el valor

de la producción por árbol; con base en esto, construye una gráfica para argumentar

acerca del número de árboles que deberán plantarse por unidad de superficie para

obtener el valor máximo de la cosecha.

d) Finalmente, complementa el informe incluyendo una ecuación cuya solución sea el

número de árboles que necesitan plantarse para obtener el valor máximo de la

cosecha.

142

3) Problemas y soluciones en la antigüedad

"Tómese la mitad de 1, que es el coeficiente de x, y cuádrese. Entonces, súmese 1/4 a

870, para obtener 4

481,3. Ahora, tómese la raíz cuadrada de

4

481,3 para obtener

2

59.

Al número obtenido, súmese la mitad de 1 que es el coeficiente de x. El resultado obtenido, 30, es una solución de la ecuación".

a) Usando la notación moderna, escribe la ecuación y el método que describe el

pergamino.

b) Plantea y resuelve al menos tres ecuaciones similares y utiliza el método para

resolverlas.

c) ¿Cómo usarías el método para resolver la ecuación cxx 2 ?

Desde tiempos antiguos se utilizan

las ecuaciones como herramienta

para dar respuesta a situaciones

concretas. En los escritos de los

antiguos babilonios y egipcios, se

han descifrado tales problemas y la

forma en como ellos los resolvían.

Algunas de las antiguas tablillas

contienen problemas de tipo

algebraico y geométrico, pero las

soluciones no utilizan nociones de

geometría. Un antiguo pergamino de

los babilonios contiene la solución de

la ecuación 8702 xx .

143

El problema analizado anteriormente, muestra el carácter retórico del álgebra antigua, es

decir no empleaba la notación simbólica a la que ahora estamos acostumbrados. El

siguiente era un problema típico: “Un cuadrado y 10 raíces son iguales a 39 unidades”,

por cuadrado se refiere al área de un cuadrado y raíz significa el lado del cuadrado. El

problema puede también enunciarse como: ¿Cuál es el cuadrado que combinado con diez

de sus raíces dará una suma total de 39? La manera de resolverlo era tomar la mitad de

las raíces ya mencionadas, por lo tanto, 5, que multiplicado consigo mismo da 25, una

cantidad que se agrega a 39, lo cual da 64. Se toma entonces la raíz cuadrada de 64, que

da 8, luego se resta de esto la mitad de de las raíces, 5, lo que deja 3. El número 3 es así

la raíz del cuadrado y 9 el área de ese cuadrado, como podrás ver si regresamos a la

cuestión inicial, el cuadrado, 9, y 10 de sus raíces 10(3) son iguales a 39 unidades.

d) Usa la notación moderna para escribir la ecuación y el método de resolución descrito.

e) Plantea y resuelve al menos tres ecuaciones similares y utiliza el método para

resolverlas

f) ¿Cómo usarías el método para resolver la ecuación cbxx 2 ?

144

4) Relaciones numéricas

Parte I

a) La tabla siguiente contiene algunas parejas de números, su suma y su producto,

complétala agregando parejas de números enteros y su suma y producto:

x Y yx yx

6 3 9 18

4 -2 2 -8

-8 -11 -19 88

Como puedes advertir, cada pareja de valores satisface, simultáneamente, un par de

ecuaciones, por ejemplo, en el primer caso, éstas pueden expresarse de la siguiente

forma:

18

9

yx

yx

b) Para cada una de las parejas restantes escribe un par de ecuaciones de la cual, cada

pareja sea solución.

c) Ahora, considera el caso general, es decir resuelve el siguiente problema:

“Dados dos números tales que cumplen que: syx y pyx , hallar el valor de

yex ”.

d) Utilizando el inciso c, resuelve cada uno de los sistemas de ecuaciones que planteaste en el inciso a).

145

5) Relaciones numéricas

Parte II

a) La tabla siguiente contiene algunas parejas de números, su diferencia y su producto,

complétala agregando parejas de números enteros y su suma y producto:

X Y yx yx

6 3 3 18

4 -2 6 -8

-8 -12 4 96

Como puedes advertir, cada pareja de valores satisface, simultáneamente, un par de

ecuaciones, por ejemplo, en el primer caso, éstas pueden expresarse de la siguiente

forma:

18

3

yx

yx

b) Para cada una de las parejas restantes escribe un par de ecuaciones de la cual, cada

pareja sea solución.

c) Ahora, considera el caso general, es decir resuelve el siguiente problema:

“Dados dos números tales que cumplen que: dyx y pyx , hallar el valor de

yex ”

d) Utilizando el inciso c, resuelve cada uno de los sistemas de ecuaciones que planteaste en el inciso a.

146

6) Una tarea de sexto año

Antes de reunirse con su equipo, Fernando revisa la convocatoria del torneo, cuyas bases

explican que se aceptarán todos los equipos que se inscriban y que el sistema de

competencia será el de “todos contra todos”, es decir, cada equipo jugará contra todos los

demás una única vez.

Cuando se reúnen para discutir cómo elaborar dicho rol, esos puntos de la convocatoria

son lo primero que les expone. Después de un rato, Raúl comenta: “Miren, ya que no

sabemos cuántos equipos se van a inscribir, podemos elaborar una tabla suponiendo que

sólo participan cuatro equipos, eso es fácil, es como hacer el rol de la Serie del Caribe,

sólo que en nuestro torneo se jugará un partido y no dos”. “Tienes razón”, dice Homar,

“pero….pues entonces hagamos la tabla con más equipos, cinco por ejemplo y veamos

que tantos juegos más necesitamos”.

Mercedes, profesora de la

escuela primaria “Profesor

Emiliano Zapata”, está a cargo

de coordinar la organización de

los Domingos Deportivos, que

este año consistirá en un torneo

de beisbol inter-escuelas

primarias. Ella siempre busca

que todos sus alumnos se

involucren en las actividades

escolares y les distribuye tareas

por equipo.

El equipo de Fernando,

integrado además de él por

Raúl, Osvaldo y Nomar, son los

encargados de hacer el rol de

juegos y buscar los campos de

beisbol necesarios para

realizarlos.

147

A continuación se reproduce la tabla:

Equipo

A

Equipo

B

Equipo

C

Equipo

D

Equipo

E

B – A C – A D – A E – A Equipo

A

A – B D – B E – B

Equipo

B

A – C B – C D – C E – C

Equipo

C

A – D B – D C – D E – D

Equipo

D

A – E B – E C – E D – E

Equipo

E

Una vez que han elaborado la tabla, dice Osvaldo: “Ahh, vean….si participan cinco

equipos serán diez juegos, porque es una tabla simétrica”. “Si”, responde Fernando, “pero

cinco equipos son muy poquitos, de seguro habrá muchos más, qué les parece si mejor le

pedimos a Eduardo y Aarón que nos ayuden con este problema, ellos están en la prepa,

de seguro nos pueden ayudar, porque acuérdense que también necesitamos saber

cuántos campos vamos a necesitar, si se pueden jugar dos partidos por día en cada

campo”. “¡Perfecto!”, exclaman todos a la vez, “Vamos con ellos”.

Cuando les plantean el problema, Aarón responde: “Cuando estaba en sexto, nos tocó

organizar el rol de maestros de ceremonias de los Lunes Cívicos, ahí participábamos por

parejas. Hicimos lo mismo que ustedes, pero ahora que ya sabemos un poco de álgebra,

hemos deducido una fórmula para resolver este problema. Les voy a platicar como le

hicimos y luego plantearé algunos casos, más o menos como las preguntas que nos hizo

la profe Meche, aquí está una tabla como la que construimos…

148

No. de

equipos

Cálculo del número

total de parejas

Total de

partidos

3 3(2)/2 3

4 4(3)/2 6

5 5(4)/2 10

Pero en el salón éramos 32 pues”… “les salieron muchas parejas, ¿verdad?”, se adelanta

Nomar. “Si”, dice Eduardo, “pero ahora ya sabemos cómo responder a las preguntas que

nos hacía la profe Meche, más rápido, aquí les digo algunas, vayan al CECYTES que está

aquí cerquita y pídanle a los de primer semestre que se las resuelvan, para que hagan

bien el rol de juegos”.

a) ¿Cómo se puede expresar este problema en su forma general? Es decir, si hay “n”

equipos participantes en el torneo, ¿cuántos juegos se pueden llevar a cabo bajo el

sistema de competencia descrito antes?

b) ¿Cuántos equipos se necesitan para que se pueden llevar a cabo 28 juegos?

c) ¿Y para realizar 91 juegos durante todo el torneo, cuántos equipos se requiere que se

inscriban?

d) Si el rol regular será durante el calendario de Domingos Deportivos, que son los

primeros veinte domingos del ciclo escolar, ¿Cuántos equipos se necesitan inscribir

para que haya en total de 253 partidos?

e) Explica por qué no es posible, bajo el sistema de competencia aquí planteado, realizar

100 juegos.

149

Resolver los siguientes problemas de aplicación utilizando los conocimientos

adquiridos sobre ecuaciones de segundo grado.

1) A resolver crucigramas

Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno __________________

Fecha _________________________________________________

Instrumento de evaluación __Lista de cotejo_____ Página __180__


cotidiana.

150

Verticales

1. Es el menor de dos números

cuya suma es 20 y su producto

99.

2. Número cuya diferencia entre

su cuadrado y su quíntuplo es

104.

3. La base de un rectángulo es

dos metros mayor que la altura.

Si a la base se le aumenta un

metro y a la altura dos metros,

resulta otro rectángulo de área

24 metros cuadrados más que el

área del primero. El

semiperímetro del rectángulo es:

4. Perímetro de un triángulo

rectángulo isósceles cuya área

es doce metros cuadrados.

6. Si al triple de un número se le

suma su cuadrado se obtiene 88.

Horizontales

3. Dos números que sumados dan diez y

cuya suma de sus cuadrados es cincuenta.

4. Número positivo cuyo cuadrado

disminuido en el doble del número resulta 10

unidades más del séptuplo del número.

5. Es la suma de dos números enteros

positivos cuya diferencia de cubos es 488.

7. Valor absoluto de la suma de dos

números consecutivos cuyo producto es 56.

8. Hallar la edad de una persona, sabiendo

que si al cuadrado se le resta el triple de la

edad resulta nueve veces ésta.

9. Medida de uno de los lados de un

rectángulo de 24 metros de perímetro y 35

metros cuadrados de área.

151

2) Más sobre ecuaciones en la antigüedad

En el al-jabr2 de al-Jwarizmi se presenta un estudio exhaustivo y sistemático de los seis

diferentes tipos de ecuaciones lineales y cuadráticas, clasificadas y ejemplificadas de la

siguiente forma:

1) Cuadrados iguales a raíces3, ejemplo: xx 43

1 2

2) Cuadrados iguales a números, 805 2 x

3) Raíces iguales a números, 204 x

4) Cuadrados y raíces iguales a números, 39102 xx

5) Cuadrados y números iguales a raíces, xx 10212

6) Raíces y números iguales a cuadrados, 4432 xx

Todas estas ecuaciones se consideraban distintas pues en ese tiempo no se introducían

los números negativos, razón por la cual se necesitaba separar los casos.

a) Plantea otros ejemplos distintos al presentado en cada uno de los casos anteriores

b) Resuelve cada uno de los casos iniciales y los que planteaste. Verifica tu respuesta

2 Obra matemática que data de alrededor del año 825 atribuida al árabe Muhammed ibn Musa, Al-Khwarizmi

(Al-Jwarizmi).

3 Por cuadrado se refiere al área de un cuadrado y una raíz significa el lado el cuadrado.

152

3) Construyendo una plataforma para los salvavidas

En el periodo vacacional de Semana

Santa, las playas sonorenses se

llenan de vacacionistas nacionales y

extranjeros. En Bahía Kino, por

ejemplo, es muy conocida la gran

afluencia de visitantes.

Para la próxima Semana Santa, las

autoridades locales se están

preparando con la infraestructura

necesaria para prevenir accidentes.

En este sentido, se está planeando

la construcción de plataformas de

observación para el personal que

estará encargado de vigilar la playa

y cuidando a los bañistas, las cuales

serán distribuidas a lo largo de la playa.

Las características de la construcción son muy sencillas. Sobre una plataforma

rectangular, que tendrá una elevación de 12 metros y medirá 8 metros de ancho por 12 de

largo, se montará una carpa que deberá cubrir un área, al centro de la plataforma, de 60

metros cuadrados. La idea es que la parte no cubierta sea una especie de corredor cuyo

ancho mida lo mismo por cualquier lado de la carpa. ¿Cuánto debe medir el ancho del

corredor?

a) Traza un diagrama de la situación descrita.

b) A partir de la información proporcionada para las medidas de los lados de la

plataforma, ¿cuándo deben medir los lados de la sección que quedará cubierta?

153

c) ¿Qué relación algebraica podemos establecer entre las medidas obtenidas en el inciso

anterior para los lados de la sección cubierta y su área, que ya sabemos que será de 60

metros cuadrados?

d) ¿Será posible encontrar, a partir de la relación anterior, la medida que andamos

buscando? ¿Cómo?

4) A resolver crucigramas II

1

2

3

4

5 6

7

8

9

10

11

154

Verticales

1. Un polígono de n lados tiene n(n-3)/2 diagonales. ¿Cuántos lados tiene un polígono con

27 diagonales?

2. Número positivo que multiplicado por 30 es 1,000 unidades menor que su cuadrado.

5. En un torneo de ajedrez cada participante juega dos veces con el resto de los

competidores. Si un torneo se jugaron en total 156 partidos, ¿cuántos jugadores

participaron en el torneo?

6. Es el mayor de dos números pares consecutivos cuyo producto es 728.

7. La suma de los cuadrados de tres números consecutivos es 365. ¿Cuál es el mayor de

estos números?

9. Una compañía de 180 soldados está dispuesta en filas. El número de soldados de cada

fila es 8 más que el número de filas que hay. ¿Cuántas filas hay?

10. Número cuyo resultado de multiplicarse por sí mismo da igual que su doble.

Horizontales

3. Es el mayor de dos números cuya suma es 9 y cuya suma de cuadrados es 53. 4. El mayor de dos números impares consecutivos cuya suma de cuadrados es 394. 7. La suma de los primeros "n" números naturales es 190, ¿cuál es el mayor de estos números? 8. Un número positivo es 3/5 partes de otro número y el producto de ambos es 2,160. ¿El mayor de los números es? 11. Con un pedazo cuadrado de cartón se construye una caja abierta cortando en cada esquina cuadrados de 3 cm de lado y doblando hacia arriba los rectángulos resultantes. Si la caja tiene un volumen de 432 centímetros cúbicos, ¿de cuántos centímetros de longitud era el cartón del que se fabricó la caja?

155

5) A resolver crucigramas II b

1 2

3 4

5

6

7

8

9

10

11

156

Verticales

1. Con un pedazo cuadrado de cartón se

construye una caja abierta cortando en

cada esquina cuadrados de 3 cm de lado y

doblando hacia arriba los rectángulos

resultantes. Si la caja tiene un volumen de

432 centímetros cúbicos, ¿de cuántos

centímetros de longitud era el cartón del

que se fabricó la caja?

2. Número cuyo resultado de multiplicarse

por sí mismo da igual que su doble.

3. En un torneo de ajedrez cada

participante juega dos veces con el resto de

los competidores. Si en un torneo se

jugaron en total 156 partidos, ¿cuántos

jugadores participaron en el torneo?

6. Un número positivo es 3/5 partes de otro

número y el producto de ambos es 2,160.

El mayor de los números es…

8. Una compañía de 180 soldados está

dispuesta en filas. El número de soldados

de cada fila es 8 más que el número de filas

que hay. ¿Cuántas filas hay?

10. Es el mayor de dos números cuya suma

es 9 y cuya suma de sus cuadrados 53.

Horizontales

4. El mayor de dos números pares

consecutivos cuyo producto es 728.

5. La suma de los primeros "n" números

naturales es 190, ¿cuál es el mayor de

estos números?

7. Un polígono de n lados tiene n(n-3)/2

diagonales. ¿Cuántos lados tiene un

polígono con 27 diagonales?

8. La suma de los cuadrados de tres

números consecutivos es 365. ¿Cuál es el

mayor de estos números?

9. El mayor de dos números impares

consecutivos cuya suma de sus cuadrados

es 394.

11. Número positivo que multiplicado por 30

es 1,000 unidades menor que su cuadrado

157

6) Más sobre ecuaciones cuadráticas y su resolución

a) Daniela, alumna del CECyTES

Granados, nos quiere compartir

un procedimiento que encontró

para la resolver una ecuación de

segundo grado, pero quiere que

nosotros demos los resultados

que hacen falta en la secuencia

de operaciones que resultan al

resolver la ecuación

012203 2 xx

Primero se multiplica la ecuación por 3, obteniendo:

036609 2 xx (1)

Luego se multiplica la ecuación por 4, así se obtiene la ecuación: __________ (2)

Si sumas -144 en ambos lados de la ecuación que obtuviste en (2), resulta:

14424036 2 xx (3)

Enseguida, suma en ambos lados de la ecuación, el resultado de elevar al cuadrado 20,

es decir 400, con esto obtienes: ____________________________________ (4)

Factorizando (4) se tiene obtiene la ecuación 2562062x (5)

De la resolución de esta última ecuación se obtiene la solución de la ecuación inicialmente

planteada, ¡resuélvela y comprueba tu resultado!

158

b) Utiliza el método de Daniela para resolver las siguientes ecuaciones:

1. 0143 2 xx

2. 0144 2 xx

3. 0424 2 xx

4. 322

2

xx

5. 0122 xx

c) Por equipo, planteen otros problemas similares, resuélvanlos y comprueben sus

resultados.

d) Daniela dice a sus compañeros, que la profesora Graciela hace algunos días le

comentó que ese procedimiento puede ser generalizado para obtener un método de

resolución de una ecuación de segundo grado, conocido como la fórmula general de

resolución de ecuaciones de segundo grado en una variable. Intenta obtener dicha

fórmula, completando lo que sigue:

Considera la ecuación de segundo grado, 02 cbxax

Multiplicando la ecuación por a se obtiene: __________________________________

Luego, al multiplicar por 4, obtienes 0444 22 acabxxa

Suma ac4 en ambos lados de la ecuación, esto es:

acacacabxxa 44444 22 , que simplificando queda: _____________________

Suma 2b en ambos lados de la ecuación para obtener: _________________________

159

Cuya parte izquierda es un trinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado queda:

22 4)2( bacbax , o bien, acbbax 4)2( 22

Al resolver esta última ecuación se obtiene: acbbax 42 2

La cual se resuelve para x, el valor buscado, esto es: a

acbbx

2

42

Esta última expresión se conoce como la fórmula general para resolver ecuaciones de

segundo grado en una variable.

e) Por equipo, utilizando la fórmula general resuelvan las ecuaciones de los incisos b y c.


160

3.2.1. Métodos de solución por factorización

EJEMPLO


Al término de la sesión el estudiante será capaz de identificar factores comunes en una ecuación de segundo grado.

Aplicar la el método de factorización por término común en una ecuación incompleta de segundo grado.

Hallar las raíces conjugadas de una ecuación incompleta utilizando el método de factorización de una diferencia de cuadrado.

Regla:

1.- Se iguala a cero la ecuación.

2.- Se abren dos paréntesis

escribiendo la raíz del primer término

en cada factor.

3.- Se escribe el signo del segundo

término en el primer factor y el

producto de los signos del segundo y

tercer término en el segundo factor.

4.- Si los signos de los factores son

iguales se buscan dos números que

sumados den el coeficiente del

segundo término y multiplicados el

tercero.

5.- Si los signos de los factores son

diferentes se buscan dos números

que restados den el coeficiente del

segundo término y multiplicados el

tercero.

Determina los factores de la ecuación

x2 – 16x = – 465

x2 – 16x + 465 = 0

( x ) ( x ) = 0

( x – ) ( x – ) = 0

( x – 31 ) ( x – 15 ) = 0

161


Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones de segundo

grado, utilizando el método de factorización.



1.- x2 – 16x + 465 = 0

2.- x2 – x – 6 = 0

3.- x2 + 2x = 48

4.- x2 – 13x – 68 = 0

5.- x2 + 34x = -288

1.- x2 + x – 30 = 0

2.- x2 + 12x = – 27

3.- x2 – 11x + 152 = 0

4.- x2 – 26x = 315

5.- 4x2 – 2x – 12 = 0


Reúnete en equipo y resuelve cada uno de los ejercicios aplicando

la regla de factorización de ecuaciones de segundo grado.

162

Responde los siguientes problemas que puedes aplicar en la vida diaria

1) Un helicóptero deja caer un automóvil desde una altura de 245 metros,

registrándose los siguientes datos:

a) De acuerdo con la información, se completa la siguiente tabla:

Tiempo Distancia de caída

Altura a la que se

encuentra el automóvil

0 0 245

1 5 240

2 20

3

4

5

6

7

b) ¿Cuánto tiempo tardó el auto en llegar al suelo? _____________________

Tiempo que transcurre

(seg)

0 1 2 3 4

Distancia que ha caído el

automóvil (m)

0 5 20 45 80

Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno __________________

Fecha _________________________________________________

Instrumento de evaluación ___lista de cotejo_____ Página __180__


cotidiana.

163

c) ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la distancia de caída (d) en

función del tiempo transcurrido (t)? _________________________

25td td 5 td 25 25 td

2) Se va a fabricar una caja de base cuadrada sin tapa, con una hoja de cartón,

cortando cuadrados de 3 cm de las esquinas y doblando los lados.

Si la caja debe tener 48cm3, ¿qué tamaño debe tener la hoja que se va a usar?

3) Hallar un número tal que sumado con su cuadrado sea 2550.

4) La producción de naranjas por árbol en una huerta, depende del número de veces

que este se rige en la temporada. La expresión 0465162 xx relaciona la

producción con el número de veces que se riega el árbol, si la producción por árbol

fue de 465 naranjas. Determina el número de veces que se regó la huerta.


164

3.2.2. Método por completar trinomio cuadrado perfecto


Resolver una ecuación de segundo grado completando un

trinomio cuadrado perfecto.

EJEMPLO

1) Completar el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación incompleta x2 – 8x = 0.

Solución:

x2 – 8x = 0

x2 – 8x + 16 = 0 + 16 Reducir términos semejantes .

x2 – 8x + 16 = 16 Obteniendo así el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro.

Factorizando ahora el trinomio se tiene como ecuación:

(x - 4)2 = 16

Tomar la mitad de 8 que es el coeficiente de x. se obtiene 4 y al

elevarlo al cuadrado se obtiene (4)2 = 16 para después en ambos

miembros de la igualdad.

165

2 ) Completar el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación completa x2 + 10x - 20 = 0.

Solución:

x2 + 10x - 20 =0 Trasponer el 20 al segundo miembro

x2 + 10x – 20 + 20 =0 +20 Reducir términos semejantes.

x2 + 10x = 20

x2 + 10x + 25 = 25 Obteniendo así el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro.

Factorizando ahora el trinomio se tiene:

(x + 5)2 = 25

Tomar la mitad de 10 que es el coeficiente de x. se obtiene 5 y al

elevarlo al cuadrado se obtiene (5)2 = 25 para después sumar

en ambos miembros de la igualdad.

EJEMPLO

166

3) Resolver la ecuación 2x2 + 12x + 14 = 0

Solución:

2x2 + 12x + 14 = 0 Dividir entre 2 ambos miembros de la ecuación.

2

0

2

14122 2

xx

Simplificar.

x2 + 6x + 7 = 0 Completar el trinomio cuadrado perfecto.

x2 + 6x + 9 + 7 = 0 + 9 Transponiendo el término 7 al segundo miembro.

x2 + 6x + 9 +7 - 7= 9- 7 Simplificar términos semejantes.

x2 + 6x + 9 = 2 Factorizar el trinomio.

(x + 3)2 = 3 Utilizar el método de despejes.

X + 3 = ± 3 Aplicar propiedad de los exponentes.

X + 3 - 3= ± 3 - 3 Transponiendo el 3 al segundo miembro y reducir términos

semejantes, se obtiene como resultado.

X = ± 3 - 3 Suma y resta para obtener las raíces de la ecuación.

X1= 3 - 3 X2= - 3 - 3

X1 = -1.27 X2 = - 4.73

EJEMPLO

167



1. 0962 xx

2. 036122 xx

3. 0522 xx

4. 0232 2 xx

Individual

Resolver las ecuaciones siguientes encontrando los valores de

la variable.

Ejercicio no. 11

1) x2 – x + 52 = 0

2) x2 – 12x – 120 = 0

3) x2 + 5x – 6 = 0

4) x2 + 4x = 0

5) 3x2 – 10x – 25 = 0

Reunidos en equipo de tres integrantes, completar el trinomio

cuadrado perfecto y resolver las siguientes ecuaciones:


168

1) 2 5 6 0x x

2) 2 6 0x x

3) 2 4 21 0x x

4) 2 2 8 0x x

5) 2 20 64 0x x

Determina las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 180.

Tarea no. 2

169

1) ¿Cuál es el número cuyo producto con su triple es 5 veces el número?

2) El cuadrado de la suma de un número y 3 es 9. ¿Cuál es el número?

3) La diferencia entre el cuadrado de un número y él mismo es 0. ¿Cuál es el número?

4) Determina la medida de los lados de un triángulo rectángulo, si sus valores son

números enteros consecutivos.

5) Los lados de un rectángulo están representados por x - 5 y x - 3. Determina la medida

de ellos, sabiendo que el área del rectángulo es 15 cm2.


Nombre _____________________________________________

Grupo ______________________ Turno _________________

Fecha ______________________________________________

Instrumento de evaluación ________________ Página _______


cotidiana.

170

3.2.3. Método de solución de fórmula general

a) Daniela, alumna del Cecytes Granados, nos quiere compartir un procedimiento que

encontró para la resolver una ecuación de segundo grado, pero quiere que nosotros

demos los resultados que hacen falta en la secuencia de operaciones que resultan al

resolver la ecuación 012203 2 xx .

Primero se multiplica la ecuación por 3, obteniendo:

036609 2 xx

(1)

Luego se multiplica la ecuación por 4, así se obtiene la ecuación: ______________ (2)

Si sumas -144 en ambos lados de la ecuación que obtuviste en (2), resulta:

14424036 2 xx (3)

Enseguida, suma en ambos lados de la ecuación, el resultado de elevar al cuadrado -20,

es decir 400, con esto obtienes: _____________________________ (4)

Factorizando (4) se tiene obtiene la ecuación 2562062x (5)


Aplicar la fórmula General para resolver una ecuación de

segundo grado.

Interpretar las soluciones de acuerdo al valor del discriminante

de una ecuación.

Con ayuda de tu maestro, reúnete en equipo y realiza cada una de

las siguientes actividades.



171

De la resolución de esta última ecuación se obtiene la solución de la ecuación inicialmente

planteada, ¡resuélvela y comprueba tu resultado!

b) Ese procedimiento puede ser generalizado para obtener un método de resolución de

una ecuación de segundo grado, conocido como la fórmula general de resolución de

ecuaciones de segundo grado en una variable. Intenta obtener dicha fórmula,

completando lo que sigue:

Considera la ecuación de segundo grado, 02 cbxax

Multiplicando la ecuación por a se obtiene: ____________________

Luego, al multiplicar por 4, obtienes 0444 22 acabxxa

Suma ac4 en ambos lados de la ecuación, esto es:

acacacabxxa 44444 22 , que simplificando queda: ____________________

Suma 2b en ambos lados de la ecuación para obtener: _________________________

Cuya parte izquierda es un trinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado queda:

22 4)2( bacbax , o bien, acbbax 4)2( 22

Al resolver esta última ecuación se obtiene: acbbax 42 2

La cual se resuelve para x, el valor buscado, esto es: a

acbbx

2

42

172

Esta última expresión se conoce como la fórmula general para resolver ecuaciones de

segundo grado en una variable.

En una ecuación de segundo grado que tenga la forma ax2 +bx+ c= 0 las letras a,b y c se

llaman coeficientes cuadrático, lineal e independiente respectivamente.

Completa la tabla siguiente identificando los coeficientes de cada una de las

siguientes ecuaciones.

Ecuación Coef. Cuadrático

a

Coef. Lineal

b

Coef.

Independiente

c

2x2 +3x +8 =0

X2 – 4x +5 =0

3x2 -6x = 0

5x2 = 12

Ecuación Solución X1 =

Solución X2 =

x2 -3x +2 = 0

2x2 +2x -12 = 0

3x2 -6x = 0

3x2 – 12 = 0

De forma individual identifica los coeficientes en cada una de las siguientes ecuaciones y resuélvelas aplicando la fórmula general. Se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.


173

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios

1.- Si el discriminante D = b2 -4ac =0 entonces significa que la ecuación:

a) Tiene una solución b) No tiene solución c) Tiene dos soluciones d) Tiene soluciones enteras e) Tiene más de dos soluciones

2.- Si el discriminante D = b2 -4ac es negativo entonces significa que la ecuación:

a) Tiene una solución b) No tiene solución c) Tiene dos soluciones d) Tiene soluciones enteras e) Tiene más de dos soluciones

3.- Si el discriminante D = b2 -4ac es positivo entonces significa que la ecuación: a) Tiene una solución b) No tiene solución c) Tiene dos soluciones d) Tiene soluciones enteras e) Tiene más de dos soluciones


En la fórmula general , investiga que nombre

recibe la expresión b2 -4ac y la relación que tiene con las raíces o soluciones de una ecuación cuadrática. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 180.


Nombre ________________________________________________

Grupo _________________ Turno ________________________

Fecha __________________________________________________

Tarea no. 3

174

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios y compara respuestas con tus compañeros. 1.- A un terreno de 20m x30 m se le construirá una banqueta a lo largo y ancho tal y

como se muestra en la figura. Determine la medida de lo ancho de la banqueta de tal

modo que queden 459 m2 libres dentro del terreno.

a) 2 m

b) 3m

c) 4m

d) 5m

e) 6

2.- Se pretende elaborar un espectacular de 7.5 m x 8m cuyo espacio es de 60 m2, para

adornarlo se creará un marco uniforme de longitud x alrededor del espectacular. ¿Qué

medida debe de tener el marco para que el área a ocupar en el centro sea de 39 m2?

a) 1.5

b) 0.5

c) 0.75

d) 2

e) 2.5


Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno __________________

Fecha _________________________________________________

Instrumento de evaluación __________________ Página _______

Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana.

175

Selecciona la respuesta correcta en cada caso

1.- Es una solución una solución de la ecuación 2x2 +5x = 0

a) 1

b) -1

c) 2

d) 0

e) -1

2.- ¿Cuál es el factor común de la ecuación -6x2 + 9x = 0

a) 0

b) 3/2

c) -3

d) -3x

e) 3x

3.- Las raíces de la ecuación 2x2 + 8x = 0 corresponden a la pareja de valores:

a) x1 = - 4 , x2 =0

b) x1 = 4 , x2 =0

c) x1 = - 6 , x2 =0

d) x1 = -1 , x2 =1

e) x1 = 6 , x2 =0

Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno __________________

Fecha _________________________________________________

Autoevaluación

176

4.- Qué modificaciones se le debe de hacer a la ecuación x2+4x +3 = 0 para completar un trinomio cuadrado perfecto?

a) Sumar 1 en el primer miembro

b) Sumar 1 en el segundo miembro

c) Multiplicar por -1 en ambos miembros

d) Multiplicar por 2 ambos lados

e) Sumar 1 en ambos miembros

5.- Una de la raíces de la ecuación (x +3)2 = 16 corresponde a:

a) -7

b) 3

c) 7

d) -3

e) 2

6.- Determinar las soluciones de la ecuación x2 +7x +12 = 0

a) x1 = 4 , x2 = - 2

b) x1 = - 4 , x2 = - 3

c) x1 = 4 , x2 = 3

d) x1 = - 4 , x2 = 3

e) x1 = 4 , x2 =-3

7.- La ecuación x2 -2x – 8 = 0 está compuesta por los factores binomiales (x-4)(x+2). ¿Qué parejas de valores corresponde a las soluciones de la ecuación?

a) x1 = - 4 , x2 = 2

b) x1 = 1 , x2 = - 2

c) x1 = 4 , x2 = - 2

d) x1 = 3 , x2 = - 1

e) x1 = -4 , x2 = - 2

177

8.- Las raíces de la ecuación (3x -2)2 = 9 corresponden a:

a) 5/3 y -2/3

b)5/3 y -1 /3

c)5/3 y 1 /3

d)-5/3 y -1/3

e) -5/3 y 2/3

9.- Si el discriminante b2 -4ac =0 entonces significa que la ecuación:

a) Tiene una solución

b) No tiene solución

c) Tiene dos soluciones

d) Tiene soluciones enteras

e) Tiene más de dos soluciones

10.- Si el discriminante b2 -4ac es negativo entonces significa que la ecuación:






11.- Si el discriminante b2 -4ac es positivo entonces significa que la ecuación:






12.- Determinar la soluciones de la ecuación 2x2+2x-12 = 0

a) x1 = - 3 , x2 = -2

b) x1 = 3 , x2 = 2

c) x1 = - 1 , x2 = -2

d) x1 = - 3 , x2 = 2

e) x1 = 4 , x2 = -3

178

13.- Determinar las soluciones de la ecuación 6x2-12x -18 = 0

a) -1 y 3

b) 1 y 3

c) -1 y -3

d) 2 y -3

e) -2 y -3

14.- ¿Cuál es el número máximo de soluciones posibles para una ecuación cuadrática?

a) 1

b)2

c) 0

d) 4

e) 3

15.- ¿Cuál de los siguientes valores satisface o cumple con la ecuación (x+4)2 = 9

a) 1

b) 3

c) -3

d) - 1

e) 0

16.- ¿Cuál de los siguientes trinomios es un trinomio cuadrado perfecto?

a) x2 +6x+7

b) x2 - 4x +3

c) x2 – 5x - 20

d) 4x2 - 8x +4

e) x2 - 6x +9

179

17.- Las soluciones al sistema de ecuaciones: son:

a) x = 12, y = 6

b) x = 4, y = 1

c) x = 7, y = 1

d) x = 4, y = 2

e) x = 0, y = 3

18.- Las soluciones al sistema de ecuaciones: 5 19

2 7

x y

x y

son:

a) x 12 y 6

b) x 4 y 1

c) x 7 y 1

d) x 4 y 2

e) x = 0 y = 4

19.- Las soluciones al sistema de ecuaciones: 3 2 23

8

x y

x y

a) x 7 y 1

b) x 4 y 1

c) x 12 y 6

d) x = 4 y = 2

e) x = 0 y = 4

20.- Las soluciones al sistema de ecuaciones

a) x =1, y =8, z = 2

b) x =3, y =0, z = -1

c) x =2, y =7, z = 4

d) x =8, y =5, z = 3

e) x =8, y =7, z = 5

180






0.15


0.70


0.20


0.70








1 Entregó en tiempo y forma 0.1


0.3






181


En equipo






0.5


0.75


0.75


Individual





0.50


1


1





182

Claves de respuestas de las autoevaluaciones

Unidad

I

Unidad

II

Unidad

III

1.- b

2.- c

3.- a

4.- d

5.- b

6.- b

7.- a

8.- c

9.- e

10.- e

11.- d

12.- d

13.- a

14.- c

15.- b

16.- b

17.- d

18.- c

19.- e

20.- a

1.- a

2.- b

3.- c

4.- a

5.- a

6.- a

7.- d

8.- b

9.- c

10.- b

11.- a

12.- d

13.- a

14.- d

15.- b

1.- d

2.- e

3.- a

4.- e

5.- a

6.- b

7.- c

8.- b

9.- a

10.- b

11.- c

12.- d

13.- a

14.- b

15.- d

16.- e

17.- d

18.- b

19.- a

20.- e

183

GLOSARIO

Área: superficie comprendida dentro de un perímetro: Binomio: suma o resta de monomios, como participio ej., la expresión x + 4. Cociente: el coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables. Coeficiente: factor que en un monomio, binomio o polinomio multiplica a las indeterminadas. Congruentes: dos ecuaciones o variables son congruentes cuando son iguales o significan lo mismo. Constantes: se aplica al valor o la cantidad que permanece fija en un cálculo o proceso matemático. Cuádruplo: que es cuatro veces el número o cantidad. Ecuación: igualdad entre dos expresiones que contienen una o más incógnitas. Ecuación cuadrática: toda ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, en donde a ≠ 0, es una ecuación cuadrática o de segundo grado con una incógnita. Ecuación lineal: es la ecuación con una o más variables, en donde ninguna de ellas aparece de segunda o mayor potencia. Expresión: conjunto de letras y números relacionados entre sí por medio de signos de operaciones. Exponente: número o expresión algebraica que se coloca a la derecha y en la parte superior de otro, llamado base, e indica el número de veces que ha de multiplicarse éste por sí mismo. Factor: cada una de las cantidades que se multiplican para formar un producto. Igualdad: expresión de la equivalencia de dos cantidades. se expresa con el signo =. Literal: la parte literal de un momio está constituida por las letras y sus exponentes. Monomio: es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Polinomio: polinomio con tres términos. Perímetro: el perímetro de una figura plana es igual a la suma de las longitudes de sus lados.

184

Producto: indica una multiplicación. Retórica: manera de expresarse propia de una persona. Termino: en un polinomio cada monomio es un término. Variable: un símbolo que se usa para indicar a cualquier elemento de un conjunto de sustitución. Volumen: espacio que ocupa un cuerpo.

185

REFERENCIAS

Baldor, Aurelio. (1988). Algebra. México. Publicaciones Cultural.

Drooyan, Irving y Franklin, Katherine. Elementos de Algebra para bachillerato. ED. Limusa.

Rees, Paul y Sparks , Fred. Algebra. Décima Edición. ED. Mc Graw Hill.

Rich, Barnett y Schmidt, Philip A. Álgebra Schaum. ED. Mc Graw Hill.

Shaaf, Peter. Algebra un enfoque modern. ED. Reverté S.A de C.V.

Smith, Etal. Algebra. ED. Wesley

Paul K. Rees, Fred. W. Sparks y Charles Sparks Rees. (1991). Algebra. Décima edición. ED Mc Graw Hill.

Elizabeth P. Phillips, Thomas Butts y Michael Shaughnessy. (1988) Álgebra

con aplicaciones. ED. Harla.

Stanley A. Smith, Randall I. Charles, Jhon A. Dossey, Mervin L. Keedy y Marvin L. Bittinger. (1998). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. ED. Pearson.

186

“Fecha de terminación de la impresión”

“Diseñada por”

Dirección donde fue diseñada

“Número de ejemplares impresos”

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y · PDF fileMaterial recortable que se...

Documents

Transcript of COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y · PDF fileMaterial recortable que se...