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COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA
ÁLGEBRA INTERMEDIA II
GUÍA DE ACTIVIDADES DEL ALUMNO PARA EL DESARROLLO
DE COMPETENCIAS
SEXTO SEMESTRE
COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA LIC. RAÚL S. ALEMÁN SALAZAR DIRECTOR GENERAL ING. ANA LILIA MARTÍNEZ MUÑOZ DIRECTORA DE PLANEACIÓN ACADÉMICA Edición, febrero de 2012 Reimpresión, febrero de 2013 Diseñado por: Mtro. Rafael Iván Ayala Figueroa Arq. Juan Ramón Islas Sambrano Lic. Irma González Carrión Mtro. José Alejandro Andalón Estrada Actualizado por: Fís. Norman Edilberto Rivera Pasos La presente edición es propiedad del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California, prohibida la reproducción total o parcial de esta obra.
En la realización del presente material, participaron: JEFE DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS, Teresa López Pérez; COORDINACIÓN DE EDICIÓN, Roque Juan Soriano Moreno; EDI-CIÓN, Elvia Munguía Carrillo / Gerardo Enríquez Niebla.
Este material fue elaborado bajo la coordinación y supervisión de la Dirección de Planeación Académica y reproducido por la Unidad de Diseño Grafico e Imprenta del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California. Blvd. Anáhuac #936, Centro Cívico, Mexicali, B.C., México
Í N D I C E
PRESENTACIÓN JUSTIFICACIÓN COMPETENCIAS GENÉRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS DEL CAMPO DE MATEMÁTICAS BLOQUE I. RESUELVES PROBLEMAS EMPLEANDO ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA, Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS Y TRES INCÓGNITAS ................................................................ 2 BLOQUE II. RESUELVES PROBLEMAS MEDIANTE INECUACIONES LINEALES ............................................................. 24 BLOQUE III. RESUELVES PROBLEMAS EMPLEANDO LA TRIGONOMETRÍA ...................................................................... 34
PRESENTACIÓN
¿Qué es formación de competencias en bachillerato? Es un enfoque didáctico que
pretende desarrollar en el estudiante conocimientos, habilidades de pensamiento, destre-
zas, actitudes y valores que le permitan incorporarse a la sociedad de una forma inteli-
gente, consciente, propositiva, activa y creativa; y que en un momento dado, las utilice
para enfrentarse a una situación de vida concreta, resuelva problemas, asuma retos, etc.
En la actualidad, es una exigencia ofrecer una educación de calidad que logre la
formación y consolidación del perfil de egreso en el bachiller de tal forma que pueda con-
tar con los elementos necesarios que le permitan crecer y desarrollarse en un mundo
cambiante, globalizado, competitivo y complejo; por lo que el proceso educativo debe ca-
racterizarse por presentar estrategias que contemplen actividades de aprendizaje en di-
versos contextos y escenarios reales, donde pongan en juego, movilice y transfiera las
competencias desarrolladas.
Este material dirigido al estudiante, es producto de la participación de los docentes,
donde pusieron de manifiesto su experiencia, conocimiento y compromiso ante la forma-
ción de los jóvenes bachilleres; mismo que se presenta en dos modalidades: Guías de
actividades para el alumno y la planeación didáctica para el docente y se podrán consul-
tar en la página web del Colegio: www.cobachbc.edu.mx en la sección de alumnos o en
docentes respectivamente.
¿Cómo abordar las secuencias didácticas en Álgebra Intermedia II?
Las Secuencias Didácticas son la interpretación del Programa de Estudios para la enseñanza-aprendizaje en las aulas, de acuerdo a las necesidades y características for-mativas del estudiante, así mismo expresan los métodos, técnicas, actividades y tareas de aprendizaje y evaluación que los estudiantes desarrollarán durante el curso para conformar el perfil de egreso. Por otra parte, partiendo del propósito de formación que tiene Álgebra Intermedia I y II como materia propedéutica , que es la de contribuir en la formación de las competencias en los estudiantes que le permitan continuar estudios superiores, además de tener la fina-lidad de propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes, mediante procesos de razonamiento y estructuración de ideas que conlleven el despliegue de distintos conocimientos, habilidades, actitudes y valores como lo estable-ce el Marco Curricular Común, esta materia es parte fundamental de los procesos de evaluación externa a las que se somete el estudiante. Por las temáticas y desempeños a lograr en el estudiante, expresados en cada uno de los bloques que integran Álgebra Intermedia II, y considerando el periodo de aplicación de la prueba ENLACE, se vio la pertinencia de elaborar las secuencias didácticas y abor-dar los bloques, de la siguiente forma:
1) Resuelves problemas empleando ecuaciones lineales con una incógnita, y siste-mas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas. 2) Resuelves problemas mediante inecuaciones lineales. 3) Resuelves problemas empleando la trigonometría.
Lo anterior con el propósito de apoyar el aprendizaje y retroalimentación de los estudian-tes en las temáticas relacionadas a la prueba ENLACE, previo a su aplicación.
JUSTIFICACIÓN
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfo-ques.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos ma-temáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemáti-co y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o
natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo ro-dean.
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proce-
so o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos ma temáticos y científicos.
COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS DEL CAMPO DE MATEMÁTICAS
OBJETOS DE APRENDIZAJE:
Solución de problemas relacionados con ecuaciones lineales y sistemas de ecuacio-
nes lineales.
DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE AL CONCLUIR EL BLOQUE: Reconoce a una ecuación lineal como re-
lación entre dos variables. Aplica los elementos de una recta para
solucionar problemas y/o ejercicios de la vida cotidiana.
Representa relaciones entre los elemen-tos de diversas situaciones del ámbito es-colar y cotidiano.
Emplea sistema de ecuaciones con dos incógnitas para resolver situaciones de la vida cotidiana.
Representa gráficamente un sistema de ecuaciones.
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COMPETENCIAS A DESARROLLAR:
Crea y expresa argumentos matemáticos. Sigue y valora cadenas de argumentos matemáticos de diferentes tipos. Traduce e interpreta desde el lenguaje natural al simbólico y formal, y vi-
ceversa. Estructura el campo o situación que va a modelarse. Interpreta los modelos matemáticos en términos reales. Trabaja con un modelo matemático. Maneja enunciados y expresiones que contengan símbolos y fórmulas. Resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos mediante una diver-
sidad de vías. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemáti-co y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y algebraicos, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo ro-dean.
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfo-ques.
Expresa ideas y conceptos mediante representaciones matemáticas. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo
cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
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TARIFAS TELEFÓNICAS La tarifa telefónica es la manera en la que se determina el costo de una llamada, el cual está en función del tiempo que dura. Las diferentes compañías tienen distintas tarifas de-pendiendo de quién será el receptor de la llamada.
En la ciudad donde vive Alberto operan dos compañías de telefonía celular. La compañía MarcaTel tiene las siguientes tres tarifas
Cada Tarifa está dada por minuto.
Alberto es cliente de esta compañía y habla frecuentemente con su novia Angélica. El pa-go que hace a la compañía de teléfonos es únicamente por concepto de llamadas a su novia. En ocasiones él le habla desde su celular al de ella que también tiene un celular de la misma compañía, algunas ocasiones Angélica olvida su celular y Alberto le habla al ce-lular de la mamá de Angélica el cual es de la otra compañía y otras veces Alberto habla al teléfono fijo de la casa de Angélica. Durante el mes antepasado Alberto le habló desde su celular al celular de Angélica 8.3 horas y 1 hora y 22 minutos al teléfono de su casa.
Tipo de llamada. Tarifa*Celular-Celular de la misma compañia. $1.80Celular-Celular de diferentes compañias $2.90Celular-Telefono fijo. $3.20
ECUACIONES LINEALES
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Alberto vio en televisión un plan de la otra compañía que ofrece 400 minutos a teléfonos de la misma compañía, 200 minutos para hablar a celulares de MarcaTel y 50 minutos a teléfonos fijos por $700. Con la condición de que si el usuario rebasa la cantidad de minu-tos en alguna de las modalidades se aplicarán las siguientes tarifas.
*Cada Tarifa está dada por minuto.
Actividad 1. Lee, analiza y contesta las siguientes preguntas.
a) ¿Cuáles son las gráficas de cada una de las tarifas del cuadro anterior?
b) Si Alberto hubiera tenido el plan de la otra compañía, ¿cuánto hubiera pagado en ca-da uno de estos tres meses?
Una tercera compañía llamada Celufon pretende entrar al mercado con tarifas que se cobran por segundo. La propuesta tarifaria es como sigue.
c) Tomando en cuenta lo que ha pagado Alberto en los últimos meses, ¿cuál es la compañía que más le conviene?
Tipo de llamada. TarifaCelular-Celular de la misma compañia. $0.026Celular-Celular de diferentes compañias. $0.051Celular-Telefono fijo. $0.052
Tipo de llama da . Tarifa*Celular-Celular de la misma compañia. $1.60Celular-Celular de diferentes compañias. $3.00Celular-Telefono fijo. $3.10
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¿Cuánto dinero pagó Alberto durante ese mes?
El siguiente mes hablaron 8 horas y 42 minutos entre sus celulares, 1.2 horas él habló al celular de la mamá de Angélica y 1.3 horas hablo él a casa de ella. ¿Cuál fue el co-bro?
El último pago que tiene que hacer Alberto es de $1404.5, él recuerda que habló al telé-fono de Angélica 500 minutos pero también habló al teléfono de su casa y al de su mamá, ¿cuántos minutos crees que pudo hablar a los otros números?
¿Cuáles son las ecuaciones que representan cada una de las tres tarifas?
Actividad 2. Lee, analiza y contesta las siguientes preguntas.
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TEMPERATURA EN MANCHESTER En los países anglosajones suelen usar la escala Fahrenheit para medir la temperatura. En esta escala el punto de congelación del agua se alcanza a 32 oF, y el de ebullición a 212 oF. En México oficialmente se utiliza la escala Celsius en la que los puntos de conge-lación y ebullición del agua son 0oC y 100oC respectivamente. Mariana tiene un amigo en Manchester, Inglaterra con el que suele platicar por Chat. Ella ha planeado visitarlo en las vacaciones de primavera.
Mientras ella planea la ropa que llevará, se pregunta cómo será el clima en esa época de año. Busca en Internet y encuentra la siguiente gráfica.
Mariana observa que la línea azul es la temperatura más baja que se ha registrado y la roja la temperatura más alta en cada uno de los meses de año. Sin embargo la gráfica está en grados Fahrenheit.
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1. ¿Cuál es la ecuación que relaciona los grados centígrados con los Fahrenheit?
2. Si Mariana decide viajar en el mes de abril, ¿cuál es la temperatura más baja y más alta que puede esperar?
3. ¿Cuál es la temperatura más alta del año en grados centígrados?
4. ¿Cuál es la temperatura más baja del año en grados centígrados?
5. Finalmente Mariana decide viajar en el mes de diciembre pero ya tenía decidido qué ropa llevaría. ¿Tendrá que volver a pensar en el tipo de ropa que debe llevar?
Actividad 3. Lee, analiza y contesta las siguientes preguntas.
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Ejercicio: Tablas y Ecuaciones Lineales.
Fecha:___/____/201___
Nombre: _______________________________________ Grupo: _________
Instrucciones: Expresa cada una de las siguientes tablas como una ecuación lineal. a)
Ecuación:
b)
Ecuación:
c)
Ecuación:
d)
Ecuación:
X y
1 5
2 8
3 11 4 14
Kilos $
1 2.7
2 5.4
3 8.1
4 10.8
Cantidad $
3 94.5
4 126
5 157.5
6 189
oK oC
300 27
325 52
350 77
375 102
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Instrucciones: Lee, analiza, discute con tus compañeros y resuelve los siguientes pro-blemas. Supón que las situaciones se describen adecuadamente para funciones lineales. a). Si una compañía puede fabricar 8 relojes en 1,100 dólares y 22 de ellos en 16,400 dólares, ¿cuánto cuesta hacer x relojes? b) Si el valor depreciado de un sistema de computación es de $120,000 pesos al término de su vida fiscal de 15 años y su costo inicial fue de $1´320,000 pesos, ¿cuál es su valor fiscal al cabo de x años?
c) Si durante el primer año una compañía vendió 6,720 bicicletas y en el sexto año vende 8,320, ¿cuántas vende en x años?
d) Si la longitud de una varilla metálica es de 108.75 cm. a 25 oC y de 109.08 cm. a 36oC, ¿Cuál es su longitud a x oC?
Ejercicio: Tablas y Ecuaciones Lineales.
Fecha:___/____/201___
Nombre: _______________________________________ Grupo: _________
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
EN EL SUPERMERCADO En el pueblo, donde vive la señora Alma Rentería y doña Josefa, acaban de inaugurar una tienda de autoservicio. Entre algunas de las ofertas de aper-tura se encuentran los artículos de limpieza. La se-ñora Alma piensa comprar 3 suavizantes para ropa y 2 detergentes al precio de 57 pesos, y a los mis-mos precios, doña Josefa compra un suavizante y 5 detergentes el costo de $80 pesos. ¿Cuánto pagó la señora Alma si finalmente llevó 4 suavizan-tes y 3 detergentes para su ropa? 1. Si llamas “x” al precio del suavizante, “y” al precio del detergente, ¿cómo expre sarías con ecuaciones las compras de las dos señoras?
2. ¿Qué métodos conoces para resolver sistema de ecuaciones?
3. ¿Hay alguno en especial que te parece más sencillo?
4. Resuelve el sistema por el método que elegiste y compara los resultados obteni dos con algunos de los compañeros que utilizaron otro método.
5. ¿Cuál es el precio de cada artículo?
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Representación gráfica Método gráfico en la resolución de un sistema de ecuaciones En una promoción de la empresa donde trabaja Marcos, al de mayor puntuación se le entrega un premio al fin de mes. Se entregan puntos si llegan a tiempo a trabajar o se restan puntos si llegan unos minutos tarde. De tal manera que si un trabajador tiene un retardo y un día llega a tiempo a trabajar obtiene – 2 de puntuación. En una ocasión Marcos llegó un día tarde y tres días a tiempo obteniendo 12 puntos. ¿Cuántos puntos se descuentan por faltar en esta empresa? Actividad 1. Si llamas “x” a los puntos descontados por cada retardo, “y” a los puntos obteni dos por llegar temprano, ¿cómo expresarías cada una de las dos ecuaciones?
2. Expresa cada ecuación anterior a su forma y = mx +b (pendiente – ordenada al origen) y grafícalas en un mismo sistema cartesiano.
3. ¿Cuál es la coordenada del punto de intersección de las dos rectas?
4. ¿Cuántos puntos se descuentan por llegar tarde al trabajo? ¿Cuántos se obtie nen por llegar temprano?
5. ¿Cuántos puntos obtendrá Marcos si en un mes llega temprano 18 días y tiene 6 retardos?
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Ejercicio: Solución de un sistema 2x2 por el método gráfico.
Fecha: ___/_____/201___
Nombre: _________________________________________
Grupo: _________
Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas graficando cada ecuación del sistema en un mismo plano cartesiano. De la misma manera resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. 1.- Se tienen dos tipos de monedas, si 6 monedas de un tipo equivalen en valor a una moneda de la otra denominación más un peso, y 5 veces el valor de la primera mo neda equivale al valor de una moneda del segundo tipo, ¿cuántas monedas se tie nen de cada una? 2.- En un concurso de Ciencias competirán equipos integrados de la misma manera. Serán 6 integrantes entre hombres y mujeres. n total 5 veces la cantidad de hom bres equivale a 12 personas más que 4 veces la cantidad de mujeres, ¿cuántos hombres y mujeres son en cada equipo? 3.- 3x – y = 5 8x – 4y = 4
4.- 2x = 16 – y x – y = - 1
5.- 3x + 2 = 2x – y + 4 3x – 2y = 1
6.- 3x + 3 = - y + 12 5x + y = - 4x + 4y - 9
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Métodos analíticos en la resolución de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
TODAVÍA EN EL SUPERMERCADO Ya en la sección de frutas y verduras, la señora Alma compra 10 duraznos y 4 chabacanos, como el precio de estas frutas era de tan solo $62 pesos decidió regresar a comprar otros 3 duraznos y 5 chabacanos pagando ahora a 30 pesos. Doña Josefa había comprado 1 docena de manzanas y algu-nos plátanos. Ya anteriormente la señora Alma había compra-do 3 manzanas y 1 plátano a un precio de 15 pesos. Como ya había gastado más de lo que tenía, doña Josefa re-gresó 4 plátanos y compró otras 5 manzanas, pagando sola-mente $8 pesos.
1.- Para las compras de duraznos y chabacanos, encuentra las ecuaciones que for man el sistema de ecuaciones con la información dada. 2.- Determina el costo de cada durazno y chabacano, utilizando el método de reduc ción (suma-resta). 3.- Para las compras de manzanas y plátanos, encuentra las ecuaciones que forman el sistema de ecuaciones. 4.- Determina el costo de cada manzana y plátano, utilizando el método de sustitución 5.- ¿Qué ventajas y desventajas encuentras con estos métodos analíticos en relación al método gráfico?
Actividad 2. Lee, analiza y contesta las siguientes preguntas.
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Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas utilizando alguno de los métodos analíticos vistos en clase. De la misma manera resuelve los de-más sistemas de ecuaciones. 1.- Si Patricia le da a Cecilia $1 ambos tienen lo mismo; y si Cecilia le entrega a Patricia $1; Patricia tendrá el triple de lo que le queda a Cecilia. ¿Cuánto dinero tiene cada una? 2.- Marcos para ir a su trabajo recorre cierta distancia, pero de regreso se viene por otro camino ya que tiene que ir por su esposa Alma que se encuentra estudiando un curso de repostería. De ida recorre 5 kilómetros menos que el doble de la distancia que viaja de regreso. Si en total recorre 55 km, ¿qué distancia se desplaza de ida y cuánto de regre-so? 3.- 2x – 3y = 12 x + 4y = - 5
4.- 6x – y = 10 9x - 4y = - 5
5.- 4x + 3 = - 2(- x -3) + 3y 3x = 14 – 5y
6.- 7.- 8.- 3x – 4y = 1 3y = 12 – 2x
Ejercicio: Solución de un sistema 2x2 por los métodos analíticos (suma-resta y sustitución)
Fecha: ___/_____/201___
Nombre: _________________________________________
Grupo: _________
72
112
3
yx
yx
286
5
143
32
yx
yx
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Regla de Cramer (Determinantes) en la resolución de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.
CONOCIENDO A LA FAMILIA DE ALMA RENTERÍA Alma es esposa de Marcos, sus hijos son Patricia, Arturo, Pepe y Cecilia. Viven con ellos los padres de Marcos. SUS EDADES Entre Marcos y su padre tienen la edad de 92 años y su diferencia de edad es 20. Si a la edad de Arturo le sumamos 1, se obtiene el mismo número que si a la edad de Pepe le restamos 1 y multiplicamos el número obtenido por 2. Si a la edad de Arturo le restamos 1 se obtiene la misma cantidad que si a la edad de pepe le sumamos 1. DE VISITA AL MUSEO La familia de Patricia fue el pasado fin de semana al museo. Por la entrada de 4 adultos (sus papás y abuelos) y 4 niños (ella y sus hermanos) pagaron 220 pesos. El día de hoy piensan ir otra vez al museo, pero esta vez la promoción consiste en que los abuelos no pagan entrada y Pepito que tiene menos de 6 años tampoco pagará. De esta manera el costo de la entrada será de $130. Actividad 1.- Para determinar la edad de cada integrante forma sistemas de ecuaciones y re suélve los por el método de determinantes. 2. El primer sistema será para determinar la edad de Marcos y su padre, el segundo
sistema será para determinar la edad de Arturo y Pepe. 3.- ¿Cuál es la edad de cada uno? 4.- Forma un sistema de ecuaciones con la información dada sobre los costos de bo letos en el museo. Determina el valor de las variables mediante el método de de terminantes. 5.- ¿Cuál es el precio del boleto en día normal para niños y adultos?
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Ejercicio: Solución de un sistema 2x2 por el método de determinantes.
Fecha: ___/_____/201___
Nombre: ________________________________________ Grupo: _________
Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas, utilizando el método de determinantes. De la misma manera resuelve los demás sistemas de ecuaciones. 1.- El doble de un número menos el triple de otro es 5 y la diferencia de ambos es – 1, ¿cuáles son dichos números? 2.- Doña Cuca para su tienda de dulces compró paletas de dos tamaños distintos, una que le costó $2 y otras de $6, pagando un total de #352 pesos. En la caja se indica que son por los dos tipos 80 paletas. ¿Cuántas paletas son de cada una? 3.- 3x + 2y = - 6 5x - 2y = - 10 4.- 2x – 3y = - 7 5x + 4y = 17 5.- 5x + 7y = 6 10x - 3y = 46 6.- 2x = 3 – 9y 5x + 8 = - 7y 7.- 8.- 9.-
5455
1631
yx
yx
085
245
4
yx
yx
123
22
5
532
3
yx
yx
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Ejercicio Integrador: Sistema de ecuaciones 2 x 2
Fecha: ___/_____/201___
Integrantes: __________________________________
___________________________
_____________________________________
Grupo: _________ Equipo:_________
Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas, utilizando el método que consideres más conveniente sobre sistemas de ecuaciones. 1.- ¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo que tiene 72 cm de perímetro si la base es 3 cm mayor que la mitad de la altura? 2.- La edad de Santiago excede en 13 años a la edad de Luis, y el doble de la edad de Luis excede en 29 años a la edad de Santiago. ¿Qué edad tiene cada uno? 3.- A las hermanas Sofía y María les gusta intercambiar sus blusas. Si Sofía le pres ta a María dos de ellas ambas tendrían lo mismo, y si María le presta a Sofía 2 blusas entonces Sofía tendrá el triple de lo que le quede a María. ¿Cuántas blu sas tienen cada una? 4.- Durante 6 días seguidos Jorge trabajó en un supermercado empacando mer cancía, la misma cantidad de horas por día. A la siguiente semana disminuyó el trabajo y sólo pudo trabajar 5 días y menor cantidad de horas por día, acumulan do 63 horas en ambas semanas. Si la cantidad de horas trabajadas por día de la segunda semana es equivalente a 21 horas menos que el triple de la cantidad de horas trabajadas por día en la primera semana, ¿cuántas horas diarias trabajó cada día de la primera semana? 5.- ¿Cuántos kilómetros corren Carmina y Antonio, si tres veces el recorrido que rea liza Carmina más 2 veces el recorrido que hace Antonio equivale a 42 kilómetros y el triple del recorrido de Carmina es la misma cantidad que 4 veces el recorrido de Antonio más 24 kilómetros? 6.- En una caja se tienen varias canicas entre rojas y azules. Si sacamos 3/7 de las canicas azules y 3/8 de las canicas rojas tendríamos fuera de la caja 15 canicas. Las volvemos a meter y dentro de la caja si a las 2/3 partes de las canicas rojas le restamos las 3/4 partes de las canicas azules tendremos solamente dos. ¿Cuántas canicas de cada una tenemos?
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En la siguiente hora Mar-cos puso a la venta menos cantidad de billetes. De tal manera que 5 veces la can-tidad de billetes de $5 dóla-res más 10 veces la canti-dad de billetes de $10 son 35 billetes más que 5 veces la cantidad de billetes de $50. Pero la cantidad de billetes de $5 más 5 veces la cantidad de billetes de $50 equivale a 40 billetes más que los billetes de $10. Además, los billetes de $5 más 21, es la misma cantidad de billetes que el doble de la suma de billetes de $10 y $50 dólares. ¿A cuánto equivalen los dólares vendidos en la segunda hora?
1.- Para determinar la cantidad de billetes de las tres denominaciones se deben for mar sistemas de ecuaciones de tres incógnitas.
2.- Asigna una literal para cada una de las cantidades de billetes de diferente deno minación. Forma el primer sistema de ecuaciones con la primera información pro porcionada. ¿Cuántas ecuaciones debes tener?
CAMBIANDO PESOS POR DÓLARES Marcos trabaja en una casa de cambio. Durante la primera hora de trabajo puso a la venta 880 dólares en billetes de 5, 10 y 50 dólares. La suma total de billetes vendidos fueron 44 y los billetes de 10 fueron dos veces la cantidad de 50 dólares.
Actividad 2. Lee, analiza y contesta las siguientes preguntas.
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3.- Toma una pareja de ecuaciones con tres variables y aplicando el método de re ducción elimina una de ellas. ¿Cuál es la ecuación resultante?
4.- Toma ahora otro par de ecuaciones de tres variables y utilizando también el método de reducción elimina la misma variable. ¿Cuál es la ecuación resultante?
5.- Ambas ecuaciones si las reúnes forman un sistema de ecuaciones que de igual manera se puede resolver por un método analítico. ¿Cuáles son los valores para ambas variables?
6.- Ambos valores sustitúyelos en cualquiera de las ecuaciones que tienen tres incógnitas. ¿Cuántos billetes son de cada denominación?
7.- De la misma manera forma un sistema de ecuaciones con la información dada sobre la venta de dólares en la segunda hora. Determina el valor de las variables mediante el método analítico desarrollado anteriormente.
8.- ¿Cuántos billetes son de cada denominación?
9.- ¿En cuál de las dos horas obtuvo mayores ganancias en la venta de dólares?
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Actividad 2
Realiza una investigación bibliográfica o en páginas electrónicas acerca del método de determinantes, con expansión de columnas. Realiza el ejercicio de la venta de dólares en la primera hora de trabajo de Marcos, utili-zando el método de determinantes. ¿Crees que este método es más sencillo que un método analítico como el de reducción - sustitución? ¿Cuáles son sus ventajas y cuáles sus desventajas? Entrega el reporte escrito a tu profesor.
Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas utilizando el método indicado. Analítico. 1.- En un banquete hay 43 personas entre hombres, mujeres y niños. En total el ban-quete costó $1,075 pesos. Cada hombre pagó $45 pesos, cada mujer $30 pesos y cada niño $15 pesos. Si el número de hombres y mujeres es igual al número de niños menos 1, ¿cuántos hombres, mujeres y niños hay? 2.-
Ejercicio: Solución de un sistema de ecuaciones de tres incógnitas
Fecha:___/_____/201___
Nombre: ________________________________________ Grupo: _________
222123
zyxzyxzyx
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3.
Determinantes
1.- Calcula las edades de un abuelo, un padre y un hijo. Si la edad del padre es la edad del hijo, las edades del padre y del abuelo suman 102, y cinco veces la edad del hijo excede en 10 años la del abuelo.
2.-
3.-
25311
1214
3112
zyx
zyx
zyx
14423
82
zyxzyx
zyx
252
2
zyxzyx
zyx
22
Ejercicio Integrador: Sistema de Ecuaciones 3 x 3 Fecha: ___/_____/201___
Integrantes: ___________________________________
______________________________________________
______________________________________________
Grupo: _________ Equipo:_________
Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas utilizando el método que consideres más conveniente sobre sistemas de ecuaciones. 1.- Patricia se fue de compras navideñas. Por la envoltura pagó $5 pesos por cada regalo para sus abuelos, $1 peso por la envoltura de los regalos de sus hermanos y $3 pesos por las envolturas de los regalos de sus papás, pagando en envolturas $17 pesos. Por los moños le cobraron $2 pesos por cada rega-lo de los abuelos, $2 pesos por cada regalo de los hermanos y $1 peso por los regalos de los papás, pagando en moños $16 pesos. Si el número de regalos para los hermanos es el triple que el de los papás. ¿Cuántos regalos compró en total y cuántos para cada uno? 2- Ricardo, Rubén y Ramiro compraron sus útiles escolares en la misma papelería. Ricardo compró tres lápices, dos plumas y cuatro cuadernos, pa-gando $34 pesos; Rubén compró dos lápices, una pluma y un cuaderno y pagó $14 pesos; Mientras que Ramiro pagó $24 pesos por cua-tro lápices, dos plumas y un cuaderno, ¿Cuál es el precio de cada uno de los artículos que compraron? 3.- Una caja contiene clavos tornillos y tuercas. El número de clavos es el triple que el de tornillos y la cantidad de tornillos es tres veces el de tuercas. ¿Cuántos clavos, torni-llos y tuercas hay en la caja si en total suman 1,872 objetos? 4.- Entre María, Marcela y Marcelo tienen $140 pesos. Marcelo tiene la mitad de lo que tiene María, y María $10 pesos más de lo que tiene Marcela. ¿Cuánto tienen cada una? 5.- La suma de tres números es 300. La suma de dos de ellos es igual a la mitad del ter-cero y su diferencia es igual a la cuarta parte del tercero. ¿Cuáles son los números ?
RESUELVES PROBLEMAS MEDIANTE IN-
ECUACIONES LINEALES
Objetos de aprendizaje
Solución de problemas relacionados con inecuaciones
lineales.
Desempeños a demostrar:
Aplica las desigualdades para comparar dos variables.
Aplica las desigualdades en la toma de decisiones.
24
Crea y expresa argumentos matemáticos.
Sigue y valora cadenas de argumentos matemáticos de diferentes tipos.
Traduce e interpreta desde el lenguaje natural al simbólico y formal, y viceversa.
Estructura el campo o situación que va a modelarse.
Interpreta los modelos matemáticos en términos reales.
Trabaja con un modelo matemático.
Maneja enunciados y expresiones que contengan símbolos y fórmulas.
Resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos mediante una diversidad de
vías.
Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráfi-
cos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso
de las tecnologías de la información y la comunicación.
RESUELVES PROBLEMAS MEDIANTE
INECUACIONES LINEALES
BLOQUE II
Competencias a desarrollar:
25
RENTA UN AUTO José, Claudia y Mónica son tres viajeros que necesitan rentar un auto en el aeropuerto. Las empresas “RentasAuto” y “SuperRentas” compiten por los clientes que desean rentar un auto en el aeropuerto. Cada una de ella tiene su propia tarifa
RentasAuto cobra por la renta de autos medianos, $300.00 más $3.00 por cada kilómetro recorrido, mientras que SuperRentas cobra por renta de autos medianos, $240.00 más $3.5 por cada kilómetro recorrido
1. ¿Cuál es la ecuación matemática que representa el cobro de cada empresa?
Actividad 1 Lee, analiza y contesta las siguientes preguntas.
26
2. José decide rentar un auto a RentasAuto. Piensa viajar al menos 120 Km, ¿cuál es la cantidad mínima de dinero que deberá pagar? 3 . Si José piensa invertir cuando más $930 en la renta del auto, ¿cuál es la cantidad máxima de kilómetros que podrá viajar?
4. Claudia renta su auto en SuperRentas y también tiene la intención de pagar máxi mo $930, ¿quién puede viajar más por esa cantidad de dinero, Claudia o José?
5. Mónica va a viajar entre 90 Km y 180 Km ¿Cuál es la cantidad de dinero mínima y máxima que deberá pagar si renta su auto en SuperRentas?
27
6. Al final Mónica viajó menos de lo esperado, 83 Km. ¿Si hubiese rentado el auto en la otra empresa hubiera pagado menos?
7. Claudia viajó mucho más de lo esperado, 271 Km. ¿Cuánto más se excedió de lo que ella había presupuestado? ¿Hubiera sido mejor rentar el auto en la otra empre sa?
Ejercicio: Inecuaciones lineales. Fecha:___/____/201___
Nombre: _______________________________________
Grupo: _________
Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios.
A) 103 x
28
B)
C)
D)
E)
74 x
2133 x
xx 1032
3572 xx
29
F
G). Si y ¿entre qué valores puede oscilar z ?
H). Si y ¿entre qué valores puede oscilar r ?
9.48.17.3 x
zx 1.37.4 50 x
Ar 1.61.7 31 A
30
Ejercicio: Aplicaciones de Inecuaciones lineales.
Fecha: ___/_____/201___
Nombre: _______________________________________ Grupo: _________
Instrucciones: Lee, analiza, discute con tus compañeros y resuelve los siguientes pro-blemas. Supón que cada situación se describe adecuadamente para funciones lineales.
A) Si F y C son grados en las escalas Fahrenheit y Celsius, respectivamente. Se sabe que F = 1.8C +32. ¿Qué valores de C corresponden a 68 ≤ F ≤ 86?
B) Supón que la fuerza F necesaria para deformar cierto resorte una distancia x es F=6.5x. ¿Qué valores de F harán que 1/8 ≤ x ≤ 7/8?
C) Supón que las resistencias R, R1, R2 satisfacen la ecuación:
1R
1R1
1R2
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Si R1=15, determina los valores de R2 que hacen R≤10.
D) Una furgoneta pesa 875 Kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser superior que 415 Kg. Si hay que car gar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta?
E) Un padre y su hijo se llevan 22 años de diferencia. Determinar en qué período de sus vidas, la edad del padre excede en más de 6 años al doble de la edad del hijo.
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F) Un automóvil se desplaza por una carretera a una velocidad comprendida entre 100 Km/h y 150 Km/h. ¿Entre qué valores oscila la distancia del carro al punto de partida al cabo de 3 horas?
G) Una fábrica paga a sus vendedores $10 por artículo vendido más una cantidad fija de $500. Otra fábrica de la competencia paga $15 por artículo y $300 fijas. ¿Cuántos artículos debe vender un empleado de la competencia para ganar más dinero que el primero?
RESUELVES PROBLEMAS
EMPLEANDO LA TRIGONOMETRÍA
DESEMPEÑOS A DEMOSTRAR:
Aplica las razones trigonométricas en proble-
mas reales o hipotéticos. Aplica la ley de senos y ley de cosenos en pro-
blemas reales o hipotéticos.
OBJETO DE APRENDIZAJE
Solución de problemas relacionados con las razones trigonométricas
Solución de problemas relacionados con las
leyes trigonométricas
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Competencias a desarrollar:
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de pro-
cedimientos aritméticos y algebraicos, para la comprensión y análisis de situaciones reales o hipotéticas.
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo ro-dean.
Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones matemáticas. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo
cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
BLOQUE III
RESUELVES PROBLEMAS EMPLEANDO LA TRIGONOMETRÍA
36
SOMBRA DE UN VASO En un COBACH de Baja California, se encuentran dos muchachas Yolis y Tere disfru-tando de una soda en su horario de receso. De repente, Yolis se da cuenta que la som-bra del vaso aumentaba al caer el atardecer y le comenta a Tere sobre su observación. Entonces Tere dice que lo que el profesor explicó en la clase de trigonometría sobre las relaciones que existen en un triangulo rectángulo, eran ciertas .
Figura 1.
(X es el ángulo de elevación en el triángulo rectángulo formado en la figura 1)
De lo anterior, Tere y Yolis necesitarán de tu ayuda para contestar las siguientes pre-guntas: 1.- ¿De quién dependerá el valor del ángulo de elevación X en la figura 1?
2.- ¿Qué pasa con el valor del ángulo X al aumentar la sombra del vaso? Y ¿en caso contrario?
3.- Escribe las 6 relaciones trigonométricas que se pueden establecer entre los la dos del triángulo rectángulo y el ángulo X.
4.- ¿Qué relación trigonométrica se utilizaría para calcular el valor del ángulo X, da da la longitud de la sombra y altura del vaso?
37
5.- ¿Cuál sería el valor de la longitud de la sombra si el ángulo de inclinación X vale 30 grados?
Ejercicio: Solución de problemas relacionados con triángulos rectángulos.
Fecha: ___/_____/201___
Nombre: _____________________________________ Grupo: _________
Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas utilizando una función trigonométrica. De la misma manera resuelve los siguientes ejercicios de
1.- Una escalera eléctrica debe ascender a una altura del piso de 20 pies, con un ángulo de elevación de 30º respecto al piso. ¿Qué longitud tendrá la escalera?
2.- Goku se prepara para un enfrentamiento con uno de sus enemigos. Si en cierto momento del día, la longitud de su sombra es igual a la longitud de su altura. ¿Cuál sería el ángulo de elevación respecto al piso?
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3. Un salvavidas se encuentra en una torre a 20 m del nivel del mar. Descubre a una persona que necesita su ayuda, a un ángulo de depresión de 60º. ¿A qué distancia de la base de la torre se encuentra esa persona?
4.- Un helicóptero se mantiene a una altitud constante de 300 m y pasa directamente por encima de un observador. Después de un minuto, el observador ve el helicóptero con un ángulo de elevación de 65º. Determina la distancia que reco rrió el helicóptero al cabo de un minuto.
Considera el valor de las siguientes funciones trigonométricas
Sen65o = 0.9063 Cos65o = 0.4226 Tan65o = 2.1445
5.- Una palma proyecta una sombra de 18.7 m de largo. Si el ángulo que se forma desde el final de la sombra hasta el punto más alto de la palma es de 48º. ¿Cuál es la altura de la palma?
Considera el valor de las siguientes funciones trigonométricas
Sen48o = 0.7431 Cos48o = 0.6691 Tan48o = 1.1106
39
No.
Ejercicio
Desarrollo
6
7
8
9
10
40
Ejercicio Integrador: Solución de problemas con triángulos rectángulos.
Fecha: ___/____/201___
Nombre: _________________________________________ Grupo: _________
Instrucciones: 1.- Calcula la longitud de la variable “x”
2.- Resuelve los siguientes problemas. a) Si un cono tiene una base con diámetro 8.4 cm y altura 8.5 cm, ¿cuánto mide el ángulo generador del cono?
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b) Una escalera de 8.5 m de largo está apoyada en la cornisa de una casa. Si la cornisa está a 7.5 m de altura, ¿Cuál es el ángulo que forma con la escalera con el suelo?
c) Un poste de 5m se fija con un tirante de 7m ¿Cuánto mide el ángulo que forman el tirante y el poste?
d) La altura de un triángulo isósceles es 16 cm y uno de los ángulos iguales mide 30°. Calcula el área del triángulo.
e) Desde un barco se ve un faro hacia el este, y hacia el noreste, en un ángulo de 30°, una casa. Si se sabe que la distancia de la casa al faro, yendo hacia el sur, es 2.5 kilómetros, ¿Qué distancia hay del barco al faro?
f) Si una persona se coloca a 240 m de la base de la Torre Eiffel, ve la punta de la estructura a un ángulo de elevación de 53°. Calcula la altura de la Torre Eiffel.
Sen53o = 0.7986 Cos53o = 0.6018 Tan53o = 1.3270
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RALLY ESCOLAR. En un Rally escolar, la última fase para ganar el concurso consiste en que un integrante de los 2 últimos equipos deberá tomar un banderín y regresar a su lugar. Si los integran-tes están separados 8 metros del banderín como se muestra en la figura. ¿a qué distan-cia de separación se encontraban los participantes?
A
B
Con base a la situación planteada, contesta las siguientes preguntas 1.- Para encontrar la distancia entre A y B, ¿puedes utilizar las funciones senC, Co sC y tanC? ¿Por qué?
2.- egún tus conocimientos anteriores de trigonometría ¿que ley sugieres para hallar la distancia entre A y B?
3.- ¿Cuales son los criterios que debes tomar en cuenta para utilizar la ley de Senos o ley de Cósenos en la resolución de triángulos oblicuángulos?
4.- ¿Calcula la distancia de separación entre los participantes?
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Ejercicio: Solución de problemas relacionados con triángulos oblicuángulos.
Fecha: ___/_____/201___
Nombre: ________________________________________ Grupo: _________
Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas utilizando la ley de Senos o Ley de Cosenos. De la misma manera resuelve los siguientes ejerci-cios de triángulos oblicuángulos (los valores de ángulos básicos se obtendrán por
1.- Un poste inclinado con respecto a la vertical en un ángulo de 10° tiene una longi-tud de 6 m. Es sostenido por un tubo de 8.4 m enganchado desde la parte superior. ¿Con que ángulo de elevación se debe asegurar el tubo en el piso?
Considera el valor de las siguientes funciones trigonométricas
Sen80o = 0.9848 Cos80o = 0.1736 Tan80o = 5.6712
2.- La distancia por aire entre Mexicali (A) y Culiacán (B) es de 1.1 km, la de Culiacán a Monterrey (C) es de 0.6 km, y la Monterrey a Mexicali, de 1.3 km. Obtener la expresión trigonométrica que permite calcular el valor de cada ángulo del triangulo de la situación planteada.
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3. Las manecillas del reloj tienen 4 y 5 cm de largo respectivamente. Si el reloj mar ca exactamente las 12:10 pm, en ese momento, ¿a qué distancia se encuentran separadas las puntas de las manecillas? ¿Si bien es cierto que para el ángulo se puede obtener una aproximación, ¿cómo podría encontrarse el valor exacto si la diferencia es de 10 minutos?
No. Ejercicio Desarrollo
4
Considera el valor de las si-guientes funciones trigonométri-cas
Sen40o = 0.6427
Cos40o = 0.7660
Tan40o = 0.8390
5
6
45
11
12
Considera el valor de las si-guientes funciones trigonométri-cas
Sen10-0o = 0.9848
Cos10-0o = -0.1736
Tan10-0o = -5.6712
13
14
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Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas utilizando la ley de Senos o Ley de Cósenos. En el caso de encontrar un valor de un ángulo, re-dondearlo al valor entero de un ángulo básico.
1.- Un satélite en órbita terrestre pasa directamente por encima de estaciones de ob servación en Phoenix y Los Ángeles, a 340 millas de distancia. En un instante cuando el satélite está entre esas dos estaciones, simultáneamente observa que el ángulo de elevación es de 60º en Phoenix y de 75º en los Ángeles, ¿A qué dis tancia está el satélite de Los Ángeles? En otras palabras, encuentra la distancia AC en la siguiente figura.
2. Resuelve el triángulo de la siguiente figura.
Considera el valor de las siguientes funciones trigonométricas
Ejercicio Integrador: Solución de problemas relaciona-dos con triángulos oblicuángulos.
Fecha: ___/_____/201___
Nombre: _________________________________________ Grupo: _________
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Sen20o = 0.3420 Cos20o = 0.9396
Sen25o = 0.4226 Cos25o = 0.9063
Sen135o = 0.7071 Cos135o = -0.7071
3. Encuentra el ángulo B en el triángulo ABC, donde el = 45º , , y b=7. Ð A a = 7 2
4.- Para encontrar la distancia de un lado al otro de un río, una topógrafa selecciona los puntos A y B que están separados 200 pies en un lado del río (véase la figura). Enton-ces ella escoge un punto de referencia C del lado opuesto del río y determina que
, y . Calcule aproximadamente la distancia de A a C. (Sen75°=0.9659)
Ð BAC = 75o Ð ABC = 45o
5. Encuentra la distancia entre los puntos A y B en los lados opuestos de un lago a par-tir de la información que se da.
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6. Se piensa construir un túnel a través de una montaña. Para estimar la longitud del túnel, un topógrafo toma las medidas que aparecen en la figura siguiente. Utiliza los datos del topógrafo para hacer un cálculo aproximado de la longitud del túnel.
7. Un observador naval, desde el puente de un barco, ubica a otros dos barcos a 3800 y 4200 pies respectivamente. El ángulo entre las dos líneas visuales es de 30º. Estima la distancia entre los barcos observados.
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8.- Encuentra el ángulo básico aproximado en la siguiente figura.
